Category Archives: Hình học 9

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Định lý. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ điểm đố qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ 1. Cho đường tròn $O$ bán kính $R$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $O$ với $B, C$ là các tiếp điểm. Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Chứng minh rằng :

Bốn điểm $O, A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn.
$OA$ là đường trung trực của $BC$.
$OH.OA = R^2$.

Gợi ý

1.Ta có $AB, AC$ là tiếp tuyến nên $OB \bot AB,OC \bot AC$. \\

Gọi $M$ là trung điểm của $OA$. Tam giác $OAB$ vuông tại $B$ có $BM$ là trung tuyến nên $BM = \dfrac{1}{2}OA = MA = MO$.
Tam giác $OCA$ vuông tại $C$ có $CM$ là trung tuyến nên $CM = \dfrac{1}{2}OA$.
Từ đó ta có $MA = MO = MB = MC$, do đó 4 điểm $O, A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn tâm $M$ đường kính $OA$.

2. Ta có $AB, AC$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ nên $AB = AC$, mặt khác $OB = OC = R$, suy ra $OA$ là đường trung trực của đoạn $BC$.

3. $OA$ là trung trực của $BC$ nên $OA \bot BC$ tại $H$.
Tam giác $OBA$ vuông tại $B$ có $BH$ là đường cao nên $OH\cdot OA = OB^2 = R^2$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$. $d_1$ là tiếp tuyến tại $A$ và $d_2$ là tiếp tuyến tại $B$. $C$ là một điểm thuộc đường tròn $(O)$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $d_1$ và $d_2$ lần lượt tại $D, E$.
1. Chứng minh $DE = AD + BE$.
2. Chứng minh $\angle DOE = 90^\circ$ và $CD\cdot CE = R^2$.

Gợi ý

Ta có tiếp tuyến tại $C$ và $A$ cắt nhau tại $D$ nên $DC = DA$.
Tiếp tuyến tại $C$ và tiếp tuyến tại $B$ cắt nhau tại $E$ nên $CE = BE$.
Suy ra $DE = CD + CE = AD + BD$.

Ta có $OD$ là phân giác của $\angle CAO$, $OE$ là phân giác của của $\angle BOC$ (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau).
Mà $\angle CAO$ và $\angle BOC$ là hai góc kề bù, suy ra $OD \bot OE$.
Ta có $OC \bot DE$ (t/c tiếp tuyến). Tam giác $DOE$ vuông tại $O$ có $OC$ là đường cao nên $CD.CE = OC^2 = R^2$.

Bài tập.

1.Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Dây cung $AB = R\sqrt{3}$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $P$. $OP$ cắt $AB$ tại $K$.

a. Chứng minh $OK \bot AB$. Tính $OK$.
b.Tính $PA, PB$. Chứng minh tam giác $PAB$ đều.

2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

a.Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn.
b.Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.
c.Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BH, CH$. Chứng minh rằng $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$.

3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính $AB = 2R$. Trên tiếp tuyến tại $A$ của nửa đường tròn lấy điểm $D$ sao cho $\angle ABD = 30^\circ$, $BD$ cắt $(O)$ tại $C$. Từ $D$ vẽ tiếp tuyến $DE$ đến $(O)$.

a.Tính $BD, AC$.
b. Tính $DE$.
c.Gọi $F$ là trung điểm của $AD$. Chứng minh $CF$ là tiếp tuyến của $(O)$.
d.Gọi $M$ là giao điểm của $OD$ và $AE$, chứng minh $FM \bot OE$.

4. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, $C$ là một điểm thuộc nửa đường tròn sao cho $AC = R$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $O$ qua $C$.

a. Chứng minh rằng $DA$ là tiếp tuyến của $(O)$.
b. Từ $D$ vẽ tiếp tuyến $DE$ đến $(O)$ ($E$ khác $A$). Tính $DE$ và chứng minh tam giác $ADE$ đều.
c. Tứ giác $OACE$ là hình gì? Tại sao?
d.$DB$ cắt $(O)$ tại $F$. Tính $DF$. Chứng minh $\angle DBE =\angle DEF$.

5. Cho đường tròn tâm $O$, điểm $E$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $EM, EN$ với đường tròn ($M, N$ là các tiếp điểm).
a.Chứng minh $OE$ vuông góc với $MN$.
b.Vẽ đường kính $NB$ của đường tròn $(O)$. Biết $OE \bot MN$ tại $H$. Chứng minh tứ giác $OBMH$ là hình thang.
c. Biết $OM = 2, OE = 4$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $EMN$.
d.Tính diện tích tam giác $EMN$.

Tiếp tuyến của đường tròn.

Leave a reply

Định nghĩa. Đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của $(O)$ nếu $a$ và $(O)$ có một điểm chung.

Phương pháp chứng minh tiếp tuyến. Để chứng minh đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ ta có thể làm theo các cách sau:

Cách 1: Vẽ $OH \bot $a$. Chứng minh $OH$ bằng bán kính.

Cách 2: Nếu $a$ và $(O)$ có điểm chung là $H$. Chứng minh $OH \bot a$.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn.
Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.
Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $HC$.

Gợi ý

1.Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $AH$.

Tứ giác $ADHE$ có $\angle A = \angle D = \angle E = 90^\circ$, suy ra $ADHE$ là hình chữ nhật, do đó $IA = ID = IE = IH$.

Vậy 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ (trung điểm AH).

2. Ta có $IH \bot BC$ và $H$ thuộc (I) nên $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.

3. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $HC$ thì $M$ là tâm đường tròn đường kính $HC$.

Xét tam giác $IEM$ và tam giác $IHM$ có: $IM$ chung, $IE = IH, ME = MH$, nên $\Delta IEM = \Delta IHM$ (c.c.c), suy ra $\angle IEM = \angle IHM$.

Ta có $DE \bot ME$ và $E$ thuộc $(M)$ nên $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(M)$.

Ví dụ 2. Cho hình thang vuông $ABCD$ có $\angle A = \angle D = 90^\circ, CD = AD =2a, AB = a$. Đường tròn tâm $I$ đường kính $CD$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $E$ khác $C$. Chứng minh $AE$ là tiếp tuyến của $(I)$.

Gợi ý

Tứ giác $ABCI$ có $AB ||IC$ và $AB = IC = a$ nên là hình bình hành, suy ra $IA||BC$.
Tam giác $DCE$ có $IA ||CE$ và $I$ là trung điểm $CD$ nên $IA$ qua trung điểm của $DE$.
Hơn nữa $CE \bot DE$, suy ra $IA \bot DE$. Do đó $IA$ là trung trực của $DE$.
Từ đó $\Delta IEA = \Delta IDA$, suy ra $\angle IEA = \angle IDA = 90^\circ$.
Vì $IE \bot EA$ và $E \in (I)$ nên $AE$ là tiếp tuyến của $ (I)$ .

Bài tập.

1.Cho tam giác $ABC$ nhọn, các đường cao $BE, CE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh $MD, ME$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$.

2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

a.Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn. \item Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.

b. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BH, CH$. Chứng minh rằng $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$.

3. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, trên tiếp tuyến tại $A$ và $B$ lấy các điểm $D, E$ sao cho $D, E$ cùng phía đối với $AB$ và $AD.BE = \dfrac{1}{4}AB^2$. Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Leave a reply

Định lý. Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $a$.

Nếu $d > R$, thì $a$ và $(O)$ không có điểm chung, ta nói $a$ ngoài $(O)$.
Nếu $d = R$, thì $a$ và $(O)$ có 1 điểm chung, ta nói $a$ là tiếp tuyến của $(O)$. Điểm chung của $a$ và $(O)$ được gọi là tiếp điểm.
Nếu $d < R$, thì $a$ và $(O)$ có 2 điểm chung, ta nói $a$ cắt $(O)$.

Ví dụ 1. Cho đường tròn $(O;6cm)$, điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OA = 10cm$. Một đường thẳng qua $A$ sao cho cắt $(O)$ tại $B, C$, với $B$ nằm gần $A$ hơn, biết khoảng cách từ $O$ đến $BC$ bằng $3cm$.

a. Tính $BC$.

b. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $O$. Tính $AD$ lấy 2 chữ số thập phân.

Gợi ý

a. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, khi đó ta có $OM \bot BC$.

Tam giác $OMC$ vuông tại $M$ nên:

$OM^2 + MC^2 = OC^2$
$MC^2 = OC^2 – OM^2$
$MC^2 = 6^2 – 3^2 $
$MC^2 = 27$
$MC = 3\sqrt{3}$
$BC = 2MC = 6\sqrt{3}$.

Tam giác $BCD$ có $OM$ là đường trung bình nên $DM = 2OM = 6$.
$CD$ là đường kính nên $\angle BDC = 90^\circ$.
Tam giác $OAM$ vuông tại $M$ nên $AM^2 = OA^2 – OM^2 = 100-9 = 91$, $AM = \sqrt{91}$
Suy ra $AB = AM – BM = \sqrt{91} – 3\sqrt{3} \approx 4.34$.
Tam giác $ABD$ vuông tại $B$ nên $AD = \sqrt{AB^2+BD^2} \approx 7.41$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn $(A;3cm)$ và điểm $B$ thuộc $(O)$. Trên tiếp tuyến tại $B$ của $(A)$ lấy $C$ sao cho $BC = 4cm$. Vẽ $BE \bot AC$ với $E$ thuộc $AC$

a. Tính $AC, BE$.

b. Trên tia đối tia $EB$ lấy $F$ sao cho $EF = 4cm$. Tính $CF$.

c. Xét vị trí tương đối của $CF$ và $(A)$.

Gợi ý

a. Ta có $BC$ là tiếp tuyến nên $AB \bot BC$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2$
$AC^2 = 25$
$AC = 5 cm$.

Ta có

$BE.AC = AB.BC$
$BE.5 = 3.4$
$BE = 2.4 cm$.

b. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, đường cao $BE$ nên

$CE.CA = CB^2$
$CE.5 = 4^2$
$CE = 3.2 cm$.
Tam giác $CEF$ vuông tại $E$ nên $CF^2 = CE^2 + EF^2 = 3.2^2 + 4^2 = 26.24$, suy ra $CF \approx 5.12$.

c. Vẽ $AG \bot CF$.

Ta có $CF.AG = FE.OC$
$OG =\dfrac{FE.OC}{CF} = \dfrac{4.5}{5.12} \approx = 3.9cm$
Ta có $OG > 3$ nên $CF$ nằm ngoài đường tròn $(A;3cm)$.

Đường kính và dây cung

Leave a reply

Định lý. Trong một đường tròn

Đường kính vuông góc với dây cung không đi qua tâm thì đi qua trung điểm dây cung đó.
Ngược lại, nếu đường kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung đó.

Ví dụ 1. Tìm $x$ độ dài dây cung trong các hình sau:

Gợi ý

a. Ta có $DC^2 + AD^2 = AC^2$, suy ra $CD^2 = 5^2-3^2 = 16$, $CD = 4$.

Khi đó $BC = 2CD = 8$.

b. Ta có $\cot EFH = \dfrac{FH}{EH}$, suy ra $FH = EH. \cot \angle EFH = 1. \cot 22.77^\circ = 2.32$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn đường kính $AB = 10cm$ tâm $O$. Trên đoạn $OA$ lấy điểm $D$ sao cho $OD = 3cm$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc $AB$ cắt $(O)$ tại $E, F$. Tính $\angle EBF$.

Gợi ý

Ta có $OE = OB = 5cm$.

$DE^2 + OD^2 = OE^2$, suy ra $DE^2 = OE^2 – OD^2 = 5^2 – 3^2 = 16$, $DE = 4$.

$\tan \angle EBD = \dfrac{DE}{BD} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$

$\angle EBD = 26.57^\circ$

Ta có $OD \bot EF$, suy ra $D$ là trung điểm $EF$. Do đó tam giác $EBF$ cân tại $B$.

Suy ra $\angle EBF = 2 \angle EBD = 52.14^\circ$

Bài tập.

1.Tính các yếu tố chưa biết trong các hình sau:

2. Tính $x$ trong hình sau:

3. Trong hình dưới đây cho $DF = 1cm, AE = 2\sqrt{3} cm$. Tính bán kính $x$ của đường tròn.

4. Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $I$ nằm trong đường tròn. $AB$ là dây cung thay đổi qua $I$.

a.Chứng minh rằng trung điểm $AB$ thuộc một đường cố định.

b.Chứng minh $IA.IB$ không đổi.

5. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và $I$ là một điểm nằm trong đường tròn. Hai dây cung $AB$ và $CD$ thay đổi vuông góc với nhau tại $I$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

a. Chứng minh $MN$ có độ dài không đổi.

b. Chứng minh $AB^2 + CD^2$ không đổi. Tìm giá trị lớn nhất diện tích tứ giác $ACBD$.

Sự xác định đường tròn

Leave a reply

Định lý. Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định được một đường tròn.

Chú ý. Tâm $O$ của đường tròn qua 3 đỉnh $A, B, C$ là giao điểm ba đường trung trực của các cạnh của tam giác $ABC$. Đường tròn qua 3 đỉnh của tam giác $ABC$ được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, tam giác $ABC$ được gọi là tam giác nội tiếp đường trò $(O)$.}

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 6, BC = 10$. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Gợi ý

Gọi $O$ là trung điểm cạnh $BC$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AO$ là trung tuyến nên $AO = \dfrac{1}{2}BC$.
Suy ra $AO = OB = OC$. Vậy $O$ là tâm đường tròn qua 3 đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$.
Ta có $BC = \sqrt{AB^2+AC^2}= \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. Suy ra $OA = \dfrac{1}{2} BC = 5$.
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông $ABC$ là trung điểm $O$ của $BC$ và bán kính bằng $OA =5$.

Ví dụ 2. Cho hình chữ nhận $ABCD$ có $\angle ABD = 60^\circ, AB = a$. Chứng minh 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn, xác định tâm và tính bán kính của đường tròn.

Gợi ý

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
$ABCD$ là hình chữ nhật nên $OA = OB = OC = OD$, đó đó 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$.
Ta có $\cos \angle ABD = \dfrac{AB}{AD}$, hay $\cos 60^\circ = \dfrac{a}{BD}$, suy ra $BD = 2a$. Từ đó $OB = a$.
Vậy bán kính đường tròn là $a$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC = 5cm, BC = 6cm$.

a. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.

b. Vẽ đường kính $BD$. Tính $AD$ và $CD$. \item Chứng minh $\angle ADB = \angle ABC$.

Gợi ý

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tam giác $ABC$ cân nên $AM$ là trung trực của $BC$.
Trung trực của $AB$ cắt $AB$ tại $E$ và cắt $AM$ tại $O$, thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Ta có $\Delta AEO \backsim \Delta AMB$, suy ra $AE\cdot AB = AO\cdot AM$, suy ra $AO = \dfrac{AE\cdot AB}{AM}$.
Mà $AE = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{5}{2}, AM = \sqrt{AB^2-BM^2}= 4$. Suy ra $AO = \dfrac{25}{8}$.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $\dfrac{25}{8}$.

Ta có $BD = 2OA = \dfrac{25}{4}$.
Tam giác $ABD$ có trung tuyến $AO$ bằng $\dfrac{1}{2}BD$ nên vuông tại $A$, suy ra $AD = \sqrt{BD^2-AB^2}= \dfrac{15}{4}$.
Ta có $CD = \sqrt{BD^2-BC^2}= \dfrac{\sqrt{481}}{4}$.
Ta có $\angle ABD + \angle ADB = 90^\circ$, $\angle ABC = \angle BAM = 90^\circ$.
Mà $\angle ABD = \angle BAM$ (do tam giác $OAB$ cân tại $O$), suy ra $\angle ABD = \angle ADB$.

Bài tập.

1. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác trong các trường hợp sau.

a. Tam giác đều cạnh a.

b. Tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 6 và 8.

c. Tam giác cân có các cạnh là 12, 12, 10.

2. Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AD$ với $AD = DC = 4, DB = 2$. Gọi $E, F$ chân đường vuông góc từ $D$ đến $AB, AC$.

a. Tính $AE, AF$. \item Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$.

b. Trung trực của $BC$ cắt $DF$ tại $O$. Chứng minh $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính $OA$.

3. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. $C$ là điểm thay đổi thuộc nửa đường tròn. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc vuông góc của $C$ trên $AB$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên các cạnh $AC, BC$. Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $CH$.

a. Tìm vị trí của $C$ để $DE$ đạt giá trị lớn nhất.

b. Gọi $F$ là giao điểm của $OC$ và $DE$. Chứng minh 4 điểm $I, H, O,F$ cùng thuộc một đường tròn.

c. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $DE$ và đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AB$ cắt nhau tại điểm $K$. Chứng minh $IK$ không đổi và 4 điểm $A, B, D, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $K$.

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Leave a reply

Để định nghĩa tỉ số của một góc nhọn $\alpha$ ta xét tam giác vuông $ABC$ tại $A$, trong đó $\angle ABC = \alpha$, khi đó $AB$ là cạnh kề $\alpha$, $AC$ là cạnh đối, và $BC$ là cạnh huyền. Ta định nghĩa các tỉ số lượng giác của $\alpha$ như sau:

Tỉ số lượng giác của góc nhọn.

$\sin \alpha = \dfrac{đối}{huyền}=\dfrac{đ}{h}$
$\cos \alpha = \dfrac{kề}{huyền}=\dfrac{k}{h}$
$\tan \alpha = \dfrac{đối}{kề} = \dfrac{đ}{k}$
$\cot \alpha = \dfrac{kề}{đối} = \dfrac{k}{đ}$

Tính chất

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\tan \alpha .\cot \alpha = 1$.
$0 < \sin \alpha < 1, 0 < \cos \alpha < 1$.

Bảng Tỉ số lượng giác của một số góc thường gặp

Ta sử dụng Tỉ số lượng giác của góc nhọn để dùng trong các nội dung sau:

Trong một tam giác vuông, nếu ta biết số đo một góc nhọn và độ dài một cạnh thì ta có thể tính được độ dài các cạnh còn lại. Nếu biết độ dài 2 cạnh ta có thể tính được số đo của các góc nhọn.
Dùng để tính toán, đo đạc độ dài, tính số đo góc
Dùng thiết lập các đẳng thức, bất đẳng thức hình học
Ứng dụng thực tế là đo chiều cao, chiều dài, …một số đối tượng thực tế.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3, AC = 4$. Tính $\sin \angle B, \cos B, \tan \angle B$.

Gợi ý

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$, suy ra $BC = 5$.

Khi đó $\sin \angle B = \dfrac{d}{h} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{5}$.

$\cos \angle B = \dfrac{k}{h} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5}$.

$\tan \angle B = \dfrac{đ}{k} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{3}$

Ví dụ 2. Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ có $A B=10, B C=12$.
a) Tính $\sin A B C$.
b) Vẽ đường cao $B K$. Tính $B K$ và $\sin B A C$.

Gợi ý

a) Gọi $M$ là trung điểm cạnh $B C$, ta có $A M \perp B C$.
$M B=\frac{1}{2} B C=6$, suy ra $A M=$ $\sqrt{A B^2-B M^2}=8$.
$$
\sin A B C=\frac{A M}{A B}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} \text {. }
$$
b) Vẽ đường cao $B K$.
Ta có $\triangle C K B \backsim \triangle C M A$, suy ra $\frac{B K}{A M}=$ $\frac{C B}{A C} \Rightarrow B K=\frac{A M \cdot B C}{A C}=\frac{48}{5}$.
Khi đó $\sin B A C=\frac{B K}{A B}=\frac{48}{50}=\frac{24}{25}$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A C=2, \sin A B C=\frac{1}{3}$. Tính $A B$.

Gợi ý

Ta có
$$
\sin A B C=\frac{A C}{B C}=\frac{1}{3} \text {, suy ra } B C=3 A C=6 .
$$

Từ đó $A B=\sqrt{B C^2-A C^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4 \sqrt{2}$.

Ví dụ 4. Cho tam giác $A B C$ có $A B=1, A C=\sqrt{3}, B C=2$. Tính số đo các góc của tam giác $A B C$.

Gợi ý

Ta có $A B^2+A C^2=1+3=4=B C^2$, suy tam giác $A B C$ vuông tại $A$, vậy $\angle B A C=90^{\circ}$.
Ta có $\sin A B C=\frac{A C}{B C}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\angle A B C=$ $60^{\circ}$.
Và $\angle A C B=180^{\circ}-\angle B A C-\angle A B C=30^{\circ}$.

Ví dụ 5. Cho tam giác $A B C$ có $\angle A B C=60^{\circ}, \angle A C B=45^{\circ}$, đường cao $A H=\sqrt{3}$.
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác $A B C$.
b) Dựng đường cao $B K$. Tính $B K$ và $\sin B A C$.

Gợi ý

a) $A B \cdot \sin A B C=A H \Leftrightarrow A B \sin 60^{\circ}=$ $\sqrt{3} \Leftrightarrow A B \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$, suy ra $A B=2$.
Tam giác $A H C$ vuông cân, suy ra $A C=$ $\sqrt{2} A H=\sqrt{6}$.
$B H=\sqrt{A B^2-A H^2}=1, C H=A H=$ $\sqrt{3}$.
Suy ra $B C=1+\sqrt{3}$.
b) Ta có $B K=B C \cdot \sin B C K=(1+$ $\sqrt{3}) \sin 45^{\circ}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.

Bài tập

Bài 1. Tìm độ dài cạnh và số đo các góc chưa biết của tam giác $A B C$ trong các trường hợp sau (làm tròn góc nếu cần).
a) $A B=15, \angle A=90^{\circ}, \angle C=60^{\circ}$.
b) $\angle A=90^{\circ}, A B=2, B C=4$.
c) $A B=3, B C=5, A C=4$.
d) $A B=12, \angle A=30^{\circ}, \angle B=60^{\circ}$.

Bài 2. Tìm độ dài cạnh và số đo các góc chưa biết của tam giác $A B C$ trong các trường hợp sau:
a) $\angle A=90^{\circ}, \tan B=\frac{1}{2}, A C=5$.
b) $\angle A=90^{\circ}, \cos B=\frac{2}{3}, A B=3$.
c) $\angle A=75^{\circ}, \angle B=60^{\circ}, B C=1+\sqrt{3}$.

Bài 3. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ và $B C=2 A B$. Tính số đo các góc của tam giác $A B C$.

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ thỏa $\frac{A B}{1}=\frac{B C}{2}=\frac{A C}{\sqrt{3}} $.

Tính số đo các góc của tam giác $ A B C$.

Bài 5. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, đường cao $A H$. Biết $\angle A B C=60^{\circ}$ và $A H=\sqrt{3}$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $A B C$.

Hệ thức trong tam giác vuông – Bài 1

Leave a reply

I. Lý thuyết và ví dụ

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.

Đặt $BC = a, AC=b, AB =c, AH=h, BH=c’, CH=b’$. Khi đó:

$a.h =bc = 2S_{ABC}$
$c^2 = c’.a$
$b^2 = b’.a$
$h^2 = b’.c’$
$\dfrac{1}{h^2} = \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c}$

Dạng 1. Các bài tính toán cơ bản

Ví dụ 1. Tính $a, b’,c’,h$ trong hình sau:

Gợi ý

Tam giác vuông có cạnh huyền là $a$ nên:

$a^2 = 6^2 + 8^2 =100$
$a = 10 cm$ (vì $a > 0$)

Ta có

$ah = bc$
$10h = 6.8$
$h = \dfrac{24}{5} (cm) $.

Ta có

$6^2 = c’.a$
$36 = c’.10$
$c’ = \dfrac{18}{5}(cm)$

Suy ra $b’ = a – c’ = 10 – \dfrac{18}{5} = \dfrac{32}{5} (cm)$

Ví dụ 2. Tính $b, b’,c$ trong hình sau:

Gợi ý

Tam giác $ABC$ có $h$ là độ dài đường cao, hình chiếu của $AB$ là $4$ nên:

$h^2 = 4.b$
$10^2 = 4b \Rightarrow b = 25 cm$.

Khi đó $a = b’+c’ = 4+ 25 = 29$.

$b^2 = b’.a$
$b^2 = 25.29$
$b^2 = 725$
$b = \sqrt{725} = 5\sqrt{29}$ (cm)(vì $b > 0$)

Và

$b.c = ha$
$5\sqrt{29}c = 10.29$
$c = 2\sqrt{29}$ (cm)

Ví dụ 3. Tính $c, h, b’$ trong hình sau:

Gợi ý

Với bài toán này, các độ dài cho trước có vẻ rời rạc và chưa tính được độ dài nào được ngay.

Nhưng ta có thể thấy $h, b’$ có liên hệ với $c’ = 4cm, b = 10cm$. Từ đó nghĩ đến cách lập hệ ẩn $h, b’$.

Giải

Ta có

$h^2 = 4b’$ (1)
$h^2 + b’^2 = (\sqrt{45})^2=45$ (2)
Từ (1), (2) suy ra $b’^2 = 45 – 4b’$
$b’^2+4b’-45 = 0$
$(b’-5)(b’+9) = 0$
$b’ = 9$ (cm) (do $b’ > 0$)

Khi đó $h^2 = 4.5= 20$ hay $h = \sqrt{20}$ (cm).

Và $c^2 = 4^2 + (\sqrt{20})^2 = 36$, $c = 6$ (cm).

III. Bài tập

1.Tính các yếu tố còn lại trong hình đã cho.

Gợi ý

a. Tam giác vuông có $h$ là chiều cao và 2 cạnh góc vuông có độ dài là: $2cm$ và $4cm$ ta có:
$\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}}$ (Hệ thức lượng)
$\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{5}{{16}}$
$\dfrac{1}{h} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}$
$h = \dfrac{{4\sqrt 5 }}{5} (cm)$
Ta có: $h.\left( {c’ + b’} \right) = 4.2$
$\dfrac{{4\sqrt 5 }}{5}\left( {b’ + c’} \right) = 8$
$\left( {b’ + c’} \right) = 2\sqrt 5 (cm) $
Và ${4^2} = c’.\left( {b’ + c’} \right)$
$16 = c’.2\sqrt 5 $
$c’ = \dfrac{{8\sqrt 5 }}{5} (cm)$
Và ${2^2} = b’.\left( {b’ + c’} \right)$
$4 = b’.2\sqrt 5 $
$b’ = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5} (cm) $

b. Tam giác vuông có đường cao $h$ và hai cạnh góc vuông lần lượt là $c$ và $b$
Ta có: ${h^2} = 4.9$
${h^2} = 36$
$h = 6 (cm)$
Và ${c^2} = 4.\left( {4 + 9} \right)$
${c^2} = 52$
$c = 2\sqrt {13} (cm) $
${b^2} = 9.\left( {4 + 9} \right)$
${b^2} = 117$
$b = 3\sqrt {13} (cm) $
c.Tam giác vuông có đường cao có độ dài $4cm$ và hai cạnh hóc vuông có độ dài $5cm$ và $c$
Ta có: $\dfrac{1}{{{4^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{1}{{{5^2}}}$
$c = \dfrac{{20}}{3} (cm)$
Và $5.\dfrac{{20}}{3} = 4.(b’ + c’)$
$(b’ + c’) = \dfrac{{25}}{3} (cm) $Ta có: ${5^2} = b’.\left( {b’ + c’} \right)$
$b’ = 3(cm)$
Và ${c^2} = c’\left( {b’ + c’} \right)$
$c’ = \dfrac{{16}}{3}$
Hay $c’ = \dfrac{{25}}{3} – b’ = \dfrac{{25}}{3} – 3 = \dfrac{{16}}{3}$

2. Tính $x, y$ trong hình dưới đây:

Gợi ý

Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông có độ dài $3cm$
Suy ra cạnh huyền của tam giác đó có độ dài là: $3\sqrt 2 (cm) $ (Pytago)
Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có độ dài lần lượt là $\sqrt 2 cm;3\sqrt 2 cm$
Khi đó: ${\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2}$
$ \Rightarrow x + y = 2\sqrt 5 (cm) $
Ta có: ${\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = y.\left( {x + y} \right)$
$y = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$
Và $x = 2\sqrt 5 – \dfrac{{\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{9\sqrt 5 }}{5}$

3. Tìm $x, y$ trong hình cho dưới đây.

Gợi ý

Ta có: ${3^2} = x.\left( {x + \frac{{16}}{5}} \right)$
$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \dfrac{9}{5}(cm)(n)}\\
{x = – 5(cm)(l)}
\end{array}} \right.$
Và 4{y^2} = \dfrac{{16}}{5}\left( {\dfrac{{16}}{5} + x} \right)$
$\Rightarrow y = 4(cm)$

4.Tìm độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng $25cm$ và đường cao ứng với cạnh huyền bằng $12 cm$.

Gợi ý

Gọi hình chiếu hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là $x, y$. Ta có $x + y = 25, xy = 12^2 = 144$. Giải ra được $x = 9, y = 16$.
Suy ra độ dài 2 cạnh là $15, 20 (cm)$.

5. Tìm độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông biết đường cao bằng $4cm$ và độ dài trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng $6cm$.

Gợi ý

Cạnh huyền là $12$. Làm tương tự bài 4.

6. Tính $x, y$ trong hình sau:

Gợi ý

Xét hình chữ nhật có độ dài 2 cạnh lần lượt là $3cm$ và $4cm$
Khi đó đường chéo của hình chữ nhật có độ dài là $5cm$
Xét tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông là $5cm$, $ycm$ và có chiều cao là $3cm$ ta có:
$\dfrac{1}{{{3^2}}} = \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{5^2}}}$
$ \Rightarrow y = \dfrac{{15}}{4}(cm)$
Tương tự: $x = \dfrac{{20}}{3}(cm)$

7. Tìm $x, y$ là cạnh của hình chữ nhật biết $MN = 1$.

Gợi ý

Gọi hình chữ nhật đó là $ABCD$ với $N$ thuộc cạnh $CD$.
Ta có $AB // CD $
$ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{DN}} = \dfrac{{AM}}{{MN}}$ (Ta- lét)
$\Rightarrow \dfrac{y}{{\dfrac{y}{2}}} = \dfrac{{AM}}{1}$
$\Rightarrow AM = 2$
$ \Rightarrow AN = AM + MN = 2 + 1 = 3$
Tam giác $ADN$ vuông tại $D$ ta có:
$D{N^2} = MN.AN$
$ \Rightarrow DN = \sqrt 3 $
Và $A{D^2} = AM.AN$
$AD = \sqrt 6 $
Vậy $ x = \sqrt 6$ và $ y = 2\sqrt 3$

8. (*) Cho tam giác $ABC$ vuông có đường cao $AH$, trung tuyến $BM$ và phân giác $CD$ đồng quy.

- (a). Chứng minh $BH = AC$.
- (b). Tính $AB, AC$ biết $BC = 10cm$.

Gợi ý

a) Gọi O là giao điểm của $AH$; $BM$; $CD$
Áp dụng định lí Ceva vào trong tam giác ABC, ta có:
$\dfrac{{MA}}{{MC}}.\dfrac{{HC}}{{HB}}.\dfrac{{DB}}{{DA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{HC}}{{HB}} = \drac{{DA}}{{DB}}$
(Vì $M$ là trung điểm của $AC$)
Mà: $\dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}$ ( $CD$ là phân giác)
$\Rightarrow \dfrac{{HC}}{{HB}} = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow CH.CB = AC.HB$
Mặt khác: $CH.CB = A{C^2}$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$)
$\Rightarrow AC.HB = A{C^2} \Rightarrow BH = AC$

b) Ta có: $A{C^2} = HC.BC$
$A{C^2} = (BC – BH).BC$
Mà: $ BH = AC$ ( câu a)
$\Rightarrow A{C^2} = (BC – AC).BC$
$ \Rightarrow AC = – 5 + 5\sqrt 5 (cm) $
Và $\Rightarrow AB = – 50 + 50\sqrt 5 (cm)$

Định lý Pytago (Phần 1)

Leave a reply

Định lý Pytago thuận. Trong một tam giác vuông tổng bình phương hai cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền.

Chứng minh

Có nhiều cách chứng minh định lý Pytago, trong đó có những cách bằng cắt ghép hình khá thú vị, tất nhiên để chứng minh chặc chẽ thì cần phải suy luận thêm.

Sử dụng tam giác đồng dạng.

Vẽ đường cao AH.

Khi đó $\triangle BAH \backsim \triangle BCA$, suy ra $BA^2 = BH.BC$ (1).

Tương tự $\triangle CAH \backsim \triangle CBA$, suy ra $CA^2 = CH.BC$ (2).

Khi đó $AB^2 + AC^2 = BH.BC + CH.BC = BC^2$.

Định lý Pytago đảo. Nếu trong một tam giác có tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Chứng minh

Giả sử tam giác $ABC$ có $AB^2 + AC^2 = BC^2$, chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Trên đoạn $BC$ lấy điểm $H$ sao cho $AB^2 = BH.BC$, suy ra $AC^2 = BC^2 – AB^2 = BC.CH$.

Ta có $\triangle BAH \backsim \triangle BCA (c.g.c)$, suy ra $\angle BAH = \angle BAC$.

Tương tự $\angle CAH = \angle CBA$. Suy ra $\angle BAC = \angle BAH + \angle CAH = \angle BAC + \angle CAB$, suy ra $\angle BAC = 90^\circ$.

Ví dụ 1. Tìm $x$ trong các trường hợp sau.

Lời giải

a. Cạnh huyền có độ dài 11 ta có:

$x^2 + 6^2 = 11^2$ (Pytago)
$x^2 +36 = 121$
$x^2 = 85$.
$x = \sqrt{85}$ (cm) (vì $x > 0$).

c. Tương tự như a.

b. $x$ là cạnh huyền nên ta có:

$3^2 + (\sqrt{2})^2 = x^2$ (Pitago)
$9 + 2 = x^2$.
$x=\sqrt{11}$ (cm) (Vì $x > 0$)

d. Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông là $x$, cạnh huyền $\sqrt{10}$ nên:

$x^2 + x^2 =(\sqrt{10})^2$
$2x^2 =10$
$x^2 = 5$
$x = \sqrt{5}$ (cm) (vì $x > 0$)

Ví dụ 2. Tìm $y$ trong hình sau, lấy hai chữ số thập phân.

Gợi ý

Tam giác $ABC$ có $x$ là cạnh huyền nên:

$x^2 = 5^2 + 1^2 = 26$.
$x = \sqrt{26}$.

Tam giác $ACD$ có $6$ là cạnh huyền nên:

$6^2 = y^2 +x^2$
$36 = y^2 +26$.
$y^2 = 10$
$y = \sqrt{10} \sim 3.16$

Bài tập.

Tìm $x$ trong các hình sau:

Đáp số

a. Cạnh huyền có dộ dài bằng 26 (cm) ta có:

${26^2} = {\left( {2x} \right)^2} + {\left( {3x} \right)^2}$ (Pytago)
$676 = 4{x^2} + 9{x^2}$
$676 = 13{x^2}$
${x^2} = 52$
$x = \sqrt {52}$ (cm) (Vì $ x > 0$ )

b. Cạnh huyền có độ dài $2x$ (cm) ta có:

${\left( {2x} \right)^2} = {9^2} + {x^2}$ (Pytago)
$4{x^2} – {x^2} = 81$
$3{x^2} = 81$
${x^2} = 27$
$x = \sqrt {27}$ (cm) (Vì $ x > 0$ )

c. Cạnh huyền có độ dài bằng $3x$ (cm) ta có:

${\left( {3x} \right)^2} = {\left( {2x} \right)^2} + {\left( {\sqrt {20} } \right)^2}$ (Pytago)
$9{x^2} = 4{x^2} + 20$
$5{x^2} = 20$
${x^2} = 4$
$x = 2$ (cm) (Vì $ x > 0$ )

2. Tìm các giá trị chưa biết $x, y$ trên hình:

Đáp số

a)Tam giác vuông cân có cạnh huyền $y$ (cm) ta có:
${y^2} = {2^2} + {2^2}$ (Pytago)
${y^2} = 8$
$y = 2\sqrt 2 $ (cm) (Vì $y > 0$)
Tam giác vuông có cạnh huyền$ x $(cm) ta có:
${x^2} = {y^2} + {3^2}$ (Pytago)
${x^2} = 8 + 9$
${x^2} = 17$
$x = \sqrt {17} $ (Vì $ x > 0 $)

b)Tam giác vuông có cạnh huyền 7(cm) ta có:
${7^2} = {2^2} + {y^2}$ (Pytago)
${y^2} = 49 – 4$
${y^2} = 45$
$y = \sqrt {45}$ (cm) (Vì $ y > 0$ )
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $y$(cm) ta có:
${y^2} = {4^2} + {x^2}$ (Pytago)
$45 = 16 + {x^2}$
${x^2} = 45 – 16$
${x^2} = 29$
$x = \sqrt {29} $ (cm) ( Vì $x > 0 $ )

c) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 (cm) ta có:
${3^2} = {x^2} + {2^2}$ (Pytago)
${x^2} = {3^2} – {2^2}$
${x^2} = 5$
$x = \sqrt 5$ (cm) ( Vì $x > 0 $ )
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $y$ (cm) ta có:
${y^2} = {x^2} + {1^2}$
${y^2} = 5 + {1^2}$
${y^2} = 6$
$y = \sqrt 6 $ (cm) (Vì $y$ > 0)

3. Tìm $x$ (lấy 2 chữ số thập phân).

Gợi ý

a. Gọi đường vuông góc có độ dài là $h$ (cm)

Gọi đường vuông góc có độ dài là $h$ (cm) .

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 (cm) ta có: ${3^2} = {x^2} + {h^2}$(Pytago)${h^2} = 9 – {x^2}$(1)

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 4 (cm) ta có:${4^2} = 3{}^2 + {h^2}$ (Pytago)

${h^2} = {4^2} – {3^2}$ (2

)Từ (1) và (2) suy ra: $9 – {x^2} = {4^2} – {3^2}$${x^2} = 2$$x = \sqrt 2 \approx 1,41$(cm)

b. Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13 (cm) ta có:
${13^2} = {5^2} + {\left( {x – 2} \right)^2}$
${13^2} – {5^2} = {\left( {x – 2} \right)^2}$
${\left( {x – 2} \right)^2} = 144$
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – 2 = 12}\\
{x – 2 = – 12}
\end{array}} \right.$
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 14(n)}\\
{x = – 10(l)}
\end{array}} \right.$

4. Tính $AC$ trong hình sau:

Đáp số

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $ B$ ta có:

$A{D^2} = A{B^2} + B{D^2}$ (Pytago)
$B{D^2} = A{D^2} – A{B^2}$
$B{D^2} = {9^2} – {5^2}$
$B{D^2} = 56$
$BD = 2\sqrt {14} $(cm)

Mà: $BC = \dfrac{{BD}}{2}$

$ \Rightarrow BC = \sqrt {14}$ (cm)
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ ta có:
$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$
$A{C^2} = {5^2} + {\left( {\sqrt {14} } \right)^2}$
$A{C^2} = 39$
$AC = \sqrt {39} $ (cm)

5. Tính độ dài $AB$ trong các hình sau:

Đáp số

a) Kẻ $ BH \bot AD\left( {H \in AD} \right)$
Khi đó $HDCB$ là hình chữ nhật ( tứ giác có 3 góc vuông)
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\rm{DC = }}HB = DA = 4cm}\\
{CB = DH = 3cm}
\end{array}} \right.$
Ta có: $HA = DA – DH = 4 – 3 = 1$(cm)
Xét $\Delta BHA$ vuông tại $H$ ta có:
$A{B^2} = H{B^2} + H{A^2}$(Pytago)
$A{B^2} = {4^2} + {1^2} = 17$
$AB = \sqrt {17}$ (cm)

b) Tương tự cũng dùng định lí Pytago

c) Dựng hình chữ nhật $ADMN$.
Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{MA = ND = 3cm}\\
{MN = AD = 5cm}
\end{array}} \right.4
Ta có: $BD = ND + NB = 3 + 1 = 4$ (cm)
Xét $\Delta ADB$ vuông tại $D$ ta có:
$A{B^2} = A{D^2} + D{B^2}$(Pytago)
$\Leftrightarrow A{B^2} = {5^2} + {4^2}4$
$ \Leftrightarrow A{B^2} = 41$
$\Leftrightarrow A{B^2} = 41$
$\Leftrightarrow AB = \sqrt {41}$ (cm)

6. Tam giác đều có độ dài cạnh bằng $3cm$. Tính diện tích tam giác.

7. Tam giác cân có cạnh bên bằng 8, cạnh đáy bằng 6. Tính diện tích tam giác.

8. Một hình thang có một đáy là $2x$ và các cạnh còn lại bằng $x$. Tìm $x$ biết diện tích hình thang bằng $6\sqrt{3}$.

9. Một người đi xe đạp từ $C$ đến $B$ với vận tốc $15km/h$. Hỏi đi được bao lâu thì người đó cách đều hai điểm $A$ và $B$ ?

10. Bạn Rô muốn treo một banner khuyến mãi dài 7m trước cửa hiệu. Có hai đinh treo được đóng trên tường, tạo thành một đoạn thẳng song song mặt đất và có độ dài 10m. Nếu muốn banner treo thấp hơn đoạn thẳng đó 1m thì độ dài hai dây treo phải là bao nhiêu?

Một bài tứ giác nội tiếp khó

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$. Đường tròn đi qua hai đỉnh $B, C$ và cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $CD$ và $BE$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$ và $Q$ lá điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh 4 điểm $A, C, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

Gọi $F$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMD$ và $AM$. Khi đó ta có $AM.AF = AD.AB = AE.AC$, suy ra $M$ thuộc đường tròn ngoại tiếp của tam giác $MCE$.

Ta có $\angle MFB = \angle ADM = \angle AEM = \angle AFC$ và $\angle FMB = \angle AME = \angle ACF$, suy ra $\Delta FBM \backsim \Delta FAC \Rightarrow \dfrac{BF}{AF} = \dfrac{BM}{AC}$.

Mà $BF = CQ$, suy ra $\dfrac{BF}{AF} = \dfrac{CQ}{AC} \Rightarrow \dfrac{BF}{CQ} = \dfrac{AF}{AC}$.

Xét tam giác $ABF$ và $ACQ$ có $\angle AFB = \angle ACQ$ (cùng bù với $\angle BDC$) và $\dfrac{BF}{CQ} = \dfrac{AF}{AC}$ nên $\Delta ABF \backsim \Delta ACQ$. Suy ra $\angle AQC = \angle ABF$.

Mặt khác $ABF = \angle CMF = 180^\circ – \angle AMC = 180^\circ – \angle APC$.

Nên $AQC = 180^\circ – \angle APC \Rightarrow \angle AQC + \angle APC = 180^\circ$, do đó tứ giác $APCQ$ là tứ giác nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Điểm Migel của tam giác vuông

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$.Vẽ đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ tại $D$ và $E$ và cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. $AP$ cắt $BC$ tại điểm $K$.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$.Vẽ đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ tại $D$ và $E$ và cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. $AP$ cắt $BC$ tại điểm $K$.

a. Chứng minh các tứ giác $KPEC, KPDB$ nội tiếp.

b. Chứng minh $K, D, E$ thẳng hàng.

Gợi ý

a. Tứ giác $AHDP$ nội tiếp nên $\angle KPD = \angle AHD$.

Tứ giác $AHDP$ nội tiếp nên $\angle KPD = \angle AHD$.

Mà $\angle ABH = \angle AHD$, suy ra $\angle KPD = \angle ABH$, do đó tứ giác $KPDB$ nội tiếp.

Ta có $\angle APE = \angle AHE$ (APHE nội tiếp) và $\angle AHE = \angle ACB$ nên $\angle APE = \angle ACB$, do đó tứ giác $KPEC$ nội tiếp.

b. Ta có $\angle ADE = \angle AHE = \angle AHC$.(1)

Tứ giác $KPDB$ nội tiếp, suy ra $\angle KDB = \angle KPB$, mà $\angle KPB = \angle ACB$ (APBC nội tiếp) nên $\angle KDB = \angle ACB$.(2)

Từ (1) và (2), suy ra $\angle KDB = \angle ADE$. Khi đó $\angle KDB + \angle BDE = \angle ADE + \angle BDE = 180^\circ$. Vậy $K, D, E$ thẳng hàng.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Toán Việt

Chia sẻ và học hỏi

Category Archives: Hình học 9

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Tiếp tuyến của đường tròn.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Đường kính và dây cung

Sự xác định đường tròn

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Hệ thức trong tam giác vuông – Bài 1

Định lý Pytago (Phần 1)

Một bài tứ giác nội tiếp khó

Điểm Migel của tam giác vuông