Bài 1. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác
$ABM, ACM, ABC$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $F$ trên BC. Chứng minh $D, H, M, E$ cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải
Gọi $P, Q$ là hình chiếu của $D, E$ trên BC.
Ta có $\triangle MDP \backsim \triangle EMQ$, suy ra $MQ\cdot MP = EQ\cdot PD$.
Ta có $BP = \dfrac{1}{2}(AB+BM-AM), BH = \dfrac{1}{2}(AB+BC-AC)$
Suy ra $PH = BH – BP = \dfrac{1}{2}(BC – AC – BM + AM ) = \dfrac{1}{2}(MC + AM – AC) = MQ$
Suy ra $PM = HQ$. Suy ra $PH\cdot HQ = MQ\cdot MP = DP\cdot EQ$, suy ra $\triangle DPH \backsim \triangle HQE$
Từ đó ta có $\angle DHE = 90^\circ$.
Bài 2. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và dây $BC =R \sqrt{3}$ cố định. $A$ là một điểm thay đổi trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Phân giác trong góc $A$ cắt $(O)$ tại $G$ và cắt $DE$ tại $F$.
a) Chứng minh tứ giác $BEGF$ nội tiếp.
b) Gọi $I$ là giao điểm của $AH$ và $BC$. Chứng minh $FIHG$ nội tiếp.
Lời giải
(a) Ta có $BEFC$ nội tiếp nên $\angle AED = \angle ACB$
Và $\angle ACB = \angle AFB$ (cùng chắn cung AB).
Suy ra $\angle AED = \angle AFB$, do đó tứ giác $BEGF$ nội tiếp.
(b) Tứ giác $BEGF$ nội tiếp, suy ra $AG\cdot AF = AE\cdot AB$.
Mặt khác ta có $AE\cdot AB = AH \cdot AI$
Suy ra $AG\cdot AF = AH\cdot AI$, từ đó ta có $\triangle AHF \backsim AGI$, suy ra $\angle AFH = \angle AIG$.
Bài 3. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $P$ nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến $PA, PB$ đến $(O)$ với $A, B$ là các tiếp điểm. $C$ là điểm trên cung nhỏ $AB$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $PA, PB$ và $PO$ lần lượt tại $D, E, F$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PAB, PDE$ và $PCF$ cùng đi qua một điểm khác $P$.
Lời giải
Gọi $Q$ là giao điểm của $(PDE)$ và $(PAB)$.
Ta có $\triangle QAD \backsim \triangle QBE$, suy ra $QD/QE = AD/EB = CD/CE$. Khi đó $QC$ là phân giác $\angle DQE$.
Ta có $QO$ cũng là phân giác $\angle AQB$ và $\angle AQB = \angle DQE$. Suy ra $\angle DQC = \angle OQB$.
Mà $\angle QDC = \angle QOB$ nên $\angle QCD =\angle QBO = \angle QPF$. Vậy tứ giác $QPFC$ nội tiếp.
Bài 4. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình thang $ABCD$ có đáy là $AB, CD$. Lấy $M, N$ là điểm thuộc $OA$, $N$ là điểm thuộc $OD$ sao cho $\angle BMD = \angle AMC$. Chứng minh rằng BMNC là tứ giác nội tiếp.
Lời giải
Cho đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABM$ cắt $OC$ tại $N’$. Chứng minh $\angle AN’C = \angle BMD = \angle ANC$.
Bài 5. Cho $(O)$ và $(O_1)$ cắt nhau tại $M, N$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt $(O_1)$ tại $B$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O_1)$ cắt $(O)$ tại $A$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $N$. Chứng minh rằng tứ giác $MAPB$ nội tiếp.
Lời giải
Chứng minh $NM^2 = NA \cdot NB = NP^2$. Suy ra $\angle A + \angle B = \angle M + \angle N$.
Bài 6. Cho tứ giác $ABCD$ có các cạnh đối diện $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$, $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $F$. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ nội tiếp khi và chỉ khi $EA.ED + FA.FB = EF^2$.
Lời giải
Gọi $K$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADF$ và $EF$. Ta có $EK \cdot EF = EA \cdot ED$, suy ra $FK \cdot FE = FA \cdot FB$, suy ra $EKAB$ nội tiếp. \\
Khi đó $\angle EBA = \angle FKA = \angle ADC$ nên $ABCD$ nội tiếp.
Bài 7. Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc nhau tại $I$. Gọi $E, F, G, H$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $AB, BC, CD$ và $DA$. $IE$ cắt $CD$ tại $M$.
a) Chứng minh $EFGH$ và $HGMF$ nội tiếp.
b) $BH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IEH$ tại $J$, $BG$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IFG$ tại $K$. Chứng minh $E, J, K, F$ cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải
(a) Ta có $BD$ là tiếp tuyến chung của $(IHE)$ và $(IFG)$. \\ $\angle BEF = \angle BIF = \angle IGF, \angle AEH = \angle EIH = \angle HGI$. \\ Suy ra $\angle FEF + \angle HGF = 180^\circ $. Suy ra $HEFG$ nội tiếp. \\ Ta có $\angle IMG = \angle ICM + \angle MIC = \angle DIG + \angle AIE = \angle DHG + \angle AHE = 180^\circ – \angle EHG$. \\ Suy ra $EHGM$ nội tiếp. \\ Do đó $EGMF$ nội tiếp. \\ (b) Ta có $BJ\cdot BH = BE\cdot BA = BI^2 = BK\cdot BG$. \\ Suy ra $GHJK$ nội tiếp. \\ Ta có $\angle EFK = \angle EFI – \angle KFI = \angle EBI – \angle IGB$. \\ Và $\angle EJK = \angle EJB + \angle BJK = \angle DAB + \angle HGB$. \\ Suy ra $\angle EFK + \angle EJK = \angle DAB + \angle HGB – \angle IBG + \angle EBI = \angle DAB + \angle HGI + \angle EBI = 180^\circ $. \\ Do đó $EJKF$ nội tiếp.
Bài 8. (Thi HSGQG THPT Việt Nam năm 2010) Cho tam giác $ABC$ không cân có $\angle ABC$ và $\angle ACB$ nhọn. $D$ là điểm di chuyển trên cạnh $BC$ sao cho $AD$ không vuông góc $BC$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt các đường thẳng $AB, AC$ tại $E$ và $F$. Gọi $M, N, P$ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $AEF, BDE, CDF$. Chứng minh rằng $A, M, N, P$ cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi $d$ đi qua tâm nội tiếp của tam giác $ABC$.
Lời giải
Gọi $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$.
Gọi $J$ là giao điểm của $AI$ và $EN$, suy ra $FJ$ là phân giác góc $AFD$.
Ta có $FKC = 90^o + \dfrac{1}{2}\angle ACB = \angle JIN$.
Tứ giác $AMFJ$ nội tiếp, suy ra $\angle NJI =\angle AJM = \angle AFM = \angle KFP$ ($K$ là giao điểm của $d$ và $IC$).
Từ đó $\triangle NIJ \backsim \triangle PFK$.
Suy ra $IJ/FK = JN/FP$.
Ta có $A, M, P, N$ đồng viên khi và chỉ khi $\angle ANJ = \angle APF \Leftrightarrow \triangle AJN \backsim \triangle AFP \Leftrightarrow AF/AJ = FP/JN$.
Mà $AF/AJ = FS/JS$ (Với $S$ là giao điểm của $AI$ và $d$)
Vậy $A, M, P, N$ đồng viên khi và chỉ khi $IJ/KF = FS/JS$.
Điều này chỉ đúng khi $I$ trùng $S$. Vì nếu $I$ khác $S$ thì $IK//FJ$ (!)
Bài tập rèn luyện
Bài 9. Cho tam giác $ABC$ nhọn và khác tam giác cân. Phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường cao hạ từ $B$ và $C$ của tam giác cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Phân giác của góc $BAC$ cắt đoạn thẳng nối trực tâm của tam giác $ABC$ và trung điểm $BC$ tại $R$. Chứng minh rằng $P, A, Q, R$ cùng thuộc một đường tròn.
Bài 10. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, phân giác góc $A$ cắt $BC$ tại $D$, $M$ là trung điểm $BC$, $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua $M$. Trên các đường thẳng $AO$ và $AD$ lấy điểm $P$ và $Q$ sao cho $PD$ và $EQ$ vuông góc $BC$. Chứng minh 4 điểm $B, C, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.
Bài 11. (Đề đề nghị thi Toán Quốc Tế 2010) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $w$, các đường cao là $AD, BE, CF$. Tia $EF$ cắt $w$ tại $P$. $BP$ cắt $DF$ tại $Q$. Chứng minh 4 điểm $A, P, Q, F$ cùng thuộc một đường tròn và $AQ = AP$.
(Bài viết dành cho học sinh lớp 9 chuyên toán – Lời giải bài tập chương 1 sách [1])
Chứng minh 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn là dạng toán thường xuất hiện nhất trong các đề thi, đây cũng là kĩ năng quan trọng để chứng minh các ý toán khác trong một bài toán, có nhiều cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc đường tròn trong đó chủ ý các các dấu hiệu một tứ giác nội tiếp.
Một tứ giác là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi có một trong các dấu hiệu sau:
4 đỉnh cách đều một điểm
Tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ (đặc biệt hai góc đối vuông)
Góc ngoài bằng góc đối trong
Hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh còn lại với hai góc bằng nhau (đặc biệt hai góc nhìn là góc vuông).
Ngoài ra còn có bổ đề thường dùng.
Bổ đề 1. Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $P$ và hai đường thẳng $AB, CD$ cắt nhau tại $P$. Khi đó $ABCD$ nội tiếp khi và chỉ khi $PA \cdot PC = PB \cdot PD$ hoặc $QA \cdot QB=QC \cdot QD$.
Bổ đề 2. Phân giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$ cắt trung trực của $BC$ tại $D$, khi đó $D$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Ta bắt đầu với các bài toán sau:
Bài 1. Hai dây $AB$ và $CD$ của một đường tròn cắt nhau tại $I$. Gọi $M$ là trung điểm của $IC$ và $N$ đối xứng với $I$ qua $D$. Chứng minh rằng $AMBN$ nội tiếp một đường tròn.
Lời giải. Xét tam giác $IAC$ và $IBD$ có $\angle AIC = \angle BID$ và $\angle IAC = \angle IBD$, suy ra $\triangle IBD \backsim \triangle IAC$; $\Rightarrow IA \cdot IB = IC \cdot ID = 2 IM \cdot \dfrac{IN}{2} = IM \cdot IN \Rightarrow \dfrac{IM}{IB} = \dfrac{IA}{IN}$.
Suy ra $\triangle IMA \backsim \triangle IBN \Rightarrow \angle IAM = \angle INB$;
Do đó tứ giác $AMBN$ nội tiếp.
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. $AO$ cắt $EF$ tại $K$ và cắt $(O)$ tại $L$ khác $A$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua $K$. Chứng minh rằng các tứ giác $DHKL$ và $DHOP$ nội tiếp.
Lời giải. Dễ thấy tứ giác $BCEF$ nội tiếp, suy ra $\angle AEF = \angle ABC$;
Mà $\angle ABC = \angle ALC$, suy ra $\angle AEF = \angle ALC$, từ đó $KECL$ nội tiếp;
Theo chú ý trên ta có $AK \cdot AL = AE \cdot AC$ \hfill (1)
Mặt khác tứ giác $CDHE$ nội tiếp nên $AH \cdot AD = AE \cdot AC$ \hfill (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AK \cdot AK = AH \cdot AD \Rightarrow DHKL$ nội tiếp.
Ta có $AP = 2AK, AL = 2AO \Rightarrow AP \cdot AO = AK \cdot AL = AH \cdot AD$, suy ra $DHOP$ nội tiếp.
Bài 3. Cho hình vuông $ABCD$. Trên các cạnh $BC, CD$ lấy điểm $M,N$ sao cho $\angle MAN = 45^\circ$. $AM, AN$ cắt $BD$ lần lượt tại $P$ và $Q$.
a) Chứng minh các tứ giác $ADNP, ABMQ$ nội tiếp.
b) Chứng minh $MNQP$ nội tiếp.
Lời giải.
Tứ giác $APND$ có $\angle PAN = \angle PDN = 45^\circ$ nên là tứ giác nội tiếp.
Tương tự thì $ABMQ$ cũng là tứ giác nội tiếp.
Từ $ADNP, ABMQ$ nội tiếp suy ra $\angle APN = 180^\circ – \angle ADN = 90^\circ$ và $\angle AQM = 180^\circ -\angle ABM = 90^\circ$.
Tứ giác $MPQN$ có $\angle MPN = \angle MQN = 90^\circ$ nên là tứ giác nội tiếp.
Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác trong góc $A$ cắt $(O)$ tại $D$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$. $DM, DN$ cắt $(O)$ tại $E, F$ khác $M$, $AD$ cắt $MN$ tại $S$.
a) Chứng minh rằng 4 điểm $M, N, E, F$ cùng thuộc một đường tròn.
b) $OD$ cắt $BC$ tại $P$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $DPS$ cắt $BC$ tại $Q$ khác $P$. Chứng minh $QA$ là tiếp tuyến của $(O)$.
Lời giải.
Gọi $K$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.
a) Ta có $\angle AED = \angle ABD = \angle AKC$.
Mà $MN \parallel BC \Rightarrow \angle AKC = \angle ASN$.
Suy ra $\angle AED = \angle ASN \Rightarrow AEMS$ nội tiếp.
Do đó $DM \cdot DE = DS \cdot DA$.
Chứng minh tương tự ta có $MN \cdot DF = DS \cdot DA$.
Suy ra $DM \cdot DE = DN \cdot DF$, từ đó dẫn đến tứ giác $MNFE$ nội tiếp.
b) Ta có $OD \bot BC$ tại $P$.
Suy ra $\angle QPD = \angle QPD = 90^\circ$.
Tam giác $AQK$ có $QS \bot AK$ và $S$ là trung điểm $AK$ nên $QAK$ cân tại $Q$.
Suy ra $\angle QAK = \angle AKQ = \angle ACD$, suy ra $QA$ là tiếp tuyến của $(O)$.
Bài 5. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Từ một điểm $M$ tùy ý trên cạnh $BC$ kẻ các đường song song với các cạnh bên cắt $AB$ tại $P$ và cắt $AC$ tại $Q$. $D$ là điểm đối xứng của $M$ qua $PQ$. Chứng minh rằng $ADBC$ nội tiếp đường tròn.
Lời giải. Tứ giác $APMQ$ là hình bình hành, $D$ đối xứng với $M$ qua $PQ$ ta suy ra được $ADPQ$ là hình thang cân.
Suy ra $\angle DAP = 180^\circ – \angle DPQ$.\hfill (1)
Ta có $PB = PM = PD$ nên $B, M, D$ thuộc đường tròn tâm $P$, suy ra $\angle MBD = \dfrac{1}{2}(360^\circ – \angle DPM) = \angle DPQ$. \hfill (2)
Từ (1) và (2) ta có $\angle DAQ + \angle MBD = 180^\circ$, suy ra $ADBC$ nội tiếp.
Bài 6. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ cắt nhau tại $A, B$. Qua
điểm $I$ nằm trên $AB$ vẽ cát tuyến $IMN$ đến $(O)$ và cát tuyến $IPQ$ đến $(O’)$. Chứng minh rằng $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải. Ta có $\angle INA = \angle IBN$, suy ra $\triangle INA \backsim \triangle IBN$ (g.g), khi đó $\dfrac{IA}{IB} = \dfrac{IA}{IN} \Rightarrow IN^2 = IA \cdot IB \Rightarrow IN = \sqrt{IA \cdot IB}$.
Chứng minh tương tự thì $IP = \sqrt{IA \cdot IB}$.
Mặt khác $IM = IN, IP = IQ$ nên $IM = IN = IP = IQ$, do đó $M, N, P, Q$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$.
Bài 7. Cho tam giác $ABC$ nhọn, $D$ thuộc cạnh $BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt cạnh $AC$ tại $E$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt cạnh $AB$ tại $F$. $BE, CF$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKC$ qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.
Lời giải. Các tứ giác $AEDB, ADDC$ nội tiếp nên ta có $\angle AFB = \angle ADB$ và $\angle AEC = \angle ADC$;
Suy ra $\angle AFB + \angle AEC = \angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$, suy ra $AEKF$ nội tiếp.
Suy ra $\angle EKF = 180^\circ – \angle BAC$, mà $\angle BKC = \angle EKF$ nên $\angle BKC= 180^\circ – \angle BAC$.\hfill (1)
Mặt khác, từ $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $\angle BHC = 180^\circ – \angle BAC$. \hfill (2)
Từ (1) và (2), ta có $\angle BHC = \angle BKC$, suy ra $BHKC$ nội tiếp.
Bài 8. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với $AB, BC$,$AC$ lần lượt tại $M, D, N$. Lấy điểm $E$ thuộc miền trong của tam giác $ABC$ sao cho đường tròn nội tiếp tam giác $EBC$ cũng tiếp xúc với $BC$ tại $D$ và tiếp xúc với $EB, EC$ tại $P, Q$. Chứng minh rằng $MNPQ$ nội tiếp đường tròn.
Lời giải.
Gọi $T$ là giao điểm của $MN$ và $BC$. Chứng minh được $\dfrac{TB}{TC} = \dfrac{TB}{TC}$ và $PM \cdot PN = PD^2$.
Gọi $T’$ là giao điểm của $PQ$ và $BC$ ta cũng có $\dfrac{T’B}{T’C} = \dfrac{DB}{DC}$.
Suy ra $\dfrac{TB}{TC} = \dfrac{T’B}{T’C} = \dfrac{DB}{DC}$, do đó $T’ \equiv T$.
Và $TP \cdot TQ = TD^2$.
Từ đó ta có $TM \cdot TN = TP \cdot TQ$.
Suy ra 4 điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.
Bài tập tự luyện. Bài 9. Cho đường tròn tâm $O$ và dây cung $AB$ khác đường kính. $C$ là một điểm thuộc cung nhỏ $AB$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $(O)$ cắt nhau tại $P$. $AC$ cắt $BP$ tại $D$ và $BC$ cắt $AP$ tại $E$. Gọi $Q$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEC$ và $BCD$.
a) Chứng minh $Q$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $APD$ và $BPE$.
b) Chứng minh $Q$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $OPC$.
Bài 10. Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ tù. Gọi $F$ là trung điểm cạnh $AD, CF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ tại $K$ khác $C$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCK$ cắt $CD$ tại $E$.
a) Chứng minh $AE \bot CD$.
b) $BD$ cắt $AC$ tại $I$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCK$ tại $G$. Chứng minh 4 điểm $E, F, G, I$ cùng thuộc một đường tròn.
Tài liệu tham khảo.
Chuyên đề hình học 9 – Bồi dưỡng học sinh năng khiếu, Nguyễn Tăng Vũ, NXB GD 2018.
Bài 1. (Đường thẳng Euler, Đường tròn Euler) Cho tam giác $ABC$, các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$, trung điểm các cạnh là $M, N, P$, các đường thẳng $AM, BN, CP$ cắt nhau tại $G$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
a) Chứng minh $AH = 2OM$.
b) Chứng minh $H, G, O$ thẳng hàng và $HG = 2OG$. (Đường thẳng qua $O, H, G$ là đường thẳng Euler)
c) Gọi $X, Y, Z$ là trung điểm của $HA, HB, HC$. Chứng minh 9 điểm $D, E, F, M, N, P, X, Y, Z$ cùng thuộc một đường tròn và tâm là trung điểm $OH$. (Đường tròn Euler – Đường tròn 9 điểm).
d) Lấy một điểm $T$ thuộc (O), chứng minh trung điểm của $HT$ thuộc đường tròn Euler.
Hướng dẫn
a) Vẽ đường kính $AK$, ta có $BHCK$ là hình bình hành, trung điểm $M$ của $BC$ cũng là trung điểm $HK$, tam giác $AHK$ thì $OM$ là đường trung bình nên $AH = 2OM$.
b) Tam giác $AHK$ có $AM$ là trung tuyến và $GA =2GM$ nên $G$ cũng là trọng tâm, do đó $H, G, O$ thẳng hàng và $HG = 2GO$.
c) Ta có $\angle XEH = \angle XHE, \angle MEH = \angle MBE$, suy ra $\angle MEX = \angle XEH + \angle MEH = \angle XHE + \angle MBE = 90^\circ$, suy ra $E$ thuộc đường tròn đường kính $XM$ tâm $J$.
$XN||CH, MN||AB$, suy ra $MN \bot NX$, suy ra $N$ thuộc $(J)$.
$MZ||BH, XZ ||AC$ suy ra $\angle MZX = 90^\circ$, suy ra $Z \in (J)$.
Từ đó chứng minh được các điểm cùng thuộc đường tròn đường kính $MX$.
$HXMO$ là hình bình hành nên $J$ là trung điểm $OH$.
d) Tam giác $MNP$ và $ABC$ đồng dạng, tỉ số 1/2 nên đường tròn Euler có bán kính bằng 1/2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Xét tam giác $HOT$ có $JL$ là đường trung bình nên $JL= \dfrac{1}{2}OT$, suy ra $L$ thuộc $(J)$.
Bài 2. (Đường thẳng Simson – Đường thẳng Steiner) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $w$, $P$ là một điểm thuộc $(w)$. Gọi $D, E, F$ là hình chiếu của $P$ trên các đường thẳng $BC, AC, AB$.
a) Chứng minh rằng $D, E, F$ cùng thuộc một đường thẳng. (Đường thẳng Simson của tam giác $ABC$ ứng với $P$.
b) Gọi $D’, E’,F’$ đối xứng của $P$ qua $BC, AC, AB$. Chứng minh rằng $D’, E’, F’$ cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng này qua trực tâm của tam giác $ABC$.
Hướng dẫn
Bài 3. (Bài toán về điểm humpty) Cho tam giác $ABC$, các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$, $M$ là trung điểm $BC$, $P$ là hình chiếu của $H$ trên $AM. Khi đó
a) $P$ là giao điểm của đường tròn đường kính $AH$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$. ($P$ được gọi là điểm $A-humpty$)
b) $MP \cdot MA = MB^2 = \dfrac{1}{4}BC^2$ và $BC$ là tiếp tuyến chung của $(ABP)$ và $(ACP)$
c) Vẽ $AQ$ vuông góc $MH$, thì $Q$ thuộc $(ABC)$.
d) $AQ, HP, BC$ đồng quy.
Hướng dẫn
a) Ta có các $AP \cdot AM = AH \cdot AD = AF \cdot AB$, suy ra $BFPM$ nội tiếp. Khi đó $\angle MPB = \angle MFB = \angle ABM$.
Chứng minh tương tự thì $\angle MPC = \angle ACB$
Suy ra $\angle BPC = \angle MPB + \angle MPC = \angle B + \angle C = 180^\circ – \angle A = \angle BHC$.
Suy ra $BHPC$ nội tiếp.
b) Từ câu a, ta có $\angle MPB = \angle ABM$, suy ra tam giác $MPB$ và $MBA$ đồng dạng, khi đó $MA \cdot MP = MB^2 = \dfrac{1}{4} BC^2$.
c) Ta xét tam giác $BHC$ với $A$ là trực tâm thì vai trò điểm $Q$ giống vai trò điểm $P$, nên $Q$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
d) Xét tam giác $AHM$ thì $AQ, HP, DM$ là 3 đường cao nên đồng quy.
Bài 4. (Tứ giác điều hòa – Điểm Dumpty). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, tiếp tuyến tại $B, C$ cắt nhau tại $P$, $AP$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A$ và cắt $BC$ tại $I$. $OP$ cắt $BC$ tại $M$.
a) Chứng minh $OMDA$ nội tiếp và $\dfrac{IA}{ID} = \dfrac{PA}{PD}$
b) Chứng minh $\angle MDC = \angle ADB$ và $AD\cdot BC = 2 AC \cdot DB = 2 BD \cdot AC$.
c) Tiếp tuyến tại $A,D$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh $Q$ thuộc $BC$.
d) Gọi $X$ là giao điểm của $OQ$ và $AD$, chứng minh $\angle XBA = \angle XAC, \angle XAC = \angle XBA$. (Điểm $A-dumpty$ của tam giác $ABC$).
Hướng dẫn
a) $PM \cot PO = PB^2 = PA \cdot PD$.
$\angle PMD = \angle PAO = \angle ODA = \angle AMO$, suy ra $MP, MI$ là phân giác ngoài và phân giác trong của $\angle APD$.
b) $MO \cdot MP = MB^2 = MA \cdot MD$, suy ra $ABM$ và $BMD$ đồng dạng.
c) 5 điểm $A, P, M, D, Q$ cùng thuộc đường tròn, $QA = QD$ nên $MQ$ là phân giác $\angle AMD$.
d) Chứng minh $BAX$ và $BCD$ đồng dạng, do $AX \cdot BC = AB \cdot CD$.
Bài 5. Cho tam giác $ABC$, có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Một đường thẳng vuông góc với $OA$ cắt các cạnh $AB, AC$ tại $F, E$ và đường thẳng $BC$ tại $D$.
a) Chứng minh $BFEC$ nội tiếp.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. Chứng minh các tam giác $PEF$ và $PCB$ đồng dạng.
c) Chứng minh các tứ giác $BDPF, BCEP$ nội tiếp và $A, P, D$ thẳng hàng.
d) Gọi $O_a, O_b$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AEF, BDF$ và $BCEF$. Chứng minh $O_a, O_b, O_c, O$ cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn
a) Vẽ tiếp tuyến tại $A$ là $Ax$, $\angle ACB = \angle xAB = \angle AEF$.
Định lý. Trong một tam giác thì trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên một đường thẳng.
(Đường thẳng qua 3 điểm này được gọi là đường thẳng Euler của tam giác)
Chứng minh định lý.
Cách 1. (THCS) Cho tam giác $ABC$, gọi $H, G, O$ lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Ta chứng minh $H, G, O$ thẳng hàng.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $D$ là đối xứng của $A$ qua $O$. Ta có $HBDC$ là hình bình hành.
Do đó $M$ là trung điểm $BC$ cũng là trung điểm $HD$.
Tam giác $AHD$ có $AM$ là trung tuyến và $AG = 2GM$ nên $G$ là trọng tâm.
Cách 2 (Vectơ)
Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, tâm ngoại tiếp là $O$, $G$ là trọng tâm tam giác. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $D$ là chân đường cao từ $A$.
Ta cần chứng minh $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$. Thật vậy đặt $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} -\overrightarrow{OH}$.
Thực hiện phép chiếu vectơ $\overrightarrow{v}$ trên $BC$ ta có $\overrightarrow{v_{BC}} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} – \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}$.
Tương tự hình chiếu của $\overrightarrow{v}$ trên $AC$ là $\overrightarrow{v_{AC}} = \overrightarrow{0}$.
Do đó $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$.
Khi đó $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$, do đó $O, H, G$ thẳng hàng và $OH = 3OG$.
Cách 3 (phép vị tự) Xét phép vị tự tâm $G$ thì số $k = \dfrac{-1}{2}$ thì tam giác $ABC$ biến thành tam giác $MNP$ với $M, N, P$ là trung điểm các cạnh $BC, AC, AB$.
Khi đó trực tâm tam giác $ABC$ biến thành trực tâm tam giác $MNP$, hay $H \mapsto O$.
Do đó $\overrightarrow{GO} = \dfrac{-1}{2} \overrightarrow{GH}$.
Hay $H, G, O$ thẳng hàng và $GH = 2GO$.
Bài tập liên quan
Bài 1. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, AC, AB$. Chứng minh rằng đường thẳng euler của các tam giác $ABC$ và $MNQ$ trùng nhau.
Bài 2. Cho tam giác $ABC$, các đường cao $AA’, BB’, CC’$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh rằng đường thẳng euler của các tam giác $AB’C’, BA’C’, CA’B’$ đồng quy tại một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A’B’C’$.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $AB^2 + AC^2 = 2BC^2$. Gọi $H$ là trực tâm và $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Tia $MH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại $D$. Chứng minh $AD, BC$ và đường thẳng euler của tam giác $ABC$ đồng quy.
Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là giao điểm của $AI, BI, CI$ với $(O)$. Chứng minh rằng đường thẳng euler của tam giác $A’B’C’$ đi qua điểm $I$.
Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với các cạnh $AB, AC$ tại $D, E$. Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của $BI, CI$ với $DE$; $P$ là giao điểm của $BN$ và $CM$, $AI$ cắt $(O)$ tại $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ là đường thẳng euler của tam giác $IBC$.
Bài 6. Cho hai đường tròn (O) và $(O’)$ cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng qua A cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D (A nằm giữa C và D). Chứng minh rằng đường thẳng euler của tam giác BCD luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 7. Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H. DE cắt đường tròn đường kính BH lần 2 tại K, DF cắt đường tròn đường kính CH lần 2 tại L. Chứng minh KL vuông góc với đường thẳng Euler của tam giác ABC
Bài 8. Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Gọi $T, U, V$ là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BOC, COA, AOB$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $TUV$. Chứng minh $K$ thuộc đường thẳng euler của tam giác $ABC$.
Bài 9. Cho tam giác $ABC$, $D$ là điểm thuộc phân giác trong của góc $\angle BAC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt $AC$ tại $E$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt $AB$ tại $F$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $EF$ vuông góc với $OD$.
Định nghĩa: Tứ giác có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp.
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Một tứ giác là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi:
Tổng hai góc đối bằng $180^o$.
Góc ngoài bằng góc đối trong.
Hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.
Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD, BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD, BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. (a) Chứng minh các tứ giác $AEHF$, $BDHE$ là tứ giác nội tiếp. (b) Chứng minh các tứ giác $BFEC$, $AEDC$ là tứ giác nội tiếp.
Gợi ý
(a) Xét tứ giác $AEHF$ có $\angle AEH + \angle AFH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, suy ra tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau).
Xét tứ giác $AEHF$ có $\angle AEH + \angle AFH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, suy ra tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau).\\ Xét tứ giác $BDHE$ có $\angle BDH + \angle BEH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ nên là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau).
(b) Xét tứ giác $BFEC$ có $\angle BFC = \angle BEC = 90^\circ$, suy ra tứ giác $BFEC$ nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh với một góc vuông).
Tương tự ta có $\angle AEC = \angle ADC = 90^\circ$, suy ra tứ giác AEDC nội tiếp.
Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm $O$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ dựng các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $(O)$ với $B, C$ là các tiếp điểm. $OA$ cắt $BC$ tại $H$. (a) Chứng minh rằng tứ giác $OBAC$ nội tiếp. (b) Một đường thẳng qua $A$ cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ sao cho $E$ nằm giữa $A$ và $D$. Chứng minh rằng $O, H, D, E$ cùng thuộc một đường tròn.
Gợi ý
(a)Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại B và C nên $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$, suy ra $\angle OBA + \angle OCA = 180^\circ$, nên tứ giác $OBAC$ nội tếp.
Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại B và C nên $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$, suy ra $\angle OBA + \angle OCA = 180^\circ$, nên tứ giác $OBAC$ nội tếp.
(b) Ta có $AB = AC$ (t/c tiếp tuyến) và $OB = OC$, suy ra $OA$ là trung trực của $BC$, suy ra $OA \bot BC$ tại $H$.
Tam giác $ABO$ vuông có $BH$ là đường cao nên $AH.AO = AB^2$. (1)
Mặt khác $\Delta ABD \backsim AEB (g.g)$, suy ra $AD.AE = AB^2$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra $AD.AE = AH.AO$, suy ra $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AE}{AO}$.
Xét tam giác AHE và tam giác EDO có $\angle DAO$ chung và $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AE}{AO}$ nên $\Delta AHE \backsim \Delta ADO$, suy ra $\angle AHE = \angle ADO$, suy ra tứ giác $OHED$ nội tiếp.
Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H $ trên $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng: (a) $AD.AB = AE.AC$. (b) Tứ giác $BDEC$ là tứ giác nội tiếp.
Gợi ý
(a) Tam giác $ABH$ vuông tại H có đường cao HD nên $AD.AB = AH^2$. (1)
Tam giác $ACH$ vuông tại H có đường cao $HE$ nên $AE.AC = AH^2$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AD.AB = AE.AC$.
(b) Từ $AD.AC = AE.AC \Rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$.
Xét tam giác $ADE$ và $ACB$ có $\angle BAC$ chung và $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$ nên $\Delta ADE \backsim \Delta ACB$, suy ra $\angle ADE = \angle ACB$.
Tứ giác $BDEC$ có $\angle ADE = \angle ACB$ nên là tứ giác nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong).
Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $BI$ và $DE$. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $BI$ và $DE$. (a) Chứng minh $\angle AED = \dfrac{180^\circ-\angle A}{2}$. (b) Chứng minh 4 điểm $I, E, M, C$ cùng thuộc một đường tròn. (c) Gọi $N$ là giao điểm của $CI$ và $DE$. Chứng minh 4 điểm $B, N, M, C$ cùng thuộc một đường tròn.
Gợi ý
(a) Ta có $AD, AE$ là tiếp tuyến của $(I)$ nên $AD = AE$. Tam giác $ADE$ cân tại $A$, suy ra $\angle AED = \dfrac{180^\circ – \angle A}{2}$.
(b) Ta có $AD, AE$ là tiếp tuyến của $(I)$ nên $AD = AE$. Tam giác $ADE$ cân tại $A$, suy ra $\angle AED = \dfrac{180^\circ – \angle A}{2}$.
Ta có $\angle MIC = \angle IBC + \angle ICB = \dfrac{1}{2} (\angle B + \angle C) = \dfrac{180^\circ – \angle A}{2}$. (1)\\ Theo câu a ta có $\angle MEC = \angle AED = \dfrac{180^\circ – \angle A}{2}$. (2)
Từ (1) và (2), suy ra $\angle MIC = \angle MEC$, do đó tứ giác $IEMC$ nội tiếp.
(c) Tứ giác $IEMC$ nội tiếp suy ra $\angle IMC = \angle IEC = 90^\circ$.
Chứng minh tương tự ta có $\angle INC = 90^\circ$.
Tứ giác $BCMN$ có $\angle BMC = \angle BNC = 90^\circ$ nên là tứ giác nội tiếp.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho $\angle BAD = \angle CAE$. Gọi $M, N$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AD, AE$; $P, Q$ là hình chiếu vuông góc của C trên $AD, AE$. Chứng minh 4 điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm $BC$.
Gợi ý
Ta có tứ giác $ABMN$ nội tiếp, suy ra $\angle AMN = \angle ABN = 90^\circ – \angle BAE$.(1)
Ta lại có $\angle DAB = \angle CAE $ nên $\angle BAE = \angle CAD$.(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có $\angle AMN = \angle APQ$, suy ra tứ giác $MNPQ$ nội tiếp.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, ta có $BM||CP$ nên đường thẳng $d$ qua $I$ song song với $BM$ đi qua trung điểm của $MP$ mà $BM \bot MP$ nên đường thẳng $d$ là trung trực của $MP$. Vậy $IM = IP$.
Tương tự ta cũng có $IN = IQ$.
Hơn nữa tứ giác $MNPQ$ là tứ giác nội tiếp khác hình thang nên $I$ chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$. Đường tròn đi qua hai đỉnh $B, C$ và cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $CD$ và $BE$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$ và $Q$ lá điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh 4 điểm $A, C, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.
Gợi ý
Gọi $F$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMD$ và $AM$. Khi đó ta có $AM.AF = AD.AB = AE.AC$, suy ra $M$ thuộc đường tròn ngoại tiếp của tam giác $MCE$.
Ta có $\angle MFB = \angle ADM = \angle AEM = \angle AFC$ và $\angle FMB = \angle AME = \angle ACF$, suy ra $\Delta FBM \backsim \Delta FAC \Rightarrow \dfrac{BF}{AF} = \dfrac{BM}{AC}$.
Mà $BF = CQ$, suy ra $\dfrac{BF}{AF} = \dfrac{CQ}{AC} \Rightarrow \dfrac{BF}{CQ} = \dfrac{AF}{AC}$.
Xét tam giác $ABF$ và $ACQ$ có $\angle AFB = \angle ACQ$ (cùng bù với $\angle BDC$) và $\dfrac{BF}{CQ} = \dfrac{AF}{AC}$ nên $\Delta ABF \backsim \Delta ACQ$. Suy ra $\angle AQC = \angle ABF$.
Mặt khác $ABF = \angle CMF = 180^\circ – \angle AMC = 180^\circ – \angle APC$.
Nên $AQC = 180^\circ – \angle APC \Rightarrow \angle AQC + \angle APC = 180^\circ$, do đó tứ giác $APCQ$ là tứ giác nội tiếp.
Bài tập.
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Chứng minh rằng: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Chứng minh rằng: (a) $AD.AB = AE.AC$. (b) Tứ giác $BDEC$ là tứ giác nội tiếp. [Gợi ý]
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. $M$ là một điểm thuộc cung BC không chứa $A$. $AM$ cắt $DE$ tại $K$. Chứng minh rằng các tứ giác $BEKM, CDKM$ là các tứ giác nội tiếp. [Gợi ý]
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ và trung tuyến $BM$. Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc vuông góc của $A$ trên $BM$. Chứng minh tứ giác $HDMC$ nội tiếp.[Gợi ý]
Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC và $N$ là trung điểm đoạn thẳng CH.Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC và $N$ là trung điểm đoạn thẳng CH. (a) Chứng minh rằng 5 điểm $D, E, F, M, N$ cùng thuộc một đường tròn. (b) $EF$ cắt $BC$ tại $K$, $AK$ cắt $(O)$ tại $Q$. Chứng minh $AQFE, KQFB$ là các tứ giác nội tiếp. (c) Chứng minh 3 điểm $Q, H, M$ thẳng hàng.[Gợi ý]
Hình bình hành $ABCD$ có góc tù $B$, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Dựng $DE$ vuông góc $AC, DF$ vuông góc $AB, DG$ vuông góc $BC$. Chứng minh 4 điểm $O, E, G, F$ cùng thuộc một đường tròn. [Gợi ý]
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CD. AM cắt BN tại E, BN cắt DM tại F và DM cắt AN tại G. Chứng minh rằng tứ giác AEPF nội tiếp. [Gợi ý]
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\angle A = 60^\circ$. Gọi $H$, $I$ lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Chứng minh 5 điểm $B, C, H, I, O$ cùng thuộc một đường tròn. [Gợi ý]
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn (O), vẽ đường kính $AD$. Đường thẳng $d$ vuông góc với $AD$ cắt $CD, BD$ tại $E$ và $F$. Chứng minh 4 điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc một đường tròn. [Gợi ý]
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $O$ với $\angle A > 90^\circ$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB$ cắt $CD$ tại $E$; đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $CB$ tại $F$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $EF$. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $O$ với $\angle A > 90^\circ$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB$ cắt $CD$ tại $E$; đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $CB$ tại $F$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $EF$. (a) Chứng minh rằng 4 điểm $E,F , C, P$ cùng thuộc một đường tròn. (b) Chứng minh $P$ thuộc $(O)$ và $E, O, F$ thẳng hàng. [Gợi ý]
Cho tam giác $ABC$ với $AB < AC$. Phân giác trong góc $A$ và trung trực đoạn $BC$ cắt nhau tại $D$. Chứng minh rằng $ABDC$ là tứ giác nội tiếp. [Gợi ý]
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$.Vẽ đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ tại $D$ và $E$ và cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. $AP$ cắt $BC$ tại điểm $K$.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$.Vẽ đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ tại $D$ và $E$ và cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. $AP$ cắt $BC$ tại điểm $K$. (a) Chứng minh các tứ giác $KPEC, KPDB$ nội tiếp. (b) Chứng minh $K, D, E$ thẳng hàng. [Gợi ý]
Cho tam giác $ABC$. Đường tròn đi qua hai đỉnh $B, C$ và cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $CD$ và $BE$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$ và $Q$ lá điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh 4 điểm $A, C, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.[Gợi ý]
