Tag Archives: Số học

Phương trình nghiệm nguyên – P3

Leave a reply

Trong bài viết này ta bàn về phương pháp sử dụng bất đẳng thức và đánh giá. Đây là một trong những phương pháp rất hay và hữu dụng khi giải phương trình nghiệm nguyên, chủ yếu ta đánh giá chặn trên, chặn dưới của biết để đưa về hữu hạn trường hợp để xét. Chú ý các tính chất sau:

  • Giữa hai số nguyên có hữu hạn các số nguyên.
  • Giữa hai số chính phương có hữu hạn các số chính phương.
  • Một tập con các số nguyên dương bị chặn trên thì có hữu hạn phần tử.

Ta xét các ví dụ sau.

Ví dụ 1. Giải phương trình trong tập các số nguyên dương: $x+y+z = xyz$.

Lời giải. Do vai trò của $x, y, z$ là như nhau, ta có thể giả sử $x \geq y \geq z$.

Khi đó $x+y+z = xyz \Leftrightarrow \dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{xz} = 1$.

Mà $\dfrac{1}{xy},\dfrac{1}{xz}, \dfrac{1}{zy} \leq \dfrac{1}{z^2}$.

Do đó $1 \leq \dfrac{3}{z^2}$, suy ra $z^2 \leq 3$, suy ra $z = 1$.

Khi đó ta có phương trình: $x+y +1 = xy$, giải ra được $(x;y)$ là $(3;2)$.

Do vai trò $x, y, z$ là như nhau nên phương trình có nghiệm $(3;2;1)$ và các hoán vị.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: ${(x + y)^2} + 3x + y + 1 = {z^2}$.

Lời giải. Ta có $(x+y)^2 < (x+y)^2 + 3x + y + 1 < (x+y+2)^2$.

Mà $(x+y)^2 + 3x + y + 1 = z^2$ là số chính phương nên:

$(x+y)^2 + 3x+y +1 = (x+y+1)^2 \Leftrightarrow x = y$.

Khi đó $z = 2x+1$.

Vậy phương trình có nghiệm $(x, x, 2x+1)$ với $x$ nguyên dương.

Ví dụ 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x^2-y^2)^2 = 1+ 16y$.

Lời giải. Rõ ràng $y>0$, nếu $x$ thỏa thì $-x$ cũng thỏa. Ta xét $x\geq 0$.

  • Nếu $x=y$ thì $0 = 1+16y$ (vô lý).
  • Do đó đặt $x = y+a$ với $a\geq 1$. Khi đó
    • $(a^2+2ay)^2 = 1+16y \Leftrightarrow a^2+4a^3y +4a^2y^2 = 1+16y$. Suy ra $a < 2$.
    • Suy ra $a= 1$. Khi đó ta có $4y^2-12y = 0$, giải ra $y = 0, y=3$.
      • Nếu $y = 0, x = 1$.
      • Nếu $y=3, x=4$.
  • Vậy phương trình có nghiệm $(1;0), (-1;0), (4;3), (-4;3)$.

Một số bài toán khó hơn, phải kết hợp nhiều phương pháp. Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 4. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thỏa: ${5^x} = {y^4} + 4y + 1$

Lời giải.

  •  Có một nghiệm là $(0;0)$.
  • Dễ thấy $y$ chẵn nên $y^4+4y+1 \equiv 1 (\mod 8)$. Suy ra $x$ chẵn, $x = 2k$. Khi đó $(5^k)^2 = y^4 + 4y+1$ là số chính phương.
  • Ta có $y\geq 1$ nên $y^4 < y^4+4y + 1 < (y^2+2)^2$. Suy ra $y^4+4y + 1 = (y^2+1)^2 \Leftrightarrow y = 2$, suy ra $x = 2$.
  • Vậy có 2 cặp nghiệm $(0;0), (2;2)$.

Bài tập rèn luyện.

Các bài tập tương tự.

Bài 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $xy+yz+xz = 3xzy$.

Bài 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $(1+\dfrac{1}{x})(1+\dfrac{1}{y})(1+\dfrac{1}{z}) = 2$.

Bài 3.  Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tổng các ước dương của $p^4$ là một số chính phương.

Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho hệ phương trình $p+1=2x^2,p^2+ 1=2y^2$ có nghiệm nguyên.

Bài 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $5(x+y+z+t) + 10 = 2xyzt$.

Bài 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $1+x+x^2+x^3 = y^3$.

Bài 7. Tìm $m, n$ nguyên dương để $\dfrac{5mn+5m}{3m^2+2n^2}$ là số nguyên.

 

Phương trình nghiệm nguyên – P3

Leave a reply

Ta tiếp tục với phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, nay ta sẽ bàn tới phương pháp sử dụng đồng dư, chú ý một số cách tiếp cận sau:

  • Sử dụng đồng dư để chứng minh phương trình vô nghiệm.
  • Sử dụng đồng dư để suy ra tính chất của biến (tính chẵn lẻ, …), đưa về các dạng đã biết.

Ví dụ 1.  Giải phương trình $ x^3 +21y^3+5=0 $.

Lời giải
  • Ta có với mọi $x$ thì
    $ x^3\equiv 0, 1, -1\ (\mod 7) \Rightarrow x^3 +21y^2+5\equiv 5,6,4\ (\mod 7) $
  • Do đó phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2. Giải phương trình trong tập số tự nhiên: $6^x = y^2+y-2 $.

Lời giải
  • Với mọi số nguyên x thì $ 6^x \equiv 1\ (mod\ 5) $.
  • Mặt khác, $ y^2+y-2 = (y-1)(y+2) \equiv 0,3,4\ (mod\ 5) \Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $$7^x – 9^y = 4$$

Lời giải
  • Ta có $9^y \equiv 1 (\mod 4)$ suy ra $7^x \equiv 2 (\mod 4)$ suy ra $x$ chẵn. $x = 2k$.
  • Ta có $7^{2k} – 3^{2y} = 4 \Leftrightarrow (7^k-2)(7^k+2) = 3^{2y}$.
  • Dễ thấy $(7^k-2, 7^k+2) = 1$ suy ra $7^k-2 = 1, 7^k+2 = 3^{2y}$ vô nghiệm.

Ví dụ 4. Tìm $x, y, z$ nguyên dương và $z \geq 2$ thỏa $3^x + 5^x = y^z$.

Lời giải
  • Nếu $x = 1$ ta có $y^z = 8$ thì $y = 2, z=3$.
  • Nếu $x$ chẵn. $3^x + 5^x \equiv 2( \mod 4)$, suy ra $y$ chẵn và $y^z \equiv 2(\mod 4)$, suy ra $z = 1$. (vô lý).
  • Nếu $x$ lẻ, $x > 1$. Khi đó $LHS=3^x + 5^x = (3+5)(3^{x-1}-3^{x-2}\cdot 5 +\cdots +5^{x-1})$.
  • Ta có $3^{x-1}-3^{x-2}\cdot 5 +\cdots +5^{x-1}$ có $x$ số hạng lẻ, nên tổng là lẻ. Do đó $LHS$ chia hết cho 8, nhưng ko chia hết cho 16, kết hợp $z > 1$ ta được $z=3$.
  • $3^x + 5^x = y^3$. $5^6 \equiv 1 (\mod 9)$, suy ra $5^x \equiv 5 (\mod 9)$ nếu $x \equiv 1 (\mod 6)$; $5^x \equiv -1 (\mod 9)$ khi $x \equiv 3 (\mod 6)$; $5^x \equiv 7 (\mod 9)$ khi $x \equiv 5(\mod 6)$.
  • Mặt khác $y^3 \equiv 0, 1, -1 (\mod 9)$. Do đó $x \equiv 3 (\mod 6)$.
  • Lại có $3^x + 5^x \equiv 5 (\mod 7)$ khi $x \equiv 3 (\mod 6)$.
    Do đó phương trình vô nghiệm.
  • Kết luận $(1,2,3)$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:
a) $2^x-3^y=1$;

b) $2^x-3^y=7$;
c) $2^x+3^y=z^2$;
d) $3^x+4^y=5^z$;
e) $3^x+4^y=7^z$.
Bài 2. (PTNK 2013) Cho $M = a^2 + 3a + 1$ với $a$ là số nguyên dương.
a)  Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.
b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5?
Bài 3. (PTNK 2009)
a) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho ${a^2} + a = {2010^{2009}}$
b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho $a + {a^2} + {a^3} = {2009^{2010}}$

Phương trình nghiệm nguyên – P2

Leave a reply

Tương tự như phân tích thành tổng, phương pháp tiếp theo là Biến đổi thành tích. Phương pháp này dựa trên tính chất: Mỗi số nguyên dương được phân tích hữu hạn lần thành tích của hai hay nhiều số khác nhau.

Ví dụ 1. Giải phương trình nghiệm nguyên $$2xy + 3x + 4y = 9$$

Lời giải
  • Ta biến đổi thành $(x+2)(2y+3) = 15$.
  • Do đó $x+2 \in \{-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15\}$.
  • Giải ra được các nghiệm $(x;y)$ là: $(-17;-2), (-7;-3), (-5;-4), (-3;-9), (-1;6), \\(1;1), (3;0), (13;-1)$.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình $(xy-7)^2 = x^2 + y^2$.

Lời giải
  • $(xy-6)^2-(x+y)^2==-13$
  • $(xy-x-y-6)(xy+x+y-6) = -13$.
  • TH1:$xy – x-y-6 = -13, xy+x+y-6 = 1$.
  • TH2:$xy-x-y-6 = -1, xy+x+y-6 = 13$.
  • Giải ra nghiệm $(x;y)$ là $(3;4), (4;3), (7;0), (0;7)$.

Ví dụ 3. Giải nghiệm nguyên dương của phương trình $$x(y^2-p) + y(x^2-p) = 5p$$ trong đó $p$ là số nguyên tố.

Lời giải
  •  Biến đổi pt thành $(x+y)(xy-p) = 5p$.
  • TH1: $x+y = 5, xy – p = p$, giải ra được $(x;y,p)$ là $(1;4;2),(4;1;2), (2;3;3), (3;2;3)$.
  • TH2: $x+y = p, xy-p=5$, ta có $xy – x-y = 5 \Leftrightarrow (x-1)(y-1) = 6$.
    $(x;y;p)$ là $(3;4;7), (4;3;7)$.
  • H3: $x+y=5p, xy-p = 1$, ta có $5xy -x-y = 5 \Leftrightarrow (5x-1)(5y-1) = 26$. (Vô nghiệm).

Ví dụ 4. Giải phương trình trong tập các số nguyên dương $$x + x^2 + x^3 = y+y^2$$.

Lời giải
  • $x^3 = (y-x)(y+x+1)$.
  • Khi đó nếu $p$ là ước nguyên tổ của $y-x, y+x+1$ thì $p = 1$(vô lí). Do đó $(y-x, y+x+1) = 1$.
  • $y-x = a^3, y+x+1 = b^3$ và $ab=x$.
  • $b^3-a^3 = 2ab+1$, vì $b \geq a+1$, suy ra $b^3-a^3 = (b-a)(a^2+b^2+1) > 2ab+1$ phương trình vô nghiệm.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Giải các phương trình sau trong tập nguyên dương:
a) $ 2x^2+3xy-2y^2=7 $.
b) $ x^3-xy=6x-5y-8 $
c) $ x^3-y^3=91 $.
Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2020}$$
Bài 3. Tìm các số nguyên $x$, $y$ sao cho:
a) $3^x-y^3=1$;
b) $1+x+x^2+x^3=2^y$;
c) $1+x+x^2+x^3=2003^y$.
Bài 4. Tìm các số nguyên tố $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: $x^y+1=z$
Bài 5. Tìm các số nguyên dương $x, y,z$ thỏa $y$ nguyên tố và $y, 3$ không là ước của $z$ thỏa $x^3-y^3=z^2$.

Phương trình nghiệm nguyên – P1

Leave a reply

Tiếp theo chuyên mục số học dành cho các em lớp 8, 9 thi học sinh giỏi và thi vào 10, hôm nay là bài giảng về phương trình nghiệm nguyên.

Phương trình nghiệm nguyên là một trong những phần hay và khó nhất của số học, nhiều phương trình có vẻ rất đơn giản nhưng lại rất khó để giải, đó là một trong những điều thú vị cuốn hút nhiều học sinh đam mê toán học. Trong bài này chúng tôi xin nêu ra một vài phương pháp giúp các em bước đầu tiếp cận với việc giải phương trình nghiệm nguyên.

Phương pháp biến đổi thành tổng. Phương pháp này dựa trên tính chất: Mỗi số nguyên dương đều được biểu diễn thành tổng của hai hay nhiều số nguyên dương khác trong hữu hạn các trường hợp. Vì thế ta có thể xét những trường hợp này để cho ra cách giải, ngoài ra ta có thể đánh giá để đưa về ít trường hợp để xét hơn, giúp lời giải ngắn gọn hơn.

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau trong tập số nguyên

a) $x^2 + 3y^2 = 13$.

b) $2^x + y^4 = 85$.

c) $x^2 + y^2 + x + y – xy = 0$.

Lời giải

a) Ta biểu diễn 13 thành tổng của một số chính phương và một số khác:

$13 = 0^2 +13 = 1^2 + 12= 2^2 + 9 = 3^2 + 4$.

Trong các cách biểu diễn trên thì chỉ có $1^2 +12 = 1^2 + 3\cdot 2^2$ thỏa đề bài. Khi đó $x = \mp 1, y = \mp 2$.

Phương trình có 4 nghiệm $(-1;-2), (-1,2), (1,-2), (1,2)$.

b) Cũng có thể giải như trên, nhưng ta thêm một chút đánh giá cho lời giải gọn hơn, có thể đánh giá theo $x, y$.

Ta có $y^4 =85 – 2^x < 84 \Rightarrow |y| \leq 3$.

  • Nếu $|y| = 0, 2^x = 85$ (loại).
  • Nếu $|y|=1, 2^x = 84$ (loại).
  • Nếu $|y| = 2, 2^x = 69$ (loại).
  • Nếu $|y| = 3, 2^x = 4, x = 2$.

Từ đó phương trình có nghiệm là $(2,-3), (2,3)$.

Ví dụ 2. Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2 – 6xy + 14y^2-10y – 16 = 0$

Lời giải

Phương trình tương đương với $$(x-3y)^2 + 5(y-1)^2=21$$
Khi đó $5(y-1)^2 \leq 21 \Rightarrow (y-1)^2 <5$.

  • Nếu $(y-1)^2 = 0 \Rightarrow y = 1, (x-3)^2 = 21$(vô lý)
  • Nếu $(y-1)^2 = 1 \Rightarrow (x-3y)^2 = 16$ giải ra được $(x;y)$ là $(4;0), (-4;0), (12;2), (2;2)$.
  • Nếu $(y-1)^2 = 4 \Rightarrow (x-3y)^2 = 1$, giải ra được $(x;y)$ là $(10;3), (8;3), (-2;-1), (-4;-1)$.
    Vậy phương trình có 8 nghiệm.

Ví dụ 3. Giải phương trình nghiệm nguyên $2x^2- 2xy + 5y^2 = 41$.

Lời giải
  •  $(x-y)^2 + x^2 + 4y^2 = 41$.
  • $4y^2 < 41$ do đó $y \in \{0, 1, 2, 3, -1, -2, -3\}$
  • $(-1;-3), (-2;-3), (1;3)$ và $(2;3)$.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Giải các phương trình sau trong tập số nguyên:
a)  $19x^2+28y^2=2001$.
b) $3x^2 + y^2 – 4y = 24$.
c) $2^x + 5y^2 = 38$.
d) $x^2 – 6xy+13y^2 = 100$.
Bài 2. Giải các phương trình trong tập số nguyên:
a) $2x^2 + 6y^2 + 7xy – x- y = 25$.
b) $x^2 -xy+y^2 = x+y$

(còn nữa)

Bài tập chứng minh chia hết – Ôn thi vào lớp 10

Leave a reply

Các bài toán chứng minh chia hết trong chương trình ôn thi vào lớp 10, dành cho các em rèn luyện.

Bài 1. (Lâm Đồng 2018 – 2019)

Với $ n $ là số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng: $$ (20^n+16^n-3^n-1)\ \vdots \ 323. $$
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $5^{2n}+7$ chia hết cho 8.
Bài 3. (Bến Tre 2018 – 2019)
Cho $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng $ p^2-1 $ chia hết cho 24.
Bài 4.  Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $3^{3n+1} + 2^{n+2}$ chia hết cho 7.
Bài 5. Chứng minh rằng nếu $\overline{abc}$ chia hết cho 37 thì $\overline{bca}$ cũng chia hết cho 37.
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $(22n+7,33n+10)=1$
Bài 7. Chứng minh rằng nếu $a, b$ là các số nguyên thỏa $a^2 + b^2$ chia hết cho 3 thì cả hai số $a, b$ đều chia hết cho 3.

Bài 8. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $3^n + 5^n$ chia hết cho $3^{n-1} + 5^{n-1}$.
Bài 9. Cho $n$ là số tự nhiên không chia hết cho 2 và 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $k$ thì ${\left( {k + 1} \right)^n} – {k^n} – 1$ chia hết cho ${k^2} + k + 1$
Bài 10. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $(n-1)!$ không chia hết cho $n$.
Bài 11. Chứng minh rằng nếu $n$ không chia hết cho 7 thì $n^3-1$ hoặc $n^3+1$ chia hết cho 7.

Bài 12. (Tuyên Quang 2018 – 2019) Cho $a$, $b$, $c$ là các số nguyên. Chứng minh rằng: nếu $ a^{2016}+b^{2017}+c^{2018} $ chia hết cho 6 thì $ a^{2018}+b^{2019}+c^{2020} $ cũng chia hết cho 6.

Bài 13. Cho các số nguyên $x, y, z$ thỏa $(x-y)(y-z)(z-x) = x+ y + z$. Chứng minh rằng $x + y + z$ chia hết cho 27.
Bài 14. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a, b, c$ thì $abc(a^3-b^3)(b^3-c^3)(c^3-a^3)$ chia hết cho 7.
Bài 15. Cho tập $A= {1,2,3,4,5,6,7}$. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau lấy từ A. Chứng minh rằng không tồn tại hai số $b, c$ thuộc S sao cho $b$ chia hết cho $c$.
Bài 16.  Cho các số nguyên $x, y, z$ khác 0.\ Đặt $x^2 – yz = a, y^2- xz = b, z^2 – xy = c$. \Chứng minh rằng $ax+by + cz $ chia hết cho $a+b+c$.
Bài 17.  Chứng minh rằng trong một 100 số tự nhiên thì có một số hoặc một vài số có tổng chia hết cho 100.
Bài 18.  Chứng minh rằng trong tập mọi tập con có $n+1$ phần tử của tập ${1, 2, \cdots, 2n}$ thì luôn có hai số $a, b$ sao cho $a$ chia hết cho $b$.
Bài 19.  (PTNK 2019)
a) Tìm tất cả những số tự nhiên $n$ sao cho $2^n+1$ chia hết cho 9.
b) Cho $n$ là số tự nhiên $n>3$. Chứng minh rằng $2^n+1$ không chia hết cho $2^m-1$ với mọi số tự nhiên $m$ sao cho $2 < m \leq n$.
Bài 20. Cho hai số nguyên dương $m$, $n$ thỏa mãn $m+n+1$ là một ước nguyên tố của $2\left( m^2+n^2-1\right) $.
Chứng minh rằng $ m\cdot n $ là số chính phương.
Bài 21. Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ không vượt quá $2019$ thỏa mãn $n^3+2019$ chia hết cho $6$.
Bài 22. (Đại học KHTN Hà Nội 2018 – 2019) Cho $x$, $y$ là các số nguyên sao cho $ x^2-2xy-y^2$; $xy-2y^{2}-x$ đều chia hết cho 5. Chứng minh $ 2x^2+y^2+2x+y$ cũng chia hết cho 5.
Bài 23. Cho $n$ số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên $k$ ta đặt $S_k=1^k+2^k+….+n^k $. Chứng minh rằng: $S_{2019}\ \vdots \ S_1 $.
Bài 24.  (Vinh 2018 – 2019) Cho số tự nhiên $ n\geq2 $ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $ p-1 $ chia hết cho $n$ đồng thời $ n^3-1 $ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $ n+p $ là một số chính phương.
Bài 25. Cho hai số $m,n$ nguyên dương lẻ nguyên tố cùng nhau và $m^2 + 2 \, \vdots \, n$ và $n^2 + 2 \, \vdots \, m$.  Chứng minh rằng $m^2 + n^2 + 2$ chia hết cho $4mn$.
Bài 26. Cho các số $m,n$ nguyên dương thỏa $5m + n$ chia hết cho $5n+m$. Chứng minh $m$ chia hết cho $n$.
Bài 27. Cho các số $x,y$ nguyên dương thỏa $x^2 + y^2 + 10$ chia hết cho $xy$.
a)  Chứng minh rằng $x,y$ là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng $k = \dfrac{x^2+y^2+10}{xy}$ chia hết cho 4 và $k \geq 12$.

Hết

 

Phương pháp chứng minh chia hết – P4 – Nguyên lý Dirichlet

Leave a reply

Nguyên lý Dirichlet có nhiều ứng dụng trong toán học được phát biểu một cách đơn giản như sau: Nếu có $n+1$ con thỏ cho vào $n$ cái chuồng thì có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ.

Nếu áp dụng vào số học ta sẽ có phát biểu tương tự: Có $n+1$ số nguyên khi chia cho $n$ thì sẽ có hai số nào đó có cùng số dư khi chia cho $n$, hay có hai số mà hiệu của chúng sẽ chia hết cho $n$.

Trong bài này chúng ta sẽ sử dụng tích chất này để giải các bài toán về chia hết.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng trong 11 số chính phương có hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 20.

Lời giải

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 11 số chính phương có hai số có hiệu chia hết cho 10. Giả sử đó là $a$ và $b$.

Ta có $a = m^2, b = n^2$ và $a-b = m^2-n^2$ chia hết cho 10. Khi đó $m, n$ cùng tính chẵn lẻ, suy ra $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$ chia hết cho 4.

Do đó $a-b = m^2-n^2$ chia hết cho 5, 4 nên chia hết cho 20.

Ví dụ 2. Với 4 số nguyên $a, b, c, d$.

Chứng minh rằng $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 12

Lời giải

Đặt $A = (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$, ta chứng minh $A$ chia hết cho 3, 4.

  • Trong bốn số $a, b, c, d$ có hai số có cùng số dư khi chia cho 3, hay có hai số có hiệu chia hết cho 3. Do đó $A$ là tích các hiệu của hai số bất kì, nên $A$ chia hết cho 3.
  • Trong 4 số nếu có 3 số chẵn, hoặc 3 số lẻ, giả sử $a, b, c$ cùng tính chẵn lẻ, khi đó $(a-b)(b-c)$ chia hết cho 4. Do đó $A$ chia hết cho 3.
    • Nếu có hai số chẵn, hoặc hai số lẻ giả sử cặp $(a, b)$ và cặp $(c,d)$ cùng tính chẵn lẻ. Khi đó $(a-b)(c-d)$ chia hết cho 4. Do đó $A$ chia hết cho 4.
  • Vậy $A$ chia hết cho 12.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng
a) rong 5 số nguyên thì có 3 số có tổng chia hết cho 3.
b) Trong 17 số nguyên thì có 9 số có tổng chia hết cho 9.

Lời giải

a) Một số khi chia cho 3 có các số dư là 0, 1, 2.

  • Nếu 5 số khi chia cho 3 có 1 hoặc 2 số dư, khi đó sẽ có 3 số có cùng số dư khi chia cho 3, tổng 3 số này sẽ chia hết cho 3.
  • Nếu 5 số khi chia cho 3 có đủ 3 số dư 0, 1, 2 thì tổng ba số có số dư khác nhau sẽ chia hết cho 3.
  • Vậy trong 5 số thì có 3 số có tổng chia hết cho 3.

b)  Gọi 17 số đó là $a_1, a_2, \cdots, a_{16}, a_{17}$.

Theo câu a) trong 5 số $a_1, \cdots, a_5$ có 3 số có tổng chia hết cho $3$, giả sử 3 số đó là $a_1, a_2, a_3$.

Đặt $b_1 = \dfrac{1}{3}(a_1+a_2+a_3)$.

Tương tự trong các số $a_4, a_5, \cdots, a_8$, có 3 số có tổng chia hết cho 3, giả sử là $a_4, a_5, a_6$.

Đặt $b_2 = \dfrac{1}{3}(a_4+a_5+a_6)$.

Tương tự ta sẽ có b_3, b_4.

Cuối cùng, còn 5 số $a_{13}, a_{14}, \cdots a_{17}$ có 3 số có tổng chia hết cho 3, giả sử là $a_{14}, a_{15}, a_{16}$.

Đặt $b_5 = \dfrac{1}{3}(a_{14} +a_{15} + a_{16})$.

Ta thấy các số $b_1, b_2, \cdots, b_5$ là các số nguyên, do đó áp dụng câu a) có 3 số có tổng chia hết cho 3, giả sử là $b_1, b_2, b_3$, tức là $b_1+b_2+b_3$ chia hết cho 3.

Từ đó ta có $a_1 + a_2 +\cdots +a_8+a_9$ chia hết cho 9.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng trong 100 số phân biệt, luôn có một số hoặc một tổng vài số chia hết cho 100.

Lời giải

Ta xét các tổng sau

$S_1 = a_1$

$S_2 = a_2$

…

$S_{100} = a_1 + a_2 + \cdots +a_{100}$

Nếu trong các số $S_1, S_2, \cdots, S_{100}$ có một số chia hết 100 thì ta có điều cần chứng minh.

Nếu không có số nào chia hết cho 100 thì các số dư khi chia cho 100 là từ 1 đến 99, do đó tồn tại $i>j$ sao cho $S_i – S_j$ chia hết cho 100, hay $a_{j+1} + \cdots+a_i$ chia hết cho 100.

Do đó ta có điều cần chứng minh.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Chứng minh rằng tồn tại các số chỉ toàn chữ số 1 và chia hết cho 2019.

Bài 2. Chứng minh rằng mỗi tập con có $n+1$ phần tử của tập ${1, 2, \cdots, 2n}$ có hai số mà số này chia hết cho số kia.

Phương pháp chứng minh chia hết – P3

Leave a reply

Tiếp theo là phương pháp sử dụng đồng dư để chứng minh các bài toán chia hết.

Một số tính chất về đồng dư các bạn có thể xem lại từ bài giảng đồng dư

Sau đây ta xét một vài ví dụ sau.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$:
a) $A = 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n$ chia hết cho 19.
b) $5^{2n+1}+2^{n+4} + 2^{n+1}$ chia hết cho 23.

Lời giải

a) $5^{2n} = 25^n \equiv 6^n (\mod 19) \Rightarrow 7 \cdot 5^{2n} = 7 \cdot 6^n (\mod 19)$

Suy ra $ 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n \equiv 19 \cdot 6^n \equiv 0 (\mod 19)$.

Do đó $A = 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n$ chia hết cho 19.

b) Ta có $5^{2n+1}= 5 \cdot 25^n \equiv 5 \cdot 2^n (\mod 23)$.

Khi đó $5^{2n+1}+2^{n+4} + 2^{n+1} \equiv 5 \cdot 2^n + 16 \cdot 2^n + 2 \cdot 2^n (\mod 23)$

$\equiv 23 \cdot 2^n (\mod 23) \equiv 0 (\mod 23)$.

Do đó $5^{2n+1}+2^{n+4} + 2^{n+1}$ chia hết cho 23.

Ví dụ 2. Tìm tất các số $n$ để
a) $2^{2n} + 2^n + 1$ chia hết cho 5.
b) $2^n+ 1$ chia hết cho 9.

Lời giải

a) Ta thấy $16\equiv 1 (\mod 5)$, suy ra $16^n \equiv 1 (\mod 5)$.

Suy ra $2^{4k+r} \equiv 2^r (\mod 5)$.

Do đó ta xét $n$ theo moldun 4.

  • Nếu $n= 4k$, ta có $2^{2n} + 2^n + 1 \equiv 3 (\mod 5)$.
  • Nếu $n = 4k+1$ ta có $2^{2n} + 2^n + 1 \equiv 7 (\mod 5)$.
  • Nếu $n=4k+2$ ta có $2^{2n} + 2^n + 1 \equiv 4 (\mod 5)$.
  • Nếu $n=4k+3$ ta có $2^{2n} + 2^n + 1 \equiv 1 (\mod 5)$.

Vậy không tồn tại số tự nhiên $n$ để $2^{2n} + 2^n + 1$ chia hết cho 5.

b) Ta có $2^6 \equiv 1 (\mod 9)$, suy ra $2^{6k+r} equiv 2^r (\mod 9)$.

Đặt $n= 6k+r (0 \leq r \leq 5)$. Khi đó $2^n+1 \equiv 2^{6k+r}+1 \equiv 2^r + 1 (\mod 9)$

Do đó $2^n + 1$ chia hết cho 9 khi và chỉ khi $2^r+1$ chia hết cho 9, tìm ra được $r = 3$.

Vậy $n=6k+3$ với $k$ là số tự nhiên.

Ví dụ 3. Cho $a_n = 2^{2n+1} + 2^{n+1} + 1$ và $b_n = 2^{2n+1} – 2^{n+1} + 1$. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $n$, có một và chỉ một trong hai số $a_n, b_n$ chia hết cho 5.

Lời giải

Ta cần chứng minh $a_nb_n$ chia hết cho 5 và $a_n+ b_n$ không chia hết cho 5 với mọi $n$.

  • $a_n\cdot b_n = 2^{4n+2} + 1 \equiv 0 (\mod 5)$.
  • $a_n + b_n = 2^{2n+2} + 2 \equiv 4(-1)^n + 2  (\mod 5) \equiv 1, -2 (\mod 5)$.

Do đó $a_nb_n$ chia hết cho 5 và $a_n+b_n$ không chia hết cho 5.

Do đó có một và chỉ một trong hai số $a_n$ hoặc $b_n$ chia hết cho 5.

Ví dụ 4. (PTNK 2019) Cho $ A_n = 2018^n + 2032^n – 1964^n – 1984^n $ với $ n $ là số tự nhiên.
a) Chứng minh với mọi số tự nhiên $ n $ thì $ A_n $ chia hết cho $ 51 $.
b) Tìm tất cả những số tự nhiên $ n $ sao cho $ A_n $ chia hết cho $ 45. $

Lời giải

a) Do $ 2018 \equiv 1964 \quad \text{(mod 3)} \Rightarrow 2018^n \equiv 1964^n \quad \text{(mod 3)} . $
$ 2032 \equiv 1984 \quad \text{(mod 3)} \Rightarrow 2032^n \equiv 1984^n \quad \text{(mod 3)} $.
$ \Rightarrow A_n \ \vdots \ 3. $
Ta lại có $ 2018 \equiv 1984 \quad \text{(mod 17)} \Rightarrow 2018^n \equiv 1984^n \quad \text{(mod 17)} $.
$ 2032 \equiv 1964 \quad \text{(mod 17)} \Rightarrow 2032^n \equiv 1964^n \quad \text{(mod 17)} $.
$ \Rightarrow A_n \ \vdots\ 17. $
Do $ (3; 17) = 1 $ nên $ A_n \ \vdots \ 51 \quad \forall n$
b) $ A_n = 2018^n + 2032^n – 1964^n – 1984^n. $

b)

  • Ta xét các trường hợp của $ n $ để $ A_n \ \vdots \ 5. $
    Ta có $ A_n \equiv (-2)^n + 2^n -2\cdot(-1)^n $ (mod 5).
    Do đó nếu $ n $ lẻ $ \Rightarrow A_n \equiv 2 \quad $(mod 5)$ \quad \text{(loại)}$.
    Nếu $ n = 4k \Rightarrow A_n \equiv 2\cdot 2^{4k} -2 \equiv 2-2 \equiv 0 \quad$ (mod 5) (nhận)
    Nếu $ n = 4k + 2 \Rightarrow A_n \equiv 2\cdot 2^{4k+2} -2 \equiv 8 – 2 \equiv 6$ (mod 5) (loại).
    Vậy $ A_n \ \vdots \ 5 \Leftrightarrow n \ \vdots \ 4. $
  • Ta xét các trường hợp của $ n $ để $ A_n \ \vdots \ 9. $
    Ta có
    $A_n \equiv 2^n + (-2)^n – 2^n – 4^n \quad  (\mod 9)$
    $\equiv 2^n -4^n \quad \text { (mod 9) \quad (Do $n$ chẵn).}$
    $ \equiv 2^n(1-2^n) \quad \mod 9) Vì $ (2;9 ) = 1 \Rightarrow 2^n – 1  \vdots \ 9$.
    Xét $ n= 3k $ với $ k \in \mathbb{N} $. Ta có $ A_n \equiv 2^{3k} – 1 \equiv (-1)^k – 1 \quad (\mod 9) \Rightarrow k$ chẵn.

    • Xét $ n= 3k + 1 $ với $ k \in \mathbb{N} $. Ta có $ A_n \equiv 2^{3k + 1} – 1 \equiv 2\cdot(-1)^k – 1 \quad \text { (mod 9) \quad (loại)}. $
    • Xét $ n= 3k + 2 $ với $ k \in \mathbb{N} $. Ta có $ A_n \equiv 2^{3k + 2} – 1 \equiv 4\cdot(-1)^k – 1 \quad \text { (mod 9) \quad (loại)}. $
  • Vậy $ A_n \ \vdots \ 45 \Leftrightarrow n \ \vdots \ 12. $

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho $n$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
a) $5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}$ chia hết cho $23$;
b) $11^{n+2}+12^{2n+1}$ chia hết cho $133$;
c)  $5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}$ chia hết cho $59$;
d)  $5^{2n+1}.2^{n+2}+3^{n+2}.2^{2n+1}$ chia hết cho $38$.

Bài 2. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho:
a) $2^{3n+4}+3^{2n+1}$ chia hết cho 19
b) $n.2^n+ 1$ chia hết cho 3
c) $2^2n+2^n+1$ chia hết cho 21
d)  $1^n+ 2^n+ 3^n+ 4^n$ chia hết cho 5

Bài 3. Cho $n$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
a)  $2^{2^{2n}}+10$ chia hết cho $13$;
b) $3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5$ chia hết cho $22$.

Bài 4. (PTNK) Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho:
a) $n.2^n+3^n$ chia hết cho $5$;
b) $n.2^n+3^n$ chia hết cho $25$.

Phương pháp chứng minh chia hết – P2

Leave a reply

Phương pháp biến đổi thành tổng. 

Chú ý tính chất sau: $A, B$ chia hết cho $M$ thì $xA + yB$ chia hết cho $M$ với mọi $x, y$ nguyên.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu $4x-y$ chia hết cho 3 thì $A=4x^2 – 16xy-2y^2$ chia hết cho 9.

Lời giải
  • $x+2y = 4x-y -3(x-y)$ chia hết cho 3.
  • $4x^2-16xy-2y^2= (4x-y)(x+2y)+9xy$, mà $(4x-y)(x+2y)$ chia hết cho 9 nên $A$ chia hết cho 9.

Ví dụ 2. Cho hai số nguyên $a, b$ thỏa $(17a+5b)(5a+17b)$ chia hết cho 11.

Chứng minh rằng $(17a+5b)(5a+17b)$ chia hết cho 121.

Lời giải
  • $(17a+5b)(5a+17b)$ chia hết cho 11 thì $17a + 5b$ hoặc $5a+17b$ chia hết cho 11.
  • Nếu $17a+5b$ chia hết cho 11, khi đó $5a+17b = 22(a+b)  – (17a+5b)$ chia hết cho 11.
  • Khi đó $(17a+5b)(5a+17b)$ chia hết cho 121.
  • Tương tự cho trường hợp còn lại.

Ví dụ 3. Cho $n$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng $3^nn^3+1$ chia hết cho 7 khi và chỉ khi $3^n + n^3$ chia hết cho 7.

Lời giải

Bổ đề. Nếu $n$ không chia hết cho 7 thì $n^6-1$ chia hết cho 7.

Chứng minh bổ đề: Xét số dư.

Chiều thuận. Nếu $3^nn^3+1$ chia hết cho 7 thì $3^n + n^3$ chia hết cho 7.

Ta có $3^nn^3 + 1$ chia hết cho 7, suy ra $n$ không chia hết cho 7.

Khi đó $n^33^n + 1 = n^3(3^n+n^3) + 1 – n^6$, mà $1-n^6$ chia hết cho 7 (Theo bổ đề), suy ra $n^3(3^n+n^3)$ chia hết cho 7.

Mà $(n^3,7)=1$, suy ra $3^n+n^3$ chia hết cho 7.

Chiều đảo. Nếu $3^n+n^3$ chia hết cho 7, chứng minh $3^nn^3+1$ chia hết cho 7.

$3^n+n^3$ chia hết cho 7, suy ra $n$ không chia hết cho 7 và $n^3(3^n+n^3)$ chia hết cho 7.

Mà $n^3(3^n+n^3) = n^33^n + 1 + n^6-1$, trong đó $n^6-1$ chia hết cho 7 ,suy ra $3^nn^3+1$ chia hết cho 7.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Tìm các số $x, y$ để $\overline{2x7y5}$ chia hết cho 25.

Bài 2. Tìm số tự nhiên $n$ để $n^2+3n+1$ chia hết cho $n+1$.

Bài 3. Tìm số tự nhiên $n$ để $\dfrac{3n^2 + n+1}{n+2}$ là số nguyên.

Bài 4. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $n^2 + 9n – 2$ chia hết cho 11.

Bài 5. Chứng minh rằng $n^2 + n+2$ không chia hết cho 15 với mọi $n$.

Bài 6. Chứng minh rằng $n^2 + 3n+5$ không chia hết cho 121 với mọi $n$.

Bài 7. Ba số nguyên $a,\,b,\,c$thoả mãn điều kiện $a + b + c$ chia hết cho 3. Chứng minh rằng ${a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {a + c} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)$ chia hết cho 6.

Bài 8. Chứng minh rằng nếu $4x-y$ chia hết cho 3 thì $4x^2 + 7xy-2y^2$ chia hết cho 9.

Bài 9. Cho các số nguyên $a, b, c$ với $b \neq c$. Chứng minh rằng nếu các phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ và $(c-b)x^2 +(c-a)x+a+b = 0$ có nghiệm chung thì $a+b+2c$ chia hết cho 3.

Phương pháp chứng minh chia hết

Leave a reply

 

Bài toán chia hết là bài toán quan trọng trong các bài toán số học sơ cấp, trong chương trình trung học cơ sở các bài toán liên quan đến chia hết xuất hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi cũng như thi vào 10. Trong loạt bài viết này, tôi xin trình bày những phương pháp chứng minh chia hết, giúp các em ôn tập tốt hơn trong kì thi vào 10.

Phương pháp 1. Biến đổi thành tích.

Để chứng minh $A$ chia hết cho $B$, ta có thể làm như sau:

  • Biến đổi $B = C \cdot D$ với $(C, D)=1$ và chứng minh $A$ chia hết cho $C$ và $D$.
  • Biến đổi $A = M \cdot N$ và $B = C \cdot D$, trong đó $M$ chia hết cho $C$ và $N$ chia hết cho $D$.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng

a) Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.

b) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.

Lời giải

a) Gọi hai số chẵn liên tiếp là $2n, 2n+2$.

Ta có $2n(2n+2) = 4n(n+1)$. Do $n,n+1$ là hai số liên tiếp nên chắc chắn có một số chẵn, suy ra $n(n+1)$ chia hết cho 2, mà $4$ chia hết cho 4. Suy ra $4n(n+1)$ chia hết cho 8.

Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.

b) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp là $A = n(n+1)(n+2)(n+3)$, ta chứng minh $A$ chia hết cho 24. Ta có $24 = 3 \times 8$ với $(3,8)=1$, nên ta cần chứng minh $A$ chia hết cho 3 và 8.

Nếu $n$ lẻ thì $n+1, n+3$ là hai số chẵn liên tiếp tích chia hết cho 8, suy ra $A$ chia hết cho 8.

Nếu $n$ chẵn thì $n, n+2$ là hai số chẵn liên tiếp, tích chia hết cho 8, suy ra $A$ chia hết cho 8.

Trong ba số  liên tiếp $n, n+1, n+2$ có ít nhất một số chia hết cho 3 nên $A$ chia hết cho 3.

$A$ chia hết cho 3, 8 và $(3,8)=1$, do đó $A$ chia hết cho 24.

Ví dụ 2.  Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $m$ lẻ thì $m^3 + 3m^2 – m – 3$ chia hết cho $48$.

Lời giải

Đặt $A = m^3+3m^2-m-3$, ta có $A = (m+3)(m^2-1)$.

Do $m$ lẻ nên $m = 2n + 1$, $n$ là số tự nhiên. Khi đó $A = (2n+4)((2n+1)^2-1) = 8n(n+1)(n+2)$.

Ta có $n(n+1)(n+2)$ là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, do đó chia hết cho 6.

Vậy $A$ chia hết cho 48.

Ví dụ 3.  Cho $n$ là số tự nhiên thỏa $n = \dfrac{x^2-1}{2} = \dfrac{y^2-1}{3}$ với $x, y$ là các số nguyên.
a) Chứng minh $n = y^2 – x^2$.
b) Chứng minh $n$ chia hết cho 20.

Lời giải

a) $n = \dfrac{x^2-1}{2} = \dfrac{y^2-1}{3} = \dfrac{y^2-1-(x^2-1)}{3-2} = y^2-x^2$.

b) Ta chứng minh $n$ chia hết cho 4 và 5.

Ta có $n = \dfrac{x^2-1}{2}$, suy ra $x$ lẻ, $x = 2k+1$, khi đó $n = \dfrac{(2k+1)^2-1}{2} = 2k(k+1)$ chia hết cho 4.

Ta có $n = \dfrac{x^2+y^2-2}{5}$, suy ra $x^2+ y^2$ chia 5 dư 2. (1)

Mà $x^2, y^2 \equiv 0, 1, 4 (\mod 5)$.

Do đó (1) chỉ xảy ra khi $x^2 \equiv y^2 equiv 1 (\mod 5)$, suy ra $n=x^2 – y^2$ chia hết cho 5.

Vậy $n$ chia hết cho 20.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho $8$.
Bài 2. Chứng minh rằng nếu $n$ là số chẵn thì $n^2 + 2n$ chia hết cho $8$.
Bài 3. Chứng minh rằng nếu $n$ là số lẻ thì $n^2 – 1$ chia hết cho $8$.
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n$ chia hết cho $24$.
Bài 5. Chứng minh rằng nếu $n$ không chia hết cho $3$ thì $n^2 – 1$ chia hết cho $3$.
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $n^5 – n$ chia hết cho $30$.
Bài 7. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lẻ lớn hơn $3$ thì $p^2 – 1$ chia hết cho $24$.
Bài 8. Chứng minhg rằng với mọi số tự nhiên $n$ lẻ thì $n^{12} – n^8-n^4+1$ chia hết cho $512$.
Bài 9. Chứng minh rằng với mọi số $n$ chẵn thì $n^4-4n^3-4n^2+16n$ chia hết cho $384$.
Bài 10. Cho $12$ số tự nhiên có tổng chia hết cho $6$.

Chứng minh rằng tổng lập phương của $12$ số đó cũng chia hết cho $6$.

Đồng dư

Leave a reply

Định nghĩa. Cho hai số nguyên $a,b$ và số tự nhiên $n$. Nếu $a,b$ chia cho $n$ có cùng số dư, ta nói rằng $a$ và $b$ đồng dư khi chia cho $n$ và kí hiệu $ a \equiv b (mod n)$ (đọc là $a$ đồng dư $b$ theo modul $n$).

Nhận xét. $ a \equiv b (mod n) \Leftrightarrow (a-b) \vdots n $

Ví dụ 1. $ 28 \equiv 3(mod5) $

Định lý. Cho $a, b, c$ là các số nguyên, $n$ là số nguyên dương.
1) Nếu $ a\equiv b(mod n), b \equiv c(mod n) $ thì $ a \equiv c(mod n) $
2) Nếu $ a\ \equiv b(mod n)$ thì $ a\pm c \equiv b\pm c(mod n) $ với mọi số nguyên c.
3) Nếu $ a\equiv b(mod n), c \equiv d(mod n) $ thì $a+c \equiv b+d(mod n)$
4) Nếu $ a\equiv b(mod n)$ thì $ c.a\equiv c.b(mod n) $ với mọi số nguyên c.
5) $ a\equiv b(mod n) $ thì $ a^k\equiv b^k(mod n) $ với mọi số nguyên dương k. Đặc biệt nếu $ a\equiv 1(mod n) $ thì $ a^k \equiv 1(mod n) $

Chứng minh
1) Ta có $ a-c=a-b+b-c $, mà $ a\equiv b(mod n), b\equiv c(mod n) $ nên $ a-b\vdots n, b-c\vdots n $, do đó $ a-c \vdots n $ hay $ a\equiv c(mod n) $.
2) $ a-b=(a\pm c)-(b\pm c) $, do đó $ a\equiv b(mod n) \Leftrightarrow a\pm c \equiv b\pm c(mod n) $
3) $ a+c-(b+d)=(a-b)+(c-d)\vdots n $, suy ra $ a+c\equiv b+d(mod n) $
4) Do $ a\equiv b(mod n) $ nên $ a-b\vdots n\Rightarrow ca-cb\vdots n$với mọi số nguyên c. Do đó $ ca\equiv cb(mod n) $.
5) Ta có $ (a^k-b^k)\vdots (a-b) $ với mọi số tự nhiên k. Do đó nếu $ a\equiv b (mod n) $ thì $ a^k\equiv b^k(mod n) $

Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì $ 6^{2n}+2^{3n+2}+4 $ chia hết 7.

 

Ta có $ 6\equiv-1(mod 7) $, suy ra $ 6^{2n}\equiv (-1)^{2n}(mod n)\equiv 1(mod n) $
Và $ 2^{3n+1}=2.8^n\equiv 1(\mod 7) $ nên $ 2^{3n+1}\equiv 2(mod 7) $
Do đó $ 6^{2n}+2^{3n+1}+4\equiv2+1+4\equiv0(mod 7) $ hay $ 6^{2n}+2^{3n+1}+4\vdots7 $.

Định lý 27. Cho a, b là các số nguyên, $ m_1, m_2 $ là các số tự nhiên thỏa $ a\equiv b(mod m_1), a\equiv b\ (mod m_2) $ và $ (m_1, m_2)=1 $ thì $ a\equiv b(mod m_1\cdot m_2) $.

Chứng minh. Ta có $ m_1|(a-b) $ và ($ m_1, m_2 $)=1 thì $ m_1.m_2|(a-b) $. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.\

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho $n$ là số tự nhiên. Tìm chữ số tận cùng của các số $ 2^n, 3^n, 4^n $.

Bài 2. Chứng minh rằng $ 1941^{1963}+ 1963^{1941}-1 $ chia hết cho 7.

Bài 3. Chứng minh $ 3^{n+2}+4^{2n+1} $ chia hết cho 13.

Bài 4. Tìm phần dư của $ 1! + 2!+…+10! $ khi chia hết cho 15.

trong đó $ n!= 1.2…(n-1)n. $

Bài 5. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m biết $ m \equiv 2\ (mod\ 6),\ m \equiv 2\ (mod\ 8) $

Bài 6. Chứng minh $ 2^{2^n} +5 $ là hợp số.

Bài 7. Cho $ a^2+b^2 \equiv 0\ (mod\ 3) $, chứng minh $ a \equiv 0\ (mod\ 3),\ b \equiv 0\ (mod\ 3) $.

Bài 8. Tìm hai chữ số tận cùng của số $ 9^{9^9} $.

Bài 9. Một lớp học khi sắp thành 2 hàng, 3 hàng, 5 hàng đều dư ra 1 em. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh biết rằng số học sinh không nhiều hơn 50.

Bài 10. Chứng minh rằng nếu $ a_i \equiv b_i (mod\ m) $ với i = 1, 2, …,n thì

a) $$  \qquad \sum_{i=1}^{n} a_{i}\equiv\sum_{i=1}^{n} b_{i} \quad \text{(mod m)}$$

b) $$ \qquad \prod_{i=1}^{n} a_{i}\equiv \prod_{i=1}^{n} b_{i} \quad \text{(mod m)}$$

Trong đó $$ \qquad \sum_{i=1}^{n} {x_i} = x_1+x_2+…+x_n,\qquad \prod_{i=1}^{n} x_{i}=x_1, x_2…x_n $$.