Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)  $ 2\cos ^2 \dfrac{x}{2}+\sqrt{3}\sin x=1+2\sin 3x $
b) $ 3 \tan^2 x+4\tan x+4\cot x+3\cot^2 x+2=0 $

Bài 2. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các số 1;2;3;4;5;6;7. Lấy ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để lấy được số có mặt chữ số 6.

Bài 3. Trong khai triển của $ \left(2x^3-\dfrac{3}{x^2}\right)^n $ với $ n $ là số nguyên dương thỏa $ 2C_{n+6}^{5}=7A_{n+4}^3, $ tìm số hạng không chứa $ x? $

Bài 4. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $ (u_{n}) $ biết rằng công sai của $ (u_{n}) $ là số nguyên dương và
$u_{1}+u_{3}+u_{5}=15, \dfrac{1}{u_{1}}+\dfrac{1}{u_{3}}+\dfrac{1}{u_{5}}=\dfrac{59}{45} $.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $ I(2;-5) $ và đường thẳng $ d:3x-2y+3=0. $ Viết phương trình đường thẳng $ d’ $ là ảnh của $ d $ qua phép đối xứng tâm $ I. $

Bài 6. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang có $ AD $ là đáy lớn, $ AD=2BC. $ Gọi $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD. $ Gọi $ G_{1},G_{2} $ lần lượt là trọng tâm $ \Delta SCD, \Delta SAB, \ E $ là trung điểm $ SD. $
a)  Mặt phẳng $ (BCE) $ cắt $ SA $ tại $ F. $ Chứng minh: $ F $ là trung điểm $ SA. $
b) Chứng minh $ G_{1}G_{2} \parallel (SAD) $
c) Chứng minh $ (OG_{1}G_{2}) \parallel (SBC) $
d) Gọi $ M $ là điểm trên cạnh $ AB $ sao cho $ AB=4AM. $ Mặt phẳng $ (P) $ qua $ M $ và song song với $ BC, SD. $ Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $ (P). $ Thiết diện là hình gì?

Hết

Đáp án

Bài 1.

a) Phương trình tương đương với
$$
\begin{aligned}
& \cos x+\sqrt{3} \sin x=2 \sin 3 x \\
\Leftrightarrow & \frac{1}{2} \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x=\sin 3 x \\
\Leftrightarrow & \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin 3 x \\
\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{6}=3 x+k 2 \pi \text { hoặc } x+\frac{\pi}{6}=\pi-3 x+k 2 \pi \\
\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{12}+k \pi \text { hoặc } x=\frac{5 \pi}{24}+\frac{k \pi}{2}, k \in \mathbb{Z}
\end{aligned}
$$

Bài 2. Gọi $\overline{a b c d}(a \neq 0)$ là số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 .
$\overline{a b c d}:$ Có $A_{7}^{4}=840$ số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7
$\Longrightarrow|\Omega|=840$Gọi A là biên có sao cho số dược lậy là một số có mặt chữ số $6 .$
$$
|A|=4 . A_{6}^{3}=480 \Longrightarrow P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{4}{7}
$$

Bài 3. 

\begin{aligned}
&2 C_{n+6}^{5}=7 A_{n+4}^{3} \Longleftrightarrow 2 \cdot \frac{(n+6) !}{5 !(n+1) !}=7 \cdot \frac{(n+4) !}{(n+1) !} \Longleftrightarrow \frac{(n+6) !}{(n+4) !}=420 \Longleftrightarrow(n+6)(n+5)=\\
&420 \Longleftrightarrow n^{2}+11 n-390=0 \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{l}
n=15 \\
n=-26
\end{array} \Longleftrightarrow n=15(\text { vì n là số tự nhiên })\right.\\
&\text { Công thức } \mathrm{SHTQ}: T_{k+1}=C_{15}^{k} \cdot\left(2 x^{3}\right)^{15-k} \cdot\left(-\frac{3}{x^{2}}\right)^{k}=C_{15}^{k} \cdot 2^{15-k} \cdot(-3)^{k} \cdot x^{45-5 k}\\
&\text { Để số hạng không chứa } x \Longleftrightarrow 45-5 k=0 \Longleftrightarrow k=9 \text { . }\\
&\text { Vậy số hạng không chứa } \mathrm{x}: T_{10}=C_{15}^{9} .2^{6} \cdot(-3)^{9}=-6304858560 \text { . }
\end{aligned}

Bài 4. $\left\{\begin{array}{l}
u_{1}+u_{3}+u_{5}=15(1) \\
\frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{3}}+\frac{1}{u_{5}}=\frac{59}{45}(2) \end{array} \right.$
$(1) \Longleftrightarrow 3 u_{3}=15 \Longleftrightarrow u_{3}=5 $
$(2) \Longleftrightarrow \frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{5}+\frac{1}{u_{5}}=\frac{59}{45} \Longleftrightarrow \frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{5}}=\frac{10}{9} $

$\Longleftrightarrow 9\left(u_{1}+u_{5}\right)=10 u_{1} u_{5} $

$\Longleftrightarrow 9.2 u_{3}= 10\left(u_{3}-2 d\right)\left(u_{3}+2 d\right)$

$\Longleftrightarrow 90=10\left(u_{3}^{2}-4 d^{2}\right)=25-4 d^{2}=9 $

$\Longleftrightarrow d^{2}=4$

$\Longleftrightarrow d=2(\text{vì} d>0) $
$u_{3}=5 \Longleftrightarrow u_{1}+2 d=5 \Longleftrightarrow u_{1}=5-2 d=1$.
và $u_{1}=1,d=2$

Bài 5. 

Gọi $M^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ là ảnh của $\mathrm{M}$ qua phép đối xứng tâm $\mathrm{I} \Longleftrightarrow \mathrm{I}$ là trung điểm của $\mathrm{MM}^{\prime} \Longleftrightarrow$
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{I}=\frac{x_{M}+x_{M^{\prime}}}{2} \\
y_{I}=\frac{y_{M}+y_{M^{\prime}}}{2}
\end{array} \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
4=x+x^{\prime} \\
-10=y+y^{\prime}
\end{array} \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=4-x^{\prime} \\
y=-10-y^{\prime}
\end{array}\right.\right.\right.
$$
Ta có: $3 x-2 y+3=0 \Longleftrightarrow 3\left(4-x^{\prime}\right)-2\left(-10-y^{\prime}\right)+3=0 \Longleftrightarrow 12-3 x^{\prime}+20+2 y^{\prime}+3=0 \Longleftrightarrow$
$3 x^{\prime}-2 y^{\prime}-35=0$
Vậy M’ thuộc dường thẳng d’:3x-2y-35=0.
Vậy ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I là đường thẳng $\mathrm{d}^{\prime}: 3 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}-35=0 .$

Bài 6. 

a) Ta có: $C \in(S A C) \cap(B C E)(1)$.
Trong $(S B D)$ gọi $\mathrm{K}$ là giao diểm của $\mathrm{SO}$ và $\mathrm{BE}$ mà $S O \subset(S A C), B E \subset(B C E)=K \in$
$(S A C) \cap(B C E)(2)$
$(1)(2) \Longrightarrow C K=(S A C) \cap(B C E)$
Trong $(S A C)$ gọi $\mathrm{F}$ là giao điểm của $\mathrm{SA}$ và $\mathrm{CK}$ mà $\mathrm{CK} \subset(B C E)=F=\operatorname{SAn}(B C E) .$ $\mathrm{Vi} A D \| B C=\frac{O C}{O A}=\frac{O B}{O D}=\frac{B C}{A D}=\frac{1}{2} \Longleftrightarrow \frac{C O}{C A}=\frac{B O}{B D}=\frac{1}{3}$
Xét $\triangle S O D$ : Áp dụng định lý Menelaus với 3 điểm $\mathrm{B}, \mathrm{K}, \mathrm{E}$ thẩng hàng ta có:
$\frac{C O}{C A} \cdot \frac{K S}{K O} \cdot \frac{F A}{F S}=1 \Longleftrightarrow \frac{F A}{F S}=1 \Longleftrightarrow \mathrm{F}$ là trung điẻm $\mathrm{SA}$
b) Trong (SAB), goi P là giao điểm của $S G_{1}$ và AB. Vì $G_{1}$ là trọng tâm của $\triangle S A B=P$
là trung điểm của AB.

Trong (SCD), gọi P là giao điểm của $S G_{2}$ và CD. Vì $G_{2}$ là trọng tàm của $\triangle S C D=\mathrm{Q}$
là trung điểm của CD. Xét $\triangle S P Q$ ta có: $\frac{S G_{1}}{S P}=\frac{2}{3}=\frac{S G_{2}}{S Q}=G_{1} G_{2} \| P Q(3)$

Xét hình thang ABCD ta có: PQ là đường trung bình của hình thang ABCD (do P,Q làn
lượt là trung điểm của $\mathrm{AB}, \mathrm{CD} \Longrightarrow P Q \| A D(4)$
$$
\text { Tì }(3)(4)=G_{1} G_{2}\left\|A D, \operatorname{mà} \mathrm{AD} \subset(\mathrm{SAD})=G_{1} G_{2}\right\|(S A D)
$$
c) Ta có: $G_{1} G_{2} \| A D$ mà $A D\left\|B C=G_{1} G_{2}\right\| B C=G_{1} G_{2} \|(S B C)(5)$
Trong (SAB), gọi H là giao điểm của $A G_{1}$ và $\mathrm{SB}$. Vì $G_{1}$ là trọng tần của $\triangle S A B=\mathrm{H}$
là trung điểm của $\mathrm{SB}$. Xét $\triangle H A C$ ta có: $\frac{A O}{A C}=\frac{2}{3}=\frac{A G_{1}}{A H}=O G_{1}\left\|C H \operatorname{mà} C H \subset(S B C)=O G_{1}\right\|(S B C)(6)$
Tì $(5)(6)=\left(O G_{1} G_{2}\right) \|(S B C)$
d) Ta có: $M \in(P) \cap(A B C D) \operatorname{mà}(P)\left\|B C=(P) \cap(A B C D)=x M x^{\prime}\right\| B C$.
Trong (ABCD), gọi N là giao diểm của xMx’ và CD.
Ta có: $N \in(P) \cap(S C D) \operatorname{mà}(P)\left\|S D=(P) \cap(S C D)=y N y^{\prime}\right\| S D$
Trong (SCD) gọi I là giao diểm của yNy’ và SC.
Ta có: $I \in(P) \cap(S B C) \operatorname{mà}(P)\left\|B C \Longrightarrow(P) \cap(S B C)=t I t^{\prime}\right\| B C .$
Trong (SBC), gọi J là giao điểm của tIt’ và SB. $((P) \cap(A B C D)=M N$
$\Longrightarrow$ thiệt diê
Ta có: $M N\|I J\| A D=M N I J$ là hình thang.

Bài 1.

a) $\sin 3 x-\sqrt{3} \cos 3 x=2\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$

b) $\dfrac{\sin 2 x+2 \sin 2 x \cos 4 x}{\cos 3 x}=1$

Bài 2.

a) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau mà có đúng 1 chữ số lẻ?

b) Lớp X có 30hs trong đó có 3 bạn Mai, An, Bình. Để tham gia trò chơi kéo có cần 10 học sinh. Tính xác suất để trong 10 học sinh được chọn có ít nhất 2 trong 3 bạn Mai, An và Bình nói trên.

Bài 3.  Cho số tự nhiên $n$ thỏa $A_{n}^{2}+3 C_{n+1}^{n}=38 .$ Tìm số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left(\sqrt{x}-3 x^{3}\right)^{n}$

Bài 4. Cho cấp số cộng $u_{n}$ với công sai $d$ thỏa điều kiện:

$$
\left\{\begin{array}{l}
S_{20}-S_{15}=500 \\
u_{20}-u_{15}=75
\end{array} \right.$$

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n} $. Tìm $u_{1}, d$.

Bài 5. Trong mặt phẳng $O x y,$ cho các đường thẳng $d_{1}: 3 x-6 y-15=0$ và $d: y=x$. Gọi $d_{2}$ là ảnh của $d_{1}$ qua phép đối xứng trục $d$. Tìm tọa độ giao điểm của $d_{2}$ với trục tung.

Bài 6. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành tâm $O, M, N$ lần lượt là trung điểm $S A, C D$.

a) Tìm giao tuyến của măt phẳng $(S A C)$ và $(S B D) ;(S A D)$ và $(S B N)$.

b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $A C D, K$ là trọng tâm tam giác $S B D$. Chứng minh: $G K |(S A D) . B K$ cắt $S D$ tại $I$. Chứng minh $I$ thuộc mặt phẳng $(O M N)$

c) Chứng minh: $SB \parallel (O M N)$ và tìm giao điểm của mặt phẳng $(A N K)$ với $S B$.

Lời giải

Bài 1.

a) $\sin 3 x-\sqrt{3} \cos 3 x=2\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \sin 3 x-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos 3 x=\cos 2 x$
$\Leftrightarrow \cos \left(3 x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos (2 x+\pi)$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \ x=-\dfrac{7 \pi}{6}+\frac{k 2 \pi}{5}\end{array}(k \in \mathbb{Z}\right.$
b) $\dfrac{\sin 2 x+2 \sin 2 x \cos 4 x}{\cos 3 x}=1$
Điều kiện: $x \neq \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k \pi}{3}$
$\Leftrightarrow \sin 2 x+\sin 6 x-\sin 2 x=\cos 3 x$
$\Leftrightarrow \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-6 x\right)=\cos 3 x$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{18}-\frac{k 2 \pi}{9} \ x=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{k 2 \pi}{3}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
So sánh với điều kiện, ta được hoăc $\dfrac{5 \pi}{18}+\dfrac{k 2 \pi}{3}$

Bài 2. 

$\quad$ a) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau mà có đúng 1 chữ số lẻ? Gọi số cần tìm: $\overline{a b c d}$ +TH1: a là số lẻ, có 4 cách Ta có: $4 \times A_{5}^{3}$
+TH2: a là số chãn, có 4 cách Ta chọn ra 1 số lẻ rồi xếp vào 3 vị trí còn lại: $4 \times 3$ Nên có: $4 \times 4 \times 3 \times A_{4}^{2}$
Do đó, có tất cả: 816 số.
b) Lớp X có 30hs trong đó có 3 bạn Mai, An, Bình. Để tham gia trò chơi kéo có cần 10 học sinh. Tính xác suất để trong 10 học sinh được chọn có ít nhất 2 trong 3 bạn Mai, An và Bình nói trên. Không gian mẫu: $|\Omega|=C_{30}^{10}$ Xác suất để trong 10 học sinh được chọn có ít nhất 2 trong 3 bạn Mai, An và Bình là: $P=\dfrac{C_{27}^{7}+3 C_{27}^{8}}{C_{30}^{10}}=\dfrac{51}{203}$.

Bài 3. 

Cho số tự nhiên $n$ thỏa $A_{n}^{2}+3 C_{n+1}^{n}=38 .$ Tìm số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left(\sqrt{x}-3 x^{3}\right)^{n}$
Ta có: $A_{n}^{2}+3 C_{n+1}^{n}=38$
$\Leftrightarrow \dfrac{n !}{(n-2) !}+3 \cdot \dfrac{(n+1) !}{n !}=38$
$\Rightarrow n=5$
Nên $\left(\sqrt{x}-3 x^{3}\right)^{5}$ có $\mathrm{SHTQ}: C_{5}^{k}(-3)^{k} \cdot x^{\frac{5}{2}}(k+1)$
Theo ycbt ta được: $k=1$. Do đó, số hạng chứa $x^{5}$ là $-15 x^{5}$

Bài 4.
$$
\left\{\begin{array}{l}
S_{20}-S_{15}=500 \\
u_{20}-u_{15}=75
\end{array} \right.$$
Từ phương trình ( 2 ) ta được: $d=15$, thế vào ta được $u_{1}=-155$.
Bài 5. Trong mặt phẳng $O x y,$ cho các đường thẳng $d_{1}: 3 x-6 y-15=0$ và $d: y=x$. Gọi $d_{2}$ là ảnh của $d_{1}$ qua phép đối xứng trục $d$. Tìm tọa độ giao điểm của $d_{2}$ với trục tung. Gọi $M^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ là ảnh của $M(x ; y) \in d_{1}$ qua phép đối xứng trục $d$. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=y \\ y^{\prime}=x\end{array}\right.$
Nên ta có $d_{2}: 3 y^{\prime}-6 x^{\prime}-15=0$ hay $2 x-y+5=0$
Vậy giao điểm của $d_{2}$ và trục tung là $A(0 ; 5)$

Bài 6. 

a) $+(S A C) \cap(S B D)=S O$
$+$ Gọi $B N \cap A D=E .(S A D) \cap(S B N)=S E$
b) Ta có: $\dfrac{O G}{O D}=\dfrac{O K}{S}=\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow D K | S D$
Nên $G K |(S A D)$
Ta có: $K$ là trọng tâm tam giác $S B D$ nên $I$ là trung điểm $S D \Rightarrow M I | A D$. Ta lại có: $(M N O) \cap(S A D)=M x|A D| O N$.
Do đó: $I \in M x$ nên $I \in(O M N)$.
c) Gọi $F=O N \cap A B,$ ta được $F$ là trung điểm $A B$. $\Rightarrow M F | S B$
$\Rightarrow S B |(O M N)$
$+$ Ta thấy $(A K N) \cap(S B D)=K G$
Gọi $T=K G \cap S B$
Do đó: $T=S B \cap(A K N)$.

Giải nhanh đề học kì 1 gửi đến các em học sinh,  cảm ơn thầy Dương Trọng Đức đã đóng góp cho geosiro.com

LOP 11 PTNK_HK1