Tag Archives: Lop8

Phân tích đa thức thành nhân tử – Phương pháp thêm bớt (tách) hạng tử

Leave a reply

Phương pháp tách hạng tử

Cách thực hiện: Với tam thức bậc hai: $a x^{2} + b x + c .$

Xét tích: $a \cdot c$ .
Phân tích $a \cdot c$ thành tích của hai số nguyên.
Xét xem tích nào có tổng của chúng bằng $b$ , thì ta tách $b$ thành 2 số đó, cụ thể như sau:
$b_{1} + b_{2} = b$ và $a \cdot c = b_{1} \cdot b_{2} .$

Ví dụ 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) $x^{2} - 7 x + 12.$
b) $x^{2} - 5 x - 14.$
c) $4 x^{2} - 3 x - 1.$

Giải

a) $x^{2} - 7 x + 12 = x^{2} - 3 x - 4 x + 12$

$= (x^{2} - 3 x) - (4 x - 12) = x (x - 3) - 4 (x - 3)$

$= (x - 3) (x - 4) .$
b) $x^{2} - 5 x - 14 = x^{2} - 7 x + 2 x - 14$

$= (x^{2} - 7 x) + (2 x - 14) = x (x - 7) + 2 (x - 7)$

$= (x + 2) (x - 7)$
c) $4 x^{2} - 3 x - 1 = 4 x^{2} - 4 x + x - 1$

$= (4 x^{2} - 4 x) + (x - 1) = 4 x (x - 1) + (x - 1)$

$= (x - 1) (4 x + 1) .$

Với dạng $a x^{2} + b x y + c y^{2}$ ta cũng làm tương tự.

Ví dụ. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $3 x^{2} + 10 x y + 3 y^{2}$

b) $2 x^{2} - 9 x y + 9 y^{2}$ .

Giải

a) $3 x^{2} + 10 x y + 3 y^{2} = 3 x^{2} + x y + 9 x y + 3 y^{2}$

$= x (3 x + y) + 3 y (3 x + y)$

$= (3 x + y) (x + 3 y)$ .

b) $2 x^{2} - 9 x y + 9 y^{2} = 2 x^{2} - 3 x y - 6 x y + 9 y^{2}$

$= x (2 x - 3 y) - 3 y (2 x - 3 y)$

$= (2 x - 3 y) (x - 3 y)$ .

2. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Một số trường hợp ta thêm bớt để được hằng đẳng thức $(a + b)^{2}$ hoặc $a^{3} - b^{3}$ .

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) $x^{4} + 4$
b) $64 x^{4} + 1.$
c) $81 x^{4} + 4.$

Giải

a) Phân tích: Ta thấy $x^{4} + 4 = (x^{2})^{2} + 2^{2}$ , để có hằng đẳng thức ta thêm bớt hạng tử $2.2 x^{2} = 4 x^{2}$ , khi đó ta có biến đổi sau:

$x^{4} + 4 = x^{4} + 4 x^{2} + 4 - 4 x^{2}$

$= (x^{4} + 4 x^{2} + 4) - 4 x^{2} = (x^{2} + 2)^{2} - (2 x)^{2}$

$= (x^{2} + 2 + 2 x) (x^{2} + 2 - 2 x)$

Tương tự ta có thể làm cho các bài sau.
b) $64 x^{4} + 1 = 64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 16 x^{2}$

$= (8 x^{2} + 1)^{2} - (4 x)^{2}$

$= (8 x^{2} + 1 - 4 x) (8 x^{2} + 1 + 4 x)$
c) $81 x^{4} + 4 = 81 x^{4} + 36 x^{2} + 4 - 36 x^{2}$

$= (81 x^{4} + 36 x^{2} + 4) - 36 x^{2}$

$= (9 x^{2} + 2 - 6 x) (9 x^{2} + 2 + 6 x)$

Ví dụ 2. Phân tích đa thức $x^{5} + x + 1$ thành nhân tử

Giải

$x^{5} + x + 1 = x^{5} + x^{4} - x^{4} + x^{3} - x^{3} + x^{2} - x^{2} + x + 1$

$= (x^{5} + x^{4} + x^{3}) - (x^{4} + x^{3} + x^{2}) + (x^{2} + x + 1)$

$= x^{3} (x^{2} + x + 1) - x^{2} (x^{2} + x + 1) + (x^{2} + x + 1)$

$= (x^{2} + x + 1) (x^{3} - x^{2} + 1) .$

Bài tập

Bài 1. Phân tích thành nhân tử:

a) $x^{2} + 4 x + 3$
b) $x^{2} + 6 x + 5$
c) $2 x^{2} + 5 x + 2$
Bài 2. Phân tích đa thức sau thành phân tử

a) $x^{2} - 3 x + 2 .$
b) $x^{2} + 5 x + 6.$
c) $x^{4} + 4.$

Bài 3. Phân tích thành nhân tử

a) $2 x^{2} + 7 x^{2} + 5 y^{2}$

b) $x^{2} - 4 x y - 5 y^{2}$ .

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$
b) $x^{3} + x^{2} - x + 2$
c) $x^{5} - x^{2} + x^{3} - 1$
d) $x^{5} + x^{4} + 1$

Phân tích thành nhân tử- Phương pháp nhóm hạng tử

Leave a reply

Cách thực hiện: Nhóm các hạng tử của đa thức một cách thích hợp để có thể đặt nhân tử chung hay dùng hằng đẳng thức.

Các ví dụ:

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{2} - x y + x - y$
b) $x z + y z - 5 (x + y)$
c) $3 x^{2} - 3 x y - 5 x + 5 y$
d) $x^{2} + 4 x - y^{2} + 4$

Giải

a) $x^{2} - x y + x - y = x (x - y) + (x - y) = (x - y) (x + 1)$
b) $x z + y z - 5 (x + y) = z (x + y) - 5 (x + y) = (x + y) (z - 5)$
c) $3 x^{2} - 3 x y - 5 x + 5 y = (3 x^{2} - 3 x y) - (5 x - 5 y)$

$= 3 x (x - y) - 5 (x - y) = (x - y) (3 x - 5)$
d) $x^{2} + 4 x - y^{2} + 4 = (x^{2} + 4 x + 4) - y^{2}$

$= (x + 2)^{2} - y^{2} = (x + 2 - y) (x + 2 + y)$

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{2} - x - y^{2} - y$
b) $x^{2} - 2 x y + y^{2} - z^{2}$
c) $5 x - 5 y + a x - a y$
d) $a^{3} - a^{2} x - a y + x y$

Giải

a) $x^{2} - x - y^{2} - y = (x^{2} - y^{2}) - (x + y)$

$= (x + y) (x - y) - (x + y) = (x + y) (x - y - 1)$
b) $x^{2} - 2 x y + y^{2} - z^{2} = (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - z^{2}$

$= (x - y)^{2} - z^{2} = (x - y - z) (z - y + z)$
c) $5 x - 5 y + a x - a y = (5 x - 5 y) + (a x - a y)$

$= 5 (x - y) + a (x - y) = (x - y) (a + 5)$
d) $a^{3} - a^{2} x - a y + x y = (a^{3} - a^{2} x) - (a y - x y)$

$= a^{2} (a - x) - y (a - x) = (a - x) (a^{2} - y)$

Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $a^{2} + b c + a b + a c$ .
b) $x^{2} + 2 x y + y^{2} + 3 x + 3 y$ .
c) $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 z^{2}$
e) $x^{2} - 2 x y + y^{2} - z^{2} + 2 z t - t^{2}$

Giải

a) $a^{2} + b c + a b + a c = (a^{2} + a b) + (a c + b c)$

$= a (a + b) + c (a + b) = (a + b) (a + c)$ .
b) $x^{2} + 2 x y + y^{2} + 3 x + 3 y = (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + (3 x + 3 y)$

$= (x + y)^{2} + 3 (x + y) = (x + y) (x + y + 3)$ .
c) $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 z^{2} = 3 (x^{2} + 2 x y + y^{2} - z^{2})$

$= 3 (x + y + z) (z + y - z)$
e) $x^{2} - 2 x y + y^{2} - z^{2} + 2 z t - t^{2} = (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - (z^{2} - 2 z t + t^{2})$

$= (x - y)^{2} - (z - t)^{2} = (x - y - z + t) (x - y + z - t) .$

Bài tập

Bài 1. Phân tích thành nhân tử:

a) $x^{2} + y^{2} + 2 x y - x z - z y$ .
b) $x y^{2} + 2 x^{2} y - 3 x^{2} + 3 y^{2} + x^{3}$ .
c) $a^{3} + b^{3} - 3 a^{2} b - 3 a b^{2}$ .

Bài 2. Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức

a) $x^{2} - 2 x y - 4 z^{2} + y^{2}$ tại $x = 6; y = - 4; z = 45$
b) $3 (x - 3) (x + 7) + (x + 4)^{2} + 48$ tại $x = 0, 5.$

Bài 3. Tìm $x$ , biết:

a) $x (x - 2) + x - 2 = 0 .$
b) $5 x (x - 3) - x + 3 = 0.$

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp nhóm hạng tử)

a) $a + b + x (a + b)$
b) $a x + a y + b x + b y$
c) $x^{2} + x y - 2 x - 2 y$
d) $5 x^{2} y + 5 x y^{2} - a^{2} x + a^{2} y$
e) $10 a y^{2} - 5 b y^{2} + 2 a^{2} x - a b y$ .

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp nhóm hạng tử)

a) $4 a c x + 4 b c x + 4 a x + 4 b x$
b) $3 a x^{2} + 3 b x^{2} + a x + b x + 5 a + 5 b$
c) $a x + b x + c x + a + b + c$
d) $a x - b x - 2 c x - 2 a + 2 b + 4 c$ .

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $x^{2} - 2 x y + y^{2} - z^{2}$
b) $x y - x + y - 1$
c) $x^{2} + x - y^{2} - y$
d) $a b + a + b + 1$ .

Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} - 9 z^{2}$
b) $a^{3} + b^{3} + a b^{2} + a^{2} b$
c) $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 + y^{3}$
d) $x^{2} - y^{2} - 2 y z - z^{2}$ .

Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $2 x^{3} + 4 x^{2} y + 2 x y^{2}$
b) $a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4} - 4 b^{2} c^{2}$
c) $a^{3} + b^{3} - a b (a + b)$
d) $3 x y (a^{2} + b^{2}) + a b (x^{2} + 9 y^{2})$ .

Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{3} + 3 x (x + 1) + 1 - y^{3}$
b) $x^{4} + 4 x^{2} + 4 - x^{2} y^{4}$
c) $a^{3} + 3 a b (a + b) + b^{3} + c^{3}$ .

Phân tích đa thức thành nhân tử – Đặt thừa số chung

Leave a reply

Cách thực hiện: Đưa nhân tử chung của các hạng tử của đa thức ra ngoài dấu ngoặc

$A B + A C = A (B + C)$

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) $x^{2} - x .$
b) $5 x^{2} (x - 2 y) - 15 x (x - 2 y) .$
c) $3 (x - y) - 5 x (y - x) .$
d) $3 x - 6 y .$

Giải

a) $x^{2} - x = x (x - 1)$

b) $5 x^{2} (x - 2 y) - 15 x (x - 2 y) = (x - 2 y) (5 x^{2} - 15 x) = 5 x (x - 3) (x - 2 y)$

c) $3 (x - y) - 5 x (y - x) = 3 (x - y) + 5 x (x - y) = (x - y) (3 - 5 x)$

d) $3 x - 6 y . = 3 (x - 2 y) .$

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) $\frac{2}{5} x^{2} + 5 x^{3} + x^{2} y .$
b) $14 x^{2} y - 21 x y^{2} + 28 x^{2} y^{2} .$
c) $\frac{2}{5} x (y - 1) - \frac{2}{5} y (y - 1) .$
d) $10 x (x - y) - 8 y (y - x) .$

Giải

a) $\frac{2}{5} x^{2} + 5 x^{3} + x^{2} y = x^{2} (\frac{2}{5} + 5 x + y)$
b) $14 x^{2} y - 21 x y^{2} + 28 x^{2} y^{2} = 7 x y (2 x - 3 y + 4 x y)$
c) $\frac{2}{5} x (y - 1) - \frac{2}{5} y (y - 1) = \frac{2}{5} (y - 1) (x - y)$
d) $10 x (x - y) - 8 y (y - x) = 2 (x - y) (5 x + 4 y)$

Bài tập

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp đặt thừa số chung)

a) $3 a - 6 b - 9 c$
b) $- 7 a - 14 a b - 21 b$
c) $8 x y - 24 x + 16 y$ .

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp đặt thừa số chung)

a) $9 a b - 18 a + 9$
b) $4 a x - 2 a y - 2$
c) $- 2 a^{2} b - 4 a b^{2} - 6 a b$

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $2 a x y - 4 a^{2} x y^{2} + 6 a^{3} x^{2}$
b) $12 x^{3} y - 6 x y + 3 x$
c) $- 8 x^{3} y + 16 x y^{2} - 24$
d) $m (x + y) - n (x + y)$
e) $a b (x - 5) - a^{2} (5 - x)$ .

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $2 a^{2} (x - y) - 4 a (y - x)$
b) $2 a^{2} b (x + y) - 4 a^{3} b (- x - y)$
c) $x^{m + 2} - x^{2}$
d) $x^{m + 2} + x^{m}$ .

Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

a) $x^{2} - x y + 2 x$
b) $x y^{2} - 3 x y + x y^{2}$
c) $a^{2} b + 2 a^{2} b^{2} - 3 a^{2}$
d) $x (x + y) - 2 y^{2} (x + y)$ .

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

a) $2 (x^{2} - y^{2}) + x (x + y)$
b) $x y (x - 2) + x^{2} - 4$
c) $a b (a + b) + (a^{2} - b^{2})$ .

Bài 7. Tính nhanh.

a) $85 \cdot 12, 7 + 5 \cdot 3 \cdot 12, 7.$
b) $52 \cdot 143 - 52 \cdot 39 - 8 \cdot 26.$
c) $97 \cdot 13 + 130 \cdot 0, 3.$
d) $86 \cdot 153 - 530 \cdot 8, 6.$

Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $12 x^{2} + 18 x .$
b) $21 x^{2} y - 14 x y^{2} + 7 x y .$
c) $x^{2} + 2 x .$
d) $15 a b^{2} - 25 a b c .$
e) $- 45 x^{3} y z - 15 x y^{2} z + 30 x^{2} y z .$

Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2}$ .
b) $6 x^{2} y + 9 x y^{2} - 3 x y$ .
c) $2 x^{2} y^{2} - 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3}$ .
d) $3 a^{2} (x - 5) - 6 a b (5 - x) .$

Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $15 (x - 2 y) - 3 x (2 y - x) .$
b) $- 12 x^{2} (- x + y) + 18 x^{3} (y - x) .$
c) $x y (z + 1) + 3 x (z + 1) - 4 x^{2} (z + 1)$ .
d) $(x + 1)^{2} + 3 (x - 1)^{3} - (x + 1)^{2}$ .

Bài 11. Tìm $x$ , biết:

a) $x^{3} - 9 x = 0.$
b) $x^{2} - 4 x = 0.$
c) $2 x (x - 5) + 5 - x = 0.$

Bài 12. Tìm $x$ , biết:

a) $x + 5 x^{2} = 0.$
b) $x + 1 = (x + 1)^{2} .$
c) $x^{3} + x = 0.$

Phương trình bậc nhất: $a x + b = 0$ .

Leave a reply

Giải và biện luận phương trình $a x + b = 0$ .

Nếu $a \neq 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{- b}{a}$ .
Nếu $a = 0, b \neq 0$ thì phương trình vô nghiệm.
Nếu $a = 0, b = 0$ thì mọi $x \in R$ đều là nghiệm.

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình $(m - 1) x + 2 m - 3 = 0$ .

Giải

Khi $m - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m = 1$ , phương trình có nghiệm $x = \frac{3 - 2 m}{m - 1}$ .
Khi $m = 1$ , ta có phương trình $0 x - 1 = 0$ (Vô nghiệm).

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình $(m^{2} - 3 m + 2) x - m^{2} + 1 = 0$ .

Giải

Khi $m^{2} - 3 m + 2 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1, m \neq 2$ thì phương trình có nghiệm $x = \frac{m^{2} - 1}{m^{2} - 3 m + 2} = \frac{m + 1}{m - 2}$ .
Khi $m^{2} - 3 m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ hoặc $m = 2$ .
- Với $m = 1$ thì $1 - m^{2} = 0$ nên mọi $x \in R$ đều là nghiệm.
- Với $m = 2$ thì $1 - m^{2} \neq 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình $\frac{3 m x - 1}{x - m} = 2$ có nghiệm duy nhất.

Giải

Điều kiện $x \neq m$ . Phương trình tương đương với $3 m x - 1 = 2 (x - m) \Leftrightarrow (3 m - 2) x = - 2 m + 1$ .

Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $3 m - 2 \neq 0$ và $x = \frac{- 2 m - 1}{3 m - 2} \neq m \Leftrightarrow m \neq \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Kết luận: $m \neq \frac{2}{3}, \frac{1}{\sqrt{3}}, - \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Bài tập

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) $(m^{2} - 4 m + 2) x = m - 2$
b) $m^{2} (x - 1) = m x - 1$
c) $m (x - m + 3) = m (x - 2) + 6$
d) $m (m x - 1) = 4 x + 2$

Bài 2. Định $m$ để các phương trình sau vô nghiệm
a) $(4 m^{2} - 2) x = 1 + 2 m - x$
b) $(m + 1)^{2} x - 2 = (4 m + 9) x - m$
c) $\frac{x - 2}{x - 3} = \frac{x}{x + m}$
d) $\frac{x + 1}{x - m + 1} = \frac{x}{x + m + 2}$

Bài 3. Định $m$ để phương trình sau có nghiệm
a) $m^{2} (x - 1) = 4 x - 3 m + 2$
b) $\frac{2 x + m}{x - 1} - \frac{x + m - 1}{x} = 1$
c) $\frac{x + m}{x + 3} = \frac{x}{x + 1}$

[WpProQuiz 4]

Phép nhân đa thức với đa thức – Phần 1

Leave a reply

Muốn nhân đa thức với đa thức ta nhân từng đơn thức của đa thức này với đa thức kia.

Cho $A, B, C, D$ là các đơn thức. Khi đó:

$(A + B) \cdot (C + D) = A (C + D) + B (C + D)$

Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau:

a) $(x - 1) (x + 2)$ ;
b) $(2 - x) (3 x + 2)$ ;
c) $- 4 x (x - 2) (x + 2)$ ;

Giải

(x - 1) (x - 2) = x (x - 2) + (- 1) (x - 2)

$= x^{2} - 2 x + (- x + 2) = x^{2} - 3 x + 2$

(2 - x) (3 x + 2) = 2 (3 x + 2) + (- x) (3 x + 2)

$= 6 x + 4 + (- 3 x^{2} - 2 x) = - 3 x^{2} + 4 x + 4$

- 4 x (x - 2) (x + 2) = - 4 x [x (x + 2) + (- 2) (x + 2)]

$= - 4 x (x^{2} + 2 x - 2 x - 4) = - 4 x (x^{2} - 4)$

$= - 4 x^{3} + 16 x$

Ví dụ 2. Thực hiện các phép nhân.

a) $(2 x^{2} - y) (y + 3 x)$

b) $(3 x y^{2} + 4 x - 3 y) (x + 6 y)$

c) $(3 x^{2} - 2 z - 6 y) (x + z)$

Giải

(2 x^{2} - y) (y + 3 x) = 2 x^{2} (y) + (- y) (y) + (2 x^{2}) (3 x) + (- y) (3 x)

$= 2 x^{2} y - y^{2} + 6 x^{3} - 3 x y$

(3 x y^{2} + 4 x - 3 y) (x + 6 y) =

$= 3 x y^{2} (x) + 4 x (x) + (- 3 x) (x) + 3 x y^{2} (6 y) + 4 x (6 y) - (3 y) (6 y)$

$= 3 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} + 18 x y^{3} + 24 x y - 18 y^{2}$

(3 x^{2} - 2 z - 6 y) (x + z) =

$= 2 x^{2} \cdot x + (- 2 z) \cdot x + (- 6 y) \cdot x + (3 x^{2}) \cdot z + (- 2 z) \cdot z + (- 6 y) \cdot z$

$= 2 x^{3} - 2 x z - 6 x y + 3 x^{2} z - 2 z^{2} - 6 y z$

[WpProQuiz 2]

Toán Việt

Chia sẻ và học hỏi

Tag Archives: Lop8

Phân tích đa thức thành nhân tử – Phương pháp thêm bớt (tách) hạng tử

Phân tích thành nhân tử- Phương pháp nhóm hạng tử

Phân tích đa thức thành nhân tử – Đặt thừa số chung

Phương trình bậc nhất: $a x + b = 0$ .

Phép nhân đa thức với đa thức – Phần 1