+ Nếu $\cos x =0$ thì phương trình trở thành $\sin x=0$, không xảy ra.

+ Nếu $\cos x \ne 0$, chia hai vế phương trình cho $\cos^2$ ta được:

$2\tan^2 x-5\tan x+3=0 \Leftrightarrow \tan x=1$ hoặc $\tan x=\dfrac{3}{2}$.

Với $\tan x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Với $\tan x =\dfrac{3}{2}$, có số $\alpha$ để $\tan \alpha =\dfrac{3}{2}$ ta có: $\tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha + k\pi .$

Vậy phương trình có các nghiệm: $x=\dfrac{\pi}{4}, x=\alpha+k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Đặt: $t= \sin x -\cos x,$ với $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

$\Rightarrow t^2=1-\sin 2x \Rightarrow \sin 2x=1-t^2$

PT $\Leftrightarrow 1-t^2-12t+2=0 \Leftrightarrow -t^2-12t+13=0 \Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=-13$ (loại).

$\Rightarrow \sin x-\cos x =1 \Leftrightarrow \sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\\ x-\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow  \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\pi +k2\pi \end{matrix} \right. k \in \mathbb{Z}$

1. a) $x=k\pi; x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi$

b) $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi; x= \arctan (-5)+k\pi$

c) $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi; x=\pm \dfrac{\pi}{6}+k\pi$

d) $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$

2. a) $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\pi+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

b) $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\pi+k2\pi; x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

c) $x=k2\pi; x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\varphi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi;$

$x=\dfrac{3\pi}{4}-\varphi +k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ với $\sin \varphi=\dfrac{\sqrt{3}-2}{2}$.

d) $x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$

a) $\sqrt{3} \cot (3x-30^o)-1=0 \Leftrightarrow \cot (3x-30^o)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\cot 60^o$

$\Leftrightarrow 3x-30^o=60^o+k180^o \Leftrightarrow x=30^o+k60^o (k \in \mathbb{Z})$

b) Điều kiện: $x \ne k\pi$. Ta có: $\cot^2 x+(\sqrt{3}-1)\cot x-\sqrt{3}=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cot x=1=\cot \dfrac{\pi}{4} \\ \cot x= -\sqrt{3}=\cot \left(-\dfrac{\pi}{6} \right) \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi \\ x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$

c) $6\sin^2 x+5\cos x-4=0 \Leftrightarrow 6(1-\cos^2x)+5\cos x -4=0$

$\Leftrightarrow 6\cos^2 x -5\cos x -2 =0 (*).$

Đặt $t=\cos x$, điều kiện $|t| \le 1$. Phương trình (*) trở thành:

$ 6t^2-5t-2=0 \Leftrightarrow t=\dfrac{5-\sqrt{73}}{12}$ (thỏa mãn) hoặc $t=\dfrac{5+\sqrt{73}}{12}$ (loại vì không thỏa điều kiện).

Do đó: $\cos x=\dfrac{5-\sqrt{73}}{12}=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha +k2\pi$ với $\cos \alpha =\dfrac{5-\sqrt{73}}{12}.$

Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm: $x=\pm \alpha +k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.

c) $\cos 2x +3\sin x -1=0 \Leftrightarrow 1-2\sin^2 x+3\sin x-1=0$

$\Leftrightarrow \sin x(-2\sin x+3)=0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin x=0 \ (nhận) \\ \sin x=\dfrac{3}{2}  \   (loại) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \sin x=0 \Leftrightarrow x=k\pi$

Vậy phương trình có nghiệm: $x=k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

e) Điều kiện: $x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi.$ Vì $\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x$ nên:

$\dfrac{\sqrt{3}}{\cos^2 x}=3\tan x+\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} (1+\tan^2 x)=3\tan x+\sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{3} \tan^2 x-3\tan x =0$

Đặt $t=\tan x$, khi đó phương trình đã cho trở thành:

$ \sqrt{3} t^2-3t=0 \Leftrightarrow t=0$ hoặc $t=\sqrt{3}$

+ Với $t=0$ ta có $\tan x =0 \Leftrightarrow x=k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

+ Với $t=\sqrt{3}$ ta có $\tan x=\sqrt{3}=\tan \dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k \in \mathbb{Z}.$

Vậy phương trình có các họ nghiệm: $x=k\pi; x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi.$

a) Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$ ta được:

$\dfrac{5}{13}\sin x-\dfrac{12}{13}\cos x=1 (*).$ Đặt $\cos \varphi =\dfrac{5}{13}$ với $0< \varphi<\dfrac{\pi}{2}.$

Khi đó $\sin \varphi =\dfrac{12}{13}.$ Phương trình (*) trở thành:

$\sin x\cos x-\sin x \cos x=1 \Leftrightarrow \sin (x-\varphi)=1 \Leftrightarrow x-\varphi =\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$

Vậy phương trình có nghiệm: $x=\varphi +\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.

b) $\sqrt{3} \sin x-\cos x=2 \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x=1$

$\Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi}{6}-\sin\dfrac{\pi}{6}\cos x=1 \Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1$

$x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.

c) $\left(\sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2} \right)^2+\sqrt{3}\cos x=2 \Leftrightarrow \sin^2 \dfrac{\pi}{2}+\cos^2 \dfrac{\pi}{2}+2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}+\sqrt{3}\cos x=2$

$\Leftrightarrow \sin x+\sqrt{3}\cos x=1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \end{matrix} \right. (k\in \mathbb{Z})$.

d) $4\cos^2 x+3\sin 2x=7 \Leftrightarrow 4\left(\dfrac{1+\cos 2x}{2}\right)+3\sin 2x=7$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x+3\sin 2x=5$

Ta thấy phương trình có $a^2+b^2=13<c^2=25$.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

1. a) $x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$

b) $x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi; x=k\pi$

c) $x=-\dfrac{\pi}{30}+k\dfrac{2\pi}{5}; x=-\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5}$

2. a) $x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi; x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$

b) $x=\pi+k2\pi$

c) $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi; x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$

3. a) $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$

b) Vô nghiệm.

c) $x=30^o+k120^o; x=18^o+k72^o$.