Phần 2
Ví dụ 10. (USAMO 2012) Gọi $P$ là một điểm thuộc miền trong tam giác $ABC$ và $d$ là một đường thẳng qua $P$. Đường thẳng đối xứng của $PA$ qua $d$ cắt $BC$ tại $A’$; các điểm $B’, C’$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $A’, B’, C’$ thẳng hàng.
Lời giải
Ta có $\dfrac{A’B}{A’C} = \dfrac{S_{A’PC}}{S_{A’PC}} = \dfrac{PB\cdot \sin A’PB}{PC\cdot\sin A’PC}$. (1)
Tương tự ta cũng có $\dfrac{B’C}{B’A} = \dfrac{PC \cdot \sin B’PC}{PA \cdot \sin B’PA}$ và $\dfrac{C’A}{C’B} = \dfrac{PA \cdot \sin C’PA}{PB \cdot \sin C’PB}$. (2)
Theo tính chất đối xứng ta có $\sin A’PB = \sin B’PA,\\ \sin A’PC = \sin C’PA, \sin B’PC = \sin C’PB$. (3)
Từ (1), (2), (3) ta có $$\dfrac{A’B}{A’C}\cdot \dfrac{B’C}{B’A}\cdot \dfrac{C’A}{C’B} = 1$$
Do đó $A’,B’,C’$ thẳng hàng.
Ví dụ 11. Cho tam giác $ABC$. Ba đường tròn $w_a, w_b, w_c$ lần lượt đi qua các cặp đỉnh $B,C$; $C, A$; và $A, B$. Gọi $D, E, F$ lần giao điểm thứ hai của ba đường tròn này. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $AD$ cắt $BC$ tại $X$; các điểm $Y, Z$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $X, Y, Z$ thẳng hàng.
Lời giải
Ta có $\dfrac{XB}{XC} = \dfrac{DB\sin XDB}{DC \sin XDC}$;
$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{R_c \sin DAB}{R_b \sin DAC}$ và $\dfrac{\sin ADB}{\sin XDC} = \dfrac{\cos ADB}{\cos ADC}$;
Tương tự cho các phân thức $\dfrac{YC}{YA}, \dfrac{ZA}{ZB}$.
Mặt khác ta có $AD, BE, CZ$ đồng quy tại tâm đẳng phương nên $\dfrac{\sin DAB}{\sin DAC}\cdot \dfrac{\sin EBC}{\sin EBA}\cdot \dfrac{\sin FCA}{\sin FCB} = 1$.
Từ đó ta có $\dfrac{XB}{XC} \cdot \dfrac{YC}{YA} \cdot \dfrac{ZA}{ZB}=1$.
Vậy $X, Y, Z$ thẳng hàng.
Ví dụ 12. (IMO shortlist 2013) Cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng tồn tại các điểm $D, E, F$ thuộc các cạnh $BC, AC, AB$ thỏa: $OD + DH = OE+EH = OF + FH$ và $AD, BE, CF$ đồng quy.
Lời giải
Gọi $H_1$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$, thì $H_1 \in (O)$.
Gọi $D$ là giao điểm của $OH_1$ và $BC$, khi đó $OD + DH = OD + DH_1 = OH_1 = R$.
Các điểm $E, F$ được xác định tương tự ta có $OD + DH = EO +EH = OF + FH$.
Ta cần chứng minh $AD, BE, CF$ đồng quy bằng định lý Ceva dạng sin.
Ta có $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{S_{BH_1D}}{S_{CH_1D}} = \dfrac{BH_1.\sin BH_1D}{CH_1 \sin CH_1D} = \dfrac{BH}{CH}\dfrac{\sin B}{\sin C}$
Các đẳng thức kia tương tự, nhân lại ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ 13. Cho tam giác $ABC$ khác tam giác cân nội tiếp đường tròn $w$, các đường trung tuyến từ $A, B,C$ cắt $w$ tại $A’, B’, C’$. Gọi $A_1$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $A’$ với $BC$; các điểm $B_1, C_1$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng.
Lời giải
Ta có $A_1B\cdot A_1C = A_1A’^2 \Rightarrow \dfrac{A_1B}{A_1C} = \dfrac{A_1B^2}{A_1A’^2} = \dfrac{\sin^2 A_1A’B}{\sin^2 A_1BA’} = \dfrac{\sin^2 A’AB}{\sin^2 A’AC}$.
Chứng minh tương tự cho các đẳng thức kia và nhân lại, áp dụng ceva sin cho 3 đường $AA’, BB’, CC’$ đồng quy.
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$, gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $K$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Đường thẳng $IK$ cắt các cạnh $BC$ và $AD$ tại $P, Q$.
Chứng minh rằng: $ \dfrac{\overline{IP}}{\overline{IQ}} = -\dfrac{\overline{KP}}{\overline{KQ}}$
Bài 2. Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn $w$, $w$ tiếp xúc với các cạnh $AB, BC, CD, DA$ lần lượt tại $M, N, P, Q$. Chứng minh $MQ, BD, PN$ song song hoặc đồng quy.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$, đường phân giác ngoài góc $A$ cắt đường thẳng vuông góc với $BC$ kẻ từ $B$ và $C$ lần lượt tại $D$ và $E$. Chứng minh rằng $BE, CD$ và $AO$ đồng quy, với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Bài 4. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là điểm đối xứng của $I$ qua $BC, AC, AB$. Chứng minh rằng $AA’, BB’, CC’$ đồng quy.
Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông $BCDE, ACFG, ABHK$ với tâm lần lượt là $O_1, O_2, O_3$. Chứng minh $AO_1, BO_2, CO_3$ đồng quy.
Bài 6. Cho tam giác $ABC$ không cân tại $A$. $M$ là một điểm nằm trong tam giác thỏa $\angle AMB – \angle ACB = \angle AMC – \angle ABC$. Chứng minh rằng đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AMB$ và $AMC$ đi qua một điểm cố định.
Bài 7. Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. $AM, BM, CM$ cắt $BC, AC, AB$ lần lượt tại $A’, B’, C’$. Gọi $P$ là giao điểm của $BB’$ và $A’C’$; $Q$ là giao điểm của $CC’$ và $A’B’$. Chứng minh rằng: $$\angle MAP = \angle MAQ \Leftrightarrow \angle MAB = \angle MAC$$
Bài 8. Cho tam giác $ABC$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$; $O_1, O_2, O_3$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $BCO, ACO$ và $ABO$. Chứng minh rằng $AO_1, BO_2, CO_3$ đồng quy tại một điểm.(Điểm Kosnita)
Bài 9. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm cạnh $AB$. $CE$ là phân giác góc $\angle ACB$. $D$ thuộc tia đối của tia $CA$ sao cho $CD = CB$. Gọi $K$ là giao điểm của $DM$ và $CE$. Chứng minh rằng $\angle KBC = \angle BAC$.
Bài 10. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Gọi $A_o, B_o, C_o$ là trung điểm của $BC, AC, AB$. $A_1$ là giao điểm của $AA_o$ và $(O)$, $A_2$ là giao điểm của $H$ qua $A_o$; đường thẳng $A_1A_2$ cắt $BC$ tại điểm $S_a$; các điểm $S_b, S_c$ được xác định tương tự. Chứng minh $S_a, S_b, S_c$ thẳng hàng.
Bài 11. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt thuộc các cạnh $BC, AC, AB$ sao cho các đường thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy.
a) Gọi $A_2$ là điểm đối xứng của $A_1$ qua trung điểm cạnh $BC$; các điểm $B_2, C_2$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $AA_2, BB_2, CC_2$ cũng đồng quy.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$ cắt $BC, AC, AB$ tại $A_3, B_3, C_3$. Chứng minh $AA_3, BB_3, CC_3$ đồng quy.
Bài 12. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt thuộc các cạnh $BC, AC$ và $AB$. Gọi $G_a, G_b, G_c$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $AB_1C_1, BC_1A_1, CA_1B_1$. Chứng minh rằng $AG_a, BG_b, CG_c$ đồng quy khi và chỉ khi $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy.
Bài 13.(IMO SL 1995) Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ tại $D, E, F$. $X$ là điểm bên trong tam giác $ABC$ sao cho đường tròn nội tiếp tam giác $XBC$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$, tiếp xúc với $CX, BX$ tại $Y, Z$. Chứng minh rằng $E, F, Z, Y$ cùng thuộc một đường tròn.
Bài 14. Cho $P$ là điểm thuộc miền trong của tam giác $ABC$. Gọi $D, E, F$ là hình chiếu của $P$ trên $BC, AC, AB$. Gọi $X$ là điểm trên $EF$ sao cho $PX \bot PA$; các điểm $Y, Z$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng các điểm $X, Y, Z$ thẳng hàng.
Bài 15. (IMO SL 2006) Cho tam giác $ABC$ có $\angle ACB < \angle BAC < 90^o$.Lấy $D$ là điểm thuộc cạnh $AC$ sao cho $BD = BA$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $AB$ tại $K$ và $AC$ tại $L$. Gọi $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$. Chứng minh rằng đường thẳng $KL$ chia đôi đoạn $AJ$.
Bài 18. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $A_1$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$, gọi $A_2$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$; các điểm $B_1, B_2, C_1, C_2$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng đường tròn ngoại các tam giác $OA_1A_2 OB_1B_2$ và $OC_1C_2$ cùng đi qua 2 điểm.
Bài 19. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác và tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ tại $D, E, F$. $X$ là điểm nằm trong tam giác $DEF$, gọi $A_1, A_2$ là giao điểm của $DX$ với $EF$ và $(I)$; các điểm $B_1,B_2$;$C_1,C_2$ được xác định tương tự.
a) Chứng minh $AA_2, BB_2, CC_2$ đồng quy tại $Y$; $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy tạu $Z$.
b) Chứng minh $X, Y, Z$ thẳng hàng.
Bài 20. Cho một đường tròn với hai dây $AB$ và $CD$ không song song. Đường vuông góc với $AB$ kẻ từ $A$ cắt đường vuông góc với $CD$ kẻ từ $C$ và từ $D$ lần lượt tại $M, P$. Đường vuông góc với $AB$ kẻ từ $B$ cắt đường vuông góc với $CD$ kẻ từ $C$ và $D$ lần lượt tại $Q$ và $N$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AD, BC, MN$ đồng quy và các đường thẳng $AC, BD, PQ$ cũng đồng quy.
Bài 21. (IMO shortlis 2011) Cho $ABC$ là một tam giác với đường tròn nội tiếp tâm $I$ và đường tròn ngoại tiếp $(C)$. $D$ và $E$ là giao điểm thứ hai của $(C)$ với các tia $AI$ và $BI$ tương ứng. $DE$ cắt $AC$ tại điểm $F$, và cắt $BC$ tại điểm $G$. $P$ là giao điểm của đường thẳng đi qua $F$ song song với $AD$ và đường thẳng qua $G$ song song với $BE$. Giả sử rằng $K$ là giao điểm của các tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và $B$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $AE, BD$ và $KP$ là song song hoặc đồng quy.
Bài 22. (China TST 2014) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$; $H_a$ là chân đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$. $AO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$ tại $A’$. Gọi $D, E$ là hình chiếu của $A’$ trên $AB$ và$AC$; và $O_a$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEH_a$; Ta định nghĩa các điểm $H_b, O_b, H_c, O_c$ tương tự. Chứng minh rằng $H_aO_a, H_bO_b$ và $H_cO_c$ đồng quy.
