Trong các kì thi tuyển sinh vào 10 có dạng toán liên quan đến hàm số, chủ yếu là hàm bậc hai dạng $y=a{x}^2$ (1) và đường thẳng $y=mx+n$ (2)Trong bài viết này chủ yếu xét các bài toán tương giao giữa đồ thị hàm số (1) và (2).

Nếu hàm số $y=a{x}^2$ có đồ thị là parabol $(P)$ và hàm số $y=mx+n$ có đồ thị là đường thẳng $d$, thì phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là

$$a{x}^2=mx+n\iff a{x}^2–mx–n=0(\ast )$$

$(\ast )$ là một phương trình bậc hai, nên có 3 trường hợp xảy ra:

• TH1: Nếu $(\ast )$ vô nghiệm thì $(d)$ và $(P)$ không có giao điểm.
• TH2: Nếu $(\ast )$ có 1 nghiệm thì $(d)$ và $(P)$ có 1 giao điểm, ta nói $d$ tiếp xúc với $(P)$.
• TH3: Nếu $(\ast )$ có hai nghiệm phân biệt thì ta nói $(d)$ cắt $(P)$, và nghiệm của $(\ast )$ là hoành độ của hai giao điểm, từ hoành độ ta có thể tính tung độ của giao điểm dựa vào phương trình của $(d)$ hoặc của $(P)$.

Ta xét một vài ví dụ sau:

Bài 1. (Thi vào lớp 10 trường PTNK năm 2018) Gọi $(P),(d)$ lần lượt là đồ thị của các hàm số $y=x^2$ và $y=2mx+3$.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$ và tính $y_1+y_2$ theo $m$.
b) Tìm $m$ sao cho $y_1-4y_2=x_1-4x_2+3x_1{x}_2$.

Lời giải bài 1.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
$$x^2=2mx+3\iff x^2-2mx-3=0(1)$$

Xét phương trình (1), ta có: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2+3>0$ với mọi $m\in \mathbb{R}$
Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi $m$ hay $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$.
Theo định lý Viete, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=-3\end{array}$
Khi đó $y_1=2m{x}_1+3,y_2=2m{x}_2+3$
$y_1+y_2=2m{x}_1+3+2m{x}_2+3=2m(x_1+x_2)+6=4m^2+6$
b) Ta có:
$y_1-4y_2=x_1-4x_2+3x_1{x}_2$
$\iff 2m{x}_1+3-8m{x}_2-12=x_1-4x_2-9$
$\iff 2m(x_1-4x_2)=x_1-4x_2$
$\iff (x_1-4x_2)(2m-1)=0$
$\iff [\begin{array}{l}{x}_1=4x_2\\ m=\frac{1}{2}(n)\end{array}$
Với $x_1=4x_2$ lại có $x_1{x}_2=-3\Rightarrow 4x_2^2=-3$ (vô lý)
Vậy $m=\frac{1}{2}$

Bài 2. (Đề thi vào 10 trường PTNK năm 2019) Cho $(P),(d)$ lần lượt là đồ thị hàm số $y=x^2$ và $y=2x+m$.
a) Tìm $m$ sao cho $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$.
b) Tìm $m$ sao cho ${(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2=5$.

Lời giải bài 2.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$
$$x^2=2x+m\iff x^2-2x-m=0(1)$$
$(P)$ cắt $(d)$ tại 2 điểm phân biệt $A,B\iff (1)$ có 2 nghiệm phân biệt

$\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\iff 1+m>0$
$\iff m>-1(\ast )$
Vậy $m>-1$ thì $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Với điều kiện $(\ast )$ theo Viete ta có: $S=x_1+x_2=2,P=x_1\cdot x_2=-m$

Ta có: $A(x_1;y_1)\in (d)\iff y_1=2x_1+m;B(x_2;y_2)\in (d)\iff y_2=2x_2+m$

Ta có: ${(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2=5$

$\iff {(x_1-x_2)}^2+{(2x_1-2x_2)}^2=5$

$\iff {(x_1-x_2)}^2+4{(x_1-x_2)}^2=5$

$\iff {(x_1-x_2)}^2=1\iff {(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2=1$

$\iff 4+4m=1\iff m=\frac{-3}{4}$ thỏa (*)
Vậy $m={\displaystyle \frac{-3}{4}}$.

Bài 3. Đồ thị của hàm số $f(x)=a{x}^2$ và $g(x)=-ax+b(a;b$ là các số thực), điểm chung thứ nhất có hoành độ bằng 1 và tung độ điểm chung thứ 2 là 8 . Tìm hoành độ của điểm chung thứ hai của hai đồ thị và tính $a,b$.

Lời giải bài 3.

• Phương trình hoành độ giao điểm $a{x}^2=-ax+b\iff a{x}^2+ax-b=0$ thì phương trình nhận 1 là nghiệm nên $a{1}^2+a\cdot 1-b=0\Rightarrow b=2a$.
• Khi đó gọi nghiệm còn lại là $x_2$ ta có $1\cdot x_2=\frac{-b}{a}=-2$
• Do đó tung độ $a(-2{)}^2=8$, suy ra $a=2$ và $b=4$.

Bài 4. (TS chuyên Đăk Lăk 2020 – 2021) Trong mặt phẳng $Oxy$, cho parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=2(m+1)x+3$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thoả mãn điều kiện $x_1^2-2m{x}_1+2x_2-x_1{x}_2=2$.

Lời giải bài 4.

• Phương trình hoành độ giao điểm $x^2-2(m+1)x-3=0\left({}^{\ast }\right)$ ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(m+1{)}^2+3>0$ với mọi $m$.
• Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2(m+1),x_1{x}_2=-3$.
  Ta có $x_1^2-2(m+1)x_1-3=0$, suy ra $x_1^2-2m{x}_1=2x_1+3$ $x_1^2-2m{x}_1+2x_2-x_1{x}_2=2\iff 2x_1+3+2x_2-(-3)=2\iff m=-2$.
• Vậy $m=-2$.

Bài 5. (TS chuyên Khánh Hoà 2020 – 2021) Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=2x^2$ và đường thẳng $(d):y=-2mx+m+1$ với $m$ là tham số.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi $x_1,x_2$ lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$, tìm $m$ thoả mãn đẳng thức $\frac{1}{{(2x_1-1)}^2}+\frac{1}{{(2x_2-1)}^2}=66$.

Lời giải bài 5 .
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $P$ là
$$2x^2+2mx-m-1=0$$
${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-2(-m-1)=(m+1{)}^2+1>0$ với mọi $m$, do đó $d$ cắt $P$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.
b) Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=-m,x_1{x}_2=\frac{-m-1}{2}$.
Suy ra $x_1^2+x_2^2={(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2=m^2+m+1$
Ta có $66=\frac{1}{{(2x_1-1)}^2}+\frac{1}{{(2x_2-1)}^2}=\frac{{(2x_1-1)}^2+{(2x_2-1)}^2}{{(2x_1-1)}^2{(2x_2-1)}^2}=\frac{4(x_1^2+x_2^2)-4(x_1+x_2)+2}{{(4x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+1)}^2}$
$$=\frac{4(m^2+m+1)-4(-m)+2}{(-2m-2-2(-m)+1{)}^2}=\frac{4m^2+8m+6}{1}$$

Giải ra được $m=-5,m=3$.

Bài 6. (TS chuyên Thái Bình 2020 – 2021) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho parabol $(P):y=\frac{x^2}{2}$ và hai đường thẳng $\left(d_1\right):y=5x+2,\left(d_2\right):y=(m^2+1)x+m$ với $m$ là tham số.
a) Tìm $m$ để $\left(d_1\right)$ song song với $\left(d_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $\left(d_2\right)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ sao cho $Q=x_1+x_2-4x_1{x}_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải bài 6 .
a) Điều kiện để $d_1||d_2$ là $m^2+1=5,m\ne 2$, giải ra được $m=-2$.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của $d_2$ và $P$ là
$$\frac{x^2}{2}=(m^2+1)x+m\iff x^2-2(m^2+1)x-2m=0$$

Điều kiện ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={(m^2+1)}^2-(-2m)>0\iff m^4+2m^2+1+2m>0\iff m^4+m^2+(m+1{)}^2>0$ (Đúng với mọi $m)$

Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2(m^2+1),x_1{x}_2=-2m$

Ta có $P=x_1+x_2-4x_1{x}_2=$ $2(m^2+1)-4(-2m)=2(m^2+1+4m)=2(m+2{)}^2-6\ge -6$, đẳng thức xảy ra khi $m=-2$.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=2x-m-2$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2+1=2x_2$.

Lời giải bài 8 .

• Phương trình hoành độ giao điểm
  $$x^2=2x-m-2\iff x^2-2x+m+2=0$$
• Điều kiện ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1-(m+2)>0\iff m<-1$.
• Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2,x_1{x}_2=m+2$.

Ta có $x_1^2=2x_1-m-2$, suy ra $x_1^2+1=2x_2\iff 2x_1-m-2+1=2x^2\iff 2(x_1-x_2)=m+1$ Kết hợp với Viete ta có $x_1=\frac{m+5}{4},x_2=\frac{3-m}{4}$
Khi đó $x_1{x}_2=m+2\iff \frac{m+5}{4}\frac{3-m}{4}=m+2\iff m=-1(l),m=-17(n)$.

• Vậy $m=-17$.

Bài 9. Cho $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=(m+2)x-2m$.
a) Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$.
b) Tìm $m$ để $x_1+2y_2=7$.

Lời giải bài 9 .
a) Phương trình hoành độ giao điểm

$x^2-(m+2)x+2m=0$
$\mathrm{\Delta }=(m+2{)}^2-8m=(m-2{)}^2>0\iff m\ne 2.$

b) Khi đó phương trình có nghiệm $x=2,x=m$.
3

• TH1: $x_1=2,x_2=m$ suy ra $y_1=4,y_2=m^2$. Ta có $2+2m^2=7$ giải ra được $m=\sqrt{2,5},m=$ $-\sqrt{2,5}$.
• TH2: $x_1=m,x_2=2$, suy ra $y_1=m^2,y_2=4$. Ta có $m+2.4=7\iff m=-1$.
• Vậy có 3 giá trị $m$ thỏa đề bài $m=\sqrt{2,5},m=-\sqrt{2,5},m=-1$.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=2mx-m^2-m-2$ (với $m$ là tham số).
a) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(P)$ biết điểm $M$ có hoành độ bằng -3 .
b) Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$ là hai giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$, xác định $m$ để $x_1{y}_2+x_2{y}_1=2m^3+6$.

Lời giải bài 10.

b) Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai đie biệt. Gọi $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$ là hai giao điểm của đường thẳng $(d)$ và $(P)$, xác định $m$ để $x_1{y}_2+x_2{y}_1=2m^3+6$. Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là

$x^2=2mx-m^2-m-2\iff x^2-2mx+m^2+m+2=0(1)$
${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-m{)}^2-(m^2+m+2)=-m-2$

$(d)$ cắt parabol $(P)$ tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>$ $0\iff -m-2>0\iff m<-2(\ast )$

$\text{ Ta có }{x}_1+x_2=2m,x_1{x}_2=m^2+m+2$
$x_1{y}_2+x_2{y}_1=x_1\cdot x_2^2+x_2\cdot x_1^2=x_1\cdot x_2(x_1+x_2)=2$ $m(m^2+m+2)$
$=2m^3+2m^2+4m$
$2m^3+2m^2+4m=2m^3+6\iff 2m^2+4m-6=0$

$\iff [\begin{array}{l}m=1\\ m=-3\end{array}$

Đối chiếu (*) vậy $m=-3$.