Định lý Pytago thuận. Trong một tam giác vuông tổng bình phương hai cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền.
Chứng minh
Có nhiều cách chứng minh định lý Pytago, trong đó có những cách bằng cắt ghép hình khá thú vị, tất nhiên để chứng minh chặc chẽ thì cần phải suy luận thêm.
Sử dụng tam giác đồng dạng.
Vẽ đường cao AH.
Khi đó $\triangle BAH \backsim \triangle BCA$, suy ra $BA^2 = BH.BC$ (1).
Tương tự $\triangle CAH \backsim \triangle CBA$, suy ra $CA^2 = CH.BC$ (2).
Khi đó $AB^2 + AC^2 = BH.BC + CH.BC = BC^2$.
Định lý Pytago đảo. Nếu trong một tam giác có tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.
Chứng minh
Giả sử tam giác $ABC$ có $AB^2 + AC^2 = BC^2$, chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Trên đoạn $BC$ lấy điểm $H$ sao cho $AB^2 = BH.BC$, suy ra $AC^2 = BC^2 – AB^2 = BC.CH$.
Ta có $\triangle BAH \backsim \triangle BCA (c.g.c)$, suy ra $\angle BAH = \angle BAC$.
Tương tự $\angle CAH = \angle CBA$. Suy ra $\angle BAC = \angle BAH + \angle CAH = \angle BAC + \angle CAB$, suy ra $\angle BAC = 90^\circ$.
Ví dụ 1. Tìm $x$ trong các trường hợp sau.
Lời giải
a. Cạnh huyền có độ dài 11 ta có:
- $x^2 + 6^2 = 11^2$ (Pytago)
- $x^2 +36 = 121$
- $x^2 = 85$.
- $x = \sqrt{85}$ (cm) (vì $x > 0$).
c. Tương tự như a.
|
b. $x$ là cạnh huyền nên ta có:
- $3^2 + (\sqrt{2})^2 = x^2$ (Pitago)
- $9 + 2 = x^2$.
- $x=\sqrt{11}$ (cm) (Vì $x > 0$)
d. Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông là $x$, cạnh huyền $\sqrt{10}$ nên:
- $x^2 + x^2 =(\sqrt{10})^2$
- $2x^2 =10$
- $x^2 = 5$
- $x = \sqrt{5}$ (cm) (vì $x > 0$)
|
Ví dụ 2. Tìm $y$ trong hình sau, lấy hai chữ số thập phân.
Gợi ý
Tam giác $ABC$ có $x$ là cạnh huyền nên:
- $x^2 = 5^2 + 1^2 = 26$.
- $x = \sqrt{26}$.
|
Tam giác $ACD$ có $6$ là cạnh huyền nên:
- $6^2 = y^2 +x^2$
- $36 = y^2 +26$.
- $y^2 = 10$
- $y = \sqrt{10} \sim 3.16$
|
Bài tập.
- Tìm $x$ trong các hình sau:
Đáp số
a. Cạnh huyền có dộ dài bằng 26 (cm) ta có:
- ${26^2} = {\left( {2x} \right)^2} + {\left( {3x} \right)^2}$ (Pytago)
- $676 = 4{x^2} + 9{x^2}$
- $676 = 13{x^2}$
- ${x^2} = 52$
- $x = \sqrt {52}$ (cm) (Vì $ x > 0$ )
b. Cạnh huyền có độ dài $2x$ (cm) ta có:
- ${\left( {2x} \right)^2} = {9^2} + {x^2}$ (Pytago)
- $4{x^2} – {x^2} = 81$
- $3{x^2} = 81$
- ${x^2} = 27$
- $x = \sqrt {27}$ (cm) (Vì $ x > 0$ )
c. Cạnh huyền có độ dài bằng $3x$ (cm) ta có:
- ${\left( {3x} \right)^2} = {\left( {2x} \right)^2} + {\left( {\sqrt {20} } \right)^2}$ (Pytago)
- $9{x^2} = 4{x^2} + 20$
- $5{x^2} = 20$
- ${x^2} = 4$
- $x = 2$ (cm) (Vì $ x > 0$ )
2. Tìm các giá trị chưa biết $x, y$ trên hình:
Đáp số
a)Tam giác vuông cân có cạnh huyền $y$ (cm) ta có:
${y^2} = {2^2} + {2^2}$ (Pytago)
${y^2} = 8$
$y = 2\sqrt 2 $ (cm) (Vì $y > 0$)
Tam giác vuông có cạnh huyền$ x $(cm) ta có:
${x^2} = {y^2} + {3^2}$ (Pytago)
${x^2} = 8 + 9$
${x^2} = 17$
$x = \sqrt {17} $ (Vì $ x > 0 $) |
b)Tam giác vuông có cạnh huyền 7(cm) ta có:
${7^2} = {2^2} + {y^2}$ (Pytago)
${y^2} = 49 – 4$
${y^2} = 45$
$y = \sqrt {45}$ (cm) (Vì $ y > 0$ )
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $y$(cm) ta có:
${y^2} = {4^2} + {x^2}$ (Pytago)
$45 = 16 + {x^2}$
${x^2} = 45 – 16$
${x^2} = 29$
$x = \sqrt {29} $ (cm) ( Vì $x > 0 $ )
c) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 (cm) ta có:
${3^2} = {x^2} + {2^2}$ (Pytago)
${x^2} = {3^2} – {2^2}$
${x^2} = 5$
$x = \sqrt 5$ (cm) ( Vì $x > 0 $ )
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $y$ (cm) ta có:
${y^2} = {x^2} + {1^2}$
${y^2} = 5 + {1^2}$
${y^2} = 6$
$y = \sqrt 6 $ (cm) (Vì $y$ > 0) |
3. Tìm $x$ (lấy 2 chữ số thập phân).
Gợi ý
| a. Gọi đường vuông góc có độ dài là $h$ (cm)
Gọi đường vuông góc có độ dài là $h$ (cm) .
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 (cm) ta có: ${3^2} = {x^2} + {h^2}$(Pytago)${h^2} = 9 – {x^2}$(1)
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 4 (cm) ta có:${4^2} = 3{}^2 + {h^2}$ (Pytago)
${h^2} = {4^2} – {3^2}$ (2
)Từ (1) và (2) suy ra: $9 – {x^2} = {4^2} – {3^2}$${x^2} = 2$$x = \sqrt 2 \approx 1,41$(cm) |
b. Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13 (cm) ta có:
${13^2} = {5^2} + {\left( {x – 2} \right)^2}$
${13^2} – {5^2} = {\left( {x – 2} \right)^2}$
${\left( {x – 2} \right)^2} = 144$
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – 2 = 12}\\
{x – 2 = – 12}
\end{array}} \right.$
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 14(n)}\\
{x = – 10(l)}
\end{array}} \right.$ |
4. Tính $AC$ trong hình sau:
Đáp số
Xét $\Delta ABD$ vuông tại $ B$ ta có:
- $A{D^2} = A{B^2} + B{D^2}$ (Pytago)
- $B{D^2} = A{D^2} – A{B^2}$
- $B{D^2} = {9^2} – {5^2}$
- $B{D^2} = 56$
- $BD = 2\sqrt {14} $(cm)
Mà: $BC = \dfrac{{BD}}{2}$
- $ \Rightarrow BC = \sqrt {14}$ (cm)
- Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ ta có:
- $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$
- $A{C^2} = {5^2} + {\left( {\sqrt {14} } \right)^2}$
- $A{C^2} = 39$
- $AC = \sqrt {39} $ (cm)
5. Tính độ dài $AB$ trong các hình sau:
Đáp số
a) Kẻ $ BH \bot AD\left( {H \in AD} \right)$
Khi đó $HDCB$ là hình chữ nhật ( tứ giác có 3 góc vuông)
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\rm{DC = }}HB = DA = 4cm}\\
{CB = DH = 3cm}
\end{array}} \right.$
Ta có: $HA = DA – DH = 4 – 3 = 1$(cm)
Xét $\Delta BHA$ vuông tại $H$ ta có:
$A{B^2} = H{B^2} + H{A^2}$(Pytago)
$A{B^2} = {4^2} + {1^2} = 17$
$AB = \sqrt {17}$ (cm)
b) Tương tự cũng dùng định lí Pytago
c) Dựng hình chữ nhật $ADMN$.
Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{MA = ND = 3cm}\\
{MN = AD = 5cm}
\end{array}} \right.4
Ta có: $BD = ND + NB = 3 + 1 = 4$ (cm)
Xét $\Delta ADB$ vuông tại $D$ ta có:
$A{B^2} = A{D^2} + D{B^2}$(Pytago)
$\Leftrightarrow A{B^2} = {5^2} + {4^2}4$
$ \Leftrightarrow A{B^2} = 41$
$\Leftrightarrow A{B^2} = 41$
$\Leftrightarrow AB = \sqrt {41}$ (cm)
6. Tam giác đều có độ dài cạnh bằng $3cm$. Tính diện tích tam giác.
7. Tam giác cân có cạnh bên bằng 8, cạnh đáy bằng 6. Tính diện tích tam giác.
8. Một hình thang có một đáy là $2x$ và các cạnh còn lại bằng $x$. Tìm $x$ biết diện tích hình thang bằng $6\sqrt{3}$.
9. Một người đi xe đạp từ $C$ đến $B$ với vận tốc $15km/h$. Hỏi đi được bao lâu thì người đó cách đều hai điểm $A$ và $B$ ?
10. Bạn Rô muốn treo một banner khuyến mãi dài 7m trước cửa hiệu. Có hai đinh treo được đóng trên tường, tạo thành một đoạn thẳng song song mặt đất và có độ dài 10m. Nếu muốn banner treo thấp hơn đoạn thẳng đó 1m thì độ dài hai dây treo phải là bao nhiêu?
