Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1: ( 1,0 điểm)
Cho $x,y$ là hai số thực thỏa mãn $xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1$.
Tính giá trị của biểu thức $M=(x+\sqrt{1+y^2})(y+\sqrt{1+x^2})$.

Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải phương trình $\sqrt{x+4}+|x|=x^2-x-4$
b) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}\frac{x}{y+z}=2x-1\\ \frac{y}{z+x}=3y-1\\ \frac{z}{x+y}=5z-1\end{array}$

Bài 3: (1,5 điểm)
Cho hình vuông $ABCD$. Trên các cạnh $BC$ và $CD$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat{MAN}={45}^{\circ }$.
a) Chứng minh $MN$ tiếp xúc với đường tròn tâm $A$ bán kính $AB$.
b) Kė $MP$ song song với $AN$ ( $P$ thuộc đoạn $AB$ ) và kẻ $NQ$ song song với $AM$ ( $Q$ thuộc đoạn $AD$ ). Chứng minh $AP=AQ$.
Bài 4: (2,0 điếm)
Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$.
a) Chứng minh rằng $ab+bc+ca\le 3$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}$.

Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ có các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $I$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $IH$ tại $K$ và cắt $BC$ tại $M$.
a) Chứng minh tứ giác $IFKC$ nội tiếp và $\frac{BI}{BD}=\frac{CI}{CD}$.
b) Chứng minh $M$ là trung điểm của $BC$.

Bài 6: (1,0 điểm )
Số nguyên dương $n$ được gọi là “số tốt” nếu $n+1$ và $8n+1$ đều là các số chính phương.
a) Hãy chỉ ra ví dụ ba “số tốt” lần lượt có $1,2,3$ chữ số.
b) Tìm các số nguyên $k$ thỏa mãn $|k|\le 10$ và $4n+k$ là hợp số với mọi $n$ là “số tốt”.

Đáp án do Star Education thực hiện