Tag Archives: DinhLy

Định lý Carnot

Ta bắt đầu với định lí 4 điểm, được sử dụng trong việc chứng minh các đường thẳng vuông góc.

Định lý 1. Cho các đoạn thẳng $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng $AB$ vuông góc $CD$ khi và chỉ khi $$AC^2 – AD^2 = BC^2 – BD^2$$

Chứng minh. Chứng minh định lí ta có thể dụng định lí pitago  hoặc có thể dùng trục đẳng phương (thực ra cũng tương đương như dùng pitago)

Xét các đường tròn $(C;CA)$ và $(D;DA)$ ta có $BC^2 – CA^2 = BD^2 – BD^2$
hay $P_{B/(C;CA)} = P_{B/(D;DA)}$.
Do đó $AB$ là trục đẳng phương của $(C)$ và $(D)$ nên $AB \bot CD$.

Định lý 2. (Định lý Carnot) Cho tam giác $ABC$, các điểm $M, N, P$ lần lượt thuộc các đường thẳng $BC, AC$ và $AB$. Khi đó đường thẳng qua $M, N, P$ lần lượt vuông góc $BC, AC$ và $AB$ đồng quy khi và chỉ khi $$MB^2 – MC^2 + NC^2 – NA^2 + PA^2 -PB^2 = 0$$

Chứng minh.

Gọi $X$ là giao điểm của đường thẳng qua $P$ vuông góc $AB$ và đường thẳng qua $N$ vuông góc $AC$. Theo định lí 4 điểm ta có
$XA^2 – XB^2 = PA^2 – PB^2$ và $XC^2 – XA^2= NC^2 – NA^2$
Khi đó $PA^2-PB^2 + NC^2- NA^2 = XC^2-XB^2$.\
Do đó $XM$ vuông góc với $BC$ khi và chỉ khi $XC^2-XB^2 = MC^2 -MB^2$\
hay $PA^2-PB^2 +NC^2+NA^2 = MC^2-MB^2 \Leftrightarrow MB^2 – MC^2 + NC^2 – NA^2 + PA^2 -PB^2 = 0$.

Định lý Menelaus

Định lý Menelaus. Cho tam giác $ABC$ và ba điểm $A’,B’,C’ $trên các đường thẳng chứa các cạnh $BC,CA,AB$ sao cho: hoặc cả ba điểm $A’,B’,C’ $ đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh, hoặc một trong ba điểm đó nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai cạnh của tam giác. Điều kiện cần và đủ để $A’,B’,C’ $ thẳng hàng là ta có hệ thức:
\begin{align}
\dfrac{AB’}{B’C} . \dfrac{CA’}{A’B} . \dfrac{BC’}{C’A} =1
\end{align}

Chứng minh

Ta phải chứng minh rằng (với điều kiện đã cho về các điểm $A’,B’,C’$):
$A’,B’,C’$ thẳng hàng $\Leftrightarrow$ (1)

Điều kiện cần. $A’,B’,C’$ thẳng hàng $\Rightarrow (1) $
Ta xét trường hợp hai điểm $(B’,C’)$ nằm trên hai cạnh của tam giác, còn $A’$ nằm trên phần kéo dài của$BC$.

  • Từ $B$, kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt đường thẳng $A’B’$ tại $M$.
    Ta có:
  • $\dfrac{CA’}{A’B}= \dfrac{B’C}{BM}$
  • $\dfrac{BC’}{C’A} = \dfrac{BM}{AB’}$
  • Nhân vế với hai đẳng thức trên:
    $$\dfrac{CA’}{A’B}.\dfrac{BC’}{C’A} = \dfrac{B’C}{AB’}$$
    Hay: $$\dfrac{AB’}{B’C}.\dfrac{CA’}{A’B}.\dfrac{BC’}{C’A}=1$$

Điều kiện đủ.  $(1) \Rightarrow A’,B’,C’$ thẳng hàng.
Giả sử $B’,C’$ nằm trên hai cạnh của tam giác, còn $A’$ nằm trên phần kéo dài của $BC$, và có hệ thức (1).

  • Nếu$C’$ không ở trên đường thẳng $A’B’$, và $A’B’$ cắt $AB$ tại $C”$ thì, theo điều kiện cần, ta có:
  • $\dfrac{AB’}{B’C}.\dfrac{CA’}{A’b}.\dfrac{BC”}{C”A}=1$ (2).
    Từ (1) và (2) suy ra:
  • $\dfrac{BC’}{C’A}=\dfrac{BC'”}{C”A}$
  • Vậy $C” \equiv C’$ (do $C”$ đều nằm trong đoạn thẳng $AB$), và ba điểm $A’,B’,C’$ thẳng hàng.
  • Trường hợp cả ba điểm $A’,B’,C’$ đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh của tam giác chứng minh tương tự.

Chú ý : Hệ thức (a) trong định lí Menelaus cũng là hệ thức trong định lí Ceva; nhưng do sự khác nhau trong giả thiết về vị trí của các điểm $A’,B’, C’$ mà ta có ba điểm thẳng hàng hay ba đường thẳng đồng quy (song song).

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, có $M, N$ là các điểm thuộc cạnh $AB, AC$ sao cho $AM = MB, AN = 2NC$. $MN$ cắt đường thẳng $BC$ tại $P$. Chứng minh $CP = CB$.

Gợi ý
  • Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$ với 3 điểm $M, N, P$ thẳng hàng ta có: $$\dfrac{MA}{MB}.\dfrac{PB}{PC}.\dfrac{NC}{NA} = 1$$
  • Mà $MA = MB, NA = 2NC$, suy ra $\dfrac{PB}{PC} = 2$, suy ra $PB = PC$.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng trong một tam giác, chân các đường phân giác trong của hai góc và chân của đường phân giác ngoài của góc thứ ba là điểm thẳng hàng.

Gợi ý
  • Giả sử các đường phân giác trong góc $B, C$ là $BE, CF$ và phân giác ngoài góc $A$ là $AD$. Khi đó $D$ nằm ngoài đoạn $BC$, $E, F$ thuộc các đoạn $AC, AB$.
  • Khi đó ta có $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}, \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{BC}{AB}, \dfrac{FA}{FB} = \dfrac{AC}{BC}$.
  • Suy ra $\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB} = \dfrac{AB}{AC}.\dfrac{BC}{AB}.\dfrac{AC}{BC} = 1$.
  • Theo định lý Menelaus thì $D, E, F$ thẳng hàng.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$, tiếp tuyến tại $B$ cắt $AC$ tại $E$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh rằng $D, E, F$ thẳng hàng.

Gợi ý

  • Ta có $\triangle DAB \backsim \triangle DCA$, suy ra $\dfrac{DB}{DA} = \dfrac{DA}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$.
  • Suy ra $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{DB}{DA} \cdot \dfrac{DA}{DC} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$.
  • Tương tự ta có $\dfrac{EC}{EA} = \dfrac{AC^2}{BC^2}, \dfrac{FA}{FB} = \dfrac{BC^2}{AB^2}$.
  • Khi đó $\dfrac{DB}{DC}\cdot \dfrac{EC}{EA} \cdot \dfrac{FA}{FB} = 1$.

Bài tập.

  1. Cho tam giác $ABC$, trên các cạnh $BC, AC$ lấy các điểm $M,N$ thỏa $BM = 2CM, CN = 3CA$, đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $AB$ tại $P$. Tính $\dfrac{PA}{PB}$.
  2. Chứng minh rằng chân 3 đường phân giác ngoài của một tam giác thì thẳng hàng.
  3. Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ tại $D, E, F$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $P$. Chứng minh $\dfrac{PB}{PC} = \dfrac{DB}{DC}$.
  4. Cho một tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp một đường tròn tại các điểm $M,N,P,Q$ theo thứ tự trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$. Chứng minh rằng $PN, QM$ và đường chéo $BD$ đồng quy.
  5. Trên trung tuyến $AD$ của một tam giác $ABC$, cho một điểm $K$ sao cho $AK = 3KD$; $BK$ cắt $AC$ tại $P$. Tính tỉ số diện tích của tam giác $ABP$ và $BCP$.
  6. Cho một tam giác $ABC$, một điểm $K$ trên $AB$ sao cho $\dfrac{AK}{KB}$=$\dfrac{1}{2}$, một điểm $L$ trên $BC$ sao cho $\dfrac{CL}{LB}$=$\dfrac{2}{1}$. Gọi $Q$ là giao điểm của các đường thẳng $AL$ và $CK$. Tìm diện tích tam giác $ABC$ nếu biết diện tích của tam giác $BQC$ bằng 1 (đơn vị diện tích).
  7. (*) Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $IAD, IBE, ICF$ thẳng hàng.
  8. (*) Cho tứ giác $ABCD$. Các đường thẳng $AD, BC$ cắt nhau tại $P$, $AB, CD$ cắt nhau tại $Q$; $AC, BD$ cắt nhau tại $I$, $PI$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh $\dfrac{QC}{QD} = \dfrac{KC}{KD}$.
  9. (*) (Đường thẳng Gauss) Cho tứ giác $ABCD$. Các đường thẳng $AD, BC$ cắt nhau tại $P$, $AB, CD$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh trung điểm các đoạn thẳng $AC, BD, PQ$ thẳng hàng.

Định lý Pytago (Phần 1)

Leave a reply

Định lý Pytago thuận. Trong một tam giác vuông tổng bình phương hai cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền.

Chứng minh

Có nhiều cách chứng minh định lý Pytago, trong đó có những cách bằng cắt ghép hình khá thú vị, tất nhiên để chứng minh chặc chẽ thì cần phải suy luận thêm.

      

Sử dụng tam giác đồng dạng.

Vẽ đường cao AH.

Khi đó $\triangle BAH \backsim \triangle BCA$, suy ra $BA^2 = BH.BC$ (1).

Tương tự $\triangle CAH \backsim \triangle CBA$, suy ra $CA^2 = CH.BC$ (2).

Khi đó $AB^2 + AC^2 = BH.BC + CH.BC = BC^2$.

Định lý Pytago đảo. Nếu trong một tam giác có tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Chứng minh
Giả sử tam giác $ABC$ có $AB^2 + AC^2 = BC^2$, chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Trên đoạn $BC$ lấy điểm $H$ sao cho $AB^2 = BH.BC$, suy ra $AC^2 = BC^2 – AB^2 = BC.CH$.

Ta có $\triangle BAH \backsim \triangle BCA (c.g.c)$, suy ra $\angle BAH = \angle BAC$.

Tương tự $\angle CAH = \angle CBA$. Suy ra $\angle BAC = \angle BAH + \angle CAH = \angle BAC + \angle CAB$, suy ra $\angle BAC = 90^\circ$.

Ví dụ 1. Tìm $x$ trong các trường hợp sau.

 

Lời giải
a. Cạnh huyền có độ dài 11 ta có:

  • $x^2 + 6^2 = 11^2$ (Pytago)
  • $x^2 +36  = 121$
  • $x^2 = 85$.
  • $x = \sqrt{85}$ (cm) (vì $x > 0$).

c. Tương tự như a.

 b. $x$ là cạnh huyền nên ta có:

  • $3^2 + (\sqrt{2})^2 = x^2$ (Pitago)
  • $9 + 2  = x^2$.
  • $x=\sqrt{11}$ (cm) (Vì $x > 0$)

d. Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông là $x$, cạnh huyền $\sqrt{10}$ nên:

  • $x^2 + x^2  =(\sqrt{10})^2$
  • $2x^2 =10$
  • $x^2 = 5$
  • $x = \sqrt{5}$ (cm) (vì $x > 0$)

Ví dụ 2. Tìm $y$ trong hình sau, lấy hai chữ số thập phân.

Gợi ý
 Tam giác $ABC$ có $x$ là cạnh huyền nên:

  • $x^2 = 5^2 + 1^2 = 26$.
  • $x = \sqrt{26}$.
  Tam giác $ACD$ có $6$ là cạnh huyền nên:

  • $6^2 = y^2 +x^2$
  • $36 = y^2 +26$.
  • $y^2 = 10$
  • $y  = \sqrt{10} \sim 3.16$

Bài tập.

  1. Tìm $x$ trong các hình sau:

Đáp số

a. Cạnh huyền có dộ dài bằng 26 (cm) ta có:

  • ${26^2} = {\left( {2x} \right)^2} + {\left( {3x} \right)^2}$ (Pytago)
  • $676 = 4{x^2} + 9{x^2}$
  • $676 = 13{x^2}$
  • ${x^2} = 52$
  • $x = \sqrt {52}$ (cm) (Vì $ x > 0$ )

b. Cạnh huyền có độ dài $2x$ (cm) ta có:

  • ${\left( {2x} \right)^2} = {9^2} + {x^2}$ (Pytago)
  • $4{x^2} – {x^2} = 81$
  • $3{x^2} = 81$
  • ${x^2} = 27$
  • $x = \sqrt {27}$ (cm) (Vì $ x > 0$ )

c. Cạnh huyền có độ dài bằng $3x$ (cm) ta có:

  • ${\left( {3x} \right)^2} = {\left( {2x} \right)^2} + {\left( {\sqrt {20} } \right)^2}$ (Pytago)
  • $9{x^2} = 4{x^2} + 20$
  • $5{x^2} = 20$
  • ${x^2} = 4$
  • $x = 2$ (cm) (Vì $ x > 0$ )

2. Tìm các giá trị chưa biết $x, y$ trên hình:

Đáp số
 a)Tam giác vuông cân có cạnh huyền $y$ (cm) ta có:
${y^2} = {2^2} + {2^2}$ (Pytago)
${y^2} = 8$
$y = 2\sqrt 2 $ (cm) (Vì $y > 0$)
Tam giác vuông có cạnh huyền$ x $(cm) ta có:
${x^2} = {y^2} + {3^2}$ (Pytago)
${x^2} = 8 + 9$
${x^2} = 17$
$x = \sqrt {17} $ (Vì $ x > 0 $)		 b)Tam giác vuông có cạnh huyền 7(cm) ta có:
${7^2} = {2^2} + {y^2}$ (Pytago)
${y^2} = 49 – 4$
${y^2} = 45$
$y = \sqrt {45}$ (cm) (Vì $ y > 0$ )
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $y$(cm) ta có:
${y^2} = {4^2} + {x^2}$ (Pytago)
$45 = 16 + {x^2}$
${x^2} = 45 – 16$
${x^2} = 29$
$x = \sqrt {29} $ (cm) ( Vì $x > 0 $ )

c) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 (cm) ta có:
${3^2} = {x^2} + {2^2}$ (Pytago)
${x^2} = {3^2} – {2^2}$
${x^2} = 5$
$x = \sqrt 5$ (cm) ( Vì $x > 0 $ )
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $y$ (cm) ta có:
${y^2} = {x^2} + {1^2}$
${y^2} = 5 + {1^2}$
${y^2} = 6$
$y = \sqrt 6 $ (cm) (Vì $y$ > 0)

3. Tìm $x$ (lấy 2 chữ số thập phân).

Gợi ý
 a. Gọi đường vuông góc có độ dài là $h$ (cm)

Gọi đường vuông góc có độ dài là $h$ (cm) .

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 (cm) ta có: ${3^2} = {x^2} + {h^2}$(Pytago)${h^2} = 9 – {x^2}$(1)

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 4 (cm) ta có:${4^2} = 3{}^2 + {h^2}$ (Pytago)

${h^2} = {4^2} – {3^2}$ (2

)Từ (1) và (2) suy ra: $9 – {x^2} = {4^2} – {3^2}$${x^2} = 2$$x = \sqrt 2  \approx 1,41$(cm)

 b. Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13 (cm) ta có:
${13^2} = {5^2} + {\left( {x – 2} \right)^2}$
${13^2} – {5^2} = {\left( {x – 2} \right)^2}$
${\left( {x – 2} \right)^2} = 144$
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – 2 = 12}\\
{x – 2 = – 12}
\end{array}} \right.$
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 14(n)}\\
{x = – 10(l)}
\end{array}} \right.$

4. Tính $AC$ trong hình sau:

Đáp số

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $ B$ ta có:

  • $A{D^2} = A{B^2} + B{D^2}$ (Pytago)
  • $B{D^2} = A{D^2} – A{B^2}$
  • $B{D^2} = {9^2} – {5^2}$
  • $B{D^2} = 56$
  • $BD = 2\sqrt {14} $(cm)

Mà: $BC = \dfrac{{BD}}{2}$

  • $ \Rightarrow BC = \sqrt {14}$ (cm)
  • Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ ta có:
  • $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$
  • $A{C^2} = {5^2} + {\left( {\sqrt {14} } \right)^2}$
  • $A{C^2} = 39$
  • $AC = \sqrt {39} $ (cm)

5. Tính độ dài $AB$ trong các hình sau:

Đáp số

a) Kẻ $ BH \bot AD\left( {H \in AD} \right)$
Khi đó $HDCB$ là hình chữ nhật ( tứ giác có 3 góc vuông)
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\rm{DC = }}HB = DA = 4cm}\\
{CB = DH = 3cm}
\end{array}} \right.$
Ta có: $HA = DA – DH = 4 – 3 = 1$(cm)
Xét $\Delta BHA$ vuông tại $H$ ta có:
$A{B^2} = H{B^2} + H{A^2}$(Pytago)
$A{B^2} = {4^2} + {1^2} = 17$
$AB = \sqrt {17}$ (cm)

b) Tương tự cũng dùng định lí Pytago

c) Dựng hình chữ nhật $ADMN$.
Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{MA = ND = 3cm}\\
{MN = AD = 5cm}
\end{array}} \right.4
Ta có: $BD = ND + NB = 3 + 1 = 4$ (cm)
Xét $\Delta ADB$ vuông tại $D$ ta có:
$A{B^2} = A{D^2} + D{B^2}$(Pytago)
$\Leftrightarrow A{B^2} = {5^2} + {4^2}4$
$ \Leftrightarrow A{B^2} = 41$
$\Leftrightarrow A{B^2} = 41$
$\Leftrightarrow AB = \sqrt {41}$ (cm)

6. Tam giác đều có độ dài cạnh bằng $3cm$. Tính diện tích tam giác.

7. Tam giác cân có cạnh bên bằng 8, cạnh đáy bằng 6. Tính diện tích tam giác.

8. Một hình thang có một đáy là $2x$ và các cạnh còn lại bằng $x$. Tìm $x$ biết diện tích hình thang bằng $6\sqrt{3}$.

9. Một người đi xe đạp từ $C$ đến $B$ với vận tốc $15km/h$. Hỏi đi được bao lâu thì người đó cách đều hai điểm $A$ và $B$ ?

10. Bạn Rô muốn treo một banner khuyến mãi dài 7m trước cửa hiệu. Có hai đinh treo được đóng trên tường, tạo thành một đoạn thẳng song song mặt đất và có độ dài 10m. Nếu muốn banner treo thấp hơn đoạn thẳng đó 1m thì độ dài hai dây treo phải là bao nhiêu?