Mệnh đề chứa biến

Xét các phát biểu
P(n): “$n+1$ là số chính phương”. \ \ \ (1)
Q(x,y): “$x+y$ chia hết cho 2”. \ \ \ (2)

Mỗi phát biểu trên là câu khẳng định chứa một hay nhiều biến (n,x,y..). Tính đúng sai của chúng phụ thuộc vào giá trị của biến.

Định nghĩa. Các phát biểu dạng (1), (2)… được gọi là \textbf{mệnh đề chứa biến}.

Lượng từ $\forall, \exists$

Cho mệnh đề chứa biến P(x) với $x \in X$ là một tập hợp nào đó. Khi đó khẳng định có dạng “Với mọi x thuộc X thì P(x) đúng” (hay “P(x) đúng với mọi x thuộc X”) là một mệnh đề và được kí hiệu là

$\forall x \in X, P(x)$ hoặc $\forall x \in X: P(x).$

Cho mệnh đề chứa biến P(x) với $x \in X$ là một tập hợp nào đó. Khi đó khẳng định có dạng “Tồn tại x thuộc X để cho P(x) đúng” là một mệnh đề và được kí hiệu là

$\exists x \in X, P(x)$ hoặc $\exists x \in X: P(x).$

Mệnh đề phủ định của mệnh đề chứa lượng từ $\forall$ và $\exists$:

a) $\overline{\forall x \in X: P(x)}= \exists x \in X: \overline{P(x)}$.
b) $\overline{\exists x \in X: P(x)}=\forall x \in X: \overline{P(x)}$.

Ví dụ 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng. Viết mệnh đề phủ định.

a) $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \ge -1$

b) $\exists n \in \mathbb{N} : n+1\le 2n$.
c) $\forall x \in \mathbb{R}: \dfrac{2}{3} \le |x| \le \dfrac{5}{4}$
d) $\exists n \in \mathbb{N}: n^4+n^2+1$ là số nguyên tố.
e) $\forall n \in \mathbb{N}: (n^5-n) \vdots 15.$

Ví dụ 2. 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định

a) $\exists n \in \mathbb{Q}: n^2=2$
b) $\exists x \in \mathbb{R}: x \ge x^2$
c) $\forall n \in \mathbb{N}: n^2 +1$ không chia hết cho 3.
d) $\exists n \in \mathbb{N}: 10^n-9n-1$ là số nguyên tố.

Bài tập rèn luyện