Tag Archives: Daiso

Hệ số góc của đường thẳng d: y=ax+b

Leave a reply

1. Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$ $\left( a\ne 0\right) $

a) Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$

 

 

 

 

 

 

 

 

Đường thẳng $y=ax+b$ cắt trục $Ox$ tại điểm $A$ và đi qua điểm $T$ có tung độ dương.

Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$ là góc tạo bởi hai tia $AT$ và $Ax$.

b) Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$

Khi $a>0$, góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với trục $Ox$ là góc nhọn. Nếu hệ sô $a$ càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn $90^\circ $.

Khi $a<0$, góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$ là góc tù. Nếu hệ số $a$ càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn $180^\circ$.

Hai đường thẳng $y=a_1x+b_1$ và $y=a_2x+b_2$ có $a_1=a_2$ thì cùng tạo với trục $Ox$ hai góc bằng nhau.

Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với $Ox$ phụ thuộc vào $a$.

Ta gọi $a$ là hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$.

Ngoài ra ta có công thức sau: $a=tan\alpha$ (với $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với trục $Ox$).

Ví dụ 1: Xác định và tính góc tạo bởi đường thẳng $d: y=x+2$ với trục $Ox$.

Giải

Đường thẳng $d: y=x+2$ cắt trục $Ox$ tại điểm$A\left(-2;0\right) $. Chọn điểm $T\left( 0;2\right) $ thuộc đường thẳng $d$ có tung độ $2$ lớn hơn $0$. Vậy góc tạo bởi đường thẳng $d$ với trục $Ox$ là góc $\angle OAT$.

Hệ số góc của $d$ là $a=1$ nên $tan\angle OAT=1\Rightarrow \angle OAT=45^\circ $.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 1;-1\right) $  và có hệ số góc bằng $-2$.

Giải

Gọi phương trình đường thẳng $d$ có dạng $y=ax+b$

$d$ có hệ số góc bằng $-2 \Rightarrow  a=-2$

$d$ đi qua $A\left( 1;-1\right) \Rightarrow a+b=-1\Rightarrow b=1$

Vậy $d: y=-2x+1$

Ví dụ 3: Dựng một cái thang lên tường với độ cao $3$ $m$, thì khoảng cách từ chân thang tới chân tường tối thiểu là bao nhiêu $m$ để đảm bảo an toàn? Biết rằng để có sự an toàn thì hệ số góc của thang tối đa là $5$.

Giải

Gọi $x$ là khoảng cách từ chân thang tới chân tường. Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, ta có $A\left( -x;0\right) $ là giao điểm của đường thẳng (cái thang) với trục $Ox$ và $T\left( 0;3\right) $ là điểm thuộc đường thẳng có tung độ dương. Do đó góc tạo bởi đường thẳng với trục $Ox$ là $\angle OAT$.

Ta có: $a=tan\angle OAT=\dfrac{OT}{OA}=\dfrac{3}{x}$

Để đảm bảo an toàn thì $a\le 5$ nên $\dfrac{3}{x} \le 5\Leftrightarrow x\ge \dfrac{3}{5}$.

Vậy khoảng cách $x$ tối thiểu là $x=0,6$ $m$.

Bài tập:

Bài 1: Cho đường thẳng $d_1: y=2x+3m+1$ và  $d_2: y=\left( m+1\right) x-4$.

a) Tìm điều kiện của $m$ để $d_1$ cắt $d_2$.

b) Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ có hệ số góc bằng nhau.

c) Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng tung độ.

Bài 2: Cho hàm số $y=\left( 2m-1\right) x+1$ có đồ thị $d$.

a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Tìm $m$ để $d$ đi qua điểm $A\left( 1;4\right) $.

c) Tìm $m$ để $d$ có hệ  số góc là $4$.

d) Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$, $Oy$ tại $M$, $N$ sao cho diện tích tam giác $OMN$ bằng $\dfrac{1}{2}$.

Bài 3: Cho đường thẳng $d$ là đồ thị của hàm số $y=\left( m-1\right) x+4$.

a) Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

b) Chứng minh rằng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

c) Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$, $Oy$ tại $A$, $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng $8$.

d) Biết $d$ trùng $d_1: y=\left( 2m^2-7\right) x-2m+1$. Tìm hệ số góc của $d_1$.

Bài 4: Cho hai đường thẳng phân biệt $d_1: y=\left( 2-m^2\right) x+m-5$ và $d_2: y=mx+3m-7$. Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ có hệ số góc bằng nhau.

Bài 5: Tính chiều cao của một ngọn núi cho biết tại hai điểm cách nhau $1$ $km$ trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi dọc theo đường thẳng có hệ số góc lần lượt là $a_1=0,62$ và $a_2=0,84$.

Quy đồng hai phân thức

Leave a reply

Quy tắc: Quy đồng MT (mẫu thức) nhiều phân thức.

  • Phân tích các MT thành nhân tử rồi tìm MTC (mẫu thức chung)

  • Tìm NTP (nhân tử phụ) của mỗi mẫu thức.

  • Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với NTP tương ứng.

Ví dụ 1: Tìm mẫu thức chung và quy đồng:
$\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} – 1}}$,  $\dfrac{x-1}{x+1}, \dfrac{4}{x-1}$

Giải

MT1: $x^2-1=(x -1)(x+1)$

MT2: $x+1$

MT3: $x-1$

MTC: $(x-1)(x+1)$

$\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} – 1}}=\dfrac{x^4 + 1}{(x-1)(x+1)}$

$\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}$

$\dfrac{4(x+1)}{(x-1)(x+1)}$.

Ví dụ 2: Tìm mẫu thức chung và quy đồng:
$\dfrac{5}{{2{\rm{x}} – 4}}$, $\dfrac{4}{{3{\rm{x}} – 9}}$, $\dfrac{7}{{50 – 25{\rm{x}}}}$

Giải

MT1:$2x-4=2(x-2)$

MT2:$3x-9=3(x-3)$

MT3:$50-25x=-25(x-2)$

MTC: $150(x-2)(x-3)$

$\dfrac{5}{2x – 4}=\dfrac{5.75(x-3)}{150(x-2)(x-3)}=\dfrac{375(x-3)}{150(x-2)(x-3)}$

$\dfrac{4}{3x – 9}=\dfrac{4.50(x-2)}{150(x-2)(x-3)}=\dfrac{200(x-2)}{150(x-2)(x-3)}$

$\dfrac{7}{50-25x}=\dfrac{-7.6(x-3)}{150(x-2)(x-3)}=\dfrac{-42(x-3)}{150(x-2)(x-3)}$.

Bài tập

Bài 1. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{4}{3x^2y} $ và $ \dfrac{3}{4xy^3}. $
b) $ \dfrac{5}{14x^2y^3} $ và $ \dfrac{8}{21x^4y^2}. $
c) $ \dfrac{5}{2x+2} $ và $ \dfrac{9}{x^2 -1}. $
d) $ \dfrac{1}{4-2x} $ và $ \dfrac{3}{x^2-4}. $

Bài 2. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{1}{3x-9} $ và $ \dfrac{2}{x^2 -6x +9}. $
b) $ \dfrac{7}{4-2x} $ và $ \dfrac{2}{x^2 – 4x + 4}. $
c) $ \dfrac{1}{x-1} $ ; $ \dfrac{2}{x^3-1} $ và $ \dfrac{3}{x^2 + x+1}. $
d) $ \dfrac{3}{6-2x} $; $ \dfrac{2}{x-3} $ và $ \dfrac{-5}{3x-9}. $

Bài 3. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{x-1}{x^2-9} $ và $ \dfrac{2xy +1}{2x+6} .$

b) $ \dfrac{7x-1}{2x^2 + 6x} $ và $ \dfrac{5-3x}{x^2 -9}. $

c) $ \dfrac{3x+y}{y^2 – 2xy + x^2} $ và $ \dfrac{y+1}{2x-2y}. $

d) $ \dfrac{x-1}{2} $ và $ \dfrac{x^2 }{x^2 – xy}. $

Bài 4. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{4x^2 -3x +5}{x^3 -1} $, $ \dfrac{1-2x}{x^2+x+1} $ và $ -2 $.
b) $ \dfrac{10}{x+2} $, $ \dfrac{5}{2x-4} $ và $ \dfrac{1}{6-3x}. $
c) $ \dfrac{5x^2}{x^3-6x^2} $; $ \dfrac{3x^2 +18x}{x^2 – 36}. $
d) $ \dfrac{5x^2}{x^3 + 6x^2 +12x +8} $; $ \dfrac{4x}{x^2 +4x+4} $ và $ \dfrac{3}{2x+4}. $

Bài 5. Tìm mẫu thức chung và quy đồng các phân thức:

a) $\dfrac{5}{{2{\rm{x}} – 4}}$,
b) $\dfrac{4}{{3{\rm{x}} – 9}}$, $\dfrac{7}{{50 – 25{\rm{x}}}}$
c) $\dfrac{x}{{4 + 2{\rm{a}}}}$, $\dfrac{y}{{4 – 2{\rm{a}}}}$, $\dfrac{z}{{4 – {a^2}}}$
d) $\dfrac{{2{\rm{a}}}}{{{b^2}}}$, $\dfrac{x}{{2{\rm{a}} + 2b}}$, $\dfrac{y}{{{a^2} – {b^2}}}$
e) $\dfrac{3}{{2{\rm{x}} + 6}}$, $\dfrac{{x – 2}}{{{x^2} + 6{\rm{x}} + 9}}$.

Bài 6. Tìm mẫu thức chung và quy đồng các phân thức:

a) $\dfrac{x}{{2{{\rm{x}}^2} + 7{\rm{x}} – 15}}$, $\dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + 3{\rm{x}} – 10}}$, $\dfrac{1}{{x + 5}}$
b) $\dfrac{1}{{ – {x^2} + 3{\rm{x}} – 2}}$, $\dfrac{1}{{{x^2} + 5{\rm{x}} – 6}}$, $\dfrac{1}{{ – {x^2} + 4{\rm{x}} – 3}}$
c) $\dfrac{3}{{{x^3} – 1}}$, $\dfrac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} + x + 1}}$, $\dfrac{x}{{x – 1}}$
d) $\dfrac{x}{{{x^2} – 2{\rm{x}}y + {y^2} – {z^2}}}$, $\dfrac{y}{{{x^2} + 2yz – {y^2} – {z^2}}}$, $\dfrac{z}{{{x^2} – 2xz – {y^2} + {z^2}}}$.

Ứng dụng của hàm số bậc nhất

Leave a reply

Ví dụ 1: Giá của một chiếc máy tính bảng sau khi sử dụng $t$ năm được cho bởi công thức:

$T\left( t\right) =10000000-1250000t$ (đồng)

a) Hãy tính $T\left( 2\right) $ và cho biết $T\left( t\right) $ có nghĩa là gì?

b) Sau bao nhiêu năm thì giá trị của chiếc máy tính bảng là $5000000$ đồng.

Giải

a) $T\left( 2\right) =10000000-1250000.2=7500000$

$T\left( 2\right) $ là giá tiền của chiếc máy tính bảng sau $2$ năm sử dụng.

b) Ta có: $10000000-1250000t=5000000 \Rightarrow t=4$

Vậy sau $4$ năm sử dụng, chiếc máy tính bẳng sẽ có giá $5000000$.

Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có hai kích thước là $20$ cm và $30$ cm. Gọi $y$ (cm) là chu vi hình chữ nhật sau khi đã giảm mỗi kích thước $x$ (cm).

a) Lập hàm số của $y$ theo $x$.

b) Hãy cho biết hàm số thiết lập ở câu a) là hàm số đồng biến hay nghịch biến.

c) Tính chu vi hình chữ nhật sau khi đã giảm mỗi kích thước $3$ cm.

Giải

a) Hai kích thước của hình chữ nhật sau khi đã giảm mỗi kích thước là: $20-x$ (cm) và $30-x$ (cm).

Khi đó $y=2\left[ \left( 20-x\right) +\left( 30-x\right) \right]  =100-4x$.

Vậy hàm số của $y$ theo $x$ là: $y=-4x+100$.

b) Vì $a=-4<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

c) Với $x=3$ suy ra chu vi hình chữ nhật $y=-4.3+100=88$ (cm).

Bài tập:

Bài 1: Diện tích rừng nhiệt đới trên Trái Đất được cho bởi hàm số $A=718,3-4,6t$ trong đó $A$ tính bằng triệu héc-ta, $t$ tính bằng số năm kể từ năm $1990$. Hãy tính diện tích rằng nhiệt đới vào các năm $1990$ và $2000$.

Bài 2: Bạn An hiện có số tiền là $32000$ đồng, bạn định sử dụng số tiền này để chơi game, mối giờ bạn chơi tốn $5000$ đồng. Gọi $t$ là số giờ chơi game của bạn An và $T$ là số tiền còn lại.

a) Lập hàm số của $T$ theo $t$.

b) Sau khi chơi $3$ giờ thì số tiền An còn lại là bao nhiêu?

c) Với số tiền ban đầu thì An chơi tối đa được bao nhiêu giờ (chỉ tính tiền theo giờ không được đóng lẻ theo phút).

Bài 3: Bảng giá cước gọi quốc tế của công ty viễn thông A được cho bởi bảng sau:

Thời gian gọi (phút)

Giá cước điện thoại (đồng/phút)

Không quá $8$ phút

$6500$

Từ phút thứ $9$ đến phút thứ $15$

$6000$

Từ phút thứ $16$ đến phút thứ $25$

$5500$

Từ phút thứ $26$ trở đi

$5000$

a) Gọi $T$ (đồng) là số tiền khách hàng phải trả khi gọi quốc tế trong $t$ (phút). Lập hàm số của $T$ theo $t$.

b) Bà Lan gọi cho người thân ở nước ngoài tốn tổng cộng $174000$ đồng. Hãy tính số phút bà Lan gọi điện cho người thân bên nước ngoài?

Bài 4: Trong một xưởng sản xuất đồ gia dụng có tổng cộng $900$ thùng hàng và mỗi ngày nhân viên sẽ lấy $30$ thùng hàng để đi phân phối cho các đại lí.

a) Gọi $y$ là số thùng hàng còn lại trong kho sau $x$ ngày. Hãy lập hàm số $y$ theo $x$.

b) Sau bao nhiêu ngày thì xưởng sẽ vận chuyển hết được $900$ thùng hàng?

c) Biết rằng một thùng hàng có giá trị là $2000000$ đồng và mỗi chuyến xe vận chuyển $30$ thùng hàng trong mỗi ngày sẽ tốn $2500000$ đồng. Hỏi sau khi bán hết tất cả thùng hàng thì xưởng sẽ lời bao nhiêu tiền?

Bài 5: Một xí nghiệp may cứ mỗi tháng thì phải trả tiền lương cho công nhân viên, tiền vật liệu, tiền điện, tiền thuế,… tổng cộng là $410000000$ (đồng). Mỗi chiếc áo được bán với giá là $350000$ (đồng). Gọi số tiền lời (hoặc lỗ) mà xí nghiệp thu được mỗi tháng là $L$ (đồng) và mỗi tháng xí nghiệp sản xuất được $A$ chiếc áo.

a) Lập hàm số của $L$ theo $A$.

b) Nếu trong một tháng công ty bán được $1000$ chiếc áo thì công ty lời hay lỗ bao nhiêu?

c) Mỗi tháng phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc áo để xí nghiệp không bị lỗ?

d) Hỏi cần phải sản xuất trung bình bao nhiêu chiếc áo mỗi tháng để sau một năm xí nghiệp thu được tiền lời là $1380000000$ (đồng).

Bài 6:  Một cửa hàng sách cũ có chính sách như sau: nếu khách hàng đăng kí làm hội viên của cửa hàng sách thì mỗi năm phải đóng $50000$ (đồng) chi phí và chỉ phải mướn sách với giá $5000$ (đồng/cuốn sách), còn nếu khách hàng không phải hội viên thì sẽ mướn sách với giá $10000$ (đồng/cuốn sách). Gọi $T$ (đồng) là tổng số tiền mỗi khách hàng phải trả trong mỗi năm và $n$ là số cuốn sách mà khách hàng mướn.

a) Lập hàm số của $T$ theo $n$ đối với khách hàng là hội viên và khách hàng không là hội viên.

b) Phát là một hội viên của cửa hàng sách, năm ngoái Phát đã trả cho cửa hàng tổng cộng $90000$ đồng. Hỏi nếu Phát không phải là hội viên  của cửa hàng thì số tiền Phát phải trả là bao nhiêu?

c) Mỗi hội viên cần thuê tối thiểu bao nhiêu cuốn sách để có thể bù được phí hội viên?

Tổ hợp lặp – Bài toán chia kẹo Euler (Phần 1)

1 Reply

Trong các bài toán đếm ta gặp bài toán sau: Một người vào cửa hang mua dụng cụ học tập để làm thành một món quà gồm viết, sách và tập, người đó chỉ mua tổng cộng 5 món đồ. Biết rằng trong cửa hàng có 5 cây viết giống nhau, 6 sách giống nhau và 10 cuốn tập giống nhau, hỏi có bao nhiêu cách chọn viết, sách tập để làm quà?

Ta thấy rằng số lượng các viết sách và tập đều lớn hơn số cần mua, do đó bài toán chỉ quay lại việc đếm là có bao nhiêu bộ sách viết tập mà tổng số là 5 cái, trong đó mỗi cái có hoặc không có.

Có ba đối tượng là viết, sách và tập, tạ kí hiệu là $A = { V, S, T }$. Một món quà gồm 5 cái, do đó quà có thể là $X = { V, V, V, S, T }$, gồm 3 cây viết và 1 sách, 1 tập, hoặc là tập $Y = { V, V, S, T, T }$, ta thấy các đối tượng $V, T$ là lập lại. Khi đó ta nói tổ hợp $X, Y$ là tổ hợp lặp.

Để định nghĩa rõ hơn ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa.  Cho tập $A = { a_1, a_2, \cdots, a_k }$. Một ánh xạ từ $p: A \mapsto \mathbb{N} $, khi đó $P$ được gọi là một multiset của A.

Ví dụ 1. Cho $A = { a, b, c }$. Ánh xạ $p: A \mapsto \mathbb{N}$ như sau: $p(a) = 2, p(b) = 1, p(c) = 1$. Khi đó ta có thể kí hiệu $p$ là $(aabc)$, hay $(baac)$,.., không tính đến thứ tự của các phần tử $a, b, c$.

Đặt $n = p(a_1) + p(a_2)+\cdots +p(a_k)$, bài toán đặt ra là có bao nhiêu ánh xạ $p: A \mapsto \mathbb{N}$ mà $n = p(a_1) + p(a_2)+\cdots +p(a_k)$.

Tiếp theo ví dụ trên, nếu $ p(a) + p(b) + p(c) = 2$ thì có các multiset sau: $(ab), (ac), (bc), (aa), (bb), (cc)$, 6 multiset.

Tính chất. Cho tập $A = { a_1, a_2, \cdots, a_k }$, số ánh xạ $p: A \mapsto \mathbb{N}$ thỏa $p(a_1) + \cdots + p(a_k) = n$ là $C^n_{n+k-1}$

Chứng minh

Mỗi ánh xạ $p$ ta cho tương ứng với một dãy nhị phân độ dài $n+k-1$, trong đó $p(a_1)$ chữ số đầu là 0, tiếp theo là số 1, rồi $p(a_2)$ chữ số $0$,…cuối cùng là $p(a_k)$ chữ số $0$. Ví dụ bộ $VVSTT$ ứng với dãy $0010100$.

Rõ ràng đây là tương ứng 1 – 1, do đó số ánh xạ $p$ bằng số dãy nhị phân, do đó ta chỉ cần đếm số dãy nhị phân.

Ta thấy dãy có $n+k-1$ chữ số trong đó có $k-1$ chữ số $1$, do đó số dãy nhị phân chỉ là số cách chọn vị trí cho $k-1$ chữ số $1$ nên số dãy nhị phân là $C^{k-1}_{n+k-1}$.

Do đó số ánh xạ $p$ là $C^{k-1}_{n+k-1} $

Trở lại bài toán trên, ta thấy số món quà có 5 cái là một tổ hợp lặp chập 5 của sách, viết, tập, do đó số món quà có thể là $C^{2}_{5+2-1} = C^2_6 = 15$.

(Chú ý trong bài toán trên, đảm bảo số mỗi loại sản phẩm có không ít hơn 5 cái).

Bài toán 1. (Chia kẹo Euler). Cho $n$ viên kẹo giống nhau đem chia cho $k$ người, hỏi có bao nhiều cách chia.

Giải

Ta gọi $k$ người là $a_1, a_2, \cdots a_k$, với mỗi cách chia kẹo là một multiset của $A$ mà $p(a_1) + p(a_2)+\cdots +p(a_k) = n$.

Do đó số cách chia kẹo là $C^n_{n+k-1}$.

Bài toán 2. Giải bài toán trên với cách chia sao cho mỗi người có ít nhất một viên.

Giải

Trước hết phát cho mỗi người một viên, thì còn $n-k$ viên kẹo, tiếp tục áp dụng bài toán trên với $n-k$. Khi đó số cách chia là

$C^{k-1}_{n-1}$

Ta có thể giải bài toán trên mà không cần sử dụng bài toán 1 bằng cách xây dựng dãy nhị phân thỏa: $a_1$ chữ số đầu là 0, tiếp theo là số 1, tiếp là $a_2$ chữ số 0, …., cuối cùng là $a_k$ chữ số 0. Dãy này có $k-1$ chữ số 1 đứng giữa $n$ chữ số 0 và không có hai chữ số $1$ nào đứng kề nhau. Khi đó số dãy nhị phân là: $C^{k-1}_{n-1}$.

Phần kế tiếp ta cùng tìm hiểu và giải một số bài toán có thể đưa về bài toán tổ hợp lặp hay bài toán chia kẹo Euler. Các bạn chờ nhé.

Bài toán 1 và 2 có thể phát biểu dưới dạng sau.

Bài toán 3. Cho phương trình $x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n$ trong đó $k, n$ là các số nguyên dương.

a. Tìm số nghiệm tự nhiên của phương trình.

b. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình.

Như bài toán trên ta đã biết, số nghiệm tự nhiên của phương trình là  $C^{k-1}_{n+k-1}$.

Số nghiệm nguyên dương của phương trình là $C^{k-1}_{n-1}$.

(Phần 2)

 

Đường thẳng cắt nhau, tọa độ giao điểm

Leave a reply

Tính chất: Cho hai đường thẳng $\left( d_1\right) : y=a_1x+b_1$, $\left( d_2\right) : y=a_2x+b_2$.

Khi đó: $d_1$ cắt $d_2$ khi và chỉ khi $a_1\ne a_2$

và phương trình hoành độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là:

$a_1x+b_1=a_2x+b_2$.

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=2x+1$ và $y=3x+2$ có đồ thị là $d_1$ và $d_2$.

a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của $d_1$ với trục hoành, trục tung, $d_2$.

Giải

a)

  • Bảng giá trị của $d_1: y=2x+1$:

  • Bảng giá trị của $d_2: y=3x+2$:

  • Vẽ đồ thị của $d_1$ và $d_2$:

b)

  • Gọi $A\left( x_A;y_A\right) $ là giao điểm của $d_1$ với trục hoành $\left( Ox\right) $

Ta có: $A\in Ox\Rightarrow y_A=0\Rightarrow A\left( x_A;0\right) $

$A\in d_1\Rightarrow y_A=2x_A+1\Rightarrow 2x_A+1=0\Rightarrow x_A=-\dfrac{1}{2}$

Vậy giao điểm của $d_1$ với $Ox$ có tọa độ là $A\left(- \dfrac{1}{2};0\right) $.

  • Gọi $B\left( x_B;y_B\right) $ là giao điểm của $d_1$ với trục tung $\left( Oy\right) $

Ta có: $B\in Oy\Rightarrow x_B=0\Rightarrow B\left( 0;y_B\right) $

$B\in d_1\Rightarrow y_B=2x_B+1\Rightarrow y_B=1$

Vậy giao điểm của $d_1$ với $Oy$ có tọa độ là $B\left( 0;1\right) $.

  • Gọi $C\left( x_C;y_C\right) $ là giao điểm của $d_1$ với $d_2$

Phương trình hoành độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là:

$2x_C+1=3x_C+2$

$\Rightarrow  x_C=-1$

$\Rightarrow y_C=-1$

Vậy giao điểm của $d_1$ với $d_2$ có tọa độ là $C\left( -1;-1\right) $.

Ví dụ 2: Cho $d_1: y=\left( 2m-1\right) x+1$ và $d_2: y=4x-1$.

a) Tìm điều kiện của $m$ để $d_1$ cắt $d_2$.

b) Tìm $m$ để $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm có hoành độ bằng tung độ.

Giải

a) $d_1$ cắt $d_2\Leftrightarrow 2m-1\ne 4\Leftrightarrow m\ne \dfrac{5}{2}$.

b) Gọi $M$ là giao điểm của $d_1$ và $d_2$

Giao điểm $M$ có hoành độ bằng tung độ nên có tọa độ là $M\left( x_M;x_M\right) $

Ta có: $M\in d_2\Rightarrow x_M=4x_M-1\Rightarrow x_M=\dfrac{1}{3} \Rightarrow M\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right) $

$M\in d_1\Rightarrow \dfrac{1}{3}=\left( 2m-1\right) \dfrac{1}{3}+1\Rightarrow m=-\dfrac{1}{2}$

Vậy $m=-\dfrac{1}{2}$  thì $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm có hoành độ bằng tung độ.

Bài tập:

Bài 1: Cho $d_1: y=-x$ và $d_2: y=2x+3$.

a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm giao điểm $A$ của $d_1$ và $d_2$. Tìm giao điểm $B$ của $d_2$ với trục tung.

c) Tính diện tích tam giác $OAB$.

Bài 2: Cho đường thẳng $\left( d_1\right) : y=x$, $\left( d_2\right) : y=2x+1$, $\left( d_3\right) : y=3x+2$.

a) Tìm tọa độ giao điểm của $\left( d_1\right) $ và $\left( d_2\right) $.

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Bài 3: Cho đường thẳng $d_1: y=2x-1$ và $d_2: y=\left( m-1\right) x+3$.

a) Tìm điều kiện của $m$ để $d_1$ cắt $d_2$.

b) Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì $d_2$ luôn đi qua điểm $A\left( 0;3\right) $.

c) Tìm $m$ để $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm có hoành độ bằng $1$.

Bài 4: Tìm phương trình đường thẳng $\left( d\right): y=ax+b$ biết rằng:

a) $\left( d\right) $ đi qua hai điểm $A\left( 1;-2\right) $ và $B\left( 3;2\right) $.

b) $\left( d\right) $ song song với $\left( d_1\right): y=3-x $ và đi qua điểm $C\left( 1; -\dfrac{1}{2}\right) $.

c) $\left( d\right) $ đi qua điểm $D\left( -1;4\right) $ và cắt đường thẳng $\left( d_2\right): y=2x-1 $ tại điểm có hoành độ $x=2$.

Bài 5: Cho hai đường thẳng $d_1: y=-\dfrac{1}{2}x$ và $d_2: y=\dfrac{1}{2}x+3$.

a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

b) Tìm tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$.

c) Cho đường thẳng $d_3: y=2x+b$, tìm $b$ biết $d_3$ cắt $d_2$ tại điểm $M$ có hoành độ và tung độ đối nhau.

Bài 6: Hai bạn Chánh và Hiệp cùng đi xe máy từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Vũng Tàu. Chánh xuất phát từ $7$ giờ và đi với vận tốc $30$ km/h. Hiệp xuất phát lúc $7$ giờ $40$ phút và đi với vận tốc $40$ km/h.

a) Gọi $s$ (km) là quãng đường đã đi được, $t$ (giờ) là thời gian đã đi tính từ lúc Hiệp xuất phát. Viết biểu thức liên hệ giữa $s$ và $t$ đối với mỗi bạn. Hai bạn gặp nhau lúc mấy giờ.

b) Biết quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Vũng Tàu dài $90$ km. Hỏi ai đến Vũng Tàu trước và khi đó là mấy giờ?

Đường thẳng song song

Leave a reply

TÍnh chất: Cho hai hàm số $y=a_1x+b_1$ có đồ thị là $d_1$ và $y=a_2x+b_2$ có đồ thị là $d_2$. Khi đó:

  • $d_1$ song song $d_2$ khi và chỉ khi $a_1=a_2$, $b_1\ne b_2$.
  • $d_1$ trùng $d_2$ khi và chỉ khi $a_1=a_2$, $b_1=b_2$.

Ví dụ 1: Cho $d_1: y=2x+1$ và $d_2: y=2x-2$. Chứng minh rằng $d_1//d_2$.

Giải

$d_1: y=2x+1$ có $a_1=2$, $b_1=1$

$d_2: y=2x-2$ có $a_2=2$, $b_2=-2$

Vì $a_1=a_2$ và $b_1\ne b_2$ nên hai đường thẳng $d_1$, $d_2$ song song với nhau.

Ví dụ 2: Cho hai hàm số $y=\left( m-2\right)x-3$ $\left( d_1\right) $ và $y=\left( 2m+5\right)x-3$ $\left( d_2\right)$. Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ trùng nhau.

Giải

$y=\left( m-2\right)x-3$ có $a_1=m-2$, $b_1=-3$

$y=\left( 2m+5\right)x-3$ có $a_2=2m+5$, $b_2=-3$

$d_1$ trùng $d_2$ $\Leftrightarrow  a_1=a_2$ và $b_1=b_2$

$\Leftrightarrow m-2=2m+5$ và $-3=-3$

$\Leftrightarrow m=-7$

Vậy $m=-7$ thì $d_1$ trùng $d_2$.

Bài tập:

Bài 1: Cho $d_1: y=\left( 2m-1\right)x+1$ và $d_2: y=4x-1$.

a) Tìm $m$ để $d_1//d_2$.

b) Tìm $m$ để $A\left( 1;3\right) \in d_1$.

Bài 2: Cho hàm số $y=-2x+3$ có đồ thị $d_1$ và $y=x-1$ có đồ thị $d_2$.

a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng mặt phẳng tọa độ.

b) Xác định hệ số $a$, $b$ biết đường thẳng $d_3: y=ax+b$ song song với $d_2$ và đi qua điểm $A\left( 1;2\right) $.

Bài 3: Cho đường thẳng $d_1: y=4x-6$, $d_2: y=3x-4$ và $d_3:y=ax+2a+1$

a) Tìm $a$ để $d_3//d_1$.

b) Tìm $a$ để $d_3//d_2$.

Bài 4: Tìm phương trình đường thẳng $\left( d\right) : y=ax+b$ biết rằng:

a) $\left( d\right) $ đi qua hai điểm $A\left( -1;3\right) $ và $B\left( 2;0\right) $.

b) $\left( d\right) $ song song với $\left( d_1\right) : y=-4x+3$ và đi qua điểm $C\left(-1;2\right) $.

Bài 5: Cho ba điểm $A\left( 2;1\right) $, $B\left( 3;3\right) $, $C\left( 4;5\right) $.

a) Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A$ và $B$. Chứng minh rằng ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.

b) Viết phương trình đường thẳng qua $M\left( 0;1\right)$ và song song với $d$.

 

 

Đồ thị của hàm số y=ax+b

Leave a reply

Tính chất: Đồ thị của hàm số $y=ax+b$ $\left( a\ne 0\right) $ là một đường thẳng:

  • Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b$;
  • Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $\dfrac{-b}{a}$.

Đồ thị của hàm số $y=ax+b$ còn được gọi là đường thẳng $y=ax+b$, $b$ được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.

Cách vẽ đồ thị của hàm số $y=ax+b$ $(a\ne 0)$

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số $y=2x-1$

Bảng giá trị:

 

 

Vẽ đồ thị:

Chú ý:

  • Điểm $M\left( x_M;y_M\right) $ thuộc trục hoành $\left( Ox\right) $ thì $b=0$.
  • Điểm $M\left( x_M;y_M\right) $ thuộc trục tung $\left( Oy\right) $ thì $a=0$.
  • Điểm $M\left( x_M;y_M\right) $ thuộc đường thẳng $d: y=ax+b $ khi và chỉ khi $y_M=ax_M+b$.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng $d: y=x+2$, $A\left( 1;3\right) $. Chứng minh điểm $A$ thuộc đường thẳng $d$.

Giải

Ta có: $y_A=3=1+2=x_A+2\Rightarrow A \in d$.

Bài tập:

Bài 1: Cho hàm số $y=2x+1$ và $y=-3x-1$ có đồ thị là đường thẳng $d_1$ và $d_2$. Hãy vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cũng một hệ trục tọa độ.

Bài 2: Cho hàm số $y=\left( 2m-1\right)x +2$.

a) Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Vẽ đồ thị hàm số khi $m=2$.

c) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( 1;-3\right) $.

Bài 3: Cho đường thẳng $d: y=ax+b$. TÌm $a$, $b$ biết rằng đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A\left( -1;3\right) $ và $B\left( 2;-5\right) $.

Bài 4: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\left|x\right|$.

b) $y=\left|x-2\right|$.

 

 

 

Hàm số bậc nhất

Leave a reply

Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức

$y=ax+b$

trong đó $a$, $b$ là các số cho trước và $a\ne 0$.

Ví dụ 1: Để ủng hộ cho các người dân trong đợt lũ lụt, lớp 9A quyết định trích tiền quỹ của lớp ra $500000$ và mỗi bạn trong lớp có thể đóng góp số tiền như nhau là $20000$. Gọi $x$ là số học sinh đóng góp và $y$ là số tiền đóng góp được. Khi đó số tiền lớp 9A đóng góp là:

$y=20000x+500000$

$y=20000x+500000$ là hàm số bậc nhất với $a=20000$, $b=500000$.

Ví dụ 2: Bạn Uyên có số tiền là $500000$, bạn định sử dụng số tiền này để mua truyên tranh, mỗi quyển truyện tranh có giá $15000$. Gọi $h$ là số quyển truyện tranh Uyên mua được và $t$ là số tiền còn lại của Uyên. Khi đó ta có:

$t=500000-15000h=-15000h+500000$

$t=-15000h+500000$ là hàm số bậc nhất với $a=-15000$, $b=500000$.

Tính chất 1: Hàm số bậc nhất $y=f(x)=ax+b$ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$ và thỏa mãn:

  • Nếu $a>0$ thì $f$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
  • Nếu $a<0$ thì $f$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ 3:

a) Hàm số $y=20000x+500000$ là hàm số bậc nhất có $a=20000>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $t=-15000h+500000$ là hàm số bậc nhất có $a=-15000<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Bài tập:

Bài 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Xác định các hệ số $a$, $b$ của các hàm số bậc nhất vừa tìm được.

a) $y=4x-2$

b) $y=-3-x$

c) $y=\dfrac{1}{x}+7$

d)$y=\dfrac{2x}{3}$

e) $y=5\left(2-x\right) +3$

 Bài 2:  Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y=2x-7$

b) $y=3-5x$

c) $y=\left( \sqrt2-\sqrt3\right)x+1$

d) $y=\left( 2+m^2\right)x-4$

Bài 3: Cho hàm số $y=\left( 2m-1\right)x+3$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bài 4: Cho hàm số $y=\left( 2m+5\right)x+m-2$. Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Bài 5: Cho hàm số $y=\left( m+1\right)x+3m+1$. Tìm $m$ để hàm số trên là hàm số bậc nhất.

Bài 6: Để đổi từ nhiệt độ $F$ sang độ $C$, ta dùng công thức sau:

$C=\dfrac{5}{9}\left( F-32\right) $

a) $C$ có phải là hàm số bậc nhất theo biến số $F$ không?

b) Hãy tính $C$ khi $F=30$, $F=70$.

Bài 7: Cây cà chua lúc đầu cao $20$ cm, mỗi ngày cao thêm $10$ cm, cây đu đủ lúc đầu cao $50$ cm và mỗi ngày cao thêm $\dfrac{20}{3}$ cm. Gọi $x$ là số ngày, $y$ là chiều cao của mỗi cây, hãy lập hàm số của $y$ theo $x$ đối với mỗi cây.

Bài 8: Hai bạn $A$, $B$ đi cùng hướng trên một con đường, lúc đầu $A$, $B$ cách bến xe buýt lần lượt là $200$ m và $500$ m cùng đi ngược hướng với trạm xe buýt. Mỗi giờ $A$ đi được $3$ km và $B$ đi được $1$ km. Gọi $d_1$ và $d_2$ là khoảng cách của $A$, $B$ đối với trạm xe buýt sau khi đi được $t$ giờ. Hãy tính $d_1$ và $d_2$ theo $t$.

 

 

Tổ hợp

Leave a reply

1.Định nghĩa

  • Cho tập $A$ có $n$ phần tử, mỗi tập con có $k$ phần tử của $A$ ($ 0 \leq k \leq n$) được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$.

Ví dụ 1. Cho $A = { 1, 2, 3, 4 }$. Các tổ hợp chập 3 của là $A$ là $ {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4 }, {2, 3, 4 }$.

  • Số tổ hợp chập $k$ của $n$ là $C_n^k   = \dfrac{A^k_n}{k!} = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}$.

2.Các ví dụ.

Ví dụ 1. Lớp 11A có 15 bạn nam và 20 bạn nữ, hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 5 bạn để đi làm việc biết

a. Có 3 bạn nam và 2 bạn nữ.

b. Có ít nhất 2 bạn nữ.

Lời giải.

a.

  • Số cách chọn 3 bạn nam từ 15 bạn nam là số tổ hợp chập 3 của 15 nên có $C^3_{15}$ cách.
  • Số cách chọn 2 bạn nữ từ 20 bạn nữ là số tổ hợp chập 2 của 20 nên có $C^2_{20}$.
  • Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn là $C^3_{15} \cdot C^2_{20} = 86.450$

b. Bài này ta có thể sử dụng phần bù.

  • 0 bạn nữ, 5 bạn nam: $C^0_{20} \cdot C^5_{15}$.
  •  1 bạn nữ, 4 bạn nam: $C^1_{20} \cdot C^4_{15}$.
  • Chọn 5 bạn tùy ý: $C^5_{35}$.
  • Do đó ta có, số cách chọn ít nhất 2 bạn nữ:
  •  $C^5_{35} – C^0_{20} \cdot C^5_{15} – C^1_{20} \cdot C^4_{15}$

Ví dụ 2. Trong hộp có 5 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Lấy ra 4 viên bi, hỏi có bao nhiêu cách lấy thỏa:

a. Có cùng một màu.

b. Có đầy đủ 3 màu.

Lời giải.

a.

  • Cùng màu xanh: $C^4_5 = 5$ cách.
  • Cùng màu đỏ: $C^4_4 = 1$ cách.
  • Cùng màu vàng $C^4_5 = 5$ cách.
  •  Số cách lấy là: $ 5 + 1 + 5 = 11$ cách

b.

  • 2 vàng 1 đỏ 1 xanh. $C^2_5 \cdot C^1_4 \cdot C^1_5$
  • 2 vàng 1 đỏ 1 xanh:$C^1_5\cdot C^2_4 \cdot C^1_5$

3.Bài tập

Bài 1. Một nhóm học sinh có 10 bạn. Có bao nhiêu cách chọn
a) 3 bạn đi dọn vệ sinh trường lớp.
b) 5 bạn để lập một nhóm tình nguyện, trong đó có một đội trưởng.

Bài 2.  Trong hộp có 7 bi xanh và 8 bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi thỏa:
a) Lấy tùy ý.
b) Có ít nhất 2 bi vàng.
c) Các bi cùng màu.
 Bài 3. Có 3 hộp, trong đó hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và hộp thứ ba chứa 8 viên bi vàng, các viên bi đều khác nhau. Chọn ra 5  viên bi từ 3 hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a) 5 viên bi đều màu vàng.
b) 2 viên bi màu đỏ, 3 viên bi màu xanh.
c) Có đầy đủ 3 màu.
d) Không có bi màu đỏ hoặc màu xanh và ít nhất 2 viên bi màu vàng.

Bài 4. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, và 4 bông hồn đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau) người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.

Bài 5. Bạn An mời tiệc sinh nhật, vì nhà nhỏ nên trong 20 người bạn của mình An chỉ có thể mời được 8 bạn. Biết rằng trong các bạn của An thì có Nam và Long không thích nhau nên An không thể mời cả hai bạn dự cùng lúc. Hỏi An có bao nhiêu cách mời?

 

Chỉnh hợp

Leave a reply

1.Định nghĩa. Cho tập $A$ có $n$ phần tử, mỗi cách lấy ra $k$ phần tử ($1 \leq k \leq n$) từ $A$ và sắp xếp nó vào $k$ vị trí được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$.

Ví dụ. Cho $A = {a, b, c, d}$. Các chỉnh hợp chập $2$ của $A$ là $ab, ba, ac, ca,da, ad, bc, cb, bd, db, cd, dc$.

Tính chất. Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$, kí hiệu $A_n^k = n \times (n-1) \cdots \times (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.

2. Ví dụ. 

Ví dụ 1. Lớp 11 văn có 30 bạn trong đó có 4 bạn nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 bạn, trong đó một bạn làm bí thư, một bạn làm lớp trưởng, một bạn lớp phó thể mỹ, một bạn lớp phó học tập, biết rằng lớp trưởng luôn là con trai các bạn còn lại phải là con gái.

Lời giải. 

  • Chọn bạn lớp trưởng có 4 cách chọn từ các bạn nam.
  • Mỗi cách chọn bí thư, lớp phó học tập, lớp phó thể mỹ từ các bạn gái là một chỉnh hợp chập 3 của 26, suy ra số cách chọn là $A^4_{26}$.
  • Vậy theo quy tắc nhân số cách chọn là $4\cdot A^4_{26}$ cách.

Ví dụ 2. Cho tập $A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }$.

a. Từ $A$ có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau trong đó không có chữ số 0.

b. Từ $A$ có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau.

Lời giải.

a. Mỗi số có 4 chữ số khác nhau không có chữ số 0 là một chỉnh hợp 4 phần tử của tập ${1, 2, 3, 4, 5 }$. Do đó số các số là số chỉnh hợp chập 4 của 5 bằng $A^4_5 = 120$ số.

b. Gọi số cần tìm là $\overline{abcd}$ với $a \neq 0$.

  • Số cách chọn $a$ có: 5 cách.
  • Mỗi cách chọn bộ $\overline{bcd}$ là một chỉnh hợp của tập 5 phần tử $A \setminus \{a\}$. Do đó số bộ $\overline{bcd}$ là: $A^3_5$.
  • Vậy số các số lập thoả đề bài: $5 \cdot A^3_5 = 300$ số.

Bài tập. 

Bài 1. Lớp 10 Toán có 30 học sinh cần lập ra một đội văn nghệ gồm 1 bạn hát, 1 bạn đánh đàn và một bạn múa phụ họa. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện?
Bài 2. Từ tập $A= \{2,3,4,5,6\}$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số phân biệt và thỏa mãn:
a.Bắt đầu bằng số 3.
b. Bắt đầu bằng số 23.
c. Không bắt đầu bằng số 2.
d. Chia hết cho 5.
e. Có hai chữ số 4 và 5 đứng gần nhau.
f. Hai số đầu tiên không chứa 2 hoặc 3.
Bài 3. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu:
a. Số lẻ có 4  chữ số khác nhau?
b. Số chẵn có 5 chữ số khác nhau?
Bài 4. Có 11 cầu thủ, chọn ra 5 người đá pentalty, hỏi có bao nhiêu cách biết rằng cầu thủ $A$ phải sút quả đầu tiên hoặc cuối cùng.