Category Archives: Góc với đường tròn

Các loại góc trong đường tròn.

3 Replies

Định nghĩa. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Định nghĩa. Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó. Số đo cung lớn bằng $360^\circ$ trừ số đo cung nhỏ.

Tính chất. 

  1. Số đo đường tròn bằng $360^\circ$. Số đo nửa cung tròn bằng $180^\circ$.
  2. Nếu $C$ là một điểm thuộc cung AB thì $\text{sđ} \text{cung} AB = \text{sđ} \text{cung} AC + \text{sđ} \text{cung} CB$.

Định nghĩa. So sánh hai cung.

  1. Hai cung được gọi là bằng nhau nếu có số đo bằng nhau.
  2. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn.

Định nghĩa.  Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Định nghĩa. Trong đường tròn (O) cho dây cung $AB$. Tiếp tuyến tại $A$ là $xy$. Khi đó góc $\angle xAB$ được gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến $Ax$ và dây cung $AB$. Tương tự góc $\angle yAB$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến $Ay$ và dây cung $AB$.

Tính chất. Tính chất góc nội tiếp.

  1. Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
  2. Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó.
  3. Số đo hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
  4. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
  5. Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn và bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó.

Ta có: $\angle AOB = 2\angle ACB$ và $\angle ADB = \angle ACB = \angle BAx$

Ví dụ 1. Tính $x$ trong các hình sau.

Gợi ý

a. Ta có $\angle AOB = 360^\circ – 250^\circ = 110^\circ$.

$\angle ACB$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$ nên

  • $\angle ACB = \dfrac{1}{2} \angle AOB $
  • $x^\circ = 55^\circ$.

b. Do $AB||CD$ nên $\angle BAC = \angle ACD = 36^\circ$.

$\angle BDC$ và $BAC$ là hai góc nội tiếp chắn cung $BC$ nên $\angle BDC = \angle BAC = 36^\circ$.

Ví dụ 2. Tính $x$ trong hình vẽ.

Gợi ý

Ta có $\angle BAC$ là góc nội tiếp chắn cung $BC$ và $\angle BCT$ là góc giữa tia tiếp tuyến $CT$ và dây cung $BC$ nên $\angle BAC = \angle BCT = 40^\circ$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$, suy ra $x^\circ = \dfrac{180^\circ – \angle BAC}{2} = 70^\circ$.

Bài tập.

  1. Tính các góc có trong hình vẽ. 
  2. Tính các góc trong hình vẽ. 
  3. Chứng minh $\alpha + \beta = 90$ 

Một bài tứ giác nội tiếp khó

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$. Đường tròn đi qua hai đỉnh $B, C$ và cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $CD$ và $BE$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$ và $Q$ lá điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh 4 điểm $A, C, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

Gọi $F$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMD$ và $AM$. Khi đó ta có $AM.AF = AD.AB = AE.AC$, suy ra $M$ thuộc đường tròn ngoại tiếp của tam giác $MCE$.

Ta có $\angle MFB = \angle ADM = \angle AEM = \angle AFC$ và $\angle FMB = \angle AME = \angle ACF$, suy ra $\Delta FBM \backsim \Delta FAC \Rightarrow \dfrac{BF}{AF} = \dfrac{BM}{AC}$.

Mà $BF = CQ$, suy ra $\dfrac{BF}{AF} = \dfrac{CQ}{AC} \Rightarrow \dfrac{BF}{CQ} = \dfrac{AF}{AC}$.

Xét tam giác $ABF$ và $ACQ$ có $\angle AFB = \angle ACQ$ (cùng bù với $\angle BDC$) và $\dfrac{BF}{CQ} = \dfrac{AF}{AC}$ nên $\Delta ABF \backsim \Delta ACQ$. Suy ra $\angle AQC = \angle ABF$.

Mặt khác $ABF = \angle CMF = 180^\circ – \angle AMC = 180^\circ – \angle APC$.

Nên $AQC = 180^\circ – \angle APC \Rightarrow \angle AQC + \angle APC = 180^\circ$, do đó tứ giác $APCQ$ là tứ giác nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Điểm Migel của tam giác vuông

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$.Vẽ đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ tại $D$ và $E$ và cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. $AP$ cắt $BC$ tại điểm $K$.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$.Vẽ đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ tại $D$ và $E$ và cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. $AP$ cắt $BC$ tại điểm $K$.

a. Chứng minh các tứ giác $KPEC, KPDB$ nội tiếp.

b. Chứng minh $K, D, E$ thẳng hàng.

Gợi ý

a. Tứ giác $AHDP$ nội tiếp nên $\angle KPD = \angle AHD$.

Tứ giác $AHDP$ nội tiếp nên $\angle KPD = \angle AHD$.

Mà $\angle ABH = \angle AHD$, suy ra $\angle KPD = \angle ABH$, do đó tứ giác $KPDB$ nội tiếp.

Ta có $\angle APE = \angle AHE$ (APHE nội tiếp) và $\angle AHE = \angle ACB$ nên $\angle APE = \angle ACB$, do đó tứ giác $KPEC$ nội tiếp.

b. Ta có $\angle ADE = \angle AHE = \angle AHC$.(1)

Tứ giác $KPDB$ nội tiếp, suy ra $\angle KDB = \angle KPB$, mà $\angle KPB = \angle ACB$ (APBC nội tiếp) nên $\angle KDB = \angle ACB$.(2)

Từ (1) và (2), suy ra $\angle KDB = \angle ADE$. Khi đó $\angle KDB + \angle BDE = \angle ADE + \angle BDE = 180^\circ$. Vậy $K, D, E$ thẳng hàng.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Hai đường đẳng giác và tứ giác nội tiếp.

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho $\angle BAD = \angle CAE$. Gọi $M, N$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AD, AE$; $P, Q$ là hình chiếu vuông góc của C trên $AD, AE$. Chứng minh 4 điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm $BC$.

Gợi ý

Ta có tứ giác $ABMN$ nội tiếp, suy ra $\angle AMN = \angle ABN = 90^\circ – \angle BAE$.(1)

Tứ giác $ACPQ$ nội tiếp, suy ra $\angle APQ = \angle ACP = 90^\circ – \angle CAD$.(2)

Ta lại có $\angle DAB = \angle CAE $ nên $\angle BAE = \angle CAD$.(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\angle AMN = \angle APQ$, suy ra tứ giác $MNPQ$ nội tiếp.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, ta có $BM||CP$ nên đường thẳng $d$ qua $I$ song song với $BM$ đi qua trung điểm của $MP$ mà $BM \bot MP$ nên đường thẳng $d$ là trung trực của $MP$. Vậy $IM = IP$.

Tương tự ta cũng có $IN  = IQ$.

Hơn nữa tứ giác $MNPQ$ là tứ giác nội tiếp khác hình thang nên $I$ chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Trung trực BC giao phân giác góc A thuộc đường tròn ngoại tiếp.

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ với $AB < AC$. Phân giác trong góc $A$ và trung trực đoạn $BC$ cắt nhau tại $D$. Chứng minh rằng $ABDC$ là tứ giác nội tiếp.

Gợi ý

Ta có $D$ và $A$ nằm khác phía đối với đường thẳng $BC$.

Ta có $D$ và $A$ nằm khác phía đối với đường thẳng $BC$.

Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AB, AC$.

$\Delta ADE = \Delta AED$ nên ta có $AE = AF, DE = DF$.

Suy ra $\Delta DBF = \Delta DCF \Rightarrow BE = CF$.

Nếu $E, F$ cùng nằm trong hoặc cùng nằm ngoài đoạn $AB, AC$ thì $AB = AC$ (vô lý), do đó $E$ nằm ngoài đoạn $AB$ và $F$ nằm trong đoạn $AC$ (do $AB < AC$).

Khi đó $\angle ACD = \angle EBD$, suy ra tứ giác $ABDC$ nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong.)

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Leave a reply

Đề bài. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $O$ với $\angle A > 90^\circ$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB$ cắt $CD$ tại $E$; đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $CB$ tại $F$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $EF$. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $O$ với $\angle A > 90^\circ$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB$ cắt $CD$ tại $E$; đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $CB$ tại $F$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $EF$.

a. Chứng minh rằng 4 điểm $E,F , C, P$ cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh $P$ thuộc $(O)$ và $E, O, F$ thẳng hàng. \end{enumerate}

Gợi ý

a. Ta có $\angle DAB + \angle EAF = \angle DAB + \angle BAF + \angle EAF = \angle DAB + \angle BAE = 180^\circ$.

Ta có $\angle DAB + \angle EAF = \angle DAB + \angle BAF + \angle EAF = \angle DAB + \angle BAE = 180^\circ$.

Ta có $\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$, suy ra $\angle EAF = \angle BCD$.

Mặt khác $\angle EAF = \angle EPF$ (t/c đối xứng), do đó $\angle EPF = \angle BCD$, suy ra tứ giác $EFCP$ nội tiếp.

 

b. Do tứ giác $EFCP$ nội tiếp nên $\angle DCP = \angle EFP$. (1)

Ta có $\angle EFP = \angle EFE = 90^\circ – \angle FAE = \angle DAP$.(2)

Từ (1)  và (2), suy ra $\angle DAP = \angle DCP$, suy ra $ADPC$ nội tiếp, do đó $P \in (O)$ mà $EF$ là trung trực của $AP$ nên $O$ thuộc $EF$, hay $E, O, F$ thẳng hàng.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Đường thẳng vuông góc với bán kính cắt hai cạnh tạo thành tứ giác nội tiếp.

Leave a reply

Đề bài.  Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn (O), vẽ đường kính $AD$. Đường thẳng $d$ vuông góc với $AD$ cắt $CD, BD$ tại $E$ và $F$. Chứng minh 4 điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

Gọi $H$ là giao điểm của $d$ và $AD$.

Gọi $H$ là giao điểm của $d$ và $AD$.

Ta có $\angle ACD = 90^\circ = \angle AHE$, suy ra $AHCE$ nội tiếp, suy ra $\angle DAC = \angle DEF$.

Mà $\angle DBC = \angle DAC$

Nên $\angle DBC = \angle DEF$, suy ra tứ giác $BCEF$ nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp cùng thuộc đường tròn.

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\angle A = 60^\circ$. Gọi $H$, $I$ lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Chứng minh 5 điểm $B, C, H, I, O$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

Ta có $\angle BHC = 180^\circ – \angle BAC = 120^\circ$.(1)

Ta có $\angle BHC = 180^\circ – \angle BAC = 120^\circ$.(1)

Và $\angle BOC = 2 \angle BAC = 120^\circ$.(2)

$\angle BIC = 180^\circ – \angle IBC – \angle ICB = 180^\circ – \dfrac{180^\circ – \angle BAC}{2} = 120^\circ$. (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có $\angle BHC = \angle BOC = \angle BIC = 120^\circ$ nên 5 điểm B, C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp – Hình chữ nhật

Leave a reply

Đề bài. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CD. AM cắt BN tại E, BN cắt DM tại F và DM cắt AN tại G. Chứng minh rằng tứ giác AEPF nội tiếp.

Gợi ý

Gọi $K$ là giao điểm của AN và đường thẳng BC.

Gọi $K$ là giao điểm của AN và đường thẳng BC.

Ta có $\Delta NBC = \Delta NAD$, suy ra $\angle NBC = \angle NAD$, mà $\angle NAD = \angle NKC$ nên $\angle NBC = \angle NKC$.

Ta có $\Delta AMB = \Delta DMC$, suy ra $\angle AMB = \angle DMC$.

Tam giác $MBE$ và $MGC$ có $\angle AMB = \angle DMK, \angle NBC = \angle NKC$ nên $\angle MEB = \angle MGK$, suy ra tứ giác $AEFG$ nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Một bài tứ giác nội tiếp – Biến đổi góc

Leave a reply

Đề bài. Hình bình hành $ABCD$ có góc tù $B$, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Dựng $DE$ vuông góc $AC, DF$ vuông góc $AB, DG$ vuông góc $BC$. Chứng minh 4 điểm $O, E, G, F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý
  1. Ta có tứ giác $DEGC$ nội tiếp, suy ra $\angle CEG = \angle CDG$. (1)
  2. Tứ giác $DFBG$ nội tiếp, suy ra $\angle BFG = \angle BDG$. (2)
  3. Tam giác $FBD$ vuông tại F có $FO$ là trung tuyến nên $FO = OD$, suy ra $\angle OFD = \angle ODF$. (3)
  4. Từ (2) và (3), suy ra $\angle OFG = 90^\circ – \angle BFG – \angle OFD = 90^\circ – \angle BDG – \angle ODF = \angle CDG$ (4)
  5. Từ (1) và (4) ta có $\angle OFG = \angle CEG$, suy ra tứ $OEGC$ nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp