Tag Archives: TuGiacNoiTiep

Hai đường đẳng giác và tứ giác nội tiếp.

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho $\angle BAD = \angle CAE$. Gọi $M, N$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AD, AE$; $P, Q$ là hình chiếu vuông góc của C trên $AD, AE$. Chứng minh 4 điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm $BC$.

Gợi ý

Ta có tứ giác $ABMN$ nội tiếp, suy ra $\angle AMN = \angle ABN = 90^\circ – \angle BAE$.(1)

Tứ giác $ACPQ$ nội tiếp, suy ra $\angle APQ = \angle ACP = 90^\circ – \angle CAD$.(2)

Ta lại có $\angle DAB = \angle CAE $ nên $\angle BAE = \angle CAD$.(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\angle AMN = \angle APQ$, suy ra tứ giác $MNPQ$ nội tiếp.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, ta có $BM||CP$ nên đường thẳng $d$ qua $I$ song song với $BM$ đi qua trung điểm của $MP$ mà $BM \bot MP$ nên đường thẳng $d$ là trung trực của $MP$. Vậy $IM = IP$.

Tương tự ta cũng có $IN  = IQ$.

Hơn nữa tứ giác $MNPQ$ là tứ giác nội tiếp khác hình thang nên $I$ chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Trung trực BC giao phân giác góc A thuộc đường tròn ngoại tiếp.

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ với $AB < AC$. Phân giác trong góc $A$ và trung trực đoạn $BC$ cắt nhau tại $D$. Chứng minh rằng $ABDC$ là tứ giác nội tiếp.

Gợi ý

Ta có $D$ và $A$ nằm khác phía đối với đường thẳng $BC$.

Ta có $D$ và $A$ nằm khác phía đối với đường thẳng $BC$.

Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AB, AC$.

$\Delta ADE = \Delta AED$ nên ta có $AE = AF, DE = DF$.

Suy ra $\Delta DBF = \Delta DCF \Rightarrow BE = CF$.

Nếu $E, F$ cùng nằm trong hoặc cùng nằm ngoài đoạn $AB, AC$ thì $AB = AC$ (vô lý), do đó $E$ nằm ngoài đoạn $AB$ và $F$ nằm trong đoạn $AC$ (do $AB < AC$).

Khi đó $\angle ACD = \angle EBD$, suy ra tứ giác $ABDC$ nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong.)

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Leave a reply

Đề bài. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $O$ với $\angle A > 90^\circ$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB$ cắt $CD$ tại $E$; đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $CB$ tại $F$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $EF$. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $O$ với $\angle A > 90^\circ$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB$ cắt $CD$ tại $E$; đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $CB$ tại $F$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $EF$.

a. Chứng minh rằng 4 điểm $E,F , C, P$ cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh $P$ thuộc $(O)$ và $E, O, F$ thẳng hàng. \end{enumerate}

Gợi ý

a. Ta có $\angle DAB + \angle EAF = \angle DAB + \angle BAF + \angle EAF = \angle DAB + \angle BAE = 180^\circ$.

Ta có $\angle DAB + \angle EAF = \angle DAB + \angle BAF + \angle EAF = \angle DAB + \angle BAE = 180^\circ$.

Ta có $\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$, suy ra $\angle EAF = \angle BCD$.

Mặt khác $\angle EAF = \angle EPF$ (t/c đối xứng), do đó $\angle EPF = \angle BCD$, suy ra tứ giác $EFCP$ nội tiếp.

 

b. Do tứ giác $EFCP$ nội tiếp nên $\angle DCP = \angle EFP$. (1)

Ta có $\angle EFP = \angle EFE = 90^\circ – \angle FAE = \angle DAP$.(2)

Từ (1)  và (2), suy ra $\angle DAP = \angle DCP$, suy ra $ADPC$ nội tiếp, do đó $P \in (O)$ mà $EF$ là trung trực của $AP$ nên $O$ thuộc $EF$, hay $E, O, F$ thẳng hàng.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Đường thẳng vuông góc với bán kính cắt hai cạnh tạo thành tứ giác nội tiếp.

Leave a reply

Đề bài.  Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn (O), vẽ đường kính $AD$. Đường thẳng $d$ vuông góc với $AD$ cắt $CD, BD$ tại $E$ và $F$. Chứng minh 4 điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

Gọi $H$ là giao điểm của $d$ và $AD$.

Gọi $H$ là giao điểm của $d$ và $AD$.

Ta có $\angle ACD = 90^\circ = \angle AHE$, suy ra $AHCE$ nội tiếp, suy ra $\angle DAC = \angle DEF$.

Mà $\angle DBC = \angle DAC$

Nên $\angle DBC = \angle DEF$, suy ra tứ giác $BCEF$ nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp cùng thuộc đường tròn.

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\angle A = 60^\circ$. Gọi $H$, $I$ lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Chứng minh 5 điểm $B, C, H, I, O$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

Ta có $\angle BHC = 180^\circ – \angle BAC = 120^\circ$.(1)

Ta có $\angle BHC = 180^\circ – \angle BAC = 120^\circ$.(1)

Và $\angle BOC = 2 \angle BAC = 120^\circ$.(2)

$\angle BIC = 180^\circ – \angle IBC – \angle ICB = 180^\circ – \dfrac{180^\circ – \angle BAC}{2} = 120^\circ$. (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có $\angle BHC = \angle BOC = \angle BIC = 120^\circ$ nên 5 điểm B, C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp – Hình chữ nhật

Leave a reply

Đề bài. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CD. AM cắt BN tại E, BN cắt DM tại F và DM cắt AN tại G. Chứng minh rằng tứ giác AEPF nội tiếp.

Gợi ý

Gọi $K$ là giao điểm của AN và đường thẳng BC.

Gọi $K$ là giao điểm của AN và đường thẳng BC.

Ta có $\Delta NBC = \Delta NAD$, suy ra $\angle NBC = \angle NAD$, mà $\angle NAD = \angle NKC$ nên $\angle NBC = \angle NKC$.

Ta có $\Delta AMB = \Delta DMC$, suy ra $\angle AMB = \angle DMC$.

Tam giác $MBE$ và $MGC$ có $\angle AMB = \angle DMK, \angle NBC = \angle NKC$ nên $\angle MEB = \angle MGK$, suy ra tứ giác $AEFG$ nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Một bài tứ giác nội tiếp – Biến đổi góc

Leave a reply

Đề bài. Hình bình hành $ABCD$ có góc tù $B$, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Dựng $DE$ vuông góc $AC, DF$ vuông góc $AB, DG$ vuông góc $BC$. Chứng minh 4 điểm $O, E, G, F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý
  1. Ta có tứ giác $DEGC$ nội tiếp, suy ra $\angle CEG = \angle CDG$. (1)
  2. Tứ giác $DFBG$ nội tiếp, suy ra $\angle BFG = \angle BDG$. (2)
  3. Tam giác $FBD$ vuông tại F có $FO$ là trung tuyến nên $FO = OD$, suy ra $\angle OFD = \angle ODF$. (3)
  4. Từ (2) và (3), suy ra $\angle OFG = 90^\circ – \angle BFG – \angle OFD = 90^\circ – \angle BDG – \angle ODF = \angle CDG$ (4)
  5. Từ (1) và (4) ta có $\angle OFG = \angle CEG$, suy ra tứ $OEGC$ nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Điểm Migle, trực tâm, trung điểm thẳng hàng.

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC và $N$ là trung điểm đoạn thẳng CH.Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC và $N$ là trung điểm đoạn thẳng CH.

  1. Chứng minh rằng 5 điểm $D, E, F, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.
  2. $EF$ cắt $BC$ tại $K$, $AK$ cắt $(O)$ tại $Q$. Chứng minh $AQFE, KQFB$ là các tứ giác nội tiếp.
  3. Chứng minh 3 điểm $Q, H, M$ thẳng hàng.
Gợi ý
  1. Ta có $BFHD, BFEC$ nội tiếp, suy ra $\angle DFE = \angle DBE = \angle CFE$.
    Suy ra $\angle DFE = 2\angle DBE$.
    Tam giác $EMB$ cân tại $M$, suy ra $\angle EMC = 2\angle DBE$.
    Do đó $\angle EMC = \angle DFE$, suy ra $EFDM$ nội tiếp.
  2. Ta có $BFHD, BFEC$ nội tiếp, suy ra $\angle DFE = \angle DBE = \angle CFE$.  Suy ra $\angle DFE = 2\angle DBE$.
    Tam giác $EMB$ cân tại $M$, suy ra $\angle EMC = 2\angle DBE$.
    Do đó $\angle EMC = \angle DFE$, suy ra $EFDM$ nội tiếp.
    Tam giác $CBH$ có MN là đường trung bình, suy ra $MN||BH$, suy ra $\angle CMN = \angle CBH$,
    mà $\angle CBH = \angle DFC$, suy ra $\angle CMN =\angle DFC$ nên tứ giác $FDMN$ nội tiếp.
    Do đó 5 điểm $D, E, F, M, N$ cùng thuộc một đường tròn. Vì các tứ giác $AQBC, EFBC$ nội tiếp nên $KQ.KA = KB.KC$ và $KB.KC = KE.KF$, suy ra $KQ.KA = KF.KE$, từ đó ta có $AQFE$ nội tiếp.
    Ta có $\angle KQF = \angle AEF$ (AQFE nội tiếp) và $\angle AEF = \angle ABC$ ($BFEC$ nội tiếp), suy ra $\angle KQF = \angle ABC$, do đó tứ giác $KQFB$ nội tiếp.
  3. Ta có $Q$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$,nên $Q$ thuộc đường tròn đường kính $AH$, suy ra $\angle AQH = 90^\circ$.  (1)
    Vẽ đường kính $AA’$, khi đó ta có $BHCA’$ là hình bình hành, nên $M$ thuộc $HA’$. (2)
    Mặt khác $\angle AQA’ = 90^\circ$. (3)
    Từ (1), (2) và (3) ta có $Q, H, M$ thẳng hàng.

Bài Giảng Tứ giác nội tiếp

Bài tứ giác nội tiếp cơ bản

Leave a reply

Đề bài.  Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ và trung tuyến $BM$. Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc vuông góc của $A$ trên $BM$. Chứng minh tứ giác $HDMC$ nội tiếp.

Gợi ý

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên $BH.BC = AB^2$.(1)

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên $BH.BC = AB^2$.(1)

Tam giác $ABM$ vuông tại $A$ có $AD$ là đường cao nên $BD.BM = AB^2$.(2)

Từ (1) và (2), suy ra $BH.BC = BD.BM$, suy ra $\Delta BDH \backsim \Delta BCM \Rightarrow \angle BDH = \angle BCM$.

Tứ giác $HDMC$ có $\angle BDH = \angle BCM$ nên là tứ giác nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Một bổ đề về tứ giác nội tiếp

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. $M$ là một điểm thuộc cung BC không chứa $A$. $AM$ cắt $DE$ tại $K$. Chứng minh rằng các tứ giác $BEKM, CDKM$ là các tứ giác nội tiếp.

Gợi ý

Ta có $\Delta ADB \backsim \Delta AEC \Rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$.

Ta có $\Delta ADB \backsim \Delta AEC \Rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$.

Từ đó ta có $\Delta ADE \backsim \Delta ABC$, suy ra $\angle ADE = \angle ABC$.(1)

Mà $\angle AMC = \angle ABC$. (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\angle ADE = \angle AMC$, do đó tứ giác $CDKM$ nội tiếp.

Chứng minh tương tự ta cũng có $BEKM$ nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp