1. Hàm số là gì?

a. Định nghĩa. Cho tập $D \neq \emptyset$, một quy tắc cho tương mỗi phần tử $x \in D$ với một và chỉ một phần tử $y \in \mathbb{R}$ được gọi là hàm số. Kí hiệu

$f: D \to \mathbb{R}$

      $x \mapsto y = f(x)$.

• $D$ được gọi là tập xác định.
• $y = f(x)$ được gọi là giá trị của hàm số tại $x$. 

b. Cách cho một hàm số. Các quy tắc có thể cho bởi công thức, ví dụ cho hàm số $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}, y = 2x + 1$. Tập xác định là $\mathbb{R}$.

Khi cho hàm số bởi công thức, nếu không nói gì đến tập xác định thì quy ước tập xác định trong trường hợp này là tập các giá trị $x$ để biếu thức có nghĩa.

Ví dụ 1. Cho $y = \dfrac{2}{4x-1}$. Thì biểu thức có nghĩa khi $4x -1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \dfrac{1}{4}$. Do đó tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus {\dfrac{1}{4}}$

2. Sự biến thiên của hàm số

• Cho hàm số $f$ xác định trên khoảng $I$. Ta nói $f$ đồng biến trên $I$ khi và chỉ khi $\forall x_1, x_2 \in I, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
• Cho hàm số $f$ xác định trên khoảng $I$. Ta nói $f$ đồng biến trên $I$ khi và chỉ khi $\forall x_1, x_2 \in I, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Ví dụ 2. Cho hàm số $y = f(x) = 2x – 3$.

Chứng minh rằng hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải. Lấy $x_1, x_2 \in \mathbb{R}, x_1 < x_2$. Ta có $f(x_1) – f(x_2) = (2x_1-3) – (2x_2-3) = 2(x_1 – x_2) < 0$, suy ra $f(x_1) < f(x_2)$.

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ 3. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{1}{x}$. Chứng minh hàm nghịch biến trên $(0;+\infty)$,

Lời giải. Lấy $x_1, x_2 \in (0;+\infty), x_1 < x_2$ ta có $f(x_1) – f(x_2) = \dfrac{1}{x_1} – \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}$.

Ta có $x_2 – x_1 > 0, x_1x_2 > 0$, suy ra $f(x_1) – f(x_2) > 0 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

Vậy hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty)$.

Chú ý. 

• $f$ đồng biến trên $I$ khi và chỉ khi $\forall x_1, x_2 \in I, \Rightarrow \dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} >0$
• $f$ đồng biến trên $I$ khi và chỉ khi $\forall x_1, x_2 \in I,  \Rightarrow \dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} < 0$

3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

a. Cho hàm số $f$ có tập xác định là $D$. Ta nói $f$ là hàm số chẵn nếu thoả

• $\forall x \in D \Rightarrow -x \in D$.
• $\forall x \in D, f(-x) = f(x)$.

b. Cho hàm số $f$ có tập xác định là $D$. Ta nói $f$ là hàm số lẻ nếu thoả

• $\forall x \in D \Rightarrow -x \in D$.
• $\forall x \in D, f(-x) = -f(x)$.

Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a. $y = 2x^2 + |x|$

b.$ y = \dfrac{1}{x^3}$.

Lời giải.

a. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}$.

$f(-x) = 2(-x)^2+|-x| = 2x^2 + |x| = f(x)$.

Do đó $f$ là hàm số chẵn.

b. Tập xác định là $D =\mathbb{R} \setminus {0}$.

Với $x \in D \Rightarrow -x \in D$.

$f(-x) = \dfrac{1}{(-x)^3} = \dfrac{-1}{x^3} = -f(x)$.

Suy ra $f$ là hàm số lẻ.

4. Đồ thị của hàm số

a. Định nghĩa. Cho hàm số có tập xác định $f$. Đồ thị hàm số là tập hợp các điểm $(x,y)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ sao cho

• $x \in D$.
• $y = f(x)$.

Ví dụ 4. Cho hàm số $y = x^3-3x + 2$. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

Lời giải. Gọi $M(x;y)$ là giao điểm của đồ thị với trục hoành, khi đó $y = 0$.

Ta có $M(x;0)$ thuộc đồ thị hàm số nên $ 0 = x^3-3x + 2 $ giải ra được $x=1, x=-2$.

Vậy giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là $M_1(1;0), M_2(2;0)$.

Chú ý. Nếu hàm số $y = f(x)$ có đồ thị (C) và hàm số $y = g(x)$ có đồ thị $(H)$. Khi đó hoành độ giao điểm của (C)  và (H) là nghiệm của phương trình $f(x)= g(x)$.

b. Tính chất. 

• Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

Bài tập rèn luyện

Dạng tìm tập xác định

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số $y= \dfrac{\sqrt{5-6x}-\sqrt{2x+11}}{x^2+3x+2}$.

Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x^2+5x-14}$.
b) $y=\sqrt{x^2-2x+5}-\dfrac{1}{x}$.
c) $y=\dfrac{x^2-2}{(x-2)\sqrt{x+1}}$.
d) $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{8-x}$.

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) $y=\sqrt{x+4+2\sqrt{x+3}}$.
b) $y=\dfrac{\sqrt{2x-3}}{(x^2-3x+2) \sqrt{7-x}}$.
c) $y =\dfrac{x+\sqrt{x+4}-2 \sqrt{2-x}}{-x^2+4x-3}$.
d) $y=\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}+\sqrt{2x-1}$.

Bài 4, Tìm $m$ để các hàm số sau xác định trên tập đã chỉ ra:

a) $y=\dfrac{2x+1}{x^2-6x+m-2}$ trên $D=\mathbb{R}$.
b) $y=\sqrt{x-m}+\sqrt{2x-m-1}$ trên $D=(0, +\infty)$.
c) $y=\sqrt{2x-3m+4}+\dfrac{x-m}{x+m-1}$ trên $D=(0, +\infty)$.
d) $y=\dfrac{x+2m}{x-m+1}$ trên $(0, +\infty)$.

Dạng 2. Sự biến thiên

Bài 1. Chứng minh hàm số $y=\dfrac{x^2-x-1}{x-1}$ đồng biến trên $(- \infty, 1)$ và $(1, + \infty)$.

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau
a) $y = 2020x – 2019$ trên $\mathbb{R}$
b) $y = \dfrac{1}{x-2048}$ trên $(2048;+\infty)$.
c) $y = x^3+x$ trên $\mathbb{R}$.
d) $y=\sqrt{x-4}-\sqrt{x+1}$ trên $(0, + \infty)$
e) $y=\sqrt{x+4+2 \sqrt{x+3}}$ trên tập xác định
f) $y=\dfrac{x}{x^2+1}$ trên $(1, + \infty)$

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

a) $y = x^3+x$ trên $\mathbb{R}$.
b) $y=\sqrt{x-4}-\sqrt{x+1}$ trên $(0, + \infty)$
c) $y=\sqrt{x+4+2 \sqrt{x+3}}$ trên tập xác định
d) $y=\dfrac{x}{x^2+1}$ trên $(1, + \infty)$

Dạng 3. Tính chẵn lẻ và đồ thị

Bài 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y=x^4-x^2+1$
b) $y=x^3-3x-4$
c) $y=\dfrac{x^4+x^2}{1-x^2}$
d) $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}$
e) $y=x^3 |x|$
f) $y=\dfrac{|x|}{x^2-4}$
g) $y=\sqrt{x}(x^2+1)$
h) $\sqrt{x^2+1}-\sqrt{1-x^2}$.

Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y = \dfrac{\sqrt{1-2x}-\sqrt{1+2x}}{x^2-x^4}$.
b) $y = \dfrac{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}}{|x|+2}$.

Bài 3. Cho hàm số $y = x^2 -2x-1$, có đồ thị $G$.

a) Nếu tịnh tiến $G$ qua phải hai đơn vị thì được đồ thị hàm số nào?
b) Nếu tịnh tiến qua trái một đơn vị và tịnh tiến lên 3 đơn vị thì được đồ thị hàm số nào?

Bài 4. Cho hàm số $y = \dfrac{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}{x^2-1}$.

a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Xét tính chẵn lẻ của hàm số. Từ đó nhận xét về đồ thị của hàm số.