Category Archives: Đại số

Bất đẳng thức Cauchy – Phương pháp tách ghép

Leave a reply

1. Phương pháp tách ghép

Ví dụ 1: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \ge a+b+c.$

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a} \ge 2b$

$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \ge 2c$

$\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c} \ge 2a.$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được

$2\left( \dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\right)  \ge 2 (a+b+c)$

$\Leftrightarrow \dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \ge a+b+c.$

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Ví dụ 2: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng

$$\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab} \ge a+b+c$$

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$\dfrac{a^3}{bc} +b+c \ge 3a $

$\dfrac{b^3}{ca}+c+a \ge 3b$

$\dfrac{c^3}{ab}+a+b \ge 3c.$

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được

$\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}+2(a+b+c) \ge 3(a+b+c)$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab} \ge a+b+c.$

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$

Ví dụ 3: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $$abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).$$

Giải

Áp dụng bất đẳng thức $xy \le \dfrac{(x+y)^2}{4}$. Ta được:

$(a+b-c)(b+c-a) \le \dfrac{(a+b-c+b+c-a)^2}{4}=b^2$

$(b+c-a)(c+a-b) \le \dfrac{(b+c-a+c+a-b)^2}{4}=c^2$

$(c+a-b)(a+b-c) \le \dfrac{(c+a-b)(a+b-c)^2}{4} = a^2.$

Do $a,b,c$ là các cạnh của một tam giác nên các vế của bất đẳng thức trên đều dương do đó nhân vế theo vế ta được

$[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2 \le (abc)^2$

$\Leftrightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le abc.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$

2. Bài tập

Bài 1: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $\dfrac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c} \ge abc$.

Bài 2: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

a) $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \ge a+b+c$

b) $\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge a+b+c$

c) $\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a} \ge ab+bc+ca.$

d) $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}.$

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương ta có: $$abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).$$

Bài 4: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:

a) $(p-a)(p-b)(p-c) \le \dfrac{1}{8}abc$.

b) $\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c} \ge 2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$.

c) $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b-c}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+c-a}}+\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{c+a-b}} \ge 3$

Bài 5: Cho 3 số không âm $a,b,c$ chứng minh rằng: $$ a+b+c \ge \sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2}. $$

Bài 6: Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh: $$ a^3+b^3+c^3 \ge a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}. $$

Bài 7: Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng: $$ (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) \ge abc(a+b)(b+c)(c+a). $$

Bài 8: Cho các số dương $x, y, z$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z} \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}).$$

Bài 9: Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh: $$\dfrac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{ca}{c^2+3} \le \dfrac{3}{2}.$$

Bài 10: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $a+b+c=1$. Chứng minh: $$\dfrac{c+ab}{a+b}+\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ac}{a+c} \ge 2.$$

Bài 11: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh: $$\dfrac{ab}{a+3b+2c}+\dfrac{bc}{b+3c+2a}+\dfrac{ac}{c+3a+2b} \le \dfrac{a+b+c}{6}.$$

Bài 12: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $a+b+c=1$. Chứng minh: $$\frac {a}{b} + \frac {a}{c} + \frac {c}{b} + \frac {c}{a} + \frac {b}{c} + \frac {b}{a} + 6 \geq 2\sqrt{2}\left (\sqrt{\frac{1-a}{a}} + \sqrt{\frac{1-b}{b}} + \sqrt{\frac{1-c}{c}}\right ).$$

Bài 13: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $a+b+c=3$. Chứng minh: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \ge ab+bc+ca.$

Bất đẳng thức Cauchy – Phương pháp chọn điểm rơi

Leave a reply

1. Chọn điểm rơi

Ví dụ 1: Cho $a \ge 2$. Tìm GTNN của $P=a+\dfrac{1}{a}$.

Giải

Ta có $P =\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{3a}{4} \ge 2 \sqrt{ \dfrac{a}{4}. \dfrac{1}{a}}+\dfrac{3.2}{4} =\dfrac{5}{2}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} \dfrac{a}{4}=\dfrac{1}{a}&\\ a=2 \end{cases} \Leftrightarrow a=2.$

Ví dụ 2: Cho $a \ge 2$. Tìm GTNN của $P=a+\dfrac{1}{a^2}$.

Giải

Ta có: $P=\dfrac{a}{8}+\dfrac{a}{8}+\dfrac{1}{a^2} +\dfrac{6a}{8} \ge 3 \sqrt[3]{\dfrac{a}{8}. \dfrac{a}{8}. \dfrac{1}{a^2}}+\dfrac{6a}{8}$

$\hspace{6,5cm} \ge \dfrac{3}{4}+\dfrac{6.2}{8} \ge \dfrac{9}{4}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} \dfrac{a}{8}=\dfrac{1}{a^2}&\\ a=2 \end{cases} \Leftrightarrow a=2.$

Ví dụ 3: Cho các số không âm $a,b,c$ thoả $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTNN của $P=a^3+b^3+c^3.$

Giải

Ta có: $a^3+a^3+\dfrac{1}{3\sqrt{3}} \ge \sqrt{3} a^2$

$b^3+b^3+\dfrac{1}{3\sqrt{3}} \ge \sqrt{3} b^2$

$c^3+c^3+\dfrac{1}{3\sqrt{3}} \ge \sqrt{3} c^2$

Cộng vế theo theo vế ba băt đẳng thức trên ta được

$2(a^3+b^3+c^3)+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \ge \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3 \ge \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ chỉ $\begin{cases} a^2+b^2+c^2=1 &\\ a^3=b^3=c^3=\dfrac{1}{3\sqrt{3}} \end{cases} \Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

Ví dụ 4: Cho $ a, b, c>0$, $a+b+c=1$. Chứng minh $ \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \le \sqrt{6}. $

Giải

Đặt $P = \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} $.

Áp dụng bất đẳng thức $\sqrt{xy} \le \dfrac{x+y}{2}$ ta được:

$\sqrt{(a+b) \cdot \dfrac{2}{3}} \le \dfrac{a+b+\dfrac{2}{3}}{2}$

$\sqrt{(b+c) \cdot \dfrac{2}{3}} \le \dfrac{b+c+\dfrac{2}{3}}{2}$

$\sqrt{(c+a) \cdot \dfrac{2}{3}} \le \dfrac{c+a+\dfrac{2}{3}}{2}.$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

$\sqrt{\dfrac{2}{3}} \cdot P \le \dfrac{2(a+b+c)+2}{2}=2 \Leftrightarrow P \le \sqrt{6}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} a+b+c=1&\\ a+b=b+c=c+a=\dfrac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}.$

Ví dụ 5: Cho $a, b>0$, $a+b \le 1$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{ab}+4ab.$

Giải

Ta có: $\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{ab}+4ab = \dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\left( 4ab+\dfrac{1}{4ab}\right) + \dfrac{1}{4ab}$

$\hspace{5,4cm} \ge \dfrac{4}{(a+b)^2}+2\sqrt{4ab. \dfrac{1}{4ab}}+\dfrac{1}{(a+b)^2} \ge 7.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} a+b=1&\\a=b \end{cases} \Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}.$

Ví dụ 6: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $abc=1$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{c^2}{1+a} \ge \dfrac{3}{2}.$$

Giải

Đặt $P = \dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{c^2}{1+a} $

Ta có: $\dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{1+b}{4} \ge a$

$\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{1+c}{4} \ge b$

$\dfrac{c^2}{1+a}+\dfrac{1+a}{4} \ge c.$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: $$P \ge (a+b+c)-\dfrac{1}{4}(a+b+c)-\dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}.3.\sqrt[3]{abc}-\dfrac{3}{4}= \dfrac{3}{2}.$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$

2. Bài tập

Bài 1: Cho $a \ge 6.$ Tìm GTNN của $ a^2+\dfrac{18}{a}$.

Bài 2: Cho $x \ge 1$. Tìm GTNN của $P=3x+\dfrac{1}{2x}.$

Bài 3: Cho $a,b>0$, $a+b \le 1$. Tìm GTNN của $P=ab+\dfrac{1}{ab}.$

Bài 4: Cho $a,b>0$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}.$

Bài 5: Cho $a,b>0$, $a+b \le 1$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}$.

Bài 6: Cho $a,b>0$ thỏa $a+b \le 1$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{1}{1+a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}$.

Bài 7: Cho $a,b>0$, $a+b=1$. Chứng minh:

a) $a^3+b^3 \ge \dfrac{1}{4}$.

b) $a^4+b^4 \ge \dfrac{1}{8}.$

Bài 8: Cho $a, b, c >0$, $a+b+c=1$. Tìm GTLN của $$ P=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}. $$

Bài 9: Cho $a, b, c >0$, $a+b+c=3$. Tìm GTLN của $$ P=\sqrt[3]{a(b+2c)}+\sqrt[3]{b(c+2a)}+\sqrt[3]{c(a+2b)}. $$

Bài 10: Cho $a, b, c >0$, $abc=1$. Chứng minh $$ \dfrac{a^3}{(a+1)(b+1)}+\dfrac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\dfrac{c^3}{(a+1)(b+1)} \ge \dfrac{3}{4}. $$

Bài 11: Cho $a, b, c >0$, $a+b+c=3$. Chứng minh $$ \dfrac{a^3}{b(2c+a)}+\dfrac{b^3}{c(2a+b)}+\dfrac{c^3}{a(2b+c)} \ge 1.$$

Bài 12: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $abc=1$. Chứng minh $$\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$$

Bài 13: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\dfrac{b^2c}{a^3(b+c)}+\dfrac{c^2a}{b^3(c+a)}+\dfrac{a^2b}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{1}{2}(a+b+c).$$

Bài 14: Cho $x, y, z>0$, $xyz=1$. Chứng minh $x^3+y^3+z^3 \ge x+y+z$.

Bài 15: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của $P=a^3+b^3+c^3$. Biết $a^2+b^2+c^2=3$.

Bài 16: Cho $a,b,c>0$ và $a+2b+3c \ge 20$. Tìm GTNN của $$S=a+b+c+\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}.$$

Bài 17: Cho các số dương $a,b,c$ thoà $a+b+c=1$. Chứng minh $$a\sqrt[3]{1+b-c}+b \sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b} \le 1.$$

Bất đẳng thức Cauchy – Các kĩ thuật cơ bản

Leave a reply

1. Bất đẳng thức Cauchy

Tính chất 1: Cho các số $a, b$ thì ta có: $ab \leq \dfrac{1}{4} (a+b)^2 \leq \dfrac{1}{2}(a^2+b^2)$.

Tính chất 2: Cho $a, b$ là các số không âm thì $ a+b \geq 2\sqrt{ab}$.

2. Các kĩ thuật cơ bản

Ví dụ 1: Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $x+y=2$. Chứng minh rằng $xy(x^2+y^2) \le 2 $.

Giải

Áp dụng bất đẳng thức $ab \le \dfrac{(a+b)^2}{4}$ ta được:

$xy(x^2+y^2)=\dfrac{1}{2}\cdot 2xy(x^2+y^2) \le \dfrac{1}{2} \dfrac{(x^2+y^2+2xy)^2}{4}=\dfrac{1}{8}(x+y)^4=2.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\dfrac{1}{2}.$

Ví dụ 2: Cho các số dương $a,b$. Chứng minh rằng $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a} \ge \sqrt{2(a^2+b^2)}.$

Giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$a^3+b^3\ge ab\sqrt{2(a+b)} \Leftrightarrow (a+b)(a^2+b^2-ab) \ge \sqrt{ab}.\sqrt{2ab(a^2+b^2)}$

Mặt khác ta có:

$0 <\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}$

$0 \le \sqrt{2ab(a^2+b^2)} \le \dfrac{2ab+a^2+b^2}{2} \le a^2+b^2 \le 2(a^2+b^2-ab).$

Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b.$

Ví dụ 3: Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$. Chứng minh $(x-1)(y-1)(z-1) \ge 8.$

Giải

Bất đẳng thức đã cho được viết lại dưới dạng $ \left( \dfrac{x-1}{x}\right) \left( \dfrac{y-1}{y}\right) \left( \dfrac{z-1}{z}\right)  \ge \dfrac{8}{xyz}$

$\Leftrightarrow \left( 1-\dfrac{1}{x}\right) \left( 1-\dfrac{1}{y}\right) \left( 1-\dfrac{1}{z}\right)  \ge \dfrac{8}{xyz}.$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

$1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \ge 2 \sqrt{\dfrac{1}{y}\cdot  \dfrac{1}{z}}=\dfrac{2}{\sqrt{yz}}.$

Tương tự ta cũng có $1-\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{2}{\sqrt{zx}}$ và $1-\dfrac{1}{z} = \dfrac{2}{\sqrt{xy}}$.

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=3.$

Ví dụ 4: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $\dfrac{abc}{(1+a)(a+b)(b+c)(c+16)} \le \dfrac{1}{81}.$

Giải

Ta có: $(1+a)(a+b)(b+c)(c+16)= \left( 1+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}\right) \left( a+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}\right) \left( b+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}\right) (c+8+8)$

$\hspace{7,5cm} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{4}}\cdot  3\sqrt[3] {\dfrac{ab^2}{4}}\cdot 3\sqrt[3]{\dfrac{bc^2}{4}}\cdot 3\sqrt[3]{64c} =81abc.$

Do đó $\dfrac{abc}{(1+a)(a+b)(b+c)(c+16)} \le \dfrac{1}{81}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=2, b=4, c=8.$

3. Bài tập

Bài 1: Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $ \dfrac{x^2}{x^2+2yz}+\dfrac{y^2}{y^2+2xz}+\dfrac{z^2}{z^2+2xy} \ge 1. $

Bài 2: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh

a) $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}$.

b) $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$.

c) $(a+b+2)\left( \dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}\right)  \ge 4$.

Bài 3: Cho $a>b>0$. Chứng minh

a) $a+\dfrac{1}{(a-b)b} \ge 3$.

b) $a+\dfrac{1}{(a-b)(b+1)} \ge 2$.

c) $a+\dfrac{4}{(a-b)(b+1)^2} \ge 3$.

Bài 4: Cho $a,b>1$. Chứng minh $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1} \le ab$.

Bài 5: Cho $c>0$ và $a,b \ge c$. Chứng minh rằng $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}$.

Bài 6: Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$. Chứng minh rằng $x^2y^2(x^2+y^2) \le 2.$

Bài 7: Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa $a^2+b^2 \le 2$. Chứng minh rằng $a\sqrt{3a(a+2b)}+b\sqrt{3b(b+2a)} \le 6.$

Bài 8: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $a(1+b)+b(1+c)+c(1+a) \ge 3 \sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})$.

Bài 9: Cho $x,y >0$ và $x+y = 1.$ Chứng minh rằng $8(x^4+y^4)+\dfrac{1}{xy} \ge 5. $

Bài 10: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$ \frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} \le \frac{1}{abc}. $$

Bài 11: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $b+c \ge 16abc.$

Bài 12: Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả $ab+bc+ca \ge a+b+c$. Chứng minh $a+b+c \ge 3.$

Bài 13: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $abc=1$. Chứng minh $$\dfrac{\sqrt{1+a^3+b^3}}{c}+\dfrac{\sqrt{1+b^3+c^3}}{a}+\dfrac{\sqrt{1+a^3+c^3}}{b} \ge 3 \sqrt{3}.$$

Bài 14: Cho các số dương $a, b, c$ thoả $a+b+c=abc$. Chứng minh $\dfrac{a}{b^3}+\dfrac{b}{c^3}+\dfrac{c}{a^3} \ge 1.$

Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Leave a reply

1. Phương pháp biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$

b)  $a^4+b^4+c^4 \ge abc(a+b+c)$

Giải

a) Ta có: $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca $

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \ge 2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0$ .

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng với mọi $a,b,c$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$

b) Áp dụng câu (a) liên tiếp ta có:

$a^4+b^4+c^4  \ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2= (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2$

$\hspace{2,6cm}  \ge ab\cdot bc+bc\cdot ca+ca\cdot ab=abc(a+b+c)$.

Dấu ‘=’ xảy ra khi $a=b=c.$

Ví dụ 2: Với mọi $x \in \mathbb{R}$. Chứng minh $2x^4+1 \ge 2x^3+x^2.$

Giải

Ta có  $2x^4+1-2x^3-x^2=1-x^2-2x^3(1-x)$

$\hspace{5,4cm} =(1-x)(1+x)-2x^3(1-x)$

$\hspace{5,4cm} = (1-x)(x+1-2x^3)$

$\hspace{5,4cm} =(1-x)[x(1-x^2)+1-x^3]$

$\hspace{5,4cm} =(1-x)^2[(1+x)^2+x^2] \ge 0. \forall x \in \mathbb{R}.$

Từ đó suy ra $2x^4+1 \ge 2x^3+x^2, \forall x \in \mathbb{R}$. Dấu “=” xảy ra khi $x=1.$

Ví dụ 3: Với mọi $x \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng $x^{12}-x^9+x^4-x+1 >0.$

Giải

Ta xét hai trường hợp $x<1$ và $x \ge 1.$

  • Trường hợp $x<1$, ta có $x^{12}-x^9+x^4-x+1=x^{12}+(x^4-x^9)+(1-x). $

 Vì $x<1$ nên $1-x>0, x^4-x^9>0$ do đó $x^{12}-x^9+x^4-x+1 >0.$

  •  Trường hợp $x \ge 1$, ta có $x^{12}-x^9+x^4-x+1=x^8(x^4-x)+(x^4-x)+1.$

 Vì $x \ge 1$ nên $x^4-x \ge 0$ do đó $x^{12}-x^9+x^4-x+1 >0.$

Ví dụ 4: (PTNK chuyên toán 1998) Cho $x, y, z, p, q, r$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x + y + z = p + q + r=1$ và $p,q,r \leq \dfrac{1}{2}$.

a) Chứng minh rằng nếu $x \leq y \leq z$ thì $px + qy + rz \geq \dfrac{x+y}{2}$

b) Chứng minh rằng $px + qy + rz \geq 8xyz$

Giải

a) Ta có $px+ qy + rz \geq \left( p-\dfrac{1}{2}\right) x + \dfrac{1}{2}x + (q+r)y \\ \ge \left( p-\dfrac{1}{2}\right) x + \left( q+r-\dfrac{1}{2}\right) y + \dfrac{1}{2}(x+y)\\ \ge \left( p-\dfrac{1}{2}\right) (x-y) + \dfrac{1}{2}(x+y) \\ \geq \dfrac{1}{2}(x+y)$

Vì $p – \dfrac{1}{2}\leq 0, x – y \leq 0$ nên $(p-\dfrac{1}{2})(x-y) \geq 0$.

b) Vai trò của $x, y, z$ như nhau, ta có thể giả sử $x \leq y \leq z$.

Áp dụng câu a, ta cần chứng minh $x+y \geq 16xyz$.

Ta có $4xy \leq (x+y)^2$, suy ra $16xyz \leq 4z(x+y)^2 = 4z(1-z)(x+y)$.

Mà $4z(1-z) \leq (z+1-z)^2 = 1$.

Do đó $16xyz \leq x+y$ (điều cần chứng minh).

Ví dụ 5: (PTNK Chuyên toán 2013) Cho $x, y$ là hai số không âm thỏa $x^3+y^3 \le x- y$.

a) Chứng minh rằng $y \leq x \leq 1$.

b) Chứng minh rằng $x^3+y^3 \leq x^2 + y^2 \leq 1$.

Giải

a) Ta có $x – y \geq x^3 + y^3 \geq 0$, suy ra $x \geq y$.

Ta có $x \geq y + y^3 + x^3 \geq x^3$, suy ra $x(1-x)(1+x) \geq 0$. Suy ra $0\leq x \leq 1$.

Do đó $0 \leq y \leq x \leq 1$.

b) Từ câu a ta có $0 \leq y \leq x \leq 1$, suy ra $x^3 \leq x^2, y^3 \leq y^2$. Suy ra $x^3+y^3 \leq x^2+y^2$.

Ta có $x – y \geq x^3+y^3 \geq x^3-y^3 \geq 0$.

Suy ra $x^2+y^2+xy \leq 1$, suy ra $x^2+y^2 \leq 1$.

Vậy $x^3+y^3\leq x^2+y^2 \leq 1$.

Ví dụ 6: Cho các số $x, y, z$ thỏa $|x| \leq 1, |y| \leq 1, |z| \leq 1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2} + \sqrt{1-z^2} \leq \sqrt{9-(x+y+z)^2} $

Giải

Bình phương hai vế của bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức tương đương:

$ 3-x^2-y^2-z^2 + 2\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} + 2\sqrt{1-y^2}\sqrt{1-z^2}  + 2\sqrt{1-z^2}\sqrt{1-x^2} \leq 9-(x+y+z)^2\\ \Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} + \sqrt{1-y^2}\sqrt{1-z^2} + \sqrt{1-z^2}\sqrt{1-x^2}  \leq 3-xy-yz-xz  $

Để hoàn tất chứng minh, ta cần chứng minh $\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} \leq 1-xy (*)$.

Thật vậy do $1-xy\geq 0$ nên (*) tương đương với $(1-x^2)(1-y^2) \leq (1-xy)^2 \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0$ (đúng).

2. Bài tập

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $a^2+b^2+1 \ge ab+a+b$

b) $a^2+b^2+c^2+d^2 +e^2 \ge a(b+c+d+e)$

c) $3(ab+bc+ca) \le (a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)$

Bài 2: Cho $x,y >0$. Chứng minh $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x} \ge x+y$

Bài 3: Với mọi $x, y \ne 0$. Chứng minh

a) $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \ge \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$

b) $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4 \ge 3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})$.

Bài 4: Cho $x,y \ge 1$. Chứng minh $\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2} \ge \dfrac{2}{1+xy}$.

Bài 5: Cho $x,y>0$. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2} \ge \dfrac{1}{1+xy}$.

Bài 6: Cho $a>0$. Chứng minh $\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{5(a^2+1)}{2a} \ge \dfrac{11}{2}$.

Bài 7: Cho $ab \ne 0$. Chứng minh $\dfrac{4a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}+\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2} \ge 3$.

Bài 8: Cho $a,b>0$. Chứng minh $\dfrac{a^2b}{2a^3+b^3}+\dfrac{2}{3} \ge \dfrac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}$.

Bài 9: Cho $a^2+b^2 \ne 0$. Chứng minh$\dfrac{2ab}{a^2+4b^2}+\dfrac{b^2}{3a^2+2b^2} \le \dfrac{3}{5}$.

Bài 10: Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh rằng nếu $\dfrac{a}{b}<1$ thì $\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}$. Từ đó suy ra

a) $\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}<2$

b) $1<\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}<2$

c) $2< \dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{b+c+d}+\dfrac{c+d}{c+d+a}+\dfrac{d+a}{d+a+b}<3$.

Định lý Viete và áp dụng nâng cao

Leave a reply

1. Định lý Viete và áp dụng

Định lý Viete: Nếu phương trình $ax^2 + bx + c=0$ $(a\ne 0)$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ $(\Delta \ge 0)$  thì $$S=x_1+x_2 =-\dfrac{b}{a},\ P=x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$$

Ví dụ 1: Cho phương trình $x^3 -4x\sqrt{x} +m + 1=0$ $(1)$

a) Giải phương trình $(1)$ khi $m=-33$

b) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có đúng hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa $x_1^6 +x_2^6=82$.

Giải

Đặt $t=x\sqrt{x} \ge 0$

a) Khi $m=-33$ ta có phương trình: $t^2 -4t -32=0  \Leftrightarrow t=-4 \ ( \text{loại})  \text{ hoặc } \ t=8  ( \text{nhận})$

Với $t = 8$ ta được $x = 4$.

b) Với $t=x\sqrt{x}$ thì phương trình $(1)$ tương đương $t^2-4t+m+1=0 \ \ \ (2)$

Để $(1)$ có hai nghiệm phân biệt thì $(2)$ phải có hai nghiệm phân biệt không âm $\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta’>0 &\\\\ S>0 &\\\\ P\ge 0 \end{cases}$

Ta có $\Delta’ =3-m >0 \Leftrightarrow m<3 $ và $\left\{ \begin{array}{l} S=t_1 + t_2 =4 \\ P =t_1t_2=m+1 \end{array} \right. $

Khi đó $x_1^6 + x_2^6 = t_1^4 + t_2^4 $

$= \left( t_1^2 + t_2^2 \right) ^2 – 2t_1^2 t_2^2 $

$= \left[ S^2 -2P \right] ^2 -2P^2 $

$= (14-2m)^2 -2(m+1)^2 $

$= 2m^2 -60m +194 $

$x_1^6 + x_2^6 =82 \Leftrightarrow m^2 -30m +56 =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=2 \\ m=28 \end{array} \right.$

Chỉ có $m=2$ thoả các điều kiện. Vậy $m=2$ thoả yêu cầu đề bài.

Ví dụ 2: Cho phương trình $\dfrac{(x+1)(x^2+mx+2m+14)}{\sqrt{x}} = 0 \ (1)$.

a) Giải phương trình $(1)$ khi $m = -8$.

b) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho: $\sqrt{x_2^2+(m+1)x_2+2m+14} = 3 – \sqrt{x_1}$

Giải

a) Điều kiện $x > 0$.

Khi $m = -8$ ta có phương trình:

$\dfrac{(x+1)(x^2-8x-2)}{\sqrt{x}} = 0 \Leftrightarrow x^2-8x – 2 = 0$ (do $x+1 > 0$).

$\Leftrightarrow x = 4+3\sqrt{2} $ (n) hoặc  $x=4-3\sqrt{2} $ (l).

Vậy phương trình có một nghiệm $x = 4 +3\sqrt{2}$.

b) Phương trình $(1)$ tương đương $x^2+mx+2m+14 = 0$  $(2)$

Để $(1)$ có $2$ nghiệm phân biệt thì $(2)$ có hai nghiệm phân biệt dương, tương đương $\Delta = m^2-4(2m+14) > 0,  S = -m > 0,  P = 2m + 14 >0   (*)$

Khi đó $x_1 + x_2 = -m, x_1x_2 = 2m+14$ và $x_2$ là nghiệm nên $x_2^2+mx_2+2m+14 = 0$, suy ra $x_2^2+(m+1)x_2 +2m+14 = x_2$.

Do đó $\sqrt{x_2^2+(m+1)x_2+2m+14} = 3 – \sqrt{x_1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=3$

$\Leftrightarrow x_1 + x_2 +2\sqrt{x_1x_2}=9$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2m+14}=9+m $ (điều kiện $m\ge -9$)

$\Leftrightarrow 4(2m+14) = m^2+18m+81 $

$\Leftrightarrow m^2 +10m+25 = 0 $

$\Leftrightarrow m = -5 \,\, (n) $

Vậy $m = -5$ thoả yêu cầu đề bài.

Ví dụ 3: Gọi $a, b$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 + px + 1 = 0$; $c, d$ là hai nghiệm của phương trình $y^2 + qy + 1 = 0$. Chứng minh rằng $$(a-c)(a-d)(b-c)(b-d) = (p-q)^2$$

Giải

Theo định lý Viete ta có $a+b=-p, ab = 1$ và $c+d = -q, cd = 1$.

Khi đó $(a-c)(a-d)(b-c)(b-d) = (a^2-a(c+d)+cd)(b^2-b(c+d)+cd)$

$= (a^2+aq+1)(b^2+bq+1)$

$= a^2b^2+abq^2+ab^2q + a^2bq + a^2+b^2+aq+bq+1$

$= 1+q^2+abq(a+b) + q(a+b)+1+(a+b)^2-2ab$

$= q^2-2pq+p^2 = (p-q)^2$.

Ví dụ 4: Cho phương trình $(m^2+5)x^2-2mx-6m=0$.

a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tổng hai nghiệm không thể là số nguyên.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thoả $(x_1x_2-\sqrt{x_1+x_2})^4=16.$

Giải

a) Phương trình có hai nghiêm phân biệt khi và chỉ khi:

$\begin{cases} m^2+5 \ne 0 &\\ \Delta’=m^2+6m(m^2+5)>0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow m(6m^2+m+30)>0$

$\Leftrightarrow m[5m^2+(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{119}{4}] >0$

$\Leftrightarrow m>0.$

Khi đó theo định lý Viete ta có $x_1 + x_2 = \dfrac{2m}{m^2+5}$.

Vì $m^2+5-2m = (m-1)^2 + 4 > 0$, suy ra $m^2+5 >2m > 0$.

Do đó $0 < \dfrac{2m}{m^2+5} < 1$ nên tổng hai nghiệm của phương trình không thể là số nguyên.

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm $\Delta’ \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 0$. Khi đó

$\begin{cases} x_1+x_2=\dfrac{2m}{m^2+5}&\\ x_1x_2=-\dfrac{6m}{m^2+5}. \end{cases}$

Ta có $(x_1x_2-\sqrt{x_1+x_2})^4=16 \Leftrightarrow x_1x_2-\sqrt{x_1+x_2}=2$ hoặc $x_1x_2-\sqrt{x_1+x_2}=-2$

Trường hợp 1: $x_1x_2 – \sqrt {x_1 + x_2} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ – 6m}}{{{m^2} + 5}} – \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} = 2$ .

Đặt $t = \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} $ , ta có phương trình: $ – 3{t^2} – t = 2\left( {VN} \right)$

Trường hợp 2:  ${x_1}{x_2} – \sqrt {{x_1} + {x_2}} = – 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ – 6m}}{{{m^2} + 5}} – \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} = – 2$ .

Đặt $t = \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} $ ta có phương trình: $-3t^2 -t = -2 \Leftrightarrow t = -1 (l), t=\dfrac{2}{3}$.

Với $t = \dfrac{2}{3}$ ta có $\dfrac{2m}{m^2+5} = \dfrac{4}{9}$. Giải ra được $m = 2\ (n), m = \dfrac{5}{2}\ (n)$.

Ví dụ 5: Cho phương trình $x^2-px+p=0$ với $p$. Tồn tại hay không số nguyên dương $p$ sao cho phương trình đã cho có nghiệm nguyên?

Giải

Ta có $\Delta=p^2-4p$.

Để phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta $ phải là số chính phương. Suy ra tồn tại số nguyên dương $k$ để

$p^2-4p=k^2$

$\Leftrightarrow k^2-(p-2)^2=4$

$\Leftrightarrow (k+p-2)(k-p+2)=4.$

Vì $k+p-2+k-p+2=2k $ là một số chẵn nên cả hai số $k+p-2$ và $k-p+2$ đều là số chẵn.

Từ đó $k+p-2=k-p+2=2$ hoặc $k+p-2=k-p+2=-2$.

Suy ra $p=2$. Khi đó phương trình trở thành $$x^2-2x+2=0.$$

Phương trình trên vô nghiệm vậy không tồn tại số nguyên dương $p$ thoả yêu cầu đề bài.

Ví dụ 6: Giả sử phương trình $2x^2+2ax+1-b=0$ có hai nghiệm nguyên . Chứng minh rằng $a^2-b^2+2$ là số nguyên không chia hết cho 3.

Giải

Theo định lý Viete ta có $x_1 + x_2 = -a, x_1x_2 = \dfrac{1-b}{2}$.

Khi đó $$Q= a^2 – b^2 + 2 = (x_1+x_2)^2 – (2x_1x_2-1)^2 + 2 = x_1^2 + x_2^2 -4x_1^2x_2^2 + 6x_1x_2 + 1$$ là một số nguyên.

Ta sẽ chứng minh $Q$ không chia hết cho 3.

Ta có tính chất sau, với một số nguyên $m$ bất kì thì nếu $m$ chia hết cho 3 thì $m^2$ chia hết cho 3. Nếu $m$ chia 3 dư 1 hoặc 2 thì $m^2$ chia 3 dư 1.

Ta có $Q = x_1^2 +x_2^2 – x_1^2x_2^2 + 1 – 3x_1^2x_2^2 + 6x_1x_2$.

Ta cần chứng minh $Q’ = x_1^2 + x_2^2 – x_1^2x_2^2 + 1$ không chia hết cho 3. Xét xác trường hợp sau:

TH1: Nếu $x_1, x_2$ không chia hết cho 3 thì $x_1^2 , x_2^2$ chia 3 dư 1. Khi đó $Q’$ chia 3 dư 2.

TH2: Nếu $x_1$ chia hết cho 3, $x_2$ không chia hết cho 3, khi đó $Q’$ chia 3 dư 2.

TH3: $x_1, x_2$ chia hết cho 3. Khi đó $Q’$ chia 3 dư 1.

Vậy $Q’$ không chia hết cho 3.

Do đó $Q$ không chia hết cho 3.

Ví dụ 7: Cho hai phương trình $x^2+ax+6=0$ và $x^2+bx+12=0$ có một nghiệm chung. Tìm GTNN của $|a|+|b|$.

Giải

Gọi $x_0$ là nghiệm chung của hai phương trình. Khi đó ta có

$\begin{cases} x_0^2+ax_0+6=0 \ \ \ (1)&\\ x_0^2+bx_0+12=0 \ \ \ (2) \end{cases}.$

Cộng vế theo vế hai phương trình trên ta được $2x_0^2+(a+b)x_0+18=0 \ \ \ (3).$

Tồn tại $x_0 \Leftrightarrow $ phương trình (3) phải có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta=(a+b)^2-144 \ge 0 \Leftrightarrow |a+b| \ge 12.$

Mặt khác $|a|+|b| \ge |a+b| \ge 12$. Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases} ab \ge 0&\\|a+b|=12. \end{cases}$

Nếu $a+b=12$ thì từ (3) suy ra $ 2x_0^2+12x_0+18=0$

$\Leftrightarrow x_0^2+6x_0+9=0$

$\Leftrightarrow (x_0+3)^2=0$

$\Leftrightarrow x_0=-3.$

Thay vào (1) và (2) suy ra $a=5, b=7$.

Nếu $a+b=-12$ thì từ (3) suy ra $2x_0^2-12x_0+18=0 \Leftrightarrow x_0=3.$

Thay vào (1) và (2) suy ra $a=-5, b=-7.$

Vậy GTNN của $|a|+|b|$ bằng 12 khi $(a,b)=(5,7)$ hoặc (-5,-7).

Ví dụ 8: Giả sử phương trình $ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm thuộc $[0,3]$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $A=\dfrac{18a^2-9ab+b^2}{9a^2-3ab+ac}.$

Giải

Vì phương trình đã cho có hai nghiệm nên $a \ne 0$.

Khi đó $A=\dfrac{18- 9 \dfrac{b}{a}+ \left( \dfrac{b}{a}\right) ^2}{9-3\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}}.$

Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Khi đó $\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}&\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}. \end{cases}$

Biểu thức cần tính trở thành

$A=\dfrac{18- 9 \dfrac{b}{a}+ \left( \dfrac{b}{a}\right) 2}{9-3\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}}=\dfrac{18+9(x_1+x_2)+(x_1+x_2)^2}{9+3(x_1+x_2)+x_1x_2}$

Giả sử $0 \le x_1 \le x_2 \le 3 \Rightarrow \begin{cases} x_1^2 \le x_1x_2&\\ x_2^2 \le 9 \end{cases} \Rightarrow (x_1+x_2)^2 \le x_1^2+x_2^2+2x_1x_2 \le 9+3x_1x_2.$

Suy ra $Q=\dfrac{18- 9 \dfrac{b}{a}+ (\dfrac{b}{a})^2}{9-3\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}}$

$=\dfrac{18+9(x_1+x_2)+(x_1+x_2)^2}{9+3(x_1+x_2)+x_1x_2} $

$\le \dfrac{18+9(x_1+x_2)+9+3x_1x_2}{9+3(x_1+x_2)+x_1x_2}=3.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x_1=x_2=3$ hoặc $x_1=0$ và $x_2=3.$

Nếu $x_1=x_2=3$ thì $\begin{cases} \dfrac{-b}{a}=6&\\ \dfrac{c}{a}=9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=-6a&\\ c=9a. \end{cases}$

Nếu $x_1=0, x_2=3$ thì $\begin{cases} -\dfrac{b}{a}=3&\\ \dfrac{c}{a}=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=-3a&\\ c=0. \end{cases}$

Ta có $$A-2=\dfrac{3(x_1+x_2)+x_1^2+x_2^2}{9+3(x_1+x_2)+x_1x_2} \ge 0 \Rightarrow A \ge 2.$$

Dấu “=” xảy ra khi $x_1=x_2=0 \Leftrightarrow b=c=0.$

Vậy GTLN của A là 3 và GTNN của A là 2.

2. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{(x+1)[m(mx+1)x+1-x]}{\sqrt{x}}=0$ có nghiệm.

Bài 2: Cho phương trình $(x^2-4(m+1)x-2m^2-1)(\sqrt{x}+x-6)=0$.

a) Giải phương trình khi $m=1$.

b) Chứng minh phương trình không thể có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 3: Cho phương trình $\sqrt{x}(x+1)[mx^2+2(m+2)x+m+3=0]$.

a) Giải phương trình khi $m=1$.

b) Chứng minh phương trình không thể có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 4: Cho phương trình $\dfrac{\sqrt{x}(mx^2-3(m+1)x+2m+3)}{x-2}=0$.

a) Giải phương trình khi $m=2$.

b) Tìm $m$ để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 5: Cho phương trình $x^4+2mx^2+4=0$.

a) Giải phương trình với $m=3$.

b) Tìm $m$ để phương trình có 0,1,2,3,4 nghiệm

c) Tìm $m$ để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thoả $x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=32$.

Bài 6: Cho phương trình $x^2-2(m+1)|x-2|-4x+m=0$.

a) Giải phương trình khi $m$=1.

b) Tìm $m$ để phương trình có 0,1,2,3,4 nghiệm.

Bài 7: Tìm $m$ để phương trình $x^3+2(m-1)x^2+(m^2-4m+1)x-2(m^2+1)=0$ có ba nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3.

Bài 8: Tìm $m$ để phương trình $x^3-2mx^2+(2m^2-1)x+m(1-m^2)=0$ có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Bài 9: Cho phương trình $x++2\sqrt{x-1}-m^2+6m-11=0.$

a) Giải phương trình khi $m=2$.

b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi $m$.

Bài 10: Cho phương trình $(x^2-mx-2m^2)\sqrt{x-3}=0$.

a) Giài phương trình khi $m=2$.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm thoả $x_1^2+2x_2^2=7m^2+2$.

c) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có không quá hai nghiệm phân biệt.

Bài 11: Cho phương trình $\dfrac{mx^2+(m-3)x+2m-1}{x+3}=0$.

a) Giải phương trình khi $m=-1$.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm thoả $21x_1+7m(2+x_2+x_2^2)=58.$

Hệ phương trình – Phương pháp đặt ẩn phụ – Hệ đối xứng loại một

Leave a reply

1. Hệ phương trình đối xứng loại một

Mục đích của đặt ẩn phụ là ta đưa hệ phương trình đã cho về một hệ phương trình đơn giản hơn đã biết cách giải, giải được hệ mới từ đó ta giải được hệ đã cho.

Trong phương pháp này, ứng dụng đầu tiên là áp dụng cho giải các hệ đối xứng loại một.

Hệ đối xứng loại một là hệ có dạng $\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=0 (1) \\ g(x,y)=0 (2) \end{array} \right.$ trong đó $f(y, x) = f(y,x)$ và $g(x,y) = g(y,x)$, hay nói cách khác các biểu thức $f(x,y), g(x,y)$ là các biểu thức đối xứng theo hai biến $x, y$. Để giải hệ, ta thường đặt $s = x+y, p= xy$, từ đó đưa hệ về theo ẩn $s, p$. Giải $s,p$ ta sẽ giải được $x,y$. Sau đây là một số ví dụ, các bạn theo dõi nhé.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x+y+xy=1 &\\ x^2+y^2+3xy=3. \end{cases} $

Giải

Đặt $S=x+y, P=xy$. Điều kiện $S^2 \ge 4P$.

Khi đó hệ trở thành $\begin{cases} S+P=1 &\\ S^2+P=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} P=1-S &\\ S^2-S-2=0.\end{cases}.$

Ta có $S^2-S-2=0 \Leftrightarrow S=-1$ hoặc $S=2.$

Nếu $S=-1$ thì $P=2$ (loại).

Nếu $S=2$ thì $P=-1$.

Khi đó $x,y $ là nghiệm của phương trình: $X^2-2X-1=0 \Leftrightarrow X=1\pm \sqrt{2}$.

Suy ra $(x,y)=(1+\sqrt{2};1-\sqrt{2})$ hoặc $(x,y)=(1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}).$

Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x,y)=(1+\sqrt{2};1-\sqrt{2})$ hoặc $(x,y)=(1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}).$

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\begin{cases}x-y+xy=1&\\ x^2+y^2=2 \end{cases}$

Giải

Đặt $u=x-y, v=xy$. Ta được hệ

$\begin{cases} u+v=1&\\ u^2+2v=2. \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} v=1-u&\\ u^2+2(1-u)=2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}v=1-u&\\ u^2-2u=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u=0&\\ v=1 \end{cases}$ hoặc  $\begin{cases} u=2&\\ v=-1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases} u=0&\\ v=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x-y=0&\\ xy=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\ y=1 \end{cases}$  hoặc $\begin{cases} x=1&\\ y=-1. \end{cases}$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)$ là  $(1,1), (-1,-1)$ hoặc $(1,-1)$.

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2(x+y)=3(\sqrt[3]{x^2y}+\sqrt[3]{xy^2})&\\ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=6 \end{cases} $

Giải

Đặt $S=\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}$, $P=\sqrt[3]{xy}$ điều kiện $S^2\ge 4P$

Ta có: $S^3 = x+y + 3\sqrt[3]{xy}\left( \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right) \Rightarrow x+y = S^3 – 3SP$

Khi đó hệ phương trình trở thành

$\begin{cases} 2(S^3-3SP)=3SP&\\ S=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} S=6&\\ P=8 \end{cases}$

Với $\begin{cases} S=6&\\ P=8\end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} =6&\\ \sqrt[3]{xy} =8 \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} x=64&\\ y=8 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x=8&\\ y=64 \end{cases}$

Vậy $(x;y) \in \left\{ (64;8); (8;64)\right\} $

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{26}{5}&\\ x^2-y^2=24 \end{cases}$ $(*)$

Giải

Điều kiện $xy \ne 0$.

$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y^2=\dfrac{26}{5}xy&\\ (x-y)(x+y)=24\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} (x+y)^2-2xy=\dfrac{26}{5}xy&\\ [(x+y)^2-4xy](x+y)^2=24^2. \end{cases}$.

Đặt $u=(x+y)^2, v=xy$ ta được $\begin{cases} u=\dfrac{36}{v}&\\ u^2-4uv=24^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} u=36&\\ v=5. \end{cases}$

Từ đó ta được hệ phương trình $\begin{cases} (x+y)^2=36&\\ xy=5. \end{cases}$.

Trường hợp $\begin{cases} x+y=6&\\ xy=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\ y=5 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x=5&\\ y=1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases}x+y=-6&\\ xy=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=-1&\\ y=-5 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x=-5&\\ y=-1. \end{cases}$

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x^2}{(y+1)^2}+\dfrac{y^2}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{2}&\\ 3xy=x+y+1. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $(x+1)(y+1) \ne 0$.

Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases} \left( \dfrac{x}{y+1}\right) ^2+\left( \dfrac{y}{x+1}\right) ^2=\dfrac{1}{2}&\\ \dfrac{xy}{(x+1)(y+1)}=\dfrac{1}{4} \end{cases}$.

Đặt $u=\dfrac{x}{y+1}, v=\dfrac{y}{x+1}$ ta được $\begin{cases}uv=\dfrac{1}{4}&\\ u^2+v^2=\dfrac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u+v=1&\\ uv=\dfrac{1}{4} \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} u+v=-1&\\ uv=-\dfrac{1}{4}. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases}u+v=1&\\ uv=\dfrac{1}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{x}{y+1}=\dfrac{1}{2}&\\  \dfrac{y}{x+1}=\dfrac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x-y=1&\\ 2y-x=1 \end{cases} \Leftrightarrow x=y=1.$

Trường hợp $\begin{cases}u+v=-1&\\ uv=\dfrac{1}{4} \end{cases}$ giải tương tự ta được $x=y=-\dfrac{1}{3}.$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ \left( -\dfrac{1}{3}; -\dfrac{1}{3}\right) , (1;1)\right\} .$

2. Bài tập

Bài 1:  Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x^2+xy+y^2=4&\\ x+xy+y=2 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x+y+xy=3&\\ x^2y+xy^2=2 \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^2+y^2+x+y=8&\\ xy+x+y=5 \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2+y^2=1&\\ x^3+y^3=1 \end{cases}$

e) $\begin{cases} x^2+y^2=1&\\ x^8+y^8=x^{10}+y^{10} \end{cases}$

f) $\begin{cases} 3xy-x^2-y^2=5&\\ 7x^2y^2-x^4-y^4=155 \end{cases}$

g) $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\frac{1}{y}+xy=\dfrac{7}{2}&\\ x+y=\dfrac{3}{2}xy \end{cases}$

h) $\begin{cases} (x-y)(x^2-y^2)=3&\\ (x+y)(x^2+y^2)=15 \end{cases}$

i) $\begin{cases} (x^2+y^2)xy=78&\\ x^4+y^4=97 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x^2+xy+y^2=1&\\ x-y-xy=3 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x-y+xy=1&\\ x^2+y^2=2 \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^3y^3+1=2y^3&\\ \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{x}{y^2}=2. \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2+y^2+x^2y^2=1+2xy&\\ (x-y)(1+xy)=1-xy \end{cases}$

e) $\begin{cases} \dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=\dfrac{26}{5}&\\ x^2-y^2=24 \end{cases}$

f) $\begin{cases} x^2+y^2+xy=3&\\ xy^3+x^3y=2 \end{cases}$

g) $\begin{cases} x+y+\dfrac{x}{y}=4&\\ x^2+xy-y=0 \end{cases}$

h) $\begin{cases} x-2y+\dfrac{x}{y}=6&\\ x^2-2xy-6y=0 \end{cases}$

i)  $\begin{cases} \dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=2&\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+x+y=4 \end{cases}$

j) $\begin{cases} x+y+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=4&\\ x+y+\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=4 \end{cases}$

k) $\begin{cases} x+y+x^2y^2=3xy&\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-xy=1 \end{cases}$

l) $\begin{cases} x(x+1)+\dfrac{1}{y}\left( \dfrac{1}{y}+1\right) =4&\\ x^3y^3+xy+x^2y^2+1=4y^3 \end{cases}$

m) $\begin{cases} (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{x^2y^2}\right) =49&\\ (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =5 \end{cases}$

3. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y^2=xy+x+y&\\ x^2-y^2=3. \end{cases}$

Giải

Đặt $u=x+y, v=x-y$ khi đó hệ trở thành

$ \begin{cases} \dfrac{u^2+v^2}{2}=\dfrac{u^2-v^2}{4}+u&\\ uv=3 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} u^2+3v^2-4u=0&\\ uv=3 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} u^2+\dfrac{27}{u^2}-4u=0&\\ v=\dfrac{3}{u} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u^4-4u^3+27=0 &\\ v=\dfrac{3}{u} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} (u-3)^2(u^2+2u+3)=0&\\ v=\dfrac{3}{u} \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} u=3&\\ v=1 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} x+y=3&\\ x-y=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=2&\\ y=1. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(2;1).$

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình $\begin{cases} y(x^2+1)=2x(y^2+1)&\\ (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{x^2y^2}\right) =24 \end{cases}$

Giải

Điều kiện $xy \ne 0$.

Đặt $u=x+\dfrac{1}{x}, v=y+\dfrac{1}{y}$ ta được hệ

$\begin{cases} \dfrac{u}{v}=2 &\\ u^2+v^2=20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u=2v&\\ 5v^2=20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u=\pm4 &\\ v=\pm 2. \end{cases}$.

Trường hợp $\begin{cases} u=4&\\ v=2 \end{cases}$ ta được

$\begin{cases} x+\dfrac{1}{x}=4&\\ y+\dfrac{1}{y}=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2-4x+1=0&\\ y^2-2x+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=2 \pm \sqrt{3}&\\ y=1. \end{cases}$

Trường hợp $ \begin{cases} u=-4&\\ v=-2 \end{cases}$ ta được

$\begin{cases} x+\dfrac{1}{x}=-4&\\ y+\dfrac{1}{y}=-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+4x+1=0&\\ y^2+2y+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x= -2 \pm \sqrt{3}&\\ y=-1. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (2 \pm \sqrt{3};1); (-2 \pm \sqrt{3};-1)\right\} $.

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^2=9&\\ (x^3+y^3)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^3=27. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $xy \ne 0.$

Đặt $u=x+\dfrac{1}{y}, v=y+\dfrac{1}{x}.$ Ta được hệ

$\begin{cases} u^2+v^2=9&\\ u^3+v^3=27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (\dfrac{u}{3})^2+(\dfrac{v}{3})^2=1&\\ (\dfrac{u}{3})^3+(\dfrac{v}{3})^3=1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{u}{3} =1 &\\ v=0 \end{cases} \ \text{hoặc} \ \begin{cases} v=0&\\ \dfrac{v}{3} =1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases} u=3&\\ v=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x+\dfrac{1}{y}=3&\\ y+\dfrac{1}{x}=0 \end{cases} \Leftrightarrow $ hệ vô nghiệm.

Trường hợp còn lại tương tự.

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

 

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x-y=1+\sqrt{x(1+y)}&\\ x^3-y^2=7. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $x(y+1) \ge 0.$

Dễ dàng kiểm tra $(0,y)$ và $(x,-1)$ không là nghiệm của hệ. Xét $x \ne 0$ và $y \ne -1.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta được

$2x=1+y+\sqrt{x(y+1)}  \Leftrightarrow 2\sqrt{\dfrac{x}{y+1}}=\sqrt{\dfrac{y+1}{x}}+1.$

Đặt $t=\sqrt{\dfrac{y+1}{x}}>0$ ta được

$ t^2+t-2=0 \Leftrightarrow t=1 \ \text{hoặc} \ t=-2 \text{(loại)}.$

Trường hợp $t=1 \Leftrightarrow y=x-1$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$ x^3-x^2+2x-8=0 \Leftrightarrow (x-2)(x^2+x+4)=0 \Leftrightarrow x=2.$

Với $x=2$ thì $y=x-1=1$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(2,1)$.

Ví dụ 10: Giải hệ phương trình $\begin{cases} (2x-y+2)(2x+y)+6x-3y=-6&\\ \sqrt{2x+1}+\sqrt{y-1}=4. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $x \ge -\dfrac{1}{2}, y \ge 1$.

Đặt $\begin{cases} u=\sqrt{2x+1}&\\ v=\sqrt{y-1}\end{cases}$. Hệ trở thành

$\begin{cases} (u^2-v^2)(u^2+v^2)+3(u^2-v^2-2)=-6&\\ u+v=4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 4(u-v)(u^2+v^2+3)=0&\\ u+v=4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u=v&\\ u+v=4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u=2&\\ v=2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{3}{2}&\\ y=5. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\begin{cases} x=\dfrac{3}{2}&\\ y=5. \end{cases}$

Ví dụ 11: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y+x^3y+xy^2+xy=-\dfrac{5}{4}&\\ x^4+y^2+xy(1+2x)=-\dfrac{5}{4} \end{cases}$

Giải

Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y+x^3y+xy^2+xy=-\dfrac{5}{4}&\\ (x^2+y)^2+xy=-\dfrac{5}{4.} \end{cases}$

Đặt $\begin{cases} u=x^2+y&\\ v=xy \end{cases}$. Hệ trở thành $\begin{cases} u+v+uv=-\dfrac{5}{4}&\\ u^2+v=-\dfrac{5}{4}. \end{cases}$

Trừ vế theo vế hai phương trình trên ta được

$u^2-uv-u=0  \Leftrightarrow u(u-v-1)=0 \Leftrightarrow u=0 \ \text{hoặc} \ u=1+v.$

Với $u=0 \Rightarrow v=-\dfrac{5}{4}$.

Với $u=v+1$ thay vào phương trình thứ hai của hệ trên ta được

$4u^2+4u+1=0 \Leftrightarrow u=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow v=-\dfrac{3}{2}.$

Trường hợp $\begin{cases} u=0&\\ v=-\dfrac{5}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} y=-x^2&\\ x^3=\dfrac{5}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=\sqrt[3]{\dfrac{5}{4}}&\\ y=-\sqrt[3]{\dfrac{25}{16}} \end{cases}$

Trường hợp  $\begin{cases} u=-\dfrac{1}{2}&\\ v=-\dfrac{3}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y=-\dfrac{1}{2}&\\ xy=-\dfrac{3}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x^2-\dfrac{3}{2x}=-\dfrac{1}{2}&\\ xy=-\dfrac{3}{2} \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\ y=-\dfrac{3}{2}. \end{cases}.$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ \left( 1; -\dfrac{3}{2}\right) ; \left( \sqrt[3]{\dfrac{5}{4}};-\sqrt[3]{\dfrac{25}{16}}\right) \right\} .$

4. Bài tập

Bài 1: Giải các hệ phương trình

a) $\begin{cases}\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5&\\ \sqrt{2x+y}+x-y=2. \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^2+y^2=\dfrac{1}{2}&\\ 2x^3+6y^2x=1. \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^3+3xy^2=-49&\\ x^2-8xy+y^2=8y-17 \end{cases}$

d) $\begin{cases} (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =4&\\ xy+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}=4. \end{cases}$

e) $\begin{cases} (x+y)(1+xy)=18xy&\\ (x^2+y^2)(1+x^2y^2)=208x^2y^2 \end{cases}$

f) $\begin{cases} (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =5&\\ xy+\dfrac{1}{xy}=4 \end{cases}$

g) $\begin{cases} (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =6&\\ (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^2=18 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $ \begin{cases}\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}=\dfrac{2}{3} &\\ (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =6 \end{cases}$

b) $\begin{cases} xy(2x+y-6) +y+2x=0&\\ (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^2=8 \end{cases}$

c) $\begin{cases}2x^2y+y^2x+2y+x=6xy&\\ xy+\dfrac{1}{xy} +\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=4 \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2y^2+y^4+1=3y^2&\\ xy^2+x=2y \end{cases}$

e) $\begin{cases} 2x+y+\dfrac{1}{x}=4&\\ x^2+xy+\dfrac{1}{x}=3. \end{cases}$

f) $\begin{cases} x^2y+y=2&\\ x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2y^2=3. \end{cases}$

g) $\begin{cases} x^2+y^2+x+y=4xy&\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{y}{x^2}+\dfrac{x}{y^2}=4 \end{cases}$

h) $\begin{cases} x^4+4x^2+y^2-4y=2&\\ x^2y+2x^2+6y=23 \end{cases}$

i) $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=9&\\ \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}\right) \left( 1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \left( 1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}\right) =18 \end{cases}$

j) $\begin{cases} x^2(y+z)^2=(3x^2+x+1)y^2z^2&\\ y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2&\\ z^2(x+y)^2=(5z^2+z+1)=x^2y^2 \end{cases}$

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Leave a reply

1. Kiến thức cần nhớ
Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình chứa ẩn ở mẫu là tìm các giá trị của ẩn để tất cả các mẫu của phương trình đều khác $0$.

Phương pháp: Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

    • Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
    • Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu.
    • Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
    • Bước 4: Xem xét các giá trị của ẩn vừa tìm được có thỏa mãn ĐKXĐ không và kết luận về nghiệm của phương trình.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a/ $\dfrac{4}{x-1}-\dfrac{5}{x-2}=-3$

b/ $3 x-\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x-1}{2-x}$

c/ $\dfrac{x+4}{x^{2}-3 x+2}+\dfrac{x+1}{x^{2}-4 x+3}=\dfrac{2 x+5}{x^{2}-4 x+3}$

d/ $\dfrac{2}{x^{2}-4}-\dfrac{1}{x(x-2)}+\dfrac{x-4}{x(x+2)}=0$

Giải

a/ $\dfrac{4}{x-1}-\dfrac{5}{x-2}=-3$

ĐKXĐ:
$\begin{cases}
x-1 \ne 0 \\
x-2 \ne 0
\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}
x \ne 1 \\
x \ne 2
\end{cases}$

$\dfrac{4}{x-1}-\dfrac{5}{x-2}=-3 $

$\Leftrightarrow \dfrac{4(x-2)-5(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{-3(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}$

$\Rightarrow 4x-8-5x+5 = -3(x^2-3x+2) $
$\Leftrightarrow -x-3+3(x^2-3x+2) = 0 $
$\Leftrightarrow 3x^2-10x+3 = 0 $
$\Leftrightarrow (3x-1)(x-3) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
3x-1=0 \\
x-3=0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x= \dfrac{1}{3} & \text{(nhận)} \\
x= 3 & \text{(nhận)}
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ \dfrac{1}{3}; 3 \right \} $

 

b/ $3 x-\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x-1}{2-x}$

ĐKXĐ:
$\begin{cases}
x-2 \ne 0 \\
2-x \ne 0
\end{cases}
\Leftrightarrow x \ne 0 $

$3 x-\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x-1}{2-x} $

$ \Leftrightarrow \dfrac{3x(x-2)-1}{x-2}=-\dfrac{x-1}{x-2} $

$ \Rightarrow 3x^2-6x-1 = -x +1 $
$\Leftrightarrow 3x^2-5x-2 = 0 $
$\Leftrightarrow (3x+1)(x-2) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
3x+1=0 \\
x-2=0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x= – \dfrac{1}{3} & \text{(nhận)} \\
x= 2 & \text{(loại)}
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ -\dfrac{1}{3}; \right \} $

 

c/ $\dfrac{x+4}{x^{2}-3 x+2}+\dfrac{x+1}{x^{2}-4 x+3}=\dfrac{2 x+5}{x^{2}-4 x+3} $

$\Leftrightarrow \dfrac{x+4}{(x-2)(x-1)}+\dfrac{x+1}{(x-3)(x-1)}=\dfrac{2x+5}{(x-3)(x-1)} $

ĐKXĐ:
$\begin{cases}
x-2 \ne 0 \\
x-1 \ne 0 \\
x-3 \ne 0
\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}
x \ne 2 \\
x \ne 1 \\
x \ne 3
\end{cases}$

$\Leftrightarrow \dfrac{x+4}{(x-2)(x-1)}+\dfrac{x+1}{(x-3)(x-1)}=\dfrac{2x+5}{(x-3)(x-1)} $

$\Leftrightarrow \dfrac{(x+4)(x-3)+(x+1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\dfrac{(2x+5)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)} $

$\Rightarrow (x^2+x-12)+(x^2-x-2) = (2x^2+x-10) $
$\Leftrightarrow (x^2+x-12)+(x^2-x-2) – (2x^2+x-10) = 0 $
$\Leftrightarrow -x – 4 = 0 $
$\Leftrightarrow x= -4 $ (nhận)
Vậy $ S = \left \{ -4 \right \} $

 

d/ $\dfrac{2}{x^{2}-4}-\dfrac{1}{x(x-2)}+\dfrac{x-4}{x(x+2)}=0 $

$\Leftrightarrow \dfrac{2}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{1}{x(x-2)}+\dfrac{x-4}{x(x+2)}=0 $

ĐKXĐ:
$\begin{cases}
x-2 \ne 0 \\
x+2 \ne 0 \\
x \ne 0
\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}
x \ne 2 \\
x \ne -2 \\
x \ne 0
\end{cases}$

$\Leftrightarrow \dfrac{2}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{1}{x(x-2)}+\dfrac{x-4}{x(x+2)}=0 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{2x-(x+2)+(x-4)(x-2)}{x(x-2)(x+2)} = 0 $

$ \Rightarrow 2x-x-2+x^2-4x-2x-8 = 0 $
$\Leftrightarrow x^2-5x-8 =0 $
$\Leftrightarrow (x-2)(x-3)= 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x-2 =0 \\
x-3 = 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x = 2 & \text{(loại)} \\
x= 3 & \text{(nhận)}
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ 3 \right \} $

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a/ $\dfrac{x^{2}+1}{x+1}+\dfrac{x^{2}+2}{x-2}=-2$

b/ $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2 x^{2}-5}{x^{3}-1}=\dfrac{4}{x^{2}+x+1}$

c/ $\dfrac{12 x+1}{6 x-2}-\dfrac{9 x-5}{3 x+1}=\dfrac{108 x-36 x^{2}-9}{4\left(9 x^{2}-1\right)}$

d/ $x+\dfrac{1}{x}=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$

Giải

a/ $\dfrac{x^{2}+1}{x+1}+\dfrac{x^{2}+2}{x-2}=-2$

ĐKXĐ:
$\begin{cases}
x+1 \ne 0 \\
x-2 \ne 0
\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}
x \ne -1 \\
x \ne 2
\end{cases}$

$\dfrac{x^{2}+1}{x+1}+\dfrac{x^{2}+2}{x-2}=-2$

$ \Leftrightarrow \dfrac{(x^2+1)(x-2)+(x^2+2)(x+1)}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{-2(x+1)(x-2)}{(x+1)(x-2)} $

$ \Rightarrow x^3-2x^2+x-2+x^3+x^2+2x+2 = -2(x^2-x-2) $
$\Leftrightarrow 2x^3+x^2+x-4 =0 $
$\Leftrightarrow 2x^3-2x^2+3x^2-3x+4x-4 = 0 $
$\Leftrightarrow 2x^2(x-1)+3x(x-1)+4(x-1) = 0 $
$\Leftrightarrow (x-1)(2x^2+3x+4) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x-1=0 \\
2x^2+3x +4 = 0
\end{array} \right. $

$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{ll}
x = 1 & \text{(nhận)} \\
2 \left (x+\dfrac{3}{4} \right)^2+\dfrac{23}{8} = 0 & \Rightarrow \text{ Phương trình vô nghiệm vì } 2 \left (x+\dfrac{3}{4} \right)^2+\dfrac{23}{8} \geqslant \dfrac{23}{8}
\end{array} \right. $

Vậy $ S = \left \{ 1 \right \} $

 

b/ $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2 x^{2}-5}{x^{3}-1}=\dfrac{4}{x^{2}+x+1} $

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2x^2-5}{(x-1)(x^2+x+1)}=\dfrac{4}{x^2+x+1}$

ĐKXĐ:
$\begin{cases}
x-1 \ne 0 \\
x^2+x+1 \ne 0
\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}
x \ne 1 \\
\left (x+\dfrac{1}{2} \right)^2 +\dfrac{3}{4} > 0
\end{cases}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2x^2-5}{(x-1)(x^2+x+1)}=\dfrac{4}{x^2+x+1}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{(x^2+x+1)+(2x^2-5)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\dfrac{4(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} $

$\Rightarrow (x^2+x+1)+(2x^2-5) = 4x-4 $
$\Leftrightarrow 3x^2-3x = 0 $
$\Leftrightarrow 3x(x-1) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x =0 \\
x-1 = 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x = 0 & \text{(nhận)} \\
x= 1 & \text{(loại)}
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ 0 \right \} $

 

c/ $\dfrac{12 x+1}{6 x-2}-\dfrac{9 x-5}{3 x+1}=\dfrac{108 x-36 x^{2}-9}{4\left(9 x^{2}-1\right)}$

$\Leftrightarrow \dfrac{12x+1}{2(3x-1)}-\dfrac{9x-5}{3x+1}=\dfrac{108x-36x^2-9}{4(3x+1)(3x-1)} $

ĐKXĐ:
$\begin{cases}
3x-1 \ne 0 \\
3x+1 \ne 0
\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}
x \ne \dfrac{1}{3} \\
x \ne -\dfrac{1}{3}
\end{cases}$

$\Leftrightarrow \dfrac{12x+1}{2(3x-1)}-\dfrac{9x-5}{3x+1}=\dfrac{108x-36x^2-9}{4(3x+1)(3x-1)} $

$ \Leftrightarrow \dfrac{2(3x+1)(12x+1)-4(3x-1)(9x-5)}{4(3x+1)(3x-1_)}=\dfrac{108x-36x^2-9}{4(3x+1)(3x-1)} $

$\Rightarrow 2(36x^2+15x+1)-4(27x^2-24x+5) = 108x-36x^2-9 $
$\Leftrightarrow 18x = 9 $
$\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} $ (nhận)
Vậy $ S = \left \{ \dfrac{1}{2} \right \} $

 

d/ $x+\dfrac{1}{x}=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$

ĐKXĐ: $ x \ne 0 $

$x+\dfrac{1}{x}=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{x^3+x}{x^2} = \dfrac{x^4+1}1{x^2} $

$\Rightarrow x^3+x = x^4 +1 $
$\Leftrightarrow -x^4 +x^3+x-1 = 0 $
$\Leftrightarrow -x^3(x-1)+(x-1) = 0 $
$\Leftrightarrow (x-1)(-x^3+1) = 0 $
$\Leftrightarrow (x-1)(1-x)(1+x+x^2) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x -1=0 \\
1-x = 0 \\
1+x+x^2 = 0
\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{ll}
x = 1 & \text{(nhận)} \\
\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4} = 0 & \Rightarrow \text{ Phương trình vô nghiệm vì } \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4} \geqslant \dfrac{3}{4}
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ 1 \right \} $

 Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a/ $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x}=\dfrac{25}{6}$

b/ $x^{2}+\dfrac{2 x}{x-1}=8$

c/ $\dfrac{2}{x-14}-\dfrac{5}{x-13}=\dfrac{2}{x-9}-\dfrac{5}{x-11}$

d/ $\dfrac{1}{x^{2}+5 x+6}+\dfrac{1}{x^{2}+7 x+12}+\dfrac{1}{x^{2}+9 x+20}+\dfrac{1}{x^{2}+11 x+30}=\dfrac{1}{8}$

Giải

a/ $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x}=\dfrac{25}{6}$

ĐKXĐ:
$\begin{cases}
x+1 \ne 0 \\
x+2 \ne 0 \\
x \ne 0
\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}
x \ne -1 \\
x \ne -2 \\
x \ne 0
\end{cases}$

$\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x}=\dfrac{25}{6}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{6x^2(x+2)+6x(x+1)^2+6(x+1)(x+2)^2}{6x(x+1)(x+2)}=\dfrac{25x(x+1)(x+2)}{6x(x+1)(x+2)} $

$\Rightarrow 6x^3+12x^2+6x(x^2+2x+1)+6(x+1)(x^2+4x+4) = 25x(x^2+3x+2)$

$\Leftrightarrow 6x^3+12x^2+6x^3+12x^2+6x+6x^3+24x^2+24x+6x^2+24x+24=25x^3+75x^2+50x $
$\Leftrightarrow 7x^3+21x^2-4x-24 = 0 $
$\Leftrightarrow 7x^3 -7x^2 +28x^2-28x+24x-24 = 0 $
$\Leftrightarrow 7x^2(x-1)+28x(x-1)+24(x-1) = 0 $
$\Leftrightarrow 7(x-1)\left(x^2+4x+\dfrac{24}{7}\right) = 0 $
$\Leftrightarrow 7(x-1) \left[(x+2)^2-\dfrac{4}{7}\right] = 0 $
$\Leftrightarrow 7(x-1) \left(x+2+\dfrac{2}{\sqrt{7}}\right) \left(x+2-\dfrac{2}{\sqrt{7}}\right) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x -1=0 \\
x+2+\dfrac{2}{\sqrt{7}}= 0 \\
x+2-\dfrac{2}{\sqrt{7}} =0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{ll}
x = 1 & \text{(nhận)} \\
x = -2-\dfrac{2}{\sqrt{7}} & \text{(nhận)} \\
x = -2+\dfrac{2}{\sqrt{7}} & \text{(nhận)}
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ 1; -2-\dfrac{2}{\sqrt{7}}; -2+\dfrac{2}{\sqrt{7}} \right \} $

 

b/ $x^{2}+\dfrac{2 x}{x-1}=8$

ĐKXĐ: $ x-1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1 $

$x^{2}+\dfrac{2 x}{x-1}=8$

$ \Leftrightarrow \dfrac{x^2(x-1)+2x}{x-1} = \dfrac{8(x-1)}{x-1} $

$ \Rightarrow x^3-x^2+2x = 8x-8 $
$\Leftrightarrow x^3-x^2-6x+8 = 0 $
$\Leftrightarrow x^3-2x^2+x^2-2x-4x+8 = 0 $
$\Leftrightarrow x^2(x-2)+x(x-2)-4(x-2) = 0 $
$\Leftrightarrow (x-2)(x^2+x-4)= 0 $
$\Leftrightarrow (x-2) \left[\left(x+\dfrac{1}{2} \right)^2 -\dfrac{17}{4} \right] = 0 $
$\Leftrightarrow (x-2) \left(x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{17}}{2} \right) \left(x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{17}}{2} \right) =0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x -2 =0 \\
x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{17}}{2} = 0 \\
x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{17}}{2} =0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{ll}
x = 2 & \text{(nhận)} \\
x= -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{17}}{2} & \text{(nhận)} \\
x= -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{17}}{2} & \text{(nhận)}
\end{array} \right. $

Vậy $ S = \left \{ 2; -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{17}}{2} ; -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{17}}{2} \right \} $

 

c/ $\dfrac{2}{x-14}-\dfrac{5}{x-13}=\dfrac{2}{x-9}-\dfrac{5}{x-11}$

ĐKXĐ:
$\begin{cases}
x-14 \ne 0 \\
x-13 \ne 0 \\
x-9 \ne 0 \\
x-11 \ne 0
\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}
x \ne 14 \\
x \ne 13 \\
x \ne 9 \\
x \ne 11
\end{cases}$

$\dfrac{2}{x-14}-\dfrac{5}{x-13}=\dfrac{2}{x-9}-\dfrac{5}{x-11}$

$\Leftrightarrow 2 \left(\dfrac{1}{x-14}-\dfrac{1}{x-9} \right)=5 \left(\dfrac{1}{x-13}-\dfrac{1}{x-11} \right) $

$\Leftrightarrow 2 \dfrac{(x-9)-(x-14)}{(x-14)(x-9)}=5 \dfrac{(x-11)-(x-13)}{(x-11)(x-13)} $

$\Leftrightarrow \dfrac{10}{(x-14)(x-9)} = \dfrac{10}{(x-13)(x-11)} $

$\Rightarrow (x-14)(x-9) = (x-13)(x-11) $
$\Leftrightarrow x^2 -23x +126 = x^2 -24x + 143 $
$\Leftrightarrow x = 17 $ (nhận)
Vậy $ S = \left \{ 17 \right \} $

 

d/ $\dfrac{1}{x^{2}+5 x+6}+\dfrac{1}{x^{2}+7 x+12}+\dfrac{1}{x^{2}+9 x+20}+\dfrac{1}{x^{2}+11 x+30}=\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{(x+2)(x+3)}+\dfrac{1}{(x+3)(x+4)}+\dfrac{1}{(x+4)(x+5)}+\dfrac{1}{(x+5)(x+6)} = \dfrac{1}{8} $

ĐKXĐ:
$\begin{cases}
x+2 \ne 0 \\
x+3 \ne 0 \\
x+4 \ne 0 \\
x+5 \ne 0 \\
x+6 \ne 0
\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}
x \ne -2 \\
x \ne -3 \\
x \ne -4 \\
x \ne -5 \\
x \ne -6
\end{cases}$

$\dfrac{1}{(x+2)(x+3)}+\dfrac{1}{(x+3)(x+4)}+\dfrac{1}{(x+4)(x+5)}+\dfrac{1}{(x+5)(x+6)} = \dfrac{1}{8} $

$\Leftrightarrow \dfrac{(x+4)+(x+2)}{(x+2)(x+3)(x+4)} + \dfrac{(x+6)+(x+4)}{(x+4)(x+5)(x+6)} = \dfrac{1}{8} $

$\Leftrightarrow \dfrac{2(x+3)}{(x+2)(x+3)(x+4)} + \dfrac{2(x+5)}{(x+4)(x+5)(x+6)} = \dfrac{1}{8} $

$ \Leftrightarrow \dfrac{2}{(x+2)(x+4)} +\dfrac{2}{(x+4)(x+6)} =\dfrac{1}{8} $

$ \Leftrightarrow \dfrac{2(x+6)+2(x+2)}{(x+2)(x+4)(x+6)} =\dfrac{1}{8} $

$\Leftrightarrow \dfrac{4(x+4)}{(x+2)(x+4)(x+6)} = \dfrac{1}{8} $

$ \leftrightarrow \dfrac{4}{(x+2)(x+6)} = \dfrac{1}{8} $

$ \Rightarrow (x+2)(x+6) = 32 $
$\Leftrightarrow x^2+8x-20 = 0 $
$\Leftrightarrow (x+10)(x-2) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x+10 =0 \\
x-2 = 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x = -10 & \text{(nhận)} \\
x= 2 & \text{(nhận)}
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{-10; 2 \right \} $

 

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a/ $\dfrac{3 x^{2}+7 x-10}{x}=0$

b/ $\dfrac{4 x-17}{2 x^{2}+1}=0$

c/ $\dfrac{x-6}{x-4}=\dfrac{x}{x-2}$

d/ $1+\dfrac{2 x-5}{x-2}-\dfrac{3 x-5}{x-1}=0$

e/ $\dfrac{x-3}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-4}=3 \dfrac{1}{5}$

f/ $\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-4}=-1$

g/ $\dfrac{3 x-2}{x+7}=\dfrac{6 x+1}{2 x-3}$

h/ $\dfrac{x+1}{x-2}-\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{2\left(x^{2}+2\right)}{x^{2}-4}$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a/ $\dfrac{2 x+1}{x-1}=\dfrac{5(x-1)}{x+1}$

b/ $\dfrac{x-1}{x+2}-\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{5 x-2}{4-x^{2}}$

c/ $\dfrac{x-2}{2+x}-\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{2(x-11)}{x^{2}-4}$

d/ $\frac{x-1}{x+1}-\dfrac{x^{2}+x-2}{x+1}=\dfrac{x+1}{x-1}-x-2$

e/ $\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{4}{x^{2}-1}$

f/ $\dfrac{3}{4(x-5)}+\dfrac{15}{50-2 x^{2}}=-\dfrac{7}{6(x+5)}$

g/ $\dfrac{8 x^{2}}{3\left(1-4 x^{2}\right)}=\dfrac{2 x}{6 x-3}-\dfrac{1+8 x}{4+8 x}$

h/ $\dfrac{13}{(x-3)(2 x+7)}+\dfrac{1}{2 x+7}=\dfrac{6}{x^{2}-9}$

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a/ $\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{16}{x^{2}-1}$

b/ $\dfrac{12}{x^{2}-4}-\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x+7}{x+2}=0$

c/ $\dfrac{12}{8+x^{3}}=1+\dfrac{1}{x+2}$

d/ $\dfrac{x+25}{2 x^{2}-50}-\dfrac{x+5}{x^{2}-5 x}=\dfrac{5-x}{2 x^{2}+10 x}$

e/ $\dfrac{4}{x^{2}+2 x-3}=\dfrac{2 x-5}{x+3}-\dfrac{2 x}{x-1}$

f/ $\dfrac{3}{x^{2}+x-2}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{-7}{x+2}$

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a/ $\dfrac{2}{-x^{2}+6 x-8}-\dfrac{x-1}{x-2}=\frac{x+3}{x-4}$

b/ $\dfrac{2}{x^{3}-x^{2}-x+1}=\dfrac{3}{1-x^{2}}-\dfrac{1}{x+1}$

c/ $\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{2}{x^{2}-2 x}=\dfrac{1}{x}$

d/ $\dfrac{5}{-x^{2}+5 x-6}+\dfrac{x+3}{2-x}=0$

e/ $\dfrac{x}{2 x+2}-\dfrac{2 x}{x^{2}-2 x-3}=\dfrac{x}{6-2 x}$

f/ $\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3 x^{2}}{x^{3}-1}=\dfrac{2 x}{x^{2}+x+1}$

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Leave a reply

1. Kiến thức cần nhớ

Phương pháp: Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

  • Bước 1: Lập phương trình
    • Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
    • Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
    • Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
  • Bước 2: Giải phương trình
  • Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào chưa thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

 

Một số lưu ý về chọn ẩn và điều kiện thích hợp của ẩn:

  • Thông thường thì bài toán hỏi về đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó.
  • Nếu $x$ biểu thị là một chữ số thì $ 0 \leqslant x \leqslant 9 $.
  • Nếu $x$ biểu thị tuổi, sản phẩm, người, thì $x$ mang giá trị nguyên dương.
  • Nếu $x$ biểu thị vận tốc của chuyển động thì $x>0$.

 

2. Ví dụ

2.1. Dạng toán chuyển động: $S = v \cdot t$

Loại toán này có rất nhiều dạng, tuy nhiên có thể phân ra một số dạng thường gặp như sau:

a) Toán có nhiều phương tiện tham gia trên nhiều tuyến đường.

Ví dụ 1: Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là $10$ km. Ca nô đi từ A đến B mất $3$ giờ $20$ phút, ô tô đi hết $2$ giờ. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là $17$ km. Tính vận tốc của ca nô và ô tô.

Giải

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc của ca nô. Điều kiện: $x>0$

Vận tốc của ô tô là: $x+17$ (km/h)

Quảng đường ca nô đi là: $x \left(3+\dfrac{20}{60} \right) = \dfrac{10x}{3}$ (km)

Quảng đường ô tô đi là: $2(x+17)$ (km)

Vì đường sông ngắn hơn đường bộ $10$ km nên ta có phương trình:

$2(x+17)-\dfrac{10x}{3}=10 $

$\Leftrightarrow -\dfrac{4}{3}x=-24 $

$\Leftrightarrow x = 18 $ (nhận)

Vậy

  • Vận tốc của ca nô là: $18$ km/h
  • Vận tốc của ô tô là: $(18+17) = 35$ km/h

Ví dụ 2: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau $33$ km với vận tốc xác định. Khi đi từ B đến A, người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước $29$ km, nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là $3$ km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là $1$ giờ $30$ phút.

Giải

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc lúc đi. Điều kiện: $x>0$

Vận tốc lúc về là: $x+3$ (km/h)

Vì thời gian đi nhiều hơn thời gian về là $1h30$ nên ta có phương trình:

$\dfrac{33+29}{x+3}-\dfrac{33}{x}=1+\dfrac{30}{60}$

$\Leftrightarrow \dfrac{62}{x+3}-\dfrac{33}{x}=\dfrac{3}{2} $

$\Leftrightarrow \dfrac{62\cdot 2x – 33 \cdot 2(x+3)}{2x(x+3)}=\dfrac{3x(x+3)}{2x(x+3)} $

$\Rightarrow 124x-66x-198=3x^2+9x $
$\Leftrightarrow 3x^2 -49x + 198 = 0 $
$\Leftrightarrow (3x-22)(x-9) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
3x-22=0\\
x-9=0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x = \dfrac{22}{3} & \text{(nhận)} \\
x= 9 & \text{(nhận)}
\end{array} \right. $

Vậy vận tốc lúc đi của người đi xe đạp là $\dfrac{22}{3}$ km/h hoặc là $9$ km/h.

 

b) Toán chuyển động thường

Với các bài toán chuyển động dưới nước, yêu cầu học sinh nhớ công thức:

  • $v_{\text{xuôi}} = v_{\text{thực}}+v_{\text{nước}} $
  •  $v_{\text{ngược}} = v_{\text{thực}}-v_{\text{nước}}

Ví dụ 3: Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài $80$ km, cả đi lẫn về mất $8$ giờ $20$ phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là $4$ km/h.

Giải

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc của tàu khi nước yên lặng. Điều kiện: $x>0$

Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: $x+4$ (km/h)

Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: $x-4$ (km/h)

Thời gian cả đi lẫn về là $8h20’=\dfrac{25}{3}$ nên ta có phương trình:

$\dfrac{80}{x+4}+\dfrac{80}{x-4} =\dfrac{25}{3} $

$\Leftrightarrow \dfrac{80\cdot 3(x-4)+80\cdot 3(x+4)}{3(x-4)(x+4)}=\dfrac{25(x^2-16)}{3(x+4)(x-4)} $

$\Rightarrow 240x -960+240x+960 = 25x^2-400 $
$\Leftrightarrow 25x^2-480x – 400 = 0  $
$\Leftrightarrow 5x^2-96x-80=0 $
$\Leftrightarrow (5x+4)(x-20) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
5x+4=0\\
x-20=0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x = -\dfrac{4}{5} & \text{(loại)} \\
x= 20 & \text{(nhận)}
\end{array} \right. $

Vậy vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là $20$ km/h.

Ví dụ 4: Lúc 7 giờ sáng, một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau $36$ km, rồi lặp tức trở về bến A lúc $11$ giờ $30$ phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng biết vận tốc dòng nước là $6$ km/h.

Giải

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc của thực của ca nô. Điều kiện: $x>0$

Vận tốc xuôi dòng của ca nô là: $x+6$ (km/h)

Vận tốc ngược dòng của ca nô là: $x-6$ (km/h)

Thời gian cả đi và về của ca nô là: $ 11h30′ – 7h = 4h30’=\dfrac{9}{2} $ (giờ) nên ta có phương trình:

$\dfrac{36}{x+6}+\dfrac{36}{x-6}=\dfrac{9}{2} $

$\Leftrightarrow \dfrac{36 \cdot 2(x-6)+36\cdot 2(x+6)}{2(x+6)(x-6)} =\dfrac{9(x^2-36)}{2(x^2-36)} $

$\Rightarrow 72x-432 +72x+432 = 9x^2-324 $
$\Leftrightarrow 9x^2 -144x-324 = 0 $
$\Leftrightarrow x^2-16x-36 = 0 $
$\Leftrightarrow (x-18)(x+2) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x -18=0 \\
x+2 = 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x = 18 & \text{(nhận)} \\
x= -2 & \text{(loại)}
\end{array} \right. $

Vậy: vận tốc ca nô khi xuôi dòng là $18+6 = 24$ km/h.

 

c) Toán chuyển động có nghỉ ngang đường.

Học sinh cần nhớ:

  • $ t_{\text{dự định}}= t_{\text{đi}}+t_{\text{nghỉ}} $
  • $ \text{Quãng đường dự định đi} = \text{Tổng quãng đường đi}$

Ví dụ 5: Một ô tô đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa với vận tốc $40$ km/h. Sau $2$ giờ nghỉ lại ở Thanh Hóa, ô tô lại từ Thanh Hóa về Hà Nội với vận tốc $30$ km/h. Tổng thời gian cả đi lẫn về là $10$ giờ $45$ phút kể cả thời gian nghỉ lại ở Thanh Hóa. Tính quãng đường Hà Nội – Thanh Hóa.

Giải

Gọi $x$ (km) là quãng đường Hà Nội – Thanh Hóa. Điều kiện: $x>0$

Tổng thời gian cả đi lẫn về, kể cả thời gian nghỉ là $10h45′ = \dfrac{43}{4} $ (giờ), nên ta có phương trình:

$\dfrac{x}{40}+\dfrac{x}{30} +2 =\dfrac{43}{4} $

$\Leftrightarrow x\left(\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{30}\right)=\dfrac{43}{4}-2 $

$\Leftrightarrow \dfrac{7}{120}x = \dfrac{35}{4} $

$\Leftrightarrow x = 150 $ (nhận)

Vậy quãng đường Hà Nội – Thanh Hóa là $150$ km.

Ví dụ 6: Một ô tô đi từ A đến B cách nhau $120$ km trong môt thời gian dự định. Sau khi đi được $1$ giờ thì ô tô bị chắn bởi xe lửa $10$ phút. Do đó để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc lên thêm $6$ km/h. Tính vận tốc của ô tô lúc đầu.

Giải

Gọi $x$ là vận tốc lúc đầu của ô tô. Điều kiện: $x>0$

Công thức lập phương trình: $t_{\text{đi}}+t_{\text{nghỉ}}=t_{\text{dự định}} $

$\Leftrightarrow 1+\dfrac{1}{6}+\dfrac{120-x}{x+6}=\dfrac{120}{x} $

$ \Leftrightarrow \dfrac{6x(x+6)+x(x+6)+6x (120-x)}{6x(x+6)}=\dfrac{120 \cdot 6(x+6)}{6x(x+6)} $

$\Rightarrow 6x^2+36x+x^2+6x+720x-6x^2 = 720x +4320 $
$\Leftrightarrow x^2+ 42x- 4320= 0  $
$\Leftrightarrow (x+90)(x-48) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x +90=0 \\
x-48 = 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lc}
x = -90 & \text{(loại)} \\
x= 48 & \text{(nhận)}
\end{array} \right. $

Vậy vận tốc của ô tô lúc đầu là $48$ km/h.

 

d/ Toán chuyển động ngược chiều

Học sinh cần nhớ:

  • Hai chuyển động đi để gặp nhau thì $S_{1} + S_{2} = S$
  • Hai chuyển động đi để gặp nhau: $t_{1} =t_{2}$ (không kể thời gian xuất phát sớm)

Ví dụ 7: Hai ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau $175$ km để gặp nhau. Xe 1 đi sớm hơn xe 2 là $1$ giờ $30$ phút với vận tốc $30$ km/h. Vận tốc xe 2 là $35$ km/h. Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau.

Giải

Gọi $x$ (giờ) là thời gian đi của xe 2. Điều kiện: $x>0$

Thời gian đi của xe 1 là: $ x+\dfrac{3}{2}$ (giờ)

Vì 2 bến cách nhau $175$km nên ta có phương trình:

$ 30 \left(x+\dfrac{3}{2} \right) +35x = 175 $
$\Leftrightarrow 65x = 130 $
$\Leftrightarrow x = 2 $ (nhận)

Vậy: Sau $2$ giờ xuất phát thì xe 2 gặp xe 1.

 

e/ Toán chuyển động cùng chiều

Học sinh cần nhớ:

  • Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau thì bằng nhau.
    \item Cùng khởi hành: $ t_{\text{c/đ chậm}} – t_{\text{c/đ nhanh}}= t_{\text{nghỉ}} $ (hoặc $t_{\text{đến sớm}}$)
  • Khởi hành trước sau:
    $\begin{cases}
    t_{\text{c/đ trước}} – t_{\text{c/đ sau}} = t_{\text{đi sau}} \\
    t_{\text{c/đ sau}}+t_{\text{đi sau}}+t_{\text{đến sớm}} = t_{\text{c/đ trước}}
    \end{cases}$

Ví dụ 8: Một tàu hỏa từ Hà Nội đi Tp.HCM. $1$ giờ $48$ phút sau, một tàu hỏa khác khởi hành từ Nam Định cũng đi Tp.HCM với vận tốc nhỏ hơn vận tốc tàu thứ nhất $5$ km/h. Hai tàu gặp nhau tại một nhà ga sau $4$ giờ $48$ phút kể từ khi tàu thứ nhất khởi hành. Tính vận tốc của mỗi tàu, biết rằng ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi Tp.HCM và cách ga Hà Nội $87$ km.

Giải

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc của tàu thứ nhất. Điều kiện: $x>0$

Vận tốc của tàu thứ hai là: $x-5$ (km/h)

Ta có: $1h48’=\dfrac{9}{5}$ (giờ)

Hai tàu gặp nhau sau $4h48’= \dfrac{24}{5}$ (giờ) nên ta có phương trình:

$ \dfrac{24}{5}x = 87 +(x-5)\left(\dfrac{24}{5}-\dfrac{9}{5}\right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{24}{5}=87+3(x-5) $

$\Leftrightarrow \dfrac{9}{5}x= 72$

$\Leftrightarrow x = 40 $ (nhận)

Vậy

  • Vận tốc của tàu thứ nhất là: $40$ km/h
  • Vận tốc của tàu thứ hai là: $(40-5) = 35$ km/h

Ví dụ 9: Hai xe ô tô khởi hành từ Lạng Sơn về Hà Nội, quãng đường dài $163$ km. Trong $43$ km đầu, hai xe có cùng vận tốc. Nhưng sau đó xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp $1,2$ lần vận tốc ban đầu, trong khi xe thứ hai vẫn duy trì vận tốc cũ. Do đó xe thứ nhất đến Hà Nội sớm hơn xe thứ hai $40$ phút. Tính vẫn tốc ban đầu của hai xe.

Giải

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc ban đầu của hai xe. Điều kiện: $x>0$

Thời gian đi của xe thứ nhất là: $\dfrac{43}{x}+\dfrac{163-43}{1,2x}$ (giờ)

Thời gian đi của xe thứ hai là: $ \dfrac{163}{x}$ (giờ)

Xe thứ nhất đến Hà Nội sớm hơn xe thứ hai $ 40′ = \dfrac{2}{3}$ (giờ) nên ta có phương trình:

$\dfrac{43}{x}+\dfrac{163-43}{1,2x}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{163}{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{43\cdot 3,6+120\cdot 3+2\cdot 1,2x}{3,6x}=\dfrac{163\cdot 3,6}{3,6x} $

$ \Rightarrow 514,8+2,4x = 586,8 $
$\Leftrightarrow 2,4x = 72 $
$\Leftrightarrow x = 30 $ (nhận)

Vậy vận tốc ban đầu của hai xe là $30$ km/h.

 

f/ Toán chuyển động một phần đoạn đường

Học sinh cần nhớ:

  • \ $t_{\text{dự định}} = t_{\text{đi}} + t_{\text{nghỉ}} + t_{\text{về sớm}}$
  •  $t_{\text{dự định}}=t_{\text{thực tế}} – t_{\text{đến muộn}} $
  •  $ t_{\text{c/đ trước}}-t_{\text{c/đ sau}}=t_{\text{đi sau}}+t_{\text{đến sớm}}$

Ví dụ 10: Một người dự định đi xe đạp từ nhà ra tỉnh với vận tốc trung bình $12$ km/h. Sau khi đi được $\frac{1}{3}$ quãng đường với vận tốc đó vì xe hỏng nên người đó chờ ô tô mất $20$ phút và đi ô tô với vận tốc $36$ km/h do vậy người đó đến sớm hơn dự định $1h40’$. Tính quãng đường từ nhà ra tỉnh?

Giải

Gọi $x$ (km) là quãng đường từ nhà ra tỉnh. Điều kiện: $x>0$

Ta có:
$\begin{cases}
40′ = \dfrac{2}{3} \text{ (giờ)} \
1h40′ = \dfrac{5}{3} \text{ (giờ)}
\end{cases} $

Công thức lập phương trình:

$t_{\text{dự định}}= t_{\text{đi}}+t_{\text{nghỉ}}+t_{\text{đến sớm}} $

$ \Leftrightarrow \dfrac{x}{12}= \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{x}{12} +\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{x}{36}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3} $

$\Leftrightarrow \dfrac{x}{12} = \dfrac{x}{36}+\dfrac{x}{54}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3} $

$ \Leftrightarrow x\left(\dfrac{1}{12}-\frac{1}{36}-\dfrac{1}{54}\right) = 2 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{27}x= 2 $

$ \Leftrightarrow x = 54 $ (nhận)

Vậy quãng đường từ nhà ra tỉnh là $54$ km.

Ví dụ 11: Một người dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc $50$ km/h. Sau khi đi được $\frac{2}{3}$ quãng đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ $10$ km trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B chậm $30$ phút so với dự định. Tính quãng đường AB.

Giải

Gọi $x$ (km) là quãng đường AB. Điều kiện: $x>0$

Ta có: $30′ = \dfrac{1}{2} $ (giờ)

Công thức lập phương trình:

$ t_{\text{dự định}}=t_{\text{thực tế}} – t_{\text{đến muộn}} $

$ \Leftrightarrow \dfrac{x}{50}= \dfrac{2x}{3\cdot50}+\dfrac{x}{3\cdot 40}-\dfrac{1}{2} $

$\Leftrightarrow \dfrac{x}{50}=\dfrac{x}{75}+\dfrac{x}{120}-\dfrac{1}{2} $

$\Leftrightarrow x \left(\dfrac{1}{50}-\dfrac{1}{75}-\dfrac{1}{120}\right) = -\dfrac{1}{2} $

$ \Leftrightarrow -\dfrac{1}{600}x = – \dfrac{1}{2} $

$ \Leftrightarrow x = 300 $ (nhận)

Vậy quãng đường từ tỉnh A đến tỉnh B là $300$ km.

 

2.2. Dạng toán năng suất

Ví dụ 12: Một xí nghiệp ký hợp đồng dệt một số tấm thảm len trong $20$ ngày. Do cải tiến kỹ thuật, năng xuất dệt của xí nghiệp đã tăng $20\%$. Bởi vậy, chỉ trong $18$ ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn thêm được $24$ tấm nữa. Tính số thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng.

Giải

Gọi $x$ là số tấm thảm len dệt được trong một ngày theo kế hoạch. Điều kiện: $x$ là số nguyên dương

Số tấm thảm dệt theo hợp đồng là: $20x$ (tấm thảm)

Số tấm thảm thực tế dệt được là: $18 \cdot 1,2x = \dfrac{108}{5}x$ (tấm thảm)

Theo đề bài, số tấm thảm dệt vượt chỉ tiêu là $24$ tấm thảm nên ta có phương trình:

$ 20x = \dfrac{108}{5}x – 24 $

$\Leftrightarrow -\dfrac{8}{5}x=-24 $

$ \Leftrightarrow x = 15$ (nhận)

Vậy số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng là $ 15 \cdot 20 = 300$ tấm.

Ví dụ 13: Một hợp tác xã dự định trung bình mỗi tuần đánh được $20$ tấn cá. Nhưng do vướt mức $6$ tấn/tuần nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm hơn $1$ tuần mà còn vượt 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã dự định?

Giải

Gọi $x$ (tuần) là số tuần hoàn thành kế hoạch dự định. Điều kiện: $x$ là số nguyên dương.

Số cá đánh được theo kế hoạch dự định là: $20x$ (tấn)

Kế hoạch được hoàn thành sớm hơn $1$ tuần và vượt $10$ tấn cá nên ta có phương trình:

$ 20x = 26(x-1)-10 $
$\Leftrightarrow -6x = -36 $
$\Leftrightarrow x = 6 $ (nhận)

Vậy số cá đánh được theo kế hoạch dự định là $ 20 \cdot 6 = 120$ tấn.

 

2.3. Dạng toán tìm hai số

Dạng toán tìm hai số có thể phân ra một số dạng thường gặp như sau:

a) Tìm hai số biết tổng hoặc hiệu, hoặc tỉ số của chúng

Ví dụ 14: Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số $11$ đơn vị. Nếu tăng tử số lên $3$ đơn vị và giảm mẫu số đi $4$ đơn vị thì được một phân số bằng $\dfrac{3}{4}$. Tìm phân số ban đầu.

Giải

Goi $x$ là tử số của phân số cần tìm. Điều kiện: $x$ nguyên dương.

Mẫu số của phân số cần tìm là: $x+11$

Phân số cần tìm có dạng như sau: $\dfrac{x}{x+11}$

Tăng tử số lên $3$ đơn vị và giảm mẫu số đi $4$ đơn vị thì được một phân số bằng $\dfrac{3}{4}$ nên ta có phương trình:

$\dfrac{x+3}{x+11-4}=\dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{x+3}{x+7}=\dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{4(x+3)}{4(x+7)} =\dfrac{3(x+7)}{4(x+7)} $

$ \Rightarrow 4x+12 = 3x+21 $

$\Leftrightarrow x = 9 $ (nhận)

Vậy phân số cần tìm là $\dfrac{9}{9+11} = \dfrac{9}{20} $

Ví dụ 15: Một số có $2$ chữ số. Biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp $3$ lần chữ số hàng chục. Nếu đổi chỗ $2$ chữ số cho nhau được chữ số mới lơn hơn chữ số cũ $54$ đơn vị. Tìm chữ số ban đầu?

Giải

Gọi $x$ là chữ số hàng đơn vị của số cần tìm.
Điều kiện:
$\begin{cases}
1 \leqslant x \leqslant 9 \
x \text{ là số nguyên dương}
\end{cases}$

Chữ số hàng chục là $\dfrac{x}{3} $

Chữ số cần tìm là $\dfrac{x}{3}\cdot 10 +x$

Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được chữ số mới lớn hơn chữ số cũ $54$ đơn vị nên ta có phương trình:

$\left (10x+\dfrac{x}{3}\right)-\left(\dfrac{x}{3}\cdot 10 + x \right) = 54 $

$\Leftrightarrow 6x = 54 $

$\Leftrightarrow x =9 $ (nhận)

Vậy số cần tìm là $\dfrac{9}{3}\cdot 10 +x = 39$.

Ví dụ 16: Hiệu hai số là $12$. Nếu chia số bé cho $7$ và số lớn cho $5$ thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là $4$ đơn vị. Tìm hai số ban đầu.

Giải

Gọi $x$ là số thứ nhất cần tìm.

Số thứ hai cần tìm là $x+12$

Nếu chia số bé cho $7$ và số lớn cho $5$ thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là $4$ đơn vị nên ta có phương trình:

$\dfrac{x}{7}-\dfrac{x+12}{5} = 4 $

$\Leftrightarrow x \left (\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{5} \right)=4+\dfrac{12}{5} $

$\Leftrightarrow -\dfrac{2}{35}x = \dfrac{32}{5} $

$\Leftrightarrow x= -112 $

Vậy hai số cần tìm là $-112$ và $ (-112+12) = -100 $.

b)Tìm số sách trong mỗi giá sách, tính tuổi cha và con, tìm số công nhân mỗi phân xưởng

Ví dụ 17: Hai thư viện có cả thảy $15000$ cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thư viện thứ hai $3000$ cuốn, thì số sách của hai thư viện là bằng nhau. Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện.

Giải

Gọi $x$ (cuốn) là số sách lúc đầu ở thư viện thứ nhất. Điều kiện: $x$ nguyên dương.

Số sách lúc đầu ở thư viện thứ hai là $15000-x$ (cuốn)

Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thư viện thứ hai $3000$ cuốn, thì số sách của hai thư viện là bằng nhau, nên ta có phương trình:

$x-3000 = (15000-x)+3000 $
$\Leftrightarrow 2x=21000 $
$\Leftrightarrow x =10500 $ (nhận)

Vậy số sách lúc đầu ở thư viện thứ nhất là $10500$ cuốn, ở thư viện thứ hai là $(15000-10500)=4500$ cuốn.

Ví dụ 18: Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ $3$ và $4$. Nay xí nghiệp 1 thêm $40$ công nhân, xí nghiệp 2 thêm $80$ công nhân. Do đó số công nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với $8$ và $11$. Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay.

Giải

Gọi $x$ (người) là số công nhân trước kia của xí nghiệp thứ nhất. Điều kiện: $x$ nguyên dương.

Số công nhân trước kia của xí nghiệp thứ hai là: $\dfrac{4}{3}x$ (người)

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp thứ nhất là: $x+40$ (người)

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp thứ hai là: $\dfrac{4}{3}x+x 80$ (người) \

Số công nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với $8$ và $11$ nên ta có phương trình:

$ \dfrac{x+40}{\dfrac{4}{3}x+80} = \dfrac{8}{11} $

$ \Rightarrow 11(x+40) = 8\left(\dfrac{4}{3}x+80 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}x = 200 $
$\Leftrightarrow x = 600 $ (nhận)

Vậy

  • Số công nhân hiện nay ở xí nghiệp thứ nhất là: $(200+40) = 240$ người
  • Số công nhân hiện nay ở xí nghiệp thứ hai là: $\left(\dfrac{4}{3} \cdot 600 +80 \right) = 880$ người

Ví dụ 19: Ông của Bình hơn Bình $58$ tuổi. Nếu cộng tuổi của bố Bình và hai lần tuổi của Bình thì bằng tuổi của ông và tổng số tuổi của ba người là $130$. Hãy tính tuổi của Bình.

Giải

Gọi $x$ là số tuổi của Bình. Điều kiện: $x$ nguyên dương.

Tuổi của ông Bình là: $x+58$ (tuổi)

Tuổi của bố Bình là: $(x+58)-2x = 58-x$ (tuổi)

Tổng số tuổi của ba người là $130$, nên ta có phương trình:

$x+(x+58)+(58-x) = 130 $
$\Leftrightarrow x = 14$ (nhận)

Vậy tuổi của Bình là 14 tuổi.

 

c)Tìm số dòng một trang sách, tìm số dãy ghế và số người trong một dãy

 

Ví dụ 20: Thùng thứ nhất chứa $60$ gói kẹo, thùng thứ hai chứa $80$ gói kẹo. Người ta lấy ra từ thùng thứ hai số gói kẹo nhiều gấp $3$ lần số gói kẹo lấy ra từ thùng thứ nhất. Hỏi có bao nhiêu gói kẹo được lấy ra từ thùng thứ nhất, biết rằng số gói kẹo còn lại trong thùng thứ nhất nhiều gấp $2$ lần số gói kẹo còn lại trong thùng thứ hai.

Giải

Gọi $x$ (gói) là số kẹo được lấy ta từ thùng thứ nhất. Điều kiện: $x$ nguyên dương.

Số kẹo được lấy ra từ thùng thứ hai là: $3x$ (gói)

Số gói kẹo trong thùng thứ nhất nhiều gấp $2$ lần số gói kẹo còn lại trong thùng thứ hai, nên ta có phương trình:

$ 60 -x = 2(80-3x) $
$\Leftrightarrow 5x=100 $
$\Leftrightarrow x =20 $ (nhận)

Vậy số kẹo được lấy ra từ thùng thứ nhất và thứ hai lần lượt là $20$ gói và $60$ gói.

Ví dụ 21: Một phòng họp có $100$ chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là $144$ người. Do đó, người ta phải kê thêm $2$ dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm $2$ người ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế có bao nhiêu chỗ ngồi?

Giải

Gọi $x$ là số dãy ghế lúc đầu. Điều kiện: $x$ nguyên dương.

Số dãy ghế lúc sau là: $x+2$ (dãy)

Số ghế ở mỗi dãy lúc đầu là: $\dfrac{100}{x}$ (ghế)

Số ghế ở mỗi dãy lúc đầu là: $\dfrac{144}{x+2} $ (ghế)

Mỗi dãy ghế phải thêm $2$ người ngồi nên ta có phương trình:

$\dfrac{144}{x+2}-\dfrac{100}{x} = 2 $

$\Leftrightarrow \dfrac{144x-100(x+2)}{x(x+2)} = \dfrac{2x(x+2)}{x(x+2)} $

$\Rightarrow 144x -100x – 200 = 2x^2 +4x $
$\Leftrightarrow 2x^2-40 x+200 = 0 $
$\Leftrightarrow 2(x-10)^2 = 0 $
$\Leftrightarrow x-10 = 0 $
$\Leftrightarrow x =10 $ (nhận)

Vậy Số dãy ghế trong phòng họp lúc đầu là $10$ dãy.

 

2.4. Dạng toán làm chung công việc

Ví dụ 22: Hai công nhân cùng làm chung công việc trong $12$ giờ thì xong. Nhưng chỉ làm được trong $4$ giờ, người kia đi làm việc khác, người thứ hai làm tiếp trong $10$ giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc?

Giải

Gọi $x$ (giờ) là thời gian người thứ nhất một mình hoàn thành công việc. Điều kiện: $x > 0$.

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được: $\dfrac{1}{x}$ (công việc)

Trong 1 giờ, cả hai người làm được: $\dfrac{1}{12} $ (công việc)

Trong 1 giờ, người thứ hai làm được: $\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{x} $ (công việc)

Hai người làm chung trong $4$ giờ, sau đó người thứ hai làm tiếp trong $10$ giờ nữa thì xong công việc, nên ta có phương trình:

$ 4 \cdot \dfrac{1}{x} + 14 \cdot \left(\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{x}\right) = 1 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{4}{x}+\dfrac{7}{6}-\dfrac{14}{x} = 1 $

$\Leftrightarrow \dfrac{10}{x}=-\dfrac{1}{6} $

$ \Rightarrow x =60 $ (nhận)

Vậy

  • Nếu làm một mình, người thứ nhất sẽ hoàn thành công việc trong $60$ giờ
  • Nếu làm một mình, người thứ hai sẽ hoàn thành công việc trong $\dfrac{1}{\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{60}}= 15$ giờ

Ví dụ 23: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn, sau $4\dfrac{4}{9}$ giờ thì đầy bể. Mỗi giờ lượng nước vòi 1 chảy được bằng $1\dfrac{1}{4}$ lượng nước vòi 2 chảy. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu sẽ đầy bề?

Giải

Gọi $x$ (giờ) là thời gian vòi 1 chảy riêng sẽ đầy bình. Điều kiện: $ x>0$

Trong một giờ, cả hai vòi chảy được: $\dfrac{1}{4\dfrac{4}{9}} = \dfrac{9}{40} $ (bể)

Trong một giờ, vòi 1 chảy được: $\dfrac{1}{x} $ (bể)

Trong một giờ, vòi 2 chảy được $\dfrac{1}{x} \cdot 1\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4x} $ (bể)

Ta có phương trình:

$\dfrac{1}{x} +\dfrac{5}{4x} = \dfrac{9}{40} $

$\Leftrightarrow \dfrac{9}{4x} = \dfrac{9}{40}$

$\Rightarrow x =10 $ (nhận)

Vậy

  • Nếu chảy một mình, vòi nước thứ nhất sẽ chảy đầy bể trong thời gian là $10$ giờ
  • Nếu chảy một mình, vòi nước thứ hai sẽ chảy đầy bể trong thời gian là $\dfrac{1}{\dfrac{5}{4\cdot 10}} = 8$ giờ

 

2.5. Các dạng toán thực tế

Ví dụ 24: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là $56$m. Nếu tăng chiều rộng thêm $4$m và giảm chiều dài đi $4$m thì diện tích tăng $8m^2$. Tính chiều dài và chiều rộng khu vườn?

Giải

Gọi $x$ (m) là chiều dài khu vườn hình chữ nhật. Điều kiện: $x > 0$

Chiều rộng hình chữ nhật là: $\dfrac{56}{2} – x = 28-x $

Nếu tăng chiều rộng thêm $4$m và giảm chiều dài đi $4$m thì diện tích tăng $8m^2$, nên ta có phương trình:

$x(28-x)-(x-4)(28-x+4) = 8 $
$\Leftrightarrow 28x-x^2 – (x-4)(32-x) = 8 $
$\Leftrightarrow 28x-x^2 -(-x^2+36x-128)=8 $
$\Leftrightarrow -8x = -120 $
$\Leftrightarrow x= 15 $ (nhận)

Vậy chiều dài của khu vườn hình chữ nhật là $15$ m và chiều rộng khu vườn hình chữ nhật là $(28-15) = 13$ m.

Ví dụ 25: Số học sinh khá của khối 8 bằng $\dfrac{5}{2}$ số học sinh giỏi. Nếu thêm số học sinh giỏi $10$ bạn và số học sinh khá giảm đi $6$ bạn, thì số học sinh khá gấp $2$ lần số học sinh giỏi. Tính số học sinh giỏi khối 8.

Giải

Gọi $x$ là số học sinh giỏi khối 8. Điều kiện: $x$ nguyên dương.

Số học sinh khá khối 8 là: $\dfrac{5}{2}x$ (học sinh)

Nếu thêm $6$ học sinh giỏi và giảm đi $6$ học sinh khá, thì số học sinh khá gấp $2$ lần số học sinh giỏi, nên ta có phương trình:

$ \dfrac{5}{2}x -6 = 2(x+10) $

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x= 26 $

$ \Leftrightarrow x= 52 $ (nhận)

Vậy số học sinh giỏi khối 8 là $52$ học sinh.

 

3. Bài tập tự luyện

Bài 1:  Xe máy đi từ $A$ đến $B$ dài $35$ km Lúc về bằng đường khác dài $42$ km với vận tốc hơn vận tốc lượt đi $6$ km/h. Thời gian về bằng $\dfrac{12}{13}$ thời gian đi. Tìm vận tốc lượt đi và về.

Bài 2: Hùng đi từ nhà sang Hà Nội bằng đoạn đường $48$ km. Lúc về đi tắt ngắn hơn $13$ km. Vận tốc lúc về bằng $\frac{5}{6}$ vận tốc lúc di. Thời gian về ít hơn thời gian đi là $30$ phút. Tính vận tốc lúc đi.

Bài 3: Một người đi xe đạp tu $A$ đến $B$ với vận tốc $12$ km/h. Lúc về người ấy đi với vận tốc $10$ km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi $45$ phút. Tính chiều dài quãng đường $A B .$

Bài 4: Xe hơi đi tù $A$ đến $B$ với vận tốc $50$ km/h rồi từ $\mathrm{B}$ về $\mathrm{A}$ với vận tốc giảm bớt $10$ km/h. Cả đi và về mất $5$ giờ $24$ phút. Tính quãng đường $AB$.

Bài 5: Một canô xuôi dòng hết $2$ giờ $30$ phút và ngược dòng sông đó hết $3$ giờ $15$ phút. Tìm vận tốc riêng của canô biết rằng một đám bèo thả trôi trên sông $15$ phút trôi được $750 $ m.

Bài 6: Một canô xuôi dòng hết $42$ km rồi ngược dòng trở lại $20$ km, mất tổng cộng 5 giờ. Biết vận tốc dòng chảy là $2$ km/h. Tìm vận tốc thực của canô.

Bài 7: Lúc $4$ giờ $30$ phút một máy bay cất cánh từ $A$ với vận tốc $500$ km/h. Đến $B$ máy bay nghỉ $30$ phút rồi quay về vị trí $A$ với vận tốc $400$ km/h và tới $A$ lúc $11$ giờ $45$ phút. Tính quãng đường $AB$.

Bài 8: Một người đi xe gắn máy khởi hành lúc $7$ giờ đi tù $A$ đến $B$ với vận tốc $40$ km/h. Đến $B$ nghỉ lại $1$ giờ, người đó quay trở lại $A$ với vận tốc $50$ km/h và đã đến $A$ lúc $17$ giờ. Tính quãng đường $AB$.

Bài 9: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh $A$ và $B$ cách nhau $150 \mathrm{~km}$, đi ngược chiều và gặp nhau sau hai giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm $15 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ thì bằng $2$ lần vận tốc ô tô $\mathrm{B}$.

Bài 10: Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm $A$ và $B$, cách nhau $130 \mathrm{~km}$ và gặp nhau sau $2$ giờ. Tính vận tốc mỗi xe, biết xe đi từ $B$ có vận tốc nhanh hơn xe đi từ $A$ là $5 \mathrm{km} / \mathrm{h}$.

Bài 11: Một xe hơi đi từ $A$ đến $C$, cùng lúc đó tại một địa điểm $B$ nằm trên đoạn đường $A C$ có một ô tô tải cũng đi đến C. Sau $5$ giờ 2 ô tô găp nhau tại $C$. Biết vận tốc ô tô tải bằng $3 / 5$ vận tốc xe hơi. Hỏi xe hơi đi từ $A$ đến $B$ mất bao lâu?

Bài 12: Quãng đường $A B$ dài $270 \mathrm{~km} $. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ $A$ tới $B$ . Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai $12 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ nên đến trước ô tô thứ hai $42$ phút. Tìm vận tốc mỗi xe?

Bài 13: Ô tô dự định đi từ $A$ đến $B$ với vận tốc $50 \mathrm{~km} ừ/h$. Đi được $20$ phút thì gặp đường xấu nên giảm tốc độ còn $40 \mathrm{~km}/h $, vì vậy đến $B$ trễ $18$ phút. Tính quãng đường $AB$.

Bài 14: Một ô tô dự định đi từ $A$ đến $B$ trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc $35 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ thì đến $\mathrm{B}$ trễ $2$ giờ. Nếu xe chạy với vận tốc $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ thì đến $\mathrm{B}$ sớm hơn $1$ giờ. Tính quãng đường $\mathrm{AB}$ và thời gian dự định lúc đầu.

Bài 15: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất phải làm $900$ sản phẩm. Do cải tiến kĩ thuật nên tổ I vượt mức $15 \%$ và tổ II vượt mức $10 \%$ so với kế hoạch nên hai tổ vượt mức được $110$ sản phẩm. Hỏi mỗi tổ đã sản xuất được bao nhiêu sản phẩm.

Bài 16: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được $720$ chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ một vượt mức $15 \%$, tổ hai vượt mức $12 \%$ nên sản xuất được $819$ chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.

Bài 17: Mua $36$ bông vừa hồng vừa cẩm chướng hết $10000$ đồng. Biết mỗi bông hồng giá $400$ đồng, mỗi bông cẩm chướng giá $200$ đồng. Tìm số bông mỗi loại.

Bài 18: Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục. Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu là $370$. Tìm số ban đầu.

Bài 19: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng $2$ lần chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là $7$ đơn vị. Nếu viết hai chũ số ấy theo thứ tự ngược lại thì thu được một số mới có hai chũ số. Số mới nhỏ hơn số cũ $274$ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chũr số là $10$. Nếu đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì ta thu được số mới nhỏ hơn số cũ là $18$ đơn vị. Tìm số có hai chữ số đó.

Bài 20: Có hai kho thóc. Kho thứ nhất hơn kho thứ hai $100$ tấn. Nếu chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ hai $60$ tấn thì số thóc ở kho thứ nhất bằng $\dfrac{12}{13}$ số thóc ở kho thứ hai. Tính số thóc mỗi kho lúc đầu.

Bài 21: Số lượng dầu ở thùng thứ nhất bằng $2$ lần số lượng dầu ở thùng thứ hai. Nếu bớt ở thùng thứ nhất ra $75$ lít và thêm vào thùng thứ hai $35$ lít thì lượng dầu trong hai thùng bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi thùng chứa bao nhiêu lít dầu?

Bài 22: Trong một trang sách, nếu bớt đi $4$ dòng và mỗi dòng bớt đi $3$ chữ thì cả trang bớt đi $136$ chữ, nếu tăng thêm $3$ dòng và mỗi dòng thêm $2$ chữ thì cả trang tăng thêm $109$ chữ. Tính số dòng trong trang và số chữ có trong mỗi dòng.

Bài 23: Hai đội công nhân cùng sửa một con đường hết $24$ ngày. Mỗi ngày, phần việc làm được của đội I bằng $\frac{3}{2}$ phần việc đội II làm được. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội sẽ sửa xong con đường trong bao lâu?

Bài 24: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau $\frac{24}{5}$ giờ đầy bể. Mỗi giờ, lượng nước vòi A chảy bằng $\frac{3}{2}$ lượng nước vòi $B$ chảy. Hỏi nếu mỗi vòi chẩy một mình thì sao bao lâu đầy bể?

Bài 25: Một vòi nước chảy vào bể không có nước. Cùng lúc đó có một vòi chảy từ bể ra ngoài. Mỗi giờ lượng nước chảy ra bằng $\frac{4}{5}$ lượng nước chảy vào. Sau 5 giờ nước trong bể đạt $\frac{1}{8}$ dung tích bể. Hỏi nếu bể không có nước và chỉ mở vòi chảy vào thì sau bao lâu bể đầy.

Bài 26: Bà Năm mua hai món hàng phải trả tổng cộng $480$ nghìn đồng, trong đó đã tính cả $40$ nghìn đồng là thuế giá trị gia tăng (VAT). Biết rằng thuế VAT đối với loại hàng thứ nhất là $10 \%$; thuế VAT đối với loại hàng thứ hai là $8 \% $. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì bà Năm phải trả mỗi loại hàng bao nhiêu tiền?

Bài 27: Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm $x$ nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là $a \%$ ( $a$ là một số cho trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vốn tháng sau.

a) Hãy viết biểu thức biểu thị:

    •  Số tiền lãi sau tháng thứ nhất.
    • Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất.
    • Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai.

b) Nếu lãi suất là $1,2 \%$ (tức là $a=1,2$ ) và sau $2$ tháng tổng số tiền lãi là 48,288 nghìn đồng, thì lúc đầu bà An đã gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm?

Bài 28: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng, nếu tăng mỗi cạnh thêm $5 \mathrm{~m}$ thì diện tích vườn tăng thêm $385 \mathrm{~m}^{2}$. Tính chiều dài và rộng của mảnh vườn.

Bài 29: Để khuyến khích tiết kiệm điện, giá điện sinh hoạt được tính theo kiểu lũy tiến, nghĩa là nếu người sử dụng càng nhiều điện thì giá mỗi số điện $(1 k W h)$ càng tăng lên theo các mức như sau:

  • Mức thứ nhất: Tính cho 100 số điện đầu tiên.
  • Mức thứ hai: Tính cho số điện thứ $101$ đến $150$, mỗi số đắt hơn $150$ nghìn đồng so với mức thứ nhất.
  • Mức thứ ba: Tính cho số điện thứ $151$ đến $200$, mỗi số đắt hơn $200$ nghìn đồng so với mức thứ hai.
  • $v.v \cdots$

Ngoài ra, người sử dụng còn phải trả thêm $10 \%$ thuế giá trị gia tăng (thuế VAT). Tháng vừa qua nhà thầy Thắng dùng hết $165$ số điện và phải trả $975000$ đồng. Hỏi mỗi số điện ở mức giá thứ nhất là bao nhiêu?

Bài 30: Một đội xe cần chuyên chở $120$ tấn hàng. Hôm làm việc có hai xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm $16$ tấn. Hỏi đội xe có bao nhiêu xe?

Phương trình đưa về bậc nhất – Phần 2

Leave a reply

1. Ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a/ $\dfrac{x+4}{4}-\dfrac{x-3}{6}=\dfrac{x}{3}$
b/ $\dfrac{x-1}{2}-\dfrac{1-x}{4}=1-\dfrac{2(x-1)}{3}$
c/ $\dfrac{3 x-2}{6}-5=\dfrac{3-2(x+7)}{4}$
d/ $\dfrac{4 x+1}{3}-\dfrac{2}{3}-\dfrac{x-3}{6}=x$

Giải

a/ $\dfrac{x+4}{4}-\dfrac{x-3}{6}=\dfrac{x}{3} $

$ \Leftrightarrow \dfrac{3(x+4)-2(x-3)}{12} =\dfrac{4 x}{12} $

$ \Leftrightarrow 3x+12-2x+6=4x $
$ \Leftrightarrow -3x = -18 $
$ \Leftrightarrow x = 6 $
Vậy $ S= \{ 6 \} $

 

b/ $\dfrac{x-1}{2}-\dfrac{1-x}{4}=1-\dfrac{2(x-1)}{3}$

$ \Leftrightarrow (x-1) \left (\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3} \right)=1 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{17}{12}(x-1)=1 $

$ \Leftrightarrow x-1 = \dfrac{12}{17} $

$ \Leftrightarrow x= \dfrac{12}{17}+1 = \dfrac{29}{17} $

Vậy $ S = \left \{ \dfrac{29}{17} \right \} $

 

c/ $\dfrac{3 x-2}{6}-5=\dfrac{3-2(x+7)}{4}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{2(3x-2)-60}{12}= \dfrac{3[3-2x(x+7)]}{12} $

$ \Leftrightarrow 6x-4 -60 = 9-6x-42 $
$ \Leftrightarrow 12x = 31 $
$\Leftrightarrow x= \dfrac{31}{12} $

Vậy $ S= \left \{ \dfrac{31}{12} \right \} $

 

d/ $\dfrac{4 x+1}{3}-\dfrac{2}{3}-\dfrac{x-3}{6}=x$

$ \Leftrightarrow \dfrac{2(4x+1)-2 \cdot 2- (x-3)}{6}= \dfrac{6x}{6} $

$ \Leftrightarrow 8x+2-4 -x +3 = 6x $
$ \Leftrightarrow x = -1 $
Vậy $ S = \{ -1 \} $

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a/ $\dfrac{x}{2000}+\dfrac{x+1}{2001}+\dfrac{x+2}{2002}+\dfrac{x+3}{2003}=4$

b/ $\dfrac{59-x}{41}+\dfrac{57-x}{43}+\dfrac{55-x}{45}+d\dfrac{53-x}{47}+\dfrac{51-x}{49}=-5$

c/ $\dfrac{x+14}{86}+\dfrac{x+15}{85}+\dfrac{x+16}{84}+\dfrac{x+17}{83}+\dfrac{x+116}{4}=0$

d/ $\dfrac{x-90}{10}+\dfrac{x-76}{12}+\dfrac{x-58}{14}+\dfrac{x-36}{16}+\dfrac{x-15}{17}=15$

Giải

a/ $\dfrac{x}{2000}+\dfrac{x+1}{2001}+\dfrac{x+2}{2002}+\dfrac{x+3}{2003}=4$

$ \Leftrightarrow \left (\dfrac{x}{2000}-1 \right) + \left (\dfrac{x+1}{2001}-1 \right) + \left (\dfrac{x+2}{2002}-1 \right)+\left (\dfrac{x+3}{2003}-1 \right) =0 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{x-2000}{2000}+\dfrac{x-2000}{2001} + \dfrac{x-2000}{2002}+\dfrac{x-2000}{2003} = 0 $

$ \Leftrightarrow (x-2000) \left(\dfrac{1}{2000}+\dfrac{1}{2001}+\dfrac{1}{2002}+\dfrac{1}{2003} \right) = 0 $

$ \Leftrightarrow x-2000 = 0 $
$\Leftrightarrow x = 2000$
Vậy $ S = \{ 2000 \} $

 

b/ $\dfrac{59-x}{41}+\dfrac{57-x}{43}+\dfrac{55-x}{45}+\dfrac{53-x}{47}+\dfrac{51-x}{49}=-5$

$ \Leftrightarrow \left(\dfrac{59-x}{41}+1 \right) +\left(\dfrac{57-x}{43}+1 \right)+\left(\dfrac{55-x}{45}+1 \right) +\left (\dfrac{53-x}{47}+1 \right) +\left(\dfrac{51-x}{49}+1 \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \dfrac{100-x}{41}+\dfrac{100-x}{43}+\dfrac{100-x}{45}+\dfrac{100-x}{47}+\dfrac{1900-x}{49} = 0 $

$\Leftrightarrow (100-x) \left(\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{43}+\dfrac{1}{45}+\dfrac{1}{47}+\dfrac{1}{49} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow 100 – x = 0 $
$\Leftrightarrow x = 100 $
Vậy $ S = \{ 100 \} $

c/ $\dfrac{x+14}{86}+\dfrac{x+15}{85}+\dfrac{x+16}{84}+\dfrac{x+17}{83}+\dfrac{x+116}{4}=0$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{x+14}{86}+1 \right)+\left(\dfrac{x+15}{85}+1 \right)+\left(\dfrac{x+16}{84}+1 \right)+\left(\dfrac{x+17}{83}+1 \right)+\left(\dfrac{x+116}{4}-4 \right)=0 $

$\Leftrightarrow \dfrac{x+100}{86}+\dfrac{x+100}{85}+\dfrac{x+100}{84}+\dfrac{x+100}{83}+\dfrac{x+100}{4} = 0 $

$\Leftrightarrow (x+100) \left(\dfrac{1}{86}+\dfrac{1}{85}+\dfrac{1}{84}+\dfrac{1}{83}+\dfrac{1}{4} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow (x+100) = 0 $
$\Leftrightarrow x = – 100 $
Vậy $ S = \{ -100 \} $

 

d/ $\dfrac{x-90}{10}+\dfrac{x-76}{12}+\dfrac{x-58}{14}+\dfrac{x-36}{16}+\dfrac{x-15}{17}=15$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{x-90}{10}-1 \right)+\left(\dfrac{x-76}{12}-2 \right)+\left(\dfrac{x-58}{14}-3 \right)+\left(\dfrac{x-36}{16}-4 \right)+\left(\dfrac{x-15}{17}-5 \right) =0 $

$\Leftrightarrow \dfrac{x-100}{10}+\dfrac{x-100}{12}+\dfrac{x-100}{14}+\dfrac{x-100}{16}+\dfrac{x-100}{17} = 0 $

$\Leftrightarrow (x-100) \left(\dfrac{1}{86}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{16}+ \dfrac{1}{17} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow (x-100) = 0 $
$\Leftrightarrow x = 100 $
Vậy $ S = \{ 100 \} $

2. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a/ $ \dfrac{x-2}{4}=\dfrac{5x+7}{8} $

b/ $ \dfrac{3x-2}{5}=\dfrac{4-7x}{3} $

c/ $ 1+ \dfrac{x}{9}= \dfrac{4}{3} $

d/ $ \dfrac{2x}{3}-\dfrac{2x-5}{6} = \dfrac{1}{2} $

e/ $ \dfrac{5x+2}{6}-x=1- \dfrac{x+2}{3} $

f/ $ 2x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2x+1}{4}-\dfrac{1-2x}{8} $

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a/ $ \dfrac{x+3}{4}+2x-1 = \dfrac{x}{2} -\dfrac{x+2}{3} $

b/ $ \dfrac{5x-1}{10}+\dfrac{2x+3}{6}=\dfrac{x-8}{15}-\dfrac{x}{30} $

c/ $ \dfrac{(3x-1)(x+1)}{2}-\dfrac{3x^2}{2} = \dfrac{x-2}{2} $

d/ $ \dfrac{2(x+5)}{3}+\dfrac{x+12}{2}-\dfrac{5(x-2)}{6}=\dfrac{x}{3}+11 $

e/ $ x-\dfrac{2x-5}{5}+\dfrac{x+8}{8}=7+\dfrac{x-1}{3} $

f/ $ \dfrac{5x+2}{6}-\dfrac{8x-1}{3}= \dfrac{4x+2}{5}-5 $

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:

a/ $ \dfrac{x-2}{3}+\dfrac{x-2}{4}-\dfrac{x-2}{5}-\dfrac{x-2}{6}=0 $

b/ $ \dfrac{x-1}{2}+\dfrac{x-1}{3}+\dfrac{x-3}{4}= 6 $

c/ $ \dfrac{x-10}{1994}+\dfrac{x-8}{1996}+\dfrac{x-6}{1998}+\dfrac{x-4}{2000}+\dfrac{x-2}{2002} = 5 $

d/ $ \dfrac{x-85}{15}+\dfrac{x-74}{13}+\dfrac{x-67}{11}+\dfrac{x-64}{9} = 10 $
e/ $ \dfrac{x-2002}{5}+\dfrac{x-1992}{10}+\dfrac{x-1982}{15}+\dfrac{x-1972}{20} + \dfrac{x-1962}{25}= 10 $

f/ $ \dfrac{x+50}{15}+\dfrac{x+31}{17}+\dfrac{x+8}{19}+ \dfrac{x-19}{21}+\dfrac{x-50}{23}= – 15 $

Phương trình đưa về bậc nhất – Phần 1

Leave a reply

1. Ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a/ $(x-1)^{2}=2\left(x^{2}-1\right)$
b/ $2(x+2)^{2}-x^{3}-8=0$
c/ $(x-1)\left(x^{2}+5 x-2\right)-x^{3}+1=0$
d/ $(x-3)^{2}=(2 x+7)^{2}$

Giải

a/ $ (x-1)^{2}=2\left(x^{2}-1\right) $
$\Leftrightarrow (x-1)^{2}-2\left(x^{2}-1\right) = 0 $
$\Leftrightarrow (x-1)[x-1-2(x+1)] = 0 $
$\Leftrightarrow (x-1)(-x-3) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x-1=0 \\
-x-3=0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x = 1 \\
x=-3
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \{ 1; -3 \} $

b/ $2(x+2)^{2}-x^{3}-8=0 $
$\Leftrightarrow 2(x+2)^2 -(x+2)(x^2-2x+4) = 0 $
$\Leftrightarrow (x+2)[2(x+2)-(x^2-2x+4)] = 0 $
$\Leftrightarrow (x+2)(-x^2+4x) = 0 $
$\Leftrightarrow -x(x+2)(x-4) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x = 0 \\
x+2=0 \\
x-4 = 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x = 0 \\
x=-2 \\
x=4
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \{ 0; -2; 4 \} $

c/ $(x-1)\left(x^{2}+5 x-2\right)-x^{3}+1=0 $
$ \Leftrightarrow (x-1)(x^2+5x-2)-(x-1)(x^2+x+1) = 0 $
$\Leftrightarrow (x-1)[x^2+5x-2-(x^2+x+1)]= 0 $
$\Leftrightarrow (x-1)(4x-3) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x-1=0 \\
4x-3 = 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x=1 \\
x=\dfrac{3}{4}
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ 1; \dfrac{3}{4} \right \} $

d/ $(x-3)^{2}=(2 x+7)^{2}$
$ \Leftrightarrow (x-3)^2 – (2x+7)^2 = 0 $
$\Leftrightarrow [(x-3)+(2x+7)][(x-3)-(2x+7)] = 0 $
$\Leftrightarrow (3x+4)(-x-10) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
3x+4 =0 \\
-x-10= 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x= \dfrac{-4}{3} \\
x= -10
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ \dfrac{-4}{3}; -10 \right \} $

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a/ $(2 x-5)^{2}-(x+2)^{2}=0$
b/ $\left(3 x^{2}+10 x-8\right)^{2}=\left(5 x^{2}-2 x+10\right)^{2}$
c/ $\left(x^{2}-2 x+1\right)-4=0$
d/ $\left(x^{2}-9\right)^{2}-9(x-3)^{2}=0$

Giải

a/ $(2 x-5)^{2}-(x+2)^{2}=0 $
$ \Leftrightarrow [(2x-5)+(x+2)][(2x-5)-(x+2)] = 0 $
$\Leftrightarrow (3x-3)(x-7) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
3x-3=0 \\
x-7=0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x=1 \\
x=7
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ 1; 7 \right \} $

b/ $\left(3 x^{2}+10 x-8\right)^{2}=\left(5 x^{2}-2 x+10\right)^{2}$
$\Leftrightarrow \left(3 x^{2}+10 x-8\right)^{2}-\left(5 x^{2}-2 x+10\right)^{2} = 0 $
$ \Leftrightarrow [(3x^2+10x-8)+(5x^2-2x+10)][(3x^2+10x-8)-(5x^2-2x+10)] = 0 $
$\Leftrightarrow (8x^2+8x+2)(-2x^2+12x-18)= 0 $
$\Leftrightarrow -4(2x+1)^2(x-3)^2 = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
2x+1 = 0 \\
x-3=0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x=\dfrac{-1}{2} \\
x=3
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ \dfrac{-1}{2}; 3 \right \} $

c/ $\left(x^{2}-2 x+1\right)-4=0 $
$ \Leftrightarrow (x-1)^2-2^2 = 0 $
$\Leftrightarrow (x-1+2)(x-1-2) = 0 $
$\Leftrightarrow (x+1)(x-3) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x+1 =0 \\
x-3=0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x=-1 \\
x=3
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ -1; 3 \right \} $

d/ $\left(x^{2}-9\right)^{2}-9(x-3)^{2}=0$
$\Leftrightarrow [(x^2-9)+3(x-3)][(x^2-9)-3(x-3)] = 0 $
$\Leftrightarrow (x^2+3x-18)(x^2-3x) =0 $
$\Leftrightarrow (x+6)(x-3)x(x-3) = 0 $
$\Leftrightarrow x(x+6)(x-3)^2 = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x=0 \\
x+6=0\\
x-3=0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x=0 \\
x=-6 \\
x=3
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ 0; -6; 3 \right \} $

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a/ $x^{2}-3 x+2=0$
b/ $x^{2}+7 x+12=0$
c/ $x^{2}-3 x-10=0$
d/ $x^{3}-3 x^{2}-3 x+9=0$

Giải

a/ $x^{2}-3 x+2=0$
$ \Leftrightarrow x^2-2x-x+2 =0$
$\Leftrightarrow x(x-2)-(x-2) = 0 $
$\Leftrightarrow (x-2)(x-1) = 0$
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x-2 = 0 \\
x-1=0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x=2 \\
x=1
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ 2; 1 \right \} $

b/ $x^{2}+7 x+12=0$
$\Leftrightarrow x^2+3x+4x+12 = 0 $
$\Leftrightarrow x(x+3)+4(x+3) = 0$
$\Leftrightarrow (x+3)(x+4) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x+3=0\\
x+4=0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x=-3 \\
x=-4
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ -3; -4 \right \} $

c/ $x^{2}-3 x-10=0$
$\Leftrightarrow x^2-5x+2x-10 = 0 $
$\Leftrightarrow x(x-5)+2(x-5)=0 $
$\Leftrightarrow (x-5)(x+2)=0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x-5=0\\
x+2=0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x=5 \\
x=-2
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ -2; 5 \right \} $

d/ $x^{3}-3 x^{2}-3 x+9=0$
$\Leftrightarrow x^2(x-3)-3(x-3) =0 $
$\Leftrightarrow (x-3)(x^2-3) = 0 $
$\Leftrightarrow (x-3)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x-3=0\\
x+\sqrt{3}=0\\
x-\sqrt{3}=0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x=3 \\
x=-\sqrt{3} \\
x=\sqrt{3}
\end{array} \right. $
Vậy $ S = \left \{ 3; -\sqrt{3}; \sqrt{3} \right \} $

2. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a/ $9(x-3)^{2}=4(x+2)^{2}$
b/ $\left(4 x^{2}-3 x-18\right)^{2}=\left(4 x^{2}+3 x\right)^{2}$
c/ $(2 x-1)^{2}=49$
d/ $(5 x-3)^{2}-(4 x-7)^{2}=0$
e/ $(2 x+7)^{2}=9(x+2)^{2}$
f/ $4(2 x+7)^{2}=9(x+3)^{2}$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a/ $3 x^{2}+2 x-1=0$
b/ $x^{2}-5 x+6=0$
c/ $x^{2}-3 x+2=0$
d/ $2 x^{2}-6 x+1=0$
e/ $4 x^{2}-12 x+5=0$
f/ $2 x^{2}+5 x+3=0$

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a/ $3 x^{2}+12 x-66=0$
b/ $9 x^{2}-30 x+25=0$
c/ $x^{2}+3 x-10=0$
d/ $3 x^{2}-7 x+1=0$
e/ $3 x^{2}-7 x+8=0$
f/ $4 x^{2}-12 x+9=0$

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a/ $2 x^{2}-6 x+1=0$
b/ $3 x^{2}+4 x-4=0$
c/ $x^{3}-8 x^{2}+21 x-18=0$
d/ $x^{4}+x^{2}+6 x-8=0$
e/ $ x^4 +2x^3-4x^2-5x-6 = 0 $
f/ $x^4-10x^3+15x^2-50x+24 = 0 $