Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $
Ví dụ 1: Một số loại gạch lát nền hình vuông có nhiều kích cỡ khác nhau.
Nếu gọi $x$ $\left( cm\right) $ là chiều dài cạch của một miếng gạch thì diện tích của một miếng gạch là $S=x^2$.
Công thức $S=x^2$ là một hàm số bậc hai có dạng $y=ax^2$ với $a=1$.
Ví dụ 2:
a) Xác định hệ số $a$ của các hàm số sau: $y=3x^2$, $y=-2x^2$, $y=\dfrac{2}{3} x^2$.
b) Tính giá trị tương ứng của $y$ trong bảng sau:
Giải
a) Hàm số $y=3x^2$ có hệ số $a=3$.
Hàm số $y=-2x^2$ có hệ số $a=-2$.
Hàm số $y=\dfrac{2}{3}x^2$ có hệ số $a=\dfrac{2}{3}$.
b)
Tính chất: Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
- Nếu $a>0$ thì hàm số đồng biến khi $x>0$, nghịch biến khi $x<0$.
- Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến khi $x<0$, nghịch biến khi $x>0$.
Ví dụ 3:
a) Hàm số $y=3x^2$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ có $a=3>0$ nên hàm số đồng biến khi $x>0$ và nghịch biến khi $x<0$.
b) Hàm số $y=-2x^2$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ có $a=-2<0$ nên hàm số đồng biến khi $x<0$ và nghịch biến khi $x>0$.
Nhận xét:
- Nếu $a>0$ thì $y>0$ với mọi $x\ne 0$; $y=0$ khi $x=0$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y=0$.
- Nếu $a<0$ thì $y<0$ với mọi $x\ne 0$; $y=0$ khi $x=0$. Giá trị lớn nhất của hàm số là $y=0$.
Bài tập:
Bài 1: Cho hàm số $y=f(x)=-5x^2$.
a) Xác định hệ số $a$. Tìm điều kiện của $x$ để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b) Tính $f\left( -2\right) $, $f\left( \dfrac{2}{5}\right) $, $f\left( \sqrt{3}\right) $.
c) Tìm $x$ khi $f\left( x\right) =-1$, $f\left( x\right) =0$, $f\left( x\right) =3$.
Bài 2: Diện tích $S$ $\left( m^2\right) $ của một hình tròn sẽ phụ thuộc vào bán kính $r$ $\left( m\right) $ của hình tròn đó.
a) Lập hàm số của $S$ theo $r$. Xác định hệ số $a$.
b) Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu bán kính giảm đi 2 lần? Bán kính tăng lên 3 lần?
Bài 3: Một vật rơi từ độ cao $144$ $m$ xuống mặt đất. Biết rằng quãng đường chuyển động $s$ $\left( m\right) $ của vật phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) thông qua công thức: $s=4t^2$.
a) Tính quãng đường vật đi được sau $3$ giây. Lúc đó vật còn cách mặt đất bao nhiêu mét?
b) Sau bao lâu thì vật chạm đất?
c) Tính quãng đường đi được trong giây thứ $3$.
Bài 4: Lực $F\left( N\right) $ của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc của gió $v$ $\left( m/s\right) $ theo công thức $F=kv^2$ ($k$ là một hằng số).
a) Tìm hằng số $k$ biết vận tốc của gió là $v=5$ $\left( m/s\right) $ thì lực tác dụng vào cánh buồm là $F=100N$.
b) Nếu vận tốc của gió là $v=20$ $\left( m/s\right) $ thì lực của gió tác động vào cánh buồm là bao nhiêu?
c) Cánh buồm của chiếc thuyền chỉ có thể chịu được lực tối đa là $F=2116N$. Hỏi thuyền có thể ra khởi khi vận tốc gió là $v=90$ $\left( km/h\right) $ hay không? Nếu không thì thuyền có thể ra khơi khi vận tốc của gió tối đa là bao nhiêu?
Bài 5: Khi thả một viên đá xuống một chiếc giếng, quãng đường viên đá rơi được trong thời gian $t$ (giây) sẽ được tính theo công thức $D=4,9t^2$ $\left( m\right) $.
a) Tính quãng đường viên đá rơi được trong $1$ giây, $2$ giây, $3$ giây.
b) Hãy tính độ sâu của cái giếng nếu viên đá chạm đáy giếng sau $4,3$ giây.
c) Nếu cái giếng sâu $100$ $m$, hãy tính thời gian từ lúc viên đá rơi cho tới khi viên đá chạm đáy giếng.
