Mệnh đề – Ứng dụng vào chứng minh

Định nghĩa
Trong toán học định lí là một mệnh đề đúng. Nhiều định lí được phát biểu dưới dạng:

$$”\forall x \in X, P(x) \Rightarrow Q(x),” (1)$$
trong đó P(x), Q(x) là các mệnh đề chứa biến còn X là một tập hợp nào đó. \
Chứng minh định lí  dạng (1) là dùng suy luận và các kiến thức đã biết để khẳng định mệnh đề (1) là đúng.

Phương pháp chứng minh
Có thể chứng minh định lí dạng (1) một cách trực tiếp hoặc gián tiếp.\

Phép chứng minh trực tiếp gồm các bước sau:

  • Lấy $x \in X$ tuỳ ý mà P(x) đúng.
  • Dùng suy luận và các kiến thức đã biết để chỉ ra rằng Q(x) đúng.

Phép chứng minh gián tiếp thường hay được dùng là chứng minh phản chứng. Phép chứng minh phản chứng gồm các bước sau:

  • Giả sử tồn tại $x_0 \in X $ sao cho $P(x_0)$ đúng còn $Q(x_0)$ sai.
  • Dùng kiến thức toán học để chỉ ra mâu thuẫn.

Cho định lí dưới dạng $$”\forall x \in X, P(x) \Rightarrow Q(x).” \ \ \ \ (1)$$
P(x) được gọi là giả thiết, Q(x) được gọi là kết luận của định lí. Định lí trên còn được phát biểu lại dưới dạng

a)P(x) là điều kiện đủ để có Q(x).
b)Q(x) là điều kiện cần  để có P(x).

Xét mệnh đề đảo của định lí dạng (1):
$$\forall x \in X, Q(x) \Rightarrow P(x). \ (2)$$

Định nghĩa Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó được gọi là định lí đảo  của định lí dạng (1). Lúc đó định lí dạng (1) được gọi là định lí thuận. Định lí thuận và định lí đảo có thể viết gộp thành một định lí.

$$\forall x \in X, P(x) \Leftrightarrow Q(x).$$
Khi đó ta nói P(x) là điều kiện cần và đủ  để có Q(x).

Các ví dụ

Ví dụ 1. Phát biểu các định lí sau dưới dạng điều kiện cần và điều kiện đủ:

a)Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc.
b)Với mọi số tự nhiên $n$ nếu $n \vdots 4$ thì $n \vdots 2.$

Ví dụ 2.
Trong các định lí sau định lí nào có định lí đảo. Với định lí có định lí đảo hãy phát biểu lại dưới dạng “Điều kiện cần và đủ”

a)Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có 2 đường chéo vuông góc nhau.
b)Nếu một tứ giác là hình bình hành thì hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
c)Nếu số nguyên dương $a$ chia hết cho 24 thì nó chia hết cho 6 và 4.
d)Nếu tứ giác ABCD là hình bình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$

Ví dụ 3. Chứng minh rằng:

a)Tổng của một số vô tỷ và một số hữu tỷ là số vô tỷ.
a)Chứng minh nếu $a$ là số vô tỷ, $b$ là hữu tỷ khác 0 thì $ab$ là số vô tỷ.

Lời giải

a) Cho $a$ vô tỉ và $b$ hữu tỉ. Giả sử $a+b = c$ là số hữu tỉ.

Khi đó ta có $a = c -b$, mà do $c, b \in Q$ nên $c-b \in Q $, vô lí vì $a$ vô tỉ.

Vậy tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ.

b) Cho $a$ vô tỉ và $b$ hữu tỉ khác 0. Ta chứng minh $ab$ cũng là vô tỉ.

Giả sử $ab =c$ là hữu tỉ, khi đó $a = \dfrac{c}{b}$ hữu tỉ (vô lí).

Vậy $ab$ là số vô tỉ.

Ví dụ 4. (Tuyển sinh PTNK 2009)
Người ta xếp các số từ 1 đến 9 thành một vòng tròn, mỗi số ghi một lần, có tồn tại hay không cách sắp xếp sao cho tổng hai số liền nhau bất kì thì lớn hơn hoặc bằng 10.

Lời giải

Giả sử tồn tại các sắp xếp thỏa đề bài, tức là hai số kề nhau có tổng lớn hơn hoặc bằng 10.

Khi đó ta xét số 1 và 2 số kề 1 là $a, b$. Ta có $1+a \geq 10, 1+b \geq 10$, suy ra $a=b=9$ (vô lí vì mỗi số chỉ viết được 1 lần).

Vậy không tồn tại cách viết thỏa đề bài.

Ví dụ 5. Chứng minh $\sqrt{2}$ là một số vô tỷ.

Lời giải

Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ, đặt $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ trong đó $(p,q)=1$.

Khi đó $p^2 = 2q^2$, suy ra $p^2$ chia hết cho 2, mà 2 nguyên tố nên $p$ chia hết cho 2.

Đặt $p = 2m$ ta có $q^2 = 2m^2$, suy ra $q$ chia hết cho 2, suy ra $q = 2n$.

Mâu thuẫn vì $(p,q)=1$.

Vậy $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho định lí “Nếu $n$ là số tự nhiên thì $(n^3-n) \vdots 6.$”

a)Hãy xác định mệnh đề P(n), Q(n).
a)Phát biểu định lí trên sử dụng thuật ngữ “Điều kiện cần” và “Điều kiện đủ”.
a)Chứng minh định lí trên.

Bài 2.  Có tồn tại hay không cách chia tập các số tự nhiên từ 1 đến 9 thành hai tập sao cho tổng các phần tử của hai tập đó là bằng nhau? Tại sao?

Bài 3. Tích của 22 số nguyên bằng 1. Chứng minh rằng tổng của chúng không thể bằng 0.

Bài 4. Một con mã đang ở ô $a1$, hỏi con mã có đi qua mỗi ô đúng một lần và kết thúc ở ô $h8$ được không?Tại sao?

Bài 5. Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh các bài toán sau:

a)Nếu $x \ne 1, y \ne 1$ thì $xy-x-y \ne -1$.
b)Cho hai số tự nhiên $a,b$. Chứng minh rằng nếu $a^2+b^2 \vdots 8$ thì $a,b$ không thể đồng thời là các số lẻ.
c)Chứng minh có ít nhất một trong 3 bất đẳng thức sau là đúng: $a^2+b^2 \ge 2bc, c^2+a^2 \ge 2ab, b^2+c^2 \ge 2ca$.
d)Cho $n \in \mathbb{N}$, chứng minh rằng nếu $n^2 \vdots 3$ thì $n \vdots 3$.

Bài 6. Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh các bài toán sau:

a)Chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 phương trình :$ax^2+bx+c=0, bx^2+cx+a=0, cx^2+ax+b=0$ vô nghiệm.
b)Cho $0<a,b,c<1$. Chứng minh có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau sai: $a(1-b)>\dfrac{1}{4}, b(1-c)> \dfrac{1}{4}, c(1-a) > \dfrac{1}{4}$.
c)Cho các số thực $x,y,z$ thỏa $x.y.z>0, x+y+z>0, xy+xz+yz>0$. Chứng minh $x,y,z$ là các số dương.

Bài 7. Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh các bài toán sau:

a)Cho $x, y \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng nếu $x^2+y^2 \vdots 3$ thì $x, y$ cùng chia hết cho 3.
b)Chứng minh có vô hạn số nguyên tố.
c)Cho $2^n-1$ là số nguyên tố, chứng minh $n$ là số nguyên tố.

Bài 9. Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh các bài toán sau:

a)Chứng minh $\sqrt{3}$ là số vô tỷ.
a)Chứng minh $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ là số vô tỷ.
a)Với hai số hữu tỷ $a,b$. Chứng minh rằng nếu $a \sqrt{2}+b \sqrt{3}$ là số hữu tỷ thì $a=b=0$.

Bài 10. Chứng minh rằng trong một tam giác nếu độ dài hai đường phân giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.