Category Archives: Đại số

Hàm số bậc nhất

Leave a reply

Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức

$y=ax+b$

trong đó $a$, $b$ là các số cho trước và $a\ne 0$.

Ví dụ 1: Để ủng hộ cho các người dân trong đợt lũ lụt, lớp 9A quyết định trích tiền quỹ của lớp ra $500000$ và mỗi bạn trong lớp có thể đóng góp số tiền như nhau là $20000$. Gọi $x$ là số học sinh đóng góp và $y$ là số tiền đóng góp được. Khi đó số tiền lớp 9A đóng góp là:

$y=20000x+500000$

$y=20000x+500000$ là hàm số bậc nhất với $a=20000$, $b=500000$.

Ví dụ 2: Bạn Uyên có số tiền là $500000$, bạn định sử dụng số tiền này để mua truyên tranh, mỗi quyển truyện tranh có giá $15000$. Gọi $h$ là số quyển truyện tranh Uyên mua được và $t$ là số tiền còn lại của Uyên. Khi đó ta có:

$t=500000-15000h=-15000h+500000$

$t=-15000h+500000$ là hàm số bậc nhất với $a=-15000$, $b=500000$.

Tính chất 1: Hàm số bậc nhất $y=f(x)=ax+b$ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$ và thỏa mãn:

  • Nếu $a>0$ thì $f$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
  • Nếu $a<0$ thì $f$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ 3:

a) Hàm số $y=20000x+500000$ là hàm số bậc nhất có $a=20000>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $t=-15000h+500000$ là hàm số bậc nhất có $a=-15000<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Bài tập:

Bài 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Xác định các hệ số $a$, $b$ của các hàm số bậc nhất vừa tìm được.

a) $y=4x-2$

b) $y=-3-x$

c) $y=\dfrac{1}{x}+7$

d)$y=\dfrac{2x}{3}$

e) $y=5\left(2-x\right) +3$

 Bài 2:  Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y=2x-7$

b) $y=3-5x$

c) $y=\left( \sqrt2-\sqrt3\right)x+1$

d) $y=\left( 2+m^2\right)x-4$

Bài 3: Cho hàm số $y=\left( 2m-1\right)x+3$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bài 4: Cho hàm số $y=\left( 2m+5\right)x+m-2$. Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Bài 5: Cho hàm số $y=\left( m+1\right)x+3m+1$. Tìm $m$ để hàm số trên là hàm số bậc nhất.

Bài 6: Để đổi từ nhiệt độ $F$ sang độ $C$, ta dùng công thức sau:

$C=\dfrac{5}{9}\left( F-32\right) $

a) $C$ có phải là hàm số bậc nhất theo biến số $F$ không?

b) Hãy tính $C$ khi $F=30$, $F=70$.

Bài 7: Cây cà chua lúc đầu cao $20$ cm, mỗi ngày cao thêm $10$ cm, cây đu đủ lúc đầu cao $50$ cm và mỗi ngày cao thêm $\dfrac{20}{3}$ cm. Gọi $x$ là số ngày, $y$ là chiều cao của mỗi cây, hãy lập hàm số của $y$ theo $x$ đối với mỗi cây.

Bài 8: Hai bạn $A$, $B$ đi cùng hướng trên một con đường, lúc đầu $A$, $B$ cách bến xe buýt lần lượt là $200$ m và $500$ m cùng đi ngược hướng với trạm xe buýt. Mỗi giờ $A$ đi được $3$ km và $B$ đi được $1$ km. Gọi $d_1$ và $d_2$ là khoảng cách của $A$, $B$ đối với trạm xe buýt sau khi đi được $t$ giờ. Hãy tính $d_1$ và $d_2$ theo $t$.

 

 

Tổ hợp

Leave a reply

1.Định nghĩa

  • Cho tập $A$ có $n$ phần tử, mỗi tập con có $k$ phần tử của $A$ ($ 0 \leq k \leq n$) được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$.

Ví dụ 1. Cho $A = { 1, 2, 3, 4 }$. Các tổ hợp chập 3 của là $A$ là $ {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4 }, {2, 3, 4 }$.

  • Số tổ hợp chập $k$ của $n$ là $C_n^k   = \dfrac{A^k_n}{k!} = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}$.

2.Các ví dụ.

Ví dụ 1. Lớp 11A có 15 bạn nam và 20 bạn nữ, hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 5 bạn để đi làm việc biết

a. Có 3 bạn nam và 2 bạn nữ.

b. Có ít nhất 2 bạn nữ.

Lời giải.

a.

  • Số cách chọn 3 bạn nam từ 15 bạn nam là số tổ hợp chập 3 của 15 nên có $C^3_{15}$ cách.
  • Số cách chọn 2 bạn nữ từ 20 bạn nữ là số tổ hợp chập 2 của 20 nên có $C^2_{20}$.
  • Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn là $C^3_{15} \cdot C^2_{20} = 86.450$

b. Bài này ta có thể sử dụng phần bù.

  • 0 bạn nữ, 5 bạn nam: $C^0_{20} \cdot C^5_{15}$.
  •  1 bạn nữ, 4 bạn nam: $C^1_{20} \cdot C^4_{15}$.
  • Chọn 5 bạn tùy ý: $C^5_{35}$.
  • Do đó ta có, số cách chọn ít nhất 2 bạn nữ:
  •  $C^5_{35} – C^0_{20} \cdot C^5_{15} – C^1_{20} \cdot C^4_{15}$

Ví dụ 2. Trong hộp có 5 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Lấy ra 4 viên bi, hỏi có bao nhiêu cách lấy thỏa:

a. Có cùng một màu.

b. Có đầy đủ 3 màu.

Lời giải.

a.

  • Cùng màu xanh: $C^4_5 = 5$ cách.
  • Cùng màu đỏ: $C^4_4 = 1$ cách.
  • Cùng màu vàng $C^4_5 = 5$ cách.
  •  Số cách lấy là: $ 5 + 1 + 5 = 11$ cách

b.

  • 2 vàng 1 đỏ 1 xanh. $C^2_5 \cdot C^1_4 \cdot C^1_5$
  • 2 vàng 1 đỏ 1 xanh:$C^1_5\cdot C^2_4 \cdot C^1_5$

3.Bài tập

Bài 1. Một nhóm học sinh có 10 bạn. Có bao nhiêu cách chọn
a) 3 bạn đi dọn vệ sinh trường lớp.
b) 5 bạn để lập một nhóm tình nguyện, trong đó có một đội trưởng.

Bài 2.  Trong hộp có 7 bi xanh và 8 bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi thỏa:
a) Lấy tùy ý.
b) Có ít nhất 2 bi vàng.
c) Các bi cùng màu.
 Bài 3. Có 3 hộp, trong đó hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và hộp thứ ba chứa 8 viên bi vàng, các viên bi đều khác nhau. Chọn ra 5  viên bi từ 3 hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a) 5 viên bi đều màu vàng.
b) 2 viên bi màu đỏ, 3 viên bi màu xanh.
c) Có đầy đủ 3 màu.
d) Không có bi màu đỏ hoặc màu xanh và ít nhất 2 viên bi màu vàng.

Bài 4. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, và 4 bông hồn đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau) người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.

Bài 5. Bạn An mời tiệc sinh nhật, vì nhà nhỏ nên trong 20 người bạn của mình An chỉ có thể mời được 8 bạn. Biết rằng trong các bạn của An thì có Nam và Long không thích nhau nên An không thể mời cả hai bạn dự cùng lúc. Hỏi An có bao nhiêu cách mời?

 

Chỉnh hợp

Leave a reply

1.Định nghĩa. Cho tập $A$ có $n$ phần tử, mỗi cách lấy ra $k$ phần tử ($1 \leq k \leq n$) từ $A$ và sắp xếp nó vào $k$ vị trí được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$.

Ví dụ. Cho $A = {a, b, c, d}$. Các chỉnh hợp chập $2$ của $A$ là $ab, ba, ac, ca,da, ad, bc, cb, bd, db, cd, dc$.

Tính chất. Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$, kí hiệu $A_n^k = n \times (n-1) \cdots \times (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.

2. Ví dụ. 

Ví dụ 1. Lớp 11 văn có 30 bạn trong đó có 4 bạn nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 bạn, trong đó một bạn làm bí thư, một bạn làm lớp trưởng, một bạn lớp phó thể mỹ, một bạn lớp phó học tập, biết rằng lớp trưởng luôn là con trai các bạn còn lại phải là con gái.

Lời giải. 

  • Chọn bạn lớp trưởng có 4 cách chọn từ các bạn nam.
  • Mỗi cách chọn bí thư, lớp phó học tập, lớp phó thể mỹ từ các bạn gái là một chỉnh hợp chập 3 của 26, suy ra số cách chọn là $A^4_{26}$.
  • Vậy theo quy tắc nhân số cách chọn là $4\cdot A^4_{26}$ cách.

Ví dụ 2. Cho tập $A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }$.

a. Từ $A$ có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau trong đó không có chữ số 0.

b. Từ $A$ có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau.

Lời giải.

a. Mỗi số có 4 chữ số khác nhau không có chữ số 0 là một chỉnh hợp 4 phần tử của tập ${1, 2, 3, 4, 5 }$. Do đó số các số là số chỉnh hợp chập 4 của 5 bằng $A^4_5 = 120$ số.

b. Gọi số cần tìm là $\overline{abcd}$ với $a \neq 0$.

  • Số cách chọn $a$ có: 5 cách.
  • Mỗi cách chọn bộ $\overline{bcd}$ là một chỉnh hợp của tập 5 phần tử $A \setminus \{a\}$. Do đó số bộ $\overline{bcd}$ là: $A^3_5$.
  • Vậy số các số lập thoả đề bài: $5 \cdot A^3_5 = 300$ số.

Bài tập. 

Bài 1. Lớp 10 Toán có 30 học sinh cần lập ra một đội văn nghệ gồm 1 bạn hát, 1 bạn đánh đàn và một bạn múa phụ họa. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện?
Bài 2. Từ tập $A= \{2,3,4,5,6\}$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số phân biệt và thỏa mãn:
a.Bắt đầu bằng số 3.
b. Bắt đầu bằng số 23.
c. Không bắt đầu bằng số 2.
d. Chia hết cho 5.
e. Có hai chữ số 4 và 5 đứng gần nhau.
f. Hai số đầu tiên không chứa 2 hoặc 3.
Bài 3. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu:
a. Số lẻ có 4  chữ số khác nhau?
b. Số chẵn có 5 chữ số khác nhau?
Bài 4. Có 11 cầu thủ, chọn ra 5 người đá pentalty, hỏi có bao nhiêu cách biết rằng cầu thủ $A$ phải sút quả đầu tiên hoặc cuối cùng.

Căn bậc ba

Leave a reply

1. Khái niện căn bậc ba

Định nghĩa: Căn bậc ba của một số $a$ là một số $x$ sao cho $x^3=a$

Ví dụ 1: $2$ là căn bậc ba của $8$ vì $2^3=8$.

$-5$ là căn bậc ba của $-125$ vì $(-5)^3=-27$.

Ta công nhận kết quả sau: Mỗi số $a$ đều có duy nhất một căn bậc ba.

Kí hiệu căn bậc ba của số $a$ là: $\sqrt[3]{a}$,   số $3$ gọi là chỉ số của căn.

Ví dụ 2: Tìm căn bậc ba của mỗi số sau:

a) $27$;

b) $-216$;

c) $0$

d) $\dfrac {-1}{64}$

Giải

a) $\sqrt [3] {27}=\sqrt [3]{3^3}=3$

b) $\sqrt [3]{-216}=\sqrt [3]{(-6)^3}=-6$

c) $\sqrt [3]{0}=\sqrt [3]{0^3}=0$

d) $\sqrt [3]{\dfrac {-1}{64}}=\sqrt [3]{\left( \dfrac {-1}{4}\right)^3}=\dfrac {-1}{4}$

2. Tính chất

Ta có các tính chất sau của căn bậc ba:

a) $a<b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} <\sqrt[3]{b}$

b) $\sqrt [3]{ab}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}$

c) Với $b\ne 0$, ta có $\sqrt [3]{\dfrac {a}{b}}=\dfrac {\sqrt [3]{a}}{\sqrt [3]{b}}$

Ví dụ 3: Tính các căn bậc ba sau:

a) $\sqrt[3]{27.64}$

b) $\sqrt[3]{\dfrac{125}{8}}$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{27.64}=\sqrt[3]{27}.\sqrt[3]{64}=3.4=12$

b) $\sqrt[3]{\dfrac{125}{8}}=\dfrac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}}=\dfrac{5}{2}$

Ví dụ 4: So sánh các số sau:

a) $3$ và $\sqrt[3]{26}$

b) $-4$ và $\sqrt[3]{-63}$

Lời giải:

a) Ta có: $3=\sqrt[3]{27}$ mà $27>26$ do đó $\sqrt[3]{27}>\sqrt[3]{26}$

Vậy $3>\sqrt[3]{26}$

b) Ta có: $-4=\sqrt[3]{-64}$ mà $-64<-63$ dó đó $\sqrt[3]{-64}<\sqrt[3]{-63}$

Vậy $-4<\sqrt[3]{-63}$

Bài tập

Bài 1: Tính các căn bậc ba sau:

a) $\sqrt[3]{343}$

b) $\sqrt[3]{\dfrac{-64}{27}}$

c) $\sqrt[3]{0,216}$

d) $\sqrt[3]{-1331}$

Bài 2:  TÍnh:

a) $\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{512}+3\sqrt[3]{27}$

b) $\sqrt[3]{4}.\sqrt[3]{54}-\dfrac{2}{5}\dfrac{\sqrt[3]{375}}{\sqrt[3]{3}}$

c) $\sqrt[3]{40x^3y}-x\sqrt[3]{135y}$

d) $\sqrt{12-6\sqrt 3}-\sqrt[3]{26-15\sqrt 3}$

Bài 3: So sánh các số sau:

a) $3$ và $\sqrt[3]{\dfrac{4096}{125}}$

b) $4\sqrt[3]{5}$ và $5\sqrt[3]{3}$

Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $A=\dfrac{x}{4}-\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{3}}$ với $x=-3$

b) $B=2x-\sqrt[3]{24x^2}-\sqrt[3]{16y}$ với $x=3$ và $y=-4$

Bài 5: Tìm $x$ biết:

a) $\sqrt[3]{7x+36}=4$

b) $2+\sqrt[3]{2x-3}=0$

Rút gọn biến đổi căn thức nâng cao

Leave a reply

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left( \dfrac {\sqrt {x}-1}{\sqrt {x}+1} -\dfrac {\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\right).\left( \sqrt {x} -\dfrac {1}{\sqrt {x}}\right) $ với $x> 0$, $x \ne 1$

b) $\dfrac {15\sqrt {x}-11}{x+2\sqrt {x}-3} +\dfrac{3\sqrt {x}-2}{1-\sqrt {x}}-\dfrac {3}{\sqrt {x}+3}$ với $x\ge 0$, $x\ne 1$

c) $\left( {\dfrac{\sqrt a }{\sqrt a – 1} – \dfrac{1}{a – \sqrt a }} \right):\left( {\dfrac{1}{\sqrt a + 1} + \dfrac{2}{a – 1}} \right)$ với $a>0$, $a\ne 1$

d) $\left( \dfrac{\sqrt x-\sqrt y}{1+\sqrt {xy}}+\dfrac{\sqrt x+\sqrt y}{1-\sqrt {xy}}\right) :\left( \dfrac{ x+y+2xy}{1-xy}+1\right) $ với $x\ge 0$, $y\ge 0$, $xy\ne 1$

Giải

a) $\left( \dfrac{\sqrt x – 1}{\sqrt x + 1} – \dfrac{\sqrt x + 1}{\sqrt x – 1} \right).\left( \sqrt x – \dfrac{1}{\sqrt x } \right)$

$= \dfrac{\left( \sqrt x – 1 \right)^2 – \left( \sqrt x + 1 \right)^2}{\left( \sqrt x + 1 \right)\left( \sqrt x – 1\right)}. \dfrac{x – 1}{\sqrt x } $

$ = \dfrac{ – 4\sqrt x }{x – 1}.\dfrac{x – 1}{\sqrt x } = – 4$

b)$\dfrac {15\sqrt {x}-11}{x+2\sqrt {x}-3} +\dfrac{3\sqrt {x}-2}{1-\sqrt {x}}-\dfrac {3}{\sqrt {x}+3}$

$=\dfrac {15\sqrt {x}-11}{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right) }-\dfrac{\left( 3\sqrt x-2\right) \left(\sqrt x+3\right) }{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right) }-\dfrac{3\left( \sqrt x-1\right) }{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right)}$

$=\dfrac{-3x+5\sqrt x-2}{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right) }=\dfrac{-\left( \sqrt x-1\right) \left( 3\sqrt x-2\right) }{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right)} =\dfrac{2-3\sqrt x}{\sqrt x+3}$

c) $\left( {\dfrac{\sqrt a }{\sqrt a – 1} – \dfrac{1}{a – \sqrt a }} \right):\left( {\dfrac{1}{\sqrt a + 1} + \dfrac{2}{a – 1}} \right)$

$=\dfrac{a-1}{\sqrt a\left( \sqrt a-1\right) }:\dfrac{\sqrt a-1+2}{\left( \sqrt a+1\right) \left( \sqrt a-1\right) }$

$=\dfrac{a-1 }{\sqrt a\left( \sqrt a-1\right) }.\dfrac{\left( \sqrt a+1\right) \left( \sqrt a-1\right) }{\sqrt a+1}=\dfrac{a-1}{\sqrt a}$

d) $\left( \dfrac{\sqrt x-\sqrt y}{1+\sqrt {xy}}+\dfrac{\sqrt x+\sqrt y}{1-\sqrt {xy}}\right) :\left( \dfrac{ x+y+2xy}{1-xy}+1\right) $

$=\dfrac{\left( \sqrt x-\sqrt y\right) \left( 1-\sqrt {xy}\right) +\left( \sqrt x+\sqrt y\right) \left( 1+\sqrt {xy}\right) }{\left( 1+\sqrt {xy}\right) \left( 1-\sqrt {xy}\right) }:\dfrac{ x+y+xy+1}{1-xy}$

$=\dfrac{2\sqrt x+2y\sqrt x}{1-xy}.\dfrac{1-xy}{x+y+xy+1}$

$=\dfrac{2\sqrt x\left( y+1\right) }{\left( x+1\right) \left( y+1\right) }=\dfrac{2\sqrt x}{x+1}$

Ví dụ 2: Chứng minh với mọi giá trị của $x$ để biểu thức có nghĩa thì giá trị của:

$A=\left( \dfrac{\sqrt x+1}{2\sqrt x-2}+\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{\sqrt x+3}{2\sqrt x+2}\right) .\dfrac{4x-4}{5}$

không phụ thuộc vào $x$.

Giải

$A=\left( \dfrac{\sqrt x+1}{2\sqrt x-2}+\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{\sqrt x+3}{2\sqrt x+2}\right) .\dfrac{4x-4}{5}$

$A=\dfrac{\left( \sqrt x+1\right)^2+3.2-\left( \sqrt x+3\right) \left( \sqrt x-1\right) }{2\left( \sqrt x+1\right) \left( \sqrt x-1\right) }.\dfrac{4x-4}{5}$

$A=\dfrac{9}{2\left( x-1\right) }.\dfrac{4\left( x-1\right) }{5}=\dfrac {18}{5}$

Vậy biểu thức $A$ không phụ thuộc vào $x$.

Ví dụ 3: Cho biểu thức $A=\left( 1:\dfrac{\sqrt {1+x}}{3}+\sqrt {1-x}\right) :\left( \dfrac {3}{\sqrt {1-x^2}}+1\right) $

a) Chứng minh $A=\sqrt {1-x}$.

b) Tính $x$ khi $A=\dfrac{1}{2}$.

Giải

a) $A=\left( 1:\dfrac{\sqrt {1+x}}{3}+\sqrt {1-x}\right) :\left( \dfrac {3}{\sqrt {1-x^2}}+1\right) $

$A=\left( \dfrac {3}{\sqrt {1+x}}+\sqrt {1-x}\right) :\dfrac {3+\sqrt {1-x^2}}{\sqrt {1-x^2}}$

$A=\dfrac {3+\sqrt {1-x^2}}{\sqrt {1+x}}.\dfrac {\sqrt {1-x^2}}{3+\sqrt {1-x^2}}$

$A=\dfrac {\sqrt {1-x}.\sqrt {1+x}}{\sqrt {1+x}}=\sqrt {1-x}$

Vậy $A=\sqrt {1-x}$

b) $A=\dfrac{1}{2}$

$ \Rightarrow \sqrt {1-x}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow 1-x=\dfrac {1}{4}$

$\Rightarrow x=\dfrac {3}{4}$ $(n)$

Vậy $x=\dfrac {3}{4}$

Bài tập:

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left( 2+\dfrac {a-\sqrt a}{\sqrt a-1}\right) \left( 2-\dfrac {a+\sqrt a}{\sqrt a+1}\right) $ với $a\ge 0$, $a\ne 1$

b) $\left( \dfrac {y}{\sqrt y}-\dfrac {\sqrt y}{\sqrt y+1}\right) :\dfrac {\sqrt y}{y+\sqrt y}$ với $y>0$

c) $\left( \dfrac {x\sqrt x+1}{x\sqrt x+x+\sqrt x+1}-\dfrac {\sqrt x}{x+1}\right) :\dfrac {\sqrt x-1}{x+1}$ với $x\ge 0$, $x\ne 1$

d) $\left( \dfrac {1}{\sqrt x}-\dfrac {1}{x}\right):\left( \dfrac {\sqrt x+1}{\sqrt x-2}-\dfrac {\sqrt x+2}{\sqrt x-1}\right) $ với $x>0$, $x\ne 1$, $x\ne 4$

e) $\dfrac {\sqrt x+7x+13}{x+3\sqrt x-10}+\dfrac {\sqrt x+5}{2-\sqrt x}-\dfrac {\sqrt x-4}{\sqrt x+5}$ với $x\ge 0$, $x\ne 4$

f) $\left( \dfrac {\left( 16-\sqrt a\right) \sqrt a}{a-4}+\dfrac {3+2\sqrt a}{2-\sqrt a}-\dfrac {2-3\sqrt a}{\sqrt a+2}\right) :\dfrac {1}{a+4\sqrt a+4}$ với $a\ge 0$, $a\ne 4$

Bài 2: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của $x$, $y$

$A=\dfrac {\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}-\dfrac {x\sqrt x-y\sqrt x}{x+y}.\left( \dfrac {\sqrt x}{\left( \sqrt x-\sqrt y \right)^2}-\dfrac {\sqrt y}{x-y}\right) $

Bài 3: Cho biểu thức $P=\left( \dfrac {\sqrt x+1}{\sqrt x-2}-\dfrac {2}{x-4}\right) \left( \sqrt x-1+\dfrac {\sqrt x-4}{\sqrt x}\right) $

a) Chứng minh $P=\sqrt x+3$.

b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho $P=x+3$.

Bài 4: Cho biểu thức $P=\dfrac {3x+\sqrt x}{x+\sqrt x}+\dfrac{ 3\left( x-\sqrt x+1\right) }{x\sqrt x+1}$ với $x>0$

a) Rút gọn biểu thức $P$.

b) Chứng minh $P<4$.

Bài 5: Cho biểu thức $P=\left( \dfrac {\sqrt x}{2}-\dfrac {1}{2\sqrt x}\right) \left( \dfrac {x-\sqrt x}{\sqrt x+1}-\dfrac {x+\sqrt x}{\sqrt x-1}\right) $

Rút gọn biểu thức $P$. Tìm $x$ để $P>-6$.

Rút gọn biến đổi căn thức chứa biến và các bài toán liên quan

Leave a reply

Ví dụ 1: Cho biểu thức:

$P=\left( \dfrac {2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}-\dfrac {3x+3}{x-9}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-2}{\sqrt x-3}-1\right) $

a) Rút gọn $P$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.

Giải

a) $P=\left( \dfrac {2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}-\dfrac {3x+3}{x-9}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-2}{\sqrt x-3}-1\right) $

$P=\dfrac {2\sqrt x\left( \sqrt x-3\right) +\sqrt x\left( \sqrt x+3\right) -3x-3}{\left( \sqrt x-3\right) \left( \sqrt x+3\right) }:\dfrac {2\sqrt x-2-\sqrt x+3}{\sqrt x-3}$

$P=\dfrac {-3\sqrt x-3}{\left( \sqrt x+3\right) \left( \sqrt x-3\right) }.\dfrac {\sqrt x-3}{\sqrt x+1}$

$P=\dfrac {-3}{\sqrt x+1}$

b) Ta có: $P=\dfrac {-3}{\sqrt x+1}\ge -3$, $\forall x\ge 0$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $-3$  khi $x=0$

Ví dụ 2: Cho biểu thức:

$M=\left( \dfrac {\sqrt x}{\sqrt x+2}-\dfrac {x+4}{x-4}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-1}{x-2\sqrt x}-\dfrac {1}{\sqrt x}\right) $ ($x>0$, $x\ne 4$)

a) Rút gọn $M$.

b) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $M$ nhận giá trị nguyên.

Giải

a) $M=\left( \dfrac {\sqrt x}{\sqrt x+2}-\dfrac {x+4}{x-4}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-1}{x-2\sqrt x}-\dfrac {1}{\sqrt x}\right) $

$M=\dfrac {\sqrt x\left( \sqrt x-2\right) -x-4}{\left( \sqrt x+2\right) \left( \sqrt x-2\right) }:\dfrac {2\sqrt x-1-\sqrt x+2}{\sqrt x\left( \sqrt x-2\right)} $

$M=\dfrac {-2\sqrt x-4}{\left( \sqrt x+2\right) \left( \sqrt x-2\right) }.\dfrac {\sqrt x\left( \sqrt x-2\right) }{\sqrt x+1}$

$M=\dfrac {-2\sqrt x}{\sqrt x+1}$

b) Ta có: $M=\dfrac {-2\sqrt x}{\sqrt x+1}=\dfrac {-2\left( \sqrt x+1\right) +2}{\sqrt x+1}=-2+\dfrac {2}{\sqrt x+1}$

$M$ nhận giá trị nguyên khi $\left( \sqrt x+1\right)  \in \{1;2\}$ ($x>0$, $ x\in \mathbb{Z}$)

Với  $\sqrt x+1=1 \Leftrightarrow x=0$  $(l)$

Với  $\sqrt x+1=2 \Leftrightarrow x=1$  $(n)$

Vậy với $x=1$ thì $M$ nhận giá trị nguyên là $-1$

Bài tập:

Bài 1: Cho biểu thức:

$P=\dfrac {x^2-\sqrt x}{x+\sqrt x+1}-\dfrac {2x+\sqrt x}{\sqrt x}+\dfrac {2\left( x-1\right) }{\sqrt x-1}$

Rút gọn $P$ và tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.

Bài 2: Cho biểu thức:

$A=\dfrac {15\sqrt x-11}{x+2\sqrt x-3}-\dfrac {3\sqrt x-2}{\sqrt x-1}-\dfrac {2\sqrt x+3}{\sqrt x+3}$

Rút gọn $A$ và tìm giá trị lớn nhất của $A$.

Bài 3: Cho biểu thức:

$P=\dfrac {1}{\sqrt x-1}-\dfrac {x\sqrt x-\sqrt x}{x+1}\left( \dfrac {1}{x-2\sqrt x+1}+\dfrac {1}{1-x}\right) $

a) Rút gọn biểu thức $P$. Tìm $x$ để $P=-\dfrac {2}{5}$.

b) Tìm $x$ nguyên để $\sqrt x$, $\dfrac {1}{P}$ cũng là số nguyên.

Bài 4:  Cho biểu thức:

$A=\left( \dfrac {1}{x+\sqrt x}-\dfrac {2-\sqrt x}{\sqrt x+1}\right) :\left( \dfrac {1}{x}+x-2\right) $

Rút gọn biểu thức $A$. Tìm số chính phương $x$ để $3A$ là số nguyên.

Bài 5:  Cho biểu thức:

$A=\dfrac {7}{\sqrt x+8}$ và $B=\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}+\dfrac {2\sqrt x-24}{x-9}$ với $x\ge 0$, $x\ne 9$

a) Chứng minh $B=\dfrac {\sqrt x+8}{\sqrt x+3}$.

b) Tìm $x$ để biểu thức $P=A.B$ có giá trị là số nguyên$.

Bài 6:  Cho biểu thức:

$M=\left( 2+\dfrac {x+\sqrt x}{\sqrt x+1}\right) \left( 1-2\sqrt x-x+\dfrac {1-x\sqrt x}{1-\sqrt x}\right) $

a) Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $M$ có nghĩa. Rút gọn biểu thức $M$.

b) Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $P=\dfrac {2}{M}$ nhận giá trị là số nguyên.

Bài 7: Rút gọn biểu thức:

$T=\dfrac {2\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt {ab} +2\sqrt a-\sqrt b-2}-\dfrac {2-\sqrt {ab}}{\sqrt {ab}+2\sqrt a+\sqrt b+2}$

với $a, b\ge 0$, $a\ne 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $T$ khi $a$ là số tự nhiên khác $1$.

Định nghĩa phân thức đại số – Điều kiện để phân thức có nghĩa

Leave a reply

Định nghĩa: Phân thức đại số là biểu thức có dạng $ \dfrac{A}{B} $ , trong đó $A$, $B$ là những đa thức và $B$ khác $0$. $A$ được gọi là tử, $B$ được gọi là mẫu.

Ví dụ: 

1.Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

a) $\dfrac{{{x^2} – 4}}{{9{x^2} – 16}}$
b) $\dfrac{{2x – 1}}{{{x^2} – 4x + 4}}$
c)  $\dfrac{x}{x^2-3y^2+2xy}$.

Giải

a) $\dfrac{{{x^2} – 4}}{{9{x^2} – 16}}$

Phân thức có nghĩa khi:

$9x^2-16 \neq 0$

$(3x-4)(3x+4)\neq 0$

$3x-4 \neq 0 $ và $3x+4 \neq 0$

$x \neq \dfrac{4}{3}$ và $x \neq \dfrac{-4}{3}$.
b) $\dfrac{{2x – 1}}{{{x^2} – 4x + 4}}$

Phân thức có nghĩa khi:

$x^2-4x+4 \neq 0$

$(x-2)^2\neq 0$

$x-2  \neq 0$

$x \neq 2$.

c)  $\dfrac{x}{x^2-3y^2+2xy}$.

Phân thức có nghĩa khi:

$x^2-3y^2+2xy \neq 0$

$x^2+2xy+y^2-4y^2\neq 0$

$(x+y)^2-4y^2  \neq 0$

$(x+y-2y)(x+y+2y) \neq 0$

$(x-y)(x+3y) \neq 0$

$x-y \neq 0$ và $x+3y \neq 0$

$x \neq y$ và $x \neq -3y$.

2.  Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa với mọi giá trị của biến.

a) $\dfrac{{3x – 5}}{{{{(x – 1)}^2} + 2}}$
b)  $\dfrac{4x^2-y^2}{x^2-2x+1+y^2+4x+5}$

Giải

a) $\dfrac{{3x – 5}}{{{{(x – 1)}^2} + 2}}$

Phân thức có nghĩa khi

$(x-1)^2+2 \neq 0$

Vì $(x-1)^2 \geq 0$ với mọi $x$

Nên $(x-1)^2+2 > 0$ với mọi $x$.
b)  $\dfrac{4x^2-y^2}{x^2-2x+1+y^2+4x+5}$

Phân thức có nghĩa khi

$x^2-2x+1+y^2+4x+5 \neq 0$

$(x^2-2x+1)+(y^2+4x+4)+1 \neq 0$

$(x-1)^2+(y+2)^2+1 \neq 0$

Vì $(x-1)^2 \geq 0$ với mọi $x$ và $(y+2)^2  \geq 0$ với mọi $y$

Nên $(x-1)^2+(y+2)^2+1 > 0$ với mọi $x,y$.

Bài tập

Bài 1. Tìm điều kiện của biến để phân thức có nghĩa.

a) $\dfrac{{{x^2} – 4}}{{{x^2} – 1}}$
b)  $\dfrac{{5x – 3}}{{2{x^2} – x}}$
c)  $\dfrac{{{x^2} – 5{\rm{x}} + 6}}{{{x^2} – 1}}$
d)  $\dfrac{2}{{(x + 1)(x – 3)}}$
e) $\dfrac{{2{\rm{x}} + 1}}{{{x^2} – 5{\rm{x}} + 6}}$.

Bài 2. Tìm điều kiện của biến để phân thức có nghĩa.

a) $\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}}$
b)  $\dfrac{{{x^2}y + 2x}}{{{x^2} – 2x + 1}}$
c) $\dfrac{{5x + y}}{{{x^2} + 6x + 10}}$
d) $\dfrac{{x + y}}{{{{(x + 3)}^2} + {{(y – 2)}^2}}}$.

Bài 3. Chứng minh các biểu thức sau luôn có nghĩa

a) $\dfrac{3}{{{x^2} + 1}}$
b)  $\dfrac{{5x + 1}}{{{x^2} + 2x + 4}}$
c)  $\dfrac{{{x^2} – 4}}{{ – {x^2} + 4{\rm{x}} – 5}}$
d) $\dfrac{{x + 5}}{{{x^2} + x + 7}}$.

 

Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Leave a reply

Với $A,B$ là các biểu thức tùy ý, ta có:

  • $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
  • $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$
  • $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$
  • $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$
  • $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$
  • $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$
  • $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$

Ví dụ 1. Khai triển các biểu thức sau:

a) $(x+3)^2$
b) $(2x-1)^2$
c) $(4x-6)^2$
d) $(x-2y)^2$.

Giải

a) $(x+3)^2$

$=x^2+2.x.3+3^2$

$=x^2+6x+9$
b) $(2x-1)^2$

$=(2x)^2-2.2x.1+1^2$

$=4x^2-4x+1$
c) $(4x-6)^2$

$=(4x)^2-2.4x.6+6^2$

$=16x^2-48x+36$
d) $(x-2y)^2$

$=x^2-2.x.2y+(2y)^2$

$=x^2-4xy+4y^2$.

 

Ví dụ 2. Khai triển các biểu thức sau:

a) $(x+2)^3$
b) $(2x-1)^3$
c) $(x+2y)^3$.

Giải

a) $(x+2)^3$

$=x^3+3x^2.2+3x.2^2+2^3$

$=x^3+6x^2+12x+8.$
b) $(2x-1)^3$

$=(2x)^3-3.(2x)^2.1+3.2x.1^2-1^3$

$=8x^2-12x^2+6x-1$
c) $(x+2y)^3$

$=x^3+3x^2.2y+3x.(2y)^2+(2y)^3$

$=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3$.

 

Ví dụ 3. Viết lại các biểu thức sau thành bình phương của một biểu thức:

a) $x^2+4x+4$
b) $4x^2-4x+1$
c) $4x^2-12xy+9y^2$.

Giải

a) $x^2+4x+4$

$=x^2+2.2x+2^2$

$=(x+2)^2$
b) $4x^2-4x+1$

$=(2x)^2-2.2x.1+1^2$

$=(2x-1)^2$
c) $4x^2-12xy+9y^2$

$=(2x)^-2.2x.3y+(3y)^2$

$=(2x-3y)^2$.

Ví dụ 4. Viết lại các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một biểu thức:

a) $x^3-3x^2+3x-1$
b) $x^3+6x^2+12x+8$
c) $8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3$.

Giải

a) $x^3-3x^2+3x-1$

$=x^3-3x^2.1+3x.1^2-1^3$

$=(x-1)^3$
b) $x^3+6x^2+12x+8$

$=x^3+3.x^2.2+3.x.2^2+2^3$

$=(x+2)^3$
c) $8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3$

$=(2x)^3-3.(2x)^2.y+3.2x.y^2-y^3$

$=(2x-y)^3.$

 

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$
b) $(3x+5y)(9x^2-15xy+25y^2)$
c) $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2) - (2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$.

Giải

a) $(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$

$=(x-2y)[x^2+x.2y+(2y)^2]$

$=x^3-8y^3.$

b) $(3x+5y)(9x^2-15xy+25y^2)$

$=(3x+5y)[(3x)^2-3x.5y+(5y)^2]$

$=27x^3+125y^3$
c) $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2) – (2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$

$=(2x-y)[(2x)^2+2xy+y^2] – (2x+y)[(2x)^2-2xy+y^2]$

$=8x^3-y^3-(8x^3+y^3)$

$=0$.

 

Bài tập cơ bản

Bài 1. Thực hiện các phép tính

a)$ 2x(x-3). $
b)$ (2x-5)x.$
c)$ \dfrac{1}{2}x(-2x^2+5). $
d)$ -2x^3y(2x^2-3y+5yz). $
e)$ \dfrac{2}{3}x^2y(3xy-x^2+y). $

Bài 2. Thực hiện các phép tính

a) $ x^2 \left(5x^3 - x^2 +y\right)\dfrac{2}{3}x^2y. $
b) $ (4x^3 - 5xy +2x)\left(-\dfrac{1}{2}xy\right) .$
c) $ 3x(5x^2 - 2x- 1). $
d) $ (x^2 + 2xy -3)(-xy). $
e) $ \dfrac{1}{2}x^2y\left(2x^3 - \dfrac{2}{5}xy^2 -1\right). $

Bài 3. Thực hiện các phép tính

a) $x^2(x+1)-x(x^2-3x+1)$.
b) $y(2y^2+3y-4)-y^2(y^3-4y^2-1)$.
c) $\dfrac{1}{2}x(4x^2+6x+2)-x^2(4x-1)$.
d) $-4x^2(x+2)+x^3(x^2+4)$.

Bài 4. Tính (Rút gọn nếu có thể)

a) $-4x^5(x^3-4x^2+7x-3)$
b) $-5x^2y^4(3x^2y^3-2x^3y^2-xy)$
c) $\dfrac{1}{2}x^3y(2x^4y^3-4xy-6)$
d) $-3x^5y^7\left( \dfrac{2}{3}x^4y-y^3+\dfrac{1}{2}\right) $
e $-4x^2+2x-4x(x-5)$.

Bài 5. Tính (Rút gọn nếu có thể)

a) $3x^4-4x^3+2x(-x^2+3x-5)$
b) $4x(x^2-x+1)-x(3x^2-2x-5)$
c) $ \left(3x^3y - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{5}xy\right)\cdot 6xy^3. $
d) $ x(2x^2-3) - x^2 ( 5x+1) + x^2. $
e) $ 3x(x-2) - 5x(1-x) - 8(x^2-3). $

Bài 6. Thực hiện phép nhân, rút gọn rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau.

a) $ x(x-y) + y(x+y) $ tại $ x= -6 $ và $ y =8 $.
b) $ x(x^2-y)- x^2(x+y) + y(x^2 -x) $ tại $ x = \dfrac{1}{2} $ và $ y =-100. $
c) $ x(2x- y) -2x(y-x) $ tại $ x= 5 $ và $ y = 29 $.

Bài 7. Thực hiện phép nhân, rút gọn rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau.
a) $ xy(x-2) - x(xy+ y) $ tại $ x= 4 $ và $ y = 5. $
b) $ 5x(x^2-3) + x^2 (7-5x) - 7x^2 $ tại $ x= -5 $.
c) $ x(x-y) + y(x-y) $ tại $ x= 1,5 $ và $ y =10. $

Bài 8. Tính giá trị biểu thức

a) $A=7x(x-5)+3(x-2)$ tại $x=0$
b) $B=4x^2-2x+3x(x-5)$ tại $x=-1$
c) $C=-3x^2+4x-5(x-2)$ tại $x=1$
d) $D=4x(2x-3)-5x(x-2)$ tại $x=2$.

Bài 9. Tính (rút gọn)

a) $(3x+5)(2x-7)$
b)  $(x-5)(-x^2+x-1)$
c)  $\left( \dfrac{3}{2}x-1\right) (-4x^2+2x-6)$
d) $5x-3+(x-5)(x+4)-7$.

Bài 10. Tính (rút gọn)

a) $x^2-2x+5-(x-7)(x+2)$
b) $x(x^2-5x+2)-(x+3)(x^2-2)$
c) $5x(x-3)(x-1)-4x(x^2-2x)$
d) $4x(x^2-x+3)-(x-6)(x-5)$.

Bài 11. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

a) $A=-3x(x-5)+3(x^2-4x)-3x+10$
b) $B=4x(x^2-7x+2)-4(x^3-7x^2+2x-5)$
c) $C=5x(x^2-x)-x^2(5x-5)-15$
d) $D=7(x^2-5x+3)-x(7x-35)-24$
e) $E=x^2-4x-x(x-4)-15$.

Bài 12.  Tìm $ x $ biết

a) $ 2x(x-3) - x(2x+3) = 18. $
b) $ x(5x^2 - 2) + 5x(1-x^2) = 3^4. $
c) $ (x-5)(x+2) + (x+1)(2-x) = 15. $
d) $ (2x-3)(x+5) - (x-2)(2x+1) =3. $

Bài 13. Tìm $x$ biết

a) $ 2x(x-5) - x(3+2x) = 26. $
b) $ 3x(12x-4) -9x(4x-3)= 30. $
c) $ x(5-2x) + 2x(x-1)= 15. $
d) $ (12x-5)(4x-1)+(3x-7)(1-16x) = 81. $

Bài 14. Thực hiện các phép nhân đa thức sau:

a) $(a+2b)(b-2a)$
b) $(a+b)(a^2+3ab-b^2)$
c) $(a-b)(a^2+ab+b^2)$
d) $(3x-2y)(3x-2y+1)$

Bài 15.Thực hiện các phép nhân đa thức sau:

a) $(a-2b)(a^2-2ab+4b^2)$
b) $(a+b)(b+c)(c+a)$
c) $(a+b+c)(ab+bc+ac)$.

Bài 16. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:

a) $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$
b) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
c) $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
d) $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

Bài 17. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $(a-b)^3=a^3-2a^2b+3ab^2-b^3$
b) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
c) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
d) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$.

Bài 18. Chứng minh rằng:

a) $ a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b). $
b) $ a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b). $\
\textit{Áp dụng: }Tính $ a^3 + b^3 $, biết $ a\cdot b = 6 $ và $ a+b = -5. $

Bài 19. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $ (x+2)^2. $
b) $ (2x+3)^2. $
c) $ (x+7)(x-7) $
d) $ (5x-1)(5x+1). $

Bài 20. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $ (x+2)^3. $
b) $ (2x-5)^3. $
c) $ (x+2)(x^2 -2x+4). $
d) $ (1-x)(1+x+x^2). $
e) $ (2+xy)^2. $

Bài 21. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $ (5-3x)^2. $
b) $ (5-x^2)(5+x^2). $
c) $ (5x-1)^3. $
d) $ (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2). $
e) $ (x+3)(x^2 -3x +9). $

Bài 22. Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=(3x-y)^2-(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)+(3+x)^2$ tại $x=1; y=2$
b) $B=(x-2)^3-(y-3)^2+(x-y)(x^2+xy+y^2)-(x+y)^3$ tại $x=1; y=\dfrac{1}{2}$
c) $C=(3x+1)^3-(y-2)^2+(y-1)^3-(x+y)^2$ tại $x=\dfrac{1}{3}; y=-3$
d) $D=(2x+1)(4x^2-2x+1)-(2x-1)^3-(x-3y)^2$ tại $x=-\dfrac{1}{2}; y=\dfrac{1}{3}$.

Bài 23. Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $E=(5x-2y)^2-(x+3y)^3+(2x+y)^2-(x-2y)^3$ tại $x=\dfrac{1}{5};y=-\dfrac{1}{3}$
b) $F=(2x+3)(4x^2-6x+9)-(2x-1)^3+(x+5)^2$ tại $x=-3$
c) $G=(3x+2y)^3-3x(3x-2)^2+2(x-y)(2x+y)$ tại $x=\dfrac{1}{2}; y=-\dfrac{1}{3}$.

Bài 24. Cho các số $a,b$ thỏa $a+b=1, ab = - 2$. Tính

a) $P = a^2+b^2$
b) $Q = a^3+b^3$.

Bài 25. Tính giá trị của các biểu thức sau biết $x + y = 2$.

a) $A = x^2 + y^2 - x^2y - xy^2+4xy - 5 $.
b) $B = x^3 + y^3 +6xy - 3x - 3y +1$.
c) $C = x^2 - y^2 + 4y + 1$.

Bài 26. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $ x $:

a) $ (2x+3)(4x^2 -6x +9) -2(4x^3 -3). $
b) $ (4x-1)^3 -(4x-3)(16x^2 +3). $

Bài 27. Tìm x, biết:

a) $ (2x+1)^2 - (3-2x)^2 +4=0. $
b) $ (x-1)^3 +(2-x)(4+3x+x^2) +3x(x+2)=17. $
c) $ (x+2)(x^2-2x+4) -x(x^2-2) =15. $

Bài 28. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương

a) $x^2-2x+2+4y^2+4y$
b) $4x^2+y^2+12x+4y+13$
c) $5x^2+y^2+z^2+4xy-2xz$
d) $x^2+4y^2+4x-4y+5$.

Bài 29. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương

a) $a^2-4ab+5b^2-4bc+4c^2$
b) $4x^2+9y^2-4x+6y+2$
c) $4y^2+12y+25+8x+x^2$
d) $x^2+20+9y^2+8x-12y$
e) $4y^2-12x+12y+9x^2+13$.

Bài 30. Tìm $ x $, biết:

a) $ (2x+1)^2 -(3-2x)^2 +4 =0. $
b) $ (x-1)^3 +(2-x)(4+2x+x^2) +3x(x+2)=17. $
c) $ (x+2)(x^2 -2x+4) -x(x^2-2)=15. $

Bài 31. Tìm $x$  và  $y$, biết:

a) $x^2-2x+5+y^2-4y=0$
b) $4x^2+4x-6y+9y^2+2=0$
c) $ x^2+y^2+2x-6y +10 =0 $
d) $ 4x^2 +y^2 -4x +10y +26 =0 $.

Bài 32. Tìm $x$  và  $y$, biết:

a) $9x^2+12x+4y^2+8y+8=0$
b) $y^2+2y+5-12x+9x^2=0$
c) $16x^2+5+8x-4y-y^2=0$
d) $4y^2-12x+12y+9x^2+13=0$.

Bài 33. Tìm $x$  và  $y$, biết:

a) $4x^2+25-12x-8y+y^2=0$
b) $4y^2+12y+25+8x+x^2=0$
c) $x^2+20+9y^2+8x-12y=0$.

Bài 34. Chứng tỏ rằng:

a) $ x^2 -6x +10> 0 $ với mọi $ x $.
b) $ 4x-x^2 -5 < 0 $ với mọi $ x $.

Bài 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) $ M= x^2 + 4x +5. $
b) $ N = 9x^2 - 6x+6. $
c) $ P = x^2 -2x +5. $
d) $ Q = 2x^2 -6x. $

Bài 36. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) $ K = x^2 +y^2 -x +6y +10. $
b) $ A= x^2 - 6x+11. $
c) $ B = x^2 -20x +101. $
d) $ C = x^2 -2x + y^2 + 4y +8. $

Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) $ A= 5-2x-x^2. $
b) $ B= 5 + 6x-9x^2. $
c) $ C= 4x -x^2 +3. $
d) $ D = x-x^2. $

Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) $ E = 2x - 2x^2 -5. $
b) $ G = 5x-x^2. $
c) $ H = -x^2 + 6x -11. $
d) $ K = 5-8x -x^2 $.

 

 

 

 

Hoán vị

Leave a reply

1.Định nghĩa

Cho tập hợp A có $n (n \ge 1)$ phần tử. Khi sắp xếp $n$ phần tử này theo một thứ tự ta được một \textbf{hoán vị } các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A).

Ví dụ 1. Các hoán vị của tập $A = {1, 2, 3}$ là $(1, 2, 3),(1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)$.

2.Tính chất

Số các hoán vị của một tập gồm $n$ phần tử là $P_n=n!=n(n-1)(n-2)…2.1$
Quy ước: $0!=1$

Ví dụ 2. Có 6 con tem khác nhau cần dán vào 6 bì thư khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách dán?

Lời giải. Mỗi cách dán 6 con tem và 6 bì thư là một hoán vị của 6 phần tử, do đó số cách dán là số hoán vị của 6 phần tử: $P_6 = 6! = 720$ cách.

Ví dụ 3. Có 5 sách văn và 7 sách toán xếp thành một hàng. Có bao nhiêu cách xếp thỏa:

a. Xếp bất kì.

b. Các sách văn kế nhau, các sách toán kề nhau.

Lời giải.

a. Có 7 + 5 = 12 cuốn sách. Mỗi cách xếp là một hoán vị của 12 phần tử nên số cách xếp là số hoán vị của 12 phần tử. Do đó có $12!$ cách.

b. 7 sách toán xếp kề nhau có $7!$ cách.

5 sách văn kề nhau có $5!$ cách.

Xếp bộ sách toán và bộ sách văn có 2 cách.

Do đó số cách xếp thỏa đề bài là $2.7!5!$ cách.

Bài tập. 

  1. Có 4 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lý và 6 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách này lên kệ dài sao cho:
    a. Các quyển sách được xếp tùy ý?
    b. Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau?
  2.  Xếp 5 nam và 5 nữ vào hai dãy ghế, mỗi dãy có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp biết:
    a. Xếp tùy ý.
    b. Nam 1 dãy và nữ 1 dãy
  3.  Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiều số
    a. Có 5 chữ số khác nhau.
    b. Có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.

Phép chia đa thức cho đơn thức

Leave a reply
  1. Chia đơn thức cho đơn thức

Quy tắc

Muốn chia đơn thức $A$ cho đơn thức $B$ (trường hợp $A$  chia hết cho $B$) ta làm như sau:

  • Chia hệ số của đơn thức $A$ cho hệ số của đơn thức $B$.
  • Chia lũy thừa của từng biến trong $A$ cho lũy thừa của cùng biến đó trong $B$.
  • Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Ví dụ. Thực hiện phép chia

a) $ 8x^2 : 4x $
b)  $ 5x^4 : 2x^2. $
c)  $ (-8x^2 ): 4x. $
d) $ xy^3z^4 : (-3xyz). $

Giải

a) $ 8x^2 : 4x=\dfrac{8}{4}\cdot \dfrac{x^2}{x}=2x^{2-1}=2x. $
b)  $ 5x^4 : 2x^2=\dfrac{5}{2}\cdot \dfrac{x^4}{x^2}=\dfrac{5}{2}x^{4-2}=\dfrac{5}{2}x^2. $
c)  $ 3xy^3z^4 : (-3xyz)=\dfrac{3}{-3}\cdot \dfrac{x}{x}\cdot \dfrac{y^3}{y}\cdot \dfrac{z^4}{z}=-y^2z^3. $

2. Chia đa thức cho đơn thức

Quy tắc

Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$ (trường hợp các hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$), ta chia mỗi hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết qủa với nhau.

Ví dụ. Thực hiện phép tính.
a) $ (-2x^5 +3x^2 – 4x^3) :2x^2. $
b)  $ (x^3 -2x^2y + 3xy^2): \left(-\dfrac{1}{2}x\right) $
c)  $ (3x^2y^2 +6x^2y^3 -12xy) : 3xy. $

Giải

a) $ (-2x^5 +3x^2 – 4x^3) :2x^2$

$=\dfrac{-2x^5}{2x^2}+\dfrac{3x^2}{2x^2} +\dfrac{- 4x^3}{2x^2}$

$=-x^3+\dfrac{3}{2}-2x.$
b)  $ (x^3 -2x^2y + 3xy^2): \left(-\dfrac{1}{2}x\right)$

$=\dfrac{x^3}{-\dfrac{1}{2}x}+\dfrac{-2x^2y}{-\dfrac{1}{2}x} +\dfrac{3xy^2}{-\dfrac{1}{2}x}$

$=-2x^2+4x^3y-6y^2 $
c)  $ (3x^2y^2 +6x^2y^3 -12xy) : 3xy$

$=\dfrac{3x^2y^2}{3xy}+\dfrac{6x^2y^3}{3xy} +\dfrac{-12xy}{3xy}$

$=xy+2xy^2-4. $

3. Bài tập

Bài 1. Thực hiện phép chia

a) $ \dfrac{2}{3}x^3y^4 : \left(-\dfrac{4}{9}x^2y^3\right) .$
b) $ x^2yz:xyz. $
c) $ x^3y^4 : x^3y. $
d) $ \left(\dfrac{5}{7}x^2y\right)^3 : \left(\dfrac{1}{7}xy\right)^3 $.

Bài 2. Thực hiện phép chia

a) $ 5x^2y^4: 10x^2y. $
b) $ \dfrac{3}{4}x^3y^3 : \left(-\dfrac{1}{2}x^2y^2\right) $
c) $ (-xy)^{10} : (-xy)^5. $
d) $ 15x^4y^3z^3 : 5xy^2z^2. $

Bài 3. Thực hiện phép chia

a) $(4x^4 +2x^3 – 2x^2 + 6x) : 2x$
b) $(12x^4 + 6x^3 – 24x) : 6x$
c) $(2x^3 – 2x^2 + 3x) : 4x$
d) $(2x^2y + 3xy^2 + 4xy) : xy$.

Bài 4. Thực hiện phép chia

a) $(4x^4y^2-5x^2y^3 + x^2y^2) : x^2y$
b)  $ (18x^7 +12x^5 – 24x^3): 6x^3. $
c)  $ (15x^3y^5 – 8x^2y^2 – 5x^4y^4) : 5x^2y. $
d) $ (20x^5 – 15x^3 +10x^2): 5x^2 $.