Tag Archives: TuGiac

Tứ giác

Định nghĩa. Tứ giác $ABCD$ là hình gồm các đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA$.

Định lí. Tổng 4 góc trong một tứ giác bằng $360^\circ$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có $\angle A = 70^\circ$. Các tia phân giác $BD, CE$ của các góc $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $I$; các tia phân giác ngoài của các góc $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $J$.

a)Tính số đo các góc của tứ giác $BICJ$.
b) hứng minh $A$, $I$, $J$ là ba điểm thẳng hàng.
c) Tứ giác $ABIC$ có phải là tứ giác lồi không? Vì sao?

Bài 2. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $I, J$ theo thứ tự là giao điểm của các phân giác trong và phân giác ngoài của các góc $A, B$.

a) Chứng minh rằng $\angle AIB = \dfrac{1}{2}(\angle C+ \angle D)$; $\angle AJB = \dfrac{1}{2}(\angle A + \angle B)$.
b) Chứng minh rằng $\angle AIB $ và $\angle AJB$ là hai góc bù nhau.

Bài 3. Cho tứ giác $ABCD$ có $\angle ACB = \angle ADB = 25^\circ, \angle BDC = 60^\circ, \angle ACD = 30^\circ$, góc ngoài của góc $A$ bằng $55^\circ$. Tính số đo các góc $\angle CAB, \angle DBA, \angle ABC$.

Bài 4.  Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng:

a) $AC + BD < AB + BC + CD + DA$.
b) $AB + BC+ CD + DA < 2(AC + BD)$.

Bài 5.  Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat A + \widehat C = 180^\circ$, các tia $DA, CB$ cắt nhau tại $E$, tia $BA, CD$ cắt nhau tại $F$. Phân giác của góc $\widehat {DEC}$ và phân giác của góc $\widehat {CFB}$ cắt nhau tại $H$. Tính $\widehat {EHF}$.

Bài 6. Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{ADB} = 10^\circ, \widehat {BDC} = 50^\circ, \widehat {ACD} = 60^o\circ , \widehat {ACB }= 20^o\circ$. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác $ABCD$.

Bài 7. Cho tứ giác $ABCD$ có tam giác $ACD$ đều, tam giác $ACB$ cân tại $C$ và $\angle ACB = 20^0$.

a) Tính số đo góc $A,B$ của tứ giác.
b) Gọi $O$ là giao điểm của $AC, BD$. Tính số đo các góc $\widehat {ABD}, \widehat {COD}$.

Bài 8.  Cho tứ giác $ABCD$ có $AB+BD$ không lớn hơn $AC+CD$. Chứng minh $AB < AC$.

Bài 9. Cho tứ giác $ABCD$ và một điểm $O$ nằm trong tứ giác. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ $O$ đến các đỉnh của tứ giác thì lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Bài tập tứ giác

Leave a reply

Bài 1. Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài).

Giải
  Cho tứ giác $ABCD$.

  • Ta có $\angle{A_1} + \angle{B_1} + \angle{C_1} + \angle{D_1} = 360^\circ$,
    cần tính $\angle{A_2} + \angle{B_2} + \angle{C_2} + \angle{D_2}$.
  • $\angle{A_2} + \angle{B_2} + \angle{C_2} + \angle{D_2}$
  • $= (180^\circ – \angle{A_1}) + (180^\circ – \angle{B_1}) + (180^\circ – \angle{C_1}) + (180^\circ – \angle{D_1})$
  • $= 720^\circ – (\angle{A_1} + \angle{B_1} + \angle{C_1} + \angle{D_1}) = 720^\circ – 360^\circ = 360^\circ$.
  • Vậy tổng các góc ngoài của tứ giác bằng $360^\circ$.

 

Bài 2. Tứ giác $ABCD$ có $AB = BC$, $CD = DA$.
a) Chứng minh rằng $BD$ là đường trung trực của $AC$.
b) Cho biết $\angle{B} = 100^\circ$, $\angle{D} = 70^\circ$, tính $\angle{A}$ và $\angle{C}$.

Giải

a) $BA = BC$ và $DA = DC$ nên $BD$ là đường trung trực của $AC$.
b)

  • $\triangle{ABD} = \triangle{CBD}$ (c.c.c)
  • $\Rightarrow \angle{BAD} = \angle{BCD}$.
  • Ta lại có
    $\angle{BAD} + \angle{BCD} = 360^\circ – \angle{B} – \angle{D}$
  • $= 360^\circ – 100^\circ – 70^\circ = 190^\circ$.
  • Do đó $\angle{A} = \angle{C} = 190^\circ : 2 = 95^\circ$.

Bài 3. Tính các góc của tứ giác $ABCD$, biết rằng :
$\angle{A} : \angle{B} : \angle{C} : \angle{D} = 1 : 2 : 3 : 4$.

Giải
  • Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau và tổng các góc của tứ giác :
    $\dfrac{\angle{A}}{1} = \dfrac{\angle{B}}{2} = \dfrac{\angle{C}}{3} = \dfrac{\angle{D}}{4} = \dfrac{\angle{A} + \angle{B} + angle{C} + \angle{D}}{1 + 2 + 3 +4} = \dfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ$
  • Do đó, $\angle{A} = 36^\circ, \angle{B} = 72^\circ, \angle{C} = 108^\circ, \angle{D} = 144^\circ$.

Bài 4. Tứ giác $ABCD$ có $\angle{A} = 65^\circ$, $\angle{B} = 117^\circ$, $\angle{C} = 71^\circ$. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh $D$.

Giải

Tính góc $D$ của tứ giác $ABCD$, được $107^\circ$.

Góc ngoài tại đỉnh $D$ bằng $73^\circ$.

Bài 5. Chứng minh rằng tất cả các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, hoặc không thể đều là góc tù.

Giải

Giả sử bốn góc của một tứ giác là bốn góc nhọn thì tổng bốn góc của tứ giác nhỏ hơn $360^\circ$, trái với tính chất về tổng các góc của tứ giác bằng $360^\circ$. Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn. Học sinh tự chứng minh bốn góc của tứ giác không thể đều là góc tù.

Bài 6. Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh $A$ và $C$ bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh $B và D$.

Giải
  • Gọi $\angle{A_1}$ và $\angle{C_1}$ là các góc trong tại các đỉnh $A$ và $C$. Gọi $\angle{A_2}$ và $\angle{C_2}$ là các góc ngoài tại các đỉnh $A$ và $C$.
  • Ta có: $\angle{A_2} + \angle{C_2} = (180^\circ – \angle{A_1}) + (180^\circ – \angle{C_1})$
  • $= 360^\circ – \angle{A_1} – \angle{C_1}$ (1)
  • Ta lại có : $\angle{B} + \angle{D} = 360^\circ – \angle{A_1} – \angle{C_1}$ (2)
  • Từ (1) và (2) suy ra : $\angle{A_2} + \angle{C_2} = \angle{B} + \angle{D}$.

Bài 7. Tứ giác $ABCD$ có $\angle{A} = 110^\circ$, $\angle{B} = 100^\circ$. Các tia phân giác của các góc $C$ và $D$ cắt nhau ở $E$. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh $C$ và $D$ cắt nhau ở $F$. Tính $\angle{CED}$, $\angle{CFD}$.

Giải

Tứ giác $ABCD$ ta có
$\angle{C} + \angle{D} = 360^\circ – \angle{A} – \angle{B}
= 360^\circ – 110^\circ – 100^\circ = 150^\circ$
nên $\angle{C_1} + \angle{D_1} = \frac{angle{C_1} + \angle{D_1}} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ.
\triangle{CED} có \angle{CED} = 180^\circ – (angle{C_1} + \angle{D_1})
= 180^\circ – 75^\circ = 105^\circ$
Vì $DE$ và $DF$ là các tia phân giác của hai góc kề bù nên $DE \perp DF$. Trong tự, $CE \perp CF$.
Xét tứ giác $CEDF$:
$\angle{F} = 360^\circ – \angle{E} – \angle{ECF} – \angle{EDF} = 360^\circ – 105^\circ – 90^\circ – 90^\circ = 75^\circ$.

Bài tập tự giải.

  1. Tứ giác $ABCD$ có $\angle{B} = \angle{A} + 10^\circ$, $\angle{C} = \angle{B} + 10^\circ$, $\angle{D} = \angle{C} + 10^\circ$. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
    (A) $\angle{A} = 65^\circ$ , (B) $\angle{B} = 85^\circ$ ; (C) $\angle{C} = 100^\circ$ ; (D) $\angle{D} = 90^\circ$.
  2. Tứ giác $ABCD$ có $\angle{C} = 60^\circ$, $\angle{D} = 80^\circ, \angle{A} – \angle{B} = 10^\circ$. Tính số đo các góc $A$ và $B$.
  3. Tứ giác $ABCD$ có chu vì 66cm. Tính độ dài $AC$, biết chu vi tam giác $ABC$ bằng 56cm, chu vi tam giác $ACD$ bằng 60cm.

Tứ giác – Phần 1

Leave a reply

Định nghĩa. Tứ giác $ABCD$ là hình gồm bốn đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA$, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Định nghĩa. Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

Định lý. (Tổng 4 góc trong của một tứ giác lồi)

Tổng các góc của một tứ giác bằng $ 360^\circ $

Ví dụ 1. Cho tứ giác $ABCD$ có $\angle A =\angle C = 90^\circ$ và $\angle B= 2 \angle D$.

a. Tính số đo các góc $B$ và $D$.

b. Chứng minh $AB^2+AD^2 = BC^2+CD^2$.

Giải

 

a. Ta có $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

$90^\circ + 2 \angle D + 90^\circ + \angle D = 360^\circ$

$3 \angle D = 180^\circ$.

$\angle D = 60^\circ$.

$\angle B = 120^\circ$.

b. Áp dụng Pitagore cho tam giác $ABD$ ta có: $AB^2 +AD^2 = AC^2$.

Tương tự cho tam giác $BCD$ ta có $CB^2+CD^2 = AC^2$.

Vậy $AB^2+AD^2=CB^2+CD^2$.

Ví dụ 2. Cho tứ giác $ABCD$ có $\dfrac{\angle A}{1} = \dfrac{\angle B}{2} = \dfrac{\angle C}{3} = \dfrac{\angle D}{4}$. Tìm số đo góc $C$.

Giải

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{\angle A}{1} = \dfrac{\angle B}{2} = \dfrac{\angle C}{3} = \dfrac{\angle D}{4}= \dfrac{\angle A+ \angle B  + \angle C + \angle D}{1+2+3+4} = \dfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ$.

$\angle  C = 36 \times 3 = 108^\circ$.

Bài tập. 

  1. Cho tứ giác $ABCD$ có $AB = AD, CB = CD$. Chứng minh $ AC \bot CD $.
  2. Cho tứ giác $ABCD$ có $ \angle {A} : \angle {B} : \angle {C} = \angle {D} = 3: 4 : 2 : 3 $.
  3. Cho tứ giác $ABCD$, $ \triangle ABD $ là tam giác cân đỉnh $A$ và số đo góc $A$ gấp đôi số đo góc $ \angle ABD $; $ \triangle BCD $ có các góc $ \angle  B, \angle  C, \angle D $ có số đo tỉ lệ với 4; 3; 2.
    a.Tính số đo các góc của tứ giác $ABCD$.
    b.Tứ giác $ABCD$ có đặc biệt gì?
  4. Cho tam giác $ABC$ có $\angle {A} = 70^\circ $. Các tia phân giác $BD, CE$ của góc $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $I$; các tia phân giác ngoài của góc $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $J$.
    a.Tính số đo các góc ngoài của tứ giác $BICJ$.
    b. Chứng minh $A, I, J$ là ba điểm thẳng hàng.
    c.Tứ giác $ABIC$ có phải là tứ giác lồi không? Vì sao?
  5. Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài).
  6. Tứ giác $ABCD$ có $AB = BC, CD = DA$.
    a.Chứng minh rằng $BD$ là đường trung trực của $AC$.
    b.Cho biết $\hat{B} = 100^\circ, \angle {D} = 70^\circ$, tính $\angle A$ và $\angle C$.
  7. Tính các góc của tứ giác $ABCD$, biết rằng :
    $A : B : C : D = 1: 2 : 3 : 4$.
  8. Tứ giác ABCD có $\angle {A} = 65^\circ, \angle {B} = 117^\circ, \angle {C} = 71^\circ$. Tính số đo góc ngoài tại đinh $D$.
  9. Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.
  10. Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh $A$ và $C$  bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh $B$ và $D$.
  11. Tứ giác $ABCD$ có $\angle {A} = 110^\circ, \angle {B} = 100^\circ$. Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các định C và D cắt nhau ở F. Tính $\angle CED, \angle CFD$.