NHÂN ĐA THỨC
Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức
$A=x^4-17 x^3+17 x^2-17 x+20 \text { tại } x=16 \text {. }$
Giải : Cách 1. Chú ý rằng $\mathrm{x}=16$ nên $\mathrm{x}-16=0$, do đó ta biến đổi để biểu thức $\mathrm{A}$ chứa nhiều biểu thức dạng $\mathrm{x}-16$.
$A =x^4-16 x^3-x^3+16 x^2+x^2-16 x-x+16+4 $
$=x^3(x-16)-x^2(x-16)+x(x-16)-(x-16)+4=4$
Cách 2. Trong biểu thức $\mathrm{A}$, ta thay các số 17 bởi $\mathrm{x}+1$, còn 20 thay bởi $\mathrm{x}+4$.
$A =x^4-x^3(x+1)+x^2(x+1)-x(x+1)+x+4$
$=x^4-x^4-x^3+x^3+x^2-x^2-x+x+4=4$
Ví dụ 2. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số ấy, ta được 242 .
Giải : Gọi $\mathrm{x}-1, \mathrm{x}, \mathrm{x}+1$ là ba số tự nhiên liên tiếp. Ta có :
$x(x-1)+x(x+1)+(x-1)(x+1)=242$
Sau khi rút gọn ta được $3 x^2-1=242$ nên $x^2=81$.
Do $\mathrm{x}$ là số tự nhiên nên $\mathrm{x}=9 .$ Ba số tự nhiên phải tìm là $8 ; 9 ; 10$.
BÀI TẬP
– Nhân đơn thức với đa thức
1. Thực hiện phép tính :
a) $3 x^n\left(6 x^{n-3}+1\right)-2 x^n\left(9 x^{n-3}-1\right)$;
b) $5^{\mathrm{n}+1}-4.5^{\mathrm{n}}$
c) $6^2 \cdot 6^4-4^3\left(3^6-1\right)$
2. Tìm $\mathrm{x}$, biết :
a) $4(18-5 x)-12(3 x-7)=15(2 x-16)-6(x+14)$;
b) $5(3 x+5)-4(2 x-3)=5 x+3(2 x+12)+1$;
c) $2(5 x-8)-3(4 x-5)=4(3 x-4)+11$;
d) $5 x-3{4 x-2[4 x-3(5 x-2)]}=182$.
3. Tính giá trị của các biểu thức :
a) $A=x^3-30 x^2-31 x+1$ tại $x=31$
b) $\mathrm{B}=\mathrm{x}^5-15 \mathrm{x}^4+16 \mathrm{x}^3-29 \mathrm{x}^2+13 \mathrm{x}$ tại $\mathrm{x}=14$
c) $C=x^{14}-10 x^{13}+10 x^{12}-10 x^{11}+\ldots+10 x^2-10 x+10$ tại $x=9$.
4. Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách thay số bởi chữ một cách hợp lí :
$A=2 \frac{1}{315} \cdot \frac{1}{651}-\frac{1}{105} \cdot 3 \frac{650}{651}-\frac{4}{315.651}+\frac{4}{105}$
– Nhân đa thức với đa thức
5. Thực hiện phép tính :
a) $(x-1)\left(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right)$
b) $(x+1)\left(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\right)$.
6. Tìm x, biết :
a) $(x+2)(x+3)-(x-2)(x+5)=6$;
b) $(3 x+2)(2 x+9)-(x+2)(6 x+1)=(x+1)-(x-6)$;
c) $3(2 x-1)(3 x-1)-(2 x-3)(9 x-1)=0$.
7. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh rằng $M=N=P$ với : $\mathrm{M}=\mathrm{a}(\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{c}) ; \quad \mathrm{N}=\mathrm{b}(\mathrm{b}+\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{a}) ; \quad \mathrm{P}=\mathrm{c}(\mathrm{c}+\mathrm{a})(\mathrm{c}+\mathrm{b})$
8. Chứng minh các hằng đẳng thức :
a) $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b$
b) $(x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(a+b+c) x^2+(a b+b c+c a) x+a b c .$
9. Cho $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \mathrm{p}$. Chứng minh hằng đẳng thức :
$2 b c+b^2+c^2-a^2=4 p(p-a)$
10. Xét các ví dụ : $53.57=3021, \quad 72.78=5616$.
Hãy xây dựng quy tắc nhân nhẩm hai số có hai chữ số, trong đó các chữ số hàng chục bằng nhau, còn các chữ số hàng đơn vị có tổng bằng $10 .$
11. Cho biểu thức
$M=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+x^2$
Tính $\mathrm{M}$ theo $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$, biết rằng $\mathrm{x}=\frac{1}{2} \mathrm{a}+\frac{1}{2} \mathrm{~b}+\frac{1}{2} \mathrm{c}$.
12. Cho dãy số $1,3,6,10,15, \ldots, \frac{n(n+1)}{2}, \ldots$
Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương.
13. Số a gồm 31 chữ số 1 , số $\mathrm{b}$ gồm 38 chữ số 1 . Chứng minh rằng $\mathrm{ab}-2$ chia hết cho 3 .
$14^*$ . Số $3^{50}+1$ có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp khônğ ?
15*. a) Thực hiện phép tính :
$A=\left(2^9+2^7+1\right)\left(2^{23}-2^{21}+2^{19}-2^{17}+2^{14}-2^{10}+2^9-2^7+1\right)$
b) Số $2^{32}+1$ có là số nguyên tố không ?