Đường đẳng giác, đường đối trung

Leave a reply

ĐƯỜNG ĐẲNG GIÁC, ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG
Nguyễn Tăng Vũ

1. Đường đẳng giác
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1. Cho góc $ \widehat{xOy} $. Ta nói hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $ là các đường đẳng giác trong góc đã cho nếu chúng cùng đi qua đỉnh $ O $ và đối xứng với nhau qua phân giác của góc đó.
Ví dụ 1.
a) Một trường hợp tầm thường là: Đường phân giác là đẳng giác với chính nó.
b) Trong một tam giác vuông, đường cao và trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông là hai đường đẳng giác.
c) Tổng quát hơn, nếu tam giác $ ABC $ nội tiếp trong đường tròn $ (O) $ thì $ AO $ và đường cao hạ từ đỉnh $ A $ xuống cạnh $ BC $ là hai đường đẳng giác của góc $ \widehat{BAC} $.

Bạn đọc có thể kiểm tra một cách dễ dàng các ví dụ trên.
1.2 Các tính chất cơ bản
1.2.1 Tiêu chuẩn để hai đường thẳng là đẳng giác của một góc
Định lý 1 (Định lý Steiner). Cho tam giác $ ABC $ và hai điểm $ D, E $ trên cạnh $ BC $. Khi đó, $ AD $ và $ AE $ là hai đường đẳng giác của góc $ \widehat{BAC}$ khi và chỉ khi
$ \dfrac{\overline{BD}}{\overline{DC}} \cdot \dfrac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\dfrac{AB^2}{AC^2} $.(1)
Chứng minh.
a) Phần thuận. Giả sử $ AD $ và $ AE $ là hai đường đẳng giác của góc $ \widehat{BAC} $, ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) cũng được thỏa mãn. Ta có\ $ \dfrac{\overline{BD}}{DC}=\dfrac{S_{BAD}}{S_{DAC}}=\dfrac{AD \cdot AB \cdot \sin \widehat{BAD}}{AD \cdot AC \cdot \sin \widehat{DAC}}=\dfrac{AB}{AC} \cdot \dfrac{\sin \widehat{BAD}}{\sin \widehat{DAC}} $.(2)
Tương tự, ta cũng có
$ \dfrac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\dfrac{AB}{AC} \cdot \dfrac{\sin \widehat{BAE}}{\sin \widehat{EAC}} $.(3)
Mặt khác, do $ AD, AE $ là hai đường đẳng giác của góc $ \widehat{BAC}$ nên
$ \widehat{BAD}=\widehat{EAC}, \widehat{DAC}=\widehat{BAE}. $ (4)
Từ đây kết hợp với (2) và (3), ta thu được ngay đẳng thức (1).
b) Phần đảo. Giả sử $ AD, AE $ thỏa (1), ta chứng minh $ AD $ và $ AE $ là hai đường đẳng giác ứng với góc $ A $. Vẽ $ AD’ $ là đường đẳng giác của $ AE (D’ \in BC) $. Khi đó ta có hệ thức
$ \dfrac{\overline{BD’}}{\overline{D’C} } \cdot \dfrac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\dfrac{AB^2}{AC^2} $.
Kết hợp với $ (1) $, ta có $ \dfrac{\overline{BD}}{\overline{DC} }=\dfrac{\overline{BD’}}{\overline{D’C} } $. Suy ra $ D \equiv D’ $, tức $ AD $ và $ AE $ là hai đường đẳng giác.
Định lý 2. Cho góc $ \widehat{xOy} $ và đường thẳng $ d_1 $ qua $ O, A $ là một điểm bất kỳ trên $ d_1 $. Gọi $ H, K $ lần lượt là hình chiếu của $ A $ trên $ Ox, Oy $. Khi đó, đường thẳng $ d_2 $ là đường đẳng giác của $ d_1 $ ứng với góc $ \widehat{xOy} $ khi và chỉ khi $ d_2 $ qua $ O $ và vuông góc với $ HK. $
Chứng minh. Chứng minh định lý này khá đơn giản, để thuận tiện ta sử dụng góc hình học.

a) Phần thuận. Giả sử $ d_2 $ là đường đẳng giác của $ d_1 $, ta sẽ chứng minh $ d_2 \bot HK. $ Ta có $ OHAK $ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $ OA $ nên
$ \widehat{AOH} = \widehat{AKH}.$
Mặt khác, ta lại có $ \widehat{KOB}= \widehat{AOH} $, nên từ trên suy ra $ \widehat{KOB}=\widehat{AKH} $.
Vì $ \widehat{AKH}+ \widehat{HKO}=90^0 $ nên ta có $ \widehat{AKH}+ \widehat{HKO}=90^0 $, từ đó suy ra $ OB \bot HK. $
b) Phần đảo. Giả sử $ d_2 $ đi qua $ O $ và vuông góc với $ KH $, ta sẽ chứng minh $ d_2 $ là đường đẳng giác của $ d_1 $. Gọi đường thẳng $ d’$ là đường đẳng giác của $ d1 $ ứng với góc $ \widehat{xOy} $. Theo phần thuận ta có $ d’ \bot HK $, suy ra $ d’ $ trùng $ d_2 $. Vậy $ d_2 $ là đường đẳng giác của $ d_1 $.
Hệ quả 1.Gọi $ A_1, A_2 $ lần lượt là điểm đối xứng của $ A $ qua $ Ox $ và $ Oy $. Khi đó, đường trung trực của đoạn $ A_1A_2 $ là đường đẳng giác của $ OA $.
1.2.2 Các tính chất cơ bản
Định lý 3. Cho góc $ \widehat{xOy}. A $ và $ B $ là hai điểm sao cho $ OA, OB $ là hai đường đẳng giác ứng với góc $ \widehat{xOy}. A_1, A_2 $ lần lượt là hình chiếu của $ A $ trên $ Ox $, $ Oy $ và $ B_1 $, $ B_2 $ lần lượt là hình chiếu của $ B $ trên $ Ox $, $ Oy $. Khi đó, ta có các điều sau:
a) Bốn điểm $ A_1, A_2, B_1, B_2 $ cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm của $ AB $;
b) $ AA_1 ·BB_1 = AA_2 ·BB_2. $
Chứng minh.

a) Ta có
$ OA_1 = OA \cos\widehat{AOA_1}, OB_1 = OB \cos\widehat{BOB_1 }$\
và $ OA_2 = OA \cos \widehat{AOA_2}, OB_2 = OB \cos\widehat{BOB_2} $.\
Suy ra $ OA_1 \cdot OB_1 = OA_2 \cdot OB_2 $. Do đó, bốn điểm $ A_1, A_2, B_1 $ và $ B_2 $ cùng thuộc một đường tròn. Hơn nữa tâm của đường tròn này chính là trung điểm của $ AB. $
b) Kết quả này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa đường đẳng giác.
Định lý 4. Cho tam giác $ ABC $. Các cặp đường thẳng $ d_a, d’_a $ là đường đẳng giác ứng với góc $ A $, định nghĩa tương tự với $ d_b, d’_b và d_c, d’_c $. Khi đó, $ d_a, d_b, d_c $ đồng quy tại $ P $ thì  $ d’_a, d’_b, d’_c $ đồng quy tại $ P’. $ hoặc đôi một song song.
Chứng minh.

Sử dụng định lý Ceva dạng lượng giác ta chứng minh định lý 4 như sau: Giả sử $ d_a,d_b,d_c $ đồng quy tại $ P, $ ta có
$ \dfrac{\sin(d_a,c)}{\sin(d_a,b)} \cdot \dfrac{\sin{d_b,a}}{\sin(d_b,c)} \cdot \dfrac{\sin(d_c,b)}{\sin(d_C,a)}=-1. $
Lại có $ (d_a, c) = −(d’_a, b) $ và $ (d_a, b) = −(d’_a, c) $ nên
$\dfrac{\sin(d_a,c)}{\sin(d_a,b)}=\dfrac{\sin(d’_a,b)}{\sin(d’_a,c)}. $
Tương tự ta cũng có:
$ \dfrac{\sin(d_b,a)}{\sin(d_b,c)}=\dfrac{\sin(d’_b,c)}{\sin(d’_b,a)}, $ $ \dfrac{\sin(d_c,b)}{\sin(d_c,a)}=\dfrac{\sin(d’_c,a)}{\sin(d’_c,b)}. $
Từ những kết quả này, ta suy ra
$\dfrac{\sin(d’_a,b)}{\sin(d’_a,c)}=\dfrac{\sin(d’_b,c)}{\sin(d’_b,a)}= \dfrac{\sin(d’_c,a)}{\sin(d’_c,b)}=-1.$
Do đó theo định lý Ceva thì $ d’_a, d’_b, d’_c $ đồng quy hoặc song song.

Chú ý: Nếu $P$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ thì $d’_a, d’_b, d’_c$ đôi một song song.
Định lý được chứng minh. Từ định lý 4, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2. Hai điểm được gọi là hai điểm đẳng giác nếu các cặp đường thẳng nối chúng với mỗi đỉnh là những cặp đường đẳng giác.
Ví dụ 2. Trong một tam giác thì tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm là hai điểm đẳng giác.
Áp dụng định lý 3 ta có định lý sau:

Định lý 5. Cho $ P $ và $ p’ $ là hai điểm đẳng giác đối với tam giác $ ABC $. Gọi $ X, Y, Z $ lần lượt là các hình chiếu của $ P $ trên các cạnh $ BC, AC, AB $ và $ X’, Y’, Z’$ lần lượt là các hình chiếu của $ P’$ trên các cạnh $ BC, AC, AB $. Khi đó, sáu điểm $ X, Y, Z, X’, Y’, Z’ $ cùng nằm trên một đường tròn.
Một hệ quả của định lý 5 là định lý về đường tròn Euler:
Định lý 6. Trong một tam giác, chân các đường cao và trung điểm các cạnh thì cùng thuộc một đường tròn, tâm đường tròn Euler chính là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm và tâm ngoại tiếp tam giác.
1.3 Một số bài toán áp dụng
Bài toán 1. Cho tam giác $ ABC $. Đường tròn thay đổi qua $ B $ và $ C $ cắt các đường thẳng $ AB $ và $ AC $ tại $ D $ và $ E $. Chứng minh rằng tâm $ I $ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ADE $ di chuyển trên một đường thẳng cố định.

Chứng minh.

Ta có tam giác $ ADE $ và tam giác $ ACB $ đồng dạng, suy ra hai tam giác $ AID $ và $ AOC $ đồng dạng, do đó $\widehat{DAI}= \widehat{OAC} $.Kết quả này cho thấy $ AI $ và $ AO $ là hai đường đẳng giác đối với góc $ A $. Mà đường cao $ AH $ của tam giác $ ABC $ và $ AO $ cũng là hai đường đẳng giác. Từ đây suy ra $ I \in AH $ cố định.
Nhận xét. Đây là bài toán thi vào trường Phổ thông Năng khiếu năm 2011 và là một bài toán khá dễ. Ta không cần phải sử dụng tới khái niệm đẳng giác. Tuy nhiên, qua bài này ta có một dấu hiện để nhận biết được hai đường đẳng giác: Cho hai điểm $ D, E $ thuộc các đường thẳng $ AB $ và $ AC $ sao cho tam giác $ ADE $ đồng dạng với tam giác $ ACB $ . Khi đó các đường thẳng tương ứng của hai tam giác $ ADE $ và $ ABC $ qua $ A $ là hai đường đẳng giác của góc $ \widehat{BAC} $.
Cụ thể hơn: Cho tam giác $ ABC $. Nếu $ DE $ là đường đối song của $ BC $ thì trung tuyến (đường cao…) xuất phát từ $ A $ của tam giác $ ADE $ và tam giác ABC là hai đường đẳng giác.
Đây là một ý khá hay để ta giải được các bài toán. Ta xét ví dụ sau:

Bài toán 2. Chứng minh rằng trong một tam giác, các đường thẳng kẻ từ tâm của đường tròn bàng tiếp trong mỗi góc, vuông góc với cạnh đối diện, đồng quy tại một điểm.
Chứng minh.


Gọi $ I_a, I_b, I_c $ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh $ A, B, C $. Dễ dàng chứng minh $ I_aA, I_bB, I_cC $ là các đường cao của tam giác $ I_aI_bI_c $. Vì $ BC $ và $ I_aI_b $ là hai đường đối song nên theo tích chất trên ta có đường thẳng qua $ A $ vuông góc với $ BC $ và đường thẳng $ I_aA $ là hai đường đẳng giác ứng với góc $ I_bI_aI_c $. Áp dụng định lý 4, ta có điều cần chứng minh.\
Bài toán 3 (Nga, 2010). Đường tròn nội tiếp của tam giác nhọn $ ABC $ tiếp xúc với các cạnh $ AB, BC, AC $ lần lượt tại $ C_1, A_1, B_1 $. Các điểm $ A_2, B_2 $ lần lượt là trung điểm của các đoạn $ B_1C_1, A_1C_1 $. Gọi $ P $ là giao điểm của đường tròn nội tiếp và $ CO $, với $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $. Gọi $ N, M $ là giao điểm thứ hai của $ PA_2, PB_2 $ với đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng giao điểm của $ AN $ và $ BM $ thuộc đường cao hạ từ $ C $ của tam giác $ ABC $.
Chứng minh.

Ta biết rằng đường cao hạ từ $ C $ và $ CO $ là hai đường đẳng giác. Các đường thẳng $ CO, BP, AP $ cắt nhau tại $ P $. Do vậy, ta chỉ cần chứng minh $ (AP, AN) $ và $ (AP, AM) $ là các cặp đường đẳng giác ứng với góc $ A $ và $ B $ của tam giác $ ABC $.
Từ đây, ta đi đến lời giải cho bài toán này như sau: Gọi $ I $ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ ABC $, $ K $ là giao điểm của $ AN $ và $ BM $. Áp dụng phương tích của điểm $ P $ đối với đường tròn $ (I) $ và đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ AC_1IB_1 $, ta có
$ \overline{A_2I} \cdot \overline{A_2A}= \overline{A_2C_1} \cdot \overline{A_2B_1}, \overline{A_2C_1} \cdot \overline{A_2B_1}= \overline{A_2N} \cdot \overline{A_2P.} $
Từ đó suy ra
$\overline{A_2N} \cdot \overline{A_2P}=\overline{A_2I} \cdot \overline{A_2A}. $
Đẳng thức này cho thấy $ ANIP $ là tứ giác nội tiếp. Hơn nữa $ IN = IP $ nên ta có $ AI $ là phân giác góc $ \widehat{NAP} $, do đó $ AN $ và $ AP $ là hai đường đẳng giác ứng với góc $ A $.

Chứng minh tương tự ta cũng có $ BM $ và $ BP $ là hai đường đẳng giác của góc $ B $. Mà $ AP, BP, CO $ đồng quy tại $ I $ và $ AN, BM $ cắt nhau tại $ K $, nên $ CK $ là đường đẳng giác của $ CO $. Suy ra $ K $ thuộc đường cao hạ từ $ C $ của tam giác $ ABC $.

2. Đường đối trung
2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 3.Trong một tam giác, đường đẳng giác với trung tuyến xuất phát từ một đỉnh được gọi là đường đối trung của tam giác.
Ví dụ 3. Trong một tam giác vuông thì đường cao xuất phát từ đỉnh chính là đường đối trung.
2.2. Các tính chất cơ bản
Đường đối trung là đường đẳng giác với trung tuyến nên sẽ có các tính chất của cặp đường đẳng giác. Từ các định lý 1, 2, 3, 4 và 5, ta có các tính chất sau:
\begin{enumerate}
\item Cho tam giác ABC. Ta có AD (D ∈ BC) là đường đối trung khi và chỉ khi:\
a) $ \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB^2}{AC^2}; $\
b) $ \dfrac{\sin \widehat{DAB}}{\sin \widehat{DAC}}=\dfrac{AB}{AC}; $\
c) $ \dfrac{DH}{DK}=\dfrac{AB}{AC} (H,K $ lần lượt là hình chiếu của $ D $ lên $ AB,AC $.
\item Các đường đối trung giao nhau tại một điểm gọi là điểm Lemoine. Chú ý rằng:
a) Điểm Lemoine và trọng tâm là hai điểm đẳng giác;
b) Điểm Lemoine có nhiều tính chất hay, ta sẽ xét các tính chất đó trong phần bài tập.

2.3 Cách dựng đường đối trung và áp dụng

Dựa vào các tính chất của đường đối trung, trong phần này ta sẽ xét xét các cách dựng đường đối trung. Qua đó, ta xem xét một vài ví dụ liên quan tới đường đối trung của tam giác.
Bài toán 4. Cho tam giác $ ABC $. Trên đường thẳng $ AB $ lấy một điểm $ D $ và trên đường thẳng $ AC $ lấy một điểm $ E $ sao cho $ DE $ là đường đối song của $ BC $. Chứng minh rằng trung tuyến của tam giác $ ADE $ là đường đối trung của tam giác $ ABC $.

Bài toán này có thể được chứng minh dựa vào nhận xét sau bài toán 1 (bạn đọc có thể tự chứng minh).
Bài toán 5. Cho tam giác $ ABC $. Tiếp tuyến tại $ B $ và $ C $ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $ cắt nhau tại $ P $. Chứng minh rằng $ AP $ là đường đối trung của tam giác $ ABC $.
Chứng minh.

a) Cách 1. Gọi $ D $ là giao điểm của $ AP $ và $ BC $, ta có\
$ \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{S_{ABP}}{S_{ACP}}=\dfrac{AB \cdot BP \cdot \sin ABP}{AC \cdot CP \cdot \sin ACP}=\dfrac{AB}{AC} \cdot \dfrac{\sin ACB}{\sin ABC}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$
Do đó $ AP $ là đường đối trung của tam giác $ ABC $.


b) Cách 2. Gọi $ D, E $ là giao điểm của $ AB, AC $ với đường tròn tâm $ M $ bán kính $ MB $ và $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $. Ta cần chứng minh $ DE $ là đường kính của đường tròn. Thật vậy ta có
$\widehat{DBE}=\widehat{BAE}+\widehat{AEB}=\dfrac{\widehat{BOC}}{2}+\dfrac{\widehat{BPC}}{2}=90^0, $
nên $ DE $ là đường kính và $ P $ là trung điểm của $ DE $. Từ đây, dễ dàng suy ra $ AP $ là đường đối trung của tam giác $ ABC $.
Sau đây ta xét một vài ví dụ có liên quan đến đường đối trung.
Bài toán 6 (Đề chọn đội tuyển trường Phổ thông Năng khiếu, 2010). Cho tam giác $ ABC $ nội tiếp đường tròn $ (O) $ có $ A $ cố định và $ B, C $ thay đổi trên $ (O) $ sao cho $ BC $ luôn song song với một đường thẳng cố định. Các tiếp tuyến của $ (O) $ tại $ B $ và $ C $ cắt nhau tại $ K $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC, N $ là giao điểm của $ AM $ với $ (O) $. Chứng minh đường thẳng $ KN $ luôn qua một điểm cố định.
Chứng minh.

Gọi $ D, P $ lần lượt là giao điểm của $ KN $, $ AP $ và $ (O) $. Vì $ BC $ có phương không đổi nên $ KM $ là đường thẳng cố định. Theo trên, ta thấy $ AK $ là đường đối trung, suy ra $ \widehat{BAP}= \widehat{NAC} $. Từ đó ta chứng minh được $ P, N $ đối xứng nhau qua đường thẳng $ KM $ cố định. Khi đó dễ dàng suy ra $ D $ đối xứng với $ A $ qua đường thẳng $ KM $ nên $ D $ cố định.
Bài toán 7. Cho tam giác $ ABC $. Một đường tròn thay đổi qua $ BC $ cắt các cạnh $ AB $ và $ AC $ tại $ D $ và $ E $. Tiếp tuyến tại $ D $ và $ E $ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ADE $ cắt nhau tại $ P $. Chứng minh rằng $ P $ luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Chứng minh. Nhận xét $ P $ thuộc đường đối trung của tam giác $ ADE $. Mà $ BC $ là đường đối song của $ DE $ nên trung tuyến $ AM $ của tam giác $ ABC $ là đường đối trung của tam giác $ ADE $. Do đó $ P $ thuộc $ AM $ cố định.
Bài toán 8. Cho tam giác $ ABC $ nhọn khác tam giác cân. $ M $ là trung điểm của $ BC $. $ D $ và $ E $ là các điểm thuộc $ AM $ sao cho $ AD = BD $ và $ AE = EC. DB $ cắt $ CE $ tại $ F $. Một đường tròn qua $ B $ và $ C $ cắt các cạnh $ AB, AC $ lần lượt tại $ H $ và $ K $. Chứng minh rằng $ AF $ đi qua trung điểm của $ HK $.
Chứng minh.

Ta thấy rằng $ HK $ là đường đối song của $ BC $ nên để chứng minh $ AF $ qua trung điểm của $ HK $ thì ta chỉ cần chứng minh $ AF $ là đường đối trung của tam giác $ ABC $. Áp dụng định lý sine cho tam giác $ ABF $ và tam giác $ ACF $, ta có
$ \dfrac{AB}{AF}=\dfrac{\sin \widehat{AFB}}{\sin \widehat{ABF}}= \dfrac{\sin \widehat{AFB}}{\sin \widehat{BAD}} $ (1)
và $ \dfrac{AC}{AF}=\dfrac{\sin \widehat{AFC}}{\sin \widehat{ACF}}= \dfrac{\sin \widehat{AFC}}{\sin \widehat{EAC}} $.(2)
Mà $ D, E $ thuộc trung tuyến $ AM $ nên ta có
$ \dfrac{\sin \widehat{DAB}}{\sin \widehat{EAC}}=\dfrac{AC}{AB} $.(3)
Từ (1), (2) và (3), ta suy ra $ \sin\widehat{AFB} = \sin\widehat{AFC}, $ tức
$ \widehat{AFB} = \widehat{AFC}.(4) $
Mặt khác ta lại có:
$ \widehat{BFC} = \widehat{FDE}+\widehat{FED}=2\widehat{BAD}+2\widehat{EAC} =2\widehat{BAC}=\widehat{BOC}.$
Kết hợp với trên, ta được
$ \widehat{AFB}=\widehat{AFC}=180^0-\widehat{BAC} $.
Như vậy, ta có
$ \widehat{FAC}+\widehat{FCA}=\widehat{BAC}=\widehat{BAD}+\widehat{CAD} $.
Mà $ \widehat{FCA}=\widehat{CAD} $ nên $ \dfrac{FAC}{BAD}. $ Vậy $ AF $ là đường đối trung của tam giác $ ABC. $
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Nhận xét. Sau khi đã chỉ ra được $ \widehat{BFC}=\widehat{BOC} $ thì ngoài cách chứng minh như trên, ta còn có một cách khác để hoàn tất bài toán như sau: Từ $ \widehat{BFC}=\widehat{BOC} $, ta có tứ giác $ BFOC $ nội tiếp. Gọi $ P $ là giao điểm của $ AF $ và ($ BFOC) $. Từ (4) suy ra $ PB = PC. $ Điều này chứng tỏ $ OP $ là đường kính và $ PB \bot OB, PC \bot OC. $ Suy ra $ PB, PC $ là tiếp tuyến của $ (ABC) $ và như thế, $ AP $ là đường đối trung của tam giác $ ABC $. Từ đây ta có ngay điều phải chứng minh. Qua cách chứng minh này, ta thấy $ OF \bot AF $ và $ F $ thuộc đường tròn đường kính $ AO $. Đây chính là nội dung của bài toán thi Olympic Toán toàn nước Mỹ năm 2008: Cho tam giác $ ABC $ nhọn và không phải tam giác cân, đường trung trực của $ AB $ và $ AC $ cắt trung tuyến $ AM $ tại $ D $ và $ E. F $ là giao điểm của $ BD $ và $ CE $. Gọi $ N, P $ lần lượt là trung điểm $ AB, AC $ và $ O $ là tâm được tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $. Chứng minh rằng bốn điểm $ N, F, O, P $ cùng nằm trên một đường tròn.

3 Bài tập tự luyện
Bài tập 1. Cho tam giác $ ABC $ có $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $ O_a, O_b, O_c $ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ OBC $, $ OAC $ và $ OAB $. Chứng minh rằng $ AO_a, BO_b, CO_c $ đồng quy tại điểm $ K’ $và $ K’ $ là điểm đẳng giác của tâm đường tròn Euler của tam giác $ ABC $. ($ K’ $ được gọi là điểm Kosnita.)
Bài tập 2. Cho tam giác $ ABC $ nội tiếp đường tròn $ (O) $ và $ P $ là điểm sao cho $ PB, PC $ là các tiếp tuyến với đường tròn $ (O) $. Trên $ AB $ và $ AC $ ta lấy các điểm $ K $ và $ H $ sao cho $ PK \parallel AC $ và $ PH \parallel AB $. Chứng minh rằng các điểm $ H, K $ và trung điểm các cạnh $ AB, AC $ cùng nằm trên một đường tròn.
Bài tập 3 (APMO, 2010). Cho tam giác $ ABC $ nhọn thỏa điều kiện $ AB > BC, AC > BC $. Gọi $ H $ và $ O $ lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC cắt đường thẳng $ AB $ tại điểm $ M $ khác $ A $, và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ AHB $ cắt đường thẳng $ AC $ tại điểm $ N $ khác $ A $. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ MNH $ thuộc đường thẳng $ OH $.
Bài tập 4. Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A $, và $ P $ là một điểm nằm trong tam giác sao cho $ \widehat{PBA}=\widehat{PCB} $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $, chứng minh rằng $ \widehat{APC}=\widehat{MPB}=180^0 $.
Bài tập 5. Cho đường tròn $ (O) $ và hai điểm $ A, B $ cố định trên đường tròn, $ M $ là trung điểm của $ AB $. Điểm $ C $ thay đổi trên cung lớn $ AB $. Đường trung trực của $ AC $ và $ BC $ cắt $ CM $ lần lượt tại $ D $ và $ E $. Gọi $ F $ là giao điểm của $ AD $ và $ BE $. Chứng minh rằng $ CF $ luôn đi qua một điểm cố định khi $ C $ thay đổi.
Bài tập 6 (Nga, 2010). Một điểm $ B $ thay đổi trên dây $ AC $ của đường tròn $ (\omega) $. Đường tròn đường kính $ AB $ và $ BC $ có tâm là $ O_1 $ và $ O_2 $ cắt $ (\omega) $ lần lượt tại $ D $ và $ E $. Tia $ O_1D $ và $ O_2E $ cắt nhau tại $ F $, tia $ AD $ và $ CE $ cắt nhau tại $ G $. Chứng minh rằng $ FG $ đi qua trung điểm của $ AC $.
Bài tập 7. Cho tam giác $ ABC $. Một đường thẳng $ (d) $ thay đổi luôn song song với $ BC $ cắt $ AB $ và $ AC $ lần lượt tại $ M, N $. Gọi $ I $ là giao điểm của $ BN $ và $ CM $. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BIM $ và $ CIN $ cắt nhau tại $ P $ (khác $ I $). Chứng minh rằng $ P $ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi $ (d) $ thay đổi.
4. Lời kết
Bài viết này không đi sâu nghiên cứu các tính chất của đường đẳng giác, điểm đẳng giác, mà chỉ nêu lên một khái niệm khá phổ biến trong hình học nhưng có thể còn lạ lẫm với nhiều học sinh, qua đó giúp cho các em có thêm một hướng nhìn khi giải các bài toán hình học. Bạn nào yêu thích có thể nghiên cứu thêm trong các tài liệu tham khảo.

Rút gọn phân thức cơ bản

Leave a reply

Phương pháp giải: Để rút gọn các phân thức đơn giản dạng $\dfrac{A}{B}$, ta làm các bước sau:

  • Phân tích nhân tử $A$ và $B$.
  • Rút gọn cho thừa số chung của $A$ và $B$.

Ví dụ 1. Rút gọn phân thức

a) $\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2}$
b) $\dfrac{ax^2+2axy+ay^2}{ax^3+ay^3}$

Giải

a) $\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2}$

$=\dfrac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}$

$=\dfrac{x-y}{x+y}$.

b) $\dfrac{ax^2+2axy+ay^2}{ax^3+ay^3}$

$=\dfrac{a(x^2+2xy+y^2)}{a(x^3+y^3)}$

$=\dfrac{(x+y)^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}$

$=\dfrac{x+y}{x^2-xy+y^2}$.

 

Ví dụ 2. Rút gọn phân thức

a) $\dfrac{x^3-3x+2}{x^2-2x+1}$
b) $ \dfrac{x^2 -xy -x + y}{x^2 + xy – x- y}. $

Giải

a) $\dfrac{x^3-3x+2}{x^2-2x+1}$

$ =\dfrac{x^3 -x -2x + 2}{(x-1)^2} $

$ =\dfrac{(x^3 -x) -(2x – 2)}{(x-1)^2} $

$ =\dfrac{x(x-1)(x+1) -2(x – 1)}{(x-1)^2} $

$ =\dfrac{(x-1)[x(x+1) -2]}{(x-1)^2} $

$ =\dfrac{x(x+1) -2}{x-1} $.

b) $ \dfrac{x^2 -xy -x + y}{x^2 + xy – x- y} $

$ =\dfrac{(x^2 -xy) -(x – y)}{(x^2 + xy) – (x+y)}$

$ =\dfrac{x(x -y) -(x – y)}{x(x + y) – (x+y)}$

$ =\dfrac{(x -y)(x-1)}{(x + y) (x-1)}$

$ =\dfrac{x -y}{x+y}$.

Bài tập

Bài 1. Rút gọn các phân thức sau

a) $ \dfrac{6x^3y^2}{9x^2y} $.
b) $ \dfrac{12x^3y^2}{18xy^5}. $
c) $ \dfrac{6xy^3}{4x^2y}. $
d) $ \dfrac{15x(x+5)^3}{20x^2(x+5)} $
e) $ \dfrac{8(x^2 – xy)}{12x(x-y)^2} $.

Bài 2. Rút gọn các phân thức sau

a) $ \dfrac{x^2 + xy + x+ y}{x^2 -xy + x -y} .$
b) $ \dfrac{25(x-2)}{20x(2-x)} $.
c) $ \dfrac{x(4-x)^2}{x-4}. $
d) $ \dfrac{(x-y)^2}{x(y-x)^3} .$
Bài 3. Rút gọn các phân thức sau

a) $ \dfrac{6x^2y^2}{8xy^5}. $
b) $ \dfrac{10xy^2(x+y)}{15xy(x+y)^3} $
c) $ \dfrac{2x^2 +2x}{x+1}. $
d) $ \dfrac{x(x-2)}{(2-x)^3}. $

Bài 4. Rút gọn các phân thức

a) $ \dfrac{x^4-4x^2}{x(x+2)^2}. $
b) $ \dfrac{x^2 + 2x}{x^2+4x + 4}. $
c) $ \dfrac{8x(1-x)}{12x^2(x-1)^3}. $
d) $ \dfrac{xy -x^2}{y(x-y)^3}. $
e) $ \dfrac{x^3 – y^3}{xy^2 – x^2y}. $

Bài 5. Rút gọn các phân thức

a) $ \dfrac{36(x-2)^3}{32-16x} $.
b) $ \dfrac{x^2 – xy}{5y^2 – 5xy}. $
c) $ \dfrac{3x^2-12x+12}{x^4 – 8x}. $
d) $ \dfrac{7x^2 +14x+7}{3x^2+3x}. $

Đồ thị hàm số bậc hai

Leave a reply

Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $

Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $ là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh $O$.

Nếu $a>0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị.

Nếu $a<0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất của đồ thị.

Cách vẽ đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số $y=2x^2$

Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

Ví dụ 2: Tìm $a$ biết đồ thị $\left( P\right): y=ax^2$ đi qua điểm $A\left( -2; -\dfrac{1}{4}\right) $. Từ đó chứng minh $B\left( 4;-1\right) $ thuộc đồ thị $\left( P\right) $.

Giải

Ta có: $A\in \left( P\right) \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}=a.\left( -2\right) ^2 \Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{16}$

Vậy $\left( P\right): y=-\dfrac{1}{16}x^2$.

Ta có: $y_B=-1=-\dfrac{1}{16}.4^2=-\dfrac{1}{16}.{x_B}^2$

Suy ra $B\in \left( P\right) $.

Ví dụ 3: Cho parabol $\left( P\right) : y=x^2$. Tìm điểm $M$ trên $\left( P\right) $ sao cho hoành độ bằng $4$ lần tung độ.

Giải

Điểm $M$ có hoành độ bằng $4$ lần tung độ nên $M\left( 4y_M; y_M\right) $

Ta có: $M\in \left( P\right) \Leftrightarrow y_M=\left( 4y_M\right) ^2\Leftrightarrow y_M=0$ hoặc $y_M=\dfrac{1}{16}$.

Vậy $M\left( 0;0\right) $ hoặc $M\left( \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{16}\right) $.

Ví dụ 4: Cho parabol $\left( P\right) : y=2x^2$ và đường thẳng $d: y=3x+2$. Tìm tọa độ giao điểm của $\left( P\right) $ và $d$.

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P\right) $ và $d$ là:

$2x^2=3x+2\Leftrightarrow 2x^2-3x-2=0\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=-\dfrac{1}{2}$

Với $x=2\Rightarrow y=8$

Với $x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}$

Vậy tọa độ giao điểm là $A\left( 2;8\right) $ và $B\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right) $.

Bài tập:

Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=-2x^2$

b) $y=\dfrac{x^2}{2}$

c) $y=-\dfrac{x^2}{3}$

Bài 2: Tìm $a$ biết đồ thị $\left( P\right) : y=ax^2$ đi qua:

a) $A\left( 1;2\right) $

b) $B\left( -1;4\right) $

c) $C\left( 2; -8\right) $

Bài 3: Cho hàm số: $y=\dfrac{1}{4}x^2$

a) Vẽ đồ thị $\left( P\right) $ của hàm số.

b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị $\left( P\right) $: $A\left( -2;1\right) ; B\left( 1;1\right) ; C\left( -1;\dfrac{1}{4}\right) $?

Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ cho parabol $\left( P\right) : y=ax^2$.

a) Biết $\left( P\right) $ đi qua điểm $M\left( 2;-1\right) $, tìm hệ số $a$. Vẽ parabol $\left( P\right) $ vừa tìm được.

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ $x=-2$.

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ $y=-9$.

Bài 5: Cho parabol $\left( P\right): y=mx^2$ và đường thẳng $\left( D\right) : y=2x-1$.

a) Tìm $m$ để $\left( P\right) $ đi qua điểm $A\left( 2;8\right) $.

b) Tìm $m$ để $\left( P\right) $ tiếp xúc với $\left( D\right) $.

Bài 6: Một vật chuyển động với vận tốc được tính theo thời gian bởi công thức $v=2t^2$ với $t\ge 0$. Một vật khác chuyển động cùng lúc với vận tốc được tính theo thời gian là $v=3t+2$.

a) Vẽ đồ thị hàm số biểu diễn vận tộc của hai vật trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm thời điểm hai vật có vận tốc bằng nhau.

 

 

Hàm số bậc hai $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $

Leave a reply

Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $

Ví dụ 1: Một số loại gạch lát nền hình vuông có nhiều kích cỡ khác nhau.

Nếu gọi $x$ $\left( cm\right) $ là chiều dài cạch của một miếng gạch thì diện tích của một miếng gạch là $S=x^2$.

Công thức $S=x^2$ là một hàm số bậc hai có dạng $y=ax^2$ với $a=1$.

Ví dụ 2:

a) Xác định hệ số $a$ của các hàm số sau: $y=3x^2$, $y=-2x^2$, $y=\dfrac{2}{3} x^2$.

b) Tính giá trị tương ứng của $y$ trong bảng sau:

Giải

a) Hàm số $y=3x^2$ có hệ số $a=3$.

Hàm số $y=-2x^2$ có hệ số $a=-2$.

Hàm số $y=\dfrac{2}{3}x^2$ có hệ số $a=\dfrac{2}{3}$.

b)

Tính chất: Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

  • Nếu $a>0$ thì hàm số đồng biến khi $x>0$, nghịch biến khi $x<0$.
  • Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến khi $x<0$, nghịch biến khi $x>0$.

Ví dụ 3: 

a) Hàm số $y=3x^2$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ có $a=3>0$ nên hàm số đồng biến khi $x>0$ và nghịch biến khi $x<0$.

b) Hàm số $y=-2x^2$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ có $a=-2<0$ nên hàm số đồng biến khi $x<0$ và nghịch biến khi $x>0$.

Nhận xét:

  • Nếu $a>0$ thì $y>0$ với mọi $x\ne 0$; $y=0$ khi $x=0$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y=0$.
  • Nếu $a<0$ thì $y<0$ với mọi $x\ne 0$; $y=0$ khi $x=0$. Giá trị lớn nhất của hàm số là $y=0$.

Bài tập:

Bài 1: Cho hàm số $y=f(x)=-5x^2$.

a) Xác định hệ số $a$. Tìm điều kiện của $x$ để hàm số đồng biến, nghịch biến.

b) Tính $f\left( -2\right) $, $f\left( \dfrac{2}{5}\right) $, $f\left( \sqrt{3}\right) $.

c) Tìm $x$ khi $f\left( x\right) =-1$, $f\left( x\right) =0$, $f\left( x\right) =3$.

Bài 2: Diện tích $S$ $\left( m^2\right) $ của một hình tròn sẽ phụ thuộc vào bán kính $r$ $\left( m\right) $ của hình tròn đó.

a) Lập hàm số của $S$ theo $r$. Xác định hệ số $a$.

b) Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu bán kính giảm đi 2 lần? Bán kính tăng lên 3 lần?

Bài 3: Một vật rơi từ độ cao $144$ $m$ xuống mặt đất. Biết rằng quãng đường chuyển động $s$ $\left( m\right) $ của vật phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) thông qua công thức: $s=4t^2$.

a) Tính quãng đường vật đi được sau $3$ giây. Lúc đó vật còn cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Sau bao lâu thì vật chạm đất?

c) Tính quãng đường đi được trong giây thứ $3$.

Bài 4: Lực $F\left( N\right) $ của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc của gió $v$ $\left( m/s\right) $ theo công thức $F=kv^2$ ($k$ là một hằng số).

a) Tìm hằng số $k$ biết vận tốc của gió là $v=5$ $\left( m/s\right) $ thì lực tác dụng vào cánh buồm là $F=100N$.

b) Nếu vận tốc của gió là $v=20$ $\left( m/s\right) $ thì lực của gió tác động vào cánh buồm là bao nhiêu?

c) Cánh buồm của chiếc thuyền chỉ có thể chịu được lực tối đa là $F=2116N$. Hỏi thuyền có thể ra khởi khi vận tốc gió là $v=90$ $\left( km/h\right) $ hay không? Nếu không thì thuyền có thể ra khơi khi vận tốc của gió tối đa là bao nhiêu?

Bài 5: Khi thả một viên đá xuống một chiếc giếng, quãng đường viên đá rơi được trong thời gian $t$ (giây) sẽ được tính theo công thức $D=4,9t^2$ $\left( m\right) $.

a) Tính quãng đường viên đá rơi được trong $1$ giây, $2$ giây, $3$ giây.

b) Hãy tính độ sâu của cái giếng nếu viên đá chạm đáy giếng sau $4,3$ giây.

c) Nếu cái giếng sâu $100$ $m$, hãy tính thời gian từ lúc viên đá rơi cho tới khi viên đá chạm đáy giếng.

Phép nhân các phân thức

Leave a reply

Quy tắc:

  • Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau:

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{A.C}{B.D}$.

  • Muốn chia phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$ khác $0$, ta nhân phân thức $\dfrac{A}{B}$  với phân thức nghịch đảo của phân thức $\dfrac{C}{D}$: $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C}$ với $\dfrac{C}{D} \neq 0.$

Ví dụ 1:  Thực hiện phép nhân hai phân thức:

$\dfrac{{2{{\rm{x}}^2}}}{{x – y}}.\dfrac{y}{{5{{\rm{x}}^3}}}$.

Giải

$\dfrac{{2{{\rm{x}}^2}}}{{x – y}}.\dfrac{y}{{5{{\rm{x}}^3}}}$

=$\dfrac{2x^2.y}{(x-y).5x^3}$

=$\dfrac{2y}{5x(x-y)}$.

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia hai phân thức:

$\dfrac{{5x – 15}}{{4x + 4}}:\dfrac{{x{}^2 – 9}}{{{x^2} + 2x + 1}}$

Giải

$\dfrac{{5x – 15}}{{4x + 4}}:\dfrac{{x{}^2 – 9}}{{{x^2} + 2x + 1}}$

$=\dfrac{{5x – 15}}{{4x + 4}}.\dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x{}^2 – 9}}$

$=\dfrac{{5(x – 3)}}{{4(x + 1)}}.\dfrac{(x+1)^2}{(x-3)(x+3)}$

$=\dfrac{{5(x + 1)}}{4(x+3)}$.

Bài tập

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{5x + 10}}{{4x – 8}}\,.\,\dfrac{{4 – 2x}}{{x + 2}}$
b)  $\dfrac{{{x^2} – 36}}{{2x + 10}}\,.\,\dfrac{3}{{6 – x}}$

c) $\dfrac{{{x^2} – 9{y^2}}}{{{x^2}{y^2}}}.\dfrac{{3{\rm{x}}y}}{{2{\rm{x}} – 6y}}$
d) $\dfrac{{3{{\rm{x}}^2} – 3{y^2}}}{{5{\rm{x}}y}}.\dfrac{{15{{\rm{x}}^2}y}}{{2y – 2{\rm{x}}}}$.

Bài 2. Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{6x + 48}}{{7x – 7}}:\dfrac{{{x^2} – 64}}{{{x^2} – 2x + 1}}$

b) $\dfrac{{4x – 24}}{{5x + 5}}:\dfrac{{{x^2} – 36}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
c) $\dfrac{{3x + 21}}{{5x + 5}}:\dfrac{{{x^2} – 49}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
d) $\dfrac{{3 – 3x}}{{{{(1 + x)}^2}}}:\dfrac{{6{x^2} – 6}}{{x + 1}}$.

Bài 3. Thực hiện phép tính:

a) $ \dfrac{5x-10}{x^2+7} :(2x-4). $
b) $ (x^2-25):\dfrac{2x+10}{3x-7}. $
c) $ \dfrac{x^2+x}{5x^2-10x+5}: \dfrac{3x+3}{5x-5}. $
d) $ (x^-25):\dfrac{2x+10}{3x-7}. $

Bài 4. Thực hiện phép tính:

a) $ \dfrac{27-x^3}{3xy^3} : \dfrac{14x+14}{x^2y}. $
b) $ \dfrac{8xy}{3x-1} : \dfrac{12xy^3}{5-15x}. $
c) $ \dfrac{7x+2}{3xy^3} : \dfrac{14x+4}{x^2y}. $
d) $ (4x^2 -16):\dfrac{3x+6}{7x-2}. $
e) $ \dfrac{3x^3+3}{x-1} :(x^2 -x+1). $

Bài 5. Rút gọn biểu thức

a)$ \dfrac{x+1}{x+2} : \dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}. $
b) $ \dfrac{x+1}{x+2}\cdot \dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}. $

c) $ \dfrac{x+1}{x+2} : \dfrac{x+2}{x+3} \cdot \dfrac{x+3}{x+1}. $
d) $ \dfrac{x+1}{x+2} : \left(\dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}\right) $.

Cộng trừ hai phân thức

1 Reply

Quy tắc:

  • Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta giữ nguyên mẫu thức và cộng các tử thức.
  • Muốn cộng hai phân thức không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu thức rồi thực hiện phép cộng.
  • Muốn trừ phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$, ta cộng $\dfrac{A}{B}$ với phân thức đối của $\dfrac{C}{D}$: $\dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left(-\dfrac{C}{D}\right).$

Ví dụ 1: $\dfrac{{5xy – 4y}}{{2{x^2}{y^3}}} + \dfrac{{3xy + 4y}}{{2{x^2}{y^3}}}$

Giải

$\dfrac{{5xy – 4y}}{{2{x^2}{y^3}}} + \dfrac{{3xy + 4y}}{{2{x^2}{y^3}}}$

=$\dfrac{{5xy – 4y+3xy+4y}}{{2{x^2}{y^3}}} $

=$\dfrac{{8xy}}{{2{x^2}{y^3}}} $

=$\dfrac{{4}}{{2{x}{y^2}}} $.

Ví dụ 2: $\dfrac{{3{\rm{x}}}}{{5{\rm{x}} + 5y}} – \dfrac{x}{{10{\rm{x}} – 10y}}$

Giải

Ta có:

$\dfrac{3x}{5x+5y}=\dfrac{3x}{5(x+y)}$

$\dfrac{x}{10x-10y}=\dfrac{x}{10(x-y)}$

MTC: $10(x+y)(x-y)$

$\dfrac{3x}{5x+5y}-\dfrac{x}{10(x-y)}$

$=\dfrac{3x.2(x-y)}{2.5(x+y)(x-y)}-\dfrac{x(x+y)}{10(x-y)(x+y)}$

$=\dfrac{6x^2-6xy-x^2-xy}{10(x-y)(x+y)}$

$=\dfrac{5x^2-7xy}{10(x-y)(x+y)}$.

 

Ví dụ 3: $\dfrac{x-4}{4x-16} + \dfrac{4+x}{8-2x}$.

Giải

Ta có:

$\dfrac{x-4}{4x-16}=\dfrac{x-4}{4(x-4)}$

$\dfrac{4+x}{8-2x}=\dfrac{4+x}{2(4-x)}$

MTC: $4(x-4)$

$\dfrac{x-4}{4x-16}+\dfrac{4+x}{8-2x}$

$=\dfrac{x-4}{4(x-4)}+\dfrac{(4+x).(-2)}{2(4-x).(-2)}$

$=\dfrac{x-4-8-2x}{4(x-4)}$

$=\dfrac{-x-12}{4(x-4)}$.

Ví dụ 4: $\dfrac{y+1}{2y-2} +\dfrac{-2y}{y^2-1}$

Giải

Ta có:

$\dfrac{y+1}{2y-2}=\dfrac{y+1}{2(y-1)}$

$\dfrac{-2y}{y^2-1}=\dfrac{-2y}{(y-1)(y+1)}$

MTC: $2(y+1)(y-1)$

$\dfrac{y+1}{2y-2} +\dfrac{-2y}{y^2-1}$

$=\dfrac{(y+1)(y+1)}{2(y+1)(y-1)} +\dfrac{-2y.2}{2(y-1)(y+1)}$

$=\dfrac{(y+1)^2}{2(y+1)(y-1)} +\dfrac{-4y}{2(y-1)(y+1)}$

$=\dfrac{y^2+2y+1-4y}{2(y+1)(y-1)}$

$=\dfrac{y^2-2y+1}{2(y+1)(y-1)}$

$=\dfrac{(y-1)^2}{2(y+1)(y-1)}$

$=\dfrac{y-1}{2(y+1)}$.

Bài tập

Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{x – 5}}{5} + \dfrac{{1 – x}}{5}$
b) $\dfrac{{x – y}}{8} + \dfrac{{2y}}{8}$
c) $\dfrac{{{x^2} – x}}{{xy}} + \dfrac{{1 – 4{\rm{x}}}}{{xy}}$
d)  $\dfrac{{5{\rm{x}}{y^2} – {x^2}y}}{{3{\rm{x}}y}} + \dfrac{{4{\rm{x}}{y^2} + {x^2}y}}{{3{\rm{x}}y}}$ .

Bài 2.Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{2{\rm{x}} + 4}}{{10}} + \dfrac{{2 – x}}{{15}}$

b)  $\dfrac{{3{\rm{x}}}}{{10}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{15}} + \dfrac{{2 – x}}{{20}}$
c) $\dfrac{{x + 1}}{{2{\rm{x}} – 2}} + \dfrac{{{x^2} + 3}}{{2 – 2{{\rm{x}}^2}}}$
d)  $\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} – 4{\rm{x}}}} + \dfrac{6}{{6 – 3{\rm{x}}}} + \dfrac{1}{{x + 2}}$.

Bài 3. Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{4x + 1}}{2} – \dfrac{{3{\rm{x}} + 2}}{3}$
b)  $\dfrac{{x + 3}}{x} – \dfrac{x}{{x – 3}} + \dfrac{9}{{{x^2} – 3{\rm{x}}}}$
c)  $\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{1}{{{x^2} + x}}$
d) $\dfrac{1}{{3{\rm{x}} – 2}} – \dfrac{4}{{3{\rm{x}} + 2}} – \dfrac{{ – 10{\rm{x}} + 8}}{{9{{\rm{x}}^2} – 4}}$
e)  $\dfrac{3}{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{2}{x}$.

Bài 4. Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{4{{\rm{a}}^2} – 3{\rm{a}} + 5}}{{{a^3} – 1}} – \dfrac{{1 – 2{\rm{a}}}}{{{a^2} + a + 1}} – \dfrac{6}{{a – 1}}$
b) $\dfrac{{5{{\rm{x}}^2} – {y^2}}}{{xy}} – \dfrac{{3{\rm{x}} – 2y}}{y}$
c) $\dfrac{{x + 9y}}{{{x^2} – 9{y^2}}} – \dfrac{{3y}}{{{x^2} + 3{\rm{x}}y}}$

d)  $\dfrac{{3x + 2}}{{{x^2} – 2x + 1}} – \dfrac{6}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{{3x – 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}$

d) ${x^2} + 1 – \dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} + 1}}$.

Hệ số góc của đường thẳng d: y=ax+b

Leave a reply

1. Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$ $\left( a\ne 0\right) $

a) Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$

 

 

 

 

 

 

 

 

Đường thẳng $y=ax+b$ cắt trục $Ox$ tại điểm $A$ và đi qua điểm $T$ có tung độ dương.

Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$ là góc tạo bởi hai tia $AT$ và $Ax$.

b) Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$

Khi $a>0$, góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với trục $Ox$ là góc nhọn. Nếu hệ sô $a$ càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn $90^\circ $.

Khi $a<0$, góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$ là góc tù. Nếu hệ số $a$ càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn $180^\circ$.

Hai đường thẳng $y=a_1x+b_1$ và $y=a_2x+b_2$ có $a_1=a_2$ thì cùng tạo với trục $Ox$ hai góc bằng nhau.

Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với $Ox$ phụ thuộc vào $a$.

Ta gọi $a$ là hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$.

Ngoài ra ta có công thức sau: $a=tan\alpha$ (với $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với trục $Ox$).

Ví dụ 1: Xác định và tính góc tạo bởi đường thẳng $d: y=x+2$ với trục $Ox$.

Giải

Đường thẳng $d: y=x+2$ cắt trục $Ox$ tại điểm$A\left(-2;0\right) $. Chọn điểm $T\left( 0;2\right) $ thuộc đường thẳng $d$ có tung độ $2$ lớn hơn $0$. Vậy góc tạo bởi đường thẳng $d$ với trục $Ox$ là góc $\angle OAT$.

Hệ số góc của $d$ là $a=1$ nên $tan\angle OAT=1\Rightarrow \angle OAT=45^\circ $.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 1;-1\right) $  và có hệ số góc bằng $-2$.

Giải

Gọi phương trình đường thẳng $d$ có dạng $y=ax+b$

$d$ có hệ số góc bằng $-2 \Rightarrow  a=-2$

$d$ đi qua $A\left( 1;-1\right) \Rightarrow a+b=-1\Rightarrow b=1$

Vậy $d: y=-2x+1$

Ví dụ 3: Dựng một cái thang lên tường với độ cao $3$ $m$, thì khoảng cách từ chân thang tới chân tường tối thiểu là bao nhiêu $m$ để đảm bảo an toàn? Biết rằng để có sự an toàn thì hệ số góc của thang tối đa là $5$.

Giải

Gọi $x$ là khoảng cách từ chân thang tới chân tường. Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, ta có $A\left( -x;0\right) $ là giao điểm của đường thẳng (cái thang) với trục $Ox$ và $T\left( 0;3\right) $ là điểm thuộc đường thẳng có tung độ dương. Do đó góc tạo bởi đường thẳng với trục $Ox$ là $\angle OAT$.

Ta có: $a=tan\angle OAT=\dfrac{OT}{OA}=\dfrac{3}{x}$

Để đảm bảo an toàn thì $a\le 5$ nên $\dfrac{3}{x} \le 5\Leftrightarrow x\ge \dfrac{3}{5}$.

Vậy khoảng cách $x$ tối thiểu là $x=0,6$ $m$.

Bài tập:

Bài 1: Cho đường thẳng $d_1: y=2x+3m+1$ và  $d_2: y=\left( m+1\right) x-4$.

a) Tìm điều kiện của $m$ để $d_1$ cắt $d_2$.

b) Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ có hệ số góc bằng nhau.

c) Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng tung độ.

Bài 2: Cho hàm số $y=\left( 2m-1\right) x+1$ có đồ thị $d$.

a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Tìm $m$ để $d$ đi qua điểm $A\left( 1;4\right) $.

c) Tìm $m$ để $d$ có hệ  số góc là $4$.

d) Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$, $Oy$ tại $M$, $N$ sao cho diện tích tam giác $OMN$ bằng $\dfrac{1}{2}$.

Bài 3: Cho đường thẳng $d$ là đồ thị của hàm số $y=\left( m-1\right) x+4$.

a) Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

b) Chứng minh rằng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

c) Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$, $Oy$ tại $A$, $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng $8$.

d) Biết $d$ trùng $d_1: y=\left( 2m^2-7\right) x-2m+1$. Tìm hệ số góc của $d_1$.

Bài 4: Cho hai đường thẳng phân biệt $d_1: y=\left( 2-m^2\right) x+m-5$ và $d_2: y=mx+3m-7$. Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ có hệ số góc bằng nhau.

Bài 5: Tính chiều cao của một ngọn núi cho biết tại hai điểm cách nhau $1$ $km$ trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi dọc theo đường thẳng có hệ số góc lần lượt là $a_1=0,62$ và $a_2=0,84$.

Thiếu hằng số C

Leave a reply

Có 2 anh bạn là thầy giáo toán đang ngồi uống bia. Khi đã ngà ngà, thầy thứ nhất nói:
– “Không biết trình độ toán của mọi người bây giờ thế nào, học qua phổ thông thì cũng biết khối thứ, nhưng sợ lại quên hết”.
Thầy thứ hai bảo: “theo tớ thì cũng nhiều người biết lắm, không như cậu nghĩ đâu”.
Nhân lúc anh thứ nhất đi ra ngoài, anh kia gọi cô chạy bàn lại và dặn: ” lát nữa tôi có hỏi gì thì cô cứ nói là bằng x mũ 3 chia 3 nhé”. Cô bé lẩm bẩm đọc x mũ ba chia ba, x mũ ba chia ba và nói: ”Vâng, em nhớ rồi”.
Lát sau anh kia vào, anh thứ hai mới nói ”để tớ thử gọi cô phục vụ ra và hỏi một câu về toán nhé”. Anh thứ nhất đồng ý. Khi cô phục vụ được hỏi ”tích phân của x bình phương là bao nhiêu?” Cô đã trả lời chính xác: bằng x mũ ba chia ba. Sau khi bước đi cô còn quay lại nguýt anh thứ hai : ”anh còn thiếu hằng số C đấy nhá !”

Quy đồng hai phân thức

Leave a reply

Quy tắc: Quy đồng MT (mẫu thức) nhiều phân thức.

  • Phân tích các MT thành nhân tử rồi tìm MTC (mẫu thức chung)

  • Tìm NTP (nhân tử phụ) của mỗi mẫu thức.

  • Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với NTP tương ứng.

Ví dụ 1: Tìm mẫu thức chung và quy đồng:
$\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} – 1}}$,  $\dfrac{x-1}{x+1}, \dfrac{4}{x-1}$

Giải

MT1: $x^2-1=(x -1)(x+1)$

MT2: $x+1$

MT3: $x-1$

MTC: $(x-1)(x+1)$

$\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} – 1}}=\dfrac{x^4 + 1}{(x-1)(x+1)}$

$\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}$

$\dfrac{4(x+1)}{(x-1)(x+1)}$.

Ví dụ 2: Tìm mẫu thức chung và quy đồng:
$\dfrac{5}{{2{\rm{x}} – 4}}$, $\dfrac{4}{{3{\rm{x}} – 9}}$, $\dfrac{7}{{50 – 25{\rm{x}}}}$

Giải

MT1:$2x-4=2(x-2)$

MT2:$3x-9=3(x-3)$

MT3:$50-25x=-25(x-2)$

MTC: $150(x-2)(x-3)$

$\dfrac{5}{2x – 4}=\dfrac{5.75(x-3)}{150(x-2)(x-3)}=\dfrac{375(x-3)}{150(x-2)(x-3)}$

$\dfrac{4}{3x – 9}=\dfrac{4.50(x-2)}{150(x-2)(x-3)}=\dfrac{200(x-2)}{150(x-2)(x-3)}$

$\dfrac{7}{50-25x}=\dfrac{-7.6(x-3)}{150(x-2)(x-3)}=\dfrac{-42(x-3)}{150(x-2)(x-3)}$.

Bài tập

Bài 1. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{4}{3x^2y} $ và $ \dfrac{3}{4xy^3}. $
b) $ \dfrac{5}{14x^2y^3} $ và $ \dfrac{8}{21x^4y^2}. $
c) $ \dfrac{5}{2x+2} $ và $ \dfrac{9}{x^2 -1}. $
d) $ \dfrac{1}{4-2x} $ và $ \dfrac{3}{x^2-4}. $

Bài 2. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{1}{3x-9} $ và $ \dfrac{2}{x^2 -6x +9}. $
b) $ \dfrac{7}{4-2x} $ và $ \dfrac{2}{x^2 – 4x + 4}. $
c) $ \dfrac{1}{x-1} $ ; $ \dfrac{2}{x^3-1} $ và $ \dfrac{3}{x^2 + x+1}. $
d) $ \dfrac{3}{6-2x} $; $ \dfrac{2}{x-3} $ và $ \dfrac{-5}{3x-9}. $

Bài 3. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{x-1}{x^2-9} $ và $ \dfrac{2xy +1}{2x+6} .$

b) $ \dfrac{7x-1}{2x^2 + 6x} $ và $ \dfrac{5-3x}{x^2 -9}. $

c) $ \dfrac{3x+y}{y^2 – 2xy + x^2} $ và $ \dfrac{y+1}{2x-2y}. $

d) $ \dfrac{x-1}{2} $ và $ \dfrac{x^2 }{x^2 – xy}. $

Bài 4. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{4x^2 -3x +5}{x^3 -1} $, $ \dfrac{1-2x}{x^2+x+1} $ và $ -2 $.
b) $ \dfrac{10}{x+2} $, $ \dfrac{5}{2x-4} $ và $ \dfrac{1}{6-3x}. $
c) $ \dfrac{5x^2}{x^3-6x^2} $; $ \dfrac{3x^2 +18x}{x^2 – 36}. $
d) $ \dfrac{5x^2}{x^3 + 6x^2 +12x +8} $; $ \dfrac{4x}{x^2 +4x+4} $ và $ \dfrac{3}{2x+4}. $

Bài 5. Tìm mẫu thức chung và quy đồng các phân thức:

a) $\dfrac{5}{{2{\rm{x}} – 4}}$,
b) $\dfrac{4}{{3{\rm{x}} – 9}}$, $\dfrac{7}{{50 – 25{\rm{x}}}}$
c) $\dfrac{x}{{4 + 2{\rm{a}}}}$, $\dfrac{y}{{4 – 2{\rm{a}}}}$, $\dfrac{z}{{4 – {a^2}}}$
d) $\dfrac{{2{\rm{a}}}}{{{b^2}}}$, $\dfrac{x}{{2{\rm{a}} + 2b}}$, $\dfrac{y}{{{a^2} – {b^2}}}$
e) $\dfrac{3}{{2{\rm{x}} + 6}}$, $\dfrac{{x – 2}}{{{x^2} + 6{\rm{x}} + 9}}$.

Bài 6. Tìm mẫu thức chung và quy đồng các phân thức:

a) $\dfrac{x}{{2{{\rm{x}}^2} + 7{\rm{x}} – 15}}$, $\dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + 3{\rm{x}} – 10}}$, $\dfrac{1}{{x + 5}}$
b) $\dfrac{1}{{ – {x^2} + 3{\rm{x}} – 2}}$, $\dfrac{1}{{{x^2} + 5{\rm{x}} – 6}}$, $\dfrac{1}{{ – {x^2} + 4{\rm{x}} – 3}}$
c) $\dfrac{3}{{{x^3} – 1}}$, $\dfrac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} + x + 1}}$, $\dfrac{x}{{x – 1}}$
d) $\dfrac{x}{{{x^2} – 2{\rm{x}}y + {y^2} – {z^2}}}$, $\dfrac{y}{{{x^2} + 2yz – {y^2} – {z^2}}}$, $\dfrac{z}{{{x^2} – 2xz – {y^2} + {z^2}}}$.

Phương pháp chứng minh phản chứng (Lớp 10)

Leave a reply

Tính chất.  $A \Rightarrow B \Leftrightarrow \overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ hoặc $A \Rightarrow B \Leftrightarrow \overline{B} \Rightarrow S$,  $S$ là mệnh đề hằng sai.

  • Phương pháp chứng minh phản chứng là một phương pháp chứng minh gián tiếp, để chứng  minh mệnh đề $A \Rightarrow B$ ta chứng minh mệnh đề tương đương với nó là $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$.
  • Điểm mạnh của phương pháp này là ta đã tạo thêm được giả thiết mới $\overline{B}$, để từ đó giúp ta suy luận tiếp để giải quyết được bài toán.
  • Tất nhiên việc viết lại mệnh đề $\overline{B}$ một cách chính xác là điều quan trọng, cái này chú ý một số quy tắt về mệnh đề.
  • Phương pháp này được sử dụng hầu hết trong các phân môn của toán là: đại số, số học, hình học, tổ hợp.

1. Các bài toán tổ hợp

Ví dụ 1. (Nguyên lý Dirichlet) Có $nk + 1$ viên bi, bỏ vào trong $k$ cái hộp. Chứng minh rằng có ít nhất một hộp có ít nhất là là $n+1$ viên bi.

Lời giải
  •  Giả sử tất cả các hộp chỉ chứa số lượng bị không vượt quá $n$ viên, khi đó tổng số viên bi không vượt quá $k \cdot n$, mâu thuẫn với số bi là $kn + 1$.
  • Vậy phải có một hộp chứa nhiều hơn $n$ viên bi.

 

Ví dụ 2. Có tồn tại hay không một cách điền các số $0,1, 2, 3, \cdots , 9$ vào các đỉnh của một đa giác 10 đỉnh sao cho hiệu hai số ở hai đỉnh kề nhau chỉ có thể nhận một trong các giá trị sau:$-5, -4, -3, 3, 4, 5$.

Lời giải
  • Giả sử có một cách ghi thỏa đề bài.
  • Khi đó ta thấy rằng các số $0, 1, 2, 8, 9$ không thể đứng cạnh nhau đôi một. Hơn nữa có đúng 10 số, vậy các số còn lại sẽ đứng xen kẽ giữa các số này.
  • Khi đó xét số 7, ta thấy số 7 chỉ có thể đứng bên cạnh số 2 trong các số $\{ 0, 1, 2, 8, 9 \}$, mâu thuẫn.
    Vậy không tồn tại cách ghi thỏa đề bài.

Ví dụ 3.  Điền các số 1,2,3,…,121 vào một bảng ô vuông kích thước $11 \times 11$ sao cho mỗi ô chứa một số. Tồn tại hay không một cách điền sao cho hai số tự nhiên liên tiếp sẽ được điền vào hai ô có chung một cạnh và các tất cả các số chính phương thì nằm trong cùng một cột?

Lời giải
  • Giả sử tồn tại một cách điền số vào các ô thỏa yêu cầu đặt ra. Khi đó bảng ô vuông được chia thành hai phần ngăn cách nhau bởi cột điền các số chính phương. Một phần chứa $11n$ ô vuông $1 \times 1$, và phần còn lại chứa $110-11n$ ô vuông $1 \times 1$ , với $0 \le n \le 5.$
  • Để ý rằng các số tự nhiên nằm giữa hai số chính phương liên tiếp $a^2$ và $(a+1)^2$ sẽ cùng nằm về một phần và dó đó các số tự nhiên nằm giữa $(a+1)^2$ và $(a+2)^2$ sẽ nằm ở phần còn lại.
  • Số lượng các số tự nhiên nằm giữa 1 và 4, 4 và 9, 9 và 16,…,100 và 121 lần lượt là $2,4,6,8,…,20$. Do đó một phần sẽ chứa $2+6+10+14+18=50$ số, phần còn lại chứa $4+8+12+16+20=60$ số.
  • Cả 50 và 60 đều không chia hết cho 11, mâu thuẫn. Vậy không tồn tại cách điền số thỏa yêu cầu đề bài.

Ví dụ 4. Cho $F ={E_1, E_2, …, E_k }$ là một họ các tập con có $r$ phần tử của tập $X$. Nếu giao của $r+1$ tập bất kì của $F$ là khác rỗng, chứng minh rằng giao của tất cả các tập thuộc $F$ là khác rỗng.

Lời giải
  • Giả sử ngược lại, giao tất cả các tập thuộc $F$ bằng rỗng.
  • Xét tập $E_1 = \{x_1, \cdots, x_r\}$. Do giao tất cả các tập thuộc $F$ là rỗng, nên với $x_k$ tồn tại một tập $E_{i_k}$ mà $x \notin E_{i_k}, \forall k = \overline{1,r}$.
  • Khi đó xét giao của họ gồm $r+1$ tập $E_1, E_{i_1}, \cdot, E_{i_r}$ thì bằng rỗng, mâu thuẫn.Vậy giao của tất cả các tập thuộc $F$ là khác rỗng.

Ví dụ 5.  Cho $A$ và $B$ là các tập phân biệt và hợp của $A$ và $B$ là tập các số tự nhiên. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại các số  phân biệt $a,b > n$ sao cho ${a,b,a + b } \subset A$ hoặc ${a,b,a+b} \subset B$.

Lời giải
  • Nếu $A$ hoặc $B$ là tập hợp hữu hạn phần tử thì chỉ cần chọn $a, b$ lớn hơn phần tử lớn nhất của $A$ hoặc $B$ ta có điều cần chứng minh.
  • Nếu $A, B$ là tập vô hạn, giả sử tồn tại $n$ sao cho với mọi $a, b$ thì $a, b, a+b$ không cùng thuộc $A$ hoặc $B$. (1)
  • a chọn các số $x, y, z \in A$ sao cho $x < y < z$  và $z-y, y-x > n$.
  • Do (1) nên các số $y-x, z-y,z-x \in B$, suy ra $z-y+y-x = z-x \in A$ (mâu thuẫn).
    Vậy điều giả sử là sai, tức là ta có điều cần chứng minh.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ thì một điểm mà hoành độ và tung độ đều là các số nguyên được gọi là điểm nguyên. Chứng minh rằng không tồn tại tam giác đều nào mà các đỉnh đều là điểm nguyên.

Bài 2. Cho $S$ là tập vô hạn các phần tử và $P(S)$ là họ các tập con của $S$. Chứng minh rằng không tồn tại một song ánh từ $S$ và $P(S)$.

Bài 3. Cho $A$ là tập con có 19 phần tử của tập ${1, 2, \cdots, 106}$ sao cho không có hai phần tử nào có hiệu bằng $6, 9, 12, 15, 18$. Chứng minh rằng có 2 phần tử thuộc $A$ có hiệu bằng 3.

Bài 4. Một hình vuông $n \times n$ ô được tô bởi hai màu đen trắng, sao cho trong 4 ô góc thì 3 ô được tô màu đen, 1 ô được tô màu trắng. Chứng minh rằng trong hình vuông có ô vuông $2 \times 2 $ mà có số ô màu đen là số lẻ.

Bài 5.  Tập $S$ được gọi là một tập cân nếu lấy từ $S$ ra một phần tử bất kì thì các phần tử còn lại của $S$ có thể chia ra làm hai phần có tổng bằng nhau. Tìm số phần tử nhỏ nhất của một tập cân.

(còn nữa)