Category Archives: Lớp 9

Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Leave a reply

1. Phương pháp biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$

b)  $a^4+b^4+c^4 \ge abc(a+b+c)$

Giải

a) Ta có: $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca $

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \ge 2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0$ .

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng với mọi $a,b,c$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$

b) Áp dụng câu (a) liên tiếp ta có:

$a^4+b^4+c^4  \ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2= (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2$

$\hspace{2,6cm}  \ge ab\cdot bc+bc\cdot ca+ca\cdot ab=abc(a+b+c)$.

Dấu ‘=’ xảy ra khi $a=b=c.$

Ví dụ 2: Với mọi $x \in \mathbb{R}$. Chứng minh $2x^4+1 \ge 2x^3+x^2.$

Giải

Ta có  $2x^4+1-2x^3-x^2=1-x^2-2x^3(1-x)$

$\hspace{5,4cm} =(1-x)(1+x)-2x^3(1-x)$

$\hspace{5,4cm} = (1-x)(x+1-2x^3)$

$\hspace{5,4cm} =(1-x)[x(1-x^2)+1-x^3]$

$\hspace{5,4cm} =(1-x)^2[(1+x)^2+x^2] \ge 0. \forall x \in \mathbb{R}.$

Từ đó suy ra $2x^4+1 \ge 2x^3+x^2, \forall x \in \mathbb{R}$. Dấu “=” xảy ra khi $x=1.$

Ví dụ 3: Với mọi $x \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng $x^{12}-x^9+x^4-x+1 >0.$

Giải

Ta xét hai trường hợp $x<1$ và $x \ge 1.$

  • Trường hợp $x<1$, ta có $x^{12}-x^9+x^4-x+1=x^{12}+(x^4-x^9)+(1-x). $

 Vì $x<1$ nên $1-x>0, x^4-x^9>0$ do đó $x^{12}-x^9+x^4-x+1 >0.$

  •  Trường hợp $x \ge 1$, ta có $x^{12}-x^9+x^4-x+1=x^8(x^4-x)+(x^4-x)+1.$

 Vì $x \ge 1$ nên $x^4-x \ge 0$ do đó $x^{12}-x^9+x^4-x+1 >0.$

Ví dụ 4: (PTNK chuyên toán 1998) Cho $x, y, z, p, q, r$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x + y + z = p + q + r=1$ và $p,q,r \leq \dfrac{1}{2}$.

a) Chứng minh rằng nếu $x \leq y \leq z$ thì $px + qy + rz \geq \dfrac{x+y}{2}$

b) Chứng minh rằng $px + qy + rz \geq 8xyz$

Giải

a) Ta có $px+ qy + rz \geq \left( p-\dfrac{1}{2}\right) x + \dfrac{1}{2}x + (q+r)y \\ \ge \left( p-\dfrac{1}{2}\right) x + \left( q+r-\dfrac{1}{2}\right) y + \dfrac{1}{2}(x+y)\\ \ge \left( p-\dfrac{1}{2}\right) (x-y) + \dfrac{1}{2}(x+y) \\ \geq \dfrac{1}{2}(x+y)$

Vì $p – \dfrac{1}{2}\leq 0, x – y \leq 0$ nên $(p-\dfrac{1}{2})(x-y) \geq 0$.

b) Vai trò của $x, y, z$ như nhau, ta có thể giả sử $x \leq y \leq z$.

Áp dụng câu a, ta cần chứng minh $x+y \geq 16xyz$.

Ta có $4xy \leq (x+y)^2$, suy ra $16xyz \leq 4z(x+y)^2 = 4z(1-z)(x+y)$.

Mà $4z(1-z) \leq (z+1-z)^2 = 1$.

Do đó $16xyz \leq x+y$ (điều cần chứng minh).

Ví dụ 5: (PTNK Chuyên toán 2013) Cho $x, y$ là hai số không âm thỏa $x^3+y^3 \le x- y$.

a) Chứng minh rằng $y \leq x \leq 1$.

b) Chứng minh rằng $x^3+y^3 \leq x^2 + y^2 \leq 1$.

Giải

a) Ta có $x – y \geq x^3 + y^3 \geq 0$, suy ra $x \geq y$.

Ta có $x \geq y + y^3 + x^3 \geq x^3$, suy ra $x(1-x)(1+x) \geq 0$. Suy ra $0\leq x \leq 1$.

Do đó $0 \leq y \leq x \leq 1$.

b) Từ câu a ta có $0 \leq y \leq x \leq 1$, suy ra $x^3 \leq x^2, y^3 \leq y^2$. Suy ra $x^3+y^3 \leq x^2+y^2$.

Ta có $x – y \geq x^3+y^3 \geq x^3-y^3 \geq 0$.

Suy ra $x^2+y^2+xy \leq 1$, suy ra $x^2+y^2 \leq 1$.

Vậy $x^3+y^3\leq x^2+y^2 \leq 1$.

Ví dụ 6: Cho các số $x, y, z$ thỏa $|x| \leq 1, |y| \leq 1, |z| \leq 1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2} + \sqrt{1-z^2} \leq \sqrt{9-(x+y+z)^2} $

Giải

Bình phương hai vế của bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức tương đương:

$ 3-x^2-y^2-z^2 + 2\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} + 2\sqrt{1-y^2}\sqrt{1-z^2}  + 2\sqrt{1-z^2}\sqrt{1-x^2} \leq 9-(x+y+z)^2\\ \Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} + \sqrt{1-y^2}\sqrt{1-z^2} + \sqrt{1-z^2}\sqrt{1-x^2}  \leq 3-xy-yz-xz  $

Để hoàn tất chứng minh, ta cần chứng minh $\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} \leq 1-xy (*)$.

Thật vậy do $1-xy\geq 0$ nên (*) tương đương với $(1-x^2)(1-y^2) \leq (1-xy)^2 \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0$ (đúng).

2. Bài tập

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $a^2+b^2+1 \ge ab+a+b$

b) $a^2+b^2+c^2+d^2 +e^2 \ge a(b+c+d+e)$

c) $3(ab+bc+ca) \le (a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)$

Bài 2: Cho $x,y >0$. Chứng minh $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x} \ge x+y$

Bài 3: Với mọi $x, y \ne 0$. Chứng minh

a) $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \ge \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$

b) $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4 \ge 3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})$.

Bài 4: Cho $x,y \ge 1$. Chứng minh $\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2} \ge \dfrac{2}{1+xy}$.

Bài 5: Cho $x,y>0$. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2} \ge \dfrac{1}{1+xy}$.

Bài 6: Cho $a>0$. Chứng minh $\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{5(a^2+1)}{2a} \ge \dfrac{11}{2}$.

Bài 7: Cho $ab \ne 0$. Chứng minh $\dfrac{4a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}+\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2} \ge 3$.

Bài 8: Cho $a,b>0$. Chứng minh $\dfrac{a^2b}{2a^3+b^3}+\dfrac{2}{3} \ge \dfrac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}$.

Bài 9: Cho $a^2+b^2 \ne 0$. Chứng minh$\dfrac{2ab}{a^2+4b^2}+\dfrac{b^2}{3a^2+2b^2} \le \dfrac{3}{5}$.

Bài 10: Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh rằng nếu $\dfrac{a}{b}<1$ thì $\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}$. Từ đó suy ra

a) $\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}<2$

b) $1<\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}<2$

c) $2< \dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{b+c+d}+\dfrac{c+d}{c+d+a}+\dfrac{d+a}{d+a+b}<3$.

Phương trình nghiệm nguyên – Phương pháp đồng dư thức

Leave a reply

1. Phương pháp đồng dư thức

Ví dụ 1: Giải phương trình $ x^3 +21y^3+5=0 $

Giải

Ta có với mọi $x$ thì $ x^3\equiv 0, 1, -1 \ (\mod 7) \Rightarrow x^3 +21y^2+5\equiv 5,6,4\ (\mod 7) $

Do đó phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình trong tập số tự nhiên: $6^x = y^2+y-2 $

Giải

Với mọi số nguyên $x$ thì $ 6^x \equiv 1\ (mod\ 5) $

Mặt khác, $ y^2+y-2 = (y-1)(y+2) \equiv 0,3,4\ (mod\ 5) \Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $7^x – 9^y = 4$

Giải

Ta có $9^y \equiv 1 (\mod 4)$ suy ra $7^x \equiv (-1)^x (\mod 4)$ suy ra $x$ chẵn. $x = 2k$.

Ta có $7^{2k} – 3^{2y} = 4 \Leftrightarrow (7^k-2)(7^k+2) = 3^{2y}$.

Dễ thấy $(7^k-2, 7^k+2) = 1$ suy ra $7^k-2 = 1, 7^k+2 = 3^{2y}$ vô nghiệm.

Ví dụ 4: Tìm $x, y, z$ nguyên dương và $z \geq 2$ thỏa $3^x + 5^x = y^z$

Giải

+ Nếu $x = 1$ ta có $y^z = 8$ thì $y = 2, z=3$.

+ Nếu $x$ chẵn. $3^x + 5^x \equiv 2( \mod 4)$, suy ra $y$ chẵn và $y^z \equiv 2(\mod 4)$, suy ra $z = 1$. (vô lý).

+ Nếu $x$ lẻ, $x > 1$. Khi đó $LHS=3^x + 5^x = (3+5)(3^{x-1}-3^{x-2}\cdot 5 +\cdots +5^{x-1})$.

Ta có $3^{x-1}-3^{x-2}\cdot 5 +\cdots +5^{x-1}$ có $x$ số hạng lẻ, nên tổng là lẻ.

Do đó $LHS$ chia hết cho 8, nhưng ko chia hết cho 16, kết hợp $z > 1$ ta được $z=3$.

Ta có: $5^6 \equiv 1 (\mod 9)$ suy ra $5^x \equiv 5\  (\mod 9)$ nếu $x \equiv 1\ (\mod 6)$;

 $5^x \equiv -1\  (\mod 9)$ khi $x \equiv 3 \ (\mod 6)$;

 $5^x \equiv 2 \ (\mod 9)$ khi $x \equiv 5\ (\mod 6)$.

Mặt khác $y^3 \equiv 0, 1, -1 (\mod 9)$. Do đó  $3^x + 5^x = y^3$ khi $ x \equiv 3 \ (\mod 6)$.

Lại có $3^x + 5^x \equiv 5 (\mod 7)$ khi $x \equiv 3 (\mod 6)$.

Do đó phương trình vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình là $(1,2,3)$.

2. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

a) $2^x-3^y=1$;

b) $2^x-3^y=7$;

c) $2^x+3^y=z^2$;

d) $3^x+4^y=5^z$;

e) $3^x+4^y=7^z$.

Bài 2: (PTNK 2013) Cho $M = a^2 + 3a + 1$ với $a$ là số nguyên dương.

a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.

b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5?

Bài 3: (PTNK 2009)

a) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho ${a^2} + a = {2010^{2009}}$

b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho $a + {a^2} + {a^3} = {2009^{2010}}$

Phương trình nghiệm nguyên – Phương pháp biến đổi thành tích

Leave a reply

1. Phương pháp biến đổi thành tích

Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên $2xy + 3x + 4y = 9$

Giải

Ta biến đổi thành $(x+2)(2y+3) = 15$.

Do đó $x+2 \in \{-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15\}$.

Giải ra được các nghiệm $(x;y)$ là: $(-17;-2), (-7;-3), (-5;-4), (-3;-9), (-1;6), (1;1), (3;0), (13;-1)$.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình $(xy-7)^2 = x^2 + y^2$

Giải

Biến đổi phương trình thành

$(xy-6)^2-(x+y)^2==-13$

$\Leftrightarrow (xy-x-y-6)(xy+x+y-6) = -13$.

  • TH1: $xy – x-y-6 = -13, xy+x+y-6 = 1$.
  • TH2: $xy-x-y-6 = -1, xy+x+y-6 = 13$.

Giải ra nghiệm $(x;y)$ là $(3;4), (4;3), (7;0), (0;7)$.

Ví dụ 3: Giải nghiệm nguyên dương của phương trình $x(y^2-p) + y(x^2-p) = 5p$ trong đó $p$ là số nguyên tố.

Giải

Biến đổi pt thành $(x+y)(xy-p) = 5p$.

  • TH1: $x+y = 5, xy – p = p$, giải ra được $(x;y,p)$ là $(1;4;2),(4;1;2), (2;3;3), (3;2;3)$.
  • TH2: $x+y = p, xy -p=5$, ta có $xy –  x-y = 5 \Leftrightarrow (x-1)(y-1) = 6$.

Giải ra được $(x;y;p)$ là $(3;4;7), (4;3;7)$.

  • TH3: $x+y=5p, xy-p = 1$, ta có $5xy -x-y = 5 \Leftrightarrow (5x-1)(5y-1) = 26$.

Không tìm được $x$, $y$ thỏa yêu cầu.

Vậy phương trình có 6 nghiệm.

Ví dụ 4: Giải phương trình trong tập các số nguyên dương $x + x^2 + x^3 = y+y^2$

Giải

Ta có phương trình viết lại  $x^3 = (y-x)(y+x+1)$.

Khi đó nếu $p$ là ước nguyên tố của $y-x, y+x+1$ thì $p = 1$(vô lí).

Do đó $(y-x, y+x+1) = 1$

Khi đó $y-x = a^3, y+x+1 = b^3$ và $ab=x$.

$\Rightarrow b^3-a^3 = 2ab+1$, vì $b \geq a+1$

$\Rightarrow b^3-a^3 = (b-a)(a^2+b^2+1) > 2ab+1$ phương trình vô nghiệm.

2. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau trong tập nguyên dương:

a) $ 2x^2+3xy-2y^2=7 $.

b) $ x^3-xy=6x-5y-8 $

c) $ x^3-y^3=91 $.

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2020}$

Bài 3: Tìm các số nguyên $x$, $y$ sao cho:

a) $3^x-y^3=1$;

b) $1+x+x^2+x^3=2^y$;

c) $1+x+x^2+x^3=2003^y$.

Bài 4: Tìm các số nguyên tố $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: $x^y+1=z$

Bài 5: Tìm các số nguyên dương $x, y,z$ thỏa $y$ nguyên tố và $y, 3$ không là ước của $z$ thỏa $x^3-y^3=z^2$.

Định lý Viete và áp dụng nâng cao

Leave a reply

1. Định lý Viete và áp dụng

Định lý Viete: Nếu phương trình $ax^2 + bx + c=0$ $(a\ne 0)$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ $(\Delta \ge 0)$  thì $$S=x_1+x_2 =-\dfrac{b}{a},\ P=x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$$

Ví dụ 1: Cho phương trình $x^3 -4x\sqrt{x} +m + 1=0$ $(1)$

a) Giải phương trình $(1)$ khi $m=-33$

b) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có đúng hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa $x_1^6 +x_2^6=82$.

Giải

Đặt $t=x\sqrt{x} \ge 0$

a) Khi $m=-33$ ta có phương trình: $t^2 -4t -32=0  \Leftrightarrow t=-4 \ ( \text{loại})  \text{ hoặc } \ t=8  ( \text{nhận})$

Với $t = 8$ ta được $x = 4$.

b) Với $t=x\sqrt{x}$ thì phương trình $(1)$ tương đương $t^2-4t+m+1=0 \ \ \ (2)$

Để $(1)$ có hai nghiệm phân biệt thì $(2)$ phải có hai nghiệm phân biệt không âm $\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta’>0 &\\\\ S>0 &\\\\ P\ge 0 \end{cases}$

Ta có $\Delta’ =3-m >0 \Leftrightarrow m<3 $ và $\left\{ \begin{array}{l} S=t_1 + t_2 =4 \\ P =t_1t_2=m+1 \end{array} \right. $

Khi đó $x_1^6 + x_2^6 = t_1^4 + t_2^4 $

$= \left( t_1^2 + t_2^2 \right) ^2 – 2t_1^2 t_2^2 $

$= \left[ S^2 -2P \right] ^2 -2P^2 $

$= (14-2m)^2 -2(m+1)^2 $

$= 2m^2 -60m +194 $

$x_1^6 + x_2^6 =82 \Leftrightarrow m^2 -30m +56 =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=2 \\ m=28 \end{array} \right.$

Chỉ có $m=2$ thoả các điều kiện. Vậy $m=2$ thoả yêu cầu đề bài.

Ví dụ 2: Cho phương trình $\dfrac{(x+1)(x^2+mx+2m+14)}{\sqrt{x}} = 0 \ (1)$.

a) Giải phương trình $(1)$ khi $m = -8$.

b) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho: $\sqrt{x_2^2+(m+1)x_2+2m+14} = 3 – \sqrt{x_1}$

Giải

a) Điều kiện $x > 0$.

Khi $m = -8$ ta có phương trình:

$\dfrac{(x+1)(x^2-8x-2)}{\sqrt{x}} = 0 \Leftrightarrow x^2-8x – 2 = 0$ (do $x+1 > 0$).

$\Leftrightarrow x = 4+3\sqrt{2} $ (n) hoặc  $x=4-3\sqrt{2} $ (l).

Vậy phương trình có một nghiệm $x = 4 +3\sqrt{2}$.

b) Phương trình $(1)$ tương đương $x^2+mx+2m+14 = 0$  $(2)$

Để $(1)$ có $2$ nghiệm phân biệt thì $(2)$ có hai nghiệm phân biệt dương, tương đương $\Delta = m^2-4(2m+14) > 0,  S = -m > 0,  P = 2m + 14 >0   (*)$

Khi đó $x_1 + x_2 = -m, x_1x_2 = 2m+14$ và $x_2$ là nghiệm nên $x_2^2+mx_2+2m+14 = 0$, suy ra $x_2^2+(m+1)x_2 +2m+14 = x_2$.

Do đó $\sqrt{x_2^2+(m+1)x_2+2m+14} = 3 – \sqrt{x_1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=3$

$\Leftrightarrow x_1 + x_2 +2\sqrt{x_1x_2}=9$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2m+14}=9+m $ (điều kiện $m\ge -9$)

$\Leftrightarrow 4(2m+14) = m^2+18m+81 $

$\Leftrightarrow m^2 +10m+25 = 0 $

$\Leftrightarrow m = -5 \,\, (n) $

Vậy $m = -5$ thoả yêu cầu đề bài.

Ví dụ 3: Gọi $a, b$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 + px + 1 = 0$; $c, d$ là hai nghiệm của phương trình $y^2 + qy + 1 = 0$. Chứng minh rằng $$(a-c)(a-d)(b-c)(b-d) = (p-q)^2$$

Giải

Theo định lý Viete ta có $a+b=-p, ab = 1$ và $c+d = -q, cd = 1$.

Khi đó $(a-c)(a-d)(b-c)(b-d) = (a^2-a(c+d)+cd)(b^2-b(c+d)+cd)$

$= (a^2+aq+1)(b^2+bq+1)$

$= a^2b^2+abq^2+ab^2q + a^2bq + a^2+b^2+aq+bq+1$

$= 1+q^2+abq(a+b) + q(a+b)+1+(a+b)^2-2ab$

$= q^2-2pq+p^2 = (p-q)^2$.

Ví dụ 4: Cho phương trình $(m^2+5)x^2-2mx-6m=0$.

a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tổng hai nghiệm không thể là số nguyên.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thoả $(x_1x_2-\sqrt{x_1+x_2})^4=16.$

Giải

a) Phương trình có hai nghiêm phân biệt khi và chỉ khi:

$\begin{cases} m^2+5 \ne 0 &\\ \Delta’=m^2+6m(m^2+5)>0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow m(6m^2+m+30)>0$

$\Leftrightarrow m[5m^2+(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{119}{4}] >0$

$\Leftrightarrow m>0.$

Khi đó theo định lý Viete ta có $x_1 + x_2 = \dfrac{2m}{m^2+5}$.

Vì $m^2+5-2m = (m-1)^2 + 4 > 0$, suy ra $m^2+5 >2m > 0$.

Do đó $0 < \dfrac{2m}{m^2+5} < 1$ nên tổng hai nghiệm của phương trình không thể là số nguyên.

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm $\Delta’ \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 0$. Khi đó

$\begin{cases} x_1+x_2=\dfrac{2m}{m^2+5}&\\ x_1x_2=-\dfrac{6m}{m^2+5}. \end{cases}$

Ta có $(x_1x_2-\sqrt{x_1+x_2})^4=16 \Leftrightarrow x_1x_2-\sqrt{x_1+x_2}=2$ hoặc $x_1x_2-\sqrt{x_1+x_2}=-2$

Trường hợp 1: $x_1x_2 – \sqrt {x_1 + x_2} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ – 6m}}{{{m^2} + 5}} – \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} = 2$ .

Đặt $t = \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} $ , ta có phương trình: $ – 3{t^2} – t = 2\left( {VN} \right)$

Trường hợp 2:  ${x_1}{x_2} – \sqrt {{x_1} + {x_2}} = – 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ – 6m}}{{{m^2} + 5}} – \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} = – 2$ .

Đặt $t = \sqrt {\dfrac{{2m}}{{{m^2} + 5}}} $ ta có phương trình: $-3t^2 -t = -2 \Leftrightarrow t = -1 (l), t=\dfrac{2}{3}$.

Với $t = \dfrac{2}{3}$ ta có $\dfrac{2m}{m^2+5} = \dfrac{4}{9}$. Giải ra được $m = 2\ (n), m = \dfrac{5}{2}\ (n)$.

Ví dụ 5: Cho phương trình $x^2-px+p=0$ với $p$. Tồn tại hay không số nguyên dương $p$ sao cho phương trình đã cho có nghiệm nguyên?

Giải

Ta có $\Delta=p^2-4p$.

Để phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta $ phải là số chính phương. Suy ra tồn tại số nguyên dương $k$ để

$p^2-4p=k^2$

$\Leftrightarrow k^2-(p-2)^2=4$

$\Leftrightarrow (k+p-2)(k-p+2)=4.$

Vì $k+p-2+k-p+2=2k $ là một số chẵn nên cả hai số $k+p-2$ và $k-p+2$ đều là số chẵn.

Từ đó $k+p-2=k-p+2=2$ hoặc $k+p-2=k-p+2=-2$.

Suy ra $p=2$. Khi đó phương trình trở thành $$x^2-2x+2=0.$$

Phương trình trên vô nghiệm vậy không tồn tại số nguyên dương $p$ thoả yêu cầu đề bài.

Ví dụ 6: Giả sử phương trình $2x^2+2ax+1-b=0$ có hai nghiệm nguyên . Chứng minh rằng $a^2-b^2+2$ là số nguyên không chia hết cho 3.

Giải

Theo định lý Viete ta có $x_1 + x_2 = -a, x_1x_2 = \dfrac{1-b}{2}$.

Khi đó $$Q= a^2 – b^2 + 2 = (x_1+x_2)^2 – (2x_1x_2-1)^2 + 2 = x_1^2 + x_2^2 -4x_1^2x_2^2 + 6x_1x_2 + 1$$ là một số nguyên.

Ta sẽ chứng minh $Q$ không chia hết cho 3.

Ta có tính chất sau, với một số nguyên $m$ bất kì thì nếu $m$ chia hết cho 3 thì $m^2$ chia hết cho 3. Nếu $m$ chia 3 dư 1 hoặc 2 thì $m^2$ chia 3 dư 1.

Ta có $Q = x_1^2 +x_2^2 – x_1^2x_2^2 + 1 – 3x_1^2x_2^2 + 6x_1x_2$.

Ta cần chứng minh $Q’ = x_1^2 + x_2^2 – x_1^2x_2^2 + 1$ không chia hết cho 3. Xét xác trường hợp sau:

TH1: Nếu $x_1, x_2$ không chia hết cho 3 thì $x_1^2 , x_2^2$ chia 3 dư 1. Khi đó $Q’$ chia 3 dư 2.

TH2: Nếu $x_1$ chia hết cho 3, $x_2$ không chia hết cho 3, khi đó $Q’$ chia 3 dư 2.

TH3: $x_1, x_2$ chia hết cho 3. Khi đó $Q’$ chia 3 dư 1.

Vậy $Q’$ không chia hết cho 3.

Do đó $Q$ không chia hết cho 3.

Ví dụ 7: Cho hai phương trình $x^2+ax+6=0$ và $x^2+bx+12=0$ có một nghiệm chung. Tìm GTNN của $|a|+|b|$.

Giải

Gọi $x_0$ là nghiệm chung của hai phương trình. Khi đó ta có

$\begin{cases} x_0^2+ax_0+6=0 \ \ \ (1)&\\ x_0^2+bx_0+12=0 \ \ \ (2) \end{cases}.$

Cộng vế theo vế hai phương trình trên ta được $2x_0^2+(a+b)x_0+18=0 \ \ \ (3).$

Tồn tại $x_0 \Leftrightarrow $ phương trình (3) phải có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta=(a+b)^2-144 \ge 0 \Leftrightarrow |a+b| \ge 12.$

Mặt khác $|a|+|b| \ge |a+b| \ge 12$. Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases} ab \ge 0&\\|a+b|=12. \end{cases}$

Nếu $a+b=12$ thì từ (3) suy ra $ 2x_0^2+12x_0+18=0$

$\Leftrightarrow x_0^2+6x_0+9=0$

$\Leftrightarrow (x_0+3)^2=0$

$\Leftrightarrow x_0=-3.$

Thay vào (1) và (2) suy ra $a=5, b=7$.

Nếu $a+b=-12$ thì từ (3) suy ra $2x_0^2-12x_0+18=0 \Leftrightarrow x_0=3.$

Thay vào (1) và (2) suy ra $a=-5, b=-7.$

Vậy GTNN của $|a|+|b|$ bằng 12 khi $(a,b)=(5,7)$ hoặc (-5,-7).

Ví dụ 8: Giả sử phương trình $ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm thuộc $[0,3]$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $A=\dfrac{18a^2-9ab+b^2}{9a^2-3ab+ac}.$

Giải

Vì phương trình đã cho có hai nghiệm nên $a \ne 0$.

Khi đó $A=\dfrac{18- 9 \dfrac{b}{a}+ \left( \dfrac{b}{a}\right) ^2}{9-3\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}}.$

Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Khi đó $\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}&\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}. \end{cases}$

Biểu thức cần tính trở thành

$A=\dfrac{18- 9 \dfrac{b}{a}+ \left( \dfrac{b}{a}\right) 2}{9-3\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}}=\dfrac{18+9(x_1+x_2)+(x_1+x_2)^2}{9+3(x_1+x_2)+x_1x_2}$

Giả sử $0 \le x_1 \le x_2 \le 3 \Rightarrow \begin{cases} x_1^2 \le x_1x_2&\\ x_2^2 \le 9 \end{cases} \Rightarrow (x_1+x_2)^2 \le x_1^2+x_2^2+2x_1x_2 \le 9+3x_1x_2.$

Suy ra $Q=\dfrac{18- 9 \dfrac{b}{a}+ (\dfrac{b}{a})^2}{9-3\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}}$

$=\dfrac{18+9(x_1+x_2)+(x_1+x_2)^2}{9+3(x_1+x_2)+x_1x_2} $

$\le \dfrac{18+9(x_1+x_2)+9+3x_1x_2}{9+3(x_1+x_2)+x_1x_2}=3.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x_1=x_2=3$ hoặc $x_1=0$ và $x_2=3.$

Nếu $x_1=x_2=3$ thì $\begin{cases} \dfrac{-b}{a}=6&\\ \dfrac{c}{a}=9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=-6a&\\ c=9a. \end{cases}$

Nếu $x_1=0, x_2=3$ thì $\begin{cases} -\dfrac{b}{a}=3&\\ \dfrac{c}{a}=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=-3a&\\ c=0. \end{cases}$

Ta có $$A-2=\dfrac{3(x_1+x_2)+x_1^2+x_2^2}{9+3(x_1+x_2)+x_1x_2} \ge 0 \Rightarrow A \ge 2.$$

Dấu “=” xảy ra khi $x_1=x_2=0 \Leftrightarrow b=c=0.$

Vậy GTLN của A là 3 và GTNN của A là 2.

2. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{(x+1)[m(mx+1)x+1-x]}{\sqrt{x}}=0$ có nghiệm.

Bài 2: Cho phương trình $(x^2-4(m+1)x-2m^2-1)(\sqrt{x}+x-6)=0$.

a) Giải phương trình khi $m=1$.

b) Chứng minh phương trình không thể có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 3: Cho phương trình $\sqrt{x}(x+1)[mx^2+2(m+2)x+m+3=0]$.

a) Giải phương trình khi $m=1$.

b) Chứng minh phương trình không thể có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 4: Cho phương trình $\dfrac{\sqrt{x}(mx^2-3(m+1)x+2m+3)}{x-2}=0$.

a) Giải phương trình khi $m=2$.

b) Tìm $m$ để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 5: Cho phương trình $x^4+2mx^2+4=0$.

a) Giải phương trình với $m=3$.

b) Tìm $m$ để phương trình có 0,1,2,3,4 nghiệm

c) Tìm $m$ để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thoả $x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=32$.

Bài 6: Cho phương trình $x^2-2(m+1)|x-2|-4x+m=0$.

a) Giải phương trình khi $m$=1.

b) Tìm $m$ để phương trình có 0,1,2,3,4 nghiệm.

Bài 7: Tìm $m$ để phương trình $x^3+2(m-1)x^2+(m^2-4m+1)x-2(m^2+1)=0$ có ba nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3.

Bài 8: Tìm $m$ để phương trình $x^3-2mx^2+(2m^2-1)x+m(1-m^2)=0$ có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Bài 9: Cho phương trình $x++2\sqrt{x-1}-m^2+6m-11=0.$

a) Giải phương trình khi $m=2$.

b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi $m$.

Bài 10: Cho phương trình $(x^2-mx-2m^2)\sqrt{x-3}=0$.

a) Giài phương trình khi $m=2$.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm thoả $x_1^2+2x_2^2=7m^2+2$.

c) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có không quá hai nghiệm phân biệt.

Bài 11: Cho phương trình $\dfrac{mx^2+(m-3)x+2m-1}{x+3}=0$.

a) Giải phương trình khi $m=-1$.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm thoả $21x_1+7m(2+x_2+x_2^2)=58.$

Hệ phương trình – Phương pháp đặt ẩn phụ – Hệ đối xứng loại một

Leave a reply

1. Hệ phương trình đối xứng loại một

Mục đích của đặt ẩn phụ là ta đưa hệ phương trình đã cho về một hệ phương trình đơn giản hơn đã biết cách giải, giải được hệ mới từ đó ta giải được hệ đã cho.

Trong phương pháp này, ứng dụng đầu tiên là áp dụng cho giải các hệ đối xứng loại một.

Hệ đối xứng loại một là hệ có dạng $\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=0 (1) \\ g(x,y)=0 (2) \end{array} \right.$ trong đó $f(y, x) = f(y,x)$ và $g(x,y) = g(y,x)$, hay nói cách khác các biểu thức $f(x,y), g(x,y)$ là các biểu thức đối xứng theo hai biến $x, y$. Để giải hệ, ta thường đặt $s = x+y, p= xy$, từ đó đưa hệ về theo ẩn $s, p$. Giải $s,p$ ta sẽ giải được $x,y$. Sau đây là một số ví dụ, các bạn theo dõi nhé.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x+y+xy=1 &\\ x^2+y^2+3xy=3. \end{cases} $

Giải

Đặt $S=x+y, P=xy$. Điều kiện $S^2 \ge 4P$.

Khi đó hệ trở thành $\begin{cases} S+P=1 &\\ S^2+P=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} P=1-S &\\ S^2-S-2=0.\end{cases}.$

Ta có $S^2-S-2=0 \Leftrightarrow S=-1$ hoặc $S=2.$

Nếu $S=-1$ thì $P=2$ (loại).

Nếu $S=2$ thì $P=-1$.

Khi đó $x,y $ là nghiệm của phương trình: $X^2-2X-1=0 \Leftrightarrow X=1\pm \sqrt{2}$.

Suy ra $(x,y)=(1+\sqrt{2};1-\sqrt{2})$ hoặc $(x,y)=(1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}).$

Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x,y)=(1+\sqrt{2};1-\sqrt{2})$ hoặc $(x,y)=(1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}).$

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\begin{cases}x-y+xy=1&\\ x^2+y^2=2 \end{cases}$

Giải

Đặt $u=x-y, v=xy$. Ta được hệ

$\begin{cases} u+v=1&\\ u^2+2v=2. \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} v=1-u&\\ u^2+2(1-u)=2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}v=1-u&\\ u^2-2u=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u=0&\\ v=1 \end{cases}$ hoặc  $\begin{cases} u=2&\\ v=-1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases} u=0&\\ v=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x-y=0&\\ xy=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\ y=1 \end{cases}$  hoặc $\begin{cases} x=1&\\ y=-1. \end{cases}$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)$ là  $(1,1), (-1,-1)$ hoặc $(1,-1)$.

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2(x+y)=3(\sqrt[3]{x^2y}+\sqrt[3]{xy^2})&\\ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=6 \end{cases} $

Giải

Đặt $S=\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}$, $P=\sqrt[3]{xy}$ điều kiện $S^2\ge 4P$

Ta có: $S^3 = x+y + 3\sqrt[3]{xy}\left( \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right) \Rightarrow x+y = S^3 – 3SP$

Khi đó hệ phương trình trở thành

$\begin{cases} 2(S^3-3SP)=3SP&\\ S=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} S=6&\\ P=8 \end{cases}$

Với $\begin{cases} S=6&\\ P=8\end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} =6&\\ \sqrt[3]{xy} =8 \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} x=64&\\ y=8 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x=8&\\ y=64 \end{cases}$

Vậy $(x;y) \in \left\{ (64;8); (8;64)\right\} $

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{26}{5}&\\ x^2-y^2=24 \end{cases}$ $(*)$

Giải

Điều kiện $xy \ne 0$.

$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y^2=\dfrac{26}{5}xy&\\ (x-y)(x+y)=24\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} (x+y)^2-2xy=\dfrac{26}{5}xy&\\ [(x+y)^2-4xy](x+y)^2=24^2. \end{cases}$.

Đặt $u=(x+y)^2, v=xy$ ta được $\begin{cases} u=\dfrac{36}{v}&\\ u^2-4uv=24^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} u=36&\\ v=5. \end{cases}$

Từ đó ta được hệ phương trình $\begin{cases} (x+y)^2=36&\\ xy=5. \end{cases}$.

Trường hợp $\begin{cases} x+y=6&\\ xy=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\ y=5 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x=5&\\ y=1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases}x+y=-6&\\ xy=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=-1&\\ y=-5 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x=-5&\\ y=-1. \end{cases}$

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x^2}{(y+1)^2}+\dfrac{y^2}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{2}&\\ 3xy=x+y+1. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $(x+1)(y+1) \ne 0$.

Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases} \left( \dfrac{x}{y+1}\right) ^2+\left( \dfrac{y}{x+1}\right) ^2=\dfrac{1}{2}&\\ \dfrac{xy}{(x+1)(y+1)}=\dfrac{1}{4} \end{cases}$.

Đặt $u=\dfrac{x}{y+1}, v=\dfrac{y}{x+1}$ ta được $\begin{cases}uv=\dfrac{1}{4}&\\ u^2+v^2=\dfrac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u+v=1&\\ uv=\dfrac{1}{4} \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} u+v=-1&\\ uv=-\dfrac{1}{4}. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases}u+v=1&\\ uv=\dfrac{1}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{x}{y+1}=\dfrac{1}{2}&\\  \dfrac{y}{x+1}=\dfrac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x-y=1&\\ 2y-x=1 \end{cases} \Leftrightarrow x=y=1.$

Trường hợp $\begin{cases}u+v=-1&\\ uv=\dfrac{1}{4} \end{cases}$ giải tương tự ta được $x=y=-\dfrac{1}{3}.$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ \left( -\dfrac{1}{3}; -\dfrac{1}{3}\right) , (1;1)\right\} .$

2. Bài tập

Bài 1:  Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x^2+xy+y^2=4&\\ x+xy+y=2 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x+y+xy=3&\\ x^2y+xy^2=2 \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^2+y^2+x+y=8&\\ xy+x+y=5 \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2+y^2=1&\\ x^3+y^3=1 \end{cases}$

e) $\begin{cases} x^2+y^2=1&\\ x^8+y^8=x^{10}+y^{10} \end{cases}$

f) $\begin{cases} 3xy-x^2-y^2=5&\\ 7x^2y^2-x^4-y^4=155 \end{cases}$

g) $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\frac{1}{y}+xy=\dfrac{7}{2}&\\ x+y=\dfrac{3}{2}xy \end{cases}$

h) $\begin{cases} (x-y)(x^2-y^2)=3&\\ (x+y)(x^2+y^2)=15 \end{cases}$

i) $\begin{cases} (x^2+y^2)xy=78&\\ x^4+y^4=97 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x^2+xy+y^2=1&\\ x-y-xy=3 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x-y+xy=1&\\ x^2+y^2=2 \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^3y^3+1=2y^3&\\ \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{x}{y^2}=2. \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2+y^2+x^2y^2=1+2xy&\\ (x-y)(1+xy)=1-xy \end{cases}$

e) $\begin{cases} \dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=\dfrac{26}{5}&\\ x^2-y^2=24 \end{cases}$

f) $\begin{cases} x^2+y^2+xy=3&\\ xy^3+x^3y=2 \end{cases}$

g) $\begin{cases} x+y+\dfrac{x}{y}=4&\\ x^2+xy-y=0 \end{cases}$

h) $\begin{cases} x-2y+\dfrac{x}{y}=6&\\ x^2-2xy-6y=0 \end{cases}$

i)  $\begin{cases} \dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=2&\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+x+y=4 \end{cases}$

j) $\begin{cases} x+y+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=4&\\ x+y+\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=4 \end{cases}$

k) $\begin{cases} x+y+x^2y^2=3xy&\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-xy=1 \end{cases}$

l) $\begin{cases} x(x+1)+\dfrac{1}{y}\left( \dfrac{1}{y}+1\right) =4&\\ x^3y^3+xy+x^2y^2+1=4y^3 \end{cases}$

m) $\begin{cases} (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{x^2y^2}\right) =49&\\ (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =5 \end{cases}$

3. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y^2=xy+x+y&\\ x^2-y^2=3. \end{cases}$

Giải

Đặt $u=x+y, v=x-y$ khi đó hệ trở thành

$ \begin{cases} \dfrac{u^2+v^2}{2}=\dfrac{u^2-v^2}{4}+u&\\ uv=3 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} u^2+3v^2-4u=0&\\ uv=3 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} u^2+\dfrac{27}{u^2}-4u=0&\\ v=\dfrac{3}{u} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u^4-4u^3+27=0 &\\ v=\dfrac{3}{u} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} (u-3)^2(u^2+2u+3)=0&\\ v=\dfrac{3}{u} \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} u=3&\\ v=1 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} x+y=3&\\ x-y=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=2&\\ y=1. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(2;1).$

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình $\begin{cases} y(x^2+1)=2x(y^2+1)&\\ (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{x^2y^2}\right) =24 \end{cases}$

Giải

Điều kiện $xy \ne 0$.

Đặt $u=x+\dfrac{1}{x}, v=y+\dfrac{1}{y}$ ta được hệ

$\begin{cases} \dfrac{u}{v}=2 &\\ u^2+v^2=20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u=2v&\\ 5v^2=20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u=\pm4 &\\ v=\pm 2. \end{cases}$.

Trường hợp $\begin{cases} u=4&\\ v=2 \end{cases}$ ta được

$\begin{cases} x+\dfrac{1}{x}=4&\\ y+\dfrac{1}{y}=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2-4x+1=0&\\ y^2-2x+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=2 \pm \sqrt{3}&\\ y=1. \end{cases}$

Trường hợp $ \begin{cases} u=-4&\\ v=-2 \end{cases}$ ta được

$\begin{cases} x+\dfrac{1}{x}=-4&\\ y+\dfrac{1}{y}=-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+4x+1=0&\\ y^2+2y+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x= -2 \pm \sqrt{3}&\\ y=-1. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (2 \pm \sqrt{3};1); (-2 \pm \sqrt{3};-1)\right\} $.

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^2=9&\\ (x^3+y^3)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^3=27. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $xy \ne 0.$

Đặt $u=x+\dfrac{1}{y}, v=y+\dfrac{1}{x}.$ Ta được hệ

$\begin{cases} u^2+v^2=9&\\ u^3+v^3=27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (\dfrac{u}{3})^2+(\dfrac{v}{3})^2=1&\\ (\dfrac{u}{3})^3+(\dfrac{v}{3})^3=1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{u}{3} =1 &\\ v=0 \end{cases} \ \text{hoặc} \ \begin{cases} v=0&\\ \dfrac{v}{3} =1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases} u=3&\\ v=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x+\dfrac{1}{y}=3&\\ y+\dfrac{1}{x}=0 \end{cases} \Leftrightarrow $ hệ vô nghiệm.

Trường hợp còn lại tương tự.

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

 

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x-y=1+\sqrt{x(1+y)}&\\ x^3-y^2=7. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $x(y+1) \ge 0.$

Dễ dàng kiểm tra $(0,y)$ và $(x,-1)$ không là nghiệm của hệ. Xét $x \ne 0$ và $y \ne -1.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta được

$2x=1+y+\sqrt{x(y+1)}  \Leftrightarrow 2\sqrt{\dfrac{x}{y+1}}=\sqrt{\dfrac{y+1}{x}}+1.$

Đặt $t=\sqrt{\dfrac{y+1}{x}}>0$ ta được

$ t^2+t-2=0 \Leftrightarrow t=1 \ \text{hoặc} \ t=-2 \text{(loại)}.$

Trường hợp $t=1 \Leftrightarrow y=x-1$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$ x^3-x^2+2x-8=0 \Leftrightarrow (x-2)(x^2+x+4)=0 \Leftrightarrow x=2.$

Với $x=2$ thì $y=x-1=1$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(2,1)$.

Ví dụ 10: Giải hệ phương trình $\begin{cases} (2x-y+2)(2x+y)+6x-3y=-6&\\ \sqrt{2x+1}+\sqrt{y-1}=4. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $x \ge -\dfrac{1}{2}, y \ge 1$.

Đặt $\begin{cases} u=\sqrt{2x+1}&\\ v=\sqrt{y-1}\end{cases}$. Hệ trở thành

$\begin{cases} (u^2-v^2)(u^2+v^2)+3(u^2-v^2-2)=-6&\\ u+v=4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 4(u-v)(u^2+v^2+3)=0&\\ u+v=4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u=v&\\ u+v=4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u=2&\\ v=2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{3}{2}&\\ y=5. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\begin{cases} x=\dfrac{3}{2}&\\ y=5. \end{cases}$

Ví dụ 11: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y+x^3y+xy^2+xy=-\dfrac{5}{4}&\\ x^4+y^2+xy(1+2x)=-\dfrac{5}{4} \end{cases}$

Giải

Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y+x^3y+xy^2+xy=-\dfrac{5}{4}&\\ (x^2+y)^2+xy=-\dfrac{5}{4.} \end{cases}$

Đặt $\begin{cases} u=x^2+y&\\ v=xy \end{cases}$. Hệ trở thành $\begin{cases} u+v+uv=-\dfrac{5}{4}&\\ u^2+v=-\dfrac{5}{4}. \end{cases}$

Trừ vế theo vế hai phương trình trên ta được

$u^2-uv-u=0  \Leftrightarrow u(u-v-1)=0 \Leftrightarrow u=0 \ \text{hoặc} \ u=1+v.$

Với $u=0 \Rightarrow v=-\dfrac{5}{4}$.

Với $u=v+1$ thay vào phương trình thứ hai của hệ trên ta được

$4u^2+4u+1=0 \Leftrightarrow u=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow v=-\dfrac{3}{2}.$

Trường hợp $\begin{cases} u=0&\\ v=-\dfrac{5}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} y=-x^2&\\ x^3=\dfrac{5}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=\sqrt[3]{\dfrac{5}{4}}&\\ y=-\sqrt[3]{\dfrac{25}{16}} \end{cases}$

Trường hợp  $\begin{cases} u=-\dfrac{1}{2}&\\ v=-\dfrac{3}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y=-\dfrac{1}{2}&\\ xy=-\dfrac{3}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x^2-\dfrac{3}{2x}=-\dfrac{1}{2}&\\ xy=-\dfrac{3}{2} \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\ y=-\dfrac{3}{2}. \end{cases}.$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ \left( 1; -\dfrac{3}{2}\right) ; \left( \sqrt[3]{\dfrac{5}{4}};-\sqrt[3]{\dfrac{25}{16}}\right) \right\} .$

4. Bài tập

Bài 1: Giải các hệ phương trình

a) $\begin{cases}\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5&\\ \sqrt{2x+y}+x-y=2. \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^2+y^2=\dfrac{1}{2}&\\ 2x^3+6y^2x=1. \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^3+3xy^2=-49&\\ x^2-8xy+y^2=8y-17 \end{cases}$

d) $\begin{cases} (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =4&\\ xy+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}=4. \end{cases}$

e) $\begin{cases} (x+y)(1+xy)=18xy&\\ (x^2+y^2)(1+x^2y^2)=208x^2y^2 \end{cases}$

f) $\begin{cases} (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =5&\\ xy+\dfrac{1}{xy}=4 \end{cases}$

g) $\begin{cases} (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =6&\\ (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^2=18 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $ \begin{cases}\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}=\dfrac{2}{3} &\\ (x+y)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) =6 \end{cases}$

b) $\begin{cases} xy(2x+y-6) +y+2x=0&\\ (x^2+y^2)\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right) ^2=8 \end{cases}$

c) $\begin{cases}2x^2y+y^2x+2y+x=6xy&\\ xy+\dfrac{1}{xy} +\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=4 \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2y^2+y^4+1=3y^2&\\ xy^2+x=2y \end{cases}$

e) $\begin{cases} 2x+y+\dfrac{1}{x}=4&\\ x^2+xy+\dfrac{1}{x}=3. \end{cases}$

f) $\begin{cases} x^2y+y=2&\\ x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2y^2=3. \end{cases}$

g) $\begin{cases} x^2+y^2+x+y=4xy&\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{y}{x^2}+\dfrac{x}{y^2}=4 \end{cases}$

h) $\begin{cases} x^4+4x^2+y^2-4y=2&\\ x^2y+2x^2+6y=23 \end{cases}$

i) $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=9&\\ \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}\right) \left( 1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \left( 1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}\right) =18 \end{cases}$

j) $\begin{cases} x^2(y+z)^2=(3x^2+x+1)y^2z^2&\\ y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2&\\ z^2(x+y)^2=(5z^2+z+1)=x^2y^2 \end{cases}$

Hệ phương trình – Phương pháp cộng đại số – Hệ phương trình đối xứng loại hai

Leave a reply

 1. Phương pháp cộng đại số – Hệ phương trình đối xứng loại hai

Từ một hệ phương trình gồm có hai hay nhiều phương trình, ví dụ $\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=0 (1) \\ g(x,y)=0 (2) \end{array} \right.$, ta tạo ra một hệ mới tương đương với hệ đã cho, bằng cách tạo thêm một phương trình dạng $af(x,y) + bg(x,y) = 0$, việc chọn lựa các hệ số $a, b$ đòi hỏi nhiều kinh nghiệm vì phương trình mới tạo ra phải đơn giản hơn, hoặc có ý để giúp giải được hệ.

Hệ đối xứng loại hai là hệ có dạng $\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=0\ \ (1) \\ g(x,y)=0 \ \ (2) \end{array} \right.$ trong đó $f(y, x) = g(x,y)$ và $g(y,x) = f(x,y)$. Để giải hệ này ta lấy $(1)$ trừ $(2)$, sau đó xử lý tiếp.

Ví dụ 1:  Giải hệ phương trình $\begin{cases}x+3y=2x^2&\\ y+3x=2y^2 \end{cases}$ $(*)$

Giải

Ta có $(*) \Leftrightarrow \begin{cases} x+3y=2x^2&\\ -2(x-y)=2(x^2-y^2) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x+3y=2x^2 \ \ (1)&\\ 2(x-y)(x+y+1)=0 \ \ (2) \end{cases}$.

Từ (2) suy ra $y=-x-1$ hoặc $x=y$.

Trường hợp $y=-x-1$ thay vào (1) ta được $x+3(-x-1) =2x^2 $ (vô nghiệm).

Trường hợp $x=y $ thay vào (1) ta được $4x=2x^2 \Leftrightarrow 2x(x-2)=0 \Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=0$.

Vậy $(x,y)=(2;2)$ hoặc $(x,y)=(0;0)$.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3+1=2y&\\ y^3+1=2x. \end{cases}$ $(*)$

Giải

$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} x^3+1=2y&\\(x-y)(x^2+xy+y^2)=-2(x-y) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x^3+1=2y \ \ (1)&\\ (x-y)(x^2+xy+y^2+2)=0 \ \ (2) \end{cases}$

$(2) \Leftrightarrow x=y$ hoặc $x^2+xy+y^2+2=0$.

Trường hợp $x=y $ thay vào (1) ta được $x^3-2x+1=0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2+x-1)=0.$

Suy ra $ x=1$ hoặc $x=\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Trường hợp $x^2+xy+y^2+2=0 \Leftrightarrow (x-\dfrac{y}{2})^2+\dfrac{3y^2}{4}+2=0$ (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(1,1)$ hoặc $(x,y)=(\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}, \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}).$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3y=\dfrac{y^2+2}{x^2}&\\ 3x=\dfrac{x^2+2}{y^2} \end{cases} $ $(*)$

Giải

Điều kiện $xy \ne 0$.

$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} 3x^2y=y^2+2&\\ 3xy^2=x^2+2 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} 3yx^2=y^2+2 \ \ (1) &\\ 3xy(x-y)=-(x-y)(x+y) \ \ (2) \end{cases} $

$(2) \Leftrightarrow (x-y)(x+y+3xy)=0$.

Trường hợp $x=y$, thay vào (1) ta được $3x^3-x^2-2=0\\ \Leftrightarrow (x-1)(3x^2+2x+2)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $3x^2+2x+2=0$ (vô nghiệm).

Vậy $(x,y)=(1,1)$.

Trường hợp $x+y+3xy=0$ không xảy ra. Thật vậy, để ý rằng từ hệ phương trình đã cho nếu có nghiệm $(x,y)$ thì $x,y>0$ do đó $x+y+3xy>0$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(1,1).$

Trên đây là các hệ phương trình đối xứng loại hai, sau đây ta xét các ví dụ về một số hệ không mẫu mực khác, sử dụng phương pháp cộng đại số. Chú ý, tạo ra phương trình mới thì phương trình mới có thể xuất hiện hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử được…

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+6y=6x&\\ y^2+9=2xy \end{cases}$

Giải

Lấy phương trình $(1)$ cộng phương trình $(2)$ ta có $x^2 + y^2 -2xy + 6(y-x) + 9 = 0 \Leftrightarrow (y-x+3)^2 = 0 \Leftrightarrow y = x -3$.

Thế vào $(1)$ ta có: $x^2 + 6(x-3) = 6x \Leftrightarrow x = 3\sqrt{2}, x=-3\sqrt{2}$.

Với $x = 3\sqrt{2} \Rightarrow y = 3\sqrt{2}-3$.

Với $x = -3\sqrt{2} \Rightarrow y = -3\sqrt{2}-3$.

Vậy hệ có hai nghiệm $(x;y)$ là $(3\sqrt{2};3\sqrt{2}-3); (-3\sqrt{2};-3\sqrt{2}-3)$.

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình $\begin{cases}x^2+y^2+xy=3&\\ x^2+2xy=7x+5y-9. \end{cases}$

Giải

Cộng vế theo theo vế hai phương trình ta được

$ 2x^2+y^2+3xy-7x-5y+6=0 $

$\Leftrightarrow y^2+(3x-5)y+2x^2-7x+6=0$

$\Leftrightarrow y^2+(3x-5)y+(2x-3)(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (y+2x-3)(y+x-2)=0$

$\Leftrightarrow y+2x-3=0 \ \text{hoặc } \ y+x-2=0.$

Trường hợp $\begin{cases} y+2x-3=0&\\ x^2+y^2+xy=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=3-2x&\\ 3x^2-9x+6=0. \end{cases}$.

Ta được $\begin{cases} x=1&\\ y=1 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x=2&\\ y=-1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases} y+x-2=0&\\ x^2+y^2+xy=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}y=2-x&\\ x^2-2x+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=1&\\ y=1. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (1;1); (2;-1)\right\} .$

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y^2+4xy=6&\\ 2x^2+8=3y+7x \end{cases}$ $(*)$

Giải

$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y^2+4xy=6&\\ 4x^2+16=6y+14x. \end{cases}$

Cộng vế theo vế của hai phương trình ta được

$5x^2+y^2+4xy-6y-14x+10=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2+(2x+y-3)^2=0 $

$\Leftrightarrow \begin{cases}x=1&\\ 2x+y=3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\y=1. \end{cases}$

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2y+2x+3y=6&\\ 3xy+x+y=5 \end{cases}$.

Giải

Trừ vế theo vế hai phương trình ta được $x^2y-3xy+x+2y-1=0.$

Dễ thấy với $y=0$ thì $(x,0)$ không thể là nghiệm của hệ nên ta chỉ xét $y \ne 0$.

Chia hai vế của phương trình trên cho $y$ ta được

$ x^2-3x+\dfrac{x}{y}+2-\dfrac{1}{y}=0$

$\Leftrightarrow x^2 -(3-\dfrac{1}{y})x+(2-\dfrac{1}{y})=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x+\dfrac{1}{y}-2)=0$

$\Leftrightarrow x=1 \ \text{hoặc} \ x+ \dfrac{1}{y}-2=0.$

Trường hợp $\begin{cases}x=1&\\ 3xy+x+y=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\y=1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases}x+\dfrac{1}{y}-2=0&\\ 3xy+x+y=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x+\dfrac{1}{y}=2&\\3x+\dfrac{x}{y}+1=\dfrac{5}{y}. \end{cases}$

Suy ra $\dfrac{1}{y}=2-x$ và $3x+x(2-x)+1=5(2-x) \Leftrightarrow x^2-10x+9=0 \Leftrightarrow x=1 \ \text{hoặc} \ x=9.$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (1;1); \left( 9, -\dfrac{1}{7}\right) \right\} $.

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+2xy+2y^2+3x=0&\\ xy+y^2+3y+1=0. \end{cases}$

Giải

Lấy phương trình thứ nhất cộng hai lần phương trình thứ hai ta được

$(x+2y)^2+3(x+2y)+2=0$

$\Leftrightarrow (x+2y+1)(x+2y+2)=0.$

Trường hợp $x+2y+1=0 \Leftrightarrow x=-2y-1$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$ y^2-2y-1=0 \Leftrightarrow y=1 \pm \sqrt{2}.$

Với $y=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=-3+\sqrt{5}$.

Với $y=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=-3-\sqrt{5}$.

Trường hợp $x+2y+2=0 \Leftrightarrow x=-2y-2$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$y^2-y+1=0 \Leftrightarrow y=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Với $y=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=-3+\sqrt{5}$.

Với $y=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=-3-\sqrt{5}$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ \left( -3-2\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}\right) ; \left( -3+2\sqrt{2}; 1-\sqrt{2}\right) ; \left( -3+\sqrt{5}; \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) ;  \left( -3-\sqrt{5}; \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \right\} $.

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3(2+3y)=1&\\ x(y^3-2)=3. \end{cases}$

Giải

Dễ thấy $x \ne 0.$

Khi đó hệ tương đương $\begin{cases} 2+3y=\dfrac{1}{x^3}&\\ y^3-2=\dfrac{3}{x} \end{cases}$

Cộng vế theo vế của hệ phương trình ta được

$y^3+3y=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{3}{x}$

$\Leftrightarrow y^3-\dfrac{1}{x^3}+3\left( y-\dfrac{1}{x}\right) =0 $

$\Leftrightarrow \left( y-\dfrac{1}{x}\right) \left( y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y}{x}+3\right) =0$

$\Leftrightarrow \left( y-\dfrac{1}{x}\right) \left[ \left( y+\dfrac{1}{2x}\right) ^2+\dfrac{3}{4x^2}+3\right] =0$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{x}.$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$\dfrac{1}{x^3}-2=\dfrac{3}{x} \Leftrightarrow 2x^3+3x^2-1=0 \Leftrightarrow x=-1 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{1}{2}.$

Với $x=-1$ ta được $y=-1$, với $x=\dfrac{1}{2}$ ta được $y=2$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (-1;-1); \left( \dfrac{1}{2};2\right)\right\}  $.

2. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x^2-2x-y-1=0&\\ y^2-2y-x-1=0 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^3+3x=8y&\\ y^3+3y=8x \end{cases}$

c)  $\begin{cases} x^3=5x+y&\\ y^3=5y+x  \end{cases}$

d) $\begin{cases} x-3y=4\dfrac{y}{x}&\\ y-3x=4\dfrac{x}{y}  \end{cases}$

e) $\begin{cases} xy+x^2=1+y&\\ xy+y^2=1+x \end{cases}$

f) $\begin{cases} 3y=\dfrac{y^2+2}{x^2}&\\ 3x=\dfrac{x^2+2}{y^2} \end{cases}$

g) $\begin{cases} 3x^3=x^2+2y^2&\\ 3y^3=y^2+2x^2 \end{cases}$

h) $\begin{cases} 3x^2y-y^2-2=0&\\ 3y^2x-x^2-2=0 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x+\sqrt{y+3} =3&\\ y+\sqrt{x+3}=3 \end{cases}$.

b) $\begin{cases} \sqrt{x+5}+\sqrt{y-2}=7&\\ \sqrt{y+5}+\sqrt{x-2}=7 \end{cases}$

c) $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{2-x}=\sqrt{2}&\\ \sqrt{y}+\sqrt{2-x}=\sqrt{2} \end{cases}$

d) $\begin{cases} x \sqrt{1+y^2}+y \sqrt{1+x^2}=2&\\ x \sqrt{1+x^2}+y\sqrt{1+y^2}=2 \end{cases}$

e) $\begin{cases} \sqrt{x^2+3}+2\sqrt{x}=3\sqrt{y}&\\ \sqrt{y^2+3}+2\sqrt{y}=3\sqrt{x} \end{cases}$

f) $\begin{cases} x+\dfrac{2}{y}=\dfrac{3}{x}&\\ y+\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{y} \end{cases}$

g) $\begin{cases} 2x+3\sqrt{5-y}=8&\\ 2y+3\sqrt{5-x}=8 \end{cases}$

h) $\begin{cases} \sqrt[3]{3x+5}=y+1&\\ \sqrt[3]{3y+5}=x+1 \end{cases}$

i) $\begin{cases} x+1=\sqrt{2+\sqrt{y+3}}&\\ y+1=\sqrt{2+\sqrt{x+3}} \end{cases}$

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau

a) $\begin{cases} x^2(1-2y)=y^2(4x+2y)&\\ 2x^2+xy-y^2=x \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^2(y^2+1)=2&\\ x^2y^2+xy+1=3x^2 \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^2+2=x(y-1)&\\ y^2-7=y(x-1) \end{cases}$

d) $\begin{cases} 4x^2+y^4-4xy^3=1&\\ 2x^2+y^2-2xy=1 \end{cases}$

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x^2+2xy+y=4&\\ x^2+xy+2y+x=5 \end{cases}$

b) $\begin{cases} 2x^2+2xy+y=5&\\ y^2+xy+5x=7 \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^2+y^2+xy=3&\\ y^2-xy+5x+4y=9 \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2+y^2=2&\\ 4(x+y)-x^2y^2=7 \end{cases}$

e) $\begin{cases} x^2+y^2+x+y=4&\\ x^2+2xy+9=7x+5 \end{cases}$

Bài 5: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+7=5y-6z&\\ y^2+7=10z+3x&\\ z^2+7=-x+3y \end{cases}$

Bài 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3+3xy^2+3xz^2-6xyz=1&\\ y^2+3yx^2+3yz^2-6xyz=1&\\ z^3+3zy^2+3zx^2-6xyz=1. \end{cases}$

Bài 7: Giải hệ phương trình $\begin{cases} (x-2y)(x-4z)=3&\\ (y-2z)(y-4x)=5&\\ (z-2x)(z-4y)=-8. \end{cases}$

Bài 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x(yz-1)=3&\\ y(zx-1)=4&\\ z(xy-1)=5. \end{cases}$

Bài 9: Giải hệ phương trình $\begin{cases}ab+c+d=3&\\ bc+d+a=5&\\ cd+a+b=2&\\ da+b+c=6 \end{cases}$

Bài 10: Cho $a \in \mathbb{R}$. Giải hệ phương trình $\begin{cases} x_1^2+ax_1+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_2&\\  x_2^2+ax_2+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_3&\\ …&\\ x_n^2+ax_n+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_1 \end{cases}$

Hệ phương trình – Phương pháp thế

Leave a reply

Trong chương này đề cập đến một số phương pháp giải hệ phương trình cơ bản nhất: Phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp ẩn phụ, và phương pháp đánh giá. Qua các phương pháp chúng ta cũng đi qua một số dạng phương trình mẫu mực như: hệ phương trình đối xứng loại một, loại hai, hệ đẳng cấp, hệ hoán vị vòng quanh,…Ngoài ra là các hệ không mẫu mực ở mức độ vừa phải, không quá xấu về mặt hình thức, phù hợp với các bạn THCS.

1. Phương pháp thế

Nội dung phương pháp: Từ một trong các phương trình, tính được một hoặc nhiều biến theo một hoặc nhiều biến khác, sau đó thế hết vào các phương trình còn lại để số biến sẽ giảm lại.

Trong các phương pháp giải hệ phương trình thì Phương pháp thế là phương pháp quan trọng và được sử dụng nhiều nhất. Mục tiêu của việc thế là đưa hệ nhiều ẩn thành hệ ít ẩn hơn, hoặc đưa về phương trình một ẩn, từ đó có thể giải được bài toán.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $ \left\{\begin{array}{l} x + 2y = 3\\ x^2-3y^2 + 4xy=2 \end{array} \right. $

Giải

$\left\{\begin{array}{l} x + 2y = 3 (1) \\x^2-3y^2 + 4xy=2 (2) \end{array} \right.$

Từ (1) ta có $x = 3-2y$, thế vào (2) ta có:

$(3-2y)^2-3y^2 + 4(3-2y)y = 2 \Leftrightarrow y^2 = 1 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y = 1\\ y=-1 \end{array} \right.$

Với $y = 1 \Rightarrow x = 1$.

Với $y = -1 \Rightarrow x = 5$.

Vậy hệ có 2 nghiệm $(x;y)$ là $(1;1), (5;-1)$.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x^2+x+y^2=7\\ xy-x+y=3 \end{array} \right.$

Giải

Nếu $x=-1$ thì phương trình thứ hai vô nghiệm.

Xét $x \ne -1.$ Từ phương trình thứ hai ta được

$xy-x+y=3 \Leftrightarrow y=\dfrac{x+3}{x+1}$.

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được

$2x^2+x+\left( \dfrac{x+3}{x+1}\right) ^2=7$

$\Leftrightarrow (2x^2+x-6)+\left[ \left( \dfrac{x+3}{x+1}\right)^2 -1\right] =0$

$\Leftrightarrow (x+2)(2x-3)+\dfrac{4}{(x+1)^2}(x+2)=0$

$\Leftrightarrow x=-2 \ \text{hoặc} \ 2x^3+x^2-4x+1=0.$

Trường hợp $x=-2$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=-1$.

Trường hợp $2x^3+x^2-4x+1=0  \Leftrightarrow (x-1)(2x^2+3x-1)=0$

$\Leftrightarrow x=1 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}.$

Với $x=1$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=2.$

Với $x=\dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được $y=\dfrac{9 \pm \sqrt{17}}{1+\sqrt{17}}$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (-2;-1), (1;2), \left(\dfrac{-3\pm \sqrt{17}}{4}; \dfrac{9 \pm \sqrt{17}}{1+\sqrt{17}}\right)\right\} .$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} 2x^2y+3xy=4x^2+9y\\ 7y+6=2x^2+9x. \end{array} \right.$

Giải

Từ phương trình thứ hai suy ra $y=\dfrac{2x^2+9x-6}{7}$.

Thay vào phương trình thứ nhất ta được

$2x^2 \left( \dfrac{2x^2+9x-6}{7} \right) +3x \left(  \dfrac{2x^2+9x-6}{7} \right) =\dfrac{7.4x^2}{7}+9 \left( \dfrac{2x^2+9x-6}{7} \right) $

$\Leftrightarrow (2x^2+9x-6)(2x^2+3x-9)=28x^2$

$\Leftrightarrow 4x^4+24x^3-31x^2-99x+54=0$

$\Leftrightarrow \left( x-\dfrac{1}{2}\right) (x+2)(4x^2+18x-54)=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2} \ \text{hoặc} \ x=2 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}.$

Trường hợp $x=\dfrac{1}{2}$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=-\dfrac{1}{7}$.

Trường hợp $x=-2$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=-\dfrac{16}{7}$.

Trường hợp $x=\dfrac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=3$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y) \in \left\{ \left( \dfrac{1}{2}; – \dfrac{1}{7} \right) ;  \left( -2; -\dfrac{16}{7}\right) ;  \left( \dfrac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}; 3\right) \right\} $.

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} 1+x^3y^3=19x^3\\ y+xy^2=-6x^2. \end{array} \right.$

Giải

Nếu $x=0$ thì hệ vô nghiệm.

Xét $x \ne 0$. Nhân hai vế của phương trình thứ hai cho $x$ ta được $xy+x^2y^2=-6x^3.$

Thay vào phương trình thứ nhất ta được

$-6(1+x^3y^3)=19(xy+x^2y^2)$

$\Leftrightarrow xy=-\dfrac{2}{3} \ \text{hoặc} \ xy=-\dfrac{3}{2} \ \text{hoặc} \ xy=-1.$

Trường hợp $xy=-\dfrac{2}{3}$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $\begin{cases} x=\dfrac{1}{3}&\\ y=-2 \end{cases}$.

Trường hợp $xy=-\dfrac{3}{2}$ ta được $\begin{cases}x=-\dfrac{1}{2}&\\y=3. \end{cases}$

Trường hợp $xy=-1$ ta được $x=0$ (loại).

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ \left( \dfrac{1}{3}; -2\right) , \left( \dfrac{-1}{2};3\right) \right\} $.

Một số hệ phương trình nhiều khi phải biến đổi một vài bước thì mới xuất hiện phép thế.

Ví dụ 5:  Giải hệ phương trình $\begin{cases} xy+x+y=x^2-2y^2 &\\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2(x-y). \end{cases}$

Giải

Điều kiện $x \ge1, y \ge 0.$

Phương trình thứ nhất tương đương

$(x+y)^2-(x+y)-3y^2-3xy=0$

$\Leftrightarrow (x+y)(x-2y-1)=0$

$\Leftrightarrow x=-y \ \text{hoặc} \ x=2y+1.$

Do $x \ge 1, y \ge 0$ nên trường hợp $x=-y$ không thể xảy ra.

Xét $x=2y+1$ thay vào phương trình thứ hai ta được

$(2y+1)\sqrt{2y}-y\sqrt{2y}=2y+2$

$\Leftrightarrow (y+1)(\sqrt{2y}-2)=0$

$\Leftrightarrow y=2 \ (\text{do} \ y \ge 0)$

Suy ra $x=5$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(5,2).$

Trong ví dụ trên thì từ một phương trình ta phân tích thành thừa số, từ đó có những phương trình đơn giản hơn và sử dụng phương pháp thế.Ta xét tiếp ví dụ sau:

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} xy+x-2=0&\\ 2x^3-x^2y+x^2+y^2-2xy-y=0. \end{cases}$

Giải

$2x^3-x^2y+x^2+y^2-2xy-y=0$

$\Leftrightarrow (x^2-y)(2x-y+1)=0$

$\Leftrightarrow y=x^2 \ \text{hoặc} \ y=2x+1.$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (1,1), \left( \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}, \pm \sqrt{5}\right) \right\} $.

Ví dụ 7:  Giải hệ phương trình $\begin{cases} y^2=(5x+4)(4-x)&\\ y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16=0 \end{cases}$

Giải

Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng $ y^2-(4x+8)y-5x^2+16x+16=0.$

Coi đây là phương trình bậc hai theo $y$ ta được $\Delta=(4x+8)^2-4(-5x^2+16x+16)=36x^2.$

Suy ra $y=\dfrac{4x+8+6x}{2}=5x+4$ hoặc $y=\dfrac{4x+8-6x}{2}=4-x.$

Trường hợp $y=5x+4$ thay vào phương trình đầu của hệ ta được $x(5x+4)=0 \Leftrightarrow x=0 \ \text{hoặc} \ x=-\dfrac{4}{5}.$

Trường hợp này hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (0,4), \left( -\dfrac{4}{5},0\right) \right\} $.

Trường hợp $y=4-x$ thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được $$x(4-x)=0 \Leftrightarrow x=0 \ \text{hoặc} \ x=4.$$

Trường hợp này hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (0,4), (4,0)\right\} $.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (0,4), (4,0), \left( -\dfrac{4}{5},0\right) \right\} $.

Ngoài cách phân tích thành nhân tử, ta còn có một số biến đổi khác phức tạp hơn, ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y^2=x-y&\\ y^3-x^3=y-x^2 \end{cases}$.

Giải

Ta có $\begin{cases} x^2+y^2=x-y\\ y^3-x^3=y-x^2 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} x(x-1)=-y(y+1)&\\ y(y-1)(y+1)=x^2(x-1). \end{cases}$

Thay phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được

$ -x(x-1)(y-1)=x^2(x-1)$

$\Leftrightarrow x(x-1)(x+y-1)=0$

$\Leftrightarrow x=0 \ \text{hoặc} \ x=1 \ \text{hoặc} \   x=1-y.$

Trường hợp $x=0$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $y=0$ hoặc $y=-1$.

Trường hợp $x=1$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $y=0$ hoặc $y=-1$.

Trường hợp $x=1-y$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $y=0.$

Ví dụ 9: Giải phương trình $\begin{cases} (x-y)^4=13x-4&\\ \sqrt{x+y}+\sqrt{3x-y}=\sqrt{2}. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $\begin{cases} x+y \ge 0&\\ 3x-y \ge 0. \end{cases}$

Khi đó $\sqrt{x+y}+\sqrt{3x-y}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow x+y+3x-y+2\sqrt{(x+y)(3x-y)}=2$

$\Leftrightarrow 1-2x=\sqrt{(x+y)(3x-y)}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 4x^2-4x+1=3x^2+2xy-y^2&\\ x \le \dfrac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} (x-y)^2=4x-1&\\ \dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2}. \end{cases}$

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được

$(4x-1)^2=13x-4$

$\Leftrightarrow 16x^2-21x+5=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{16} \ \text{hoặc} \ x=1 \ \text{(loại)}.$

Với $x=\dfrac{5}{16}$ thì $y=-\dfrac{3}{16}$.

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)$ là $\left(\dfrac{5}{16}; -\dfrac{3}{16}\right).$

2. Bài tập 

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

a) $\begin{cases} \sqrt{x+y}+\sqrt{2x-4}=5&\\ 2x+y=14 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x+y=-1&\\ x^3-3x=y^3-3y& \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^2y+2(x^2+y)=8&\\ xy+x+y=5 \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2+5x+y=9&\\ 3x^3+x^2y+2xy+6x^2=18 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} y^2-xy+1=0&\\ x^2+y^2+2x+2y+1=0& \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^3-2xy+5y=7&\\ 3x^2-2x+y=3& \end{cases}$

c) $\begin{cases} x-\sqrt{y+1}=\dfrac{5}{2}&\\ y+2(x-3)\sqrt{x+1}=-\dfrac{3}{4}& \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9&\\ x^2+2xy=6x+6& \end{cases}$

e) $\begin{cases} x^2+1+y(y+x)=4y&\\ (x^2+1)(y+x-2)=y& \end{cases}$

f) $\begin{cases} x(x+y+1)-3=0&\\ (x+y)^2-\dfrac{5}{x^2}+1=0& \end{cases}$

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases}x-2y-\sqrt{xy}=0&\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{4y-1}=2 \end{cases}$

b) $\begin{cases} \sqrt{2x-3}=(y^2+2018)(5-y)+\sqrt{y}&\\ y(y-x+2)=3x+3 \end{cases}$

c) $\begin{cases} 2x^2+4xy+2y^2+3x+3y-2=0&\\ x^2+y^2+4xy+2y=0 \end{cases} $

d) $\begin{cases} 2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0&\\ x^2+y^2+x+y-4=0 \end{cases}$

e) $\begin{cases} 2x^2-5xy+3y^2=0&\\ x^2-2xy=-1& \end{cases}$

f) $\begin{cases} x^3+3x^2y+3xy^2+2y^3=0&\\ 4x^2+y^2=5& \end{cases}$

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau

a) $\begin{cases} x+\dfrac{1}{x}=y+\dfrac{1}{y}&\\ x+2y=3& \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^3-4y^3=6x^2y-9xy^2&\\ \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2& \end{cases}$

c) $\begin{cases} -x^2y+2xy^2+3y^3-4(x+y)=0&\\ xy(x^2+y^2) -1=3xy-(x+y)^2 \end{cases}$

d) $\begin{cases} \sqrt{x-1}+\sqrt{x}(3\sqrt{x}-y)+x\sqrt{x}=3y+\sqrt{y-1}&\\ 3xy^2+4=4x^2+2y+x \end{cases}$

e) $\begin{cases} x^2+y^2+\dfrac{2xy}{x+y}=1&\\ \sqrt{x+y}=x^2-y \end{cases}$

f) $\begin{cases} y^2-x\sqrt{\dfrac{y^2+2}{x}}=2x-2&\\ \sqrt{y^2+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1 \end{cases}$

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} 2x^2+y^2-3xy+3x-2y+1=0&\\ 4x^2-y^2+x+4=\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y}& \end{cases}$

b) $\begin{cases} 6\dfrac{x}{y}-2=\sqrt{3x-y}+3y&\\ 2\sqrt{3x+\sqrt{3x-y}}=6x+3y-4. \end{cases}$

Phương trình vô tỉ – Phương pháp đặt ẩn phụ

Leave a reply

1. Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ sử dụng khi phương trình chứa một biểu thức lặp đi lặp lại nhiều lần, việc đặt ẩn phụ đưa phương trình về một phương trình đơn giản hơn, hoặc là đưa về dạng phương trình đã biết cách giải. Có rất nhiều dạng đặt ẩn phụ với nhiều dạng toán khác nhau, ở đây chúng tôi chỉ trình bày những dạng bài tập phù hợp nhất với chương trình trung học cơ sở, không đi sâu quá vào các ẩn phụ mẹo mực khác.

Chú ý. Khi đặt ẩn phụ thì nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ để giảm được các trường hợp cần xét.

Ví dụ 1: Giải phương trình $\sqrt{x^2-x+3}-\sqrt{-x^2+x+2}=1$.

Giải

Đặt $t=\sqrt{-x^2+x+2}, t \ge 0$. Khi đó $t^2=-x^2+x+2 \Leftrightarrow x^2-x+3=5-t^2.$

Phương trình trở thành

$ \sqrt{5-t^2}-t=1$

$\Leftrightarrow \sqrt{5-t^2}=t+1$

$\Leftrightarrow 5-t^2 = (t+1)^2$

$\Leftrightarrow t^2+t-2=0$

$\Leftrightarrow t=1 \ \text{hoặc} \ t=-2(l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{-x^2+x+2}=1$

$\Leftrightarrow x^2-x-1=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Ví dụ 2: Giải phương trình $2x^2-6x+7=5\sqrt{x^2-3x+5}$.

Giải

Đặt $t=\sqrt{x^2-3x+5}, t \ge 0$.

Khi đó phương trình trở thành

$2t^2-3=5t$

$\Leftrightarrow 2t^2-5t-3=0$

$\Leftrightarrow t=3 \ \text{hoặc}\   t=-\dfrac{1}{2}(l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-3x+5}=3$

$\Leftrightarrow x^2-3x-4=0$

$\Leftrightarrow x=-1 \ \text{hoặc} \ x=4. $

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=-1$ hoặc $x=4.$

Ví dụ 3: Giải phương trình $(x-1)^2+2(x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=12$.

Giải

Điều kiện $\dfrac{x-3}{x+1} \ge 0 \Leftrightarrow x<-1$ hoặc $x \ge 3.$

Khi đó phương trình tương đương

$(x^2-2x-3)+2(x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=8$

$\Leftrightarrow (x+1)(x-3)+2(x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=8.$

Đặt $t=(x+1) \sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}} \Rightarrow t^2=(x+1)(x-3)$.

Khi đó phương trình trở thành $t^2+2t-8=0 \Leftrightarrow t=2 \ \text{hoặc} \ t=-4.$

Trường hợp $t=2 \Leftrightarrow (x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=2$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -1\\ (x+1)(x-3) =4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -1\\ x^2-2x-7=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=1+2\sqrt{2}.$

Trường hợp $t=-4 \Leftrightarrow (x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=-4$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \le -1\\ (x+1)(x-3) =16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \le -1\\ x^2-2x-19=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=1-2\sqrt{5}.$

Thử lại ta nhận $x=1+2\sqrt{2}$ và $x=1-2\sqrt{5}$ là hai nghiệm của phương trình.

Trên đây là các phương trình mà ta thấy rõ được biểu thức $f(x)$ lặp đi lặp lại, trong một số trường hợp khác $f(x)$ không xuất hiện một cách tường mình, mà phải thông qua một số biến đổi thì mới xuất hiện. Ta xem các ví dụ sau:

Ví du 4: Giải phương trình $x^2+3x\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=10x+4$.

Giải

Điều kiện $x-\dfrac{4}{x} \ge 0 \Leftrightarrow -2 \le x <0 $ hoặc $x \ge 2.$

Khi đó phương trình

$x^2+3x\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=10x+4$

$\Leftrightarrow x+3\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=10+\dfrac{4}{x}$

$\Leftrightarrow x-\dfrac{4}{x}+3\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}-10=0.$

Đặt $t=\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}, t \ge 0$. Phương trình trở thành:

$ t^2+3t-10=0$

$\Leftrightarrow t=2 \ \text{hoặc} \ t=-5(l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=2$

$\Leftrightarrow x-\dfrac{4}{x}=4$

$\Leftrightarrow x^2-4x-4=0$

$\Leftrightarrow x=2\pm 2\sqrt{2}.$

So sánh với điều kiện ta được phương trình có hai nghiệm $x=2 \pm 2\sqrt{2}.$

Ví dụ 5: Giải phương trình $\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x}=3\sqrt[4]{1-x^2}$

Giải

Điều kiện $-1 \le x \le 1.$

Dễ thấy $x=1$ không là nghiệm của phương trình. Xét $x \ne 1.$

Khi đó phương trình tương đương $\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}+2=3\sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}.$

Đặt $t=\sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}$, phương trình trở thành

$t^2-3t+2=0$

$\Leftrightarrow t=1 \ \text{hoặc} \ t=2.$

  • Trường hợp $t=1 \Leftrightarrow \sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}=1 \Leftrightarrow \dfrac{1+x}{1-x}=1 \Leftrightarrow x=0.$
  • Trường hợp $t=2  \Leftrightarrow \sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}=2 \Leftrightarrow \dfrac{1+x}{1-x}=16  \Leftrightarrow x=\dfrac{15}{17}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=0$ hoặc $x=\dfrac{15}{17}.$

Trong một số trường hợp phức tạp hơn, ta đặt ẩn phụ một biểu thức, và tính các biểu thức còn lại theo ẩn phụ. Ta xem ví dụ sau:

Ví dụ 6: Giải phương trình $\sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}+2\sqrt{22+9x-x^2}=17$.

Giải

Điều kiện $-2 \le x \le 11.$

Đặt $t=\sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}, t \ge 0$. Khi đó

$t^2=13+2\sqrt{(11-x)(x+2)}$

$\Rightarrow 2\sqrt{22+9x-x^2}=t^2-13.$

Phương trình trở thành

$t+t^2-13=17$

$\Leftrightarrow t^2+t-30=0$

$\Leftrightarrow t=5 \ \text{hoặc} \ t=-6(l).$

$\Leftrightarrow \sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}=5$

$\Leftrightarrow \sqrt{22+9x-x^2}=6$

$\Leftrightarrow x^2-9x+14=0$

$\Leftrightarrow x=2 \ \text{hoặc} \ x=7.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ hoặc $x=7.$

Sau đây là cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình thành một phương trình hai ẩn, từ đó giải ẩn này theo ẩn kia để thiết lập một phương trình đơn giản hơn phương trình đã cho.

Ví dụ 7: Giải phương trình $x^2+16x-16=(2x+1)\sqrt{3x^2+4}$.

Giải

Ta có $x^2+16x-16=(2x+1)\sqrt{3x^2+4}$

$\Leftrightarrow 4(2x+1)^2-5(3x^2+4)=(2x+1)\sqrt{3x^2+4}$

Đặt $\begin{cases} a=2x+1&\\ b=\sqrt{3x^2+4}, b \ge 2. \end{cases}$

Phương trình trở thành

$4a^2-5b^2=ab$

$\Leftrightarrow 4a^2-ab-5b^2=0$

$\Leftrightarrow a=-b \ \text{hoặc} \ a=\dfrac{5}{4}b.$

  • Trường hợp $a=-b$ ta có:

$ \sqrt{3x^2+4}=-(2x+1)$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \le -\dfrac{1}{2}&\\ x^2+4x-3=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=-2-\sqrt{7}$

  • Trường hợp $a=\dfrac{5}{4}b$ ta có:

$5\sqrt{3x^2+4}=4(2x+1)$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -\dfrac{1}{2}&\\ 11x^2-64x+84=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{42}{11} \ \text{hoặc} \ x=2.$

Vậy phương trình có các nghiệm $x=-2-\sqrt{7}, x=\dfrac{42}{11}$ hoặc $x=2.$

Ví dụ 8: Giải phương trình $\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+2x+3}=3\sqrt{x^2+4x+5}$.

Giải

Ta có  $\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+2x+3}=3\sqrt{x^2+4x+5}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+2x+3}=3\sqrt{-(x^2+1)+2(x^2+2x+3)}.$

Đặt $\begin{cases} a=\sqrt{x^2+1}, a \ge 1&\\ b=\sqrt{x^2+2x+3}, b \ge \sqrt{2}. \end{cases}$.

Phương trình trở thành:

$a+2b=3\sqrt{-a^2+2b^2}$

$\Leftrightarrow (a+2b)^2=9(-a^2+2b^2)$

$\Leftrightarrow 5a^2+2ab-7b^2=0$

$\Leftrightarrow (a-b)(5a+7b)=0$

$\Leftrightarrow a=b$.

Khi đó ta có

$\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+2x+3}$

$\Leftrightarrow x^2+1=x^2+2x+3$

$\Leftrightarrow x=-1$.$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1.$

Ví dụ 9: Giải phương trình $\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}-3\sqrt{1-x^2}=x-3$.

Giải

Điều kiện $-1 \le x \le 1$.

Đặt $\begin{cases} a=\sqrt{x+1}, a \ge 1&\\b=\sqrt{1-x}, b \ge 0 \end{cases}$.

Khi đó $x-3=-a^2-2b^2$ và phương trình trở thành

$a-2b-3ab=-a^2-2b^2$

$\Leftrightarrow (a^2-3ab+2b^2)+(a-2b)=0$

$\Leftrightarrow (a-2b)(a-b)+(a-2b)=0$

$\Leftrightarrow (a-2b)(a-b+1)=0$

$\Leftrightarrow a=2b \ \text{hoặc} \ b=a+1.$

  • Trường hợp $a=2b$ ta có:

$\sqrt{1+x}=2\sqrt{1-x}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le x \le 1&\\ 1+x=4(1-x) \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}.$

  • Trường hợp $b=a+1$ ta có:

$ \sqrt{1-x}=\sqrt{1+x}+1$

$\Leftrightarrow 1-x=x+2+2\sqrt{1+x}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{1+x}=-2x-1$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le x \le -\dfrac{1}{2}&\\ 4(1+x)=(2x+1)^2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le x \le \dfrac{1}{2}&\\ x^2=\dfrac{3}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=\dfrac{3}{5}$ hoặc $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Ví dụ 10: Giải phươg trình $x^2+5x-3=2(2x+3)\sqrt{x-1}$.

Giải

Điều kiện $x \ge 1.$

Khi đó $x^2+5x-3=2(2x+3)\sqrt{x-1}$

$\Leftrightarrow 3(x-1)-2(2x+3)\sqrt{x-1}+x^2+2x=0$

Đặt $t=\sqrt{x-1}, t \ge 0$. Ta được $3t^2-2(2x+3)t+x^2+2x=0.$

Đặt $\Delta’=(2x+3)^2-3(x^2+2x)=(x+3)^2.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm $t=x+2$ hoặc $t=\dfrac{x}{3}$.

  • Trường hợp $t=x+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=x+2$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1&\\ x^2+3x+5=0 \end{cases} \ \text{(vô nghiệm)}.$

  • Trường hợp $t=\dfrac{x}{3}$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}=x$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1&\\ x^2-9x+9=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{9 \pm 3\sqrt{5}}{3}.$

Ngoài ra còn có cách đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 11: Giải phương trình: $\sqrt[3]{7+x} – \sqrt{2-x}=1$

Giải

Phương trình có nhiều dấu căn bậc khác nhau, và biểu thức trong căn lại có mối liên hệ khá rõ ràng.

Ta đặt $u = \sqrt[3]{7+x}, v = \sqrt{2-x}$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} u – v = 1\\ u^3 + v^2 = 9 \end{array} \right. $.

Sử dụng phương pháp thế ta có $\left\{ \begin{array}{l} v = u-1\\ u^3 + (u-1)^2 – 9 = 0 \end{array}\right.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v=u-1\\ u^3+u^2-2u-8 = 0 \end{array}\right.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u = 2\\ v = 1\end{array}\right. $.

Từ đó giải ra $x = 1$ là nghiệm.

2. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{2x^2-4x+8} + \sqrt{2x^2-4x+3} = 5$

b) $(x+5)(2-x)=3 \sqrt{x^2+3x}$

c) $(x+4)(x+1)-3\sqrt{x^2+5x+2}=6$

d) $4x^2+10x+9=5\sqrt{2x^2+5x+3}$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $1+\dfrac{2}{3} \sqrt{x-x^2}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$

b) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$

c) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

d)$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$.

Bài 3: Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{3x^2-2x+15}+\sqrt{3x^2-2x+8}=7$

b) $\dfrac{4x-1}{\sqrt{4x-3}}+\dfrac{11-2x}{\sqrt{5-x}}=\dfrac{15}{2}$

c) $\dfrac{3-x}{\sqrt{13-6x}}+\dfrac{3+x}{\sqrt{13+6x}}=2$

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) $2x^2+5x-1=7 \sqrt{x^3-1}$

b) $2(x^2+2)=5 \sqrt{x^3+1}$

c) $\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x+20}=5 \sqrt{x+1}$

d) $(x^2-6x+11) \sqrt{x^2-x+1}=2(x^2-4x+7) \sqrt{x-2}$

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a) $2 \sqrt{\dfrac{3x-1}{x}}=\dfrac{x}{3x-1}+1$

b) $(x+5)(2-x)=3 \sqrt{x^2+3x}$

c) $2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1$

d) $(x+4)(x+1)-3 \sqrt{x^2+5x+6}+4=0$

e) $(x-1)(x+2)+2(x-1) \sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}=8$

f) $\sqrt[3]{\dfrac{2x}{x+1}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2x}}=2$.

Góc trong đường tròn (tt)

Leave a reply

 

 

 

 

 

 

 

 

Ví dụ 1.
Tính số đo góc $\angle BAC$ và $\angle BDC$ như hình vẽ.

Giải
  •  Ta có $\angle BAC = \dfrac{1}{2} \angle BOC = 60^\circ$.
  • Và $\angle BDC 180^\circ – \angle BAC = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ$.

Ví dụ 2.
Trên đường tròn $(O;R)$ lấy các điểm $A, B$ sao cho $\text{sđ} \arc{AB} = 120^\circ$ và $C$ thuộc cung nhỏ cung ${AB}$ và $\text{sđ} \text{cung}{AC} = 30^\circ$.
a) Tính số đo cung $BC$.
b) Tính độ dài $AB, BC$ theo $R$.

Giải
  • Nếu $C$ thuộc cung nhỏ $AB$ thì $\text{sđ} \arc{AB} = \text{sđ} \arc{AC}+\text{sđ} \arc{CB}$, suy ra $\text{sđ} \arc{BC} = 120^\circ – 30^\circ = 90^\circ$.
    Gọi $\arc{AmB}$ là cung lớn $AB$. Suy ra $\text{sđ} \arc{AmB} = 240^\circ$.
  • Gọi $M$ là trung điểm $AB$ ta có $OM \bot AB$ và $OM$ là phân giác $\angle AOB$.\\
    $\angle AOB = \text{sđ} \arc{AOB} = 120^\circ$, suy ra $\angle AOM = 60^\circ$. Suy ra $AM = OA.\sin AOM = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$. Do đó $AB = 2AM = R\sqrt{3}$.
  • Tam giác $OBC$ vuông cân tại O nên $BC=\sqrt{OB^2+OC^2} = R\sqrt{2}$.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác trong góc $A$ cắt $(O)$ tại $D$. Chứng minh $DB = DC$ và $OD \bot BC$.

Giải


Ta có $\text{sđ} \text{cung} {DB} = 2\angle DAB$, $\text{sđ} \text{cung} {DC} = 2\angle DAC$. Mà $\angle DAB = \angle DAC$(gt) nên $\text{sđ} {DB}= \text{sđ} {CD}$, suy ra $DB = DC$. \\
Ta có $OB = OC, DB = DC$ nên $OD$ là trung trực của $BC$, do đó $OD \bot BC$.

Ví dụ 4. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Hai điểm $C, D$ khác phía đối với $AB$ sao cho $\angle CAB = 60^\circ, \angle DAB = 45^\circ$.
a) Tính $\angle ACB, \angle ADB$.
b) Tính $\angle DCB$ và $\angle CDB$.
c) Tính $\angle COD$.

Giải

a) Ta có $\angle ACB = 90^\circ$ (góc nội tiếp nửa đường tròn)\\
$\angle ADB = 90^\circ$ (góc nội tiếp nửa đường tròn).
b) Ta có $\angle DCB = \angle DAB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DB), mà $\angle DAB = 60^\circ$ nên $\angle DCB = 60^\circ$.\\
Ta có $\angle ADC = \angle ABC$(góc nội tiếp cùng chắc cung AC).\\
Mà $\angle ABC = 90^\circ – \angle CAB = 45^\circ$, nên $\angle ADC =45^\circ$.
b) Ta có $\angle ABD = 90^\circ – \angle DAB = 30^\circ$, suy ra $\angle CBD = \angle ABC + \angle ABD = 75^\circ$.\\
Khi đó $\angle COD = 2\angle CBD = 150^\circ$.

Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $\angle A = 60^\circ, \angle B = 75^\circ$. Tiếp tuyến tại $A$ cắt $BC$ tại $D$.
a) Tính $\angle DAB$.
b) Phân giác góc $BAC$ cắt $BC$ tại $E$. Chứng minh tam giác $DAE$ cân.
c) Chứng minh $DA^2 = DB\cdot DC$.

Giải

a) Ta có $\angle ACB = 180^\circ – \angle ABC – \angle BAC = 45^\circ$. \\
Suy ra $\angle DAB = \angle ACB$ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó). Suy ra $\angle DAB = 45^\circ$.
b) Ta có $\angle DEA = \angle ACB + \angle EAC = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$.\\
Và $\angle DAE = \angle DAB + \angle BAE = 75^\circ$.\\
Do đó $\angle DAE = \angle DEA$, suy ra tam giác $DAE$ cân tại $D$.
c)  Xét tam giác $DAB$ và tam giác $DCA$ có $\angle DAB$ chung và $\angle DAB = \angle DCA$, suy ra $\triangle DAB \backsim \triangle DCA \Rightarrow \dfrac{DA}{DC} = \dfrac{DB}{DA} \Rightarrow DB\cdot DC = DA^2$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại điểm $M$. Biết $\angle AMB = 60^\circ$.
a) Tính số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính $OA, OB$.
b) Tính số đo mỗi cung $AB$ (cung lớn và cung nhỏ).

Bài 2. Cho tứ giác $ABCE$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $BE$ và $AC$ cắt nhau tại $I$. Cho $\angle ABE = 40^\circ, \angle BAE = 100^o$.

a)Tính $\angle AOE$ và $\angle OAE$.
b)Tính $\angle ACE$.
c) Tính $\angle BCE$.
d) Chứng minh $IA\cdot IC = IB\cdot IE$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, thỏa $\widehat {BAC} = {75^0},\widehat {ACB} = {45^0}$.
a) Tính $\widehat {AOB}$ và $AB$.
b) Tính $AC$.
c) Tính diện tích tam giác $ABC$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ có $\angle BAC = 60^\circ$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Vẽ đường kính $BD$.
a) Tính các góc của tam giác $BCD$.
b) Tính $BC$ theo $R$.
c) Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh $AH = R$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $D$ là điểm
chính giữa cung $AC$ không chứa $B$. Ta kẻ dây $DE$ song
song với cạnh $AB$, cắt $BC$ tại $I$. Chứng tỏ các tam giác
$ICE$ và $IBD$ cân.

Phương trình vô tỉ – Phương pháp lũy thừa

Leave a reply

Phương trình vô tỉ (phương trình chứa căn thức) là một trong những nội dung quan trọng nhất của đại số 9, xuất hiện trong hầu hết các đề thi học sinh giỏi cũng như đề thi tuyển sinh. Kĩ năng giải phương trình cũng là một trong kĩ năng quan trọng của học sinh chuyên toán. Có rất nhiều dạng phương trình và nhiều phương pháp giải khác nhau cho phương trình vô tỉ, tựu chung lại cũng là phương pháp hữu tỉ hóa các phương trình, tức là đưa về phương trình dạng đa thức đã biết cách giải ở lớp 8.Trong chương này đưa ra một vài dạng phương trình vô tỉ cùng với đó là các phương pháp cơ bản nhất, không đi sâu quá nhiều vào các kĩ thuật và các dạng khó.

1. Lý thuyết

Nếu $A(x)$, $B(x)$ là các biểu thức chứa $x$, khi đó ta có các phương trình dạng $\sqrt{A} = \sqrt{B}$ và $\sqrt{A}=B$ là các phương trình vô tỉ cơ bản nhất, được giải bởi các tính chất sau.

  • Tính chất 1.  $\sqrt{A} = \sqrt{B} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ A = B\end{array} \right.$
  • Tính chất 2. $\sqrt{A} = B \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B \geq 0\\ A = B^2\end{array}\right.$

2. Phương pháp lũy thừa

Phương pháp lũy thừa là phương pháp tự nhiên nhất và kinh điển nhất để giải phương trình vô tỉ, nhằm mục đích đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản hoặc đưa về phương trình hữu tỉ, việc lũy thừa đòi hỏi sự khéo léo để không làm cho bậc của biểu thức quá cao, và trong quá trình lũy thừa ta chú ý là tạo ra phương trình mới tương đương phương trình đã cho hay chỉ là hệ quả của phương trình đã cho, nếu là hệ quả thì phải có bước thử lại nghiệm.

Chú ý: $A = B \Leftrightarrow A^2 = B^2$ đúng khi và chỉ khi $A, B$ cùng dấu.

Còn $A = B\ (1) \Rightarrow A^2 = B^2\ (2)$ thì phương trình $(2)$ là phương trình hệ quả của phương trình $(1)$.

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) $\sqrt{-x^2+4x-3}=2x-5$

b) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2} = \sqrt{3x}$

Giải

a) Ta có $ \sqrt{-x^2+4x-3} =2x-5  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-5 \ge 0\\ -x^2+4x-3=(2x-5)^2 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{5}{2}\\ 5x^2-24x+28=0 \end{array}\right.$  $  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{5}{2} \\ x=2 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{14}{5} \end{array}\right. $  $\Leftrightarrow x=\dfrac{14}{5}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{14}{5}$.

b) Điều kiện $x \geq 2$. Phương trình tương đương với

$x+1+2\sqrt{(x+1)(x-2)}+x-2 = 3x$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-x-2} = x + 1$

$\Leftrightarrow 4(x^2-x-2) = x^2+2x+1$

$\Leftrightarrow 3x^2 – 6x – 9 = 0 $

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 3\ \text{ (nhận) }\\ x=-1 \ \text{ (loại) } \end{array}\right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$.

Ví dụ 2: Giải phương trình $\sqrt{7-x^2+x\sqrt{x+5}}=\sqrt{3-2x-x^2}.$

Giải
  • Ta có $\sqrt{7-x^2+x\sqrt{x+5}}=\sqrt{3-2x-x^2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3-2x-x^2 \ge 0\\ 7-x^2+x\sqrt{x+5}=3-2x-x^2 \ (2)\end{array}\right. $

  •  $(2) \Leftrightarrow x\sqrt{x+5} = -2x -4$

Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của $(2)$. Ta xét $x\ne 0$, khi đó phương trình tương đương

$\sqrt{x+5} = -\dfrac{2x+4}{x}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -\dfrac{2x+4}{x} \ge 0\\ x+5 = \dfrac{(2x+4)^2}{x^2} \ (3) \end{array}\right. $

  •  $(3) \Leftrightarrow  x^2(x+5) = (2x+4)^2$

$\Leftrightarrow  x^3 +x^2 -16x -16 =0 \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l} x=4 \ \text{ (loại) }\\ x=-1\ \text{ (nhận) }\\ x=-4 \ \text{ (loại) } \end{array}\right. $

  •  Vậy phương trình có nghiệm $x = -1$.

Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{x+1}-1=\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$.

Giải
  •  Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} x \ge -1\\ \sqrt{x+1}-1 \ge 0\\ x-\sqrt{x+8} \ge 0 \end{array}\right.  (*)$.
  •  Khi đó phương trình tương đương:

$\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

$\Leftrightarrow x+1=1+x-\sqrt{x+8}+2\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+8}=2\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

$\Leftrightarrow x+8=4(x-\sqrt{x+8})$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{x+8}=3x-8$

$\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{8}{3} \\ 16(x+8)=(3x-8)^2 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{8}{3}\\ 9x^2-64x-64=0 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow x=8.$

  •  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=8.$

Ví dụ 4: Giải phương trình $\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x+2)}=2\sqrt{x^2}.$

Giải
  •  Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} x(x-1) \ge 0\\ x(x+2) \ge 0\\  x \ge 0 \end{array}\right.  \Leftrightarrow x=0 \ \text{ hoặc } \ x \ge 1.$
  •  Dễ thấy $x=0$ là một nghiệm của phương trình.
  •  Xét $x \ge 1.$ Khi đó phương trình tương đương
  •  $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=2\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow x-1+x+2+2\sqrt{(x-1)(x+2)}=4x$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)(x+2)}=x-\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{1}{2}\\ x^2+x-2=x^2-x+\dfrac{1}{4} \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{1}{2}\\ x=\dfrac{9}{8} \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{8}$

  •  Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{9}{8}$ hoặc $x=0$.

Ví dụ 5: Giải phương trình $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\dfrac{x+3}{2}$.

Giải
  •  Điều kiện $x \ge 1.$
  •  Khi đó phương trình tương đương

$\sqrt{(\sqrt{x-1})^2+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(\sqrt{x-1})^2-2\sqrt{x-1}+1}=\dfrac{x+3}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=\dfrac{x+3}{2}$

$\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=\dfrac{x+3}{2}$

  •  Với $1 \le x \le 2$ thì phương trình tương đương

$\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=\dfrac{x+3}{2} \Leftrightarrow x=1.$

  •  Với $x>2$ thì phương trình tương đương

$\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=\dfrac{x+3}{2}$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{x-1}=x+3$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge -3\\ 16x-16=x^2+6x+9 \end{array}\right.   \Leftrightarrow x=5.$

  •  Vậy phương trình có nghiệm $x=1$ hoặc $x=5$.

 

Ví dụ 6: Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=2\sqrt{x}+\sqrt{2x+2}$.

Giải
  •  Điều kiện $\begin{cases} x+3 \ge 0&\\ 3x+1 \ge 0&\\ x \ge 0&\\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \ge 0.$

 Phương trình trở thành

 $\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+2}=\sqrt{4x}-\sqrt{x+3}$

$\Rightarrow 3x+1+2x+2-2\sqrt{(3x+1)(2x+2)}=4x+x+3-2\sqrt{4x(x+3)}$

$\Rightarrow \sqrt{(3x+1)(2x+2)}=\sqrt{4x(x+3)}$

$\Rightarrow 6x^2+8x+2=4x^2+12x$

$\Rightarrow x=1.$

  •  Thử lại ta thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình.
  •  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1.$
  • Chú ý: Trong ví dụ trên, ta dùng dấu “$\Rightarrow$” thay cho “$\Leftrightarrow$”, tức là phương trình sau chỉ là hệ quả của phương trình trước chứ không phải là tương đương. Do đó khi giải ra nghiệm ta phải thử lại phương trình ban đầu để nhận hay loại nghiệm.

Ví dụ 7: Giải phương trình $\sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[3]{2x+11}$.

Giải
  •  Sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$. Ta được

$ \sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[3]{2x+11}$

$\Leftrightarrow 2x+11+3\sqrt[3]{x+5}.\sqrt[3]{x+6}(\sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6})=2x+11$

$\Rightarrow 3\sqrt[3]{x+5}.\sqrt[3]{x+6}.\sqrt[3]{2x+11}=0$

$\Leftrightarrow x=-6 \ \text{hoặc} -5 \ \text{hoặc} \ x=-\dfrac{11}{2}.$

  •  Thử lại ta thấy tất cả đều là nghiệm của phương trình.
  •  Vậy phương trình có ba nghiệm $x=-6$ hoặc $x=-5$ hoặc $x=-\dfrac{11}{2}.$

3. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau;

a) $\sqrt{x^2+3x+4}-3x=1$

b) $1+\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}$

c) $\sqrt{-x^2+4x-3}=2x-5$

d) $x-\sqrt{4-x^2}=0$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x+2}=1$

b) $\sqrt{5x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-4}$

c) $x^2-2x+4(x-3) \sqrt{\dfrac{x+1}{x-3}}=0$.

d) $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+2+4\sqrt{x-2}}+3=0$

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) $\dfrac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x$

b) $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+x}=1$

c) $\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}=2\sqrt{x^2}$

d) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

Bài 4. Giải các phương trình sau

a) $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}$

b) $\sqrt[3]{2x-5}+\sqrt[3]{3x+7}=\sqrt[3]{5x+2}$

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^2 – 3x + 4} + 1 – x – \sqrt{3 – x}=0$

b) $\sqrt{x^2+3x+4}+1+x-\sqrt{3+x}=0$

c) $\sqrt{x^2-3x+3}+1-x-\sqrt{2-x}=0$

d) $\sqrt{4x^2-10x+7}+2-2x-\sqrt{3-2x}=0$