Bài 1.

a) $\dfrac{{{x^4} – 10{x^2} + 9}}{{\sqrt {x – 2} }} = 0 \quad (1) $

Điều kiện: $x>2$

$(1) \Leftrightarrow {x^4} – 10{x^2} + 9 =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \quad (l) \\ x=-1 \quad (l) \\ x=3 \quad (n) \\ x=-3 \quad (l) \end{array} \right. $

Vậy $S=\left\{ 3 \right\} $

b) $x\sqrt{x^2-x+3} = x(x-6)$ (NX: $x^2 -x+3 >0$, $\forall x\in \mathbb{R}$)

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ \sqrt{x^2 -x +3 } = x-6 \ (*) \end{array}\right. $

$(*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-6\ge 0\\ x^2 -x +3 = (x-6)^2 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  x\ge 6\\ x=3\end{array}\right. $

$\Leftrightarrow x\in \emptyset$

Vậy $S=\left\{ 0\right\} $

Bài 2. ĐKXĐ: $x\ne 0$, $x\ne 1$

Phương trình trở thành: $(m+2)x=1$

Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} m+2\ne 0\\\\ \dfrac{1}{m+2}\ne 0\\\\ \dfrac{1}{m+2}\ne 1 \end{array}\right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\ne -2\\ m\ne -1 \end{array}\right. $

Vậy $m\ne -2$ và $m\ne -1$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{1}{m+2}$

Bài 3.

$VT= \left[ {\cos 2\pi – \cos \left( {2\pi + x} \right)} \right]\left[ {1 + {{\tan }^2}\left( {\dfrac{\pi }{2} – x} \right)} \right] $

$= (1-\cos x) (1+\cot^2 x)$

$ = (1-\cos x) \cdot \dfrac{1}{\sin^2 x}$

$= (1-\cos x )\cdot \dfrac{1}{1-\cos^2 x}$

$=\dfrac{1}{1+\cos x}=VP$

Bài 4.

a) Ta có: $D=\left| \begin{array}{*{20}{c}} {m}&{-(m+1)}\\ {2-m}&{m-3} \end{array}\right| = 2(1-m)$

$D_x = \left| \begin{array}{*{20}{c}} {1} & {-(m+1)}\\ {3-2m} & {m-3} \end{array}\right| = 2m(1-m)$

$D_y=\left| \begin{array}{*{20}{c}} {m} & {1}\\ {2-m} & {3-2m} \end{array}\right| = -2(m-1)^2$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $D\ne 0 \Leftrightarrow m\ne 1$

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x_0 = \dfrac{D_x}{D} = m\\\\ y_0= \dfrac{D_y}{D} = m-1 \end{array}\right. $

Ta có: $x_0^2 – y_0^2 -2x_0 = m^2 – (m-1)^2 -2m =-1$

Bài 5. Thay $M(0;4)$ vào $(P)$, ta có: $4=-m \Leftrightarrow m=-4$

Tọa độ đỉnh $I( -1;3)$

 

Bài 6.

a) Ta có: $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = – AD \cdot AB \cdot \cos 120^\circ = a^2$

Ta có: $AB^2 – AD^2 = \left( \overrightarrow{AB}\right) ^2 – \left( \overrightarrow{ AD}\right) ^2 $

$= \left( \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD}\right) \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right) = \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{AC}$

b) Đặt $\overrightarrow{DH} =x\overrightarrow{DB}$

Ta có: $\overrightarrow{AH} = x\overrightarrow{AB} + (1-x)\overrightarrow{AD}$

Ta có: $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$

$\Leftrightarrow \left( x\overrightarrow{AB} + (1-x)\overrightarrow{AD}\right) \cdot \left( \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}\right) =0$

$\Leftrightarrow x (-a^2) -4xa^2 + (1-x)a^2 -(1-x)(-a^2) =0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{7}$

Ta có: $\overrightarrow{DH} = \dfrac{2}{7} \overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DH} = \dfrac{2}{7} \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB}$

$=\dfrac{2}{7} \overrightarrow{DA} \left( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}\right) $

$=\dfrac{2}{7} \left( DA^2 + \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB}\right) $

$=\dfrac{4}{7}a^2$

 

Bài 7.

a) Gọi $M(x;y)$

Ta có: $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} – \overrightarrow {CB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{BA}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-6 = -5\\ y-1=1 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=2 \end{array}\right. $

Vậy $M(1;2)$

b) Gọi $I(x_I;y_I)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} IA = IB\\ IA = IC \end{array}\right. $

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x_I -y_I =12\\ (5-y_I)^2 = (1-y_I)^2 \end{array}\right. $

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_I=3\\ y_I=3 \end{array}\right. $

Gọi $E(0;y_E)\in Oy$.

Ta có: $IA = IE \Rightarrow (3-y_E)^2 =4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y_E =1\\ y_E =5 \end{array}\right. $

Vậy $E(0;1)$, $F(0;5)$ hoặc ngược lại.