Bài 1. Cho hai số thực $a, b$ thỏa điều kiện $a b=1, a+b \neq 0$. Tính giá trị của biểu thức:

$P=\frac{1}{(a+b)^{3}}\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\right)+\frac{3}{(a+b)^{4}}\left(\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\right)+\frac{6}{(a+b)^{5}}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$

Bài 2. (a) Giải phương trình: $2 x^{2}+x+3=3 x \sqrt{x+3}$

(b) Chứng minh rằng: $a b c\left(a^{3}-b^{3}\right)\left(b^{3}-c^{3}\right)\left(c^{3}-a^{3}\right)$ chia hết cho 7 với mọi số nguyên $a, b, c$

Bài 3. Cho hình bình hành $A B C D$. Đường thẳng qua $C$ vuông góc với $C D$ cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc với $B D$ tại $F$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $A B$ cắt đường trung trực của $A C$ tại $E$. Hai đường thẳng $B C$ và $E F$ cắt nhau tại $K$. Tính tỉ số: $\frac{K E}{K F}$.

Bài 4. Cho hai số dương $a, b$ thỏa mãn điều kiện: $a+b \leq 1$. Chứng minh rằng: $a^{2}-$ $\frac{3}{4 a}-\frac{a}{b} \leq-\frac{9}{4}$

Bài 5. Cho tam giác $\triangle A B C$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B C$ và $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $O$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $A N$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với $B C$ tại $D$. Kẻ đường kính $A E$.

(a) Chứng minh rằng: $B A \cdot B C=2 B D \cdot B E$

(b) $C D$ đi qua trung điểm của đường cao $A H$ của tam giác $\triangle A B C$.

Bài 6. Mười vận động viên tham gia cuộc thi đấu quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi với nhau đúng một trận. Người thứ nhất thắng $x_{1}$ trận và thua $y_{1}$ trận, người thứ hai thắng $x_{2}$ và thua $y_{2}$ trận,… người thứ mười thắng $x_{10}$ trận và thua $y_{10}$. Biết rằng trong một trận đấu quần vợt không có kết quả hòa. Chứng minh rằng:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{10}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots+y_{10}^{2}$

 

LỜI GIẢI

 

Bài 1. Cho hai số thực $a, b$ thỏa điều kiện $a b=1, a+b \neq 0$. Tính giá trị của biểu thức:

$P=\frac{1}{(a+b)^{3}}\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\right)+\frac{3}{(a+b)^{4}}\left(\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\right)+\frac{6}{(a+b)^{5}}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$

Lời giải. Ta có: $a b=1$ và $a+b \neq 0$

$P=\frac{1}{(a+b)^{3}}\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\right)+\frac{3}{(a+b)^{4}}\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)+\frac{6}{(a+b)^{5}}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ $=\frac{1}{(a+b)^{3}}\left(\frac{a^{3} b^{3}}{a^{3}}+\frac{a^{3} b^{3}}{b^{3}}\right)+\frac{3}{(a+b)^{4}}\left(\frac{a^{2} b^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2} b^{2}}{b^{2}}\right)+\frac{6}{(a+b)^{5}}\left(\frac{a b}{a}+\frac{a b}{b}\right)$ $=\frac{1}{(a+b)^{3}}\left(a^{3}+b^{3}\right)+\frac{3}{(a+b)^{4}}\left(a^{2}+b^{2}\right)+\frac{6}{(a+b)^{5}}(a+b)$ $=\frac{a^{2}-a b+b^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{3(a+b)^{2}-6}{(a+b)^{4}}+\frac{6}{(a+b)^{4}}$ $=\frac{a^{2}-a b+b^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{3}{(a+b)^{2}}=\frac{(a+b)^{2}}{(a+b)^{2}}$

Vậy P=1

Bài 2.

a) Giải phương trình: $2 x^{2}+x+3=3 x \sqrt{x+3}$

b) Chứng minh rằng: $a b c\left(a^{3}-b^{3}\right)\left(b^{3}-c^{3}\right)\left(c^{3}-a^{3}\right)$ chia hết cho 7 với mọi số nguyên $a, b, c$

Lời giải.

a) Điều kiện xác định: $x \geq-3$

$Ta có:  2 x^{2}+x+3=3 x \sqrt{x+3} $

$\Leftrightarrow 2 x^{2}-2 x \sqrt{x+3}-x \sqrt{x+3}+x+3=0 $

$\Leftrightarrow(x-\sqrt{x+3})(2 x-\sqrt{x+3})=0 $

$\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }{ x = \sqrt { x + 3 } ( x \geq 0 ) } \\ { 2 x = \sqrt { x + 3 } ( x \geq 0 ) }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^{2}-x-3=0(x \geq 0) \\ 4 x^{2}-x-3=0(x \geq 0)\end{array}\right.\right. $

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{1+\sqrt{13}}{2} \\ x=1\end{array}\right.$

b) Ta áp dụng bổ đề sau: Lập phương một số nguyên bất kì khi chia cho 7 đều chỉ có số dư là: $0,1,-1$.

Chứng minh tính chất này ta chỉ cần lập bảng số dư.

Nếu một trong ba số $a, b, c$ chia hết cho 7 , ta có điều cần chứng minh.

Nếu $a, b, c$ không có số nào chia hết cho 7 thì $a^{3}, b^{3}, c^{3}$ chia 7 dư $1,-1$, do đó theo nguyên lý Dirichlet thì có 2 số có hiệu chia hết cho 3, do đó ít nhất một trong các số $a^{3}-b^{3}, b^{3}-c^{3}, c^{3}-a^{3}$ chia hết cho 7 . Từ đó ta có điều cần chứng minh.

Bài 3. Cho hình bình hành $A B C D$. Đường thẳng qua $C$ vuông góc với $C D$ cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc với $B D$ tại $F$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $A B$ cắt đường trung trực của $A C$ tại $E$. Hai đường thẳng $B C$ và $E F$ cắt nhau tại $K$. Tính tỉ số: $\frac{K E}{K F}$.

Lời giải.

Gọi $M$ là giao điểm của $A F$ và $B D$ và $J$ là giao điểm của $A B$ và $O E$.

Ta có các tứ giác $A B E O, C D M F$ nội tiếp. Khi đó $\angle J E A=\angle J B O=180^{\circ}-\angle A B O=$ $180^{\circ}-\angle B D C=\angle A F C$

Và $\angle E J A=90^{\circ}-\angle J A O=\angle A C F$.

Khi đó $\triangle A J E \backsim \triangle A F C \Rightarrow \frac{A J}{A C}=\frac{J E}{C F} \Rightarrow \frac{A C}{C F}=\frac{A J}{J E}$. (1)

Mặt khác $\triangle A J O \backsim \triangle E J B \Rightarrow \frac{A J}{J E}=\frac{A O}{B E}$. (2)

Từ (1) và (2) ta có $\frac{A C}{C F}=\frac{A O}{B E} \Rightarrow \frac{B E}{C F}=\frac{A O}{A C}=\frac{1}{2}$.

Mặt khác $\frac{K E}{K F}=\frac{B E}{C F}=\frac{1}{2}$.

Bài 4. Cho hai số dương $a, b$ thỏa mãn điều kiện: $a+b \leq 1$. Chứng minh rằng: $a^{2}-$ $\frac{3}{4 a}-\frac{a}{b} \leq-\frac{9}{4}$

Lời giải. Do $a>0, b>0$ và $a+b \leq 1$. Ta chứng minh: $a^{2}-\frac{3}{4} a-\frac{a}{1-a} \leq-\frac{9}{4}$

$\Leftrightarrow 4 a^{4}-4 a^{3}+13 a^{2}-12 a+3 \geq 0 $

$\Leftrightarrow(2 a-1)^{2}\left(a^{2}+3\right) \geq 0 ${ (luôn đúng)

Dấu bằng trong bất đẳng thức này xảy ra khi: $a=b=\frac{1}{2}$

Bài 5. Cho tam giác $\triangle A B C$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B C$ và $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $O$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $A N$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với $B C$ tại $D$. Kẻ đường kính $A E$.

a) Chứng minh rằng: $B A \cdot B C=2 B D \cdot B E$

b) $C D$ đi qua trung điểm của đường cao $A H$ của tam giác $\triangle A B C$.

Lời giải.

a) Chứng minh rằng: $B A \cdot B C=2 B D \cdot B E$

Điều này tương đương với: $B A . B M=B D . B E$

Xét hai tam giác $\triangle B M E$ và tam giác $\triangle B D A$ ta có:

$\angle D B A=\angle M B E$ (cùng phụ với góc $\angle A B C$ ) (1)

$\angle D A B+\angle B A E+\angle O A N=90^{\circ}$

Do $\triangle A O N=\triangle E O M$ nên $\angle O A N=\angle O E M$

Từ đó ta có: $\angle D A B+\angle B A E+\angle O E M=90^{\circ}$

Do $A E$ là đường kính của đường tròn $(O)$. Nên $\triangle A B E$ vuông tại $B$.

Từ đó ta có: $\angle B A E+\angle O E M+\angle B E M=90^{\circ}$

Vậy: $\angle D A B=\angle B E M$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\triangle B M E \backsim \triangle B D A$

Vậy: $\frac{B M}{B D}=\frac{B E}{B A}=\frac{M E}{D A}$ (đpcm)

b) Chứng minh rằng: $C D$ đi qua trung điểm $I$ của $A H$ Gọi $F$ là giao điểm của $B D$ và $C A$

Từ đó điều phải chứng minh tương đương với chứng minh rằng $D$ là trung điểm của $B F$. Mà $M$ là trung điểm của $B C$ như vậy ta chỉ cần chứng minh được: $M D | A C$

Xét hai tam giác vuông $\triangle B D M$ và tam giác $\triangle B A E$ ta có: $\frac{B D}{B M}=\frac{B A}{B E}$ Vậy: $\triangle B D M \backsim \triangle B A E$

Từ đó ta có: $\angle B M D=\angle B E A$

Mà: $\angle B E A=\angle B C A$ (cùng chắn cung $A B$ của đường tròn $(O)$ )

Vậy: $\angle B M D=\angle B C A$

Từ đó ta có: $M D | A C$. Đây cũng chính là điều phải chứng minh.

Bài 6. Mười vận động viên tham gia cuộc thi đấu quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi với nhau đúng một trận. Người thứ nhất thắng $x_{1}$ trận và thua $y_{1}$ trận, người thứ hai thắng $x_{2}$ và thua $y_{2}$ trận,… người thứ mười thắng $x_{10}$ trận và thua $y_{10}$. Biết rằng trong một trận đấu quần vợt không có kết quả hòa. Chứng minh rằng:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{10}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots+y_{10}^{2}$

Lời giải. Do trong một trận đấu chỉ có thắng hoặc thua nên tổng số trận thằng phải bằng với tổng số trận thua. Từ đó ta có:

$x_{1}+\ldots \ldots . .+x_{10}=y_{1}+\ldots \ldots . .+y_{10}$

Ta có tổng cộng là 45 trận $\left(\frac{10.9}{2}\right)$ nên tổng sổ trận thắng bằng tổng số trận thua bằng 45 trận.

$x_{1}+\ldots \ldots . .+x_{10}=y_{1}+\ldots \ldots . .+y_{10}=45$

Mỗi người sẽ thi đấu với 9 người còn lại nên:

$x_{i}+y_{i}=9 \Leftrightarrow x_{i}=9-y_{i} \Leftrightarrow x_{i}^{2}=81-18 y_{i}+y_{i}^{2}$

Từ đó ta có:

$\sum_{i=1}^{10} x_{i}^{2}=810-18 \sum_{i=1}^{10} y_{i}+\sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2}=810-18.45+\sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2}$

Đây chính là điều phải chứng minh

Bài toán này cũng có thể tổng quát lên cho trường hợp $n$ người, phần này dành cho các em tự chứng minh.