Hệ số góc của đường thẳng d: y=ax+b

Leave a reply

1. Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$ $\left( a\ne 0\right) $

a) Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$

 

 

 

 

 

 

 

 

Đường thẳng $y=ax+b$ cắt trục $Ox$ tại điểm $A$ và đi qua điểm $T$ có tung độ dương.

Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$ là góc tạo bởi hai tia $AT$ và $Ax$.

b) Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$

Khi $a>0$, góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với trục $Ox$ là góc nhọn. Nếu hệ sô $a$ càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn $90^\circ $.

Khi $a<0$, góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$ là góc tù. Nếu hệ số $a$ càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn $180^\circ$.

Hai đường thẳng $y=a_1x+b_1$ và $y=a_2x+b_2$ có $a_1=a_2$ thì cùng tạo với trục $Ox$ hai góc bằng nhau.

Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với $Ox$ phụ thuộc vào $a$.

Ta gọi $a$ là hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$.

Ngoài ra ta có công thức sau: $a=tan\alpha$ (với $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với trục $Ox$).

Ví dụ 1: Xác định và tính góc tạo bởi đường thẳng $d: y=x+2$ với trục $Ox$.

Giải

Đường thẳng $d: y=x+2$ cắt trục $Ox$ tại điểm$A\left(-2;0\right) $. Chọn điểm $T\left( 0;2\right) $ thuộc đường thẳng $d$ có tung độ $2$ lớn hơn $0$. Vậy góc tạo bởi đường thẳng $d$ với trục $Ox$ là góc $\angle OAT$.

Hệ số góc của $d$ là $a=1$ nên $tan\angle OAT=1\Rightarrow \angle OAT=45^\circ $.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 1;-1\right) $  và có hệ số góc bằng $-2$.

Giải

Gọi phương trình đường thẳng $d$ có dạng $y=ax+b$

$d$ có hệ số góc bằng $-2 \Rightarrow  a=-2$

$d$ đi qua $A\left( 1;-1\right) \Rightarrow a+b=-1\Rightarrow b=1$

Vậy $d: y=-2x+1$

Ví dụ 3: Dựng một cái thang lên tường với độ cao $3$ $m$, thì khoảng cách từ chân thang tới chân tường tối thiểu là bao nhiêu $m$ để đảm bảo an toàn? Biết rằng để có sự an toàn thì hệ số góc của thang tối đa là $5$.

Giải

Gọi $x$ là khoảng cách từ chân thang tới chân tường. Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, ta có $A\left( -x;0\right) $ là giao điểm của đường thẳng (cái thang) với trục $Ox$ và $T\left( 0;3\right) $ là điểm thuộc đường thẳng có tung độ dương. Do đó góc tạo bởi đường thẳng với trục $Ox$ là $\angle OAT$.

Ta có: $a=tan\angle OAT=\dfrac{OT}{OA}=\dfrac{3}{x}$

Để đảm bảo an toàn thì $a\le 5$ nên $\dfrac{3}{x} \le 5\Leftrightarrow x\ge \dfrac{3}{5}$.

Vậy khoảng cách $x$ tối thiểu là $x=0,6$ $m$.

Bài tập:

Bài 1: Cho đường thẳng $d_1: y=2x+3m+1$ và  $d_2: y=\left( m+1\right) x-4$.

a) Tìm điều kiện của $m$ để $d_1$ cắt $d_2$.

b) Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ có hệ số góc bằng nhau.

c) Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng tung độ.

Bài 2: Cho hàm số $y=\left( 2m-1\right) x+1$ có đồ thị $d$.

a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Tìm $m$ để $d$ đi qua điểm $A\left( 1;4\right) $.

c) Tìm $m$ để $d$ có hệ  số góc là $4$.

d) Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$, $Oy$ tại $M$, $N$ sao cho diện tích tam giác $OMN$ bằng $\dfrac{1}{2}$.

Bài 3: Cho đường thẳng $d$ là đồ thị của hàm số $y=\left( m-1\right) x+4$.

a) Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

b) Chứng minh rằng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

c) Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$, $Oy$ tại $A$, $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng $8$.

d) Biết $d$ trùng $d_1: y=\left( 2m^2-7\right) x-2m+1$. Tìm hệ số góc của $d_1$.

Bài 4: Cho hai đường thẳng phân biệt $d_1: y=\left( 2-m^2\right) x+m-5$ và $d_2: y=mx+3m-7$. Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ có hệ số góc bằng nhau.

Bài 5: Tính chiều cao của một ngọn núi cho biết tại hai điểm cách nhau $1$ $km$ trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi dọc theo đường thẳng có hệ số góc lần lượt là $a_1=0,62$ và $a_2=0,84$.

Thiếu hằng số C

Leave a reply

Có 2 anh bạn là thầy giáo toán đang ngồi uống bia. Khi đã ngà ngà, thầy thứ nhất nói:
– “Không biết trình độ toán của mọi người bây giờ thế nào, học qua phổ thông thì cũng biết khối thứ, nhưng sợ lại quên hết”.
Thầy thứ hai bảo: “theo tớ thì cũng nhiều người biết lắm, không như cậu nghĩ đâu”.
Nhân lúc anh thứ nhất đi ra ngoài, anh kia gọi cô chạy bàn lại và dặn: ” lát nữa tôi có hỏi gì thì cô cứ nói là bằng x mũ 3 chia 3 nhé”. Cô bé lẩm bẩm đọc x mũ ba chia ba, x mũ ba chia ba và nói: ”Vâng, em nhớ rồi”.
Lát sau anh kia vào, anh thứ hai mới nói ”để tớ thử gọi cô phục vụ ra và hỏi một câu về toán nhé”. Anh thứ nhất đồng ý. Khi cô phục vụ được hỏi ”tích phân của x bình phương là bao nhiêu?” Cô đã trả lời chính xác: bằng x mũ ba chia ba. Sau khi bước đi cô còn quay lại nguýt anh thứ hai : ”anh còn thiếu hằng số C đấy nhá !”

Quy đồng hai phân thức

Leave a reply

Quy tắc: Quy đồng MT (mẫu thức) nhiều phân thức.

  • Phân tích các MT thành nhân tử rồi tìm MTC (mẫu thức chung)

  • Tìm NTP (nhân tử phụ) của mỗi mẫu thức.

  • Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với NTP tương ứng.

Ví dụ 1: Tìm mẫu thức chung và quy đồng:
$\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} – 1}}$,  $\dfrac{x-1}{x+1}, \dfrac{4}{x-1}$

Giải

MT1: $x^2-1=(x -1)(x+1)$

MT2: $x+1$

MT3: $x-1$

MTC: $(x-1)(x+1)$

$\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} – 1}}=\dfrac{x^4 + 1}{(x-1)(x+1)}$

$\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}$

$\dfrac{4(x+1)}{(x-1)(x+1)}$.

Ví dụ 2: Tìm mẫu thức chung và quy đồng:
$\dfrac{5}{{2{\rm{x}} – 4}}$, $\dfrac{4}{{3{\rm{x}} – 9}}$, $\dfrac{7}{{50 – 25{\rm{x}}}}$

Giải

MT1:$2x-4=2(x-2)$

MT2:$3x-9=3(x-3)$

MT3:$50-25x=-25(x-2)$

MTC: $150(x-2)(x-3)$

$\dfrac{5}{2x – 4}=\dfrac{5.75(x-3)}{150(x-2)(x-3)}=\dfrac{375(x-3)}{150(x-2)(x-3)}$

$\dfrac{4}{3x – 9}=\dfrac{4.50(x-2)}{150(x-2)(x-3)}=\dfrac{200(x-2)}{150(x-2)(x-3)}$

$\dfrac{7}{50-25x}=\dfrac{-7.6(x-3)}{150(x-2)(x-3)}=\dfrac{-42(x-3)}{150(x-2)(x-3)}$.

Bài tập

Bài 1. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{4}{3x^2y} $ và $ \dfrac{3}{4xy^3}. $
b) $ \dfrac{5}{14x^2y^3} $ và $ \dfrac{8}{21x^4y^2}. $
c) $ \dfrac{5}{2x+2} $ và $ \dfrac{9}{x^2 -1}. $
d) $ \dfrac{1}{4-2x} $ và $ \dfrac{3}{x^2-4}. $

Bài 2. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{1}{3x-9} $ và $ \dfrac{2}{x^2 -6x +9}. $
b) $ \dfrac{7}{4-2x} $ và $ \dfrac{2}{x^2 – 4x + 4}. $
c) $ \dfrac{1}{x-1} $ ; $ \dfrac{2}{x^3-1} $ và $ \dfrac{3}{x^2 + x+1}. $
d) $ \dfrac{3}{6-2x} $; $ \dfrac{2}{x-3} $ và $ \dfrac{-5}{3x-9}. $

Bài 3. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{x-1}{x^2-9} $ và $ \dfrac{2xy +1}{2x+6} .$

b) $ \dfrac{7x-1}{2x^2 + 6x} $ và $ \dfrac{5-3x}{x^2 -9}. $

c) $ \dfrac{3x+y}{y^2 – 2xy + x^2} $ và $ \dfrac{y+1}{2x-2y}. $

d) $ \dfrac{x-1}{2} $ và $ \dfrac{x^2 }{x^2 – xy}. $

Bài 4. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{4x^2 -3x +5}{x^3 -1} $, $ \dfrac{1-2x}{x^2+x+1} $ và $ -2 $.
b) $ \dfrac{10}{x+2} $, $ \dfrac{5}{2x-4} $ và $ \dfrac{1}{6-3x}. $
c) $ \dfrac{5x^2}{x^3-6x^2} $; $ \dfrac{3x^2 +18x}{x^2 – 36}. $
d) $ \dfrac{5x^2}{x^3 + 6x^2 +12x +8} $; $ \dfrac{4x}{x^2 +4x+4} $ và $ \dfrac{3}{2x+4}. $

Bài 5. Tìm mẫu thức chung và quy đồng các phân thức:

a) $\dfrac{5}{{2{\rm{x}} – 4}}$,
b) $\dfrac{4}{{3{\rm{x}} – 9}}$, $\dfrac{7}{{50 – 25{\rm{x}}}}$
c) $\dfrac{x}{{4 + 2{\rm{a}}}}$, $\dfrac{y}{{4 – 2{\rm{a}}}}$, $\dfrac{z}{{4 – {a^2}}}$
d) $\dfrac{{2{\rm{a}}}}{{{b^2}}}$, $\dfrac{x}{{2{\rm{a}} + 2b}}$, $\dfrac{y}{{{a^2} – {b^2}}}$
e) $\dfrac{3}{{2{\rm{x}} + 6}}$, $\dfrac{{x – 2}}{{{x^2} + 6{\rm{x}} + 9}}$.

Bài 6. Tìm mẫu thức chung và quy đồng các phân thức:

a) $\dfrac{x}{{2{{\rm{x}}^2} + 7{\rm{x}} – 15}}$, $\dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + 3{\rm{x}} – 10}}$, $\dfrac{1}{{x + 5}}$
b) $\dfrac{1}{{ – {x^2} + 3{\rm{x}} – 2}}$, $\dfrac{1}{{{x^2} + 5{\rm{x}} – 6}}$, $\dfrac{1}{{ – {x^2} + 4{\rm{x}} – 3}}$
c) $\dfrac{3}{{{x^3} – 1}}$, $\dfrac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} + x + 1}}$, $\dfrac{x}{{x – 1}}$
d) $\dfrac{x}{{{x^2} – 2{\rm{x}}y + {y^2} – {z^2}}}$, $\dfrac{y}{{{x^2} + 2yz – {y^2} – {z^2}}}$, $\dfrac{z}{{{x^2} – 2xz – {y^2} + {z^2}}}$.

Phương pháp chứng minh phản chứng (Lớp 10)

Leave a reply

Tính chất.  $A \Rightarrow B \Leftrightarrow \overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ hoặc $A \Rightarrow B \Leftrightarrow \overline{B} \Rightarrow S$,  $S$ là mệnh đề hằng sai.

  • Phương pháp chứng minh phản chứng là một phương pháp chứng minh gián tiếp, để chứng  minh mệnh đề $A \Rightarrow B$ ta chứng minh mệnh đề tương đương với nó là $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$.
  • Điểm mạnh của phương pháp này là ta đã tạo thêm được giả thiết mới $\overline{B}$, để từ đó giúp ta suy luận tiếp để giải quyết được bài toán.
  • Tất nhiên việc viết lại mệnh đề $\overline{B}$ một cách chính xác là điều quan trọng, cái này chú ý một số quy tắt về mệnh đề.
  • Phương pháp này được sử dụng hầu hết trong các phân môn của toán là: đại số, số học, hình học, tổ hợp.

1. Các bài toán tổ hợp

Ví dụ 1. (Nguyên lý Dirichlet) Có $nk + 1$ viên bi, bỏ vào trong $k$ cái hộp. Chứng minh rằng có ít nhất một hộp có ít nhất là là $n+1$ viên bi.

Lời giải
  •  Giả sử tất cả các hộp chỉ chứa số lượng bị không vượt quá $n$ viên, khi đó tổng số viên bi không vượt quá $k \cdot n$, mâu thuẫn với số bi là $kn + 1$.
  • Vậy phải có một hộp chứa nhiều hơn $n$ viên bi.

 

Ví dụ 2. Có tồn tại hay không một cách điền các số $0,1, 2, 3, \cdots , 9$ vào các đỉnh của một đa giác 10 đỉnh sao cho hiệu hai số ở hai đỉnh kề nhau chỉ có thể nhận một trong các giá trị sau:$-5, -4, -3, 3, 4, 5$.

Lời giải
  • Giả sử có một cách ghi thỏa đề bài.
  • Khi đó ta thấy rằng các số $0, 1, 2, 8, 9$ không thể đứng cạnh nhau đôi một. Hơn nữa có đúng 10 số, vậy các số còn lại sẽ đứng xen kẽ giữa các số này.
  • Khi đó xét số 7, ta thấy số 7 chỉ có thể đứng bên cạnh số 2 trong các số $\{ 0, 1, 2, 8, 9 \}$, mâu thuẫn.
    Vậy không tồn tại cách ghi thỏa đề bài.

Ví dụ 3.  Điền các số 1,2,3,…,121 vào một bảng ô vuông kích thước $11 \times 11$ sao cho mỗi ô chứa một số. Tồn tại hay không một cách điền sao cho hai số tự nhiên liên tiếp sẽ được điền vào hai ô có chung một cạnh và các tất cả các số chính phương thì nằm trong cùng một cột?

Lời giải
  • Giả sử tồn tại một cách điền số vào các ô thỏa yêu cầu đặt ra. Khi đó bảng ô vuông được chia thành hai phần ngăn cách nhau bởi cột điền các số chính phương. Một phần chứa $11n$ ô vuông $1 \times 1$, và phần còn lại chứa $110-11n$ ô vuông $1 \times 1$ , với $0 \le n \le 5.$
  • Để ý rằng các số tự nhiên nằm giữa hai số chính phương liên tiếp $a^2$ và $(a+1)^2$ sẽ cùng nằm về một phần và dó đó các số tự nhiên nằm giữa $(a+1)^2$ và $(a+2)^2$ sẽ nằm ở phần còn lại.
  • Số lượng các số tự nhiên nằm giữa 1 và 4, 4 và 9, 9 và 16,…,100 và 121 lần lượt là $2,4,6,8,…,20$. Do đó một phần sẽ chứa $2+6+10+14+18=50$ số, phần còn lại chứa $4+8+12+16+20=60$ số.
  • Cả 50 và 60 đều không chia hết cho 11, mâu thuẫn. Vậy không tồn tại cách điền số thỏa yêu cầu đề bài.

Ví dụ 4. Cho $F ={E_1, E_2, …, E_k }$ là một họ các tập con có $r$ phần tử của tập $X$. Nếu giao của $r+1$ tập bất kì của $F$ là khác rỗng, chứng minh rằng giao của tất cả các tập thuộc $F$ là khác rỗng.

Lời giải
  • Giả sử ngược lại, giao tất cả các tập thuộc $F$ bằng rỗng.
  • Xét tập $E_1 = \{x_1, \cdots, x_r\}$. Do giao tất cả các tập thuộc $F$ là rỗng, nên với $x_k$ tồn tại một tập $E_{i_k}$ mà $x \notin E_{i_k}, \forall k = \overline{1,r}$.
  • Khi đó xét giao của họ gồm $r+1$ tập $E_1, E_{i_1}, \cdot, E_{i_r}$ thì bằng rỗng, mâu thuẫn.Vậy giao của tất cả các tập thuộc $F$ là khác rỗng.

Ví dụ 5.  Cho $A$ và $B$ là các tập phân biệt và hợp của $A$ và $B$ là tập các số tự nhiên. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại các số  phân biệt $a,b > n$ sao cho ${a,b,a + b } \subset A$ hoặc ${a,b,a+b} \subset B$.

Lời giải
  • Nếu $A$ hoặc $B$ là tập hợp hữu hạn phần tử thì chỉ cần chọn $a, b$ lớn hơn phần tử lớn nhất của $A$ hoặc $B$ ta có điều cần chứng minh.
  • Nếu $A, B$ là tập vô hạn, giả sử tồn tại $n$ sao cho với mọi $a, b$ thì $a, b, a+b$ không cùng thuộc $A$ hoặc $B$. (1)
  • a chọn các số $x, y, z \in A$ sao cho $x < y < z$  và $z-y, y-x > n$.
  • Do (1) nên các số $y-x, z-y,z-x \in B$, suy ra $z-y+y-x = z-x \in A$ (mâu thuẫn).
    Vậy điều giả sử là sai, tức là ta có điều cần chứng minh.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ thì một điểm mà hoành độ và tung độ đều là các số nguyên được gọi là điểm nguyên. Chứng minh rằng không tồn tại tam giác đều nào mà các đỉnh đều là điểm nguyên.

Bài 2. Cho $S$ là tập vô hạn các phần tử và $P(S)$ là họ các tập con của $S$. Chứng minh rằng không tồn tại một song ánh từ $S$ và $P(S)$.

Bài 3. Cho $A$ là tập con có 19 phần tử của tập ${1, 2, \cdots, 106}$ sao cho không có hai phần tử nào có hiệu bằng $6, 9, 12, 15, 18$. Chứng minh rằng có 2 phần tử thuộc $A$ có hiệu bằng 3.

Bài 4. Một hình vuông $n \times n$ ô được tô bởi hai màu đen trắng, sao cho trong 4 ô góc thì 3 ô được tô màu đen, 1 ô được tô màu trắng. Chứng minh rằng trong hình vuông có ô vuông $2 \times 2 $ mà có số ô màu đen là số lẻ.

Bài 5.  Tập $S$ được gọi là một tập cân nếu lấy từ $S$ ra một phần tử bất kì thì các phần tử còn lại của $S$ có thể chia ra làm hai phần có tổng bằng nhau. Tìm số phần tử nhỏ nhất của một tập cân.

(còn nữa)

Tuổi của mỗi người

Leave a reply

Trong một gia đình có 3 bà mẹ và 3 cô gái. Tổng số tuổi của họ là 141. Cháu gái bé nhất 1 tuổi, người mẹ cao tuổi nhất hơn cháu 79 tuổi. Tuổi của người thứ hai bang 1/7 số tuổi của tất cả không kể cháu gái bé nhất. Có bao nhiều phụ nữ trong gia đình? Mỗi người bao nhiều tuổi?

Tôi sẽ châm lửa cho nó

Leave a reply

Một ngày nọ, một nhà toán học cảm thấy quá mệt mỏi với việc làm toán. Thế là ông ta quyết định đi xin việc ở đội lính cứu hoả. Đội trưởng đội cứu hoả ngắm nhà toán học và nói “Anh trông có vẻ được. Tôi sẽ rất vui nhận anh vào làm việc nếu anh vượt qua được bài kiểm tra nhỏ này”.

– Ông ta đưa nhà toán học tới nơi luyện tập của đội lính cứu hoả, nơi có đặt một chiếc thùng, một trụ cứu hoả và một vòi nước. Ông đặt câu hỏi “Nào! Bây giờ giả sử anh đang đi trên đường và nhìn thấy cái thùng đang cháy, anh sẽ xử lý thế nào?

–Nhà toán học trả lời ngay không chút do dự “tôi sẽ lắp ngay ống nước vào trụ cứu hoả, bật nước và dập tắt ngọn lửa”.

– “Rất tốt. Bây giờ thì chỉ còn một câu hỏi nhỏ cho anh nữa thôi – Anh sẽ làm gì nếu đang đi dạo và thấy chiếc thùng không cháy”.

– Nhà toán học suy nghĩ một lát rồi đáp “Tôi sẽ châm lửa cho nó!!!”

– Lính cứu hoả hét lên “Cái gì! Thật khủng khiếp! Tại sao anh có thể làm như vậy được nhỉ?”.

– Nhà toán học thản nhiên “Có gì đâu. Làm như thế tôi sẽ đưa bài toán về bài toán vừa giải xong!”.

Hai phân thức bằng nhau

Leave a reply

1.Định nghĩa: Hai phân thức $ \dfrac{A}{B} $ và $ \dfrac{C}{D} $ được gọi là bằng nhau nếu:

$ A\cdot D = B \cdot C. $

2.Ví dụ

Ví dụ 1:  Chứng minh:

$\dfrac{x+2}{(x+2)^2}=\dfrac{1}{x+2}$

Giải

Ta có:

$1.(x+2)^2=(x+2)^2$

$(x+2)(x+2)=(x+2)^2$

Vì $1.(x+2)^2=(x+2)(x+2)$ nên hai phân thức bằng nhau.

Ví dụ 2: Chứng minh:

$\dfrac{x}{2y}=\dfrac{2xy}{4y^2}$

Giải

Ta có:

$x(4y^2)=4xy^2$

$2y(2xy)=4xy^2$

Vì $x(4y^2)=2y(2xy)$ nên hai phân thức bằng nhau.

Ví dụ 3: Chứng minh:

$\dfrac{a-b}{a^2-b^2}=\dfrac{1}{a+b}$

Giải

Ta có:

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

$1.(a^2-b^2)=a^2-b^2$

Vì $(a-b)(a+b)=1.(a^2-b^2)$ nên hai phân thức bằng nhau.

3. Bài tập

Bài 1. Hãy điền biểu thức thích hợp vào chỗ chấm:

a) $\dfrac{3y}{4}=\dfrac{…}{8x}$

b) $\dfrac{-3x^2}{2y}=\dfrac{…}{-2y}$

c) $\dfrac{3(x+2)}{2x}=\dfrac{6(x+2)}{…}$

d) $\dfrac{4(x-2)}{3(x+1)}=\dfrac{8(x-2)x}{…}$.

Bài 2. Hai phân thức sau đây có bằng nhau không? Vì sao?

$\dfrac{x+2}{x}$ và $\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+x}$.

Bài 3. Hãy điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống:

$\dfrac{…}{x^2-4}=\dfrac{x}{x+2}$.

Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\dfrac{2(x-y)}{3(y-x)}=\dfrac{-2}{3} (x \neq y)$

b) $\dfrac{2xy}{3a}=\dfrac{8xy^2}{12ay} (a \neq 0, y \neq 0)$

c) $\dfrac{1-x}{2-y}=\dfrac{x-1}{y-2} (y \neq 2)$

d) $\dfrac{2a}{-5b}=\dfrac{-2a}{5b} (b \neq 0)$.

Bài 5.  Với những giá trị nào của $x$ thì hai phân thức bằng nhau:

$\dfrac{x-2}{x^2-5x+6}$ và $\dfrac{1}{x-3}$.

 

 

 

Chia sữa

Leave a reply

Hai bạn Phúc và Ngân đi vắt sữa bò chung, sau khi vắt được đổ đầy bình 10 lít thì sau đó các bạn muốn chia đôi số sữa, nhưng các bạn chỉ có thêm hai bình 3 lít và 7 lít. Hai bạn đang loay hoay không biết chia thế nào, các bạn có thể giúp hai bạn được không?

Ứng dụng của hàm số bậc nhất

Leave a reply

Ví dụ 1: Giá của một chiếc máy tính bảng sau khi sử dụng $t$ năm được cho bởi công thức:

$T\left( t\right) =10000000-1250000t$ (đồng)

a) Hãy tính $T\left( 2\right) $ và cho biết $T\left( t\right) $ có nghĩa là gì?

b) Sau bao nhiêu năm thì giá trị của chiếc máy tính bảng là $5000000$ đồng.

Giải

a) $T\left( 2\right) =10000000-1250000.2=7500000$

$T\left( 2\right) $ là giá tiền của chiếc máy tính bảng sau $2$ năm sử dụng.

b) Ta có: $10000000-1250000t=5000000 \Rightarrow t=4$

Vậy sau $4$ năm sử dụng, chiếc máy tính bẳng sẽ có giá $5000000$.

Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có hai kích thước là $20$ cm và $30$ cm. Gọi $y$ (cm) là chu vi hình chữ nhật sau khi đã giảm mỗi kích thước $x$ (cm).

a) Lập hàm số của $y$ theo $x$.

b) Hãy cho biết hàm số thiết lập ở câu a) là hàm số đồng biến hay nghịch biến.

c) Tính chu vi hình chữ nhật sau khi đã giảm mỗi kích thước $3$ cm.

Giải

a) Hai kích thước của hình chữ nhật sau khi đã giảm mỗi kích thước là: $20-x$ (cm) và $30-x$ (cm).

Khi đó $y=2\left[ \left( 20-x\right) +\left( 30-x\right) \right]  =100-4x$.

Vậy hàm số của $y$ theo $x$ là: $y=-4x+100$.

b) Vì $a=-4<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

c) Với $x=3$ suy ra chu vi hình chữ nhật $y=-4.3+100=88$ (cm).

Bài tập:

Bài 1: Diện tích rừng nhiệt đới trên Trái Đất được cho bởi hàm số $A=718,3-4,6t$ trong đó $A$ tính bằng triệu héc-ta, $t$ tính bằng số năm kể từ năm $1990$. Hãy tính diện tích rằng nhiệt đới vào các năm $1990$ và $2000$.

Bài 2: Bạn An hiện có số tiền là $32000$ đồng, bạn định sử dụng số tiền này để chơi game, mối giờ bạn chơi tốn $5000$ đồng. Gọi $t$ là số giờ chơi game của bạn An và $T$ là số tiền còn lại.

a) Lập hàm số của $T$ theo $t$.

b) Sau khi chơi $3$ giờ thì số tiền An còn lại là bao nhiêu?

c) Với số tiền ban đầu thì An chơi tối đa được bao nhiêu giờ (chỉ tính tiền theo giờ không được đóng lẻ theo phút).

Bài 3: Bảng giá cước gọi quốc tế của công ty viễn thông A được cho bởi bảng sau:

Thời gian gọi (phút)

Giá cước điện thoại (đồng/phút)

Không quá $8$ phút

$6500$

Từ phút thứ $9$ đến phút thứ $15$

$6000$

Từ phút thứ $16$ đến phút thứ $25$

$5500$

Từ phút thứ $26$ trở đi

$5000$

a) Gọi $T$ (đồng) là số tiền khách hàng phải trả khi gọi quốc tế trong $t$ (phút). Lập hàm số của $T$ theo $t$.

b) Bà Lan gọi cho người thân ở nước ngoài tốn tổng cộng $174000$ đồng. Hãy tính số phút bà Lan gọi điện cho người thân bên nước ngoài?

Bài 4: Trong một xưởng sản xuất đồ gia dụng có tổng cộng $900$ thùng hàng và mỗi ngày nhân viên sẽ lấy $30$ thùng hàng để đi phân phối cho các đại lí.

a) Gọi $y$ là số thùng hàng còn lại trong kho sau $x$ ngày. Hãy lập hàm số $y$ theo $x$.

b) Sau bao nhiêu ngày thì xưởng sẽ vận chuyển hết được $900$ thùng hàng?

c) Biết rằng một thùng hàng có giá trị là $2000000$ đồng và mỗi chuyến xe vận chuyển $30$ thùng hàng trong mỗi ngày sẽ tốn $2500000$ đồng. Hỏi sau khi bán hết tất cả thùng hàng thì xưởng sẽ lời bao nhiêu tiền?

Bài 5: Một xí nghiệp may cứ mỗi tháng thì phải trả tiền lương cho công nhân viên, tiền vật liệu, tiền điện, tiền thuế,… tổng cộng là $410000000$ (đồng). Mỗi chiếc áo được bán với giá là $350000$ (đồng). Gọi số tiền lời (hoặc lỗ) mà xí nghiệp thu được mỗi tháng là $L$ (đồng) và mỗi tháng xí nghiệp sản xuất được $A$ chiếc áo.

a) Lập hàm số của $L$ theo $A$.

b) Nếu trong một tháng công ty bán được $1000$ chiếc áo thì công ty lời hay lỗ bao nhiêu?

c) Mỗi tháng phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc áo để xí nghiệp không bị lỗ?

d) Hỏi cần phải sản xuất trung bình bao nhiêu chiếc áo mỗi tháng để sau một năm xí nghiệp thu được tiền lời là $1380000000$ (đồng).

Bài 6:  Một cửa hàng sách cũ có chính sách như sau: nếu khách hàng đăng kí làm hội viên của cửa hàng sách thì mỗi năm phải đóng $50000$ (đồng) chi phí và chỉ phải mướn sách với giá $5000$ (đồng/cuốn sách), còn nếu khách hàng không phải hội viên thì sẽ mướn sách với giá $10000$ (đồng/cuốn sách). Gọi $T$ (đồng) là tổng số tiền mỗi khách hàng phải trả trong mỗi năm và $n$ là số cuốn sách mà khách hàng mướn.

a) Lập hàm số của $T$ theo $n$ đối với khách hàng là hội viên và khách hàng không là hội viên.

b) Phát là một hội viên của cửa hàng sách, năm ngoái Phát đã trả cho cửa hàng tổng cộng $90000$ đồng. Hỏi nếu Phát không phải là hội viên  của cửa hàng thì số tiền Phát phải trả là bao nhiêu?

c) Mỗi hội viên cần thuê tối thiểu bao nhiêu cuốn sách để có thể bù được phí hội viên?

Đề và lời giải thi chọn đội tuyển Toán PTNK năm 2019

Leave a reply

Chúc mừng trường Phổ thông Năng khiếu đã thành lập được đội tuyển toán, gồm 4 bạn lớp 12 và 6 bạn lớp 11. Tất cả các bạn vào đội tuyển đều rất xứng đáng, có một vài trường hợp hơi tiếc, hy vọng các em vẫn còn đam mê để bức phá ở thời gian sau.

Hoàng Sơn 10 Toán đã có một ngày thi thứ nhất rất xuất sắc nhưng chưa đủ giúp em vào đội tuyển, hy vọng năm sau em sẽ tỏa sáng.

Đề vào lời giải