Một định lý được phát biểu thường có dạng một biểu thức mệnh đề như $P \Rightarrow Q$ (1) hoặc $P \Leftrightarrow Q$ (2)

Ví dụ. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $AB^2+AC^2=BC^2$ (Pitago).

Ví dụ. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có thể biểu diễn thành tích các thừa số nguyên tố.

Thực ra dạng (2) cũng có dạng $P \Rightarrow Q \wedge Q \Rightarrow P$, nên ta xét dạng 1.

Với mệnh đề dạng $P \Rightarrow Q$ thì

• $P$ được gọi là điều kiện đủ để có $Q$.
• $Q$ được gọi là điều kiện cần để có $P$.

Phương pháp chứng minh trực tiếp. Để chứng minh mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là đúng, ta sử dụng hằng đúng sau: $((P \Rightarrow R) \wedge (R \Rightarrow Q))  \Rightarrow (P \Rightarrow Q)$, tức là ta đi qua các bước trung gian $P \Rightarrow R$ và $R \Rightarrow Q$.

Ví dụ. Chứng minh nếu $A \subset B$ và $B \subset C$ thì $A \subset C$.

Chứng minh. Ta có $X \subset Y \Leftrightarrow \forall x \in X \Rightarrow x \in Y$.

Do đó lấy $x$ bất kì $x\in A$, ta chứng minh $x \in C$.

Thực vậy, do $x \in A$ mà $A \subset B$ nên $x \in B$. Hơn nữa $B \subset $ nên $x \in C$.

Vậy $A \subset C$.

Phương pháp chứng minh gián tiếp. Cụ thể ở đây là phương pháp phản chứng, ta sử dụng tương đương logic $P \Rightarrow Q \Leftrightarrow \overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$.  Thay vì chứng minh $P \Rightarrow Q$ là đúng ta chứng minh $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$ là đúng. Lợi thế của phản chứng minh ta có thể tạo ra một giả thiết mới là $\overline{Q}$ từ đó giúp ta suy luận tiếp.

Ví dụ. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số hữu tỉ.

Chứng minh. Lấy $a \in \mathbb{Q}, b \notin \mathbb{Q}$, ta chứng minh $a + b \notin \mathbb{Q}$.

Giả sử ngược lại $a +b = c \in \mathbb{Q}$. Suy ra $b = c – a$, mà $c, a \in \mathbb{Q} \Rightarrow c – a \in \mathbb{Q}$, suy ra $b \in \mathbb{Q}$ (mâu thuẫn).