Tag Archives: Daiso

Căn bậc ba

Leave a reply

1. Khái niện căn bậc ba

Định nghĩa: Căn bậc ba của một số $a$ là một số $x$ sao cho $x^3=a$

Ví dụ 1: $2$ là căn bậc ba của $8$ vì $2^3=8$.

$-5$ là căn bậc ba của $-125$ vì $(-5)^3=-27$.

Ta công nhận kết quả sau: Mỗi số $a$ đều có duy nhất một căn bậc ba.

Kí hiệu căn bậc ba của số $a$ là: $\sqrt[3]{a}$,   số $3$ gọi là chỉ số của căn.

Ví dụ 2: Tìm căn bậc ba của mỗi số sau:

a) $27$;

b) $-216$;

c) $0$

d) $\dfrac {-1}{64}$

Giải

a) $\sqrt [3] {27}=\sqrt [3]{3^3}=3$

b) $\sqrt [3]{-216}=\sqrt [3]{(-6)^3}=-6$

c) $\sqrt [3]{0}=\sqrt [3]{0^3}=0$

d) $\sqrt [3]{\dfrac {-1}{64}}=\sqrt [3]{\left( \dfrac {-1}{4}\right)^3}=\dfrac {-1}{4}$

2. Tính chất

Ta có các tính chất sau của căn bậc ba:

a) $a<b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} <\sqrt[3]{b}$

b) $\sqrt [3]{ab}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}$

c) Với $b\ne 0$, ta có $\sqrt [3]{\dfrac {a}{b}}=\dfrac {\sqrt [3]{a}}{\sqrt [3]{b}}$

Ví dụ 3: Tính các căn bậc ba sau:

a) $\sqrt[3]{27.64}$

b) $\sqrt[3]{\dfrac{125}{8}}$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{27.64}=\sqrt[3]{27}.\sqrt[3]{64}=3.4=12$

b) $\sqrt[3]{\dfrac{125}{8}}=\dfrac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}}=\dfrac{5}{2}$

Ví dụ 4: So sánh các số sau:

a) $3$ và $\sqrt[3]{26}$

b) $-4$ và $\sqrt[3]{-63}$

Lời giải:

a) Ta có: $3=\sqrt[3]{27}$ mà $27>26$ do đó $\sqrt[3]{27}>\sqrt[3]{26}$

Vậy $3>\sqrt[3]{26}$

b) Ta có: $-4=\sqrt[3]{-64}$ mà $-64<-63$ dó đó $\sqrt[3]{-64}<\sqrt[3]{-63}$

Vậy $-4<\sqrt[3]{-63}$

Bài tập

Bài 1: Tính các căn bậc ba sau:

a) $\sqrt[3]{343}$

b) $\sqrt[3]{\dfrac{-64}{27}}$

c) $\sqrt[3]{0,216}$

d) $\sqrt[3]{-1331}$

Bài 2:  TÍnh:

a) $\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{512}+3\sqrt[3]{27}$

b) $\sqrt[3]{4}.\sqrt[3]{54}-\dfrac{2}{5}\dfrac{\sqrt[3]{375}}{\sqrt[3]{3}}$

c) $\sqrt[3]{40x^3y}-x\sqrt[3]{135y}$

d) $\sqrt{12-6\sqrt 3}-\sqrt[3]{26-15\sqrt 3}$

Bài 3: So sánh các số sau:

a) $3$ và $\sqrt[3]{\dfrac{4096}{125}}$

b) $4\sqrt[3]{5}$ và $5\sqrt[3]{3}$

Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $A=\dfrac{x}{4}-\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{3}}$ với $x=-3$

b) $B=2x-\sqrt[3]{24x^2}-\sqrt[3]{16y}$ với $x=3$ và $y=-4$

Bài 5: Tìm $x$ biết:

a) $\sqrt[3]{7x+36}=4$

b) $2+\sqrt[3]{2x-3}=0$

Rút gọn biến đổi căn thức nâng cao

Leave a reply

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left( \dfrac {\sqrt {x}-1}{\sqrt {x}+1} -\dfrac {\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\right).\left( \sqrt {x} -\dfrac {1}{\sqrt {x}}\right) $ với $x> 0$, $x \ne 1$

b) $\dfrac {15\sqrt {x}-11}{x+2\sqrt {x}-3} +\dfrac{3\sqrt {x}-2}{1-\sqrt {x}}-\dfrac {3}{\sqrt {x}+3}$ với $x\ge 0$, $x\ne 1$

c) $\left( {\dfrac{\sqrt a }{\sqrt a – 1} – \dfrac{1}{a – \sqrt a }} \right):\left( {\dfrac{1}{\sqrt a + 1} + \dfrac{2}{a – 1}} \right)$ với $a>0$, $a\ne 1$

d) $\left( \dfrac{\sqrt x-\sqrt y}{1+\sqrt {xy}}+\dfrac{\sqrt x+\sqrt y}{1-\sqrt {xy}}\right) :\left( \dfrac{ x+y+2xy}{1-xy}+1\right) $ với $x\ge 0$, $y\ge 0$, $xy\ne 1$

Giải

a) $\left( \dfrac{\sqrt x – 1}{\sqrt x + 1} – \dfrac{\sqrt x + 1}{\sqrt x – 1} \right).\left( \sqrt x – \dfrac{1}{\sqrt x } \right)$

$= \dfrac{\left( \sqrt x – 1 \right)^2 – \left( \sqrt x + 1 \right)^2}{\left( \sqrt x + 1 \right)\left( \sqrt x – 1\right)}. \dfrac{x – 1}{\sqrt x } $

$ = \dfrac{ – 4\sqrt x }{x – 1}.\dfrac{x – 1}{\sqrt x } = – 4$

b)$\dfrac {15\sqrt {x}-11}{x+2\sqrt {x}-3} +\dfrac{3\sqrt {x}-2}{1-\sqrt {x}}-\dfrac {3}{\sqrt {x}+3}$

$=\dfrac {15\sqrt {x}-11}{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right) }-\dfrac{\left( 3\sqrt x-2\right) \left(\sqrt x+3\right) }{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right) }-\dfrac{3\left( \sqrt x-1\right) }{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right)}$

$=\dfrac{-3x+5\sqrt x-2}{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right) }=\dfrac{-\left( \sqrt x-1\right) \left( 3\sqrt x-2\right) }{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right)} =\dfrac{2-3\sqrt x}{\sqrt x+3}$

c) $\left( {\dfrac{\sqrt a }{\sqrt a – 1} – \dfrac{1}{a – \sqrt a }} \right):\left( {\dfrac{1}{\sqrt a + 1} + \dfrac{2}{a – 1}} \right)$

$=\dfrac{a-1}{\sqrt a\left( \sqrt a-1\right) }:\dfrac{\sqrt a-1+2}{\left( \sqrt a+1\right) \left( \sqrt a-1\right) }$

$=\dfrac{a-1 }{\sqrt a\left( \sqrt a-1\right) }.\dfrac{\left( \sqrt a+1\right) \left( \sqrt a-1\right) }{\sqrt a+1}=\dfrac{a-1}{\sqrt a}$

d) $\left( \dfrac{\sqrt x-\sqrt y}{1+\sqrt {xy}}+\dfrac{\sqrt x+\sqrt y}{1-\sqrt {xy}}\right) :\left( \dfrac{ x+y+2xy}{1-xy}+1\right) $

$=\dfrac{\left( \sqrt x-\sqrt y\right) \left( 1-\sqrt {xy}\right) +\left( \sqrt x+\sqrt y\right) \left( 1+\sqrt {xy}\right) }{\left( 1+\sqrt {xy}\right) \left( 1-\sqrt {xy}\right) }:\dfrac{ x+y+xy+1}{1-xy}$

$=\dfrac{2\sqrt x+2y\sqrt x}{1-xy}.\dfrac{1-xy}{x+y+xy+1}$

$=\dfrac{2\sqrt x\left( y+1\right) }{\left( x+1\right) \left( y+1\right) }=\dfrac{2\sqrt x}{x+1}$

Ví dụ 2: Chứng minh với mọi giá trị của $x$ để biểu thức có nghĩa thì giá trị của:

$A=\left( \dfrac{\sqrt x+1}{2\sqrt x-2}+\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{\sqrt x+3}{2\sqrt x+2}\right) .\dfrac{4x-4}{5}$

không phụ thuộc vào $x$.

Giải

$A=\left( \dfrac{\sqrt x+1}{2\sqrt x-2}+\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{\sqrt x+3}{2\sqrt x+2}\right) .\dfrac{4x-4}{5}$

$A=\dfrac{\left( \sqrt x+1\right)^2+3.2-\left( \sqrt x+3\right) \left( \sqrt x-1\right) }{2\left( \sqrt x+1\right) \left( \sqrt x-1\right) }.\dfrac{4x-4}{5}$

$A=\dfrac{9}{2\left( x-1\right) }.\dfrac{4\left( x-1\right) }{5}=\dfrac {18}{5}$

Vậy biểu thức $A$ không phụ thuộc vào $x$.

Ví dụ 3: Cho biểu thức $A=\left( 1:\dfrac{\sqrt {1+x}}{3}+\sqrt {1-x}\right) :\left( \dfrac {3}{\sqrt {1-x^2}}+1\right) $

a) Chứng minh $A=\sqrt {1-x}$.

b) Tính $x$ khi $A=\dfrac{1}{2}$.

Giải

a) $A=\left( 1:\dfrac{\sqrt {1+x}}{3}+\sqrt {1-x}\right) :\left( \dfrac {3}{\sqrt {1-x^2}}+1\right) $

$A=\left( \dfrac {3}{\sqrt {1+x}}+\sqrt {1-x}\right) :\dfrac {3+\sqrt {1-x^2}}{\sqrt {1-x^2}}$

$A=\dfrac {3+\sqrt {1-x^2}}{\sqrt {1+x}}.\dfrac {\sqrt {1-x^2}}{3+\sqrt {1-x^2}}$

$A=\dfrac {\sqrt {1-x}.\sqrt {1+x}}{\sqrt {1+x}}=\sqrt {1-x}$

Vậy $A=\sqrt {1-x}$

b) $A=\dfrac{1}{2}$

$ \Rightarrow \sqrt {1-x}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow 1-x=\dfrac {1}{4}$

$\Rightarrow x=\dfrac {3}{4}$ $(n)$

Vậy $x=\dfrac {3}{4}$

Bài tập:

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left( 2+\dfrac {a-\sqrt a}{\sqrt a-1}\right) \left( 2-\dfrac {a+\sqrt a}{\sqrt a+1}\right) $ với $a\ge 0$, $a\ne 1$

b) $\left( \dfrac {y}{\sqrt y}-\dfrac {\sqrt y}{\sqrt y+1}\right) :\dfrac {\sqrt y}{y+\sqrt y}$ với $y>0$

c) $\left( \dfrac {x\sqrt x+1}{x\sqrt x+x+\sqrt x+1}-\dfrac {\sqrt x}{x+1}\right) :\dfrac {\sqrt x-1}{x+1}$ với $x\ge 0$, $x\ne 1$

d) $\left( \dfrac {1}{\sqrt x}-\dfrac {1}{x}\right):\left( \dfrac {\sqrt x+1}{\sqrt x-2}-\dfrac {\sqrt x+2}{\sqrt x-1}\right) $ với $x>0$, $x\ne 1$, $x\ne 4$

e) $\dfrac {\sqrt x+7x+13}{x+3\sqrt x-10}+\dfrac {\sqrt x+5}{2-\sqrt x}-\dfrac {\sqrt x-4}{\sqrt x+5}$ với $x\ge 0$, $x\ne 4$

f) $\left( \dfrac {\left( 16-\sqrt a\right) \sqrt a}{a-4}+\dfrac {3+2\sqrt a}{2-\sqrt a}-\dfrac {2-3\sqrt a}{\sqrt a+2}\right) :\dfrac {1}{a+4\sqrt a+4}$ với $a\ge 0$, $a\ne 4$

Bài 2: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của $x$, $y$

$A=\dfrac {\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}-\dfrac {x\sqrt x-y\sqrt x}{x+y}.\left( \dfrac {\sqrt x}{\left( \sqrt x-\sqrt y \right)^2}-\dfrac {\sqrt y}{x-y}\right) $

Bài 3: Cho biểu thức $P=\left( \dfrac {\sqrt x+1}{\sqrt x-2}-\dfrac {2}{x-4}\right) \left( \sqrt x-1+\dfrac {\sqrt x-4}{\sqrt x}\right) $

a) Chứng minh $P=\sqrt x+3$.

b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho $P=x+3$.

Bài 4: Cho biểu thức $P=\dfrac {3x+\sqrt x}{x+\sqrt x}+\dfrac{ 3\left( x-\sqrt x+1\right) }{x\sqrt x+1}$ với $x>0$

a) Rút gọn biểu thức $P$.

b) Chứng minh $P<4$.

Bài 5: Cho biểu thức $P=\left( \dfrac {\sqrt x}{2}-\dfrac {1}{2\sqrt x}\right) \left( \dfrac {x-\sqrt x}{\sqrt x+1}-\dfrac {x+\sqrt x}{\sqrt x-1}\right) $

Rút gọn biểu thức $P$. Tìm $x$ để $P>-6$.

Rút gọn biến đổi căn thức chứa biến và các bài toán liên quan

Leave a reply

Ví dụ 1: Cho biểu thức:

$P=\left( \dfrac {2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}-\dfrac {3x+3}{x-9}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-2}{\sqrt x-3}-1\right) $

a) Rút gọn $P$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.

Giải

a) $P=\left( \dfrac {2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}-\dfrac {3x+3}{x-9}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-2}{\sqrt x-3}-1\right) $

$P=\dfrac {2\sqrt x\left( \sqrt x-3\right) +\sqrt x\left( \sqrt x+3\right) -3x-3}{\left( \sqrt x-3\right) \left( \sqrt x+3\right) }:\dfrac {2\sqrt x-2-\sqrt x+3}{\sqrt x-3}$

$P=\dfrac {-3\sqrt x-3}{\left( \sqrt x+3\right) \left( \sqrt x-3\right) }.\dfrac {\sqrt x-3}{\sqrt x+1}$

$P=\dfrac {-3}{\sqrt x+1}$

b) Ta có: $P=\dfrac {-3}{\sqrt x+1}\ge -3$, $\forall x\ge 0$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $-3$  khi $x=0$

Ví dụ 2: Cho biểu thức:

$M=\left( \dfrac {\sqrt x}{\sqrt x+2}-\dfrac {x+4}{x-4}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-1}{x-2\sqrt x}-\dfrac {1}{\sqrt x}\right) $ ($x>0$, $x\ne 4$)

a) Rút gọn $M$.

b) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $M$ nhận giá trị nguyên.

Giải

a) $M=\left( \dfrac {\sqrt x}{\sqrt x+2}-\dfrac {x+4}{x-4}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-1}{x-2\sqrt x}-\dfrac {1}{\sqrt x}\right) $

$M=\dfrac {\sqrt x\left( \sqrt x-2\right) -x-4}{\left( \sqrt x+2\right) \left( \sqrt x-2\right) }:\dfrac {2\sqrt x-1-\sqrt x+2}{\sqrt x\left( \sqrt x-2\right)} $

$M=\dfrac {-2\sqrt x-4}{\left( \sqrt x+2\right) \left( \sqrt x-2\right) }.\dfrac {\sqrt x\left( \sqrt x-2\right) }{\sqrt x+1}$

$M=\dfrac {-2\sqrt x}{\sqrt x+1}$

b) Ta có: $M=\dfrac {-2\sqrt x}{\sqrt x+1}=\dfrac {-2\left( \sqrt x+1\right) +2}{\sqrt x+1}=-2+\dfrac {2}{\sqrt x+1}$

$M$ nhận giá trị nguyên khi $\left( \sqrt x+1\right)  \in \{1;2\}$ ($x>0$, $ x\in \mathbb{Z}$)

Với  $\sqrt x+1=1 \Leftrightarrow x=0$  $(l)$

Với  $\sqrt x+1=2 \Leftrightarrow x=1$  $(n)$

Vậy với $x=1$ thì $M$ nhận giá trị nguyên là $-1$

Bài tập:

Bài 1: Cho biểu thức:

$P=\dfrac {x^2-\sqrt x}{x+\sqrt x+1}-\dfrac {2x+\sqrt x}{\sqrt x}+\dfrac {2\left( x-1\right) }{\sqrt x-1}$

Rút gọn $P$ và tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.

Bài 2: Cho biểu thức:

$A=\dfrac {15\sqrt x-11}{x+2\sqrt x-3}-\dfrac {3\sqrt x-2}{\sqrt x-1}-\dfrac {2\sqrt x+3}{\sqrt x+3}$

Rút gọn $A$ và tìm giá trị lớn nhất của $A$.

Bài 3: Cho biểu thức:

$P=\dfrac {1}{\sqrt x-1}-\dfrac {x\sqrt x-\sqrt x}{x+1}\left( \dfrac {1}{x-2\sqrt x+1}+\dfrac {1}{1-x}\right) $

a) Rút gọn biểu thức $P$. Tìm $x$ để $P=-\dfrac {2}{5}$.

b) Tìm $x$ nguyên để $\sqrt x$, $\dfrac {1}{P}$ cũng là số nguyên.

Bài 4:  Cho biểu thức:

$A=\left( \dfrac {1}{x+\sqrt x}-\dfrac {2-\sqrt x}{\sqrt x+1}\right) :\left( \dfrac {1}{x}+x-2\right) $

Rút gọn biểu thức $A$. Tìm số chính phương $x$ để $3A$ là số nguyên.

Bài 5:  Cho biểu thức:

$A=\dfrac {7}{\sqrt x+8}$ và $B=\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}+\dfrac {2\sqrt x-24}{x-9}$ với $x\ge 0$, $x\ne 9$

a) Chứng minh $B=\dfrac {\sqrt x+8}{\sqrt x+3}$.

b) Tìm $x$ để biểu thức $P=A.B$ có giá trị là số nguyên$.

Bài 6:  Cho biểu thức:

$M=\left( 2+\dfrac {x+\sqrt x}{\sqrt x+1}\right) \left( 1-2\sqrt x-x+\dfrac {1-x\sqrt x}{1-\sqrt x}\right) $

a) Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $M$ có nghĩa. Rút gọn biểu thức $M$.

b) Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $P=\dfrac {2}{M}$ nhận giá trị là số nguyên.

Bài 7: Rút gọn biểu thức:

$T=\dfrac {2\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt {ab} +2\sqrt a-\sqrt b-2}-\dfrac {2-\sqrt {ab}}{\sqrt {ab}+2\sqrt a+\sqrt b+2}$

với $a, b\ge 0$, $a\ne 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $T$ khi $a$ là số tự nhiên khác $1$.

Định nghĩa phân thức đại số – Điều kiện để phân thức có nghĩa

Leave a reply

Định nghĩa: Phân thức đại số là biểu thức có dạng $ \dfrac{A}{B} $ , trong đó $A$, $B$ là những đa thức và $B$ khác $0$. $A$ được gọi là tử, $B$ được gọi là mẫu.

Ví dụ: 

1.Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

a) $\dfrac{{{x^2} – 4}}{{9{x^2} – 16}}$
b) $\dfrac{{2x – 1}}{{{x^2} – 4x + 4}}$
c)  $\dfrac{x}{x^2-3y^2+2xy}$.

Giải

a) $\dfrac{{{x^2} – 4}}{{9{x^2} – 16}}$

Phân thức có nghĩa khi:

$9x^2-16 \neq 0$

$(3x-4)(3x+4)\neq 0$

$3x-4 \neq 0 $ và $3x+4 \neq 0$

$x \neq \dfrac{4}{3}$ và $x \neq \dfrac{-4}{3}$.
b) $\dfrac{{2x – 1}}{{{x^2} – 4x + 4}}$

Phân thức có nghĩa khi:

$x^2-4x+4 \neq 0$

$(x-2)^2\neq 0$

$x-2  \neq 0$

$x \neq 2$.

c)  $\dfrac{x}{x^2-3y^2+2xy}$.

Phân thức có nghĩa khi:

$x^2-3y^2+2xy \neq 0$

$x^2+2xy+y^2-4y^2\neq 0$

$(x+y)^2-4y^2  \neq 0$

$(x+y-2y)(x+y+2y) \neq 0$

$(x-y)(x+3y) \neq 0$

$x-y \neq 0$ và $x+3y \neq 0$

$x \neq y$ và $x \neq -3y$.

2.  Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa với mọi giá trị của biến.

a) $\dfrac{{3x – 5}}{{{{(x – 1)}^2} + 2}}$
b)  $\dfrac{4x^2-y^2}{x^2-2x+1+y^2+4x+5}$

Giải

a) $\dfrac{{3x – 5}}{{{{(x – 1)}^2} + 2}}$

Phân thức có nghĩa khi

$(x-1)^2+2 \neq 0$

Vì $(x-1)^2 \geq 0$ với mọi $x$

Nên $(x-1)^2+2 > 0$ với mọi $x$.
b)  $\dfrac{4x^2-y^2}{x^2-2x+1+y^2+4x+5}$

Phân thức có nghĩa khi

$x^2-2x+1+y^2+4x+5 \neq 0$

$(x^2-2x+1)+(y^2+4x+4)+1 \neq 0$

$(x-1)^2+(y+2)^2+1 \neq 0$

Vì $(x-1)^2 \geq 0$ với mọi $x$ và $(y+2)^2  \geq 0$ với mọi $y$

Nên $(x-1)^2+(y+2)^2+1 > 0$ với mọi $x,y$.

Bài tập

Bài 1. Tìm điều kiện của biến để phân thức có nghĩa.

a) $\dfrac{{{x^2} – 4}}{{{x^2} – 1}}$
b)  $\dfrac{{5x – 3}}{{2{x^2} – x}}$
c)  $\dfrac{{{x^2} – 5{\rm{x}} + 6}}{{{x^2} – 1}}$
d)  $\dfrac{2}{{(x + 1)(x – 3)}}$
e) $\dfrac{{2{\rm{x}} + 1}}{{{x^2} – 5{\rm{x}} + 6}}$.

Bài 2. Tìm điều kiện của biến để phân thức có nghĩa.

a) $\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}}$
b)  $\dfrac{{{x^2}y + 2x}}{{{x^2} – 2x + 1}}$
c) $\dfrac{{5x + y}}{{{x^2} + 6x + 10}}$
d) $\dfrac{{x + y}}{{{{(x + 3)}^2} + {{(y – 2)}^2}}}$.

Bài 3. Chứng minh các biểu thức sau luôn có nghĩa

a) $\dfrac{3}{{{x^2} + 1}}$
b)  $\dfrac{{5x + 1}}{{{x^2} + 2x + 4}}$
c)  $\dfrac{{{x^2} – 4}}{{ – {x^2} + 4{\rm{x}} – 5}}$
d) $\dfrac{{x + 5}}{{{x^2} + x + 7}}$.

 

Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Leave a reply

Với $A,B$ là các biểu thức tùy ý, ta có:

  • $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
  • $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$
  • $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$
  • $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$
  • $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$
  • $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$
  • $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$

Ví dụ 1. Khai triển các biểu thức sau:

a) $(x+3)^2$
b) $(2x-1)^2$
c) $(4x-6)^2$
d) $(x-2y)^2$.

Giải

a) $(x+3)^2$

$=x^2+2.x.3+3^2$

$=x^2+6x+9$
b) $(2x-1)^2$

$=(2x)^2-2.2x.1+1^2$

$=4x^2-4x+1$
c) $(4x-6)^2$

$=(4x)^2-2.4x.6+6^2$

$=16x^2-48x+36$
d) $(x-2y)^2$

$=x^2-2.x.2y+(2y)^2$

$=x^2-4xy+4y^2$.

 

Ví dụ 2. Khai triển các biểu thức sau:

a) $(x+2)^3$
b) $(2x-1)^3$
c) $(x+2y)^3$.

Giải

a) $(x+2)^3$

$=x^3+3x^2.2+3x.2^2+2^3$

$=x^3+6x^2+12x+8.$
b) $(2x-1)^3$

$=(2x)^3-3.(2x)^2.1+3.2x.1^2-1^3$

$=8x^2-12x^2+6x-1$
c) $(x+2y)^3$

$=x^3+3x^2.2y+3x.(2y)^2+(2y)^3$

$=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3$.

 

Ví dụ 3. Viết lại các biểu thức sau thành bình phương của một biểu thức:

a) $x^2+4x+4$
b) $4x^2-4x+1$
c) $4x^2-12xy+9y^2$.

Giải

a) $x^2+4x+4$

$=x^2+2.2x+2^2$

$=(x+2)^2$
b) $4x^2-4x+1$

$=(2x)^2-2.2x.1+1^2$

$=(2x-1)^2$
c) $4x^2-12xy+9y^2$

$=(2x)^-2.2x.3y+(3y)^2$

$=(2x-3y)^2$.

Ví dụ 4. Viết lại các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một biểu thức:

a) $x^3-3x^2+3x-1$
b) $x^3+6x^2+12x+8$
c) $8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3$.

Giải

a) $x^3-3x^2+3x-1$

$=x^3-3x^2.1+3x.1^2-1^3$

$=(x-1)^3$
b) $x^3+6x^2+12x+8$

$=x^3+3.x^2.2+3.x.2^2+2^3$

$=(x+2)^3$
c) $8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3$

$=(2x)^3-3.(2x)^2.y+3.2x.y^2-y^3$

$=(2x-y)^3.$

 

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$
b) $(3x+5y)(9x^2-15xy+25y^2)$
c) $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2) - (2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$.

Giải

a) $(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$

$=(x-2y)[x^2+x.2y+(2y)^2]$

$=x^3-8y^3.$

b) $(3x+5y)(9x^2-15xy+25y^2)$

$=(3x+5y)[(3x)^2-3x.5y+(5y)^2]$

$=27x^3+125y^3$
c) $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2) – (2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$

$=(2x-y)[(2x)^2+2xy+y^2] – (2x+y)[(2x)^2-2xy+y^2]$

$=8x^3-y^3-(8x^3+y^3)$

$=0$.

 

Bài tập cơ bản

Bài 1. Thực hiện các phép tính

a)$ 2x(x-3). $
b)$ (2x-5)x.$
c)$ \dfrac{1}{2}x(-2x^2+5). $
d)$ -2x^3y(2x^2-3y+5yz). $
e)$ \dfrac{2}{3}x^2y(3xy-x^2+y). $

Bài 2. Thực hiện các phép tính

a) $ x^2 \left(5x^3 - x^2 +y\right)\dfrac{2}{3}x^2y. $
b) $ (4x^3 - 5xy +2x)\left(-\dfrac{1}{2}xy\right) .$
c) $ 3x(5x^2 - 2x- 1). $
d) $ (x^2 + 2xy -3)(-xy). $
e) $ \dfrac{1}{2}x^2y\left(2x^3 - \dfrac{2}{5}xy^2 -1\right). $

Bài 3. Thực hiện các phép tính

a) $x^2(x+1)-x(x^2-3x+1)$.
b) $y(2y^2+3y-4)-y^2(y^3-4y^2-1)$.
c) $\dfrac{1}{2}x(4x^2+6x+2)-x^2(4x-1)$.
d) $-4x^2(x+2)+x^3(x^2+4)$.

Bài 4. Tính (Rút gọn nếu có thể)

a) $-4x^5(x^3-4x^2+7x-3)$
b) $-5x^2y^4(3x^2y^3-2x^3y^2-xy)$
c) $\dfrac{1}{2}x^3y(2x^4y^3-4xy-6)$
d) $-3x^5y^7\left( \dfrac{2}{3}x^4y-y^3+\dfrac{1}{2}\right) $
e $-4x^2+2x-4x(x-5)$.

Bài 5. Tính (Rút gọn nếu có thể)

a) $3x^4-4x^3+2x(-x^2+3x-5)$
b) $4x(x^2-x+1)-x(3x^2-2x-5)$
c) $ \left(3x^3y - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{5}xy\right)\cdot 6xy^3. $
d) $ x(2x^2-3) - x^2 ( 5x+1) + x^2. $
e) $ 3x(x-2) - 5x(1-x) - 8(x^2-3). $

Bài 6. Thực hiện phép nhân, rút gọn rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau.

a) $ x(x-y) + y(x+y) $ tại $ x= -6 $ và $ y =8 $.
b) $ x(x^2-y)- x^2(x+y) + y(x^2 -x) $ tại $ x = \dfrac{1}{2} $ và $ y =-100. $
c) $ x(2x- y) -2x(y-x) $ tại $ x= 5 $ và $ y = 29 $.

Bài 7. Thực hiện phép nhân, rút gọn rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau.
a) $ xy(x-2) - x(xy+ y) $ tại $ x= 4 $ và $ y = 5. $
b) $ 5x(x^2-3) + x^2 (7-5x) - 7x^2 $ tại $ x= -5 $.
c) $ x(x-y) + y(x-y) $ tại $ x= 1,5 $ và $ y =10. $

Bài 8. Tính giá trị biểu thức

a) $A=7x(x-5)+3(x-2)$ tại $x=0$
b) $B=4x^2-2x+3x(x-5)$ tại $x=-1$
c) $C=-3x^2+4x-5(x-2)$ tại $x=1$
d) $D=4x(2x-3)-5x(x-2)$ tại $x=2$.

Bài 9. Tính (rút gọn)

a) $(3x+5)(2x-7)$
b)  $(x-5)(-x^2+x-1)$
c)  $\left( \dfrac{3}{2}x-1\right) (-4x^2+2x-6)$
d) $5x-3+(x-5)(x+4)-7$.

Bài 10. Tính (rút gọn)

a) $x^2-2x+5-(x-7)(x+2)$
b) $x(x^2-5x+2)-(x+3)(x^2-2)$
c) $5x(x-3)(x-1)-4x(x^2-2x)$
d) $4x(x^2-x+3)-(x-6)(x-5)$.

Bài 11. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

a) $A=-3x(x-5)+3(x^2-4x)-3x+10$
b) $B=4x(x^2-7x+2)-4(x^3-7x^2+2x-5)$
c) $C=5x(x^2-x)-x^2(5x-5)-15$
d) $D=7(x^2-5x+3)-x(7x-35)-24$
e) $E=x^2-4x-x(x-4)-15$.

Bài 12.  Tìm $ x $ biết

a) $ 2x(x-3) - x(2x+3) = 18. $
b) $ x(5x^2 - 2) + 5x(1-x^2) = 3^4. $
c) $ (x-5)(x+2) + (x+1)(2-x) = 15. $
d) $ (2x-3)(x+5) - (x-2)(2x+1) =3. $

Bài 13. Tìm $x$ biết

a) $ 2x(x-5) - x(3+2x) = 26. $
b) $ 3x(12x-4) -9x(4x-3)= 30. $
c) $ x(5-2x) + 2x(x-1)= 15. $
d) $ (12x-5)(4x-1)+(3x-7)(1-16x) = 81. $

Bài 14. Thực hiện các phép nhân đa thức sau:

a) $(a+2b)(b-2a)$
b) $(a+b)(a^2+3ab-b^2)$
c) $(a-b)(a^2+ab+b^2)$
d) $(3x-2y)(3x-2y+1)$

Bài 15.Thực hiện các phép nhân đa thức sau:

a) $(a-2b)(a^2-2ab+4b^2)$
b) $(a+b)(b+c)(c+a)$
c) $(a+b+c)(ab+bc+ac)$.

Bài 16. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:

a) $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$
b) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
c) $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
d) $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

Bài 17. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $(a-b)^3=a^3-2a^2b+3ab^2-b^3$
b) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
c) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
d) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$.

Bài 18. Chứng minh rằng:

a) $ a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b). $
b) $ a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b). $\
\textit{Áp dụng: }Tính $ a^3 + b^3 $, biết $ a\cdot b = 6 $ và $ a+b = -5. $

Bài 19. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $ (x+2)^2. $
b) $ (2x+3)^2. $
c) $ (x+7)(x-7) $
d) $ (5x-1)(5x+1). $

Bài 20. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $ (x+2)^3. $
b) $ (2x-5)^3. $
c) $ (x+2)(x^2 -2x+4). $
d) $ (1-x)(1+x+x^2). $
e) $ (2+xy)^2. $

Bài 21. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $ (5-3x)^2. $
b) $ (5-x^2)(5+x^2). $
c) $ (5x-1)^3. $
d) $ (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2). $
e) $ (x+3)(x^2 -3x +9). $

Bài 22. Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=(3x-y)^2-(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)+(3+x)^2$ tại $x=1; y=2$
b) $B=(x-2)^3-(y-3)^2+(x-y)(x^2+xy+y^2)-(x+y)^3$ tại $x=1; y=\dfrac{1}{2}$
c) $C=(3x+1)^3-(y-2)^2+(y-1)^3-(x+y)^2$ tại $x=\dfrac{1}{3}; y=-3$
d) $D=(2x+1)(4x^2-2x+1)-(2x-1)^3-(x-3y)^2$ tại $x=-\dfrac{1}{2}; y=\dfrac{1}{3}$.

Bài 23. Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $E=(5x-2y)^2-(x+3y)^3+(2x+y)^2-(x-2y)^3$ tại $x=\dfrac{1}{5};y=-\dfrac{1}{3}$
b) $F=(2x+3)(4x^2-6x+9)-(2x-1)^3+(x+5)^2$ tại $x=-3$
c) $G=(3x+2y)^3-3x(3x-2)^2+2(x-y)(2x+y)$ tại $x=\dfrac{1}{2}; y=-\dfrac{1}{3}$.

Bài 24. Cho các số $a,b$ thỏa $a+b=1, ab = - 2$. Tính

a) $P = a^2+b^2$
b) $Q = a^3+b^3$.

Bài 25. Tính giá trị của các biểu thức sau biết $x + y = 2$.

a) $A = x^2 + y^2 - x^2y - xy^2+4xy - 5 $.
b) $B = x^3 + y^3 +6xy - 3x - 3y +1$.
c) $C = x^2 - y^2 + 4y + 1$.

Bài 26. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $ x $:

a) $ (2x+3)(4x^2 -6x +9) -2(4x^3 -3). $
b) $ (4x-1)^3 -(4x-3)(16x^2 +3). $

Bài 27. Tìm x, biết:

a) $ (2x+1)^2 - (3-2x)^2 +4=0. $
b) $ (x-1)^3 +(2-x)(4+3x+x^2) +3x(x+2)=17. $
c) $ (x+2)(x^2-2x+4) -x(x^2-2) =15. $

Bài 28. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương

a) $x^2-2x+2+4y^2+4y$
b) $4x^2+y^2+12x+4y+13$
c) $5x^2+y^2+z^2+4xy-2xz$
d) $x^2+4y^2+4x-4y+5$.

Bài 29. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương

a) $a^2-4ab+5b^2-4bc+4c^2$
b) $4x^2+9y^2-4x+6y+2$
c) $4y^2+12y+25+8x+x^2$
d) $x^2+20+9y^2+8x-12y$
e) $4y^2-12x+12y+9x^2+13$.

Bài 30. Tìm $ x $, biết:

a) $ (2x+1)^2 -(3-2x)^2 +4 =0. $
b) $ (x-1)^3 +(2-x)(4+2x+x^2) +3x(x+2)=17. $
c) $ (x+2)(x^2 -2x+4) -x(x^2-2)=15. $

Bài 31. Tìm $x$  và  $y$, biết:

a) $x^2-2x+5+y^2-4y=0$
b) $4x^2+4x-6y+9y^2+2=0$
c) $ x^2+y^2+2x-6y +10 =0 $
d) $ 4x^2 +y^2 -4x +10y +26 =0 $.

Bài 32. Tìm $x$  và  $y$, biết:

a) $9x^2+12x+4y^2+8y+8=0$
b) $y^2+2y+5-12x+9x^2=0$
c) $16x^2+5+8x-4y-y^2=0$
d) $4y^2-12x+12y+9x^2+13=0$.

Bài 33. Tìm $x$  và  $y$, biết:

a) $4x^2+25-12x-8y+y^2=0$
b) $4y^2+12y+25+8x+x^2=0$
c) $x^2+20+9y^2+8x-12y=0$.

Bài 34. Chứng tỏ rằng:

a) $ x^2 -6x +10> 0 $ với mọi $ x $.
b) $ 4x-x^2 -5 < 0 $ với mọi $ x $.

Bài 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) $ M= x^2 + 4x +5. $
b) $ N = 9x^2 - 6x+6. $
c) $ P = x^2 -2x +5. $
d) $ Q = 2x^2 -6x. $

Bài 36. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) $ K = x^2 +y^2 -x +6y +10. $
b) $ A= x^2 - 6x+11. $
c) $ B = x^2 -20x +101. $
d) $ C = x^2 -2x + y^2 + 4y +8. $

Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) $ A= 5-2x-x^2. $
b) $ B= 5 + 6x-9x^2. $
c) $ C= 4x -x^2 +3. $
d) $ D = x-x^2. $

Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) $ E = 2x - 2x^2 -5. $
b) $ G = 5x-x^2. $
c) $ H = -x^2 + 6x -11. $
d) $ K = 5-8x -x^2 $.

 

 

 

 

Hoán vị

Leave a reply

1.Định nghĩa

Cho tập hợp A có $n (n \ge 1)$ phần tử. Khi sắp xếp $n$ phần tử này theo một thứ tự ta được một \textbf{hoán vị } các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A).

Ví dụ 1. Các hoán vị của tập $A = {1, 2, 3}$ là $(1, 2, 3),(1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)$.

2.Tính chất

Số các hoán vị của một tập gồm $n$ phần tử là $P_n=n!=n(n-1)(n-2)…2.1$
Quy ước: $0!=1$

Ví dụ 2. Có 6 con tem khác nhau cần dán vào 6 bì thư khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách dán?

Lời giải. Mỗi cách dán 6 con tem và 6 bì thư là một hoán vị của 6 phần tử, do đó số cách dán là số hoán vị của 6 phần tử: $P_6 = 6! = 720$ cách.

Ví dụ 3. Có 5 sách văn và 7 sách toán xếp thành một hàng. Có bao nhiêu cách xếp thỏa:

a. Xếp bất kì.

b. Các sách văn kế nhau, các sách toán kề nhau.

Lời giải.

a. Có 7 + 5 = 12 cuốn sách. Mỗi cách xếp là một hoán vị của 12 phần tử nên số cách xếp là số hoán vị của 12 phần tử. Do đó có $12!$ cách.

b. 7 sách toán xếp kề nhau có $7!$ cách.

5 sách văn kề nhau có $5!$ cách.

Xếp bộ sách toán và bộ sách văn có 2 cách.

Do đó số cách xếp thỏa đề bài là $2.7!5!$ cách.

Bài tập. 

  1. Có 4 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lý và 6 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách này lên kệ dài sao cho:
    a. Các quyển sách được xếp tùy ý?
    b. Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau?
  2.  Xếp 5 nam và 5 nữ vào hai dãy ghế, mỗi dãy có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp biết:
    a. Xếp tùy ý.
    b. Nam 1 dãy và nữ 1 dãy
  3.  Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiều số
    a. Có 5 chữ số khác nhau.
    b. Có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.

Phép chia đa thức cho đơn thức

Leave a reply
  1. Chia đơn thức cho đơn thức

Quy tắc

Muốn chia đơn thức $A$ cho đơn thức $B$ (trường hợp $A$  chia hết cho $B$) ta làm như sau:

  • Chia hệ số của đơn thức $A$ cho hệ số của đơn thức $B$.
  • Chia lũy thừa của từng biến trong $A$ cho lũy thừa của cùng biến đó trong $B$.
  • Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Ví dụ. Thực hiện phép chia

a) $ 8x^2 : 4x $
b)  $ 5x^4 : 2x^2. $
c)  $ (-8x^2 ): 4x. $
d) $ xy^3z^4 : (-3xyz). $

Giải

a) $ 8x^2 : 4x=\dfrac{8}{4}\cdot \dfrac{x^2}{x}=2x^{2-1}=2x. $
b)  $ 5x^4 : 2x^2=\dfrac{5}{2}\cdot \dfrac{x^4}{x^2}=\dfrac{5}{2}x^{4-2}=\dfrac{5}{2}x^2. $
c)  $ 3xy^3z^4 : (-3xyz)=\dfrac{3}{-3}\cdot \dfrac{x}{x}\cdot \dfrac{y^3}{y}\cdot \dfrac{z^4}{z}=-y^2z^3. $

2. Chia đa thức cho đơn thức

Quy tắc

Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$ (trường hợp các hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$), ta chia mỗi hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết qủa với nhau.

Ví dụ. Thực hiện phép tính.
a) $ (-2x^5 +3x^2 – 4x^3) :2x^2. $
b)  $ (x^3 -2x^2y + 3xy^2): \left(-\dfrac{1}{2}x\right) $
c)  $ (3x^2y^2 +6x^2y^3 -12xy) : 3xy. $

Giải

a) $ (-2x^5 +3x^2 – 4x^3) :2x^2$

$=\dfrac{-2x^5}{2x^2}+\dfrac{3x^2}{2x^2} +\dfrac{- 4x^3}{2x^2}$

$=-x^3+\dfrac{3}{2}-2x.$
b)  $ (x^3 -2x^2y + 3xy^2): \left(-\dfrac{1}{2}x\right)$

$=\dfrac{x^3}{-\dfrac{1}{2}x}+\dfrac{-2x^2y}{-\dfrac{1}{2}x} +\dfrac{3xy^2}{-\dfrac{1}{2}x}$

$=-2x^2+4x^3y-6y^2 $
c)  $ (3x^2y^2 +6x^2y^3 -12xy) : 3xy$

$=\dfrac{3x^2y^2}{3xy}+\dfrac{6x^2y^3}{3xy} +\dfrac{-12xy}{3xy}$

$=xy+2xy^2-4. $

3. Bài tập

Bài 1. Thực hiện phép chia

a) $ \dfrac{2}{3}x^3y^4 : \left(-\dfrac{4}{9}x^2y^3\right) .$
b) $ x^2yz:xyz. $
c) $ x^3y^4 : x^3y. $
d) $ \left(\dfrac{5}{7}x^2y\right)^3 : \left(\dfrac{1}{7}xy\right)^3 $.

Bài 2. Thực hiện phép chia

a) $ 5x^2y^4: 10x^2y. $
b) $ \dfrac{3}{4}x^3y^3 : \left(-\dfrac{1}{2}x^2y^2\right) $
c) $ (-xy)^{10} : (-xy)^5. $
d) $ 15x^4y^3z^3 : 5xy^2z^2. $

Bài 3. Thực hiện phép chia

a) $(4x^4 +2x^3 – 2x^2 + 6x) : 2x$
b) $(12x^4 + 6x^3 – 24x) : 6x$
c) $(2x^3 – 2x^2 + 3x) : 4x$
d) $(2x^2y + 3xy^2 + 4xy) : xy$.

Bài 4. Thực hiện phép chia

a) $(4x^4y^2-5x^2y^3 + x^2y^2) : x^2y$
b)  $ (18x^7 +12x^5 – 24x^3): 6x^3. $
c)  $ (15x^3y^5 – 8x^2y^2 – 5x^4y^4) : 5x^2y. $
d) $ (20x^5 – 15x^3 +10x^2): 5x^2 $.

Đại cương hàm số – Bài giảng

Leave a reply

1. Hàm số là gì?

a. Định nghĩa. Cho tập $D \neq \emptyset$, một quy tắc cho tương mỗi phần tử $x \in D$ với một và chỉ một phần tử $y \in \mathbb{R}$ được gọi là hàm số. Kí hiệu

$f: D \to \mathbb{R}$

      $x \mapsto y = f(x)$.

  • $D$ được gọi là tập xác định.
  • $y = f(x)$ được gọi là giá trị của hàm số tại $x$. 

b. Cách cho một hàm số. Các quy tắc có thể cho bởi công thức, ví dụ cho hàm số $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}, y = 2x + 1$. Tập xác định là $\mathbb{R}$.

Khi cho hàm số bởi công thức, nếu không nói gì đến tập xác định thì quy ước tập xác định trong trường hợp này là tập các giá trị $x$ để biếu thức có nghĩa.

Ví dụ 1. Cho $y = \dfrac{2}{4x-1}$. Thì biểu thức có nghĩa khi $4x -1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \dfrac{1}{4}$. Do đó tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus {\dfrac{1}{4}}$

2. Sự biến thiên của hàm số

  • Cho hàm số $f$ xác định trên khoảng $I$. Ta nói $f$ đồng biến trên $I$ khi và chỉ khi $\forall x_1, x_2 \in I, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
  • Cho hàm số $f$ xác định trên khoảng $I$. Ta nói $f$ đồng biến trên $I$ khi và chỉ khi $\forall x_1, x_2 \in I, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Ví dụ 2. Cho hàm số $y = f(x) = 2x – 3$.

Chứng minh rằng hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải. Lấy $x_1, x_2 \in \mathbb{R}, x_1 < x_2$. Ta có $f(x_1) – f(x_2) = (2x_1-3) – (2x_2-3) = 2(x_1 – x_2) < 0$, suy ra $f(x_1) < f(x_2)$.

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ 3. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{1}{x}$. Chứng minh hàm nghịch biến trên $(0;+\infty)$,

Lời giải. Lấy $x_1, x_2 \in (0;+\infty), x_1 < x_2$ ta có $f(x_1) – f(x_2) = \dfrac{1}{x_1} – \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}$.

Ta có $x_2 – x_1 > 0, x_1x_2 > 0$, suy ra $f(x_1) – f(x_2) > 0 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

Vậy hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty)$.

Chú ý. 

  • $f$ đồng biến trên $I$ khi và chỉ khi $\forall x_1, x_2 \in I, \Rightarrow \dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} >0$
  • $f$ đồng biến trên $I$ khi và chỉ khi $\forall x_1, x_2 \in I,  \Rightarrow \dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} < 0$

3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

a. Cho hàm số $f$ có tập xác định là $D$. Ta nói $f$ là hàm số chẵn nếu thoả

  • $\forall x \in D \Rightarrow -x \in D$.
  • $\forall x \in D, f(-x) = f(x)$.

b. Cho hàm số $f$ có tập xác định là $D$. Ta nói $f$ là hàm số lẻ nếu thoả

  • $\forall x \in D \Rightarrow -x \in D$.
  • $\forall x \in D, f(-x) = -f(x)$.

Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a. $y = 2x^2 + |x|$

b.$ y = \dfrac{1}{x^3}$.

Lời giải.

a. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}$.

$f(-x) = 2(-x)^2+|-x| = 2x^2 + |x| = f(x)$.

Do đó $f$ là hàm số chẵn.

b. Tập xác định là $D =\mathbb{R} \setminus {0}$.

Với $x \in D \Rightarrow -x \in D$.

$f(-x) = \dfrac{1}{(-x)^3} = \dfrac{-1}{x^3} = -f(x)$.

Suy ra $f$ là hàm số lẻ.

4. Đồ thị của hàm số

a. Định nghĩa. Cho hàm số có tập xác định $f$. Đồ thị hàm số là tập hợp các điểm $(x,y)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ sao cho

  • $x \in D$.
  • $y = f(x)$.

Ví dụ 4. Cho hàm số $y = x^3-3x + 2$. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

Lời giải. Gọi $M(x;y)$ là giao điểm của đồ thị với trục hoành, khi đó $y = 0$.

Ta có $M(x;0)$ thuộc đồ thị hàm số nên $ 0 = x^3-3x + 2 $ giải ra được $x=1, x=-2$.

Vậy giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là $M_1(1;0), M_2(2;0)$.

Chú ý. Nếu hàm số $y = f(x)$ có đồ thị (C) và hàm số $y = g(x)$ có đồ thị $(H)$. Khi đó hoành độ giao điểm của (C)  và (H) là nghiệm của phương trình $f(x)= g(x)$.

b. Tính chất. 

  • Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
  • Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

Bài tập rèn luyện

Dạng tìm tập xác định

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số $y= \dfrac{\sqrt{5-6x}-\sqrt{2x+11}}{x^2+3x+2}$.

Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x^2+5x-14}$.
b) $y=\sqrt{x^2-2x+5}-\dfrac{1}{x}$.
c) $y=\dfrac{x^2-2}{(x-2)\sqrt{x+1}}$.
d) $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{8-x}$.

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) $y=\sqrt{x+4+2\sqrt{x+3}}$.
b) $y=\dfrac{\sqrt{2x-3}}{(x^2-3x+2) \sqrt{7-x}}$.
c) $y =\dfrac{x+\sqrt{x+4}-2 \sqrt{2-x}}{-x^2+4x-3}$.
d) $y=\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}+\sqrt{2x-1}$.

Bài 4, Tìm $m$ để các hàm số sau xác định trên tập đã chỉ ra:

a) $y=\dfrac{2x+1}{x^2-6x+m-2}$ trên $D=\mathbb{R}$.
b) $y=\sqrt{x-m}+\sqrt{2x-m-1}$ trên $D=(0, +\infty)$.
c) $y=\sqrt{2x-3m+4}+\dfrac{x-m}{x+m-1}$ trên $D=(0, +\infty)$.
d) $y=\dfrac{x+2m}{x-m+1}$ trên $(0, +\infty)$.

Dạng 2. Sự biến thiên

Bài 1. Chứng minh hàm số $y=\dfrac{x^2-x-1}{x-1}$ đồng biến trên $(- \infty, 1)$ và $(1, + \infty)$.

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau
a) $y = 2020x – 2019$ trên $\mathbb{R}$
b) $y = \dfrac{1}{x-2048}$ trên $(2048;+\infty)$.
c) $y = x^3+x$ trên $\mathbb{R}$.
d) $y=\sqrt{x-4}-\sqrt{x+1}$ trên $(0, + \infty)$
e) $y=\sqrt{x+4+2 \sqrt{x+3}}$ trên tập xác định
f) $y=\dfrac{x}{x^2+1}$ trên $(1, + \infty)$

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

a) $y = x^3+x$ trên $\mathbb{R}$.
b) $y=\sqrt{x-4}-\sqrt{x+1}$ trên $(0, + \infty)$
c) $y=\sqrt{x+4+2 \sqrt{x+3}}$ trên tập xác định
d) $y=\dfrac{x}{x^2+1}$ trên $(1, + \infty)$

Dạng 3. Tính chẵn lẻ và đồ thị

Bài 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y=x^4-x^2+1$
b) $y=x^3-3x-4$
c) $y=\dfrac{x^4+x^2}{1-x^2}$
d) $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}$
e) $y=x^3 |x|$
f) $y=\dfrac{|x|}{x^2-4}$
g) $y=\sqrt{x}(x^2+1)$
h) $\sqrt{x^2+1}-\sqrt{1-x^2}$.

Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y = \dfrac{\sqrt{1-2x}-\sqrt{1+2x}}{x^2-x^4}$.
b) $y = \dfrac{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}}{|x|+2}$.

Bài 3. Cho hàm số $y = x^2 -2x-1$, có đồ thị $G$.

a) Nếu tịnh tiến $G$ qua phải hai đơn vị thì được đồ thị hàm số nào?
b) Nếu tịnh tiến qua trái một đơn vị và tịnh tiến lên 3 đơn vị thì được đồ thị hàm số nào?

Bài 4. Cho hàm số $y = \dfrac{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}{x^2-1}$.

a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Xét tính chẵn lẻ của hàm số. Từ đó nhận xét về đồ thị của hàm số.

Tập hợp

Leave a reply

1. Tập hợp là gì?

  • Tập hợp là khái niệm cơ bản, không có định nghĩa.
  • Kí hiệu tập hợp là các chữ cái in hoa: A, B, C…
  • Trong tập hợp bao gồm các phần tử, tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu $\emptyset $.
  • Phần tử $a$ thuộc tập $X$, kí hiệu là $a \in X$. Phần tử $b$ không thuộc tập $X$ kí hiệu là $b \notin X$.
  • Cách cho tập hợp:
  1. Cho bằng cách liệt kê. Ví dụ $A = \{1, 2, 3, 4, 5 \}$.
  2. Cho bằng đặc trưng của tập hợp $A = \{n \in \mathbb{N}|n \vdots 5 \}$.

2.Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau.

Tập $A$ là tập con của $B$ (hay $A$ chứa trong $B$) khi và chỉ khi mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$.

$(A \subset B) \Leftrightarrow (\forall x \in A \Rightarrow x \in B) $

Ta có các tình chất sau:

  • Tập rỗng là con của mọi tập hợp.
  • Một tập là tập con của chính nó
  • Nếu $A \subset B$ và $B \subset C$ thì $A \subset C$.

3. Các phép toán trên tập hợp

a. Giao của hai tập hợp.

$A \cap B = \{x| x\in A \wedge x \in B \}$.

b. Hợp của hai tập hợp.

$A \cup B = \{x|x \in A \vee x \in B$\}$.

c. Hiệu – Phần bù

$A \setminus B = \{x|x \in A \wedge x \notin B \}$

Ví dụ. Cho $A = \{1, 2, 3, 4 \}, B = \{3, 4, 5, 6 \}, C = \{5, 6, 1, 8\}$.

Khi đó $A \cap B = \{3, 4 \}, A \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}, A \setminus B = \{1, 2\}, B \setminus A = \{5, 6\}$.

4. Các tập hợp số

a) Tập các số tự nhiên $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, …\}$.

Tính chất.

  • Một tập con của $\mathbb{N}$ luôn có phần tử nhỏ nhất.
  • Tập số tự nhiên không có số lớn nhất.
  • Giữa hai số tự nhiên liên tiếp không có số tự nhiên nào.

b) Tập các số nguyên $\mathbb{Z} = \{…,-2,-1,0,1,2,…\}$

c) Tập các số hữu tỉ. $\mathbb{Q} = \{\dfrac{m}{n}|m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \}$.

Tính chất.

  • Tổng hiệu tích thương (mẫu khác 0) của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ.
  • Giữa hai số hữu tỉ bất kì luôn có một số hữu tỉ

d) Tập các số thực. Hợp của tập các hữu tỷ và vô tỷ.

Các tập con của tập các số thực.

Bài tập.

  1. Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5 \}, B = \{2,3, 4, 8 \}, C = \{3, 4, 10, 11 \}$. Tìm $A \setminus B, A \cap B, (A \cup B) \setminus C$.
  2. Cho $A = [-4;2], B = (-1;5), C = (-\infty;0)$. Tìm $\mathbb{R} \setminus A, A \cup B, C \setminus B, (A\cap B) \setminus C$.
  3. Cho hai tập A, B thoả mãn $C_{R}A=(2, +\infty), C_{R}B=(- \infty,1) \cup [3, + \infty)$. Hãy xác định các tập $A \cap B, A \cup B, A \setminus B, B \setminus A$ và phần bù của các tập trên.
  4. Cho $A=[\dfrac{1}{2}, +\infty), B=\{x \in \mathbb{R}: |2x-1| \le 1\}$. Tìm $A \cap B, A \cup B, A \setminus B, B \setminus A$ và phần bù của các tập trên.
  5. Cho $A=(2m-1, 2m+3), B=(-6,1]$. Tìm $m$ để
    a. $A \subset B.$
    b. $B \subset A.$
  6. Lớp 10A có 40 học sinh, trong đó có 15 bạn được xếp học lực giỏi, 20 bạn được xếp hạnh kiểm tốt, 10 bạn vừa học lực giỏi vừa hạnh kiểm tốt.
    a. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết để được khen thưởng thì bạn đó hoặc phải có học lực giỏi hoặc phải có hạnh kiểm tốt.
    b. Lớp 10 A có bao nhiêu bạn chưa có học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hàm số lượng giác

Leave a reply

I. Lý thuyết

  1. Hàm số lượng giác $y=\sin x$ và $y=\cos x$

  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với $\sin $ của góc lượng giác có số đo radian bằng $x$ được gọi là hàm số sin và ký hiệu $y=\sin x.$
  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với $\cos $ của góc lượng giác có số đo radian bằng $x$ được gọi là hàm số cos và ký hiệu $y=\cos x.$

 

  1. Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$

  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x \in \mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ với số thực $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ được gọi là hàm số tan và ký hiệu là $y=\tan x$.
  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x \in \mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{k \pi, k \in \mathbb{Z}\}$ với số thực $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ được gọi là hàm số côtan và ký hiệu là $y=\cot x$.

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $y=\sin 2x+\dfrac{1}{\cos x}$

b) $y=\sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$

c) $y=3\tan \left(x+\dfrac{\pi}{3} \right)$

d) $y=\tan x+\cot x$

Đáp số
 a) Hàm số được xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là:

$D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

  b) Hàm số được xác định khi $\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x} \ge 0 (1).$ Vì $1+\sin x \ge 0, \forall x$ nên:

$(1) \Leftrightarrow 1 -\sin x >0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1$

$\Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}.$

Vậy $D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

 

 c) Hàm số được xác định khi $x + \dfrac{\pi}{3} \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{6}+k\pi, k \in \mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định của hàm số là:

$D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

  d) $\tan x$ xác định khi $x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi, \cot x$ xác định khi $x \ne k\pi (k \in \mathbb{Z}$.

Do đó $y= \tan x+\cot x$ xác định khi $x \ne k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Vậy $D=\mathbb{R} \setminus \left\{k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số sau:

a) $y=-4\cos 2x$

b) $y=\sin^3 4x-3\sin x$

c) $y=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}$

d) $y=3\sin x+2\cos x-1$

Đáp số

a) Hàm số $y=f(x)=-4\cos 2x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x)=-4\cos (-2x)=-4\cos 2x=f(x).$

Vậy $f(x)$ là hàm số chẵn.

b) Hàm số $y=f(x)=\sin^3 4x-3\sin x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(x-)=\sin^3 (-4x)-3\sin (-x) = -sin^3 4x+3\sin x=-f(x).$ Vậy hàm số là hàm số lẻ.

c) Hàm số $y=f(x)=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x \ne 0$ và $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi}{2}.$ Do đó tập xác định là $D=\mathbb{R} \setminus \left\{k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

Với mọi $x \in D \Leftrightarrow x\ne k\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow -x \ne k\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow -x \in D.$

Ta có: $f(-x)=\dfrac{\tan (-x)+\cot (-x)}{\sin (-x)}=\dfrac{-\tan x-\cot x}{-\sin x}=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}=f(x)$.

Vậy $f(x)$ là hàm số chẵn.

d) Hàm số $y=f(x)=3\sin x + 2\cos x -1$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-4, f\left(\dfrac{\pi}{2} \right)=2 \Rightarrow f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \ne \pm f\left(\dfrac{\pi}{2} \right)$

Do đó, hàm số không chẵn, không lẻ.

3. Hàm số tuần hoàn

  • Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập hợp $\mathbb{D}$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T \ne 0$ sao cho với mọi $x \in \mathbb{D}$ ta có $x \pm T \in \mathbb{D} \ \text{và} \ f(x+T)=f(x).$
  • Nếu có số dương T nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.
  •  Hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$.
  •  Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $T= \pi$.
  •  Ta chứng minh được hàm số $y=A \sin (ax+b)+B$ tuần hoàn với chu kì $T=\dfrac{2 \pi}{|a|}.$
  •  Nếu hàm số $y=f(x)$ có chu kì $T_1$, hàm số $y=g(x)$ có chu kì $T_2$ thì hàm số $y=f(x) \pm g(x)$ có chu kì là BCNN của $T_1$ và $T_2$.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng hàm số $y=\cos 2x$ tuần hoàn với chu kì là $\pi$.

Đáp số

Hàm số $y=f(x)=\cos 2x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

$\forall x \in D$, ta có: $x \pm \pi \in D;$

$f(x+\pi)=\cos 2(x+\pi)=\cos (2x+2\pi)=\cos 2x =f(x).$

Vậy hàm số $y=\cos 2x$ tuần hoàn.

Ta chứng minh chu kì của hàm số bằng $\pi$.

Giả sử có số T thỏa mãn $0<T<\pi$ và $\cos 2(x+T)=\cos 2x  (*), \forall x$.

Cho $x=0$ khi đó đẳng thức (*) trở thành:

$\cos 2T=\cos 0 \Leftrightarrow \cos 2T=1 \Leftrightarrow T=k\pi.$

Vì $0<T<\pi$ nên hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\pi$.

II. Bài tập

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\dfrac{3+\sin x}{\cos x}$

b) $y=\tan \left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)$

c) $y=\sqrt{1+2\tan^2 x}+\dfrac{3}{\sin x}$

d) $y=\sin\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}$

Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y=3\sin (x+\pi)+\tan 3x$

b) $y=2\sin^2 x+\cot x -2$

c) $y=\cos^3 x+\dfrac{\tan 3x}{\sin x}$

d) $y=\dfrac{\cos x}{2\sin x-1}$

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $y=1-3\sin 5x$

b) $y=\sqrt{4-\cos^2 3x}+1$

c) $y=2\sin^2 x+5\cos 2x-4\cos^2 x$

d) $y=\sin^2 x-2\sin x -3$