Đặt $t=x\sqrt{x} \ge 0$

a) Khi $m=-33$ ta có phương trình: $t^2 -4t -32=0  \Leftrightarrow t=-4 \ ( \text{loại})  \text{ hoặc } \ t=8  ( \text{nhận})$

Với $t = 8$ ta được $x = 4$.

b) Với $t=x\sqrt{x}$ thì phương trình $(1)$ tương đương $t^2-4t+m+1=0 \ \ \ (2)$

Để $(1)$ có hai nghiệm phân biệt thì $(2)$ phải có hai nghiệm phân biệt không âm $\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta’>0 &\\\\ S>0 &\\\\ P\ge 0 \end{cases}$

Ta có $\Delta’ =3-m >0 \Leftrightarrow m<3 $ và $\left\{ \begin{array}{l} S=t_1 + t_2 =4 \\ P =t_1t_2=m+1 \end{array} \right. $

Khi đó $x_1^6 + x_2^6 = t_1^4 + t_2^4 $

$= \left( t_1^2 + t_2^2 \right) ^2 – 2t_1^2 t_2^2 $

$= \left[ S^2 -2P \right] ^2 -2P^2 $

$= (14-2m)^2 -2(m+1)^2 $

$= 2m^2 -60m +194 $

$x_1^6 + x_2^6 =82 \Leftrightarrow m^2 -30m +56 =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=2 \\ m=28 \end{array} \right.$

Chỉ có $m=2$ thoả các điều kiện. Vậy $m=2$ thoả yêu cầu đề bài.

a) Điều kiện $x > 0$.

Khi $m = -8$ ta có phương trình:

$\dfrac{(x+1)(x^2-8x-2)}{\sqrt{x}} = 0 \Leftrightarrow x^2-8x – 2 = 0$ (do $x+1 > 0$).

$\Leftrightarrow x = 4+3\sqrt{2} $ (n) hoặc  $x=4-3\sqrt{2} $ (l).

Vậy phương trình có một nghiệm $x = 4 +3\sqrt{2}$.

b) Phương trình $(1)$ tương đương $x^2+mx+2m+14 = 0$  $(2)$

Để $(1)$ có $2$ nghiệm phân biệt thì $(2)$ có hai nghiệm phân biệt dương, tương đương $\Delta = m^2-4(2m+14) > 0,  S = -m > 0,  P = 2m + 14 >0   (*)$

Khi đó $x_1 + x_2 = -m, x_1x_2 = 2m+14$ và $x_2$ là nghiệm nên $x_2^2+mx_2+2m+14 = 0$, suy ra $x_2^2+(m+1)x_2 +2m+14 = x_2$.

Do đó $\sqrt{x_2^2+(m+1)x_2+2m+14} = 3 – \sqrt{x_1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=3$

$\Leftrightarrow x_1 + x_2 +2\sqrt{x_1x_2}=9$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2m+14}=9+m $ (điều kiện $m\ge -9$)

$\Leftrightarrow 4(2m+14) = m^2+18m+81 $

$\Leftrightarrow m^2 +10m+25 = 0 $

$\Leftrightarrow m = -5 \,\, (n) $

Vậy $m = -5$ thoả yêu cầu đề bài.

Theo định lý Viete ta có $a+b=-p, ab = 1$ và $c+d = -q, cd = 1$.

Khi đó $(a-c)(a-d)(b-c)(b-d) = (a^2-a(c+d)+cd)(b^2-b(c+d)+cd)$

$= (a^2+aq+1)(b^2+bq+1)$

$= a^2b^2+abq^2+ab^2q + a^2bq + a^2+b^2+aq+bq+1$

$= 1+q^2+abq(a+b) + q(a+b)+1+(a+b)^2-2ab$

$= q^2-2pq+p^2 = (p-q)^2$.

a) Phương trình có hai nghiêm phân biệt khi và chỉ khi:

$\begin{cases} m^2+5 \ne 0 &\\ \Delta’=m^2+6m(m^2+5)>0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow m(6m^2+m+30)>0$

$\Leftrightarrow m[5m^2+(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{119}{4}] >0$

$\Leftrightarrow m>0.$

Khi đó theo định lý Viete ta có $x_1 + x_2 = \dfrac{2m}{m^2+5}$.

Vì $m^2+5-2m = (m-1)^2 + 4 > 0$, suy ra $m^2+5 >2m > 0$.

Do đó $0 < \dfrac{2m}{m^2+5} < 1$ nên tổng hai nghiệm của phương trình không thể là số nguyên.

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm $\Delta’ \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 0$. Khi đó

$\begin{cases} x_1+x_2=\dfrac{2m}{m^2+5}&\\ x_1x_2=-\dfrac{6m}{m^2+5}. \end{cases}$

Ta có $(x_1x_2-\sqrt{x_1+x_2})^4=16 \Leftrightarrow x_1x_2-\sqrt{x_1+x_2}=2$ hoặc $x_1x_2-\sqrt{x_1+x_2}=-2$

Trường hợp 1: $x_1x_2 – \sqrt {x_1 + x_2} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ – 6m}}{{{m^2} + 5}} – \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} = 2$ .

Đặt $t = \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} $ , ta có phương trình: $ – 3{t^2} – t = 2\left( {VN} \right)$

Trường hợp 2:  ${x_1}{x_2} – \sqrt {{x_1} + {x_2}} = – 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ – 6m}}{{{m^2} + 5}} – \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} = – 2$ .

Đặt $t = \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} $ ta có phương trình: $-3t^2 -t = -2 \Leftrightarrow t = -1 (l), t=\dfrac{2}{3}$.

Với $t = \dfrac{2}{3}$ ta có $\dfrac{2m}{m^2+5} = \dfrac{4}{9}$. Giải ra được $m = 2\ (n), m = \dfrac{5}{2}\ (n)$.

Ta có $\Delta=p^2-4p$.

Để phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta $ phải là số chính phương. Suy ra tồn tại số nguyên dương $k$ để

$p^2-4p=k^2$

$\Leftrightarrow k^2-(p-2)^2=4$

$\Leftrightarrow (k+p-2)(k-p+2)=4.$

Vì $k+p-2+k-p+2=2k $ là một số chẵn nên cả hai số $k+p-2$ và $k-p+2$ đều là số chẵn.

Từ đó $k+p-2=k-p+2=2$ hoặc $k+p-2=k-p+2=-2$.

Suy ra $p=2$. Khi đó phương trình trở thành $$x^2-2x+2=0.$$

Phương trình trên vô nghiệm vậy không tồn tại số nguyên dương $p$ thoả yêu cầu đề bài.

Theo định lý Viete ta có $x_1 + x_2 = -a, x_1x_2 = \dfrac{1-b}{2}$.

Khi đó $$Q= a^2 – b^2 + 2 = (x_1+x_2)^2 – (2x_1x_2-1)^2 + 2 = x_1^2 + x_2^2 -4x_1^2x_2^2 + 6x_1x_2 + 1$$ là một số nguyên.

Ta sẽ chứng minh $Q$ không chia hết cho 3.

Ta có tính chất sau, với một số nguyên $m$ bất kì thì nếu $m$ chia hết cho 3 thì $m^2$ chia hết cho 3. Nếu $m$ chia 3 dư 1 hoặc 2 thì $m^2$ chia 3 dư 1.

Ta có $Q = x_1^2 +x_2^2 – x_1^2x_2^2 + 1 – 3x_1^2x_2^2 + 6x_1x_2$.

Ta cần chứng minh $Q’ = x_1^2 + x_2^2 – x_1^2x_2^2 + 1$ không chia hết cho 3. Xét xác trường hợp sau:

TH1: Nếu $x_1, x_2$ không chia hết cho 3 thì $x_1^2 , x_2^2$ chia 3 dư 1. Khi đó $Q’$ chia 3 dư 2.

TH2: Nếu $x_1$ chia hết cho 3, $x_2$ không chia hết cho 3, khi đó $Q’$ chia 3 dư 2.

TH3: $x_1, x_2$ chia hết cho 3. Khi đó $Q’$ chia 3 dư 1.

Vậy $Q’$ không chia hết cho 3.

Do đó $Q$ không chia hết cho 3.

Gọi $x_0$ là nghiệm chung của hai phương trình. Khi đó ta có

$\begin{cases} x_0^2+ax_0+6=0 \ \ \ (1)&\\ x_0^2+bx_0+12=0 \ \ \ (2) \end{cases}.$

Cộng vế theo vế hai phương trình trên ta được $2x_0^2+(a+b)x_0+18=0 \ \ \ (3).$

Tồn tại $x_0 \Leftrightarrow $ phương trình (3) phải có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta=(a+b)^2-144 \ge 0 \Leftrightarrow |a+b| \ge 12.$

Mặt khác $|a|+|b| \ge |a+b| \ge 12$. Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases} ab \ge 0&\\|a+b|=12. \end{cases}$

Nếu $a+b=12$ thì từ (3) suy ra $ 2x_0^2+12x_0+18=0$

$\Leftrightarrow x_0^2+6x_0+9=0$

$\Leftrightarrow (x_0+3)^2=0$

$\Leftrightarrow x_0=-3.$

Thay vào (1) và (2) suy ra $a=5, b=7$.

Nếu $a+b=-12$ thì từ (3) suy ra $2x_0^2-12x_0+18=0 \Leftrightarrow x_0=3.$

Thay vào (1) và (2) suy ra $a=-5, b=-7.$

Vậy GTNN của $|a|+|b|$ bằng 12 khi $(a,b)=(5,7)$ hoặc (-5,-7).

Vì phương trình đã cho có hai nghiệm nên $a \ne 0$.

Khi đó $A=\dfrac{18- 9 \dfrac{b}{a}+ \left( \dfrac{b}{a}\right) ^2}{9-3\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}}.$

Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Khi đó $\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}&\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}. \end{cases}$

Biểu thức cần tính trở thành

$A=\dfrac{18- 9 \dfrac{b}{a}+ \left( \dfrac{b}{a}\right) 2}{9-3\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}}=\dfrac{18+9(x_1+x_2)+(x_1+x_2)^2}{9+3(x_1+x_2)+x_1x_2}$

Giả sử $0 \le x_1 \le x_2 \le 3 \Rightarrow \begin{cases} x_1^2 \le x_1x_2&\\ x_2^2 \le 9 \end{cases} \Rightarrow (x_1+x_2)^2 \le x_1^2+x_2^2+2x_1x_2 \le 9+3x_1x_2.$

Suy ra $Q=\dfrac{18- 9 \dfrac{b}{a}+ (\dfrac{b}{a})^2}{9-3\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}}$

$=\dfrac{18+9(x_1+x_2)+(x_1+x_2)^2}{9+3(x_1+x_2)+x_1x_2} $

$\le \dfrac{18+9(x_1+x_2)+9+3x_1x_2}{9+3(x_1+x_2)+x_1x_2}=3.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x_1=x_2=3$ hoặc $x_1=0$ và $x_2=3.$

Nếu $x_1=x_2=3$ thì $\begin{cases} \dfrac{-b}{a}=6&\\ \dfrac{c}{a}=9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=-6a&\\ c=9a. \end{cases}$

Nếu $x_1=0, x_2=3$ thì $\begin{cases} -\dfrac{b}{a}=3&\\ \dfrac{c}{a}=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=-3a&\\ c=0. \end{cases}$

Ta có $$A-2=\dfrac{3(x_1+x_2)+x_1^2+x_2^2}{9+3(x_1+x_2)+x_1x_2} \ge 0 \Rightarrow A \ge 2.$$

Dấu “=” xảy ra khi $x_1=x_2=0 \Leftrightarrow b=c=0.$

Vậy GTLN của A là 3 và GTNN của A là 2.