Chúc mừng trường Phổ thông Năng khiếu đã thành lập được đội tuyển toán, gồm 4 bạn lớp 12 và 6 bạn lớp 11. Tất cả các bạn vào đội tuyển đều rất xứng đáng, có một vài trường hợp hơi tiếc, hy vọng các em vẫn còn đam mê để bức phá ở thời gian sau.
Hoàng Sơn 10 Toán đã có một ngày thi thứ nhất rất xuất sắc nhưng chưa đủ giúp em vào đội tuyển, hy vọng năm sau em sẽ tỏa sáng.
Bài 1.
1) a) a) Ta có $\Delta’ = {\left( {{m^2} + m + 1} \right)^2} – \left( {{m^4} + {m^2} + 1} \right) = \left( {{m^2} + m + 1} \right)2m \ge 0$\\
Mà ${m^2} + m + 1 = {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0 \Rightarrow m \ge 0$\\
Khi đó theo định lý Viete ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\left( {{m^2} + m + 1} \right) \\
{x_1}{x_2} = {m^4} + {m^2} + 1 \\
\end{array} \right.$
Suy ra:
$\begin{array}{l}
A = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{x_1}{x_2}}}} \right) = 2\left( {{m^2} + m + 1} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{m^4} + {m^2} + 1}}} \right) \\
= 2\left( {{m^2} + m + 1 + \dfrac{1}{{{m^2} – m + 1}}} \right) \\
\end{array}$.
Ta có ${m^2} – m + 1 = {\left( {m – \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0$. \\
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ${m^2} – m + 1 + \frac{1}{{{m^2} – m + 1}} \ge 2$ và $m \ge 0$.
Do đó $A \geq 4$, đẳng thức xảy ra khi $m =0$. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi $m = 0$.
b) $B = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{4{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{{{\left( {{m^2} + m + 1} \right)}^2}}}{{{m^4} + {m^2} + 1}} = \dfrac{{{m^2} + m + 1}}{{{m^2} – m + 1}}$;
Ta có $0 < \dfrac{{{m^2} + m + 1}}{{{m^2} – m + 1}} = 1 + \dfrac{{2m}}{{{m^2} – m + 1}} \le 3$\\
B là số tự nhiên nên $B = 1,2,3$.
Với $B = 1$ ta có $m =0$;
Với $B = 2$ (vô nghiệm) ;
Với $B = 3$ ta có $m = 1$.
Vậy các giá trị cần tìm là $m = 0$ và $m = 1$.
2) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) = – 4 \\
\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right) = 1 \\
\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right) = – 1 \\
\end{array} \right.$
Nhân 3 phương trình ta có:
${\left[ {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \right]^2} = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right) = – 2 \\
\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right) = 2 \\
\end{array} \right.$;
Trường hợp 1: $\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) = – 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y + z = 1/2 \\
x + z = – 2 \\
x + y = 2 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{ – 1}}{4} \\
y = \frac{9}{4} \\
z = \frac{{ – 7}}{4} \\
\end{array} \right.$
Trường hợp 2: $\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y + z = – 1/2 \\
x + z = 2 \\
x + y = – 2 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1/4 \\
y = – 9/4 \\
z = 7/4 \\
\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $\left( {x,y,z} \right):\left( {\frac{{ – 1}}{4},\frac{9}{4},\frac{{ – 7}}{4}} \right),\left( {\frac{1}{4},\frac{{ – 9}}{4},\frac{7}{4}} \right)$
Bài 2. Vì $abc > 1$ nên không thể có 3 số đều nhỏ hơn 1.
Vì $a + b + c < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$ nên không thể cùng lớn hơn 1.
Nếu có một số bằng 1, giả sử $a = 1$ ta có $bc > 1$ và $b + c < \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{b+c}{bc}$ (vô lý).
Nên các số đều khác 1. Giả sử có hai số nhỏ hơn 1 là $a, b$ và $c > 1$.
Khi đó $ab < 1, ac \geq \dfrac{1}{b} > 1, bc \geq \dfrac{1}{a} > 1$.
Do đó: $(ab-1)(bc-1)(ac-1) < 0 \Leftrightarrow a^2b^2c^2 +ab+bc+ac -abc(a+b+c) – 1 < 0 (1)$.
Mặc khác $abc > 1, a+ b+ c < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \Leftrightarrow ab+bc+ac > abc(a+b+c) (2)$
Từ (1) và (2) ta có mâu thuẫn.
Vậy chỉ có đúng một số nhỏ hơn 1.
Bài 3.
a) Các ước của 12 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12 ta có $1.2.3.4.6.12 = 12^3$. Nên 12 là số lập phương.
Các ước của 32 là $1, 2, 4, 8, 16, 32$, ta có $1.2.4.8.16.32 = 32^3$. Nên 32 là số lập phương.
b) Dễ tìm được $n = 5$.
c) Giả sử $n$ là số lập phương.
Nếu $n = 1$ thì $n$ là số lập phương. \\
Xét $n > 1$. Thì $n$ không là số nguyên tố vì nếu $n$ là số nguyên tố thì $n$ có các ước là $1, n$, mà $1.n \neq n^3$.
Suy ra $n$ là hợp số.
Trường hợp 1. Nếu $n$ có một ước nguyên tố là $p$, tức là: $n = p^k$ với $q$ là số nguyên tố. Khi đó các ước của $n$ là $1, p, p^2, …, p^{k-1}, p^k$. Khi đó $1. p.p^2…p^{k} = n^3 = p^{3k}$, suy ra $1 + 2 + …+ k = 3k$, suy ra $k = 5$. Vậy $n = p^5$ với $p$ nguyên tố. \\
Trường hợp 2. Nếu $n$ có 2 ước nguyên tố là $p, q$. Khi đó $n = p^m.q^k$. Nếu $m, k \geq 2$ thì ta có các ước của $n$ là $1, n, p^m, q^n, p, p.q^k, q, q.p^m$. Khi đó tích các ước sẽ lớn hơn $n^3$. Do đó $m, k$ không cùng lớn hơn hoặc bằng 2.
Nếu $m = k = 1$ thì các ước của $n$ là $1, p, q, n$ khi đó tích các ước là $1.p.q.n = n^2$, cũng không thỏa.
Nếu $m = 2, k = 1$ thì các ước của $n$ là $1, p, q, p^2, qp, n$. Khi đó $1.p.q.p^2.pq.n = n^3$ thỏa đề bài. \\ Vậy $n= p^2q$ với $p, q$ là các số nguyên tố là số lập phương.
Trường hợp 3. $n$ có nhiều hơn ba ước nguyên tố, khi đó số ước của $n$ lớn hơn hoặc bằng 8. Giả sử các ước là $1, d_1, d_2, …, d_k = n$ thì $1.d_1.d_{k-1}.d_2.d_{k-2}.d_3.d_{k-3}.n > n^3$, nên không thể là số lập phương.
Vậy các số lập phương là $1, p^5, p^2.q$ với $p, q$ là các số nguyên tố.
Cách khác: Ta có thể chứng minh số lập phương có đúng 6 ước số trước, rồi suy ra $n$.
Bài 4.
a) Ta có $ADBE$ là hình chữ nhật $S_{ABDE} = AD.AB$. Ta có $AD. AB \leq \dfrac{1}{2}(AD^2+BD^2) = 2R^2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $AD = BD$. Khi đó $AC = AB = 2R$.
Vậy diện tích tứ giác $ADBE$ nhỏ nhất bằng $2R^2$ khi $AC = AB = 2R$.
b) Ta có $\Delta MFA \sim \Delta MAD$, suy ra $MA^2 = MF.MD$.(1)
Ta có $BF.BG = BA^2, BD.BC = BA^2$, suy ra $BF.BG = BD.BC$, suy ra tứ giác $DFGC$ nội tiếp. Khi đó $\Delta MFG \sim \Delta MCD$, suy ra $MC.MG = MF.MD$. (2)
Từ (1) và (2) ta có $MA^2 = MC.MG$.
c) Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $BF$. $CH$ cắt $AB$ tại $O’$.
Ta có $\angle CDG = \angle CFG = \angle BFE = \angle DBA$, suy ra $DG || AB$.
Qua $H$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AG, BD$ tại $P, Q$. Ta có $\dfrac{HP}{AB} = \dfrac{GH}{GB} = \dfrac{DH}{DA} = \dfrac{QH}{AB}$, suy ra $HP = HQ$.
Ta có $\dfrac{HP}{AO’} = \dfrac{CH}{CO’} = \dfrac{QH}{BO’}$, mà $HP = HQ$, suy ra $AO’ = BO’$, hay $O’ \equiv O$. Vậy các đường thẳng $AD, BF, CO$ đồng quy.
Bài 5.
a) Đặt $r_1 = a + b+ c, r_2 = d+e+f, r_3 = g + h + i$ và $c_1 = a+ d + g, c_2 = b + e + h, c_3 = c + f + i$. Ta có $r_1 + r_2 + r_3 = c_1 + c_2 + c_3$.
Khi đó $a = |r_1 – c_1| = |(r_2 +r_3) – (c_2 + c_3)| = |(r_2-c_2) + (r_3 – c_3)| = \pm (r_2-c_2) \pm (r_3-c_3) = \pm e \pm i$.
Vì các số đều không âm nên không thể xảy ra trường hợp $a = – e- i$. Do đó $a = e +i, e- i$ hoặc $i – e$.
Tương tự cho các trường hợp khác.
b) Tồn tại, xét bảng sau: với $x > 0$.
Bài 1. (2,5 điểm)
1) Cho phương trình ${x^2} – 2\left( {{m^2} + m + 1} \right)x + {m^4} + {m^2} + 1 = 0$ ($m$ là tham số).
a) Tìm $m$ đề phương trình có nghiệm $x_1, x_2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{x_1}{x_2}}}} \right)$
b) Tìm $m$ để $\dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{4{x_1}{x_2}}}$ là một số tự nhiên.
2) Giải hệ phương trình $\left{ \begin{matrix} x(x+y+z)+yz = – 4 \hfill \cr y(x+y+z)+xz=1 \hfill \cr z(x+y+z) + xy = – 1 \end{matrix} \right.$
Bài 2. (1 điểm) Cho các số $a, b, c > 0$ thỏa $abc > 1$ và $a + b + c < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$.
Chứng minh rằng trong 3 số $a, b, c$ có đúng một số nhỏ hơn 1.
Bài 3. (2 điểm) Một số nguyên dương được gọi là số lập phương nếu tích các ước dương của nó bằng lập phương của số đó.
a) Chứng minh rằng 12 và 32 là các số lập phương
b) Tìm số tự nhiên $n$ để $2^n$ là số lập phương.
c) Tìm tất cả các số lập phương.
Bài 4. (3 điểm) Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. Gọi $C$ là một điểm thay đổi trên tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$,$BC$ cắt $(O)$ tại điểm $D$ khác $B$. $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua $O$, $CE$ cắt $(O)$ tại $F$ và $BF$ cắt $AC$ tại $G$.
a) Tính $AC$ khi diện tích tứ giác $ADBE$ lớn nhất.
b) $DF$ cắt $AC$ tại $M$. Chứng minh $MA^2 = MG.MC$.
c) Chứng minh rằng các đường thẳng $AD, BF$ và $CO$ đồng quy.
Bài 5. (1, 5 điểm)Cho bảng vuông $3 \times 3$. Người ta điền vào các ô vuông các số không âm sao cho nếu tổng các số ở một dòng là $r$, tổng các số ở một cột là $c$ thì $|r-c|$ là bằng giá trị ô vuông giao giữa dòng và cột đó.
a) Chứng minh rằng với số ở mỗi ô vuông bằng tổng hoặc hiệu các số ở hai ô vuông khác.
b) Có tồn tại hay không một cách điền số mà các số đều là số dương?
Hết.
Đáp án -> Here
| [WpProQuiz 13] |
Trường Phổ thông Năng khiếu chính thức được thành lập năm 1996, tiền thân là khối chuyên toán tin thuộc Đại học Tổng hợp TPHCM. Qua 20 năm hình thành và phát triển, bộ môn toán đã đạt nhiều kết quả tốt đẹp. Ngoài công tác giảng dạy tại trường, khâu tuyển chọn cũng rất quan trọng để tìm ra những em có năng khiếu toán thực sự. Và đề thi vào lớp 10 chuyên toán luôn được đón nhận một cách rất hào hứng từ giáo viên và học sinh. Nay nhân dịp 20 năm thành lập trường, chúng ta cùng nhìn lại một số đề thi, những bài toán dã là mục tiêu phấn đấu của nhiều học sinh trong suốt quá trình học THCS.
Những năm đầu thành lập, đề chuyên toán được sử dụng cho tuyển sinh đầu vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin, ngoài ra để thi vào chuyên Toán thì học sinh phải làm một đề thi chung cho các bạn thi các môn KHTN, được gọi là đề toán AB. Trong vài năm gần đây thì đề chuyên Toán còn dùng để tuyển sinh đầu vào cho các lớp chuyên Tin, chuyên Lý và chuyên Sinh và thay vì các đề toán AB, toán CD chỉ còn lại một đề toán chung cho các khối lớp chuyên.
Ngoài ra, trường Phổ thông Năng khiếu còn tuyển sinh khắp miền nam chứ không riêng gì khu vực TPHCM, các bạn nơi có điều kiện học tập tốt và các bạn nơi khó khăn hơn đều có cơ hội đỗ vào trường như nhau, không cộng điểm ưu tiên vì bất cứ lí do gì, điều đó cũng ảnh hưởng đến cách ra đề.
Trước tiên ta hãy xem lại đề thi vào chuyên toán năm 1996, năm học đầu tiên:
Bài 1. Gọi $a, b$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 + px + 1 = 0$; $c, d$ là hai nghiệm của phương trình $y^2 + qy + 1 = 0$. Chứng minh rằng [ (a-c)(a-d)(b-c)(b-d) = (p-q)^2]
Bài 2. Cho các số $x, y, z$ thỏa $x + y + z = 5, x^2 + y^2 + z^2 = 9$. Chứng minh rằng $ 1 \leq x, y, z \leq \dfrac{7}{3}$.
Bài 3.
a)Cho tứ giác lồi $ABCD$. Hãy dựng đường thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác $ABCD$.
b) Cho tam giác ABC và đường thẳng $d||BC$ và nằm khác phía của $A$ đối với $BC$. Lấy điểm $M$ di động trên $d$ sao cho $ABMC$ là tứ giác lồi. Đường thẳng qua $A$ chia đôi diện tích tứ giác cắt $BM$ hoặc $CM$ tại $N$. Tìm quỹ tích điểm $N$.
Bài 4. Chứng minh không tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $\sqrt{n-1} + \sqrt{n+1}$ là số hữu tỷ.
Bài 5.
a) Chứng minh với $N \geq 3$, luôn luôn có $N$ số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $mn \geq 3$ bao giờ cũng xây được một bảng chữ nhật gồm $m \times n$ số chính phương đôi một khác nhau cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một số chính phương.
Chưa bàn đến độ khó của đề, ta thấy rằng về cấu trúc đề thi có đầy đủ các phần: Đại số, số học, hình học và tổ hợp. Đó cũng là cấu trúc chung của các đề thi chuyên toán PTNK, định hình từ ngày thành lập trường đến hiện nay. Đến đây, ta có thể tách riêng từng phần để nhận xét kĩ hơn. Trước tiên ta xem qua phần đại số.
1. Đại số
Đại số là các bài toán liên quan đến biến đổi biểu thức, đa thức, áp dụng định lý Viete, phương trình, hệ phương trình, các bài toán lập và giải phương trình,…Trong đó phần bất đẳng thức, cực trị luôn chiếm một vai trò lớn trong toán chuyên, nhiều học sinh rất giỏi đại số và dễ dàng đạt điểm cao trong phần này. Mặc dù có độ khó ngày càng tăng theo năm nhưng những bài toán đại số trong đề tuyển sinh PTNK vẫn không quá mẹo mực, đòi hỏi kĩ thuật nhiều. Một số bài biến đổi biểu thức khá hay:\
Bài 5 – 1999
a) Chứng minh đẳng thức: $x + y+ |x-y| = 2 \max {x,y}, \forall x, y \in \mathbb{R}$.
b) Chứng minh đẳng thức: [\left| {\frac{{a + b}}{{ab}} + \left| {\frac{{a – b}}{{ab}}} \right| – \frac{2}{c}} \right| + \frac{{a + b}}{{ab}} + \left| {\frac{{a – b}}{{ab}}} \right| + \frac{2}{c} = 4\max \left{ {\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}} \right},\forall a,b,c \ne 0 ]
Trong đó max là kí hiệu số lớn nhất trong các số đi kèm.
Bài 4-2002. Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện }$a + \dfrac{1}{b} = b + \dfrac{1}{c} = c + \dfrac{1}{a}$.
a) Cho $a = 1$, tìm $b, c$.
b) Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ đôi một khác nhau thì} $a^2b^2c^2 = 1$.
c) Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ đều dương thì $a = b = c$.
Cùng với thời gian thì phần biến đổi này cũng trở nên dễ hơn và ít được xuất hiện trong các đề thi, cũng có thể tập trung cho các phần khác. Ta xem một số bài phương trình, hệ phương trình:
Bài 1-2006
a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + xy = 1\\
2{y^2} + xy = 1
\end{array} \right.$
b) Giải bất phương trình $\sqrt{3x-5x^2} \leq 5x-2$}
c) Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $x+y=2$. Chứng minh rằng $xy(x^2+y^2) \leq 2$
Bài 1-2008
1)Cho phương trình ${x^2} – mx + 2m – 2 = 0\left( 1 \right)$
a) Chứng minh rằng (1) không thể có hai nghiệm đều âm.
b) Giả sử ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của (1). Chứng minh rằng biểu thức $\dfrac{{\left( {x_1^2 – 2{x_1} + 2} \right)\left( {x_2^2 – 2{x_2} + 2} \right)}}{{x_1^2 + x_2^2}}$ không phụ thuộc vào giá trị của $m$}
\end{enumerate}
2)Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}
x = {y^2} + {z^2}\\
y = {z^2} + {x^2}\\
z = {x^2} + {y^2}
\end{array} \right.$
Bài 1-2016
a) Giải hệ
$$\left\{\begin{array}{l} (x-2y)(x+my) = m^2-2m-3 \\(y-2x)(y+mx) = m^2-2m-3
\end{array} \right.$$
khi $m = -3$ và tìm $m$ để hệ co ít nhất một nghiệm $(x_o, y_o)$ thỏa $x_o > 0, y_o > 0$. }
b) Tìm $a \geq 1$ để phương trình $ax^2 + (1-2a)x + 1-a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_2^2 – ax_1 = a^2-a-1$.
Nhìn chung các bài phương trình, hệ phương trình khác dễ lấy điểm. Tuy có năm 2016, bài hệ phương trình có tham số nên trở thành một bài toán quá phức tạp, rất ít học sinh giải được trọn vẹn bài toán này.
Tiếp theo ta cùng nhìn qua một số bài bất đẳng thức. Bất đẳng thức trong kì thi đầu vào của PTNK chỉ là các bài toán biến đổi tương đương hoặc chỉ áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số. Có thể đây là mục tiêu của ban ra đề nhằm tránh cho các bạn quá sa đà vào các kĩ thuật chứng minh bđt mà bỏ quên các phần khác.
Bài 4-1998. Cho $x, y, z, p, q, r$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x + y + z = p + q + r=1$ và $pqr \leq \dfrac{1}{2}$.}
a) Chứng minh rằng nếu $x \leq y \leq z$ thì $px + qy + rz \geq \dfrac{x+y}{2}$}
b)Chứng minh rằng $px + qy + rz \geq 8xyz$}
Bài 5-2000 1)Cho $a b, c$ là 3 số không âm thỏa điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 \leq 2(ab+bc+ac)$ (1)
a) Chứng minh rằng $a+b+c \leq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc} + \sqrt{ac})$ (2).
b) Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) được không? Vì sao?
2) Cho $a, b, c$ là 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và $p, q, r$ là các số thỏa điều kiện $p+q+r = 0$. Chứng minh $apq + bqr + crp \leq 0$.
Bài 3-2016 Biết $x \geq y \geq z, x + y + z =0$ và $x^2 + y^2 + z^2 = 6$.
a)Tính $S = (x-y)^2 + (x-y)(y-z) + (y-z)^2$.
b)Tìm giá trị lớn nhất của $P = |(x-y)(y-z)(z-x)|$.
2. Hình học
Hình học là một trong những bài toán hay nhất của đề thi PTNK, trong những năm học vừa qua PTNK luôn có những học sinh rất giỏi hình học nhưng Hồ Quốc Đăng Hưng, Nguyễn Huy Hoàng, cũng như tinh thần chung của đề thi PTNK, hình học cũng là những bài toán có thể là quen thuộc và được phát biểu với dạng khác. Ta cùng xem qua một số bài toán mà tôi thấy khá hay: \
Bài 3-1999. Cho tam giác $ABC$ có diện tích S và một điểm $P$ nằm trong tam giác.
a)Gọi $S_1, S_2, S_3$ lần lượt là diện tích của tam giác $PBC, PCA, PAB$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $S_1^2 + S_2^2 + S_3^2$. }
b) Gọi $P_1, P_2, P_3$ lần lượt là các điểm đối xứng của $P$ qua $BC, CA$ và $AB$. Đường thẳng qua $P_1$ song song với $BC$ cắt $AB$ và $AC$ tại $B_1$ và $C_1$. Đường thẳng qua $P_2$ song song với $AC$ cắt $BC, BA$ tại $C_2, A_2$, đường thẳng qua $P_3$ và song song với $AB$ cắt $CA, CB$ tại $A_3, B_3$. Hãy xác định vị trí của điểm $P$ để tổng diện tích ba hình thang $BCC_1B_1, CAA_2C_2$ và $ABB_3A_3$ đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
Bài 3-2006. Cho tam giác đều $ABC$. $P$ là một điểm nằm trong tam giác. Gọi $x, y, z$ lần lượt là kkhoảng cách từ $P$ đến các cạnh $BC, CA, AB$ tương ứng.}
a) Biết rằng $x=1, y=2, z=3$. Hãy tính diện tích của tam giác $ABC$. }
b) Tìm quỹ tích điểm $P$ trong tam giác sao cho $x+y=z$. Từ đó suy ra tập hợp những điểm $P$ trong tam giác sao cho $x, y, z$ lập thành 3 cạnh của một tam giác.
Bài 4-2010. Cho đường tròn tâm $O$, bán kính $R$, dây cung $BC$ cố định có độ dài $R\sqrt{3}$. $A$ là một điểm thay đổi trên cung lớn $BC$. Gọi $E$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$; $F$ là điểm đối xứng của $B$ qua $AC$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABE$ và $ACF$ cắt nhau tại $K$ ($K \neq A$).
a) Chứng minh $K$ luôn thuộc một đường tròn cố định.
b) Xác định vị trí của $K$ để tam giác $KBC$ có diện tích lớn nhất và tính diện tích đó theo $R$.
c) Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$. Chứng minh rằng tam giác $ABH$ đổng dạng với tam giác $ACK$ và $AK$ đi qua điểm cố định.
Bài 4.Cho điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đường kính $AB = 2R$ ($C \neq A, C \neq B$).
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $AB$; $I$ và $J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các
tam giác $ACH$ và $BCH$. Các đường thẳng $CI, CJ$ cắt $AB$ tại $M, N$.}
a) Chứng minh $AN = AC, BM = BC$.
b) Chứng minh 4 điểm $M, N, I, J$ cùng nằm trên một đường tròn và các đường thẳng
$MJ, NI$ và $CH$ đồng quy.
c) Tìm giá trị lớn nhất của MN và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác CMN theo R.
3. Số học
Một trong những điểm khác biệt của đề thi vào PTNK là bài toán số học. Bài toán số học luôn chiếm một vị trí trong đề thi và ngày càng được chú trọng, do đó độ khó tăng rõ rệt. Những năm đầu tiên, do dùng chung với đề tuyển sinh chuyên tin nên bài toán số học đôi khi được phát biểu dưới dạng mệnh đề đúng, mệnh đề sai:
Bài 2-1998.Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$. Biết rằng trong bốn mệnh đề $P, Q, R, S$ dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai:
P = “$a = 2b + 5$”\
Q = “$(a+1)$ chia hết cho $b$”\
R = “$(a+b)$ chia hết cho 3″\
S = “$(a+7b)$ là số nguyên tố”
a)Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trongbốn meệnh đề trên (có giải thích).
b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương $a, b$ thỏa ba mệnh đề đúng còn lại.
Bài toán số học chung quy cũng liên quan đến chia hết, số nguyên tố, phương trình nghiệm nguyên… nhưng được phát biểu một cách nhẹ nhàng và có những ý khá đơn giản cho các em học sinh có thể làm được. Và ngày được chú trọng nên độ khó cũng ngày được nâng lên.
Bài 3-2010
a) Hãy chỉ ra một bộ 4 số nguyên dương phân biệt mà tổng bộ ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố.
b) Chứng minh rằng không tồn tại 5 số nguyên phân biệt mà tổng 3 số bầt kỳ trong chúng là một số nguyên tố.
Câu b cũng chỉ là dạng phát biểu mới của bài toán: Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương phân biệt bất kì luôn có 3 số có tổng chia hết cho 3}. Và đây cũng là một bài toán dễ. Tuy nhiên, vài năm gần đây độ khó tăng lên, ta xem bài toán số học của 3 năm gần đây.
Bài 3-2014. Cho các số nguyên dương $a, b$ thỏa $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{c}$.
a) Chứng minh rằng $a + b$ không thể là số nguyên tố.}
b) Chứng minh rằng nếu $c > 1$ thì $a+c$ và $b+c$ không thể đồng thời là số nguyên tố.
Bài 2-2015
a) Tìm các số nguyên $a, b, c$ sao cho $a+b+c = 0$ và $ab+bc+ac+3=0$.}
b) Cho $m$ là số nguyên. Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên $a, b, c$ khác 0 sao cho $a+b+c = 0$ và $ab+bc+ac + 4m = 0$ thì cũng tồn tại các số nguyên $a’, b’, c’$ sao cho $a’+b’+c’ = 0$ và $a’b’+b’c’+a’c’ + m = 0$.}
c) Với $k$ là số nguyên dương, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $a, b, c$ khác 0 sao cho $a+b+c = 0$ và $ab+bc+ac + 2^k = 0$.}
Bài 2-2016. Cho $x, y$ là hai số nguyên dương mà $x^2 + y^2 + 10$ chia hết cho $xy$.
a) Chứng minh rằng $x, y$ là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau.}
b) Chứng minh $k = \dfrac{x^2+y^2+10}{xy}$ chia hết cho 4 và $k \geq 12$.
Tôi rất thích các bài toán số học này, từ cách phát biểu đến kiến thức cần sử dụng. Tuy khó hơn khá nhiều so với những năm đầu, tuy nhiên các bài toán này vẫn có ý để cho học sinh làm và phân loại tốt.
4.Tổ hợp
Tổ hợp có lẽ là phần quan trọng nhất trong đề tuyển sinh vào PTNK, các thầy ra đề luôn chú trọng tới phần này. Tổ hợp là dạng bài tập khó dùng để phân loại học sinh có năng khiếu. Nhìn chung các bài toán liên quan đến các phương pháp chứng minh:
Phương pháp phản chứng
Bài 5- 2006. Cho 13 số thực thỏa mãn điều kiện: tổng của 6 số bất kỳ trong chúng nhỏ hơn tổng của 7 số còn lại. Chứng minh rằng tất cả các số đã cho đều dương.
Quy nạp
Các năm đầu, phương pháp quy nạp được sử dụng nhiều trong các bài toán tổ hợp. Và các bài toán tổ hợp cũng rất khó, tôi luôn nhớ bài toán tổ hợp năm tôi thi vào PTNK:
Bài 4-1999. Người ta lát nền nhà hình vuông kích thước $n \times n$ ô bằng các viên gạch như hình vẽ dưới sao cho còn chừa lại một ô không lát.
a) Hãy chỉ ra một cách lát như trên với nền nhà kích thước $4 \times 4$ và $8 \times 8$.
b) Hãy chứng minh rằng luôn tồn tại một cách lát nền nhà có kích thước $2^k \times 2^k$ (k nguyên dương) với ô trống còn lại nằm ở vị trí $(i,j)$ bất kì. }
Bài 5-1998
a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, …, 8 thành một dãy $a_1, a_2 ,…, a_8$ sao cho 2 số $a_i, a_j$ bất kì $(i < j)$ thì mọi số trong dãy nằm giữa $a_i$ và $a_j$ đều khác $\dfrac{a_i + a_j}{2}$.
b) Chứng minh rằng với $N$ số nguyên dương đầu tiên $1, 2, …, N$ luôn tìm được cách sắp thành dãy $a_1, a_2, …, a_N$ sao cho dãy thỏa mãn điều kiện như câu a).
Cùng với quy nạp, bài toán bất biến cũng xuất hiện nhiều trong các bài toán tổ hợp:
Bài 5-2003
a) Cho một bảng vuông $4 \times 4$. Trên các ô của hình vuông này, ban đầu người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số). Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép một hàng hoặc một cột bất kỳ trên hàng hoặc cột được chọn đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 0. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về bảng toàn các số 0.
b)Ở vương quốc “Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì cả hai đổi sang tóc xanh). Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy ở “Sắc màu kỳ ảo” tất cả các hiệp sĩ đều có cùng màu tóc không? Vì sao?
Và nguyên lí Dirichlet xuất hiện cũngkhá nhiều, một số bài có sử dụng nguyên lí này:\
Bài 5-2005. Xét 81 chữ số trongg đó có 9 chữ số , 9 chữ số 2,…, 9 chữ số 9. Hỏi có thể xếp 81 chữ số này thành một dãy số cho với mỗi $k =1, 2, …, 9$ thì giữa hai chữ số $k$ liên tiếp có đúng $k$ chữ số.
Bài 5-2011. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 3, AD = 4$.
a) Chứng minh rằng từ 7 điểm bất kì trong hình chữ nhật $ABCD$ luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $\sqrt{5}$}
b) Chứng minh khẳng định ở câu a) vẫn còn đúng với 6 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật $ABCD$.
Bài 5-2015. Để khuyến khích phong trào học tập, một trường THCS đã tổ chứng 8 đợt thi cho các học sinh. Ở mỗi đợt thi, có đúng 3 học sinh được chọn để trao giải. Sau khi tổ chứng xong 8 đợt thi, người ta nhận thấy rằng với hai đợt thi bất kì thì có đúng 1 học sinh được trao giải ở cả hai đợt thi đó. Chứng minh rằng:
a) Có ít nhất một học sinh được trao giải ít nhất bốn lần.
b) Có đúng một học sinh được trao giải ở 8 đợt thi.
Ngoài các phương pháp chứng minh trên, các bài toán tổ hợp cũng rất phong phú về nội dung, đôi khi mang màu sắc tin học như bài năm 1999 và một số bài sau:
Bài 5-1996
a) Chứng minh với $N \geq 3$, luôn luôn có $N$ số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $mn \geq 3$ bao giờ cũng xây được một bảng chữ nhật gồm $m \times n$ số chính phương đôi một khác nhau cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một số chính phương.
Bài 5-2012. Cho đa giác đều n cạnh . Dùng 3 màu xanh , đỏ, vàng tô màu các đỉnh đa giác một cách
tùy ý ( mỗi đỉnh được tô bởi một màu và tất cả các đỉnh đều được tô màu). Cho phép thực hiện
thao tác sau đây : chọn hai đỉnh kề nhau bất kì ( nghĩa là hai đỉnh liên tiếp) khác màu và thay
màu của hai đỉnh đó bằng màu còn lại.}
a) Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta luôn luôn làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi hai màu.}
b) Chứng minh rằng với n = 4 và n = 8, bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta có thể làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi một màu.
Bài số 5 – 2012 có lẽ là bài toán tổ hợp khó nhất trong những năm gần đây, không có học sinh nào làm được trọn vẹn bài nay. Tôi nhớ rằng năm đó điểm cao nhất là 7.75, một năm mà đề thi rất khó. Tổ hợp luôn là bài toán được quan tâm từ lúc ra đề đến khi vào học, có thể đó là một trong những lí do học sinh PTNK khá mạnh phần này, điển hình là Phạm Tuấn Huy – 2 HCV IMO liên tiếp vào các năm 2013, 2014.
5. Các bài toán bóng đá.
Có lẽ đây là một đề tài rất thú vị của đề thi vào PTNK. Các bài toán bóng đá xuất hiện thường xuyên và cách năm, cứ mỗi năm xảy ra Worldcup hay Euro thì sẽ có một bài liên quan đến bóng đá, mặc dù chỉ bó hẹp trong phạm vi bóng đá, tuy nhiên đề bài lại rất phong phú đa dạng, đòi hỏi suy luận chặc chẽ và cẩn thận. Một số bài liên quan đến lập và giải phương trình:
Bài 5-2002. Trong một giải bóng đá có $N$ đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đều gặp nhau đúng một lần). Sau mỗi trận đấu, thắng được 3 điểm, đội thua không được điểm nào, còn nếu trận đấu có kết quả hòa thì mỗi đội được 1 điểm. Các đội xếp hạng dựa theo tổng điểm. Trong trường hợp một số đội có tổng điểm bằng nhau thì các đội này được xếp hạng theo chỉ số phụ. Kết hức giải người ta nhận thấy rằng không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa; các đội xếp nhất, nhì, ba có tổng điểm lần lượt là 15, 12, 12 và tất cả các đội xếp nhau có tổng điểm đôi một khác nhau. }
a) Chứng minh rằng $N \geq 7$.
b) Tìm $N$ và tổng điểm của mỗi đội tham gia giải.
Bài 5-2008. Trong một giải vô địch bóng đá có 6 đội tham gia. Theo điều lệ của giải, hai đội bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua 0 điểm. Kết thúc giải, số điểm của các đội lần lượt là $D_1, D_2, D_3, D_4, D_5, D_6$ $\left( {{D_1} \ge {D_2} \ge {D_3} \ge {D_4} \ge {D_5} \ge {D_6}} \right)$. Biết rằng đội bóng với số điểm D1 thua đúng một trận và ${D_1} = {D_2} + {D_3} = {D_4} + {D_5} + {D_6}$. Hãy tìm $D_1$ và $D_6$. }
Đây là hai bài toán khó nhất về đề tài bóng đá, trong đó bài năm 2008 là rất khó đòi hỏi nhiều suy luận và xét các trường hợp một cách cẩn thận. Một số bài toán khác không liên quan đến điểm thì liên quan đồ thị:
Bài 5-2010. Trong một giải bóng đá có 12 đấu vòng tròn một lượt (2 đội bất kỳ đấu với nhau một trận).
a) Chứng minh rằng sau 4 vòng đấu (mỗi đội đấu 4 trận) luôn tìm được 3 đội bóng đôi một chưa đấu với nhau.}
b) Khẳng định còn đúng không khi mỗi đội đã thi đấu đúng 5 trận.}
Đây là bài toán về bóng đá cuối cùng xuất hiện trong các đề thi PTNK, có lẽ đem lại một chút tiếc nuối cho các học sinh, tuy nhiên vì bóng đá luôn là đề tài hấp dẫn, biết đâu nó sẽ trở lại vào một ngày không xa.
6.Lời kết
Trên đây tôi đã ngược dòng lịch sử, điểm lại một số đặc điểm về đề thi tuyển sinh vào PTNK trong 20 năm qua để các bạn có một cái nhìn bao quát nhất, và từ đó ta cũng thấy được cách tuyển chọn học sinh năng khiếu toán của trường. Một trong những lí do mang lại thành công cho học sinh và cựu học sinh của trường trên con đường học thuật sau này.
Bài 1. (2 điểm)
a) Cho các số $a$, $b$, $c$ thỏa $2a + 3b + 6c = 0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ luôn có nghiệm.
b) Giải hệ phương trình: $\left{ \begin{array}{l}
\left( {{x^4} + 1} \right)\left( {{y^4} + 1} \right) = 4xy\
\sqrt[3]{{x – 1}} – \sqrt {y – 1} = 1 – {x^3}
\end{array} \right.$
Bài 2. (2 điểm) Cho các số $a$, $b$, $c$ thỏa $a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = 1$.
a) Chứng minh rằng trong 3 số $a, b, c$ có ít nhất một số dương.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $a^2+b^2+c^2$.
Bài 3. (1,5 điểm) Cho $n$ là số nguyên dương và $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$ là các ước nguyên dương nhỏ nhất của $n$ thỏa: $n = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2$
a) Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $4$
b) Tìm $n$.
Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định, $A, B$ cố định, $C$ thay đổi trên cung lớn $AB$. Gọi $K$ là trung điểm $AB$; $D$ và $E$ là hình chiếu của $K$ trên $CA, CB$.
a) Tìm vị trí của $C$ để $DE$ lớn nhất.
b) $DE$ cắt $AB$ và $CO$ tại $N, M$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$ đi qua một điểm cố định.
c) $(CDE)$ và $(O)$ cắt nhau tại $F$ khác $A$. $NF$ cắt $(CDE)$ tại $G$. Chứng minh $G$ thuộc một đường thẳng cố định.
Kí hiệu $(CDE)$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$.
Bài 5. (1,5 điểm) Cho hình thang cân, người ta tô màu 4 cạnh và 2 đường chéo của hình bằng hai màu đỏ và xanh, trong đó mỗi màu tô 3 đoạn. Chứng minh có 3 đoạn thẳng được tô cùng màu có thể lập được một tam giác.
Đáp án chi dành cho các bạn đã đăng kí website tiết tại Đây
Bài 1. (1,5 điểm)
a) Cho $a, b, c $ là các số thỏa mãn $ a^4 + b^4 + (a-b)^4 = c^4 + d^4 + (c-d)^4$. Chứng minh rằng [ a^2 + b^2 + (a-b)^2 = c^2 + d^2 + (c-d)^2 ]
b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x – \dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{y}{x+1}- \dfrac{1+y}{y} \hfill \cr \sqrt{8y+9} = (x+1)\sqrt{y} + 2 \end{matrix} \right.$
Bài 2. (1,5 điểm) Cho phương trình $2(m^2+1)x^2 – 8mx + 3m = 0$. ($m$ là tham số).
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa [2(x_1+x_2) – \sqrt{\dfrac{3}{x_1x_2}} = 2]
Bài 3. (1,5 điểm) Cho các số $x, y, z$ dương thỏa ${x^2} + {y^2} + {z^2} = xyz$. Chứng minh rằng:
a) $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \le 1\,\,$
b) $xy + yz + xz + 9 \ge 4\left( {x + y + z} \right)\,\,$
Bài 4. (1,5 điểm) Một số nguyên tố $p$ được gọi là số nguyên tố đẹp nếu tồn tại các số nguyên $a, b$ thỏa $a^2b+1$ chia hết cho $p$ thì $a^2+b$ cũng chia hết cho $p$.
a) Chứng minh rằng $5$ là số nguyên tố đẹp.
b) 7 có phải là số nguyên tố đẹp không? Tại sao?
Bài 5. (3 điểm) Cho đường tròn $(O)$ và dây cung BC cố định. $A$ là một điểm thay đổi trên cung lớn BC. Các đường phân giác trong góc $B, C$ cắt nhau tại $I$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $IA$ cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại $M, N$.
a) Tìm vị trí của $A$ để $BM.CN$ đạt giá trị lớn nhất.
b) Đường thẳng qua M song song IC cắt BC tại L; đường thẳng qua N song song IB cắt BC tại K. Chứng minh $MKLN$ nội tiếp. Xác định tâm ngoại tiếp của tứ giác.
c) Gọi $D$ là hình chiếu của $I$ trên $BC$. Chứng minh $\angle DPM = \angle IPN$ và $A, D, P$ thẳng hàng.
Bài 6. (1 điểm) Cho đa giác đều 26 đỉnh. Trên mỗi đỉnh ta viết các số từ tự nhiên từ 1 đến 12. Chứng minh rằng có 4 đỉnh tạo thành hình chữ nhật ABCD sao cho $a+ b= c+ d$ với $a, b, c, d$ là các số ghi trên các đỉnh $A, B, C, D$.
Đáp án dành cho các bạn đăng kí trên website -> here