Tag Archives: HeThucLuong

Hệ thức lượng trong tam giác

Ta có một số kí hiệu thường dùng.

Cho tam giác ABC, khi đó

  • a=BC,b=AC,c=AB
  • p=a+b+c2 là nửa chu vi tam giác ABC .
  • S=SABC diện tích tam giác ABC .
  • R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
  • r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
  • ma,mb,mc độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A,B,C.
  • ha,hb,hc là độ dài đường cao xuất phát từ A,B,C.

Định lý Cosin trong tam giác

Định lý. Cho tam giác ABC
Khi đó ta có:

  • a2=b2+c22bccosA
  • b2=a2+c22accosB
  • c2=a2+b22abcosC

Chứng minh

Để chứng minh định lý ta có thể sử dụng định lý Pitago và tỉ số lượng giác của góc nhọn, hoặc có thể dùng tích vô hướng, ở đây tôi trình bày theo tích vô hướng.

a2=BC2=(ACAB)2

=AC2+AB22ACAB
=AC2+AB22ABACcosA
=b2+c22bccosA
Các hệ thức còn lại chứng minh tương tự.

Từ định lý trên ta dễ dàng suy ra hệ quả sau

Hệ quả.
Trong tam giác ABC
cosA=b2+c2a22bc;cosB=a2+c2b22ac;cosC=a2+b2c22ab

Từ đây suy ra tam giác ABC
A<90b2+c2>a2

A>90b2+c2<a2

Nhận xét:

  • Định lý cosin là tổng quát của định lý Pitago nêu lên quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, ứng dụng để tính toán độ dài, góc, thiết lập các đẳng thức hình học.
  • Hệ quả định lý cosin sử dụng khi ta muốn chuyển các hệ thức về độ dài các cạnh của tam giác.

Định lý Sin trong tam giác

Định lý.
Cho tam giác ABC, gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó
asinA=bsinB=csinC=2R

Chứng minh. Vẽ đường kính BD, khi đó BDC=BAC hoặc BDC=180BAC, suy ra:
sinBAC=sinBDC=BCBD=a2R
suy ra
asinA=2R

Chứng minh tương tự ta cũng có
bsinB=csinC=2R

Hệ quả

  • a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
  • sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R
  • ab=sinAsinB

Nhận xét:

  • Nêu lên mối liên hệ giữa cạnh, góc đối diện và bán kính đường tròn ngoại tiếp.
  • Tính toán các yếu tố của tam giác khi biết sỗ đo hai góc và một cạnh.
  • Chứng minh các đẳng thức hình học khác.

Công thức đường trung tuyến

Định lý. (Độ dài đường trung tuyến) Trong tam giác ABC, gọi ma,mb,mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ A,B,C. Khi đó

  • ma2=12(b2+c2)14a2.
  • mb2=12(a2+c2)14b2.
  • mc2=12(b2+a2)14c2.

Chứng minh. Ta có thể chứng minh định lý này bằng định lý Cosin, áp dụng định lý cosin cho hai tam giác AMB,AMC ta có
cosAMB=AM2+MB2AB22AMMB,cosAMC=AM2+MC2AC22AMMC

cosAMB+cosAMC=0MB=MC=BC2
AM2+MB2AB22AMBM+AM2+MC2AC22AMMC=0

Từ đó ta có 2AM2=AB2+AC2MB2MC2 hay AM2=12(AB2+AC2)14BC2, ta có điều cần chứng minh.

Công thức tính diện tích tam giác

Định lý. Các công thức tính diện tích tam giác

  • S=12aha=12bhb=12chc
  • S=12absinC=12bcsinA=12acsinB
  • S=abc4R
  • S=pr
  • S=p(pa)(pb)(pc) (công thức He-ron)

Chứng minh dành cho bạn đọc.

Hệ thức trong tam giác vuông – Bài 1

I. Lý thuyết và ví dụ

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Đặt BC=a,AC=b,AB=c,AH=h,BH=c,CH=b. Khi đó:

  • a.h=bc=2SABC
  • c2=c.a
  • b2=b.a
  • h2=b.c
  • 1h2=1b2+1c
 

Dạng 1. Các bài tính toán cơ bản

Ví dụ 1. Tính a,b,c,h trong hình sau:

 

Gợi ý

 Tam giác vuông có cạnh huyền là a nên:

  • a2=62+82=100
  • a=10cm (vì a>0)

Ta có

  • ah=bc
  • 10h=6.8
  • h=245(cm).

 

 Ta có

  • 62=c.a
  • 36=c.10
  • c=185(cm)

Suy ra b=ac=10185=325(cm)

Ví dụ 2. Tính b,b,c trong hình sau:

Gợi ý

Tam giác ABCh là độ dài đường cao, hình chiếu của AB4 nên:

  • h2=4.b
  • 102=4bb=25cm.

Khi đó a=b+c=4+25=29.

  • b2=b.a
  • b2=25.29
  • b2=725
  • b=725=529 (cm)(vì b>0)

  • b.c=ha
  • 529c=10.29
  • c=229 (cm)

Ví dụ 3. Tính c,h,b trong hình sau:

 

Gợi ý

Với bài toán này, các độ dài cho trước có vẻ rời rạc và chưa tính được độ dài nào được ngay.

Nhưng ta có thể thấy h,b có liên hệ với c=4cm,b=10cm. Từ đó nghĩ đến cách lập hệ ẩn h,b.

Giải

Ta có

  • h2=4b (1)
  • h2+b2=(45)2=45 (2)
  • Từ (1), (2) suy ra b2=454b
  • b2+4b45=0
  • (b5)(b+9)=0
  • b=9 (cm) (do b>0)

Khi đó  h2=4.5=20 hay h=20 (cm).

c2=42+(20)2=36, c=6 (cm).

III. Bài tập

1.Tính các yếu tố còn lại trong hình đã cho.

Gợi ý

a. Tam giác vuông có h là chiều cao và 2 cạnh góc vuông có độ dài là: 2cm4cm ta có:
1h2=122+142 (Hệ thức lượng)
1h2=516
1h=54
h=455(cm)
Ta có: h.(c+b)=4.2
455(b+c)=8
(b+c)=25(cm)
42=c.(b+c)
16=c.25
c=855(cm)
22=b.(b+c)
4=b.25
b=255(cm)
b. Tam giác vuông có đường cao h và hai cạnh góc vuông lần lượt là cb
Ta có: h2=4.9
h2=36
h=6(cm)
c2=4.(4+9)
c2=52
c=213(cm)
b2=9.(4+9)
b2=117
b=313(cm)
c.Tam giác vuông có đường cao có độ dài 4cm và hai cạnh hóc vuông có độ dài 5cmc
Ta có: 142=1c2+152
c=203(cm)
5.203=4.(b+c)
(b+c)=253(cm)Ta có: 52=b.(b+c)
b=3(cm)
c2=c(b+c)
c=163
Hay c=253b=2533=163


2. Tính x,y trong hình dưới đây:

Gợi ý

Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông có độ dài 3cm
Suy ra cạnh huyền của tam giác đó có độ dài là: 32(cm) (Pytago)
Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có độ dài lần lượt là 2cm;32cm
Khi đó: (x+y)2=(2)2+(32)2
x+y=25(cm)
Ta có: (2)2=y.(x+y)
y=55
x=2555=955


3. Tìm x,y trong hình cho dưới đây.
Gợi ý

Ta có: 32=x.(x+165)
[x=95(cm)(n)x=5(cm)(l)
Và 4{y^2} = \dfrac{{16}}{5}\left( {\dfrac{{16}}{5} + x} \right)\Rightarrow y = 4(cm)$

4.Tìm độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 25cm và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 12cm.

Gợi ý

Gọi hình chiếu hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là x,y. Ta có x+y=25,xy=122=144. Giải ra được x=9,y=16.
Suy ra độ dài 2 cạnh là 15,20(cm).

5. Tìm độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông biết đường cao bằng 4cm và độ dài trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 6cm.
Gợi ý

Cạnh huyền là 12. Làm tương tự bài 4.

6. Tính x,y trong hình sau:

Gợi ý

Xét hình chữ nhật có độ dài 2 cạnh lần lượt là 3cm4cm
Khi đó đường chéo của hình chữ nhật có độ dài là 5cm
Xét tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông là 5cm, ycm và có chiều cao là 3cm ta có:
132=1y2+152
y=154(cm)
Tương tự: x=203(cm)

7. Tìm x,y là cạnh của hình chữ nhật biết MN=1.
Gợi ý

Gọi hình chữ nhật đó là ABCD với N thuộc cạnh CD.
Ta có AB//CD
ABDN=AMMN (Ta- lét)
yy2=AM1
AM=2
AN=AM+MN=2+1=3
Tam giác ADN vuông tại D ta có:
DN2=MN.AN
DN=3
AD2=AM.AN
AD=6
Vậy x=6y=23


8. (*) Cho tam giác ABC vuông có đường cao AH, trung tuyến BM và phân giác CD đồng quy.

    •  (a). Chứng minh BH=AC.
    •  (b). Tính AB,AC biết BC=10cm.

Gợi ý

 a) Gọi O là giao điểm của AH; BM; CD
Áp dụng định lí Ceva vào trong tam giác ABC, ta có:
MAMC.HCHB.DBDA=1HCHB=\dracDADB
(Vì M là trung điểm của AC)
Mà: DADB=ACBC ( CD là phân giác)
HCHB=ACBCCH.CB=AC.HB
Mặt khác: CH.CB=AC2 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC)
AC.HB=AC2BH=AC
b) Ta có: AC2=HC.BC
AC2=(BCBH).BC
Mà: BH=AC ( câu a)
AC2=(BCAC).BC
AC=5+55(cm)
AB=50+505(cm)

Bài tứ giác nội tiếp cơ bản

Đề bài.  Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và trung tuyến BM. Gọi D là hình chiếu vuông góc vuông góc của A trên BM. Chứng minh tứ giác HDMC nội tiếp.

Gợi ý

Tam giác ABC vuông tại AAH là đường cao nên BH.BC=AB2.(1)

Tam giác ABC vuông tại AAH là đường cao nên BH.BC=AB2.(1)

Tam giác ABM vuông tại AAD là đường cao nên BD.BM=AB2.(2)

Từ (1) và (2), suy ra BH.BC=BD.BM, suy ra ΔBDHΔBCMBDH=BCM.

Tứ giác HDMCBDH=BCM nên là tứ giác nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp