Tag Archives: Lop11

Hoán vị

Leave a reply

1.Định nghĩa

Cho tập hợp A có $n (n \ge 1)$ phần tử. Khi sắp xếp $n$ phần tử này theo một thứ tự ta được một \textbf{hoán vị } các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A).

Ví dụ 1. Các hoán vị của tập $A = {1, 2, 3}$ là $(1, 2, 3),(1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)$.

2.Tính chất

Số các hoán vị của một tập gồm $n$ phần tử là $P_n=n!=n(n-1)(n-2)…2.1$
Quy ước: $0!=1$

Ví dụ 2. Có 6 con tem khác nhau cần dán vào 6 bì thư khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách dán?

Lời giải. Mỗi cách dán 6 con tem và 6 bì thư là một hoán vị của 6 phần tử, do đó số cách dán là số hoán vị của 6 phần tử: $P_6 = 6! = 720$ cách.

Ví dụ 3. Có 5 sách văn và 7 sách toán xếp thành một hàng. Có bao nhiêu cách xếp thỏa:

a. Xếp bất kì.

b. Các sách văn kế nhau, các sách toán kề nhau.

Lời giải.

a. Có 7 + 5 = 12 cuốn sách. Mỗi cách xếp là một hoán vị của 12 phần tử nên số cách xếp là số hoán vị của 12 phần tử. Do đó có $12!$ cách.

b. 7 sách toán xếp kề nhau có $7!$ cách.

5 sách văn kề nhau có $5!$ cách.

Xếp bộ sách toán và bộ sách văn có 2 cách.

Do đó số cách xếp thỏa đề bài là $2.7!5!$ cách.

Bài tập. 

  1. Có 4 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lý và 6 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách này lên kệ dài sao cho:
    a. Các quyển sách được xếp tùy ý?
    b. Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau?
  2.  Xếp 5 nam và 5 nữ vào hai dãy ghế, mỗi dãy có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp biết:
    a. Xếp tùy ý.
    b. Nam 1 dãy và nữ 1 dãy
  3.  Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiều số
    a. Có 5 chữ số khác nhau.
    b. Có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.

Hàm số lượng giác

Leave a reply

I. Lý thuyết

  1. Hàm số lượng giác $y=\sin x$ và $y=\cos x$

  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với $\sin $ của góc lượng giác có số đo radian bằng $x$ được gọi là hàm số sin và ký hiệu $y=\sin x.$
  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với $\cos $ của góc lượng giác có số đo radian bằng $x$ được gọi là hàm số cos và ký hiệu $y=\cos x.$

 

  1. Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$

  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x \in \mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ với số thực $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ được gọi là hàm số tan và ký hiệu là $y=\tan x$.
  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x \in \mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{k \pi, k \in \mathbb{Z}\}$ với số thực $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ được gọi là hàm số côtan và ký hiệu là $y=\cot x$.

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $y=\sin 2x+\dfrac{1}{\cos x}$

b) $y=\sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$

c) $y=3\tan \left(x+\dfrac{\pi}{3} \right)$

d) $y=\tan x+\cot x$

Đáp số
 a) Hàm số được xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là:

$D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

  b) Hàm số được xác định khi $\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x} \ge 0 (1).$ Vì $1+\sin x \ge 0, \forall x$ nên:

$(1) \Leftrightarrow 1 -\sin x >0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1$

$\Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}.$

Vậy $D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

 

 c) Hàm số được xác định khi $x + \dfrac{\pi}{3} \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{6}+k\pi, k \in \mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định của hàm số là:

$D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

  d) $\tan x$ xác định khi $x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi, \cot x$ xác định khi $x \ne k\pi (k \in \mathbb{Z}$.

Do đó $y= \tan x+\cot x$ xác định khi $x \ne k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Vậy $D=\mathbb{R} \setminus \left\{k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số sau:

a) $y=-4\cos 2x$

b) $y=\sin^3 4x-3\sin x$

c) $y=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}$

d) $y=3\sin x+2\cos x-1$

Đáp số

a) Hàm số $y=f(x)=-4\cos 2x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x)=-4\cos (-2x)=-4\cos 2x=f(x).$

Vậy $f(x)$ là hàm số chẵn.

b) Hàm số $y=f(x)=\sin^3 4x-3\sin x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(x-)=\sin^3 (-4x)-3\sin (-x) = -sin^3 4x+3\sin x=-f(x).$ Vậy hàm số là hàm số lẻ.

c) Hàm số $y=f(x)=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x \ne 0$ và $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi}{2}.$ Do đó tập xác định là $D=\mathbb{R} \setminus \left\{k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

Với mọi $x \in D \Leftrightarrow x\ne k\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow -x \ne k\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow -x \in D.$

Ta có: $f(-x)=\dfrac{\tan (-x)+\cot (-x)}{\sin (-x)}=\dfrac{-\tan x-\cot x}{-\sin x}=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}=f(x)$.

Vậy $f(x)$ là hàm số chẵn.

d) Hàm số $y=f(x)=3\sin x + 2\cos x -1$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-4, f\left(\dfrac{\pi}{2} \right)=2 \Rightarrow f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \ne \pm f\left(\dfrac{\pi}{2} \right)$

Do đó, hàm số không chẵn, không lẻ.

3. Hàm số tuần hoàn

  • Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập hợp $\mathbb{D}$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T \ne 0$ sao cho với mọi $x \in \mathbb{D}$ ta có $x \pm T \in \mathbb{D} \ \text{và} \ f(x+T)=f(x).$
  • Nếu có số dương T nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.
  •  Hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$.
  •  Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $T= \pi$.
  •  Ta chứng minh được hàm số $y=A \sin (ax+b)+B$ tuần hoàn với chu kì $T=\dfrac{2 \pi}{|a|}.$
  •  Nếu hàm số $y=f(x)$ có chu kì $T_1$, hàm số $y=g(x)$ có chu kì $T_2$ thì hàm số $y=f(x) \pm g(x)$ có chu kì là BCNN của $T_1$ và $T_2$.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng hàm số $y=\cos 2x$ tuần hoàn với chu kì là $\pi$.

Đáp số

Hàm số $y=f(x)=\cos 2x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

$\forall x \in D$, ta có: $x \pm \pi \in D;$

$f(x+\pi)=\cos 2(x+\pi)=\cos (2x+2\pi)=\cos 2x =f(x).$

Vậy hàm số $y=\cos 2x$ tuần hoàn.

Ta chứng minh chu kì của hàm số bằng $\pi$.

Giả sử có số T thỏa mãn $0<T<\pi$ và $\cos 2(x+T)=\cos 2x  (*), \forall x$.

Cho $x=0$ khi đó đẳng thức (*) trở thành:

$\cos 2T=\cos 0 \Leftrightarrow \cos 2T=1 \Leftrightarrow T=k\pi.$

Vì $0<T<\pi$ nên hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\pi$.

II. Bài tập

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\dfrac{3+\sin x}{\cos x}$

b) $y=\tan \left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)$

c) $y=\sqrt{1+2\tan^2 x}+\dfrac{3}{\sin x}$

d) $y=\sin\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}$

Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y=3\sin (x+\pi)+\tan 3x$

b) $y=2\sin^2 x+\cot x -2$

c) $y=\cos^3 x+\dfrac{\tan 3x}{\sin x}$

d) $y=\dfrac{\cos x}{2\sin x-1}$

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $y=1-3\sin 5x$

b) $y=\sqrt{4-\cos^2 3x}+1$

c) $y=2\sin^2 x+5\cos 2x-4\cos^2 x$

d) $y=\sin^2 x-2\sin x -3$

Phép biến hình. Phép dời hình.

Leave a reply

1. Phép biến hình   

a) Định nghĩa. Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm $M$ của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất $M’ $ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

  • Ta thường kí hiệu phép biến hình là $F$  và viết $F(M) = M’ $ hay $M’ = F(M)$, khi đó $M’ $ gọi là ảnh của điểm $M$ qua phép biến hình $F$.
  • Phép biến hình biến mỗi điểm của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
  • Nếu $H$ là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu $H’ = F(H)$ là tập các điểm $M’ = F(M)$, với mọi điểm $M$ thuộc $H$. Khi đó ta nói $F$ biến hình $H$ thành $H’ $ hay $H’ $ là ảnh của $H$ qua phép biến hình $F$.

b) Ví dụ

  1. Cho điểm $O$, qui tắc cho tương ứng điểm $M$ với điểm $M’$ sao cho $\overrightarrow{OM} = -\overrightarrow{OM’}$ là một phép biến hình. Phép này được gọi là phép đối xứng tâm $O$.
  2. Cho đường thẳng $\Delta$, qui tắc cho tương ứng điểm $M$ với điểm $M’$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên $\Delta$ là một phép biến hình.
  3. Cho số thực $r  >0$, qui tắc cho tương ứng điểm $M$ với $M’$ sao cho $MM’ = r$ không phải là phép biến hình.

c) Biểu thức toạ độ của phép biến hình

Trong mặt phẳng toạ độ xét phép biến hình $f: M(x;y) \mapsto M'(x’;y’)$, khi đó $x’ = g(x;y), y’ = h(x;y)$ thì đây được gọi là biểu thức toạ độ của phép biến hình.

Ví dụ. Cho phép biến hình $f: M(x;y) \mapsto M'(x’;y’)$ thoả $x’ = 2x + 1, y’ = y-1$.

2. Phép dời hình

a) Định nghĩa. Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. 

Trong ví dụ 1 là phép dời hình, ví dụ 2 không là phép dời hình.

b) Tính chất. Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng giữ nguyên thứ tự, biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đó; biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, biến góc thành góc bằng góc đó,…

Các phép dời hình đã học: Phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục.

Quy tắc cộng, quy tắc nhân

Leave a reply

I. Lý thuyết

1. Quy tắc cộng

  • Giả sử một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có $n$ cách thực hiện phương án A và $m$ cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n+m$ cách.
  • Tổng quát: “Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong $k$ phương án $A_{1},A_{2},…,A_{k}.$ Có $n_{1}$ cách thực hiện phương án $A_{1}$, $n_{2}$ cách thực hiện phương án $A_{2},$…, và $n_{k}$ cách thực hiện phương án $A_{k}$. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n_1+n_2+…+n_k$ cách.

Ví dụ 1. Một hộp đựng 8 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh lá. Bạn Khoa muốn chọn một viên bi để chơi, hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Để chọn 1 viên bi ta có thể chọn:

  • Bi trắng: có 8 cách chọn.

  • Bi đỏ: có 5 cách chọn.

  • Bi xanh lá: có 6 cách chọn.

Nên tổng cộng có: 8+5+6=19 cách chọn.

2. Quy tắc nhân

  • Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo $n$ cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể thực hiện theo $m$ cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $m.n$ cách.
  • Tổng quát: “Giả sử một công việc nào đó gồm $k$ công đoạn $A_{1},A_{2},…,A_{k}.$ Có $n_{1}$ cách thực hiện công đoạn $A_{1}$, $n_{2}$ cách thực hiện công đoạn $A_{2},$…, và $n_{k}$ cách thực hiện công đoạn $A_{k}$. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n_1.n_2…n_k$ cách.

Ví dụ 2. Trong một đội văn nghệ có 8 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi song ca nam nữ?

Để chọn 1 đôi nam nữ, ta phải chọn ra 1 bạn nữ, rồi chọn 1 bạn nam.

  • Để chọn 1 bạn nữ có 6 cách chọn.

  • Chọn 1 bạn nam có 8 cách chọn.

Nên có 6.8=48 cách chọn.

II. Bài tập

1.Từ tập $A=\left{2,3,4,5,6\right}$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số phân biệt và thỏa mãn:

a) Bắt đầu bằng số 3.

b) Không bắt đầu bằng số 2.

c) Chia hết cho 5.

d) Có hai chữ số 4 và 5 đứng gần nhau.

  1. Từ các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số:

a) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9.

b) Có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4.

c) Có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.

  1. Có hai dãy ghế, mỗi dạy có 5 ghế hướng vào nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nam, 5 bạn nữ ngồi vào đó thoả:

a) Sắp xếp bất kì.

b) Đối diện một bạn nam và một bạn nữ.

  1. Có bao nhiêu bộ số $(a,b, c)$ thoả $a, b, c \in {1, 2, …, 50}$ và $a<b, a<c$.

  2. Từ tập $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ có thể lập được bao nhiêu số không lớn hơn 3000 và có các chữ số khác nhau.

 

 

 

Hoán vị

Leave a reply

I. Lí thuyết

  • Cho tập hợp $A$ có $n (n \ge 1)$ phần tử. Khi sắp xếp $n$ phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập $A$ (gọi tắt là một hoán vị của $A$).
  • Số các hoán vị của một tập gồm $n$ phần tử là: $$ P_{n}=n!=n(n-1)(n-2)…2.1 $$
  • Qui ước: $0!=1.$

Ví dụ 1. Từ tập hợp $X=\left\{1,2,3,4,5\right\}$, ta có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từng đôi một?

Đáp số

Gọi số cần tìm là $\overline{abcde}$, ta thấy số cần tìm là một hoán vị của các phần tử của $X$, vậy số cách chọn là: $P_5=5!=120$.

Ví dụ 2. Có 7 quyển sách Toán, 6 quyển sách Lí và 4 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp số sách trên lên một kệ sách dài, sao cho:

a) Các quyển sách được xếp tùy ý.

b) Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau.

Đáp số

a) Mỗi cách xếp tùy ý là một hoán vị của 17 phần tử. Vậy số cách chọn là $17!$.

b) Ta chia thao tác xếp thỏa mãn yêu cầu thành 4 công đoạn:

Bước 1: Hoán vị 7 quyển sách Toán với nhau.

Bước 2: Hoán vị 6 quyển sách Lí với nhau.

Bước 3: Hoán vị 4  quyển sách Hóa với nhau.

Bước 4: Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau.

Vậy số cách xếp là: $7!.6!.4!.3!$

II. Bài tập

1.Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam và 5 nữ vào 2 dãy ghế trên, có bao nhiêu cách nếu:

a) Nam, nữ xếp tùy ý.

b) Nam 1 dãy, nữ 1 dãy.

2. Có 10 học sinh lớp 10 và 10 học sinh lớp 12 xếp vào 4 dãy ghế, mỗi dãy 5 học sinh. Có bao nhiêu cách xếp cách học sinh cùng lớp ngồi nối đuôi nhau. Bao nhiêu cách xếp học sinh ngồi cạch nhau thì khác lớp

3. Xét tập hợp các số tự nhiên

a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau và các chữ số đều lớn hơn 5.

b) Tính tổng tất cả các số đó.

Đáp số
  1. a) $10!$, b) $2.5!.5!$
  2. $2(10!)^2$
  3. a) $24$, b) $199980$.