Category Archives: Chuyên đề

Hệ phương trình – Phương pháp đặt ẩn phụ – Hệ đối xứng loại một

Leave a reply

1. Hệ phương trình đối xứng loại một

Mục đích của đặt ẩn phụ là ta đưa hệ phương trình đã cho về một hệ phương trình đơn giản hơn đã biết cách giải, giải được hệ mới từ đó ta giải được hệ đã cho.

Trong phương pháp này, ứng dụng đầu tiên là áp dụng cho giải các hệ đối xứng loại một.

Hệ đối xứng loại một là hệ có dạng $\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=0 (1) \\ g(x,y)=0 (2) \end{array} \right.$ trong đó $f(y, x) = f(y,x)$ và $g(x,y) = g(y,x)$, hay nói cách khác các biểu thức $f(x,y), g(x,y)$ là các biểu thức đối xứng theo hai biến $x, y$. Để giải hệ, ta thường đặt $s = x+y, p= xy$, từ đó đưa hệ về theo ẩn $s, p$. Giải $s,p$ ta sẽ giải được $x,y$. Sau đây là một số ví dụ, các bạn theo dõi nhé.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x+y+xy=1 &\\ x^2+y^2+3xy=3. \end{cases} $

Giải

Đặt $S=x+y, P=xy$. Điều kiện $S^2 \ge 4P$.

Khi đó hệ trở thành $\begin{cases} S+P=1 &\\ S^2+P=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} P=1-S &\\ S^2-S-2=0.\end{cases}.$

Ta có $S^2-S-2=0 \Leftrightarrow S=-1$ hoặc $S=2.$

Nếu $S=-1$ thì $P=2$ (loại).

Nếu $S=2$ thì $P=-1$.

Khi đó $x,y $ là nghiệm của phương trình: $X^2-2X-1=0 \Leftrightarrow X=1\pm \sqrt{2}$.

Suy ra $(x,y)=(1+\sqrt{2};1-\sqrt{2})$ hoặc $(x,y)=(1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}).$

Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x,y)=(1+\sqrt{2};1-\sqrt{2})$ hoặc $(x,y)=(1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}).$

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\begin{cases}x-y+xy=1&\\ x^2+y^2=2 \end{cases}$

Giải

Đặt $u=x-y, v=xy$. Ta được hệ

$\begin{cases} u+v=1&\\ u^2+2v=2. \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} v=1-u&\\ u^2+2(1-u)=2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}v=1-u&\\ u^2-2u=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u=0&\\ v=1 \end{cases}$ hoặc  $\begin{cases} u=2&\\ v=-1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases} u=0&\\ v=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x-y=0&\\ xy=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\ y=1 \end{cases}$  hoặc $\begin{cases} x=1&\\ y=-1. \end{cases}$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)$ là  $(1,1), (-1,-1)$ hoặc $(1,-1)$.

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2(x+y)=3(\sqrt[3]{x^2y}+\sqrt[3]{xy^2})&\\ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=6 \end{cases} $

Giải

Đặt $S=\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}$, $P=\sqrt[3]{xy}$ điều kiện $S^2\ge 4P$

Ta có: $S^3 = x+y + 3\sqrt[3]{xy}\left( \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right) \Rightarrow x+y = S^3 – 3SP$

Khi đó hệ phương trình trở thành

$\begin{cases} 2(S^3-3SP)=3SP&\\ S=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} S=6&\\ P=8 \end{cases}$

Với $\begin{cases} S=6&\\ P=8\end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} =6&\\ \sqrt[3]{xy} =8 \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} x=64&\\ y=8 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x=8&\\ y=64 \end{cases}$

Vậy $(x;y) \in \left\{ (64;8); (8;64)\right\} $

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{26}{5}&\\ x^2-y^2=24 \end{cases}$ $(*)$

Giải

Điều kiện $xy \ne 0$.

$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y^2=\dfrac{26}{5}xy&\\ (x-y)(x+y)=24\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} (x+y)^2-2xy=\dfrac{26}{5}xy&\\ [(x+y)^2-4xy](x+y)^2=24^2. \end{cases}$.

Đặt $u=(x+y)^2, v=xy$ ta được $\begin{cases} u=\dfrac{36}{v}&\\ u^2-4uv=24^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} u=36&\\ v=5. \end{cases}$

Từ đó ta được hệ phương trình $\begin{cases} (x+y)^2=36&\\ xy=5. \end{cases}$.

Trường hợp $\begin{cases} x+y=6&\\ xy=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\ y=5 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x=5&\\ y=1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases}x+y=-6&\\ xy=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=-1&\\ y=-5 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x=-5&\\ y=-1. \end{cases}$

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x^2}{(y+1)^2}+\dfrac{y^2}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{2}&\\ 3xy=x+y+1. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $(x+1)(y+1) \ne 0$.

Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases} \left( \dfrac{x}{y+1}\right) ^2+\left( \dfrac{y}{x+1}\right) ^2=\dfrac{1}{2}&\\ \dfrac{xy}{(x+1)(y+1)}=\dfrac{1}{4} \end{cases}$.

Đặt $u=\dfrac{x}{y+1}, v=\dfrac{y}{x+1}$ ta được $\begin{cases}uv=\dfrac{1}{4}&\\ u^2+v^2=\dfrac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u+v=1&\\ uv=\dfrac{1}{4} \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} u+v=-1&\\ uv=-\dfrac{1}{4}. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases}u+v=1&\\ uv=\dfrac{1}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{x}{y+1}=\dfrac{1}{2}&\\  \dfrac{y}{x+1}=\dfrac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x-y=1&\\ 2y-x=1 \end{cases} \Leftrightarrow x=y=1.$

Trường hợp $\begin{cases}u+v=-1&\\ uv=\dfrac{1}{4} \end{cases}$ giải tương tự ta được $x=y=-\dfrac{1}{3}.$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ \left( -\dfrac{1}{3}; -\dfrac{1}{3}\right) , (1;1)\right\} .$

2. Bài tập

Bài 1:  Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x^2+xy+y^2=4&\\ x+xy+y=2 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x+y+xy=3&\\ x^2y+xy^2=2 \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^2+y^2+x+y=8&\\ xy+x+y=5 \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2+y^2=1&\\ x^3+y^3=1 \end{cases}$

e) $\begin{cases} x^2+y^2=1&\\ x^8+y^8=x^{10}+y^{10} \end{cases}$

f) $\begin{cases} 3xy-x^2-y^2=5&\\ 7x^2y^2-x^4-y^4=155 \end{cases}$

g) $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\frac{1}{y}+xy=\dfrac{7}{2}&\\ x+y=\dfrac{3}{2}xy \end{cases}$

h) $\begin{cases} (x-y)(x^2-y^2)=3&\\ (x+y)(x^2+y^2)=15 \end{cases}$

i) $\begin{cases} (x^2+y^2)xy=78&\\ x^4+y^4=97 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x^2+xy+y^2=1&\\ x-y-xy=3 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x-y+xy=1&\\ x^2+y^2=2 \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^3y^3+1=2y^3&\\ \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{x}{y^2}=2. \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2+y^2+x^2y^2=1+2xy&\\ (x-y)(1+xy)=1-xy \end{cases}$

e) $\begin{cases} \dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=\dfrac{26}{5}&\\ x^2-y^2=24 \end{cases}$

f) $\begin{cases} x^2+y^2+xy=3&\\ xy^3+x^3y=2 \end{cases}$

g) $\begin{cases} x+y+\dfrac{x}{y}=4&\\ x^2+xy-y=0 \end{cases}$

h) $\begin{cases} x-2y+\dfrac{x}{y}=6&\\ x^2-2xy-6y=0 \end{cases}$

i)  $\begin{cases} \dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=2&\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+x+y=4 \end{cases}$

j) $\begin{cases} x+y+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=4&\\ x+y+\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=4 \end{cases}$

k) $\begin{cases} x+y+x^2y^2=3xy&\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-xy=1 \end{cases}$

l) $\begin{cases} x(x+1)+\dfrac{1}{y}\left( \dfrac{1}{y}+1\right) =4&\\ x^3y^3+xy+x^2y^2+1=4y^3 \end{cases}$

m) $\begin{cases} (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{x^2y^2}\right) =49&\\ (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =5 \end{cases}$

3. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y^2=xy+x+y&\\ x^2-y^2=3. \end{cases}$

Giải

Đặt $u=x+y, v=x-y$ khi đó hệ trở thành

$ \begin{cases} \dfrac{u^2+v^2}{2}=\dfrac{u^2-v^2}{4}+u&\\ uv=3 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} u^2+3v^2-4u=0&\\ uv=3 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} u^2+\dfrac{27}{u^2}-4u=0&\\ v=\dfrac{3}{u} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u^4-4u^3+27=0 &\\ v=\dfrac{3}{u} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} (u-3)^2(u^2+2u+3)=0&\\ v=\dfrac{3}{u} \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} u=3&\\ v=1 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} x+y=3&\\ x-y=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=2&\\ y=1. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(2;1).$

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình $\begin{cases} y(x^2+1)=2x(y^2+1)&\\ (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{x^2y^2}\right) =24 \end{cases}$

Giải

Điều kiện $xy \ne 0$.

Đặt $u=x+\dfrac{1}{x}, v=y+\dfrac{1}{y}$ ta được hệ

$\begin{cases} \dfrac{u}{v}=2 &\\ u^2+v^2=20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u=2v&\\ 5v^2=20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u=\pm4 &\\ v=\pm 2. \end{cases}$.

Trường hợp $\begin{cases} u=4&\\ v=2 \end{cases}$ ta được

$\begin{cases} x+\dfrac{1}{x}=4&\\ y+\dfrac{1}{y}=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2-4x+1=0&\\ y^2-2x+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=2 \pm \sqrt{3}&\\ y=1. \end{cases}$

Trường hợp $ \begin{cases} u=-4&\\ v=-2 \end{cases}$ ta được

$\begin{cases} x+\dfrac{1}{x}=-4&\\ y+\dfrac{1}{y}=-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+4x+1=0&\\ y^2+2y+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x= -2 \pm \sqrt{3}&\\ y=-1. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (2 \pm \sqrt{3};1); (-2 \pm \sqrt{3};-1)\right\} $.

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^2=9&\\ (x^3+y^3)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^3=27. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $xy \ne 0.$

Đặt $u=x+\dfrac{1}{y}, v=y+\dfrac{1}{x}.$ Ta được hệ

$\begin{cases} u^2+v^2=9&\\ u^3+v^3=27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (\dfrac{u}{3})^2+(\dfrac{v}{3})^2=1&\\ (\dfrac{u}{3})^3+(\dfrac{v}{3})^3=1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{u}{3} =1 &\\ v=0 \end{cases} \ \text{hoặc} \ \begin{cases} v=0&\\ \dfrac{v}{3} =1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases} u=3&\\ v=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x+\dfrac{1}{y}=3&\\ y+\dfrac{1}{x}=0 \end{cases} \Leftrightarrow $ hệ vô nghiệm.

Trường hợp còn lại tương tự.

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

 

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x-y=1+\sqrt{x(1+y)}&\\ x^3-y^2=7. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $x(y+1) \ge 0.$

Dễ dàng kiểm tra $(0,y)$ và $(x,-1)$ không là nghiệm của hệ. Xét $x \ne 0$ và $y \ne -1.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta được

$2x=1+y+\sqrt{x(y+1)}  \Leftrightarrow 2\sqrt{\dfrac{x}{y+1}}=\sqrt{\dfrac{y+1}{x}}+1.$

Đặt $t=\sqrt{\dfrac{y+1}{x}}>0$ ta được

$ t^2+t-2=0 \Leftrightarrow t=1 \ \text{hoặc} \ t=-2 \text{(loại)}.$

Trường hợp $t=1 \Leftrightarrow y=x-1$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$ x^3-x^2+2x-8=0 \Leftrightarrow (x-2)(x^2+x+4)=0 \Leftrightarrow x=2.$

Với $x=2$ thì $y=x-1=1$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(2,1)$.

Ví dụ 10: Giải hệ phương trình $\begin{cases} (2x-y+2)(2x+y)+6x-3y=-6&\\ \sqrt{2x+1}+\sqrt{y-1}=4. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $x \ge -\dfrac{1}{2}, y \ge 1$.

Đặt $\begin{cases} u=\sqrt{2x+1}&\\ v=\sqrt{y-1}\end{cases}$. Hệ trở thành

$\begin{cases} (u^2-v^2)(u^2+v^2)+3(u^2-v^2-2)=-6&\\ u+v=4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 4(u-v)(u^2+v^2+3)=0&\\ u+v=4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u=v&\\ u+v=4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u=2&\\ v=2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{3}{2}&\\ y=5. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\begin{cases} x=\dfrac{3}{2}&\\ y=5. \end{cases}$

Ví dụ 11: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y+x^3y+xy^2+xy=-\dfrac{5}{4}&\\ x^4+y^2+xy(1+2x)=-\dfrac{5}{4} \end{cases}$

Giải

Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y+x^3y+xy^2+xy=-\dfrac{5}{4}&\\ (x^2+y)^2+xy=-\dfrac{5}{4.} \end{cases}$

Đặt $\begin{cases} u=x^2+y&\\ v=xy \end{cases}$. Hệ trở thành $\begin{cases} u+v+uv=-\dfrac{5}{4}&\\ u^2+v=-\dfrac{5}{4}. \end{cases}$

Trừ vế theo vế hai phương trình trên ta được

$u^2-uv-u=0  \Leftrightarrow u(u-v-1)=0 \Leftrightarrow u=0 \ \text{hoặc} \ u=1+v.$

Với $u=0 \Rightarrow v=-\dfrac{5}{4}$.

Với $u=v+1$ thay vào phương trình thứ hai của hệ trên ta được

$4u^2+4u+1=0 \Leftrightarrow u=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow v=-\dfrac{3}{2}.$

Trường hợp $\begin{cases} u=0&\\ v=-\dfrac{5}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} y=-x^2&\\ x^3=\dfrac{5}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=\sqrt[3]{\dfrac{5}{4}}&\\ y=-\sqrt[3]{\dfrac{25}{16}} \end{cases}$

Trường hợp  $\begin{cases} u=-\dfrac{1}{2}&\\ v=-\dfrac{3}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y=-\dfrac{1}{2}&\\ xy=-\dfrac{3}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x^2-\dfrac{3}{2x}=-\dfrac{1}{2}&\\ xy=-\dfrac{3}{2} \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\ y=-\dfrac{3}{2}. \end{cases}.$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ \left( 1; -\dfrac{3}{2}\right) ; \left( \sqrt[3]{\dfrac{5}{4}};-\sqrt[3]{\dfrac{25}{16}}\right) \right\} .$

4. Bài tập

Bài 1: Giải các hệ phương trình

a) $\begin{cases}\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5&\\ \sqrt{2x+y}+x-y=2. \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^2+y^2=\dfrac{1}{2}&\\ 2x^3+6y^2x=1. \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^3+3xy^2=-49&\\ x^2-8xy+y^2=8y-17 \end{cases}$

d) $\begin{cases} (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =4&\\ xy+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}=4. \end{cases}$

e) $\begin{cases} (x+y)(1+xy)=18xy&\\ (x^2+y^2)(1+x^2y^2)=208x^2y^2 \end{cases}$

f) $\begin{cases} (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =5&\\ xy+\dfrac{1}{xy}=4 \end{cases}$

g) $\begin{cases} (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =6&\\ (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^2=18 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $ \begin{cases}\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}=\dfrac{2}{3} &\\ (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =6 \end{cases}$

b) $\begin{cases} xy(2x+y-6) +y+2x=0&\\ (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^2=8 \end{cases}$

c) $\begin{cases}2x^2y+y^2x+2y+x=6xy&\\ xy+\dfrac{1}{xy} +\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=4 \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2y^2+y^4+1=3y^2&\\ xy^2+x=2y \end{cases}$

e) $\begin{cases} 2x+y+\dfrac{1}{x}=4&\\ x^2+xy+\dfrac{1}{x}=3. \end{cases}$

f) $\begin{cases} x^2y+y=2&\\ x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2y^2=3. \end{cases}$

g) $\begin{cases} x^2+y^2+x+y=4xy&\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{y}{x^2}+\dfrac{x}{y^2}=4 \end{cases}$

h) $\begin{cases} x^4+4x^2+y^2-4y=2&\\ x^2y+2x^2+6y=23 \end{cases}$

i) $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=9&\\ \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}\right) \left( 1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \left( 1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}\right) =18 \end{cases}$

j) $\begin{cases} x^2(y+z)^2=(3x^2+x+1)y^2z^2&\\ y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2&\\ z^2(x+y)^2=(5z^2+z+1)=x^2y^2 \end{cases}$

Giải bài toán bằng đại lượng cực biên-Phần 1

Leave a reply

Tương đương với nguyên lý qui nạp là nguyên lý cực hạn, trong dó cụ thể bằng một số tính chất sau:

Tính chất (tiên đề)

  •  Một tập con hữu hạn khác rỗng của tập số thực luôn tồn tại phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất.
  • Mọi tập con khác rỗng của $\mathbb{R}$ bị chặn trên đều tồn tại chặn trên nhỏ nhất.
  • Mọi tập con khác rỗng của $\mathbb{R}$ bị chặn dưới đều tồn tại chặn dưới lớn nhất.

Trong nhiều bài toán, việc chọn đối tượng cực hạn (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) giúp ta thuận lợi trong suy luận. \
Cũng như quy nạp, cực hạn cũng có nhiều ứng dụng rộng rãi trong các việc giải quyết các bài toán tổ hợp.
Ví dụ 1. Tìm $n$ lớn nhất sao cho tồn tại $n$ điểm mà 3 điểm bất kì đều tạo thành tam giác vuông.

Lời giải
  Ta thấy $n=3, n=4$ đều tồn tại. Ta chứng minh $n\geq 5$ thì không tồn tại. \\
Giả sử ngược lại, tồn tại 5 điểm, sao cho 3 điểm bất kì đều tạo thành tam giác vuông. Khi đó ta chọn hai điểm sao cho có độ dài lớn nhất. Khi đó các điểm còn lại đều nằm trên đường tròn đường kính là đoạn thẳng này. Khi đó 3 điểm thuộc 2 nửa đường tròn, khi đó có ít nhất 2 điểm cùng thuộc một nửa, từ đó tồn tại một tam giác khác vuông có đỉnh là 2 điểm này cùng một điểm thuộc đường kính. Do đó không thỏa đề bài.

Bài toán này có nhiều các để tiếp cận, việc tìm ra $n=5$ không có gì khó, khi chứng minh $n=5$ không thỏa cũng có nhiều cách suy luận, tuy vậy việc chọn đoạn thẳng có độ dài lớn nhất giúp ta dễ dàng suy ra mâu thuẫn.
Ví dụ 2. Trên một mặt bàn đặt một số các đồng xu với kích cỡ không giống nhau đôi một (các đồng xu không được đè lên nhau và phải nằm sấp hoặc ngửa trên bàn). Chứng minh rằng dù ta đặt như thế nào đi nữa, cũng luôn tồn tại một đồng xu chỉ tiếp xúc được với nhiều nhất 5 đồng xu khác.

Lời giải
  Chọn đồng xu có bán kính nhỏ nhất, thì đồng xu này chỉ tiếp xúc không quá 5 đồng xu khác. Giả sử nó có thể tiếp xúc với 6 đồng xu khác. Khi đó $A$ là tâm đường tròn, tâm các đường tròn còn lại là $A_1, \cdots, A_6$. Khi đó tồn tại $A_iA_{i+1} \leq 60^\circ$, suy ra $A_iA_{i+1} < AA_i$ vô lý, vì bán kính của $(A)$ là nhỏ nhất.

Ví dụ 3. Cho $n$ điểm trong mặt phẳng biết rằng cứ 3 điểm bất kì tạo thành một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng $n$ điểm thuộc một hình tam giác có diện tích không lớn hơn 4.

Lời giải
  Gọi $A, B, C$ là 3 điểm tạo thành tam giác sao cho $ABC$ có diện tích lớn nhất. Từ $A, B, C$ vẽ các đường song song với các cạnh đối diện, các đường thẳng cắt nhau tại $A’, B’, C’$ ta chứng minh các điểm thuộc cạnh hoặc miền trong tam giác $A’B’C’$.

Thật vậy, nếu có điểm nào nằm ngoài tam giác $A’B’C’$ thì điểm đó kết hợp với hai trong 3 điểm $A, B, C$ sẽ có diện tích lớn hơn diện tích tam giác $ABC$, vô lý.
Do $S_{A’B’C’} = 4S_{ABC} \leq 4$.

Ví dụ 4. (Sylvester) Trong mặt phẳng cho $n$ điểm phân biệt, sao cho mỗi đường thẳng đi qua hai điểm thì đi qua ít nhất một điểm khác. Chứng minh rằng $n$ điểm này cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải
Giả sử không phải tất cả các điểm cùng thuộc một đường thẳng. Khi đó ta xét khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng qua ít nhất 3 điểm, trong các khoảng cách này có khoảng cách nhỏ nhất. Giả sử $P$ là điểm có khoảng cách từ $P$ đến $d$ là nhỏ nhất, với $d$ là đường thẳng qua các điểm $A, B, C$ theo thứ tự. \\
Gọi $H$ là hình chiếu của $P$ trên $d$, $D, E$ là hình chiếu của $A, B$ trên $B$ trên $PA, PC$. Nếu $H$ thuộc tia $BA$ thì $BE < PH$, nếu $H$ thuộc đoạn $BC$ thì $BD < PH$. Mâu thuẫn với $PH$ là nhỏ nhất. \\
Vậy tất cả các điểm cùng thuộc một đường thẳng.
Trên đây là một định lý kinh điển với lời giải cực hạn cũng đi vào các sách giáo khoa về tổ hợp, việc chọn khoảng cách nhỏ nhất đó là một ý tưởng khá độc đáo, giúp giải quyết bài toán rất nhanh.

Việc chọn đối tượng cực hạn phụ thuộc vào bài toán và hướng đi kế tiếp, có được điều này cần rèn luyện thêm trong việc giải toán.

Ví dụ 5. Cho 3 trường, mỗi trường có $n$ học sinh, biết rằng cứ mỗi học sinh thì quen ít nhất $n + 1$ học sinh của hai trường khác. Chứng minh rằng có thể chọn được từ mỗi trường một bạn sao cho 3 bạn này đôi một quen nhau.

Lời giải
Giả sử 3 trường là $X, Y, Z$. Tồn tại một người có số người quen ở cùng một trường khác là nhiều nhất, giả sử $A$ thuộc $X$ có số người quen ở trường $Y$ nhiều nhất là $k$. Khi đó số người quen của $A$ ở $Z$ ít nhất là $n+1-k$. Nếu nhóm người quen $A$ ở $Z$ quen với số người quen $A$ ở $X$ có hai người quen nhau thì ta có điều chứng minh.\\
Ngược lại xét người quen $A$ ở $Z$, đặt là $B$ quen số người ở $Y$ tối đa là $n-k$, khi đó $B$ quen ở $X$ ít nhất là $n+1 – (n-k) = k+1$, mâu thuẫn với cách chọn $A$. (Mâu thuẫn).

Ví dụ 6. Một bữa tiệc có 10 học sinh tham gia, biết rằng mỗi học sinh quen với ít nhất là 5 người. Chứng minh rằng có thể sắp xếp 10 học sinh ngồi vào một bàn tròn sao cho hai người kế nhau thì quen nhau.

Lời giải
Giả sử chuỗi người quen dài nhất có độ dài là $k$, $A_1A_2…A_k$, ta thấy các người còn lại không ai quen $A_1, A_k$ nên suy ra $k \geq 6$. \\
Nếu $k = 6$, suy ra $A_1$ và $A_6$ quen nhau, khi đó trong các người còn lại $A_7$ quen một trong cái người giả sử là $A_i$, khi đó ta có chuỗi $A_7A_iA_{i-1}A_1A_6A_{i+1}$ có độ dài hơn 6, vô lý.\\
Nếu $k =7$, khi đó $A_1$ quen từ $A_2$ đến $A_6$ và $A_7$ quen $A_2$ tới $A_6$, khi đó có một vòng $A_2A_7A_6A_5A_4A_3A_1A_2$. Khi đó sẽ có một người trong nhóm còn lại thì ta sẽ có chuỗi dài hơn, mâu thuẫn.\\
Nếu $k=8,9$ xét tương tự, ta sẽ có $k=10$. Giả sử có chuỗi $A_1\cdots A_{10}$. Khi đó tồn tại $k>i$ sao cho $A_1$ quen $A_k$ và $A_{10}$ quen $A_i$, khi đó có cách xếp thỏa đề bài là $A_1A_k\cdot A_iA_{10}A_9…A_k$.

Ví dụ 7. Một bảng $2n \times 2n$ ô, người ta đánh dấu bất kì $3n$ ô trong bảng. Chứng minh rằng tồn tại $n$ dòng và $n$ cột sao cho $3n$ ô được đánh dấu thuộc $n$ dòng và $n$ cột này.

Lời giải
Chọn $n$ dòng sao cho số ô được tô là lớn nhất, ta chứng minh rằng số ô được tô trong $n$ dòng này là không ít hơn $2n$ ô. \\
Thực vậy giả sử số ô được tô là ít hơn $2n$, khi đó $n$ dòng còn lại có nhiều hơn $n$ ô được tô, nên có ít nhất một một dòng có 2 ô được tô. Do đó $n$ dòng đã chọn, mỗi dòng ít nhất 2 ô được tô nên tổng số ô hơn hoặc bằng $2n$ (mâu thuẫn).\\
Vậy ta chỉ cần chọn $n$ cột chứa các ô được tô màu nhưng chưa được chọn trong $n$ dòng trên thì sẽ có điều cần chứng minh.

Bài tập rèn luyện
Bài 1. Có $(2n + 1)$ người đứng trên cùng một mặt phẳng, khoảng cách giữa họ không giống nhau. Sau đó mỗi người bắn người gần họ nhất. Chứng minh rằng:

a) Có ít nhất một người còn sống.
b) Không ai bị bắn quá năm viên đạn.
c) Các đường đạn không cắt nhau.

Bài 2. Một hành tinh có 20 quốc gia. Trong ba nước bất kỳ, luôn có hai nước không thiết lập quan hệ ngoại giao với nhau. Chứng minh rằng, hành tình này có tối đa 200 đại sứ quán.
Bài 3. Với $2n + 3$ điểm trong mặt phẳng, ba điểm bất kỳ không thẳng hàng và bốn điểm bất kỳ không cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh rằng ta có thể chọn ba điểm và vẽ được một đường tròn qua ba điểm đó. Trong $2n$ còn lại, có $n$ điểm nằm trong đường tròn và $n$ điểm nằm ngoài đường tròn.
Bài 4.  Điền các số từ 1 đến $n^2$ vào bảng vuông $n \times n$. Chứng minh rằng có hai ô kề nhau (kề cạnh hoặc kề đỉnh) mà hiệu của chúng không nhỏ hơn $n + 1$.
Bài 5.  Có $N(N \geq 3)$ chơi tenis vòng tròn một lượt. Cuối giải người ta thấy rằng không có ai thắng tất cả các trận thi đấu. Chứng minh rằng có thể tìm được 3 người A, B, C sao cho A thắng B, B thắng C và C thắng A.
Bài 6.  Cho $a, b$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau.
Gọi $d=(a,b)$. Khi đó tồn tại các số nguyên $x, y$ sao cho $$xa+yb=d$$

 

Hệ phương trình – Phương pháp cộng đại số – Hệ phương trình đối xứng loại hai

Leave a reply

 1. Phương pháp cộng đại số – Hệ phương trình đối xứng loại hai

Từ một hệ phương trình gồm có hai hay nhiều phương trình, ví dụ $\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=0 (1) \\ g(x,y)=0 (2) \end{array} \right.$, ta tạo ra một hệ mới tương đương với hệ đã cho, bằng cách tạo thêm một phương trình dạng $af(x,y) + bg(x,y) = 0$, việc chọn lựa các hệ số $a, b$ đòi hỏi nhiều kinh nghiệm vì phương trình mới tạo ra phải đơn giản hơn, hoặc có ý để giúp giải được hệ.

Hệ đối xứng loại hai là hệ có dạng $\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=0\ \ (1) \\ g(x,y)=0 \ \ (2) \end{array} \right.$ trong đó $f(y, x) = g(x,y)$ và $g(y,x) = f(x,y)$. Để giải hệ này ta lấy $(1)$ trừ $(2)$, sau đó xử lý tiếp.

Ví dụ 1:  Giải hệ phương trình $\begin{cases}x+3y=2x^2&\\ y+3x=2y^2 \end{cases}$ $(*)$

Giải

Ta có $(*) \Leftrightarrow \begin{cases} x+3y=2x^2&\\ -2(x-y)=2(x^2-y^2) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x+3y=2x^2 \ \ (1)&\\ 2(x-y)(x+y+1)=0 \ \ (2) \end{cases}$.

Từ (2) suy ra $y=-x-1$ hoặc $x=y$.

Trường hợp $y=-x-1$ thay vào (1) ta được $x+3(-x-1) =2x^2 $ (vô nghiệm).

Trường hợp $x=y $ thay vào (1) ta được $4x=2x^2 \Leftrightarrow 2x(x-2)=0 \Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=0$.

Vậy $(x,y)=(2;2)$ hoặc $(x,y)=(0;0)$.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3+1=2y&\\ y^3+1=2x. \end{cases}$ $(*)$

Giải

$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} x^3+1=2y&\\(x-y)(x^2+xy+y^2)=-2(x-y) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x^3+1=2y \ \ (1)&\\ (x-y)(x^2+xy+y^2+2)=0 \ \ (2) \end{cases}$

$(2) \Leftrightarrow x=y$ hoặc $x^2+xy+y^2+2=0$.

Trường hợp $x=y $ thay vào (1) ta được $x^3-2x+1=0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2+x-1)=0.$

Suy ra $ x=1$ hoặc $x=\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Trường hợp $x^2+xy+y^2+2=0 \Leftrightarrow (x-\dfrac{y}{2})^2+\dfrac{3y^2}{4}+2=0$ (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(1,1)$ hoặc $(x,y)=(\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}, \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}).$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3y=\dfrac{y^2+2}{x^2}&\\ 3x=\dfrac{x^2+2}{y^2} \end{cases} $ $(*)$

Giải

Điều kiện $xy \ne 0$.

$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} 3x^2y=y^2+2&\\ 3xy^2=x^2+2 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} 3yx^2=y^2+2 \ \ (1) &\\ 3xy(x-y)=-(x-y)(x+y) \ \ (2) \end{cases} $

$(2) \Leftrightarrow (x-y)(x+y+3xy)=0$.

Trường hợp $x=y$, thay vào (1) ta được $3x^3-x^2-2=0\\ \Leftrightarrow (x-1)(3x^2+2x+2)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $3x^2+2x+2=0$ (vô nghiệm).

Vậy $(x,y)=(1,1)$.

Trường hợp $x+y+3xy=0$ không xảy ra. Thật vậy, để ý rằng từ hệ phương trình đã cho nếu có nghiệm $(x,y)$ thì $x,y>0$ do đó $x+y+3xy>0$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(1,1).$

Trên đây là các hệ phương trình đối xứng loại hai, sau đây ta xét các ví dụ về một số hệ không mẫu mực khác, sử dụng phương pháp cộng đại số. Chú ý, tạo ra phương trình mới thì phương trình mới có thể xuất hiện hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử được…

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+6y=6x&\\ y^2+9=2xy \end{cases}$

Giải

Lấy phương trình $(1)$ cộng phương trình $(2)$ ta có $x^2 + y^2 -2xy + 6(y-x) + 9 = 0 \Leftrightarrow (y-x+3)^2 = 0 \Leftrightarrow y = x -3$.

Thế vào $(1)$ ta có: $x^2 + 6(x-3) = 6x \Leftrightarrow x = 3\sqrt{2}, x=-3\sqrt{2}$.

Với $x = 3\sqrt{2} \Rightarrow y = 3\sqrt{2}-3$.

Với $x = -3\sqrt{2} \Rightarrow y = -3\sqrt{2}-3$.

Vậy hệ có hai nghiệm $(x;y)$ là $(3\sqrt{2};3\sqrt{2}-3); (-3\sqrt{2};-3\sqrt{2}-3)$.

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình $\begin{cases}x^2+y^2+xy=3&\\ x^2+2xy=7x+5y-9. \end{cases}$

Giải

Cộng vế theo theo vế hai phương trình ta được

$ 2x^2+y^2+3xy-7x-5y+6=0 $

$\Leftrightarrow y^2+(3x-5)y+2x^2-7x+6=0$

$\Leftrightarrow y^2+(3x-5)y+(2x-3)(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (y+2x-3)(y+x-2)=0$

$\Leftrightarrow y+2x-3=0 \ \text{hoặc } \ y+x-2=0.$

Trường hợp $\begin{cases} y+2x-3=0&\\ x^2+y^2+xy=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=3-2x&\\ 3x^2-9x+6=0. \end{cases}$.

Ta được $\begin{cases} x=1&\\ y=1 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x=2&\\ y=-1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases} y+x-2=0&\\ x^2+y^2+xy=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}y=2-x&\\ x^2-2x+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=1&\\ y=1. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (1;1); (2;-1)\right\} .$

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y^2+4xy=6&\\ 2x^2+8=3y+7x \end{cases}$ $(*)$

Giải

$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y^2+4xy=6&\\ 4x^2+16=6y+14x. \end{cases}$

Cộng vế theo vế của hai phương trình ta được

$5x^2+y^2+4xy-6y-14x+10=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2+(2x+y-3)^2=0 $

$\Leftrightarrow \begin{cases}x=1&\\ 2x+y=3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\y=1. \end{cases}$

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2y+2x+3y=6&\\ 3xy+x+y=5 \end{cases}$.

Giải

Trừ vế theo vế hai phương trình ta được $x^2y-3xy+x+2y-1=0.$

Dễ thấy với $y=0$ thì $(x,0)$ không thể là nghiệm của hệ nên ta chỉ xét $y \ne 0$.

Chia hai vế của phương trình trên cho $y$ ta được

$ x^2-3x+\dfrac{x}{y}+2-\dfrac{1}{y}=0$

$\Leftrightarrow x^2 -(3-\dfrac{1}{y})x+(2-\dfrac{1}{y})=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x+\dfrac{1}{y}-2)=0$

$\Leftrightarrow x=1 \ \text{hoặc} \ x+ \dfrac{1}{y}-2=0.$

Trường hợp $\begin{cases}x=1&\\ 3xy+x+y=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\y=1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases}x+\dfrac{1}{y}-2=0&\\ 3xy+x+y=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x+\dfrac{1}{y}=2&\\3x+\dfrac{x}{y}+1=\dfrac{5}{y}. \end{cases}$

Suy ra $\dfrac{1}{y}=2-x$ và $3x+x(2-x)+1=5(2-x) \Leftrightarrow x^2-10x+9=0 \Leftrightarrow x=1 \ \text{hoặc} \ x=9.$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (1;1); \left( 9, -\dfrac{1}{7}\right) \right\} $.

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+2xy+2y^2+3x=0&\\ xy+y^2+3y+1=0. \end{cases}$

Giải

Lấy phương trình thứ nhất cộng hai lần phương trình thứ hai ta được

$(x+2y)^2+3(x+2y)+2=0$

$\Leftrightarrow (x+2y+1)(x+2y+2)=0.$

Trường hợp $x+2y+1=0 \Leftrightarrow x=-2y-1$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$ y^2-2y-1=0 \Leftrightarrow y=1 \pm \sqrt{2}.$

Với $y=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=-3+\sqrt{5}$.

Với $y=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=-3-\sqrt{5}$.

Trường hợp $x+2y+2=0 \Leftrightarrow x=-2y-2$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$y^2-y+1=0 \Leftrightarrow y=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Với $y=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=-3+\sqrt{5}$.

Với $y=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=-3-\sqrt{5}$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ \left( -3-2\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}\right) ; \left( -3+2\sqrt{2}; 1-\sqrt{2}\right) ; \left( -3+\sqrt{5}; \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) ;  \left( -3-\sqrt{5}; \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \right\} $.

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3(2+3y)=1&\\ x(y^3-2)=3. \end{cases}$

Giải

Dễ thấy $x \ne 0.$

Khi đó hệ tương đương $\begin{cases} 2+3y=\dfrac{1}{x^3}&\\ y^3-2=\dfrac{3}{x} \end{cases}$

Cộng vế theo vế của hệ phương trình ta được

$y^3+3y=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{3}{x}$

$\Leftrightarrow y^3-\dfrac{1}{x^3}+3\left( y-\dfrac{1}{x}\right) =0 $

$\Leftrightarrow \left( y-\dfrac{1}{x}\right) \left( y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y}{x}+3\right) =0$

$\Leftrightarrow \left( y-\dfrac{1}{x}\right) \left[ \left( y+\dfrac{1}{2x}\right) ^2+\dfrac{3}{4x^2}+3\right] =0$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{x}.$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$\dfrac{1}{x^3}-2=\dfrac{3}{x} \Leftrightarrow 2x^3+3x^2-1=0 \Leftrightarrow x=-1 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{1}{2}.$

Với $x=-1$ ta được $y=-1$, với $x=\dfrac{1}{2}$ ta được $y=2$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (-1;-1); \left( \dfrac{1}{2};2\right)\right\}  $.

2. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x^2-2x-y-1=0&\\ y^2-2y-x-1=0 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^3+3x=8y&\\ y^3+3y=8x \end{cases}$

c)  $\begin{cases} x^3=5x+y&\\ y^3=5y+x  \end{cases}$

d) $\begin{cases} x-3y=4\dfrac{y}{x}&\\ y-3x=4\dfrac{x}{y}  \end{cases}$

e) $\begin{cases} xy+x^2=1+y&\\ xy+y^2=1+x \end{cases}$

f) $\begin{cases} 3y=\dfrac{y^2+2}{x^2}&\\ 3x=\dfrac{x^2+2}{y^2} \end{cases}$

g) $\begin{cases} 3x^3=x^2+2y^2&\\ 3y^3=y^2+2x^2 \end{cases}$

h) $\begin{cases} 3x^2y-y^2-2=0&\\ 3y^2x-x^2-2=0 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x+\sqrt{y+3} =3&\\ y+\sqrt{x+3}=3 \end{cases}$.

b) $\begin{cases} \sqrt{x+5}+\sqrt{y-2}=7&\\ \sqrt{y+5}+\sqrt{x-2}=7 \end{cases}$

c) $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{2-x}=\sqrt{2}&\\ \sqrt{y}+\sqrt{2-x}=\sqrt{2} \end{cases}$

d) $\begin{cases} x \sqrt{1+y^2}+y \sqrt{1+x^2}=2&\\ x \sqrt{1+x^2}+y\sqrt{1+y^2}=2 \end{cases}$

e) $\begin{cases} \sqrt{x^2+3}+2\sqrt{x}=3\sqrt{y}&\\ \sqrt{y^2+3}+2\sqrt{y}=3\sqrt{x} \end{cases}$

f) $\begin{cases} x+\dfrac{2}{y}=\dfrac{3}{x}&\\ y+\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{y} \end{cases}$

g) $\begin{cases} 2x+3\sqrt{5-y}=8&\\ 2y+3\sqrt{5-x}=8 \end{cases}$

h) $\begin{cases} \sqrt[3]{3x+5}=y+1&\\ \sqrt[3]{3y+5}=x+1 \end{cases}$

i) $\begin{cases} x+1=\sqrt{2+\sqrt{y+3}}&\\ y+1=\sqrt{2+\sqrt{x+3}} \end{cases}$

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau

a) $\begin{cases} x^2(1-2y)=y^2(4x+2y)&\\ 2x^2+xy-y^2=x \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^2(y^2+1)=2&\\ x^2y^2+xy+1=3x^2 \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^2+2=x(y-1)&\\ y^2-7=y(x-1) \end{cases}$

d) $\begin{cases} 4x^2+y^4-4xy^3=1&\\ 2x^2+y^2-2xy=1 \end{cases}$

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x^2+2xy+y=4&\\ x^2+xy+2y+x=5 \end{cases}$

b) $\begin{cases} 2x^2+2xy+y=5&\\ y^2+xy+5x=7 \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^2+y^2+xy=3&\\ y^2-xy+5x+4y=9 \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2+y^2=2&\\ 4(x+y)-x^2y^2=7 \end{cases}$

e) $\begin{cases} x^2+y^2+x+y=4&\\ x^2+2xy+9=7x+5 \end{cases}$

Bài 5: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+7=5y-6z&\\ y^2+7=10z+3x&\\ z^2+7=-x+3y \end{cases}$

Bài 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3+3xy^2+3xz^2-6xyz=1&\\ y^2+3yx^2+3yz^2-6xyz=1&\\ z^3+3zy^2+3zx^2-6xyz=1. \end{cases}$

Bài 7: Giải hệ phương trình $\begin{cases} (x-2y)(x-4z)=3&\\ (y-2z)(y-4x)=5&\\ (z-2x)(z-4y)=-8. \end{cases}$

Bài 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x(yz-1)=3&\\ y(zx-1)=4&\\ z(xy-1)=5. \end{cases}$

Bài 9: Giải hệ phương trình $\begin{cases}ab+c+d=3&\\ bc+d+a=5&\\ cd+a+b=2&\\ da+b+c=6 \end{cases}$

Bài 10: Cho $a \in \mathbb{R}$. Giải hệ phương trình $\begin{cases} x_1^2+ax_1+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_2&\\  x_2^2+ax_2+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_3&\\ …&\\ x_n^2+ax_n+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_1 \end{cases}$

Hệ phương trình – Phương pháp thế

Leave a reply

Trong chương này đề cập đến một số phương pháp giải hệ phương trình cơ bản nhất: Phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp ẩn phụ, và phương pháp đánh giá. Qua các phương pháp chúng ta cũng đi qua một số dạng phương trình mẫu mực như: hệ phương trình đối xứng loại một, loại hai, hệ đẳng cấp, hệ hoán vị vòng quanh,…Ngoài ra là các hệ không mẫu mực ở mức độ vừa phải, không quá xấu về mặt hình thức, phù hợp với các bạn THCS.

1. Phương pháp thế

Nội dung phương pháp: Từ một trong các phương trình, tính được một hoặc nhiều biến theo một hoặc nhiều biến khác, sau đó thế hết vào các phương trình còn lại để số biến sẽ giảm lại.

Trong các phương pháp giải hệ phương trình thì Phương pháp thế là phương pháp quan trọng và được sử dụng nhiều nhất. Mục tiêu của việc thế là đưa hệ nhiều ẩn thành hệ ít ẩn hơn, hoặc đưa về phương trình một ẩn, từ đó có thể giải được bài toán.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $ \left\{\begin{array}{l} x + 2y = 3\\ x^2-3y^2 + 4xy=2 \end{array} \right. $

Giải

$\left\{\begin{array}{l} x + 2y = 3 (1) \\x^2-3y^2 + 4xy=2 (2) \end{array} \right.$

Từ (1) ta có $x = 3-2y$, thế vào (2) ta có:

$(3-2y)^2-3y^2 + 4(3-2y)y = 2 \Leftrightarrow y^2 = 1 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y = 1\\ y=-1 \end{array} \right.$

Với $y = 1 \Rightarrow x = 1$.

Với $y = -1 \Rightarrow x = 5$.

Vậy hệ có 2 nghiệm $(x;y)$ là $(1;1), (5;-1)$.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x^2+x+y^2=7\\ xy-x+y=3 \end{array} \right.$

Giải

Nếu $x=-1$ thì phương trình thứ hai vô nghiệm.

Xét $x \ne -1.$ Từ phương trình thứ hai ta được

$xy-x+y=3 \Leftrightarrow y=\dfrac{x+3}{x+1}$.

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được

$2x^2+x+\left( \dfrac{x+3}{x+1}\right) ^2=7$

$\Leftrightarrow (2x^2+x-6)+\left[ \left( \dfrac{x+3}{x+1}\right)^2 -1\right] =0$

$\Leftrightarrow (x+2)(2x-3)+\dfrac{4}{(x+1)^2}(x+2)=0$

$\Leftrightarrow x=-2 \ \text{hoặc} \ 2x^3+x^2-4x+1=0.$

Trường hợp $x=-2$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=-1$.

Trường hợp $2x^3+x^2-4x+1=0  \Leftrightarrow (x-1)(2x^2+3x-1)=0$

$\Leftrightarrow x=1 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}.$

Với $x=1$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=2.$

Với $x=\dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được $y=\dfrac{9 \pm \sqrt{17}}{1+\sqrt{17}}$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (-2;-1), (1;2), \left(\dfrac{-3\pm \sqrt{17}}{4}; \dfrac{9 \pm \sqrt{17}}{1+\sqrt{17}}\right)\right\} .$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} 2x^2y+3xy=4x^2+9y\\ 7y+6=2x^2+9x. \end{array} \right.$

Giải

Từ phương trình thứ hai suy ra $y=\dfrac{2x^2+9x-6}{7}$.

Thay vào phương trình thứ nhất ta được

$2x^2 \left( \dfrac{2x^2+9x-6}{7} \right) +3x \left(  \dfrac{2x^2+9x-6}{7} \right) =\dfrac{7.4x^2}{7}+9 \left( \dfrac{2x^2+9x-6}{7} \right) $

$\Leftrightarrow (2x^2+9x-6)(2x^2+3x-9)=28x^2$

$\Leftrightarrow 4x^4+24x^3-31x^2-99x+54=0$

$\Leftrightarrow \left( x-\dfrac{1}{2}\right) (x+2)(4x^2+18x-54)=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2} \ \text{hoặc} \ x=2 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}.$

Trường hợp $x=\dfrac{1}{2}$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=-\dfrac{1}{7}$.

Trường hợp $x=-2$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=-\dfrac{16}{7}$.

Trường hợp $x=\dfrac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=3$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y) \in \left\{ \left( \dfrac{1}{2}; – \dfrac{1}{7} \right) ;  \left( -2; -\dfrac{16}{7}\right) ;  \left( \dfrac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}; 3\right) \right\} $.

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} 1+x^3y^3=19x^3\\ y+xy^2=-6x^2. \end{array} \right.$

Giải

Nếu $x=0$ thì hệ vô nghiệm.

Xét $x \ne 0$. Nhân hai vế của phương trình thứ hai cho $x$ ta được $xy+x^2y^2=-6x^3.$

Thay vào phương trình thứ nhất ta được

$-6(1+x^3y^3)=19(xy+x^2y^2)$

$\Leftrightarrow xy=-\dfrac{2}{3} \ \text{hoặc} \ xy=-\dfrac{3}{2} \ \text{hoặc} \ xy=-1.$

Trường hợp $xy=-\dfrac{2}{3}$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $\begin{cases} x=\dfrac{1}{3}&\\ y=-2 \end{cases}$.

Trường hợp $xy=-\dfrac{3}{2}$ ta được $\begin{cases}x=-\dfrac{1}{2}&\\y=3. \end{cases}$

Trường hợp $xy=-1$ ta được $x=0$ (loại).

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ \left( \dfrac{1}{3}; -2\right) , \left( \dfrac{-1}{2};3\right) \right\} $.

Một số hệ phương trình nhiều khi phải biến đổi một vài bước thì mới xuất hiện phép thế.

Ví dụ 5:  Giải hệ phương trình $\begin{cases} xy+x+y=x^2-2y^2 &\\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2(x-y). \end{cases}$

Giải

Điều kiện $x \ge1, y \ge 0.$

Phương trình thứ nhất tương đương

$(x+y)^2-(x+y)-3y^2-3xy=0$

$\Leftrightarrow (x+y)(x-2y-1)=0$

$\Leftrightarrow x=-y \ \text{hoặc} \ x=2y+1.$

Do $x \ge 1, y \ge 0$ nên trường hợp $x=-y$ không thể xảy ra.

Xét $x=2y+1$ thay vào phương trình thứ hai ta được

$(2y+1)\sqrt{2y}-y\sqrt{2y}=2y+2$

$\Leftrightarrow (y+1)(\sqrt{2y}-2)=0$

$\Leftrightarrow y=2 \ (\text{do} \ y \ge 0)$

Suy ra $x=5$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(5,2).$

Trong ví dụ trên thì từ một phương trình ta phân tích thành thừa số, từ đó có những phương trình đơn giản hơn và sử dụng phương pháp thế.Ta xét tiếp ví dụ sau:

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} xy+x-2=0&\\ 2x^3-x^2y+x^2+y^2-2xy-y=0. \end{cases}$

Giải

$2x^3-x^2y+x^2+y^2-2xy-y=0$

$\Leftrightarrow (x^2-y)(2x-y+1)=0$

$\Leftrightarrow y=x^2 \ \text{hoặc} \ y=2x+1.$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (1,1), \left( \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}, \pm \sqrt{5}\right) \right\} $.

Ví dụ 7:  Giải hệ phương trình $\begin{cases} y^2=(5x+4)(4-x)&\\ y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16=0 \end{cases}$

Giải

Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng $ y^2-(4x+8)y-5x^2+16x+16=0.$

Coi đây là phương trình bậc hai theo $y$ ta được $\Delta=(4x+8)^2-4(-5x^2+16x+16)=36x^2.$

Suy ra $y=\dfrac{4x+8+6x}{2}=5x+4$ hoặc $y=\dfrac{4x+8-6x}{2}=4-x.$

Trường hợp $y=5x+4$ thay vào phương trình đầu của hệ ta được $x(5x+4)=0 \Leftrightarrow x=0 \ \text{hoặc} \ x=-\dfrac{4}{5}.$

Trường hợp này hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (0,4), \left( -\dfrac{4}{5},0\right) \right\} $.

Trường hợp $y=4-x$ thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được $$x(4-x)=0 \Leftrightarrow x=0 \ \text{hoặc} \ x=4.$$

Trường hợp này hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (0,4), (4,0)\right\} $.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (0,4), (4,0), \left( -\dfrac{4}{5},0\right) \right\} $.

Ngoài cách phân tích thành nhân tử, ta còn có một số biến đổi khác phức tạp hơn, ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y^2=x-y&\\ y^3-x^3=y-x^2 \end{cases}$.

Giải

Ta có $\begin{cases} x^2+y^2=x-y\\ y^3-x^3=y-x^2 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} x(x-1)=-y(y+1)&\\ y(y-1)(y+1)=x^2(x-1). \end{cases}$

Thay phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được

$ -x(x-1)(y-1)=x^2(x-1)$

$\Leftrightarrow x(x-1)(x+y-1)=0$

$\Leftrightarrow x=0 \ \text{hoặc} \ x=1 \ \text{hoặc} \   x=1-y.$

Trường hợp $x=0$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $y=0$ hoặc $y=-1$.

Trường hợp $x=1$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $y=0$ hoặc $y=-1$.

Trường hợp $x=1-y$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $y=0.$

Ví dụ 9: Giải phương trình $\begin{cases} (x-y)^4=13x-4&\\ \sqrt{x+y}+\sqrt{3x-y}=\sqrt{2}. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $\begin{cases} x+y \ge 0&\\ 3x-y \ge 0. \end{cases}$

Khi đó $\sqrt{x+y}+\sqrt{3x-y}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow x+y+3x-y+2\sqrt{(x+y)(3x-y)}=2$

$\Leftrightarrow 1-2x=\sqrt{(x+y)(3x-y)}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 4x^2-4x+1=3x^2+2xy-y^2&\\ x \le \dfrac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} (x-y)^2=4x-1&\\ \dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2}. \end{cases}$

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được

$(4x-1)^2=13x-4$

$\Leftrightarrow 16x^2-21x+5=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{16} \ \text{hoặc} \ x=1 \ \text{(loại)}.$

Với $x=\dfrac{5}{16}$ thì $y=-\dfrac{3}{16}$.

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)$ là $\left(\dfrac{5}{16}; -\dfrac{3}{16}\right).$

2. Bài tập 

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

a) $\begin{cases} \sqrt{x+y}+\sqrt{2x-4}=5&\\ 2x+y=14 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x+y=-1&\\ x^3-3x=y^3-3y& \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^2y+2(x^2+y)=8&\\ xy+x+y=5 \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2+5x+y=9&\\ 3x^3+x^2y+2xy+6x^2=18 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} y^2-xy+1=0&\\ x^2+y^2+2x+2y+1=0& \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^3-2xy+5y=7&\\ 3x^2-2x+y=3& \end{cases}$

c) $\begin{cases} x-\sqrt{y+1}=\dfrac{5}{2}&\\ y+2(x-3)\sqrt{x+1}=-\dfrac{3}{4}& \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9&\\ x^2+2xy=6x+6& \end{cases}$

e) $\begin{cases} x^2+1+y(y+x)=4y&\\ (x^2+1)(y+x-2)=y& \end{cases}$

f) $\begin{cases} x(x+y+1)-3=0&\\ (x+y)^2-\dfrac{5}{x^2}+1=0& \end{cases}$

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases}x-2y-\sqrt{xy}=0&\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{4y-1}=2 \end{cases}$

b) $\begin{cases} \sqrt{2x-3}=(y^2+2018)(5-y)+\sqrt{y}&\\ y(y-x+2)=3x+3 \end{cases}$

c) $\begin{cases} 2x^2+4xy+2y^2+3x+3y-2=0&\\ x^2+y^2+4xy+2y=0 \end{cases} $

d) $\begin{cases} 2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0&\\ x^2+y^2+x+y-4=0 \end{cases}$

e) $\begin{cases} 2x^2-5xy+3y^2=0&\\ x^2-2xy=-1& \end{cases}$

f) $\begin{cases} x^3+3x^2y+3xy^2+2y^3=0&\\ 4x^2+y^2=5& \end{cases}$

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau

a) $\begin{cases} x+\dfrac{1}{x}=y+\dfrac{1}{y}&\\ x+2y=3& \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^3-4y^3=6x^2y-9xy^2&\\ \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2& \end{cases}$

c) $\begin{cases} -x^2y+2xy^2+3y^3-4(x+y)=0&\\ xy(x^2+y^2) -1=3xy-(x+y)^2 \end{cases}$

d) $\begin{cases} \sqrt{x-1}+\sqrt{x}(3\sqrt{x}-y)+x\sqrt{x}=3y+\sqrt{y-1}&\\ 3xy^2+4=4x^2+2y+x \end{cases}$

e) $\begin{cases} x^2+y^2+\dfrac{2xy}{x+y}=1&\\ \sqrt{x+y}=x^2-y \end{cases}$

f) $\begin{cases} y^2-x\sqrt{\dfrac{y^2+2}{x}}=2x-2&\\ \sqrt{y^2+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1 \end{cases}$

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} 2x^2+y^2-3xy+3x-2y+1=0&\\ 4x^2-y^2+x+4=\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y}& \end{cases}$

b) $\begin{cases} 6\dfrac{x}{y}-2=\sqrt{3x-y}+3y&\\ 2\sqrt{3x+\sqrt{3x-y}}=6x+3y-4. \end{cases}$

Phương trình vô tỉ – Phương pháp đặt ẩn phụ

Leave a reply

1. Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ sử dụng khi phương trình chứa một biểu thức lặp đi lặp lại nhiều lần, việc đặt ẩn phụ đưa phương trình về một phương trình đơn giản hơn, hoặc là đưa về dạng phương trình đã biết cách giải. Có rất nhiều dạng đặt ẩn phụ với nhiều dạng toán khác nhau, ở đây chúng tôi chỉ trình bày những dạng bài tập phù hợp nhất với chương trình trung học cơ sở, không đi sâu quá vào các ẩn phụ mẹo mực khác.

Chú ý. Khi đặt ẩn phụ thì nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ để giảm được các trường hợp cần xét.

Ví dụ 1: Giải phương trình $\sqrt{x^2-x+3}-\sqrt{-x^2+x+2}=1$.

Giải

Đặt $t=\sqrt{-x^2+x+2}, t \ge 0$. Khi đó $t^2=-x^2+x+2 \Leftrightarrow x^2-x+3=5-t^2.$

Phương trình trở thành

$ \sqrt{5-t^2}-t=1$

$\Leftrightarrow \sqrt{5-t^2}=t+1$

$\Leftrightarrow 5-t^2 = (t+1)^2$

$\Leftrightarrow t^2+t-2=0$

$\Leftrightarrow t=1 \ \text{hoặc} \ t=-2(l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{-x^2+x+2}=1$

$\Leftrightarrow x^2-x-1=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Ví dụ 2: Giải phương trình $2x^2-6x+7=5\sqrt{x^2-3x+5}$.

Giải

Đặt $t=\sqrt{x^2-3x+5}, t \ge 0$.

Khi đó phương trình trở thành

$2t^2-3=5t$

$\Leftrightarrow 2t^2-5t-3=0$

$\Leftrightarrow t=3 \ \text{hoặc}\   t=-\dfrac{1}{2}(l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-3x+5}=3$

$\Leftrightarrow x^2-3x-4=0$

$\Leftrightarrow x=-1 \ \text{hoặc} \ x=4. $

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=-1$ hoặc $x=4.$

Ví dụ 3: Giải phương trình $(x-1)^2+2(x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=12$.

Giải

Điều kiện $\dfrac{x-3}{x+1} \ge 0 \Leftrightarrow x<-1$ hoặc $x \ge 3.$

Khi đó phương trình tương đương

$(x^2-2x-3)+2(x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=8$

$\Leftrightarrow (x+1)(x-3)+2(x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=8.$

Đặt $t=(x+1) \sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}} \Rightarrow t^2=(x+1)(x-3)$.

Khi đó phương trình trở thành $t^2+2t-8=0 \Leftrightarrow t=2 \ \text{hoặc} \ t=-4.$

Trường hợp $t=2 \Leftrightarrow (x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=2$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -1\\ (x+1)(x-3) =4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -1\\ x^2-2x-7=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=1+2\sqrt{2}.$

Trường hợp $t=-4 \Leftrightarrow (x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=-4$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \le -1\\ (x+1)(x-3) =16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \le -1\\ x^2-2x-19=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=1-2\sqrt{5}.$

Thử lại ta nhận $x=1+2\sqrt{2}$ và $x=1-2\sqrt{5}$ là hai nghiệm của phương trình.

Trên đây là các phương trình mà ta thấy rõ được biểu thức $f(x)$ lặp đi lặp lại, trong một số trường hợp khác $f(x)$ không xuất hiện một cách tường mình, mà phải thông qua một số biến đổi thì mới xuất hiện. Ta xem các ví dụ sau:

Ví du 4: Giải phương trình $x^2+3x\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=10x+4$.

Giải

Điều kiện $x-\dfrac{4}{x} \ge 0 \Leftrightarrow -2 \le x <0 $ hoặc $x \ge 2.$

Khi đó phương trình

$x^2+3x\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=10x+4$

$\Leftrightarrow x+3\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=10+\dfrac{4}{x}$

$\Leftrightarrow x-\dfrac{4}{x}+3\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}-10=0.$

Đặt $t=\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}, t \ge 0$. Phương trình trở thành:

$ t^2+3t-10=0$

$\Leftrightarrow t=2 \ \text{hoặc} \ t=-5(l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=2$

$\Leftrightarrow x-\dfrac{4}{x}=4$

$\Leftrightarrow x^2-4x-4=0$

$\Leftrightarrow x=2\pm 2\sqrt{2}.$

So sánh với điều kiện ta được phương trình có hai nghiệm $x=2 \pm 2\sqrt{2}.$

Ví dụ 5: Giải phương trình $\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x}=3\sqrt[4]{1-x^2}$

Giải

Điều kiện $-1 \le x \le 1.$

Dễ thấy $x=1$ không là nghiệm của phương trình. Xét $x \ne 1.$

Khi đó phương trình tương đương $\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}+2=3\sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}.$

Đặt $t=\sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}$, phương trình trở thành

$t^2-3t+2=0$

$\Leftrightarrow t=1 \ \text{hoặc} \ t=2.$

  • Trường hợp $t=1 \Leftrightarrow \sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}=1 \Leftrightarrow \dfrac{1+x}{1-x}=1 \Leftrightarrow x=0.$
  • Trường hợp $t=2  \Leftrightarrow \sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}=2 \Leftrightarrow \dfrac{1+x}{1-x}=16  \Leftrightarrow x=\dfrac{15}{17}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=0$ hoặc $x=\dfrac{15}{17}.$

Trong một số trường hợp phức tạp hơn, ta đặt ẩn phụ một biểu thức, và tính các biểu thức còn lại theo ẩn phụ. Ta xem ví dụ sau:

Ví dụ 6: Giải phương trình $\sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}+2\sqrt{22+9x-x^2}=17$.

Giải

Điều kiện $-2 \le x \le 11.$

Đặt $t=\sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}, t \ge 0$. Khi đó

$t^2=13+2\sqrt{(11-x)(x+2)}$

$\Rightarrow 2\sqrt{22+9x-x^2}=t^2-13.$

Phương trình trở thành

$t+t^2-13=17$

$\Leftrightarrow t^2+t-30=0$

$\Leftrightarrow t=5 \ \text{hoặc} \ t=-6(l).$

$\Leftrightarrow \sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}=5$

$\Leftrightarrow \sqrt{22+9x-x^2}=6$

$\Leftrightarrow x^2-9x+14=0$

$\Leftrightarrow x=2 \ \text{hoặc} \ x=7.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ hoặc $x=7.$

Sau đây là cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình thành một phương trình hai ẩn, từ đó giải ẩn này theo ẩn kia để thiết lập một phương trình đơn giản hơn phương trình đã cho.

Ví dụ 7: Giải phương trình $x^2+16x-16=(2x+1)\sqrt{3x^2+4}$.

Giải

Ta có $x^2+16x-16=(2x+1)\sqrt{3x^2+4}$

$\Leftrightarrow 4(2x+1)^2-5(3x^2+4)=(2x+1)\sqrt{3x^2+4}$

Đặt $\begin{cases} a=2x+1&\\ b=\sqrt{3x^2+4}, b \ge 2. \end{cases}$

Phương trình trở thành

$4a^2-5b^2=ab$

$\Leftrightarrow 4a^2-ab-5b^2=0$

$\Leftrightarrow a=-b \ \text{hoặc} \ a=\dfrac{5}{4}b.$

  • Trường hợp $a=-b$ ta có:

$ \sqrt{3x^2+4}=-(2x+1)$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \le -\dfrac{1}{2}&\\ x^2+4x-3=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=-2-\sqrt{7}$

  • Trường hợp $a=\dfrac{5}{4}b$ ta có:

$5\sqrt{3x^2+4}=4(2x+1)$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -\dfrac{1}{2}&\\ 11x^2-64x+84=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{42}{11} \ \text{hoặc} \ x=2.$

Vậy phương trình có các nghiệm $x=-2-\sqrt{7}, x=\dfrac{42}{11}$ hoặc $x=2.$

Ví dụ 8: Giải phương trình $\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+2x+3}=3\sqrt{x^2+4x+5}$.

Giải

Ta có  $\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+2x+3}=3\sqrt{x^2+4x+5}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+2x+3}=3\sqrt{-(x^2+1)+2(x^2+2x+3)}.$

Đặt $\begin{cases} a=\sqrt{x^2+1}, a \ge 1&\\ b=\sqrt{x^2+2x+3}, b \ge \sqrt{2}. \end{cases}$.

Phương trình trở thành:

$a+2b=3\sqrt{-a^2+2b^2}$

$\Leftrightarrow (a+2b)^2=9(-a^2+2b^2)$

$\Leftrightarrow 5a^2+2ab-7b^2=0$

$\Leftrightarrow (a-b)(5a+7b)=0$

$\Leftrightarrow a=b$.

Khi đó ta có

$\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+2x+3}$

$\Leftrightarrow x^2+1=x^2+2x+3$

$\Leftrightarrow x=-1$.$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1.$

Ví dụ 9: Giải phương trình $\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}-3\sqrt{1-x^2}=x-3$.

Giải

Điều kiện $-1 \le x \le 1$.

Đặt $\begin{cases} a=\sqrt{x+1}, a \ge 1&\\b=\sqrt{1-x}, b \ge 0 \end{cases}$.

Khi đó $x-3=-a^2-2b^2$ và phương trình trở thành

$a-2b-3ab=-a^2-2b^2$

$\Leftrightarrow (a^2-3ab+2b^2)+(a-2b)=0$

$\Leftrightarrow (a-2b)(a-b)+(a-2b)=0$

$\Leftrightarrow (a-2b)(a-b+1)=0$

$\Leftrightarrow a=2b \ \text{hoặc} \ b=a+1.$

  • Trường hợp $a=2b$ ta có:

$\sqrt{1+x}=2\sqrt{1-x}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le x \le 1&\\ 1+x=4(1-x) \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}.$

  • Trường hợp $b=a+1$ ta có:

$ \sqrt{1-x}=\sqrt{1+x}+1$

$\Leftrightarrow 1-x=x+2+2\sqrt{1+x}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{1+x}=-2x-1$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le x \le -\dfrac{1}{2}&\\ 4(1+x)=(2x+1)^2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le x \le \dfrac{1}{2}&\\ x^2=\dfrac{3}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=\dfrac{3}{5}$ hoặc $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Ví dụ 10: Giải phươg trình $x^2+5x-3=2(2x+3)\sqrt{x-1}$.

Giải

Điều kiện $x \ge 1.$

Khi đó $x^2+5x-3=2(2x+3)\sqrt{x-1}$

$\Leftrightarrow 3(x-1)-2(2x+3)\sqrt{x-1}+x^2+2x=0$

Đặt $t=\sqrt{x-1}, t \ge 0$. Ta được $3t^2-2(2x+3)t+x^2+2x=0.$

Đặt $\Delta’=(2x+3)^2-3(x^2+2x)=(x+3)^2.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm $t=x+2$ hoặc $t=\dfrac{x}{3}$.

  • Trường hợp $t=x+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=x+2$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1&\\ x^2+3x+5=0 \end{cases} \ \text{(vô nghiệm)}.$

  • Trường hợp $t=\dfrac{x}{3}$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}=x$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1&\\ x^2-9x+9=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{9 \pm 3\sqrt{5}}{3}.$

Ngoài ra còn có cách đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 11: Giải phương trình: $\sqrt[3]{7+x} – \sqrt{2-x}=1$

Giải

Phương trình có nhiều dấu căn bậc khác nhau, và biểu thức trong căn lại có mối liên hệ khá rõ ràng.

Ta đặt $u = \sqrt[3]{7+x}, v = \sqrt{2-x}$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} u – v = 1\\ u^3 + v^2 = 9 \end{array} \right. $.

Sử dụng phương pháp thế ta có $\left\{ \begin{array}{l} v = u-1\\ u^3 + (u-1)^2 – 9 = 0 \end{array}\right.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v=u-1\\ u^3+u^2-2u-8 = 0 \end{array}\right.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u = 2\\ v = 1\end{array}\right. $.

Từ đó giải ra $x = 1$ là nghiệm.

2. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{2x^2-4x+8} + \sqrt{2x^2-4x+3} = 5$

b) $(x+5)(2-x)=3 \sqrt{x^2+3x}$

c) $(x+4)(x+1)-3\sqrt{x^2+5x+2}=6$

d) $4x^2+10x+9=5\sqrt{2x^2+5x+3}$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $1+\dfrac{2}{3} \sqrt{x-x^2}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$

b) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$

c) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

d)$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$.

Bài 3: Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{3x^2-2x+15}+\sqrt{3x^2-2x+8}=7$

b) $\dfrac{4x-1}{\sqrt{4x-3}}+\dfrac{11-2x}{\sqrt{5-x}}=\dfrac{15}{2}$

c) $\dfrac{3-x}{\sqrt{13-6x}}+\dfrac{3+x}{\sqrt{13+6x}}=2$

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) $2x^2+5x-1=7 \sqrt{x^3-1}$

b) $2(x^2+2)=5 \sqrt{x^3+1}$

c) $\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x+20}=5 \sqrt{x+1}$

d) $(x^2-6x+11) \sqrt{x^2-x+1}=2(x^2-4x+7) \sqrt{x-2}$

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a) $2 \sqrt{\dfrac{3x-1}{x}}=\dfrac{x}{3x-1}+1$

b) $(x+5)(2-x)=3 \sqrt{x^2+3x}$

c) $2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1$

d) $(x+4)(x+1)-3 \sqrt{x^2+5x+6}+4=0$

e) $(x-1)(x+2)+2(x-1) \sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}=8$

f) $\sqrt[3]{\dfrac{2x}{x+1}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2x}}=2$.

Phương trình vô tỉ – Phương pháp lũy thừa

Leave a reply

Phương trình vô tỉ (phương trình chứa căn thức) là một trong những nội dung quan trọng nhất của đại số 9, xuất hiện trong hầu hết các đề thi học sinh giỏi cũng như đề thi tuyển sinh. Kĩ năng giải phương trình cũng là một trong kĩ năng quan trọng của học sinh chuyên toán. Có rất nhiều dạng phương trình và nhiều phương pháp giải khác nhau cho phương trình vô tỉ, tựu chung lại cũng là phương pháp hữu tỉ hóa các phương trình, tức là đưa về phương trình dạng đa thức đã biết cách giải ở lớp 8.Trong chương này đưa ra một vài dạng phương trình vô tỉ cùng với đó là các phương pháp cơ bản nhất, không đi sâu quá nhiều vào các kĩ thuật và các dạng khó.

1. Lý thuyết

Nếu $A(x)$, $B(x)$ là các biểu thức chứa $x$, khi đó ta có các phương trình dạng $\sqrt{A} = \sqrt{B}$ và $\sqrt{A}=B$ là các phương trình vô tỉ cơ bản nhất, được giải bởi các tính chất sau.

  • Tính chất 1.  $\sqrt{A} = \sqrt{B} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ A = B\end{array} \right.$
  • Tính chất 2. $\sqrt{A} = B \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B \geq 0\\ A = B^2\end{array}\right.$

2. Phương pháp lũy thừa

Phương pháp lũy thừa là phương pháp tự nhiên nhất và kinh điển nhất để giải phương trình vô tỉ, nhằm mục đích đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản hoặc đưa về phương trình hữu tỉ, việc lũy thừa đòi hỏi sự khéo léo để không làm cho bậc của biểu thức quá cao, và trong quá trình lũy thừa ta chú ý là tạo ra phương trình mới tương đương phương trình đã cho hay chỉ là hệ quả của phương trình đã cho, nếu là hệ quả thì phải có bước thử lại nghiệm.

Chú ý: $A = B \Leftrightarrow A^2 = B^2$ đúng khi và chỉ khi $A, B$ cùng dấu.

Còn $A = B\ (1) \Rightarrow A^2 = B^2\ (2)$ thì phương trình $(2)$ là phương trình hệ quả của phương trình $(1)$.

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) $\sqrt{-x^2+4x-3}=2x-5$

b) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2} = \sqrt{3x}$

Giải

a) Ta có $ \sqrt{-x^2+4x-3} =2x-5  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-5 \ge 0\\ -x^2+4x-3=(2x-5)^2 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{5}{2}\\ 5x^2-24x+28=0 \end{array}\right.$  $  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{5}{2} \\ x=2 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{14}{5} \end{array}\right. $  $\Leftrightarrow x=\dfrac{14}{5}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{14}{5}$.

b) Điều kiện $x \geq 2$. Phương trình tương đương với

$x+1+2\sqrt{(x+1)(x-2)}+x-2 = 3x$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-x-2} = x + 1$

$\Leftrightarrow 4(x^2-x-2) = x^2+2x+1$

$\Leftrightarrow 3x^2 – 6x – 9 = 0 $

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 3\ \text{ (nhận) }\\ x=-1 \ \text{ (loại) } \end{array}\right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$.

Ví dụ 2: Giải phương trình $\sqrt{7-x^2+x\sqrt{x+5}}=\sqrt{3-2x-x^2}.$

Giải
  • Ta có $\sqrt{7-x^2+x\sqrt{x+5}}=\sqrt{3-2x-x^2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3-2x-x^2 \ge 0\\ 7-x^2+x\sqrt{x+5}=3-2x-x^2 \ (2)\end{array}\right. $

  •  $(2) \Leftrightarrow x\sqrt{x+5} = -2x -4$

Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của $(2)$. Ta xét $x\ne 0$, khi đó phương trình tương đương

$\sqrt{x+5} = -\dfrac{2x+4}{x}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -\dfrac{2x+4}{x} \ge 0\\ x+5 = \dfrac{(2x+4)^2}{x^2} \ (3) \end{array}\right. $

  •  $(3) \Leftrightarrow  x^2(x+5) = (2x+4)^2$

$\Leftrightarrow  x^3 +x^2 -16x -16 =0 \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l} x=4 \ \text{ (loại) }\\ x=-1\ \text{ (nhận) }\\ x=-4 \ \text{ (loại) } \end{array}\right. $

  •  Vậy phương trình có nghiệm $x = -1$.

Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{x+1}-1=\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$.

Giải
  •  Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} x \ge -1\\ \sqrt{x+1}-1 \ge 0\\ x-\sqrt{x+8} \ge 0 \end{array}\right.  (*)$.
  •  Khi đó phương trình tương đương:

$\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

$\Leftrightarrow x+1=1+x-\sqrt{x+8}+2\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+8}=2\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

$\Leftrightarrow x+8=4(x-\sqrt{x+8})$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{x+8}=3x-8$

$\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{8}{3} \\ 16(x+8)=(3x-8)^2 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{8}{3}\\ 9x^2-64x-64=0 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow x=8.$

  •  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=8.$

Ví dụ 4: Giải phương trình $\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x+2)}=2\sqrt{x^2}.$

Giải
  •  Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} x(x-1) \ge 0\\ x(x+2) \ge 0\\  x \ge 0 \end{array}\right.  \Leftrightarrow x=0 \ \text{ hoặc } \ x \ge 1.$
  •  Dễ thấy $x=0$ là một nghiệm của phương trình.
  •  Xét $x \ge 1.$ Khi đó phương trình tương đương
  •  $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=2\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow x-1+x+2+2\sqrt{(x-1)(x+2)}=4x$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)(x+2)}=x-\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{1}{2}\\ x^2+x-2=x^2-x+\dfrac{1}{4} \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{1}{2}\\ x=\dfrac{9}{8} \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{8}$

  •  Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{9}{8}$ hoặc $x=0$.

Ví dụ 5: Giải phương trình $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\dfrac{x+3}{2}$.

Giải
  •  Điều kiện $x \ge 1.$
  •  Khi đó phương trình tương đương

$\sqrt{(\sqrt{x-1})^2+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(\sqrt{x-1})^2-2\sqrt{x-1}+1}=\dfrac{x+3}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=\dfrac{x+3}{2}$

$\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=\dfrac{x+3}{2}$

  •  Với $1 \le x \le 2$ thì phương trình tương đương

$\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=\dfrac{x+3}{2} \Leftrightarrow x=1.$

  •  Với $x>2$ thì phương trình tương đương

$\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=\dfrac{x+3}{2}$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{x-1}=x+3$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge -3\\ 16x-16=x^2+6x+9 \end{array}\right.   \Leftrightarrow x=5.$

  •  Vậy phương trình có nghiệm $x=1$ hoặc $x=5$.

 

Ví dụ 6: Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=2\sqrt{x}+\sqrt{2x+2}$.

Giải
  •  Điều kiện $\begin{cases} x+3 \ge 0&\\ 3x+1 \ge 0&\\ x \ge 0&\\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \ge 0.$

 Phương trình trở thành

 $\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+2}=\sqrt{4x}-\sqrt{x+3}$

$\Rightarrow 3x+1+2x+2-2\sqrt{(3x+1)(2x+2)}=4x+x+3-2\sqrt{4x(x+3)}$

$\Rightarrow \sqrt{(3x+1)(2x+2)}=\sqrt{4x(x+3)}$

$\Rightarrow 6x^2+8x+2=4x^2+12x$

$\Rightarrow x=1.$

  •  Thử lại ta thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình.
  •  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1.$
  • Chú ý: Trong ví dụ trên, ta dùng dấu “$\Rightarrow$” thay cho “$\Leftrightarrow$”, tức là phương trình sau chỉ là hệ quả của phương trình trước chứ không phải là tương đương. Do đó khi giải ra nghiệm ta phải thử lại phương trình ban đầu để nhận hay loại nghiệm.

Ví dụ 7: Giải phương trình $\sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[3]{2x+11}$.

Giải
  •  Sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$. Ta được

$ \sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[3]{2x+11}$

$\Leftrightarrow 2x+11+3\sqrt[3]{x+5}.\sqrt[3]{x+6}(\sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6})=2x+11$

$\Rightarrow 3\sqrt[3]{x+5}.\sqrt[3]{x+6}.\sqrt[3]{2x+11}=0$

$\Leftrightarrow x=-6 \ \text{hoặc} -5 \ \text{hoặc} \ x=-\dfrac{11}{2}.$

  •  Thử lại ta thấy tất cả đều là nghiệm của phương trình.
  •  Vậy phương trình có ba nghiệm $x=-6$ hoặc $x=-5$ hoặc $x=-\dfrac{11}{2}.$

3. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau;

a) $\sqrt{x^2+3x+4}-3x=1$

b) $1+\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}$

c) $\sqrt{-x^2+4x-3}=2x-5$

d) $x-\sqrt{4-x^2}=0$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x+2}=1$

b) $\sqrt{5x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-4}$

c) $x^2-2x+4(x-3) \sqrt{\dfrac{x+1}{x-3}}=0$.

d) $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+2+4\sqrt{x-2}}+3=0$

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) $\dfrac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x$

b) $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+x}=1$

c) $\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}=2\sqrt{x^2}$

d) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

Bài 4. Giải các phương trình sau

a) $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}$

b) $\sqrt[3]{2x-5}+\sqrt[3]{3x+7}=\sqrt[3]{5x+2}$

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^2 – 3x + 4} + 1 – x – \sqrt{3 – x}=0$

b) $\sqrt{x^2+3x+4}+1+x-\sqrt{3+x}=0$

c) $\sqrt{x^2-3x+3}+1-x-\sqrt{2-x}=0$

d) $\sqrt{4x^2-10x+7}+2-2x-\sqrt{3-2x}=0$

Đề thi và lời giải chọn đội tuyển PTNK năm 2020

Leave a reply

Chúc mừng các bạn đã đỗ vào Đội tuyển Toán PTNK thi VMO năm 2020-2021. Chúc các em có một chặng đường học tập và thi cử thành công.

Năm nay danh sách có 7 bạn 12, 2 bạn 11 và đặc biệt có một học sinh lớp 10.

Sau đây là đề bài và đáp án đề thi chọn đội tuyển năm nay, được thực hiện bởi thầy Lê Phúc Lữ, giáo viên tại trung tâm giáo dục STAR EDUCATION (và một số đồng nghiệp).

Loi giai de PTNK 2020

Seminar lần 1: Ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán hình học phẳng

Leave a reply

Giới thiệu: Để giải một bài toán hình phẳng không đi theo hướng thuần túy, ta có nhiều cách như: tính toán các độ dài, sử dụng lượng giác, sử dụng vector, phương pháp tọa độ Oxy, hay các công cụ nâng cao hơn như: dùng hệ tọa độ barycentric (trilinear) và số phức. Tất nhiên mỗi phương pháp có những điểm mạnh, điểm yếu riêng. Tuy nhiên, cho dù là phương pháp nào thì nếu đánh giá không đúng tính chất bài toán cũng như đặc điểm của công cụ mà cứ giải quyết một cách brute-force thì cũng khó tính toán thủ công nổi, cho dù xét về bản chất là có thể làm được. Trong seminar này, chúng ta sẽ phân tích việc ứng dụng của số phức, một cách tiếp cận hiện đại và hiệu quả cho các bài toán hình học Olympic.

Báo cáo viên: Thầy Lê Phúc Lữ (Giáo viên STAR EDUCATION)

Nội dung: Ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán hình học phẳng

Đối tượng: Các bạn học sinh cấp 3 đam mê toán học.

Địa điểm: 16/2 Trần Thiện Chánh, P12, Q12. 

Thời gian: 8 giờ – 11 giờ, ngày 21/06/2020

Tài liệu:  Bài giảng lý thuyết

Rất mong sự hiện diện có mặt của các bạn để buổi Seminar được diễn ra thành công.

 

 

Phương trình nghiệm nguyên – P3

Leave a reply

Trong bài viết này ta bàn về phương pháp sử dụng bất đẳng thức và đánh giá. Đây là một trong những phương pháp rất hay và hữu dụng khi giải phương trình nghiệm nguyên, chủ yếu ta đánh giá chặn trên, chặn dưới của biết để đưa về hữu hạn trường hợp để xét. Chú ý các tính chất sau:

  • Giữa hai số nguyên có hữu hạn các số nguyên.
  • Giữa hai số chính phương có hữu hạn các số chính phương.
  • Một tập con các số nguyên dương bị chặn trên thì có hữu hạn phần tử.

Ta xét các ví dụ sau.

Ví dụ 1. Giải phương trình trong tập các số nguyên dương: $x+y+z = xyz$.

Lời giải. Do vai trò của $x, y, z$ là như nhau, ta có thể giả sử $x \geq y \geq z$.

Khi đó $x+y+z = xyz \Leftrightarrow \dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{xz} = 1$.

Mà $\dfrac{1}{xy},\dfrac{1}{xz}, \dfrac{1}{zy} \leq \dfrac{1}{z^2}$.

Do đó $1 \leq \dfrac{3}{z^2}$, suy ra $z^2 \leq 3$, suy ra $z = 1$.

Khi đó ta có phương trình: $x+y +1 = xy$, giải ra được $(x;y)$ là $(3;2)$.

Do vai trò $x, y, z$ là như nhau nên phương trình có nghiệm $(3;2;1)$ và các hoán vị.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: ${(x + y)^2} + 3x + y + 1 = {z^2}$.

Lời giải. Ta có $(x+y)^2 < (x+y)^2 + 3x + y + 1 < (x+y+2)^2$.

Mà $(x+y)^2 + 3x + y + 1 = z^2$ là số chính phương nên:

$(x+y)^2 + 3x+y +1 = (x+y+1)^2 \Leftrightarrow x = y$.

Khi đó $z = 2x+1$.

Vậy phương trình có nghiệm $(x, x, 2x+1)$ với $x$ nguyên dương.

Ví dụ 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x^2-y^2)^2 = 1+ 16y$.

Lời giải. Rõ ràng $y>0$, nếu $x$ thỏa thì $-x$ cũng thỏa. Ta xét $x\geq 0$.

  • Nếu $x=y$ thì $0 = 1+16y$ (vô lý).
  • Do đó đặt $x = y+a$ với $a\geq 1$. Khi đó
    • $(a^2+2ay)^2 = 1+16y \Leftrightarrow a^2+4a^3y +4a^2y^2 = 1+16y$. Suy ra $a < 2$.
    • Suy ra $a= 1$. Khi đó ta có $4y^2-12y = 0$, giải ra $y = 0, y=3$.
      • Nếu $y = 0, x = 1$.
      • Nếu $y=3, x=4$.
  • Vậy phương trình có nghiệm $(1;0), (-1;0), (4;3), (-4;3)$.

Một số bài toán khó hơn, phải kết hợp nhiều phương pháp. Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 4. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thỏa: ${5^x} = {y^4} + 4y + 1$

Lời giải.

  •  Có một nghiệm là $(0;0)$.
  • Dễ thấy $y$ chẵn nên $y^4+4y+1 \equiv 1 (\mod 8)$. Suy ra $x$ chẵn, $x = 2k$. Khi đó $(5^k)^2 = y^4 + 4y+1$ là số chính phương.
  • Ta có $y\geq 1$ nên $y^4 < y^4+4y + 1 < (y^2+2)^2$. Suy ra $y^4+4y + 1 = (y^2+1)^2 \Leftrightarrow y = 2$, suy ra $x = 2$.
  • Vậy có 2 cặp nghiệm $(0;0), (2;2)$.

Bài tập rèn luyện.

Các bài tập tương tự.

Bài 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $xy+yz+xz = 3xzy$.

Bài 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $(1+\dfrac{1}{x})(1+\dfrac{1}{y})(1+\dfrac{1}{z}) = 2$.

Bài 3.  Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tổng các ước dương của $p^4$ là một số chính phương.

Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho hệ phương trình $p+1=2x^2,p^2+ 1=2y^2$ có nghiệm nguyên.

Bài 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $5(x+y+z+t) + 10 = 2xyzt$.

Bài 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $1+x+x^2+x^3 = y^3$.

Bài 7. Tìm $m, n$ nguyên dương để $\dfrac{5mn+5m}{3m^2+2n^2}$ là số nguyên.