Biểu diễn vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Leave a reply

Tính chất 1. Cho hai vectơ a→,b→ khác 0→

a) Nếu a→,b→ cùng phương thì tồn tại số thực k sao cho a→=k⋅b→.

b) Nếu a→,b→ không cùng phương và x⋅a→+y⋅b→=0→, suy ra x=y=0.

Chứng minh.

a) Nếu a→,b→ cùng phương.

  • Trường hợp 1. Nếu a→,b→ cùng hướng. Đặt k=|a→||b→|, ta chứng minh a→=k⋅b→.
    Thực vậy:
    Do k>0 nên k⋅b→ cùng hướng b→ mà b→ cùng hướng a→ nên k⋅b→ cùng hướng a; Và |k⋅b→|=|k|⋅|b→|=|a→|.
  • Trường hợp 2. Nếu a→,b→ ngược hướng. Đặt k=−|a→||b→|, chứng minh tương tự như trên ta cũng có a→=k⋅b→.

b) Giả sử x≠0, suy ra a→=−yx⋅b→ cùng phương b→, mâu thuẫn, do đó x=0, dẫn đến y=0.

Tính chất 2. Cho a→,b→ không cùng phương, khi đó với mọi vectơ c→ tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn c→=x⋅a→+y⋅b→

Chứng minh

  • Lấy điểm O ta dựng các vectơ AO→=a→;OB→=b→;OC→=c→.
  • Từ C dựng các đường thẳng song song với OB,OA cắt OA,OB tại D và E. Khi đó OC→=OD→+OE→.
  • Mà OD→ và OA→ cùng phương nên tồn tại x thỏa OD→=x⋅OA→=x⋅a→; tương tự tồn tại y sao cho OE→=y⋅OB→=y⋅b→.
  • Do đó c→=x⋅a→+y⋅b→.
  • Giả sử tồn tại x′,y′ thỏa c→=x′⋅a→+y′⋅b→. Khi đó x⋅a→+y⋅b→=x′⋅a→+y′⋅b⇔ (x−x′)a→+(y−y′)b→=0→.
  • Từ tính chất 1, ta có x=x′,y=y′. Ta có điều cần chứng minh.

Việc biểu diễn một vec tơ theo hai vec tơ không cùng phương có nhiều ứng dụng trong việc chứng minh vec tơ bằng nhau, cùng phương, dẫn đến các bài toán chứng minh thẳng hàng, tính toán độ dài, góc, …

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và điểm D thỏa mãn AD→=34AC→, I là trung điểm của BD.
a) Tính AI→ theo AB→,AC→.
b) Cho BM→=x⋅BC→. Tính AM→ theo x và AB→,AC→

Lời giải.

a) Ta có 2AI→=AB→+AD→=AB→+34AC→⇒AI→=12AB→+38AC→.
b) Ta có AM→=AB→+BM→=AB→+xBC→=AB→+x(AC→−AB→)=(1−x)AB→+xAC→.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC gọi M là điểm thỏa MA→+3MB→=0→.
Giả sử CM→=x⋅CA→+y⋅CB→. Tính x,y.

Lời giải.

Ta có 0→=MA→+3MB→=CA→−CM→+3CB→−3CM→

⇔4CM→=CA→+3CB→⇔CM→=

14CA→+34CB→.

Từ đó ta có x=14,y=34, do sự biểu diễn CM→ theo AC→,CB→ là duy nhất.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC và các điểm I, J thỏa mãn 2CI→+3BI→=0→,5JB→−2JC→=0→.
a) Tinh AI→,AJ→ theo AB→,AC→.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG→ theo AI→,AJ→.

Lời giải
Ta có:
2CI→+3BI→=0→⇔2CI→+3(BC→+CI→)=0→

⇔5CI→+3BC→=0→⇔CI→=35CB→
5JB→−2JC→=0→⇔5JB→−2(JB→+BC→)=0→

⇔3JB→=2BC→⇔BJ→=−23BC→
a) – Tính AI→ theo AB→,AC→.
Ta có:
AI→=AC→+CI→=AC→+35CB→=AC→+35(AB→−AC→)=35AB→+25AC→

  • Tính AJ→ theo AB→,AC→.
    Ta có:
    AJ→=AB→+BJ→=AB→−23BC→⇔AB→−23(AC→−AB→)=53AB→−23AC→

b) Tính AG→ theo AI→,AJ→.
Đặt AG→=xAI→+yAJ→.

AG→=x(35AB→+25AC→)+y(53AB→−23AC→)
=(3x5+5y3)AB→+(2x5−2y3)AC→

Mặt khác, AG→=13AB→+13AC→
⇒{35x+53y=1325x–23y=13

{x=3548y=−116

Vậy AG→=3548AI→−116AJ→

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC;N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN=2NC. Chứng minh rằng:
a) AM→=12(AB→+AC→).
b) BN→=23AC→−AB→
c) MN→=13CA→−12CB→.

Bài 2. Cho tam giác ABC có I là điểm đối xứng với B qua C,J là trung điểm AC,K thuộc AB thoả AB=3AK.
a) Tính BI→,BJ→,BK→ theo BA→,BC→.
b) Tính If→,IK→ theo BA→,BC→.

Bài 3. Cho tam giác ABC. Lấy M,N lần lượt là trung điểm AB,AC. L là điểm thoả mãn 2LA→+5LB→+3LC→=0→
a) Tính BM→,BM→,BL→ theo BA→,BC→.
b) Tính MN→,ML→ theo BA→,BC→.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *