Category Archives: Uncategorized

Đường đi qua điểm cố định

1 Reply

Những bài toán hình học liên qua đến yếu tố thay đổi thường gây rất nhiều khó khăn cho các em học sinh. Để giải các bài toán dạng này, các em cần phải có những kiến thức rộng và tư duy hình học tốt. Trong bài viết nhỏ này, tôi trình bày một vài kinh nghiệm giải các bài toán “Đường qua điểm cố định” thông qua lời giải của một vài bài toán quen thuộc.

Đầu tiên, đường ở đây chỉ có thể là đường thẳng hoặc đường tròn. Các bước thực hiện bài toán là:

  • Tìm được điểm cố định.
  • Chứng minh đường qua điểm cố định đó.

Vậy làm sao để tìm được điểm cố định? Đây là một việc khó, tất nhiên không phải ai cũng nhận ra được điểm cố định ngay, mà phải dự đoán, mà dự đoán bằng kinh nghiệm và thực hành.

  • Ta có thể sử dụng những kiến thức hình học đã biết, những định lý đã biết để dự đoán.
  • Vẽ nhiều hình. Ví dụ ta cần chứng minh đường $H$ qua điểm cố định, ta vẽ được hai hình $H_1$ và $H_2$ thì giao của $H_1, H_2$ là điểm cố định.
  • Đến lúc này, ta phải nhận biết được tính chất đặc biệt của điểm cố định đó, có thể bằng trực giác để thấy ngay, đôi khi nếu ta vẽ hình có lệch chút đỉnh, thì sử dụng cảm giác hình học để tìm ra tính chất đặc biệt. Mặt khác ta có thể nối điểm cố định mà ta phát hiện với các điểm cố định có trên hình để tìm tính chất.
  • Một số tính chất hay gặp: Điểm đặc biệt của tam giác như trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, chân đường cao; Trung điểm đoạn thẳng (thường gặp), điểm $M$ thuộc tia $Ax$ mà $AM$ có độ dài không đổi,….
  • Một chú ý là vai trò của các điểm cố định có trên hình, nếu vai trò $B, C$ như nhau, thì điểm cố định cũng có tính đối xứng đối với $BC$ như: trung điểm $BC$, tạo với $B, C$ tam giác đều, vuông cân…

Sau khi đã xác định chắc chắn điểm cố định, ta đi chứng minh đường đi qua điểm cố định đó. Việc chứng minh này tùy thuộc vào tính chất điểm cố định.

  • Nếu là đường thẳng qua điểm cố định ta quy về việc chứng minh thẳng hàng mà các chuyên đề chứng minh thẳng hàng đã trình bày.
  • Nếu chứng minh đường tròn qua điểm cố định, ta quy về việc chứng minh tứ giác nội tiếp mà chuyên đề tứ giác nội tiếp đã trình bày.
  • Cho đường thẳng hoặc đường tròn cắt một đường cố định chứa điểm đó, sau đó chứng minh tính chất của điểm cố định.

Ví dụ 1. (PTNK 2007) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ là điểm thay đổi trên cung $BC$ không chứa $A$. Gọi $H, K$ là hình chiếu của $A$ trên $PB, PC$. Chứng minh rằng $HK$ luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn

Đầu tiên khi $P$ thay đổi thì đường thẳng $HK$ cũng thay đổi, tất nhiên ta chưa biết ngay rằng $HK$ đi qua điểm cố định nào. Vậy ta phải dự đoán được điểm cố định trước bằng cách cho $P$ ở một vị trí khác, ta sẽ được đường $H’K’$. Khi đó $HK$ và $H’K’$ sẽ cắt nhau tại một điểm $T$ nào đó, vậy $T$ là điểm gì? Trong hình, có các điểm $A, B, C$ cố định, ta tìm mối liên hệ của $T$ và $A, B, C$ trước. Đến đây bằng trực giác hình học, ta có thể dự đoán rằng $T$ thuộc $BC$ và $AT \bot BC$, việc dự đoán này là chủ quan dựa trên trực giác và cảm giác về mặt hình học. Nếu muốn chắc chắn, chỉ có thể là chứng minh một cách chính xác và cụ thể.

Vậy khi đã đoán được điểm cố định ta phải làm gì? Ta có nhiều cách để giải quyết bài toán: có thể gọi $T$ là giao điểm của $HK$ và $BC$, sau đó chứng minh $AT \bot BC$ hoặc dựng $AT \bot BC$, chứng minh $H, K, T$ thẳng hàng.

Trên đây là một ví dụ về cách suy nghĩ khi ta cần giải quyết một bài toán kiểu thế này, tất nhiên, nhiều bạn giỏi và nhanh nhẹn hơn có thể nhận ra $HK$ là đường thẳng Simson của $A$ đối với tam giác $PBC$, có thể giải quyết ngay bài toán.

Gọi $T$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Ta chứng minh $H, K, T$ thẳng hàng.

  • Ta có các tứ giác $ATBH, ATKC, ABPC$ nội tiếp. Suy ra $\angle ATH = \angle ABH = \angle ACK = 180^\circ – \angle ATK$.
  • Suy ra $\angle ATH + \angle ATK = 180^\circ$.
  • Do đó $H, T, K$ thẳng hàng.
  • Vậy $KH$ qua điểm $T$ cố định.

Ví dụ 2. Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $d$ nằm ngoài $O$. $A$ là một điểm thay đổi trên $d$. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $(O)$. Chứng minh $BC$ luôn đi qua một điểm cố định. 

Hướng dẫn

Tương tự cách làm như ví dụ 1, ta cũng phát hiện được điểm cố định thuộc $BC$ là điểm $T$. Tuy vậy đối với bài toán này, điểm $T$ có vẻ hơi lưng chừng khó dự đó nó là điểm có đặc trưng gì.

Vì thế sau khi đã tìm được điểm $T$, ta thử nối $T$ với các yếu tố cố định có trên hình, và chắc chắn nó sẽ có quan hệ với $O$, đường thẳng $d$ và đường tròn $(O)$.

Sau khi nối lại ta sẽ thấy được, có vẻ $OT \bot d$, vậy $T$ thuộc một tia cố định. Việc còn lại chỉ cần chứng minh $OT$ có độ dài không đổi nữa là $T$ sẽ cố định.

  • Gọi $T$ là giao điểm của $BC$ và đường thẳng qua $O$ vuông góc $d$ và $E$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.
  • Ta có $OH.OT = OE.OA = OB^2=R^2$ không đổi. Suy ra $OT = \dfrac{R^2}{OH}$.
  • $OH$ cố định, suy ra $T$ cố định. Vậy $BC$ đi qua điểm cố định.

Ví dụ 3. Cho đường tròn tâm $O$ và dây cung $BC$ cố định. $A$ thay đổi trên cung lớn $BC$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$, $E$ là điểm đối xứng của $B$ qua $AC$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADC$ và $ABE$ cắt nhau tại điểm thứ hai $P$. Chứng minh rằng $AP$ luôn đi qua một điểm cố định.

Gợi ý

Đây là một bài toán khá dễ toán điểm cố định, đó chính là tâm $O$. Ta chứng minh $A, O, P$ thẳng hàng.

  • Ta có $\angle ADB = \angle ACB$ (t\c đối xứng). Và $\angle ADP = \angle ACE = \angle ACB$. Suy ra $\angle ADB = \angle ADP$, do đó $D, B, P$ thẳng hàng.
  • Chứng minh tương tự ta có $P, C, E$ thẳng hàng.
  • Khi đó $\angle BPC = 180^\circ – \angle CAD = 180^\circ  – 2\angle A = 180^\circ – \angle BOC$. Suy ra $PBOC$ nội tiếp. Mà $OB = OC$ nên $PO$ là phân giác góc $\angle PBC$. (1)
  • Mặt khác $\angle BPA = \angle ACD = \angle ABE = \angle APC$. Suy ra $PA$ cũng là phân giác của $\angle BPC$. (2)
  • Từ (1) và (2) ta có $A, O, P$ thẳng hàng, hay $AP$ luôn đi qua điểm $O$ cố định.

Trên đây là một số bài toán chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định. Tiếp theo chúng ta xem xét một vài ví dụ chứng minh đường tròn đi qua điểm cố định.

Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên các cạnh $AB, AC$ lấy các điểm thay đổi $D, E$ sao cho $BD = CE$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ đi qua một điểm cố định khác $A$.

Gợi ý

Đây là một bài toán khá nhẹ nhàng, nếu cho $D, E$ thay đổi ta có thể nhận thấy ngoài $A$ thì điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ còn đi qua một điểm nữa, có vẻ gần gần điểm chính giữa cung $BC$. Một chú ý là vai trò $B, C$ như nhau nên điểm cố định đó đối với $B, C$ phải là như nhau. Từ đó ta có thể “mạnh dạn” khẳng định, điểm cố định đó chính là điểm chính giữa cung $BC$. Từ đó đi đến chứng minh.

  • Gọi $F$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$.
  • Ta có $FB = FC$, $\angle DBF = \angle ECF$ và $BD = CE$, suy ra $\triangle DBF = \angle ECF$ (c.g.c).
  • Do đó $\angle BDF = \angle CEF$, suy ra $\angle ADF = \angle AEF$, suy ra tứ giác $ADEF$ nội tiếp hay $(ADE)$ qua điểm $F$ cố định.

Chú ý: $(ADE)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$.

Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các điểm $M, N$ lần lượt thay đổi trên $AB, AC$ sao cho độ dài hình chiếu của $MN$ trên đường thẳng $BC$ bằng nửa độ dài cạnh $BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ luôn đi qua một điểm cố định khác $A$.

Hướng dẫn

Khi vẽ hình ta sẽ thấy điểm cố định nằm trong tam giác $ABC$, do $B, C$ là vai trò như nhau, ta có thể đoán điểm này là điểm đặc biệt trong tam giác: trực tâm, trọng tâm, hay tâm đường tròn ngoại tiếp.

  • Gọi $F, G$ là trung điểm của $AB, AC$, D, E là hính chiếu của $M, N$ trên $BC$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
  • Đường thẳng qua $O$ song song $BC$ cắt $MD, NE$ tại $P, Q$.
  • Ta có $DE = PQ = FG = \dfrac{1}{2}BC$. Suy ra $FGQP$ là hình bình hành.
  • Các tứ giác $OMFP, OGNQ$ nội tiếp. Suy ra $\angle ONG = \angle OQG = 180^o – \angle OPF = \angle OMF$.
  • Do đó $AMOG$ nội tiếp. Vậy $(AMN)$ đi qua điểm $O$ cố định.

Trên đây là một số ví dụ về các bài toán chứng minh đường đi qua điểm cố định, hy vọng qua các bài toán này các bạn nắm được các bước giải và không ngại khó khi gặp những bài toán dạng này. Sau đây là một số bài tập rèn luyện thêm.

Bài tập

  1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, trên các tia $BA, CA$ lấy các điểm $D, E$ thay đổi sao cho $BD = CE$. Chứng minh rằng đường trung trực $DE$ luôn đi qua một điểm cố định.
  2. Cho nửa đường tròn đường kính $AB$. $D$ thay đổi trên nửa đường tròn, trên tia $AD$ lấy điểm $D$ sao cho $AE = BD$. Chứng minh rằng đường trung trực của $DE$ đi qua một điểm cố định.
  3. Cho tam giác $ABC$, trong đó $BC$ cố định và $A$ thay đổi. Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác vuông cân tại $A$ là $ABD$ và $ACE$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $A$ vuông góc với $DE$ luôn đi qua một điểm cố định.
  4. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Về phía ngoài tam giác dựng các hình chữ nhật thay đổi $ABDE$ và $ACFG$ sao cho chúng có diện tích bằng nhau.  Gọi $M$ là trung điểm của $EG$, chứng minh rằng đường thẳng $AM$ luôn đi qua một điểm cố định.
  5. Cho tam giác $ABC$ có $BC$ cố định và $A$ thay đổi. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC, AB, AC$ tại $D, E, F$. $DI$ cắt $EF$ tại $K$. Chứng minh rằng $AK$ luôn đi qua một điểm cố định.
  6. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$,  các điểm $D, E$ thay đổi trên các cạnh $AB, AC$ sao cho $AD = CE$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ luôn đi qua một điểm cố định.
  7. Cho tam giác $ABC$ có $BC$ cố định $A$ thay đổi. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $BC, AC, AB$ tại $D, E, F$. $BI, CI$ cắt $EF$ lần lượt tại $M, N$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ luôn đi qua một điểm cố định.
  8. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $D, E$ thay đổi trên cạnh $BC$ sao cho $\angle BAD = \angle CAE$ ($D$ nằm giữa $B, E$). Gọi $K$ là hình chiếu của $B$ trên $AD$, $L$ là hình chiếu của $C$ trên $AE$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $MKL$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

Phép vị tự (Phần 2)

1 Reply

Xem phần 1 tại [Phần 1]

Ví dụ 4.  Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I); đường tròn (I) tiếp xúc với $BC, AB, AC$ tại $D, E, F$. Vẽ $OH \bot EF$ và đường kính $AM$ của $(O)$. Chứng minh $H, I, M$ thẳng hàng.

Gợi ý
  • Xét phép vị tự ngoài tâm $P$ biến $(I)$ thành $(O)$. Khi đó $D \mapsto D’, E \mapsto E’, F \mapsto F’, H \mapsto H’$ với $D’, E’, F’$ là điểm chính giữa các cung $BC, AC, AB$.
  • Ta có $D’H’ \bot E’F’$ và $H’$ là trung điểm của $AI$.
  • Ta có $IH||OH’$. (1)
  • Tam giác $AIM$ có $OH’$ là đường trung bình nên $IM||OH’$. (2)
  • Từ (1) và (2) ta có $H, I, M$ thẳng hàng.

Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$, đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác. Đường tròn $w_a$ qua $B, C$ tiếp xúc trong với (I); các đường tròn $w_b, w_c$ được xác định tương tự. Gọi $A’$ là giao điểm của $w_b, w_c$ khác $A$; các điểm $B’, C’$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng $AA’, BB’$ và $CC’$ đồng quy tại một điểm nằm trên $IO$, với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Gợi ý

  • Gọi $X$ là tiếp điểm của $w_a$ và $(I)$. Theo tính chất 1.5 thì $XD$ đi qua điểm chính giữa cung $BC$ của $w_a$, đặt là $A_1$. Các điểm $B_1, C_1$ được xác định tương tự.
  • Hơn nữa $A_1D.A_1X = A_1C^2$ và $B_1E.B_1Y = B_1C^2$, khi đó $B_1C_1$ là trục đẳng phương của $(I)$ và đường tròn điểm $C$, suy ra $IC \bot A_1B_1$.
  • Mặt khác $IC \bot DE$, suy ra $DE||A_1B_1$.
  • Ta có hai tam giác $DEF$ và $A_1B_1C_1$ đôi một có các cạnh song song nên có phép vị tự tâm $K$, biến $\Delta DEF$ thành $\Delta A_1B_1C_1$. Vì $K$ thuộc $DA_1$ nên $K \in XA_1$.
  • Ta có $\dfrac{KD}{KA_1} = \dfrac{KE}{KB_1}$ mà $KX.KD = KY.KE$, suy ra $KX.KA_1 = KY.KB_1$; do đó $K$ thuộc trục đẳng phương của $w_a$ và $w_b$, vậy $K \in AA’$.
  • Chứng minh tương tự ta cũng có $K \in BB’, CC’$.
  • Xét phép vị tự tâm K thì $I \mapsto O’$; ta có vì $ID \bot BC$ nên $O’A_1 \bot BC$; tương tự thì $O’B_1 \bot AC$; do đó $O’ \equiv O$.
  • Vậy $AA’, BB’, CC’$ đồng qui tại K thuộc IO.

Ví dụ 6. (Đường tròn mixtilinear incircle) Cho đường tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn $w_a$ tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại D, E và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $A_1$. Các điểm $B_1, C_1$ được xác định tương tự.
1. Chứng minh rằng DE qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
2. Chứng minh rằng $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy.

Gợi ý

  1. Theo bổ đề 3.1 thì $A_1D$ qua điểm $D’$ chính giữa cung AB, $A_1E$ qua điểm $E’$ chính giữa cung AC. Khi đó $I \in CD’, I \in BE’$.
    Áp dụng định lý Pascal ta có $D, I, E$ thẳng hàng.
  2. Xét $H(A_1): (O) \mapsto (I_a), H(A): (I_a) \mapsto (I)$, theo định lý Monge D’lemabert thì $AA_1$ đi qua tâm vị tự ngoài biến $(O) \mapsto (I)$. Chứng minh tương tự ta cũng có $BB_1, CC_1$ qua tâm vị tự ngoài biến $(O)$ thành $(I)$.
    Do đó các đường thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy tại một điểm thuộc IO.

Ví dụ 7. (Định lý Thebault)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $w$. $D$ là một điểm thuộc cạnh $BC$. Đường tròn $w_1$ tiếp xúc với đoạn $AD, CD$ tại $P, Q$ và tiếp xúc với $w$ tại $W$.

1. Chứng minh $PQ$ qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
2. Gọi $w_2$ là đường tròn tiếp xúc với $AD, BD$ và tiếp xúc với $w$. Chứng minh đường thẳng nối tâm của $w_1, w_2$ qua tâm nội tiếp của tam giác $ABC$.

Gợi ý

  1. Ta có $PE$ qua điểm $M$ chính giữa cung BC. Gọi $I’$ là giao điểm của $EF$ và $AM$.
    Xét phép vị tự tâm P thì $EF||MN$, suy ra $\angle AIF = \angle AMN = \angle APF$. Suy ra $AFIP$ nội tiếp.
    Khi đó $\angle AFP = \angle AI’P = \angle I’EP$.
    Suy ra $\triangle MEI’ \backsim \triangle MI’P$. Suy ra $MI’^2 = ME.MP = MB^2$.
    Do đó $I’ \equiv I$.
  2. Xét tứ giác $JGEK$ và điểm $D$ thuộc $GE$. Khi đó $IG||DK$ và $IE||DJ$.
    Gọi $I’$ là giao điểm của $GI$ và $JK$. Khi đó $\dfrac{JI’}{I’K} = \dfrac{JT}{TD} = \dfrac{EQ}{EK}$. Suy ra $I’E||JQ$, do đó $I’ \equiv I$.
    Vậy $J, I, K$ thẳng hàng.

Ví dụ 8. (IMO 1999) Cho hai đường tròn $(w_1)$ và $(w_2)$ tiếp xúc trong với$ ( w) $tại M, N và tâm của đường tròn $(w_2)$ nằm trên đường tròn $(w_1)$. Dây cung chung của $(w_1)$ và $(w_2)$cắt $(w )$ tại A và B. MA và MB cắt $(w_1)$ tại C và D. Chứng minh rằng đường tròn $(w_2)$ tiếp xúc với đường thẳng $CD$.

Gợi ý

  • Vẽ tiếp tuyến chung $XY$ của $w_1, w_2$ với $X, Y$ là các tiếp điểm, giả sử $XY$ cắt $w$ tại $S,T$. Gọi $A’$ là điểm chính giữa cung $ST$.
  • Theo bổ đề 3.1 ta có $A’, X, M$ và $A’, Y, N$ thẳng hàng. Ta có $A’Y.A’N = AS^2 = A’X.A’M$. Suy ra $A’$ thuộc trục đẳng phương của $w_1, w_2$. Suy ra $A’ \in PQ$.
  • Vậy $A’ \equiv A$ và $X \equiv C, Y \equiv E$. Gọi $U$ là giao điểm của $CE$ và $O_1O_2$. Suy ra $\dfrac{UO_2}{UO_1} = \dfrac{r_2}{r_1}$.
  • Ta có $CD || PQ$, suy ra $CD \bot O_1O_2$. Gọi $H$ là giao điểm của $CD$ và $O_1O_2$. Ta tính được $O_2H = r_2$ nên $CD$ tiếp xúc với $w_2$.

Ví dụ 9. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm O, đường tròn tâm I nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh BC, AC, AB tại D,E, F. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác $DEF$ thuộc đường thẳng $IO$.

Gợi ý

  • Xét phép nghịch đảo tâm I, tỉ số $r^2$, biến $M \mapsto A, N \mapsto C, P \mapsto B$. Khi đó $(MNP) \mapsto (ABC)$. Khi đó có phép vị tự tâm I biến $(MNP) \mapsto (ABC)$.
  • Gọi $F$ là tâm của $(MNP)$ ta có $I, F, O$ thẳng hàng.
  • Mặt khác $(MNP)$ là đường tròn euler của tam giác $DEF$ nên $F, I, H$ thẳng hàng, với $H$ là trực tâm tam giác DEF.
  • Vậy $H, I, O$ thẳng hàng.

Ví dụ 10. (Barasil MO 2013) Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Gọi $P$ là giao điểm của $AD$ và $BE$. Gọi $X, Y, Z$ là các điểm đối xứng của $P$ qua $EF, DF$ và $DE$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AX, BY, CZ$ đồng quy tại một điểm thuộc đường thẳng $OI$, với $O, I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác $ABC$.

Gợi ý

  • Gọi $K$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$, tương tự với $L, J$.
    Gọi $T$ là giao điểm của $AD$ và $EF$, ta có $(AIDT) = -1$ và $DK \bot KT$ nên $KT$ là phân giác của $\angle AKD$. Do đó $X$ thuộc $AK$.
  • Ta có $\angle FKJ = \angle FDE = \angle AFE$, suy ra $KJ||AB$; tương tự ta có $\angle KL||AC; LJ||BC$. Khi đó tồn tại phép vị tự tâm $V_(H): \Delta KJL \mapsto ABC$ và $F \mapsto O$, với $F$ là tâm đường tròn euler của tam giác $DEF$ và $H$ là giao điểm của $AK, BJ, CL$.
  • Mặt khác theo ví dụ 1.9 thì $F, I, O$ thẳng hàng. Do đó $H, I, O$ thẳng hàng.
  • Vậy $AX, BY, CZ$ đồng quy tại điểm $H$ thuộc đường thẳng $IO$.

III. BÀI TẬP

  1. Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ tiếp xúc nhau tại $M$. Một điểm $A$ thay đổi trên đường tròn $(O_2)$, từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB, AC$ đến $(O_1)$ với $B, C$ là hai tiếp điểm. $BM, CM$ lần lượt cắt $(O_2)$ tại $D$ và $E$. $DE$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O_2)$ tại $F$. Chứng minh rằng $F$ thuộc một đường thẳng cố định khi $A$ di chuyển trên $(O_2)$ không thẳng hàng với $O_1$ và $M$.
  2. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC$, $AC, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $P$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$; $M$ là trung điểm của $DP$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $IBC$. Chứng minh rằng $MH$ qua trung điểm của $EF$.
  3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $D$ là một điểm thay đổi trên cạnh $BC$. Đường tròn $w$ tiếp xúc với các đoạn $AD, CD$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $E, F, X$. Chứng minh rằng $XF$ đi qua một điểm cố định và $EF$ cũng đi qua một điểm cố định.
  4. Cho tam giác nhọn $ABC$ khác tam giác cân. Gọi $O$ và $I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $D, E, F$ là tiếp điểm của $(I)$ với các cạnh $BC, CA $ và $AB$. Gọi $P$ là giao điểm của $AI$ và $OD$, $Q$ là giao điểm của $BI$ và $OE$, và $R$ là giao điểm của $CI$ và $OF$. Gọi $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$. Chứng minh rằng $I, M, O$ thẳng hàng.
  5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ tâm O, có $B, C$ cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $(O_1)$ là đường tròn thay qua $A, B$ và tiếp xúc với $(I)$ tại $E$. Gọi $(O_2)$ là đường tròn thay qua $A, C$ và tiếp xúc với $(I)$ tại $F$. Đường phân giác trong của góc $\widehat{AEB}$ cắt $(O_1)$ tại $M$ và đường phân giác trong của góc $\widehat{AFC}$ cắt $(O_2)$ tại $N$.

    a.Chứng minh rằng tứ giác $EFMN$ nội tiếp.
    b. Gọi $J$ là giao điểm của $EM$ và $FN$. Chứng minh rằng đường thẳng $IJ$ đi qua một điểm cố định.

  6.  (ELMO shortlist 2011)
    Cho 3 đường tròn $\omega,\omega_1,\omega_2$ đôi một tiếp xúc nhau sao cho $\omega_1,\omega_2$ tiếp xúc ngoài tại $P$, $\omega_1,\omega$ tiếp xúc trong tại $A$, and $\omega,\omega_2$ tiếp xúc trong tại $B$. Gọi $O,O_1,O_2$ lần lượt là tâm của $\omega,\omega_1,\omega_2$. Gọi $X$ chân đường vuông góc từ $P$ đến $AB$, chứng minh $\angle{O_1XP}=\angle{O_2XP}$.
  7. Cho tam giác $ABC$ khác tam giác vuông nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định có $BC$ cố định và $A$ thay đổi. Trên đường thẳng $BC$ lấy các điểm $K, L$ sao cho $\angle BAK = \angle CAL = 90^o$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Chứng minh rằng đường thẳng qua trung điểm của $AH$ và $KL$ luôn đi qua một điểm cố định.
  8. (IMO shortlist 1998) Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là điểm đối xứng của A qua BC, B qua CA và của C qua AB. Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi OH = 2R, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
  9. (USA TST 2010) Cho tam giác $ABC$. Điểm M,N trên các cạnh AC và BC sao cho $MN||AB$; Các điểm $P, Q$ lần lượt thuộc $AB, BC$ sao cho $PQ ||AC$. Đường tròn nội tiếp tam giác $CMN$ tiếp xúc với AC tại E; đường tròn nội tiếp tam giác $BPQ$ tiếp xúc với $AB$ tại $F$. Đường thẳng $EN$ cắt $AB$ tại $R$; đường thẳng $FQ$ cắt AC tại S. Cho $AE = AF$, chứng minh rằng tâm nội tiếp của tam giác $AEF$ thuộc đường tròn nội tiếp của tam giác $ARS$.
  10. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đường tròn mitilinear incircle của tam giác ABC tâm K tiếp xúc với (O) tại D. DI cắt BC tại L. Chứng minh KL chia OI theo tỉ số $\dfrac{1}{2}$.
  11. (IMO 2008) Cho tứ giác lồi ABCD (AB khác BC). Gọi đường tròn nội tiếp của các tam giác ABC và ADC lần lượt là $(w_1)$ và $(w_2)$. Giả sử tồn tại đường tròn $(w )$ tiếp xúc với tia BA về hướng A và tia BC về hướng C và tiếp xúc với các đường thẳng AD và CD. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn $(w_1)$ và $(w_2)$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn (C ). 

Phép vị tự (Phần 1)

1 Reply

Phép vị tự là một trong những phép biến hình quan trọng nhất, có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học phẳng. Thông qua phép vị tự, ta có một công cụ giải toán khá mạnh, giúp chúng ta nhìn lại những bài toán cũ theo một cách khác, toàn diện và rõ ràng hơn. Ngoài ra, một số bổ đề suy ra trực tiếp hoặc chứng minh một cách dễ dàng bằng phép vị tự cũng giúp giải được những bài toán khó hơn. Qua bài viết nhỏ này, hy vọng các em học sinh có cơ hội nhìn lại các bài toán cũ và thêm một hướng để giải quyết các bài toán hình học phẳng.

I. LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1. Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và một số thực k khác 0 cho trước. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm $M’$ sao cho $\overrightarrow{OM’} = k.\overrightarrow{OM}$ được gọi là phép vị tự tâm O hệ số(tỉ số) k và được kí hiệu là $H_{(O;k)}$.

Tính chất 2. Trong phép vị tự $H_{(O;k)}$ thì:

  1. Tâm O là điểm bất động duy nhất.
  2. $\overrightarrow {AB} \mapsto \overrightarrow {A’B’} $ thì $\overrightarrow {AB} = k.\overrightarrow {A’B’} $
  3. Chùm đường thẳng qua tâm vị tự là những đường thẳng bất biến duy nhất.
  4. Một đường thẳng không qua tâm biến thành một đường thẳng song song với nó.
  5. Phép vị tự biến đường tròn $(I; R)$ thành đường tròn $(I; R’)$ thỏa $I’ = H_{(O;k)} (I)$ và $R’ = |k|/R$

Định lý 3. Cho hai đường tròn $C(O;R)$ và $C’(O’;R’)$ sao cho $R \ne R’,O \equiv O’$
Khi đó tồn tại hai phép vị tự $H_1(O_1;k_1)$ và $H_2(O_2;k_2)$ biến $(C )$ thành $(C‘)$ trong đó: $\dfrac{{\overline {{O_1}O} }}
{{\overline {{O_1}O’} }} = {k_1} = \dfrac{{R’}}{R}$ và $\dfrac{{\overline {{O_2}O} }}{{\overline {{O_2}O’} }} = {k_2} = – \dfrac{{R’}}{R}$

Hệ quả 4. Bốn điểm $O, O’, O_1, O_2$ tạo thành một hàng điểm điều hòa.

Hệ quả 5. Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại tiếp điểm $A$. Khi đó có một phép vị tự tâm $A$ biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tính chất 6. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(I)$ tiếp xúc trong tại $A$. Một dây cung $BC$ của $(O)$ tiếp xúc với $(I)$ tại $P$. Khi đó $AP$ đi qua điểm $D$ chính giữa cung $BC$ của $(O)$ và $DP.DA = DB^2$.

Chứng minh.

Xét phép vị tự $H(A): (I) \mapsto (O)$. Khi đó $P \mapsto D$. Suy ra $IP ||OD$ mà $IP \bot BD$. Suy ra $OD \bot BC$. Do đó $D$ là điểm chình giữa cung $BC$.

Định lý 7. (Tích của hai phép vị tự)Ta xét tích của hai phép vị tự $H_1(O_1;k_1)$ và $H_2(O_2;k_2)$:

  1. Trường hợp 1: Nếu $k_1k_2 = 1$ thì tích $H_2(O_2;k_2)oH_1(O_1;k_1)$ là một phép tịnh tiến theo Vectơ $\overrightarrow v = \left( {1 – {k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_2}} $
  2. Trường hợp 2: ${k_1}{k_2} \neq 1$ thì tích $H_2(O_2;k_2)oH_1(O_1;k_1)$ là một phép vị tự tỉ số $k = k_1k_2$ và có tâm O được xác định bởi công thức $\overrightarrow {OO_1} = \dfrac{{k_2 + 1}}{k_1k_2}\overrightarrow {OO_2} $

Định lý 8. (Monge – D’alambert)  Cho ba đường tròn $C_1(O_1, R_1), C_2(O_2, R_2), C_3(O_3, R_3)$ phân biệt trên mặt phẳng. Khi đó tâm vị tự ngoài của các cặp đường tròn $(C_1, C_2), (C_2, C_3), (C_3, C_1)$ cùng thuộc một đường thẳng. Hai tâm vị tự trong của hai trong ba cặp đường tròn trên và tâm vị tự ngoài của cặp đường tròn còn lại cùng thuộc một đường thẳng.

Định lý 9. Nếu có một phép nghịch đảo tâm I biến $(O)$ thành $(O’)$ thì sẽ có một phép vị tự tâm $I$ biến $(O)$ thành $(O’)$.

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, gọi $M, N, P$ là trung điểm các cạnh $BC, AC$ và $AB$. Các đường phân giác trong $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $I$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác và tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ tại $X, Y, Z$.

  1. (Đường thẳng Euler). Chứng minh rằng trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ cùng nằm trên một đường thẳng.
  2. Gọi $da$ là đường thẳng qua $M$ và song song với phân giác góc $A$, $d_b, d_c$ được định nghĩa tương tự. Chứng minh rằng $d_a, d_b$ và $d_c$ đồng quy tại một điểm.
Gợi ý

  • Gọi $G, H, O$ lần lượt là trọng tâm, trực tâm và tâm đưởng tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
  • Xét phép vị tự tâm $G$, tỉ số $k = \dfrac{-1}{2}$. Khi đó $\Delta ABC \mapsto \Delta MNP$. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$, $O$ là trực tâm tam giác $MNP$ nên $H \mapsto O$, suy ra $\overrightarrow{GO} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GH}$.
  • Vậy $ H,G, O$ theo thứ tự cùng thuộc một đường thẳng (đường thẳng Euler) và $GH = 2GO
    $

2.  Cũng sử dụng phép vị tự trên thì ta có $d_a, d_b, d_c $ song song với phân giác góc $A, B, $      nên $d_a, d_b, d_c$ là ảnh của phân giác các góc $A, B, C$ của tam giác $ABC$ qua phép vị tự       này. Do đó $d_a, d_b, d_c$ đồng quy.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác và tiếp xúc với $BC, AC$ và $AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $D’, E’, F’$là điểm đối xứng của $D, E, F$ qua $I$.

1. Chứng minh rằng $AD’, BE’$ và $CF’$ đồng quy $J$ .
2. Gọi G là trọng tâm tam giác. Chứng minh $I, J, G$ thẳng hàng và $GJ = 2GI$.

Gợi ý
  • Qua $D’$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB, AC$ tại $U, V$. Xét phép vị tự $H(A;\dfrac{AU}{AB}): \Delta AUV \mapsto \Delta ABC$. Biến đường tròn tâm $I$ thành đường tròn $I_a$ bàng tiếp tam giác $ABC$.
  • Ta có $D’ \mapsto D_a$ là tiếp điểm của $(I_a)$ với $BC$.\\ Ta chứng minh được $BD = CD_a$. Chứng minh tương tự ta cũng có $CE = AE_a, BF = AF_a$. \\Mà các đường thẳng $AD, BE, CF$ đồng quy nên $AD_a, BE_a, CF_a$ đồng quy hay $AD’, BE’, CF’$ đồng quy tại $J$.
  •  Gọi $M$ là trung điểm $BC$ suy ra $M$ cũng là trung điểm của $DD_a$. Ta có $IM || D’D_a$.
  • Xét phép vị tự $H'(G;\dfrac{-1}{2}): A \mapsto M$. Mà $IM ||AD’$, suy ra $H’: AD’ \mapsto IM$.
  • Suy ra $J \mapsto I$. Do đó $G, I, J$ thẳng hàng và $GJ = 2GI$.

Ví dụ 3. (Chọn đội tuyển toán PTNK năm 2010) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi $I,I_1,I_2,I_3$ là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp các góc A, B, C tương tứng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $II_2 I_3$ cắt (O) tại hai điểm $M_1,N_1$. Gọi $J_1$ (khác A) là giao điểm của AI và (O). Ký hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $J_1$ và vuông góc với $M_1 N_1$. Tương tự xác định các đường thẳng $d_2,d_3$. Chứng minh các đường thẳng $d_1,d_2,d_3$ đồng quy tại một điểm

Gợi ý
  • Dễ thấy đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ là đường tròn Euler của tam giác $I_1I_2I_3$, nên $J_1$ là trung điểm của $II_1$.
  • Gọi $K_1$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $II_2I_3$, và $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $I_1I_2I_3$ ta có $\overrightarrow{KK_1} = \overrightarrow{I_1I}$.
  • Suy ra $I_1K_1$ qua trung điểm của $IK$, mà $O$ là trung điểm $IK$ nên $I_1, O, K_1$ thẳng hàng. Mặt khác $OK_1 \bot M_1N_1$. Do đó $I_1K_1 \bot M_1N_1$, suy ra $I_1K_1 ||d_1$.
  • Xét phép vị tự $H(I;2): J_1 \mapsto I_1$ mà $d_a ||I_1O$ nên $H: d_a \mapsto I_1K_1$. Tương tự $d_b \mapsto I_2K_2, d_c \mapsto I_3K_3$.Do đó $d_a, d_b, d_c$ đồng quy.

[Phần 2]

Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $OBA$ vuông tại $B$ đường cao $BH$. Gọi $C$, $D$ lần lượt là điểm đối xứng của $B$, $O$ qua $H$. Từ $B$ kẻ hai tiếp tuyến $BP$, $BQ$ đến đường tròn đường kính $AD$. Chứng minh ba điểm $C$, $P$, $Q$ thẳng hàng.

Cách 1 (sử dụng tam giác đồng dạng)

Gọi $I$ là trung điểm $AD$. Qua $C$ kẻ đường thằng vuông góc với $BI$, cắt $BI$ tại $J$ và cắt $OA$ tại $K$. Nếu chứng minh được

\[ IJ.IB = IQ^2 = IP^2 \qquad (*)\]

ta sẽ chứng minh được $QJ \bot BI$ và $PJ \bot BI$ nhờ các tam giác đồng dạng. Từ đó suy ra được $C, P, Q$ thẳng hàng (cùng nằm trên đường thẳng vuông góc với $BI$ tại $J$).

Vì $IJ.IB = IH.IK$ nên việc chứng minh (*) có thể đưa về chứng minh $IH.IK = IA^2$ (xem chứng minh ở đây).

Cách 2 (tứ giác nội tiếp, phương tích)

Do tứ giác $BOCD$ là hình thoi, nên $CD$ song song $OB$, tia kéo dài $CD$ sẽ vuông góc với $AB$ tại $E$. Tứ giác $HEAC$ nội tiếp có

\[BE.BA = BH.BC \]

Lại có $BP$, $BEA$ lần lượt là tiếp tuyến và cát tuyến của đường tròn đường kính $AD$ nên

\[ BE.BA = BP^2 \]

Suy ra được $BH.BC = BP^2$, suy ra tam giác $BPC$ và $BHP$ đồng dạng (c.g.c), ta có được $\angle BCP = \angle BPH$. Chứng minh tương tự với $\angle BCQ = \angle BQH$.

Mặt khác, năm điểm $B,Q,I,P,H$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BI$, nên $\angle BPH = \angle BQH$ (cùng chắn cung $AH$).

Vậy $\angle BCP = \angle BCQ$, suy ra ba điểm $C,P,Q$ thẳng hàng (đpcm).

Hàng điểm điều hòa – Phần 1

Leave a reply

I. LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1 Cho 4 điểm $A, B, C, D$ thẳng hàng. Khi đó tỉ số kép của 4 điểm $A, B, C, D$ kí hiệu là $(ABCD)$ và được tính bởi công thức
\[\left( {ABCD} \right) = \frac{{\overline {CA} }}{{\overline {CB} }}:\frac{{\overline {DA} }}{{\overline {DB} }}\]

Định nghĩa 2. Nếu tỉ số kép của 4 điểm $A, B, C, D$ bằng $-1$ thì 4 điểm $A, B, C, D$ được gọi là hàng điểm điều hòa. Kí hiệu là $(ABCD) = -1$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$. Gọi $D, E$ là chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc $A$. Khi đó $A, B, D, E$ là hàng điểm điều hòa.

Tính chất 4. Từ định nghĩa suy ra:

  1. $(ABCD) = (CDAB) = (BADC) = (DCBA)$
  2. $(ABCD) = 1/(BACD) = 1/(ABDC)$
  3. $(ABCD) = 1 -(ACBD) = 1 -(DBCA)$
  4. $(ABCD) = (A’BCD) \Leftrightarrow A \equiv A’$.

Tính chất 5. Trên trục số cho 4 điểm $A, B, C, D$. Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

  • $A , B, C, D$ là hàng điểm điều hòa.
  • $\dfrac{{\overline {CA} }}{{\overline {CB} }} = – \frac{{\overline {DA} }}{{\overline {DB} }}$
  • $\dfrac{2}{{\overline {AB} }} = \dfrac{1}{{\overline {AC} }} + \dfrac{1}{{\overline {AD} }}$
  • ${\overline {IA} ^2} = \overline {IC} .\overline {ID}$ ($I$ là trung điểm của đoạn $AB$).
  • $\overline {AC} .\overline {AD} = \overline {AB} .\overline {AK} $ ($K$ là trung điểm của đoạn $CD$).

Định lý 6. Cho $A, B, C, D$ thuộc đường thẳng $(d)$. $S$ nằm ngoài $(d)$. Từ $C$ kẻ đường thẳng song song với $SD$ cắt $SA$, $SB$ tại $A’$ và $B’$. Khi đó: \[\left( {ABCD} \right) = \dfrac{{\overline {CA’} }}{{\overline {CB’} }}\]

Hệ quả 7. Bốn điểm $A, B, C, D$ là hàng điểm điều hòa khi và chỉ khi $C$ là trung điểm của $A’B’$.

Định nghĩa 8. Cho đường thẳng $(d)$ và $S$ ở ngoài $(d)$. Với mỗi điểm $M$ ($M$ không thuộc đường thẳng qua $S$ và song song với $(d)$ , $SM$ cắt $(d)$ tại $M’$. Vậy $M \to M’$ là phép chiếu xuyên tâm $S$ lên đường thẳng $(d)$.

Định lý 9. Cho 4 đường thẳng $a, b, c, d$ cắt nhau tại $S$. Một đường thẳng cắt $a, b, c, d$ lần lượt tại $A, B, C, D$. Khi đó ta có:
\[\left( {abcd} \right) = \left( {ABCD} \right) = \frac{{\sin \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SD} } \right)}}:\frac{{\sin \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right)}}\]

Tính chất 10. Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép. Tức là qua phép chiếu xuyên tâm S lên đường thẳng $(d), A \to A’, B \to B’ , C \to C’, D \to D’$ thì: $(ABCD) = (A’B’C’D’)$.

Tính chất 11. Cho bốn đường thẳng $a, b, c, d$ cắt nhau tại $S$, một đường thẳng $\Delta$ cắt 4 đường thẳng tại 4 điểm $A, B, C, D$ thì $(ABCD)$ không phụ thuộc vào $\Delta$. Người ta gọi $(ABCD)$ là tỉ số kép của chùm 4 đường thẳng. Kí hiệu là $S(ABCD)$ hay $(abcd)$.

Định nghĩa 12.  Nếu $S(ABCD) = -1$ thì ta gọi $a, b, c, d$ là chùm điều hoà.

Tính chất 13. Từ tính chất của tỉ số kép ta có tính chất sau của chùm 4 đường thẳng: $$(a, b, c, d) = (a’, b, c, d) \Leftrightarrow a \equiv a’$$

Hệ quả 14. Nếu $S(ABCD) = S(A’BCD)$ thì $S, A, A’$ thẳng hàng.

Hệ quả 15. Cho hai đường thẳng $(d)$ và $(d’)$ cắt nhau tại $O$. Trên $(d)$ lấy các điểm $A, B, C$; trên $(d’)$ lấy các điểm $A’,B’, C’$ . Khi đó $(OABC) = (OA’B’C’)$ khi và chỉ khi $AA’, BB’$ và $CC’$ đôi một song song hoặc đồng qui.

Định lý 16. Cho chùm điều hòa $(abcd)$. Ta có $b \bot d$ khi và chỉ khi $b, d$ là phân giác trong và phân giác ngoài của góc tạo bởi $a$ và $c$.

Định lý 17. Cho đường $a, b, c$ cắt nhau tại $O$, và $a’,b’, c’$ cắt nhau tại $O’$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua hai điểm $OO’$. Gọi $A$ là giao của $a$ và $a’$; $B$ là giao của $b$ và $b’$; $C$ là giao của $c$ và $c’$. Khi đó $A, B, C$ thẳng hàng khi và chi khi $(abcd) = (a’b’c’d)$.

II. CÁC VÍ DỤ

  1. Một số ứng dụng của hàng điểm và phép chiếu xuyên tâm trong các định lý quen thuộc.

Đầu tiên là một số ví dụ về các hàng điểm điều hòa quen thuộc.

Ví dụ 1. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$; $I$ là giao điểm của hai cạnh bênh $AD$ và $BC$. $IO$ cắt $AB$ và $CD$ tại $MN$. Khi đó $I, O, M, N$ là hàng điểm điều hòa. Gọi $J$ là giao điểm của $AB$ và $CD$, khi đó $J, N, D, C$ cũng là hàng điểm điều hòa.

Cách 1

Cách 1. Ta có thể dùng định lý Ceva và Meneluas để tính toán các tỉ số.

  • Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $IOA$ cho cát tuyến $DNC$ ta có:
    \[\dfrac{{\overline {NO} }}{{\overline {NI} }}.\dfrac{{\overline {DI} }}{{\overline {DA} }}.\dfrac{{\overline {CA} }}{{\overline {CO} }} = 1\]
  • Tương tự cho tam giác $IOC$ ta có \[\dfrac{{\overline {MO} }}{{\overline {MI} }}.\dfrac{{\overline {BI} }}{{\overline {BC} }}.\dfrac{{\overline {AC} }}{{\overline {AO} }} = 1\]
  • Mặt khác áp dụng Menelaus cho tam giác $IAC$ ta có \[\dfrac{{\overline {BI} }}{{\overline {BC} }}.\dfrac{{\overline {OC} }}{{\overline {OA} }}.\dfrac{{\overline {DA} }}{{\overline {DI} }} = 1\]
  • Từ các điều trên ta có \[\dfrac{{\overline {NO} }}{{\overline {NI} }}:\dfrac{{\overline {MO} }}{{\overline {MI} }} = – 1\,\]
  • Nên $I, O, M, N$ là hàng điểm điều hòa.
Cách 2

Sử dụng phép chiếu xuyên tâm.

  • Ta có $(IOMN) = C(IOMN) = (BAMJ) = D(BAMJ) = (OIMN) = 1/(IOMN)$
  • Do đó $(IOMN) = – 1$ (Vì $(IOMN) \neq 1$
  • Vậy $(IOMN)$ là hàng điểm điều hòa.
  • Hơn nữa ta có $– 1 = (IOMN) = B(IOMN) = (CDJN)$
  • Vậy $J, N, D, C$ là hàng điểm điều hòa.

Ví dụ 2.   Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $BC, AB, AC$ lần lượt tại $D, E, F$. $EF$ cắt $BC$ tại $P$.
a. Khi đó $P, D, B, C$ là hàng điểm điều hòa.
b. Gọi $H$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$. Chứng minh $HD$ là phân giác $\angle BHC$.

 

Gợi ý

a. Áp dụng Menelaus cho tam giác $ABC$ ta có $$ \dfrac{PB}{PC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB} = 1$$.
Suy ra $\dfrac{PB}{PC} = \dfrac{FB}{FC} = \dfrac{DB}{DC}$. Do đó $B, C, P, D$ là hàng điểm điều hòa.
b.  Ta có $H(BCPD) = -1$ mà $HD \bot HP$, suy ra $HD, HP$ lần lượt là phân giác ngoài và phân giác trong của $\angle BHC$.

Ngoài ra ta còn biết hàng điểm điều hòa như:

Tâm hai đường tròn và tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đường tròn đó tạo thành hàng điểm điều hòa.

Tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn Euler, trực tâm và trọng tâm tạo thành hàng điểm điều hòa. (Đây là trường hợp đặc biệt của tính chất trên)

 

Ta có thể sử dụng phép chiếu xuyên tâm để chứng minh các định lý sau.

Ví dụ 3. (Định lý Papus) Cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta ‘$. Trên $\Delta$ lấy các điểm $A, B, C$ và trên $\Delta’$ lấy các điểm $A’, B’, C’$. Gọi $M$ là giao của $AB’$ và $A’B$; $N$ là giao của $AC’$ và $A’C$ và $P$ là giao của $BC’$ và $B’C$. Chứng minh rằng $M, N, P$ thẳng hàng.

Gợi ý
  •  Gọi $K$ là giao điểm của $AC’$ và $A’B$; $I$ là giao điểm của $A’C$ và $BC’$.
  • Ta có $(BKMA’) = A(BKMA’) = A(CNLA’) = (CNLA’)$.
  • Và $(BC’PI) = C(BC’PI) = C(AC’HN) = B'(AC’HN) = (LA’CN) = (CNLA’)$.
  • Do đó $(BKMA’) = (BC’PI)$, suy ra $C’K, MP$ và $A’I$ đồng quy, hay $M, N, P$ thẳng hàng.

Ví dụ 4. (Định lý Pascal)  Cho đường tròn $(w)$. Trên $(w)$ lấy các điểm $A, B, C$ và $A’, B’, C’$. Gọi $M$ là giao của $AB’$ và $A’B$; $N$ là giao của $AC’$ và $A’C$ và $P$ là giao của $BC’$ và $B’C$. Chứng minh rằng $M, N, P$ thẳng hàng.

Gợi ý
  • Gọi $L$ là giao điểm của $AC’$ và $A’B$, $K$ là giao điểm của $A’C$ và $BC’$.
  • Xét tứ giác $A’BC’B’$. Ta có:
    $$(BLMA’) = A(BC’B’A’) = C(BC’B’A’) = (BC’PK)$$
  • Suy ra $C’L, PM$ và $A’K$ đồng quy. Vậy $M, N, P$ thẳng hàng.

Ví dụ 5. (Định lý Desargue)  Cho hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$. Gọi $P$ là giao điểm của $AB$ và $A’B’$; $Q$ là giao điểm của $AC$ và $A’C’$; $R$ là giao điểm của $BC$ và $B’C’$. Khi đó $P, Q , R$ thẳng hàng khi và chỉ khi $AA’, BB’, CC’$ đồng quy.

Gợi ý
  • Chiều thuận. Cho $M, N, P$ thẳng hàng, ta chứng minh $AA’, BB’, CC’$ đồng quy. Gọi $S$ là giao điểm của $AA’$ và $CC’$. Ta chứng minh $S, B, B’$ thẳng hàng.
  • Ta có $N(SAMA’) = M(SANA’) = N(SCMC’) = P(SCMC’)$. Mà $S$ là giao của $NS$ và $PS$, $B$ là giao của $MA$ và $PC$, $B’$ là giao của $MA’$ và $PC’$, suy ra $S, B’, B$ thẳng hàng. Hay $AA’, BB’, CC’$ đồng quy.
  • Chiều đảo. Áp dụng chiều thuận cho tam giác $AMA’$ và $CPC’$

 2. Áp dụng vào giải các bài toán.

Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $AC, AB, BC$ lần lượt tại $E$ , $F$ và $D$. $ID$ cắt $EF$ tại $K$. Chứng minh $AK$ đi qua trung điểm của $BC$.

Gợi ý
  • Gọi $M$ là giao điểm của $AK$ và $BC$, ta chứng minh $M$ là trung điểm $BC$.
  • Qua $A$ dựng đường thẳng $(d)$ song song với $BC$. Ta cần chứng minh $(d, AM, AB, AC) = -1$.
  • Gọi $J$ là giao điểm của $EF$ và $(d)$. Ta có $(d, AM, AB, AC) = (JKFE)$.
  • Gọi $H$ là giao điểm của $ID$ và $(d)$, ta có $AH \bot IH$, suy ra $H, A, E, F, I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AI$. Hơn nữa $IE = IF$, suy ra $\angle FHI = \angle EHI$. Từ đó ta có $HK, HJ$ là phân giác trong và phân giác ngoài của $\angle EHF$.
  • Do đó $(JKFE) = -1$.
  • Suy ra $(d, AM, AB, AC) = – 1$, vậy $M$ là trung điểm của $BC$.

Ví dụ 7. (BMO 2007) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $D$ là một điểm trên cạnh $AC$. Gọi $E$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BD$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt $CE$ tại $F$. Chứng minh $DE$ và $AF$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng $BC$. 

Gợi ý
  • Gọi $I$ là giao điểm của $DF$ và $AE$, $J$ là giao điểm của $AF$ và $ED$, $K$ là giao điểm của $CB$ và $AE$.
  • Ta có $HK. HI = HD.HB = HE^2$, mà $H$ là trung điểm của $AE$ nên $(AEKI) = – 1$. Suy ra $B(AEKI) = – 1$.
  • Mặt khác, xét tứ giác $ADFE$ thì theo bài toán 1 ta có $C(AEJI) = – 1$.
  • Do đó $B(AEKI) = C(AEJI)$, suy ra $B, J, C$ thẳng hàng.

Ví dụ 8.  (IMO Shortlist 2006) Hai đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $C$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $D$ và $E$. Gọi $(d)$ là tiếp tuyến chung của $(O_1)$ và $(O_2)$ tại $C$. $AB$ là đường kính của $(O)$ sao cho $A$, $D$, $O_1$ cùng phía đối với $(d)$. Chứng minh rằng $AO_1, BO_2$ và $DE$ đồng quy.

Gợi ý
  • Ta có $\triangle DO_1C \backsim \triangle DOB$ (c.g.c), suy ra $\angle O_1DC =\angle ODB$, suy ra $D, C, B$ thẳng hàng.
  • Chứng minh tương tự ta cũng có $A, C, E$ thẳng hàng. Hơn nữa nếu $Z, Y$ là giao của $O_1O_2$ với $(O_1)$ và $(O_2)$ thì $Z$ thuộc $AD$ và $Y$ thuộc $EB$.
  • Do đó $\angle AEB = \angle ADB = 90^\circ$. Do đó $C$ là trực tâm của tam giác $MAB$ ($M$ là giao điểm của $AD$ và $BE$). Suy ra $M \in (d)$.
  • Gọi $P, H$ là giao điểm của $MC$ và $DE$ và $AB$. Khi đó ta có $(MCPH) = – 1$, suy ra $A(DPCH) = -1$ (1)
  • Mặt khác xét chùm $A(DO_1CH)$, đường thẳng qua $O_1$ song song với $AH$ cắt $AD$ và $AC$ tại $Z$ và $C$ và $O_1$ là trung điểm của $CZ$ nên $A(DO1CH) = – 1$ (2)
  • Từ (1) và (2) ta có $A, O_1, P$ thẳng hàng.
  • Chứng minh tương tự ta cũng có $B, O_2, P$ thẳng hàng.
  • Do đó ta có $AO_1, BO_2, DE$ đồng quy tại $P$.

Bài tập.

  1. Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ thuộc tia đối của tia $AO$. Đường thẳng $b, c$ đối xứng với $PB$ qua $AB$ và $PC$ qua $AC$. Chứng minh giao điểm của $b$ và $c$ thuộc trên một đường cố định.
  2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ ($AB < AC$). Gọi $E$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BC$ và $D$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $A$ với $BC$. Gọi $X$ là hình chiếu của $A$ trên $BE$, $M$ là trung điểm $AX$. Gọi $Z$ là giao điểm của $BM$ và $(O)$. Chứng minh rằng $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(AZD)$.
  3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $E$ là một điểm di động trên $(O)$. $AE$ cắt các tiếp tuyến tại $B, C$ của $(O)$ tương ứng tại $M, N$. $BN$ cắt $CM$ tại $F$. Chứng minh rằng đường thẳng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $E$ di động trên $(O)$.
  4. Cho đường tròn $(O)$, một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ đến $(O)$ ($B, C$ là hai tiếp điểm), và hai cát tuyến $AMQ, ANP $đến $(O) $($M$ nằm giữa $A, Q$ và $N $ nằm giữa $A, P$). Chứng minh rằng $BC, PM, QN $ đồng quy.
  5. Cho $(O)$ và một điểm cố định nằm ngoài $(O)$; kẻ tiếp tuyến $MB$ và một cát tuyến $MAC$ bất kì. Một đường thẳng $d$ song song với $MB$ cắt $BA; BC$ tại $N$ và $P$. Chứng minh rằng trung điểm $I$ của $NP$ thuộc một đường cố định.

 

Bài tập cực trị

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$. Tia $AO$ cắt $(OBC)$ tại $D$, tia $BO$ cắt $(OCA)$ tại $E$, tia $CO$ cắt $(OAB)$ tại $F$. Chứng minh

\[ OD.OE.OF \ge 8R^3 \]

Gợi ý

Gọi $I,J,K$ lần lượt là giao điểm của $AO$, $BO$, $CO$ với các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ của tam giác $ABC$. Sử dụng tam giác đồng dạng ta chứng minh được

\[ OD.OI = OE.OJ = OF.OK= R^2 \]

Do đó điều cần chứng minh tương đương với

\[ 8 OI.OJ.OK \le R^3 \]

Đặt $OI = x, OJ – y, OK = z$. Từ $O$ kẻ các đường vuông góc xuống 3 cạnh, đồng thời kẻ 3 đường cao của tam giác $ABC$. Kết hợp Thales cùng tỷ số diện tích ta có được

\[ \frac{x}{x + R} + \frac{y}{y + R} + \frac{z}{z + R} = 1 \]

Quy đồng mẫu và rút gọn ta có

\[ R(xy + yz + zx) + 2xyz = R^3 \]

Đặt $t = \sqrt[3]{xyz}$ và sử dụng bất đẳng thức AM-GM: $xy + yz + zx \ge 3t^2$, thay vào trong biểu thức trên ta được

\[ R^3 \le 3Rt^2 + 2t^3 \]

tương đương với

\[ (2t – R)(t+R)^2 <= 0 \]

Ta có được $t \le R/2$. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi tam giác $x=y=z$, tức khi tâm $O$ cách đều 3 cạnh, tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Nhận xét

  • Trường hợp $ABC$ là tam giác tù, ta vẫn có $ OD.OI = OE.OJ = OF.OK= R^2 $. Tuy nhiên $OI$, $OJ$, $OK$ có thể lớn nhỏ tùy ý [geogebra], nên bất đẳng thức không còn đúng.

Đường thẳng qua điểm cố định. VMO 2014.

Leave a reply

Bài toán. (PoP1.12) (VMO 2014) Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $B, C$ cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB$ và $AC$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $MA = MC$ và $NA = NB$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMN$ và $ABC$ cắt nhau tại $P$ ($P \neq A$). Đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$.

  1. Chứng minh rằng ba điểm $A, P, Q$ thẳng hàng.
  2. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$. Các đường tròn có tâm là $M, N$ và cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K$ ($K \neq A$). Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F (F \neq A)$. Chứng minh rằng đường thẳng $AF$ đi qua một điểm cố định.
Gợi ý

1.

  • Ta có $MA = MC$ và $NA = NB$ nên tam giác $MAC$ cân tại $M$ và tam giác $NAB$ cân tại $N$.
  • Do đó $\angle BMC = \angle BAC + \angle MAC = 2\angle BAC = \angle BOC$ hay tứ giác $BMOC$ nội tiếp.
  • Tương tự thì tứ giác $BONC$ nội tiếp nên $BMNC$ nội tiếp.
  • Khi đó $QM.QN = QB.QC$, lại có $APMN, APBC$ nội tiếp nên $A, P, Q$ thẳng hàng.

2.

  • Tam giác $AMN$ có $OM \bot AN, ON \bot AM$ nên $AO \bot MN$. Mặt khác $AK \bot MN$ nên $A, O, K$ thẳng hàng.
  • Ta có $\angle OAE = \angle ODE = 90^o$ nên $AODE$ nội tiếp, do đó $\angle OAE = \angle OFE = 90^o$. Hơn nữa $OA = OF$ nên $A, F$ đối xứng qua $OE$.
  • Giả sử $OE$ cắt $AF$ tại $H$ thì $EH.EO = EA^2= EB.EC$ nên $BHOC$ nội tiếp, lại có $\angle OHA = 90^o$ nên $AH$ đi qua $G$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$.
  • Vậy $AF$ luôn đi qua điểm $G$ cố định.

Trực tâm thuộc một đường cố định.

Leave a reply

Bài toán. (PoP 1.10). Cho tam giác $ABC$ và điểm $D$ thay đổi trên cạnh $BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt $AC$ tại $E$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt $AB$ tại $F$. Gọi $H$ là trực tâm.

  1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và đường tròn đường kính $AH$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $P$. Chứng minh $AP$ đi qua trung điểm của $BC$.
  2. Chứng minh trực tâm tam giác $PEF$ thuộc một đường thẳng cố định.
Gợi ý
  1. Các đường cao $AN, BE, CL$ cắt nhau tại $H$. Gọi $AM$ là trung tuyến, $HP \bot AM$. Chứng minh $P \in (AEF)$.
    $\dfrac{PK}{PN} = \dfrac{AC}{AB}$.
    $BF.BA = BD.BC, BK.BA = BL.BC$, suy ra $KF.BA = DL.BC$.
    Tương tự $EN.AC = DL.BC$, suy ra $\dfrac{KF}{EN} = \dfrac{AC}{AB}$.
    Do đó tam giác $PKF$ và $PNE$ đồng dạng, suy ra $P \in (AEF)$.
  2. Gọi $X, Y$ là giao điểm của $(P;PA)$ với $AB, AC$. Chứng minh trực tâm tam giác $PEF$ thuộc $XY$.

Trục ba đường tròn là đường thẳng Euler

Leave a reply

Bài toán. (PoP 1.9) Cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn, không cân nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi $AD, BE, CF$ là ba đường phân giác trong của tam giác $ABC$. Gọi $L, M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD, BE, CF$. Gọi $(O_1), (O_2), (O_3)$ lần lượt là các đường tròn đi qua $L$, tiếp xúc với $OA$ tại $A$; đi qua $M$, tiếp xúc với $OB$ tại $B$; đi qua $N$ tiếp xúc với $OC$ tại $C$. Chứng minh rằng $(O_1), (O_2), (O_3)$ có đúng hai điểm chung và đường thẳng nối hai điểm đó đi qua trọng tâm tam giác $ABC$.

Gợi ý

Gọi $AA_1, BB_1, CC_1$ là các đường cao của tam giác $ABC$. $A_2$ là giao điểm của $AO_1$ và $BC$.

  • Tam giác $A_2AD$ cân tại $A_2$ nên $A_2L \bot AL$. Và $O_1AL \backsim A_2AD$ nên $O_1$ là trung điểm của $AA_2$. Do đó $A_1$ thuộc đường tròn $(O_1)$ đường kính $AA_2$. Chứng minh tương tự thì $B_1, B_2 \in (O_2), C_1, C_2 \in (O_3)$.
  • Ta có $HA_1.HA = HB_1.HB$ và $OA, OB$ tiếp xúc với $(O_1), (O_2)$ và $OA = OB$ nên $HO$ là trục đẳng phương của $(O_1), (O_2)$.
  • Chứng minh tương tự thì $HO$ cũng là trục đẳng phương của các cặp đường tròn $(O_1), (O_3)$ và $(O_2), (O_3)$.
  • Do đó các đường tròn đi qua 2 điểm chung và đường thẳng qua 2 điểm chung là $HO$, và $HO$ qua $G$.

Ba đường thẳng đồng quy.

Leave a reply

Bài toán. (PoP 1.8) Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại tiếp điểm $M$. Gọi $AB$ là một tiếp tuyến chung của $()C1)$ và $(C_2)$ với $A, B$ phân biệt lần lượt là các tiếp điểm. Trên tia tiếp tuyến chung Mx của hai đường tròn ($Mx$ không cắt $AB$) lấy điểm $C$ khác $M$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $CA$ với $(C_1)$ và $CB$ với $(C_2)$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của $(C_1)$ tại $E$, tiếp tuyến của $(C_2)$ tại $F$ và $Mx$ đồng quy.

Gợi ý

Gọi $G$ là giao điểm tiếp tuyến tại $E$ của $(C_1)$ và tại $F$ của $(C_2)$.

  •  Ta có $CE.CA = CF.CB$ nên $AEFB$ nội tiếp.
    $\angle GEA = \angle BAE = \angle CFE$, suy ra $GE$ cũng là tiếp tuyến tại $E$ của $(CEF)$.
  • Chứng minh tương tự thì $FG$ là tiếp tuyến tại $F$ của $(CEF)$.
    Suy ra $CG$ là đường đối trung của $CEF$.
  • Mặt khác $CM$ qua trung điểm $AB$ và $CEF \backsim CBA$ nên $CM$ cũng là đường đối trung của $CEF$.
  • Vậy $G \in CM$.