Tag Archives: Lop8

Đề và đáp án ôn thi học kì 1 – Toán 8

Leave a reply

Thời gian trôi qua rất nhanh, mới ngày nào bước vào năm học giờ đã chuẩn bị thi học kì một. Trong giai đoạn ôn thi căng thẳng này, các em cần phải chú một số điều sau đây:

  • Tổng hợp các kiến thức đã học, làm lại các dạng bài tập thầy cô hay ra.
  • Chỗ nào hổng phải hỏi bạn, hỏi thầy để được khắc phục ngay lập tức.
  • Rủ các bạn học chung để đạt hiệu quả cao nhất.
  • Giải các đề ôn tập là một trong những việc quan trọng giúp hệ thống kiến thức và rèn luyện trình bày bài toán, ngoài ra còn phải canh thời gian để làm kịp giờ.

Để giúp các em ôn thi tốt các Giáo viên trẻ của Star Education có chọn lựa và giải một số đề toán ôn thi học kì một. Chúc các em thành công.

Link Download

STAR_L8_ON-TAP_1920 (1) (Phiên bản V1.1 – sẽ update chỉnh sửa sau)

Rút gọn phân thức cơ bản

Leave a reply

Phương pháp giải: Để rút gọn các phân thức đơn giản dạng $\dfrac{A}{B}$, ta làm các bước sau:

  • Phân tích nhân tử $A$ và $B$.
  • Rút gọn cho thừa số chung của $A$ và $B$.

Ví dụ 1. Rút gọn phân thức

a) $\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2}$
b) $\dfrac{ax^2+2axy+ay^2}{ax^3+ay^3}$

Giải

a) $\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2}$

$=\dfrac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}$

$=\dfrac{x-y}{x+y}$.

b) $\dfrac{ax^2+2axy+ay^2}{ax^3+ay^3}$

$=\dfrac{a(x^2+2xy+y^2)}{a(x^3+y^3)}$

$=\dfrac{(x+y)^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}$

$=\dfrac{x+y}{x^2-xy+y^2}$.

 

Ví dụ 2. Rút gọn phân thức

a) $\dfrac{x^3-3x+2}{x^2-2x+1}$
b) $ \dfrac{x^2 -xy -x + y}{x^2 + xy – x- y}. $

Giải

a) $\dfrac{x^3-3x+2}{x^2-2x+1}$

$ =\dfrac{x^3 -x -2x + 2}{(x-1)^2} $

$ =\dfrac{(x^3 -x) -(2x – 2)}{(x-1)^2} $

$ =\dfrac{x(x-1)(x+1) -2(x – 1)}{(x-1)^2} $

$ =\dfrac{(x-1)[x(x+1) -2]}{(x-1)^2} $

$ =\dfrac{x(x+1) -2}{x-1} $.

b) $ \dfrac{x^2 -xy -x + y}{x^2 + xy – x- y} $

$ =\dfrac{(x^2 -xy) -(x – y)}{(x^2 + xy) – (x+y)}$

$ =\dfrac{x(x -y) -(x – y)}{x(x + y) – (x+y)}$

$ =\dfrac{(x -y)(x-1)}{(x + y) (x-1)}$

$ =\dfrac{x -y}{x+y}$.

Bài tập

Bài 1. Rút gọn các phân thức sau

a) $ \dfrac{6x^3y^2}{9x^2y} $.
b) $ \dfrac{12x^3y^2}{18xy^5}. $
c) $ \dfrac{6xy^3}{4x^2y}. $
d) $ \dfrac{15x(x+5)^3}{20x^2(x+5)} $
e) $ \dfrac{8(x^2 – xy)}{12x(x-y)^2} $.

Bài 2. Rút gọn các phân thức sau

a) $ \dfrac{x^2 + xy + x+ y}{x^2 -xy + x -y} .$
b) $ \dfrac{25(x-2)}{20x(2-x)} $.
c) $ \dfrac{x(4-x)^2}{x-4}. $
d) $ \dfrac{(x-y)^2}{x(y-x)^3} .$
Bài 3. Rút gọn các phân thức sau

a) $ \dfrac{6x^2y^2}{8xy^5}. $
b) $ \dfrac{10xy^2(x+y)}{15xy(x+y)^3} $
c) $ \dfrac{2x^2 +2x}{x+1}. $
d) $ \dfrac{x(x-2)}{(2-x)^3}. $

Bài 4. Rút gọn các phân thức

a) $ \dfrac{x^4-4x^2}{x(x+2)^2}. $
b) $ \dfrac{x^2 + 2x}{x^2+4x + 4}. $
c) $ \dfrac{8x(1-x)}{12x^2(x-1)^3}. $
d) $ \dfrac{xy -x^2}{y(x-y)^3}. $
e) $ \dfrac{x^3 – y^3}{xy^2 – x^2y}. $

Bài 5. Rút gọn các phân thức

a) $ \dfrac{36(x-2)^3}{32-16x} $.
b) $ \dfrac{x^2 – xy}{5y^2 – 5xy}. $
c) $ \dfrac{3x^2-12x+12}{x^4 – 8x}. $
d) $ \dfrac{7x^2 +14x+7}{3x^2+3x}. $

Phép nhân các phân thức

Leave a reply

Quy tắc:

  • Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau:

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{A.C}{B.D}$.

  • Muốn chia phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$ khác $0$, ta nhân phân thức $\dfrac{A}{B}$  với phân thức nghịch đảo của phân thức $\dfrac{C}{D}$: $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C}$ với $\dfrac{C}{D} \neq 0.$

Ví dụ 1:  Thực hiện phép nhân hai phân thức:

$\dfrac{{2{{\rm{x}}^2}}}{{x – y}}.\dfrac{y}{{5{{\rm{x}}^3}}}$.

Giải

$\dfrac{{2{{\rm{x}}^2}}}{{x – y}}.\dfrac{y}{{5{{\rm{x}}^3}}}$

=$\dfrac{2x^2.y}{(x-y).5x^3}$

=$\dfrac{2y}{5x(x-y)}$.

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia hai phân thức:

$\dfrac{{5x – 15}}{{4x + 4}}:\dfrac{{x{}^2 – 9}}{{{x^2} + 2x + 1}}$

Giải

$\dfrac{{5x – 15}}{{4x + 4}}:\dfrac{{x{}^2 – 9}}{{{x^2} + 2x + 1}}$

$=\dfrac{{5x – 15}}{{4x + 4}}.\dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x{}^2 – 9}}$

$=\dfrac{{5(x – 3)}}{{4(x + 1)}}.\dfrac{(x+1)^2}{(x-3)(x+3)}$

$=\dfrac{{5(x + 1)}}{4(x+3)}$.

Bài tập

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{5x + 10}}{{4x – 8}}\,.\,\dfrac{{4 – 2x}}{{x + 2}}$
b)  $\dfrac{{{x^2} – 36}}{{2x + 10}}\,.\,\dfrac{3}{{6 – x}}$

c) $\dfrac{{{x^2} – 9{y^2}}}{{{x^2}{y^2}}}.\dfrac{{3{\rm{x}}y}}{{2{\rm{x}} – 6y}}$
d) $\dfrac{{3{{\rm{x}}^2} – 3{y^2}}}{{5{\rm{x}}y}}.\dfrac{{15{{\rm{x}}^2}y}}{{2y – 2{\rm{x}}}}$.

Bài 2. Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{6x + 48}}{{7x – 7}}:\dfrac{{{x^2} – 64}}{{{x^2} – 2x + 1}}$

b) $\dfrac{{4x – 24}}{{5x + 5}}:\dfrac{{{x^2} – 36}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
c) $\dfrac{{3x + 21}}{{5x + 5}}:\dfrac{{{x^2} – 49}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
d) $\dfrac{{3 – 3x}}{{{{(1 + x)}^2}}}:\dfrac{{6{x^2} – 6}}{{x + 1}}$.

Bài 3. Thực hiện phép tính:

a) $ \dfrac{5x-10}{x^2+7} :(2x-4). $
b) $ (x^2-25):\dfrac{2x+10}{3x-7}. $
c) $ \dfrac{x^2+x}{5x^2-10x+5}: \dfrac{3x+3}{5x-5}. $
d) $ (x^-25):\dfrac{2x+10}{3x-7}. $

Bài 4. Thực hiện phép tính:

a) $ \dfrac{27-x^3}{3xy^3} : \dfrac{14x+14}{x^2y}. $
b) $ \dfrac{8xy}{3x-1} : \dfrac{12xy^3}{5-15x}. $
c) $ \dfrac{7x+2}{3xy^3} : \dfrac{14x+4}{x^2y}. $
d) $ (4x^2 -16):\dfrac{3x+6}{7x-2}. $
e) $ \dfrac{3x^3+3}{x-1} :(x^2 -x+1). $

Bài 5. Rút gọn biểu thức

a)$ \dfrac{x+1}{x+2} : \dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}. $
b) $ \dfrac{x+1}{x+2}\cdot \dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}. $

c) $ \dfrac{x+1}{x+2} : \dfrac{x+2}{x+3} \cdot \dfrac{x+3}{x+1}. $
d) $ \dfrac{x+1}{x+2} : \left(\dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}\right) $.

Cộng trừ hai phân thức

1 Reply

Quy tắc:

  • Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta giữ nguyên mẫu thức và cộng các tử thức.
  • Muốn cộng hai phân thức không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu thức rồi thực hiện phép cộng.
  • Muốn trừ phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$, ta cộng $\dfrac{A}{B}$ với phân thức đối của $\dfrac{C}{D}$: $\dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left(-\dfrac{C}{D}\right).$

Ví dụ 1: $\dfrac{{5xy – 4y}}{{2{x^2}{y^3}}} + \dfrac{{3xy + 4y}}{{2{x^2}{y^3}}}$

Giải

$\dfrac{{5xy – 4y}}{{2{x^2}{y^3}}} + \dfrac{{3xy + 4y}}{{2{x^2}{y^3}}}$

=$\dfrac{{5xy – 4y+3xy+4y}}{{2{x^2}{y^3}}} $

=$\dfrac{{8xy}}{{2{x^2}{y^3}}} $

=$\dfrac{{4}}{{2{x}{y^2}}} $.

Ví dụ 2: $\dfrac{{3{\rm{x}}}}{{5{\rm{x}} + 5y}} – \dfrac{x}{{10{\rm{x}} – 10y}}$

Giải

Ta có:

$\dfrac{3x}{5x+5y}=\dfrac{3x}{5(x+y)}$

$\dfrac{x}{10x-10y}=\dfrac{x}{10(x-y)}$

MTC: $10(x+y)(x-y)$

$\dfrac{3x}{5x+5y}-\dfrac{x}{10(x-y)}$

$=\dfrac{3x.2(x-y)}{2.5(x+y)(x-y)}-\dfrac{x(x+y)}{10(x-y)(x+y)}$

$=\dfrac{6x^2-6xy-x^2-xy}{10(x-y)(x+y)}$

$=\dfrac{5x^2-7xy}{10(x-y)(x+y)}$.

 

Ví dụ 3: $\dfrac{x-4}{4x-16} + \dfrac{4+x}{8-2x}$.

Giải

Ta có:

$\dfrac{x-4}{4x-16}=\dfrac{x-4}{4(x-4)}$

$\dfrac{4+x}{8-2x}=\dfrac{4+x}{2(4-x)}$

MTC: $4(x-4)$

$\dfrac{x-4}{4x-16}+\dfrac{4+x}{8-2x}$

$=\dfrac{x-4}{4(x-4)}+\dfrac{(4+x).(-2)}{2(4-x).(-2)}$

$=\dfrac{x-4-8-2x}{4(x-4)}$

$=\dfrac{-x-12}{4(x-4)}$.

Ví dụ 4: $\dfrac{y+1}{2y-2} +\dfrac{-2y}{y^2-1}$

Giải

Ta có:

$\dfrac{y+1}{2y-2}=\dfrac{y+1}{2(y-1)}$

$\dfrac{-2y}{y^2-1}=\dfrac{-2y}{(y-1)(y+1)}$

MTC: $2(y+1)(y-1)$

$\dfrac{y+1}{2y-2} +\dfrac{-2y}{y^2-1}$

$=\dfrac{(y+1)(y+1)}{2(y+1)(y-1)} +\dfrac{-2y.2}{2(y-1)(y+1)}$

$=\dfrac{(y+1)^2}{2(y+1)(y-1)} +\dfrac{-4y}{2(y-1)(y+1)}$

$=\dfrac{y^2+2y+1-4y}{2(y+1)(y-1)}$

$=\dfrac{y^2-2y+1}{2(y+1)(y-1)}$

$=\dfrac{(y-1)^2}{2(y+1)(y-1)}$

$=\dfrac{y-1}{2(y+1)}$.

Bài tập

Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{x – 5}}{5} + \dfrac{{1 – x}}{5}$
b) $\dfrac{{x – y}}{8} + \dfrac{{2y}}{8}$
c) $\dfrac{{{x^2} – x}}{{xy}} + \dfrac{{1 – 4{\rm{x}}}}{{xy}}$
d)  $\dfrac{{5{\rm{x}}{y^2} – {x^2}y}}{{3{\rm{x}}y}} + \dfrac{{4{\rm{x}}{y^2} + {x^2}y}}{{3{\rm{x}}y}}$ .

Bài 2.Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{2{\rm{x}} + 4}}{{10}} + \dfrac{{2 – x}}{{15}}$

b)  $\dfrac{{3{\rm{x}}}}{{10}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{15}} + \dfrac{{2 – x}}{{20}}$
c) $\dfrac{{x + 1}}{{2{\rm{x}} – 2}} + \dfrac{{{x^2} + 3}}{{2 – 2{{\rm{x}}^2}}}$
d)  $\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} – 4{\rm{x}}}} + \dfrac{6}{{6 – 3{\rm{x}}}} + \dfrac{1}{{x + 2}}$.

Bài 3. Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{4x + 1}}{2} – \dfrac{{3{\rm{x}} + 2}}{3}$
b)  $\dfrac{{x + 3}}{x} – \dfrac{x}{{x – 3}} + \dfrac{9}{{{x^2} – 3{\rm{x}}}}$
c)  $\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{1}{{{x^2} + x}}$
d) $\dfrac{1}{{3{\rm{x}} – 2}} – \dfrac{4}{{3{\rm{x}} + 2}} – \dfrac{{ – 10{\rm{x}} + 8}}{{9{{\rm{x}}^2} – 4}}$
e)  $\dfrac{3}{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{2}{x}$.

Bài 4. Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{4{{\rm{a}}^2} – 3{\rm{a}} + 5}}{{{a^3} – 1}} – \dfrac{{1 – 2{\rm{a}}}}{{{a^2} + a + 1}} – \dfrac{6}{{a – 1}}$
b) $\dfrac{{5{{\rm{x}}^2} – {y^2}}}{{xy}} – \dfrac{{3{\rm{x}} – 2y}}{y}$
c) $\dfrac{{x + 9y}}{{{x^2} – 9{y^2}}} – \dfrac{{3y}}{{{x^2} + 3{\rm{x}}y}}$

d)  $\dfrac{{3x + 2}}{{{x^2} – 2x + 1}} – \dfrac{6}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{{3x – 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}$

d) ${x^2} + 1 – \dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} + 1}}$.

Quy đồng hai phân thức

Leave a reply

Quy tắc: Quy đồng MT (mẫu thức) nhiều phân thức.

  • Phân tích các MT thành nhân tử rồi tìm MTC (mẫu thức chung)

  • Tìm NTP (nhân tử phụ) của mỗi mẫu thức.

  • Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với NTP tương ứng.

Ví dụ 1: Tìm mẫu thức chung và quy đồng:
$\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} – 1}}$,  $\dfrac{x-1}{x+1}, \dfrac{4}{x-1}$

Giải

MT1: $x^2-1=(x -1)(x+1)$

MT2: $x+1$

MT3: $x-1$

MTC: $(x-1)(x+1)$

$\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} – 1}}=\dfrac{x^4 + 1}{(x-1)(x+1)}$

$\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}$

$\dfrac{4(x+1)}{(x-1)(x+1)}$.

Ví dụ 2: Tìm mẫu thức chung và quy đồng:
$\dfrac{5}{{2{\rm{x}} – 4}}$, $\dfrac{4}{{3{\rm{x}} – 9}}$, $\dfrac{7}{{50 – 25{\rm{x}}}}$

Giải

MT1:$2x-4=2(x-2)$

MT2:$3x-9=3(x-3)$

MT3:$50-25x=-25(x-2)$

MTC: $150(x-2)(x-3)$

$\dfrac{5}{2x – 4}=\dfrac{5.75(x-3)}{150(x-2)(x-3)}=\dfrac{375(x-3)}{150(x-2)(x-3)}$

$\dfrac{4}{3x – 9}=\dfrac{4.50(x-2)}{150(x-2)(x-3)}=\dfrac{200(x-2)}{150(x-2)(x-3)}$

$\dfrac{7}{50-25x}=\dfrac{-7.6(x-3)}{150(x-2)(x-3)}=\dfrac{-42(x-3)}{150(x-2)(x-3)}$.

Bài tập

Bài 1. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{4}{3x^2y} $ và $ \dfrac{3}{4xy^3}. $
b) $ \dfrac{5}{14x^2y^3} $ và $ \dfrac{8}{21x^4y^2}. $
c) $ \dfrac{5}{2x+2} $ và $ \dfrac{9}{x^2 -1}. $
d) $ \dfrac{1}{4-2x} $ và $ \dfrac{3}{x^2-4}. $

Bài 2. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{1}{3x-9} $ và $ \dfrac{2}{x^2 -6x +9}. $
b) $ \dfrac{7}{4-2x} $ và $ \dfrac{2}{x^2 – 4x + 4}. $
c) $ \dfrac{1}{x-1} $ ; $ \dfrac{2}{x^3-1} $ và $ \dfrac{3}{x^2 + x+1}. $
d) $ \dfrac{3}{6-2x} $; $ \dfrac{2}{x-3} $ và $ \dfrac{-5}{3x-9}. $

Bài 3. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{x-1}{x^2-9} $ và $ \dfrac{2xy +1}{2x+6} .$

b) $ \dfrac{7x-1}{2x^2 + 6x} $ và $ \dfrac{5-3x}{x^2 -9}. $

c) $ \dfrac{3x+y}{y^2 – 2xy + x^2} $ và $ \dfrac{y+1}{2x-2y}. $

d) $ \dfrac{x-1}{2} $ và $ \dfrac{x^2 }{x^2 – xy}. $

Bài 4. Quy đồng các mẫu thức các phân thức sau.

a) $ \dfrac{4x^2 -3x +5}{x^3 -1} $, $ \dfrac{1-2x}{x^2+x+1} $ và $ -2 $.
b) $ \dfrac{10}{x+2} $, $ \dfrac{5}{2x-4} $ và $ \dfrac{1}{6-3x}. $
c) $ \dfrac{5x^2}{x^3-6x^2} $; $ \dfrac{3x^2 +18x}{x^2 – 36}. $
d) $ \dfrac{5x^2}{x^3 + 6x^2 +12x +8} $; $ \dfrac{4x}{x^2 +4x+4} $ và $ \dfrac{3}{2x+4}. $

Bài 5. Tìm mẫu thức chung và quy đồng các phân thức:

a) $\dfrac{5}{{2{\rm{x}} – 4}}$,
b) $\dfrac{4}{{3{\rm{x}} – 9}}$, $\dfrac{7}{{50 – 25{\rm{x}}}}$
c) $\dfrac{x}{{4 + 2{\rm{a}}}}$, $\dfrac{y}{{4 – 2{\rm{a}}}}$, $\dfrac{z}{{4 – {a^2}}}$
d) $\dfrac{{2{\rm{a}}}}{{{b^2}}}$, $\dfrac{x}{{2{\rm{a}} + 2b}}$, $\dfrac{y}{{{a^2} – {b^2}}}$
e) $\dfrac{3}{{2{\rm{x}} + 6}}$, $\dfrac{{x – 2}}{{{x^2} + 6{\rm{x}} + 9}}$.

Bài 6. Tìm mẫu thức chung và quy đồng các phân thức:

a) $\dfrac{x}{{2{{\rm{x}}^2} + 7{\rm{x}} – 15}}$, $\dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + 3{\rm{x}} – 10}}$, $\dfrac{1}{{x + 5}}$
b) $\dfrac{1}{{ – {x^2} + 3{\rm{x}} – 2}}$, $\dfrac{1}{{{x^2} + 5{\rm{x}} – 6}}$, $\dfrac{1}{{ – {x^2} + 4{\rm{x}} – 3}}$
c) $\dfrac{3}{{{x^3} – 1}}$, $\dfrac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} + x + 1}}$, $\dfrac{x}{{x – 1}}$
d) $\dfrac{x}{{{x^2} – 2{\rm{x}}y + {y^2} – {z^2}}}$, $\dfrac{y}{{{x^2} + 2yz – {y^2} – {z^2}}}$, $\dfrac{z}{{{x^2} – 2xz – {y^2} + {z^2}}}$.

Định nghĩa phân thức đại số – Điều kiện để phân thức có nghĩa

Leave a reply

Định nghĩa: Phân thức đại số là biểu thức có dạng $ \dfrac{A}{B} $ , trong đó $A$, $B$ là những đa thức và $B$ khác $0$. $A$ được gọi là tử, $B$ được gọi là mẫu.

Ví dụ: 

1.Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

a) $\dfrac{{{x^2} – 4}}{{9{x^2} – 16}}$
b) $\dfrac{{2x – 1}}{{{x^2} – 4x + 4}}$
c)  $\dfrac{x}{x^2-3y^2+2xy}$.

Giải

a) $\dfrac{{{x^2} – 4}}{{9{x^2} – 16}}$

Phân thức có nghĩa khi:

$9x^2-16 \neq 0$

$(3x-4)(3x+4)\neq 0$

$3x-4 \neq 0 $ và $3x+4 \neq 0$

$x \neq \dfrac{4}{3}$ và $x \neq \dfrac{-4}{3}$.
b) $\dfrac{{2x – 1}}{{{x^2} – 4x + 4}}$

Phân thức có nghĩa khi:

$x^2-4x+4 \neq 0$

$(x-2)^2\neq 0$

$x-2  \neq 0$

$x \neq 2$.

c)  $\dfrac{x}{x^2-3y^2+2xy}$.

Phân thức có nghĩa khi:

$x^2-3y^2+2xy \neq 0$

$x^2+2xy+y^2-4y^2\neq 0$

$(x+y)^2-4y^2  \neq 0$

$(x+y-2y)(x+y+2y) \neq 0$

$(x-y)(x+3y) \neq 0$

$x-y \neq 0$ và $x+3y \neq 0$

$x \neq y$ và $x \neq -3y$.

2.  Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa với mọi giá trị của biến.

a) $\dfrac{{3x – 5}}{{{{(x – 1)}^2} + 2}}$
b)  $\dfrac{4x^2-y^2}{x^2-2x+1+y^2+4x+5}$

Giải

a) $\dfrac{{3x – 5}}{{{{(x – 1)}^2} + 2}}$

Phân thức có nghĩa khi

$(x-1)^2+2 \neq 0$

Vì $(x-1)^2 \geq 0$ với mọi $x$

Nên $(x-1)^2+2 > 0$ với mọi $x$.
b)  $\dfrac{4x^2-y^2}{x^2-2x+1+y^2+4x+5}$

Phân thức có nghĩa khi

$x^2-2x+1+y^2+4x+5 \neq 0$

$(x^2-2x+1)+(y^2+4x+4)+1 \neq 0$

$(x-1)^2+(y+2)^2+1 \neq 0$

Vì $(x-1)^2 \geq 0$ với mọi $x$ và $(y+2)^2  \geq 0$ với mọi $y$

Nên $(x-1)^2+(y+2)^2+1 > 0$ với mọi $x,y$.

Bài tập

Bài 1. Tìm điều kiện của biến để phân thức có nghĩa.

a) $\dfrac{{{x^2} – 4}}{{{x^2} – 1}}$
b)  $\dfrac{{5x – 3}}{{2{x^2} – x}}$
c)  $\dfrac{{{x^2} – 5{\rm{x}} + 6}}{{{x^2} – 1}}$
d)  $\dfrac{2}{{(x + 1)(x – 3)}}$
e) $\dfrac{{2{\rm{x}} + 1}}{{{x^2} – 5{\rm{x}} + 6}}$.

Bài 2. Tìm điều kiện của biến để phân thức có nghĩa.

a) $\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}}$
b)  $\dfrac{{{x^2}y + 2x}}{{{x^2} – 2x + 1}}$
c) $\dfrac{{5x + y}}{{{x^2} + 6x + 10}}$
d) $\dfrac{{x + y}}{{{{(x + 3)}^2} + {{(y – 2)}^2}}}$.

Bài 3. Chứng minh các biểu thức sau luôn có nghĩa

a) $\dfrac{3}{{{x^2} + 1}}$
b)  $\dfrac{{5x + 1}}{{{x^2} + 2x + 4}}$
c)  $\dfrac{{{x^2} – 4}}{{ – {x^2} + 4{\rm{x}} – 5}}$
d) $\dfrac{{x + 5}}{{{x^2} + x + 7}}$.

 

Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Leave a reply

Với $A,B$ là các biểu thức tùy ý, ta có:

  • $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
  • $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$
  • $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$
  • $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$
  • $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$
  • $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$
  • $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$

Ví dụ 1. Khai triển các biểu thức sau:

a) $(x+3)^2$
b) $(2x-1)^2$
c) $(4x-6)^2$
d) $(x-2y)^2$.

Giải

a) $(x+3)^2$

$=x^2+2.x.3+3^2$

$=x^2+6x+9$
b) $(2x-1)^2$

$=(2x)^2-2.2x.1+1^2$

$=4x^2-4x+1$
c) $(4x-6)^2$

$=(4x)^2-2.4x.6+6^2$

$=16x^2-48x+36$
d) $(x-2y)^2$

$=x^2-2.x.2y+(2y)^2$

$=x^2-4xy+4y^2$.

 

Ví dụ 2. Khai triển các biểu thức sau:

a) $(x+2)^3$
b) $(2x-1)^3$
c) $(x+2y)^3$.

Giải

a) $(x+2)^3$

$=x^3+3x^2.2+3x.2^2+2^3$

$=x^3+6x^2+12x+8.$
b) $(2x-1)^3$

$=(2x)^3-3.(2x)^2.1+3.2x.1^2-1^3$

$=8x^2-12x^2+6x-1$
c) $(x+2y)^3$

$=x^3+3x^2.2y+3x.(2y)^2+(2y)^3$

$=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3$.

 

Ví dụ 3. Viết lại các biểu thức sau thành bình phương của một biểu thức:

a) $x^2+4x+4$
b) $4x^2-4x+1$
c) $4x^2-12xy+9y^2$.

Giải

a) $x^2+4x+4$

$=x^2+2.2x+2^2$

$=(x+2)^2$
b) $4x^2-4x+1$

$=(2x)^2-2.2x.1+1^2$

$=(2x-1)^2$
c) $4x^2-12xy+9y^2$

$=(2x)^-2.2x.3y+(3y)^2$

$=(2x-3y)^2$.

Ví dụ 4. Viết lại các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một biểu thức:

a) $x^3-3x^2+3x-1$
b) $x^3+6x^2+12x+8$
c) $8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3$.

Giải

a) $x^3-3x^2+3x-1$

$=x^3-3x^2.1+3x.1^2-1^3$

$=(x-1)^3$
b) $x^3+6x^2+12x+8$

$=x^3+3.x^2.2+3.x.2^2+2^3$

$=(x+2)^3$
c) $8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3$

$=(2x)^3-3.(2x)^2.y+3.2x.y^2-y^3$

$=(2x-y)^3.$

 

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$
b) $(3x+5y)(9x^2-15xy+25y^2)$
c) $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2) - (2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$.

Giải

a) $(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$

$=(x-2y)[x^2+x.2y+(2y)^2]$

$=x^3-8y^3.$

b) $(3x+5y)(9x^2-15xy+25y^2)$

$=(3x+5y)[(3x)^2-3x.5y+(5y)^2]$

$=27x^3+125y^3$
c) $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2) – (2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$

$=(2x-y)[(2x)^2+2xy+y^2] – (2x+y)[(2x)^2-2xy+y^2]$

$=8x^3-y^3-(8x^3+y^3)$

$=0$.

 

Bài tập cơ bản

Bài 1. Thực hiện các phép tính

a)$ 2x(x-3). $
b)$ (2x-5)x.$
c)$ \dfrac{1}{2}x(-2x^2+5). $
d)$ -2x^3y(2x^2-3y+5yz). $
e)$ \dfrac{2}{3}x^2y(3xy-x^2+y). $

Bài 2. Thực hiện các phép tính

a) $ x^2 \left(5x^3 - x^2 +y\right)\dfrac{2}{3}x^2y. $
b) $ (4x^3 - 5xy +2x)\left(-\dfrac{1}{2}xy\right) .$
c) $ 3x(5x^2 - 2x- 1). $
d) $ (x^2 + 2xy -3)(-xy). $
e) $ \dfrac{1}{2}x^2y\left(2x^3 - \dfrac{2}{5}xy^2 -1\right). $

Bài 3. Thực hiện các phép tính

a) $x^2(x+1)-x(x^2-3x+1)$.
b) $y(2y^2+3y-4)-y^2(y^3-4y^2-1)$.
c) $\dfrac{1}{2}x(4x^2+6x+2)-x^2(4x-1)$.
d) $-4x^2(x+2)+x^3(x^2+4)$.

Bài 4. Tính (Rút gọn nếu có thể)

a) $-4x^5(x^3-4x^2+7x-3)$
b) $-5x^2y^4(3x^2y^3-2x^3y^2-xy)$
c) $\dfrac{1}{2}x^3y(2x^4y^3-4xy-6)$
d) $-3x^5y^7\left( \dfrac{2}{3}x^4y-y^3+\dfrac{1}{2}\right) $
e $-4x^2+2x-4x(x-5)$.

Bài 5. Tính (Rút gọn nếu có thể)

a) $3x^4-4x^3+2x(-x^2+3x-5)$
b) $4x(x^2-x+1)-x(3x^2-2x-5)$
c) $ \left(3x^3y - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{5}xy\right)\cdot 6xy^3. $
d) $ x(2x^2-3) - x^2 ( 5x+1) + x^2. $
e) $ 3x(x-2) - 5x(1-x) - 8(x^2-3). $

Bài 6. Thực hiện phép nhân, rút gọn rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau.

a) $ x(x-y) + y(x+y) $ tại $ x= -6 $ và $ y =8 $.
b) $ x(x^2-y)- x^2(x+y) + y(x^2 -x) $ tại $ x = \dfrac{1}{2} $ và $ y =-100. $
c) $ x(2x- y) -2x(y-x) $ tại $ x= 5 $ và $ y = 29 $.

Bài 7. Thực hiện phép nhân, rút gọn rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau.
a) $ xy(x-2) - x(xy+ y) $ tại $ x= 4 $ và $ y = 5. $
b) $ 5x(x^2-3) + x^2 (7-5x) - 7x^2 $ tại $ x= -5 $.
c) $ x(x-y) + y(x-y) $ tại $ x= 1,5 $ và $ y =10. $

Bài 8. Tính giá trị biểu thức

a) $A=7x(x-5)+3(x-2)$ tại $x=0$
b) $B=4x^2-2x+3x(x-5)$ tại $x=-1$
c) $C=-3x^2+4x-5(x-2)$ tại $x=1$
d) $D=4x(2x-3)-5x(x-2)$ tại $x=2$.

Bài 9. Tính (rút gọn)

a) $(3x+5)(2x-7)$
b)  $(x-5)(-x^2+x-1)$
c)  $\left( \dfrac{3}{2}x-1\right) (-4x^2+2x-6)$
d) $5x-3+(x-5)(x+4)-7$.

Bài 10. Tính (rút gọn)

a) $x^2-2x+5-(x-7)(x+2)$
b) $x(x^2-5x+2)-(x+3)(x^2-2)$
c) $5x(x-3)(x-1)-4x(x^2-2x)$
d) $4x(x^2-x+3)-(x-6)(x-5)$.

Bài 11. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

a) $A=-3x(x-5)+3(x^2-4x)-3x+10$
b) $B=4x(x^2-7x+2)-4(x^3-7x^2+2x-5)$
c) $C=5x(x^2-x)-x^2(5x-5)-15$
d) $D=7(x^2-5x+3)-x(7x-35)-24$
e) $E=x^2-4x-x(x-4)-15$.

Bài 12.  Tìm $ x $ biết

a) $ 2x(x-3) - x(2x+3) = 18. $
b) $ x(5x^2 - 2) + 5x(1-x^2) = 3^4. $
c) $ (x-5)(x+2) + (x+1)(2-x) = 15. $
d) $ (2x-3)(x+5) - (x-2)(2x+1) =3. $

Bài 13. Tìm $x$ biết

a) $ 2x(x-5) - x(3+2x) = 26. $
b) $ 3x(12x-4) -9x(4x-3)= 30. $
c) $ x(5-2x) + 2x(x-1)= 15. $
d) $ (12x-5)(4x-1)+(3x-7)(1-16x) = 81. $

Bài 14. Thực hiện các phép nhân đa thức sau:

a) $(a+2b)(b-2a)$
b) $(a+b)(a^2+3ab-b^2)$
c) $(a-b)(a^2+ab+b^2)$
d) $(3x-2y)(3x-2y+1)$

Bài 15.Thực hiện các phép nhân đa thức sau:

a) $(a-2b)(a^2-2ab+4b^2)$
b) $(a+b)(b+c)(c+a)$
c) $(a+b+c)(ab+bc+ac)$.

Bài 16. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:

a) $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$
b) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
c) $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
d) $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

Bài 17. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $(a-b)^3=a^3-2a^2b+3ab^2-b^3$
b) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
c) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
d) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$.

Bài 18. Chứng minh rằng:

a) $ a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b). $
b) $ a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b). $\
\textit{Áp dụng: }Tính $ a^3 + b^3 $, biết $ a\cdot b = 6 $ và $ a+b = -5. $

Bài 19. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $ (x+2)^2. $
b) $ (2x+3)^2. $
c) $ (x+7)(x-7) $
d) $ (5x-1)(5x+1). $

Bài 20. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $ (x+2)^3. $
b) $ (2x-5)^3. $
c) $ (x+2)(x^2 -2x+4). $
d) $ (1-x)(1+x+x^2). $
e) $ (2+xy)^2. $

Bài 21. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $ (5-3x)^2. $
b) $ (5-x^2)(5+x^2). $
c) $ (5x-1)^3. $
d) $ (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2). $
e) $ (x+3)(x^2 -3x +9). $

Bài 22. Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=(3x-y)^2-(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)+(3+x)^2$ tại $x=1; y=2$
b) $B=(x-2)^3-(y-3)^2+(x-y)(x^2+xy+y^2)-(x+y)^3$ tại $x=1; y=\dfrac{1}{2}$
c) $C=(3x+1)^3-(y-2)^2+(y-1)^3-(x+y)^2$ tại $x=\dfrac{1}{3}; y=-3$
d) $D=(2x+1)(4x^2-2x+1)-(2x-1)^3-(x-3y)^2$ tại $x=-\dfrac{1}{2}; y=\dfrac{1}{3}$.

Bài 23. Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $E=(5x-2y)^2-(x+3y)^3+(2x+y)^2-(x-2y)^3$ tại $x=\dfrac{1}{5};y=-\dfrac{1}{3}$
b) $F=(2x+3)(4x^2-6x+9)-(2x-1)^3+(x+5)^2$ tại $x=-3$
c) $G=(3x+2y)^3-3x(3x-2)^2+2(x-y)(2x+y)$ tại $x=\dfrac{1}{2}; y=-\dfrac{1}{3}$.

Bài 24. Cho các số $a,b$ thỏa $a+b=1, ab = - 2$. Tính

a) $P = a^2+b^2$
b) $Q = a^3+b^3$.

Bài 25. Tính giá trị của các biểu thức sau biết $x + y = 2$.

a) $A = x^2 + y^2 - x^2y - xy^2+4xy - 5 $.
b) $B = x^3 + y^3 +6xy - 3x - 3y +1$.
c) $C = x^2 - y^2 + 4y + 1$.

Bài 26. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $ x $:

a) $ (2x+3)(4x^2 -6x +9) -2(4x^3 -3). $
b) $ (4x-1)^3 -(4x-3)(16x^2 +3). $

Bài 27. Tìm x, biết:

a) $ (2x+1)^2 - (3-2x)^2 +4=0. $
b) $ (x-1)^3 +(2-x)(4+3x+x^2) +3x(x+2)=17. $
c) $ (x+2)(x^2-2x+4) -x(x^2-2) =15. $

Bài 28. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương

a) $x^2-2x+2+4y^2+4y$
b) $4x^2+y^2+12x+4y+13$
c) $5x^2+y^2+z^2+4xy-2xz$
d) $x^2+4y^2+4x-4y+5$.

Bài 29. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương

a) $a^2-4ab+5b^2-4bc+4c^2$
b) $4x^2+9y^2-4x+6y+2$
c) $4y^2+12y+25+8x+x^2$
d) $x^2+20+9y^2+8x-12y$
e) $4y^2-12x+12y+9x^2+13$.

Bài 30. Tìm $ x $, biết:

a) $ (2x+1)^2 -(3-2x)^2 +4 =0. $
b) $ (x-1)^3 +(2-x)(4+2x+x^2) +3x(x+2)=17. $
c) $ (x+2)(x^2 -2x+4) -x(x^2-2)=15. $

Bài 31. Tìm $x$  và  $y$, biết:

a) $x^2-2x+5+y^2-4y=0$
b) $4x^2+4x-6y+9y^2+2=0$
c) $ x^2+y^2+2x-6y +10 =0 $
d) $ 4x^2 +y^2 -4x +10y +26 =0 $.

Bài 32. Tìm $x$  và  $y$, biết:

a) $9x^2+12x+4y^2+8y+8=0$
b) $y^2+2y+5-12x+9x^2=0$
c) $16x^2+5+8x-4y-y^2=0$
d) $4y^2-12x+12y+9x^2+13=0$.

Bài 33. Tìm $x$  và  $y$, biết:

a) $4x^2+25-12x-8y+y^2=0$
b) $4y^2+12y+25+8x+x^2=0$
c) $x^2+20+9y^2+8x-12y=0$.

Bài 34. Chứng tỏ rằng:

a) $ x^2 -6x +10> 0 $ với mọi $ x $.
b) $ 4x-x^2 -5 < 0 $ với mọi $ x $.

Bài 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) $ M= x^2 + 4x +5. $
b) $ N = 9x^2 - 6x+6. $
c) $ P = x^2 -2x +5. $
d) $ Q = 2x^2 -6x. $

Bài 36. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) $ K = x^2 +y^2 -x +6y +10. $
b) $ A= x^2 - 6x+11. $
c) $ B = x^2 -20x +101. $
d) $ C = x^2 -2x + y^2 + 4y +8. $

Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) $ A= 5-2x-x^2. $
b) $ B= 5 + 6x-9x^2. $
c) $ C= 4x -x^2 +3. $
d) $ D = x-x^2. $

Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) $ E = 2x - 2x^2 -5. $
b) $ G = 5x-x^2. $
c) $ H = -x^2 + 6x -11. $
d) $ K = 5-8x -x^2 $.

 

 

 

 

Phép chia đa thức cho đơn thức

Leave a reply
  1. Chia đơn thức cho đơn thức

Quy tắc

Muốn chia đơn thức $A$ cho đơn thức $B$ (trường hợp $A$  chia hết cho $B$) ta làm như sau:

  • Chia hệ số của đơn thức $A$ cho hệ số của đơn thức $B$.
  • Chia lũy thừa của từng biến trong $A$ cho lũy thừa của cùng biến đó trong $B$.
  • Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Ví dụ. Thực hiện phép chia

a) $ 8x^2 : 4x $
b)  $ 5x^4 : 2x^2. $
c)  $ (-8x^2 ): 4x. $
d) $ xy^3z^4 : (-3xyz). $

Giải

a) $ 8x^2 : 4x=\dfrac{8}{4}\cdot \dfrac{x^2}{x}=2x^{2-1}=2x. $
b)  $ 5x^4 : 2x^2=\dfrac{5}{2}\cdot \dfrac{x^4}{x^2}=\dfrac{5}{2}x^{4-2}=\dfrac{5}{2}x^2. $
c)  $ 3xy^3z^4 : (-3xyz)=\dfrac{3}{-3}\cdot \dfrac{x}{x}\cdot \dfrac{y^3}{y}\cdot \dfrac{z^4}{z}=-y^2z^3. $

2. Chia đa thức cho đơn thức

Quy tắc

Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$ (trường hợp các hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$), ta chia mỗi hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết qủa với nhau.

Ví dụ. Thực hiện phép tính.
a) $ (-2x^5 +3x^2 – 4x^3) :2x^2. $
b)  $ (x^3 -2x^2y + 3xy^2): \left(-\dfrac{1}{2}x\right) $
c)  $ (3x^2y^2 +6x^2y^3 -12xy) : 3xy. $

Giải

a) $ (-2x^5 +3x^2 – 4x^3) :2x^2$

$=\dfrac{-2x^5}{2x^2}+\dfrac{3x^2}{2x^2} +\dfrac{- 4x^3}{2x^2}$

$=-x^3+\dfrac{3}{2}-2x.$
b)  $ (x^3 -2x^2y + 3xy^2): \left(-\dfrac{1}{2}x\right)$

$=\dfrac{x^3}{-\dfrac{1}{2}x}+\dfrac{-2x^2y}{-\dfrac{1}{2}x} +\dfrac{3xy^2}{-\dfrac{1}{2}x}$

$=-2x^2+4x^3y-6y^2 $
c)  $ (3x^2y^2 +6x^2y^3 -12xy) : 3xy$

$=\dfrac{3x^2y^2}{3xy}+\dfrac{6x^2y^3}{3xy} +\dfrac{-12xy}{3xy}$

$=xy+2xy^2-4. $

3. Bài tập

Bài 1. Thực hiện phép chia

a) $ \dfrac{2}{3}x^3y^4 : \left(-\dfrac{4}{9}x^2y^3\right) .$
b) $ x^2yz:xyz. $
c) $ x^3y^4 : x^3y. $
d) $ \left(\dfrac{5}{7}x^2y\right)^3 : \left(\dfrac{1}{7}xy\right)^3 $.

Bài 2. Thực hiện phép chia

a) $ 5x^2y^4: 10x^2y. $
b) $ \dfrac{3}{4}x^3y^3 : \left(-\dfrac{1}{2}x^2y^2\right) $
c) $ (-xy)^{10} : (-xy)^5. $
d) $ 15x^4y^3z^3 : 5xy^2z^2. $

Bài 3. Thực hiện phép chia

a) $(4x^4 +2x^3 – 2x^2 + 6x) : 2x$
b) $(12x^4 + 6x^3 – 24x) : 6x$
c) $(2x^3 – 2x^2 + 3x) : 4x$
d) $(2x^2y + 3xy^2 + 4xy) : xy$.

Bài 4. Thực hiện phép chia

a) $(4x^4y^2-5x^2y^3 + x^2y^2) : x^2y$
b)  $ (18x^7 +12x^5 – 24x^3): 6x^3. $
c)  $ (15x^3y^5 – 8x^2y^2 – 5x^4y^4) : 5x^2y. $
d) $ (20x^5 – 15x^3 +10x^2): 5x^2 $.

Phân tích đa thức thành nhân tử – Hằng đẳng thức

Leave a reply

Cách thực hiện: Vận dụng các hằng đẳng thức  để đưa đa thức về dạng tích các đa thức hay dạng lũy thừa của một đa thức

$A^2 \pm 2AB +B^2=(A \pm B)^2$

$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$

$A^3 \pm 3A^2B+3AB^2 \pm B^3= (A \pm B)^3$

$A^3 \pm B^3=(A \pm B)(A^2 \mp AB+B^2)$

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) $ x^2 – 9 $
b) $ 4x^2 – 25$
c) $ x^6 – y^6$

$(3x+1)^2-(2x+3)^2$

Giải

a) $ x^2 – 9 =x^2-3^2=(x-3)(x+3) $
b) $ 4x^2 – 25=(2x)^2-5^2=(2x-5)(2x+5) $
c) $ x^6 – y^6=(x^2)^3-(y^2)^3=(x^2-y^2)(x^4+x^2y^2+y^4$
d) $(3x+1)^2-(2x+3)^2=(3x+1-2x-3)(3x+1+2x+3)=(x-2)(5x+4)$

Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) $ x^2 – 9 $
b) $ 4x^2 – 25$
c) $ x^6 – y^6$
d) $ 9x^2 + 6xy + y^2$
e) $ 6x -9 -x^2 $

Giải

a) $x^2-4x+4=x^2-2.2x+2^2=(x-2)^2$
b) $ x^2 +6x + 9=x^2+2.3x+3^2=(x+3)^2$
c)  $ 9x^2 + 6xy + y^2=(3x)^2+2.3xy+y^2=(3x+y)^2 $
d) $ 6x -9 -x^2=-(x^2-6x+9)=-(x^2-2x.3+3^2)=-(x-3)^2. $

Ví dụ 3. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) $ 27 -125x^3. $

b)  $ x^3 + \dfrac{1}{27}. $
c) $ x^3 – 9x^2+ 27x – 27. $
d) $x^3+3x^2+3x+1$

Giải

a) $x^2-4x+4=x^2-2.2x+2^2=(x-2)^2$
b) $ x^2 +6x + 9=x^2+2.3x+3^2=(x+3)^2$
c)  $ 9x^2 + 6xy + y^2=(3x)^2+2.3xy+y^2=(3x+y)^2 $
d) $ 6x -9 -x^2=-(x^2-6x+9)=-(x^2-2x.3+3^2)=-(x-3)^2. $

 

Bài tập

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $x^3 – y^6$
b) $x^3 + y^3z^3$
c) $(x-1)^2 – (y-3)^2$
d) $x^4 – 4x^2 + 4$

Daie) $x^2 – 8x + 16$.

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $x^3+8$
b)  $x^3 – 27$
c) $x^3 – 6x^2 + 12x- 8$
d)  $(a^2 + 4ab+ 4b^2) – x^2 $
e)  $x^2 – y^4$.

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $4a^2-b^2$
b) $121-a^2$
c) $196a^2-4b^2$
d) $(a-b)^2-c^2$

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $81(x+7)^2-(3x+8)^2$
b)  $x^2+14x+49$
c) $25x^2-20xy+4y^2$

Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $x^10-4x^8+4x^6$
b) $m^3+27$
c) $8x^6-27y^3$
d) $x^12-y^4$.

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $x^3+6x^2+12x+8$
b) $27-27m+9m^2-m^3$
c)  $27a^3-54ab+36ab^2-8b^2$

Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $ x^2 + 4y^2 + 4xy. $
b) $ (x+y)^2 – (x-y)^2. $
c) $ (3x+1)^2 – (x+1)^2. $
d) $ x^3 + y^3 +z^3 -3xyz. $
e) $ x^3 – \dfrac{1}{4}x. $

Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ \dfrac{1}{25}x^2 – 64y^2 $
b)  $ x^3 + \dfrac{1}{27}. $
c)  $ (a+b)^3 – (a-b)^3. $
d)  $ (a+b)^3 + (a-b)^3. $

Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ 8x^3 +12x^2y + 6xy^2 + y^3. $
b)  $ -x^3 + 9x^2- 27x + 27. $
c) $4x^2-12xy+9y^2$.
d) $x^3+3x^2+3x+1$.

Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^4-4x^2y^2+4y^4$.
b)  $ 25x^2 – 16y^2. $
c) $ 27 -125x^3. $

Bài 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2-y^2$
b) $4x^2-9y^2$
c) $(x+1)^2-(y-3)^2$
d) $(2x+1)^2-(2y-1)^2$.

Bài 12. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^3-y^3$
b) $x^3+y^3$
c) $8x^3+27y^3$
d) $x^3-(y+1)^3$.

Bài 13. Tìm $ x $, biết.

a) $ x^3 – 0,25x =0 .$
b)  $ x^2 -10x = -25. $
c)  $ 2-25x^2 =0 .$
d) $ x^2 – x+ \dfrac{1}{4} =0. $

Bài 14. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $8x^3-6x^2+12x-1$
b)  $27x^3+27x^2+9x+1$
c) $x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3$
d) $8x^3-48x^2y+96xy^2+64y^3$

Bài 15. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $(3x+1)^3-(3x-5)^3$
b) $(2x+1)^3+(5-2x)^3$.

Bài 16. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^8 – y^4$
b) $x^3 + y^6$.

Phân tích đa thức thành nhân tử – Phương pháp đặt ẩn phụ

Leave a reply
  1. Đặt ẩn phụ dạng đa thức

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $ 4x^4 -37x^2+9 .$
b) $ (x-y)^2 +4x-4y -12. $
c)  $ (x^2 + 3x)^2 + 7x^2 +21x +10 $

Giải

a) $ 4x^4 -37x^2+9 $

Đặt $t=x^2, t \geq 0$

Ta có:

$4t^2-37t+9$

$=4t^2-t-36t+9$

$=t(4t-1)-9(4t-1)$

$=(4t-1)(t-9)$

Vậy

$ 4x^4 -37x^2+9$

$=(4x^2-1)(x^2-9)$

$=(2x-1)(2x+1)(x-3)(x+3). $

b) $ (x-y)^2 +4x-4y -12=(x-y)^2+4(x-y)-12$

Đặt $t=x-y$

Ta có:

$(x-y)^2+4(x-y)-12$

$=t^2+4t-12$

$=t^2-2t+6t-12$

$=t(t-2)+6(t-2)$

$=(t-2)(t+6)$

Vậy

$ (x-y)^2 +4x-4y -12$

$=(x-y)^2+4(x-y)-12$

$=(x-y-2)(x-y+6).$

c)  $ (x^2 + 3x)^2 + 7x^2 +21x +10 =(x^2 + 3x)^2+7(x^2 + 3x)+10 $

Đặt $t=x^2 + 3x$

Ta có:

$t^2+7t+10$

$=t^2+2t+5t+10$

$=t(t+2)+5(t+2)$

$=(t+2)(t+5)$

Vậy

$ (x^2 + 3x)^2 + 7x^2 +21x +10$

$=(x^2 + 3x)^2+7(x^2 + 3x)+10$

$=(x^2 + 3x+2)(x^2 + 3x+5).  $

2. Đặt ẩn phụ dạng $ (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+e $ với $ (a+d = b+c). $

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24$.
b)  $ (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16. $
c)$ (x^2 + 6x +8)(x^2+8x+15) -24. $

Giải

a) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24$

$=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-24$

$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24$

Đặt $t=x^2+5x+5$

Suy ra

$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24$

$=(t-1)(t+1)-24$

$=t^2-1-24$

$=t^2-25=(t-5)(t+5)$

Vậy $(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24$

$=(x^2+5x+5-5)(x^2+5x+5+5)$

$=(x^2+5x)(x^2+5x+10)$

$=x(x+5)(x^2+5x+10)$

b)  $ (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16$

$=(x+2)(x+8)(x+4)(x+6)+16$

$=(x^2+10x+16)(x^2+10x+24)+16 $

Đặt $t=x^2+10x+20$

Suy ra

$(x^2+10x+16)(x^2+10x+24)+16$

$=(t-4)(t+4)+16$

$=t^2-16+16=t^2 $

Vậy

$(x^2+10x+16)(x^2+10x+24)+16$

$=(x^2+10x+20)^2 $
c)$ (x^2 + 6x +8)(x^2+8x+15) -24$

$=(x+2)(x+4)(x+3)(x+5)-24$

$=(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)-24$

$=(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)-24 $

Đặt $t=x^2+7x+11$

Suy ra

$(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)-24$

$=(t-1)(t+1)-24$

$=t^2-1-24$

$=t^2-25$

$=(t-5)(t+5)$

Vậy

$(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)-24$

$=(x^2+7x+11-5)(x^2+7x+11+5)$

$=(x^2+7x+6)(x^2+7x+16)$

 

3. Đặt biến phụ dạng đẳng cấp.

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)  $ (x^2 + 1)^2 + 3x(x^2+1) +2x^2. $
b)  $ (x^2 +4x +8)^2 +3x(x^2 + 4x+ 8) + 2x^2. $
c)  $ 4(x^2 +x +1)^2 + 5x(x^2 + x + 1)+ x^2. $

Giải

a)  $(x^2 + 1)^2 + 3x(x^2+1) +2x^2$

Đặt $ t=x^2+1$, ta được:

$t^2+3xt+2x^2$

$=(t^2+xt)+(2xt+2x^2)$

$=t(t+x)+2x(t+x)$

$=(t+x)(t+2x)$

Vậy

$ (x^2 + 1)^2 + 3x(x^2+1) +2x^2$

$=(x^2+1+x)(x^2+1+2x)$.

b)  $ (x^2 +4x +8)^2 +3x(x^2 + 4x+ 8) + 2x^2. $

Đặt $ t=x^2+4x+8$, ta được:

$t^2+3xt+2x^2$

$=(t^2+xt)+(2xt+2x^2)$

$=t(t+x)+2x(t+x)$

$=(x+t)(t+2x)$

Vậy

$ (x^2 +4x +8)^2 +3x(x^2 + 4x+ 8) + 2x^2$

$=(x+x^2+4x+8)(x^2+4x+8+2x)$

$=(x^2+5x+8)(x^2+6x+8)$.
c)  $ 4(x^2 +x +1)^2 + 5x(x^2 + x + 1)+ x^2. $

Đặt $ t=x^2+x+1$, ta được:

$4t^2+5xt+x^2$

$=(4t^2+4xt)+(xt+x^2)$

$=4t(t+x)+x(t+x)$

$=(x+t)(4t+x)$

Vậy

$ 4(x^2 +x +1)^2 + 5x(x^2 + x + 1)+ x^2$

$=(x^2 +x +1+x)[4(x^2 +x +1)+x]$

$=(x+1)^2(4x^2+5x+4)$.

 

4. Đặt biến phụ dạng hồi quy $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0. \left(\dfrac{a}{e} =\left( \dfrac{b}{d}\right)^2\right) $. Hay $ e = \left(\dfrac{d}{b}\right)^2. $

Cách giải:  Đặt biến phụ $ t = x^2 + \dfrac{d}{b} $ và biến đổi đa thức trên về dạng chứa hạng tử $ t^2 +bxy + zx^2 $ rồi sử dụng hằng đẳng thức.

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a)  $ x^4 + 6x^3 +11x^2 + 6x+1 $
b) $ x^4 + 5x^3 -12x^2 + 5x +1. $
c) $ 6x^4 + 5x^3 -38x^2 + 5x+ 6. $

Giải

a)  $ x^4 + 6x^3 +11x^2 + 6x+1$

$=x^2\left(x^2+6x+11+\dfrac{6}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)$

$=x^2\left[\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+6\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+11\right]$

Đặt $t=x+\dfrac{1}{x} \Rightarrow t^2=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$

$x^2\left[\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+6\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+11\right]$

$=x^2(t^2-2+6t+11)$

$=x^2(t^2+6t+9)$

$=x^2(t+3)^2$

$=x^2\left(x+\dfrac{1}{x}+3\right)^2.$
b) $ x^4 + 5x^3 -12x^2 + 5x +1. $

$=x^2\left(x^2+5x-12+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)$

$=x^2\left[\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-12\right]$

Đặt $t=x+\dfrac{1}{x} \Rightarrow t^2=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$

$=x^2\left[\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-12\right]$

$=x^2(t^2-2+5t-12)$

$=x^2(t^2+5t-14)$

$=x^2(t^2-2t+7t-14)$

$=x^2[t(t-2)+7(t-2)]$

$=x^2(t-2)(t+7)$

$=x^2\left(x+\dfrac{1}{x}-2\right)\left(x+\dfrac{1}{x}+7\right).$

c) $ 6x^4 + 5x^3 -38x^2 + 5x+ 6. $

$=x^2\left(6x^2+5x-38+\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^2}\right)$

$=x^2\left[6\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-38\right]$

Đặt $t=x+\dfrac{1}{x} \Rightarrow t^2=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$

$=x^2\left[6\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-38\right]$

$=x^2[6(t^2-2)+5t-38]$

$=x^2(6t^2-12+5t-38)$

$=x^2(6t^2+5t-50)$

$=x^2(6t^2-15t+20t-50)$

$=x^2(2t-5)(3t+10)$

$=x^2\left[2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-5\right]\left[3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+10\right].$

 

5. Đặt biến phụ dạng $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+ex^2 $ với $ (ad= bc) .$

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $ (x+1)(x-4)(x+2)(x-8) + 4x^2. $
b)  $ (x-1)(x+2)(x+3)(x-6)+32x^2. $
c) $ (x+2)(x-4)(x+6)(x-12) +36x^2. $

Giải

a) $ (x+1)(x-4)(x+2)(x-8) + 4x^2. $

$=(x+1)(x-8)(x-4)(x+2)+4x^2$

$=(x^2-7x-8)(x^2-2x-8)+4x^2$

Đặt $t=x^2-8 $

$(x^2-7x-8)(x^2-2x-8)+4x^2$

$=(t-7x)(t-2x)+4x^2$

$=t^2-9xt+14x^2+4x^2$

$=t^2-9xt+18x^2$

$=t^2-3xt-6xt+18x^2$

$=t(t-3x)-6x(t-3x)$

$=(t-3x)(t-6x)$

$=(x^2-8-3x)(x^2-8-6x).$
b)  $ (x-1)(x+2)(x+3)(x-6)+32x^2. $

$=(x-1)(x-6)(x+2)(x+3)+32x^2$

$=(x^2-7x+6)(x^2+5x+6)+32x^2$

Đặt $t=x^2+6 $

$(x^2-7x+6)(x^2+5x+6)+32x^2$

$=(t-7x)(t+5x)+32x^2$

$=t^2-2xt-35x^2+32x^2$

$=t^2-2xt-3x^2$

$=t^2+xt-3xt-3x^2$

$=t(t+x)-3x(t+x)$

$=(t+x)(t-3x)$

$=(x^2+6+x)(x^2+6-3x).$

c) $ (x+2)(x-4)(x+6)(x-12) +36x^2. $

$=(x+2)(x-12)(x-4)(x+6)+36x^2$

$=(x^2-10x-24)(x^2+2x-24)+36x^2$

Đặt $t=x^2-24 $

$=(x^2-10x-24)(x^2+2x-24)+36x^2$

$=(t-10x)(t+2x)+36x^2$

$=t^2-8xt-20x^2+36x^2$

$=t^2-8xt+16x^2$

$=(t-4x)^2$

$=(tx^2-24-4x)^2$.

 

Bài tập

Bài 1. Phân tích  các đa thức sau thành nhân tử:

a)  $ (x^2 +5x)^2 +10x^2 + 50x +24. $
b) $ x^2 + 6xy + 9y^2 – 3(x+3y)+1. $
c)  $ (x^2 +x + 1)(x^2 +x +2) -12. $
d) $(x^2+2x)^2-4(x^2+2x)+3.$
e)$(x^2+x+1)^2-4(x^2+x+1) – 5.$

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a)  $(x^2+x-2)(x^2+9x+18) – 28$
b) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-20 $
c) $(x^2 + 5x+6)(x^2 -15x+56)-144 $
d)$x(x+1)(x+2)(x+3)+1$
e) $(x^2-11x+28)(x^2-7x+10)-72$c

Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $(x-3)(x-5)(x-6)(x-10) – 24x^2 $
b) $(x-1)(x+2)(x+3)(x-6) + 32x^2 $
c) $(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)- 4x^2 $
d) $(x^2+1)^2 + 3x(x^2 + 1)+2x^2 $
e) $(x^2 -x+2)^4 – 3x^2(x^2-x+2)^2 + 2x^4$
Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $x^3 – x^2 + x + 3$
b) $x^3 – 3x^2 – 5x +1$
c) $x^3 + 4x^2 – 2x -5$
d)  $2x^3 – 3x^2 – x + 4$
e)  $3x^3 – 2x^2 +5$
f) $-x^3 – 4x^2 + 2x +5$

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-20 $
b) $(x^2 + 5x+6)(x^2 -15x+56)-144 $
c) $x(x+1)(x+2)(x+3)+1$
d) $(x^2-11x+28)(x^2-7x+10)-72$
e) $(x^2+x-2)(x^2+9x+18) – 28$