Bài 1. Cho $a, b, c$ là ba số thực thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Tính giá trị của biểu thức
$A=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3(a b+c)(c-1)$
Bài 2. (a) Giải phương trình:
$5 \sqrt{x-1}-\sqrt{x+7}=3 x-4$
(b) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}2(x+y)-x y=4 \\x y(x+y-4)=-2\end{array}\right.$
Bài 3. Đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$ tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ lần lượt tại $M, N, P$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $N P$. Chứng minh rằng $K M$ là phân giác của góc $\angle B K C$.
Bài 4. Cho $x, y, z$ là các số thực thuộc đoạn $[0,2]$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=3$.
(a) Chứng minh rằng
$x^{2}+y^{2}+z^{2}<6$
(b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z$
Bài 5. Cho tam giác đều $A B C$. Gọi $M, N$ là hai điểm nằm trên cạnh $B C$ sao cho $\angle M A N=30^{\circ}(M$ nằm giữa $B$ và $N)$. Gọi $K$ là giao điểm của hai đường tròn $(A B N)$ và $(A C M)(K$ khác $A)$. Chứng minh rằng:
(a) Hai điểm $K$ và $C$ đối xứng với nhau qua $A N$.
(b) Đường thẳng $A K$ đi qua tâm đường tròn $(A M N)$.
Bài 6. Cho $m, n$ là hai số nguyên. Chứng minh rằng, nếu $7(m+n)^{2}+2 m n$ chia hết cho 225 thì $m n$ cũng chia hêt cho 225 .
LỜI GIẢI
Bài 1.Cho $a, b, c$ là ba số thực thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Tính giá trị của biểu thức
$A=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3(a b+c)(c-1)$
Lời giải. $A=(a+b)^{3}-3 a b(a+b)+c^{3}+3(a b+c)(a+b)$
$=(a+b)^{3}+c^{3}+3(a+b) c $
$=(a+b)^{3}+c^{3}+3(a+b) c(a+b+c) $
$=(a+b+c)^{3}=1$
Bài 2.
a) Giải phương trình:
$5 \sqrt{x-1}-\sqrt{x+7}=3 x-4$
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}2(x+y)-x y=4 \\ x y(x+y-4)=-2\end{array}\right.$
Lời giải.
a) Điều kiện $x \geq 1.5 \sqrt{x-1}-\sqrt{x+7}=3 x-4$
$\Leftrightarrow \frac{25(x-1)-(x+7)}{5 \sqrt{x-1}+\sqrt{x+7}}=3 x-4 $
$\Leftrightarrow \frac{8(3 x-4)}{5 \sqrt{x-1}+\sqrt{x+7}}=3 x-4 $
$3 x-4=0$ (1) hoặc $5 \sqrt{x-1}+\sqrt{x+7}=8(2) $
$(1) \Leftrightarrow x=\frac{4}{3}(\text { nhận }) $
$(2) 64=25(x-1)+x+7+10 \sqrt{(x-1)(x+7)} $
$\Leftrightarrow 82-26 x=10 \sqrt{\left(x^{2}+6 x-7\right)}$
Giải ra được nghiệm $x=2$.
Vậy phương trình có hai nghiệm $S=(2, \frac{4}{3})$.
b) Từ phương trình (1) ta có $(x-2)(y-2)=0 \Leftrightarrow x=2$ hoặc $y=2$. Với $x=2$ thế vào $(2)$ ta có $y=1$. Ta có nghiệm $(x ; y)$ là $(2 ; 1)$.
Với $y=2$ thế vào $(2)$ ta có $y=1$. Ta có nghiệm $(x ; y)$ là $(1 ; 2)$.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $(x ; y)$ là $(2 ; 1)$ và $(1 ; 2)$.
Bài 3. Đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$ tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ lần lượt tại $M, N, P$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $N P$. Chứng minh rằng $K M$ là phân giác của góc $\angle B K C$.
Lời giải. Vẽ $B X, C Y$ vuông góc với $P N$ tại $X, Y$. Ta có $\angle A P=A N$ nên tam giác $A P N$ cân.
Suy ra $\angle A P N=\angle A N P ;$ mà $\angle B P X=\angle A P N, \angle C N Y=\angle A N P$ nên $\angle B P X=\angle C N Y$. Do đó $\triangle B P X \backsim \triangle C N Y$, suy ra $\frac{B X}{C Y}=\frac{B P}{C N}$.
Mà $B P=B M, C N=C M$ suy ra $\frac{B P}{C N}=\frac{B M}{C M}=\frac{X K}{Y K}$.
Do đó $\frac{B X}{C Y}=\frac{X K}{Y K}$.
suy ra $\triangle B X K \backsim \triangle C Y K$ do đó $\angle X K B=\angle C K Y$ mà $M K \perp X Y$ nên $K M$ là phân giác $\angle B K C$.
Bài 4.Cho $x, y, z$ là các số thực thuộc đoạn $[0,2]$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=3$.
a) Chứng minh rằng
$x^{2}+y^{2}+z^{2}<6$
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z$
Lời giải.
a) Ta có $x, y, z \in[0 ; 2]$ nên $x(2-x) \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} \leq 2 x$, tương tự $y^{2} \leq 2 y$, $z^{2} \leq 2 z$. Suy ra $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 2(x+y+z)=6$. Đẳng thức xảy ra khi $x=0$ hoặc $x=2$, $y=0$ hoặc $y=2, z=0$ hoặc $z=2$ và $x+y+z=3$ (vô nghiệm).
Vậy $x^{2}+y^{2}+z^{2}<6$.
b) $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z=(x+y+z)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-z y-z x\right)=3\left(x^{2}+y^{2}+\right.$ $\left.z^{2}\right)-\frac{3}{2}\left((x+y+z)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)=\frac{9}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-\frac{27}{2}$.
Không mất tính tổng quát, giả sử $z=\max x, y, z$, suy ra $z \geq 1$.
Ta có $x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+y)^{2}+z^{2}-2 x y=(3-z)^{2}+z^{2}-2 x y=2 z^{2}-6 z+$ $9-2 x y=2(z-1)(z-2)-2 x y+5 \leq 5$.
Đẳng thức xảy ra khi $z=2, x=0, y=1$.
Do đó $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z \leq 9$, đẳng thức xảy ra khi $z=2, x=0, y=1$. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z$ là 9 .
Bài 5. Cho tam giác đều $A B C$. Gọi $M, N$ là hai điểm nằm trên cạnh $B C$ sao cho $\angle M A N=30^{\circ}(M$ nằm giữa $B$ và $N)$. Gọi $K$ là giao điểm của hai đường tròn $(A B N)$ và $(A C M)(K$ khác $A)$. Chứng minh rằng:
a) Hai điểm $K$ và $C$ đối xứng với nhau qua $A N$.
b) Đường thẳng $A K$ đi qua tâm đường tròn $(A M N)$.
Lời giải.
a) Gọi $K$ là điểm đối xứng của $C$ qua $A N$. Có
$\angle A K^{\prime} N=\angle A C N=\angle A B N$
nên tứ giác $A B K^{\prime} N$ nội tiếp. Suy ra $K^{\prime} \in(A B N)$. Có
$\angle M A K^{\prime}+\angle N A C=\angle M A K^{\prime}+\angle K^{\prime} A N=30^{\circ}$
mà
$\angle B A M+\angle N A C=30^{\circ}$
suy ra $\angle M A K^{\prime}=\angle B A M$.
Suy ra $\triangle A B M=\triangle A K^{\prime} M(c-g-c)$ nên $\angle A K^{\prime} M=\angle A B C=\angle A C B$ ta thu được $K^{\prime} \in(A M C)$. Vậy $K \equiv K^{\prime}$ ta có điều phải chứng minh.
b) Gọi $O$ là tâm $(A M N)$.
Có $\angle M K A=\angle M C A=\angle A K N=60^{\circ}$ nên $\angle M K N=120^{\circ}$. Mà $\angle M O N=$ $2 \angle M A N=60^{\circ}$ nên tứ giác $M O N K$ nội tiếp.
Lại có $O M=O N$ nên $\angle O K N=\angle O K M=60^{\circ}$ và $\angle A K N=60^{\circ}$ nên $A, O, K$ thẳng hàng.
Bài 6. Cho $m, n$ là hai số nguyên. Chứng minh rằng, nếu $7(m+n)^{2}+2 m n$ chia hết cho 225 thì mn cũng chia hết cho 225 .
Lời giải. Đặt $A=7(m+n)^{2}+2 m n$, ta có $2 A=14(m+n)^{2}+4 m n=15(m+n)^{2}-(m-$ $n)^{2}$ chia hết cho 225 , suy ra $(m-n)^{2}$ chia hết cho 15 .
Ta có $(m-n)^{2}$ chia hết cho 3,5 suy ra $m-n$ chia hết cho 3 và 5 (do 3,5 là số nguyên tố), do đó $m-n$ chia hết cho 15 , suy ra $(m-n)^{2}$ chia hết cho 225 .
Khi đó $15(m+n)^{2}$ chia hết cho 225 , suy ra $(m+n)^{2}$ chia hết cho 15 , tương tự trên thì $(m+n)^{2}$ chia hết cho 225 .
Khi đó $4 m n=(m+n)^{2}-(m-n)^{2}$ chia hết cho 225 , mà $(4,225)=1$ nên $m n$ chia hết cho $225 .$