Tag Archives: Toan9

Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Chứng minh đẳng thức P2

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 3\sqrt{5}$, hình vuông $ADEF$ có $D$ thuộc $AB$, $E$ thuộc $BC$ và $F$ thuộc $AC$. Biết hình vuông có cạnh 2, tính độ dài các cạnh $AB, AC$ (giả sử $AB < AC$).
Lời giải. Đặt $BD = x, CF = y$, vì $AB < AC$ nên $x < y$.
Ta có $\triangle BDE \backsim \triangle EFC \Rightarrow BD \cdot CF = ED \cdot EF = 4$.
Mặt khác $AB^2 + AC^2 = BC^2 \Rightarrow (x+2)^2+(y+2)^2 = 45 \Rightarrow (x+y)^2 + 4(x+y) -45 = 0 \Rightarrow x+y = 5$.
Suy ra $x(5-x) = 4$, giải ra được $x = 1, y = 4$.
Từ đó suy ra $AB = 3, AC = 6$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nhọn trung tuyến $AM$. \begin{enumerate}
a) Chứng minh rằng $4AM^2 + BC^2=2(AB^2+AC^2)$.
b) Vẽ trung tuyến $BN$. Tìm điều kiện về độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ để $AM \bot AN$.
Lời giải.
a) Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$, giả sử $H$ nằm giữa $B$ và $M$. Ta có:

$AB^2 + AC^2 = 2AH^2 + BH^2 + CH^2$
$= 2AH^2 + (BM – HM)^2 + (CM + HM)^2 $
$= 2AH^2 + 2HM^2 + 2BM^2 = 2AM^2 + \dfrac{BC^2}{2}$

b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác: $GM=\dfrac{1}{3}AM,GB=\dfrac{2}{3}BN$. Ta có $AM\perp BN$ khi và chỉ khi:\

$GM^2 + GB^2 = BM^2$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{9}AM^2 + \dfrac{4}{9}BN^2 = \dfrac{1}{4}BC^2$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{9} \left( \dfrac{AB^2 + AC^2}{2} – \dfrac{BC^2}{4} \right) + \dfrac{4}{9}\left(\dfrac{AB^2 + BC^2}{2} – \dfrac{AC^2}{4}\right) = \dfrac{BC^2}{4}$
$\Leftrightarrow 5AB^2 = AC^2 + BC^2$

Bài 3. Cho tam giác $ABC$, hai đường phân giác $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I$ thỏa mãn $BD\cdot CE = 2\cdot BI\cdot CI$. Tam giác $ABC$ là tam giác gì? vì sao?
Lời giải.

Đặt $ BC = a, CA = b, AB = c $. Ta có, $ AI $ là phân giác trong $ \triangle ABD $\
Suy ra:
$ \dfrac{BI}{c} = \dfrac{DI}{AD} = \dfrac{BD}{c + AD} \Rightarrow \dfrac{BI}{BD} = \dfrac{c}{c+ AD} $
Chứng minh tương tự
$ \dfrac{CD}{CE} = \dfrac{b}{b + AE} $
Như vậy điều cần chứng minh tương đương với

$\dfrac{BI}{BD} \cdot \dfrac{CI}{CE} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{bc}{(c + AD)(b + AE)} = \dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow bc = AD\cdot b + AE\cdot c + AD\cdot AE \qquad (*)$

Mặt khác, trong tam giác $ ABC $ ta có
$ BD $ là phân giác $ \angle ABC$ ta có $\dfrac{AD}{c} = \dfrac{CD}{a} = \dfrac{b}{a + c} \Rightarrow AD = \dfrac{bc}{a + c}$
$ CD $ là phân giác $ \angle ACB$ ta có \dfrac{AE}{b} = \dfrac{BE}{a} = \dfrac{c}{a + b} \Rightarrow AE = \dfrac{bc}{a + b}$
Do đó (*) tương đương với

$bc = \dfrac{b^2c}{a + c} + \dfrac{bc^2}{a + b} + \dfrac{b^2c^2}{(a+b)(a+c)}$
$\Leftrightarrow a^2 = b^2 + c^2$

Vậy tam giác $ ABC$ vuông tại $ A $.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. $M$ là một điểm thay đổi bên trong tam giác. Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên các cạnh $BC, AC, AB$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = AF^2 + BD^2 + CE^2$.
Lời giải.
Ta có $AM^2 = AF^2 + MF^2 = AE^2 + ME^2$. Suy ra $AF^2 – AE^2 = ME^2 – MF^2$.
Tương tự $BD^2 – BF^2 = MF^2 – MD^2, CE^2 – CD^2 = MD^2 -MD^2$.
Khi đó $AF^2 -AE^2 + BD^2 – BF^2 + CE^2-CE^2 = 0 \Leftrightarrow AF^2 +DB^2 + CE^2 = AE^2+BF^2+CE^2$.
Mặt khác $AF^2 + BF^2 \geq \dfrac{(AF+BF)^2}{2} = \dfrac{a^2}{4}$.
Tương tự thì $BD^2 +CD^2 \geq \dfrac{a^2}{2}$ và $CE^2+AE^2 \geq \dfrac{a^2}{2}$.
Do đó $P =AF^2 + BD^2 + CE^2 \geq \dfrac{3a^2}{4}$.
Đẳng thức xảy ra khi $D, E, F$ lần là trung điểm của $BC, AC, AB$.
Vậy $P_{min} = \dfrac{3a^2}{4}$.

Bài 5. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Các điểm $M, N$ lần lượt thay đổi trên cạnh $BC, CD$ sao cho $\angle MAN = 45^\circ$. Chứng minh chu vi tam giác $CMN$ không đổi và tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $CMN$.

Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $K$ sao cho $\angle KAN = \angle MAN = 45^\circ$.
Do $\angle KAD+\angle DAN =45^\circ \quad \text{và} \quad \angle DAN+\angle MAB =45^\circ \quad \text{nên} \quad \angle KAD =\angle MAB$
$\Rightarrow \triangle KAD =\triangle MBA$(ch-cgv) $\Rightarrow AK=AM \quad \text{và} \quad KD=BM$
Khi đó $\triangle KAN=\triangle MAN$(c-g-c) $\Rightarrow MN=KN$
Ta có:
$P_{\triangle CMN}=MN+MC+NC=KN+MC+NC
=KD+DN+NC+MC=BM+MC+NC+ND=DC+CB=2a$.
Vậy chu vi của $\triangle CMN$ luôn không đổi và bằng $2a$
Đặt $MC=x,NC=y$
$P_{\triangle CMN}=MN+MC+NC=x+y+\sqrt{x^2+y^2}=2a$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
$2a=x+y+\sqrt{x^2+y^2}\ge 2\sqrt{xy}+ \sqrt{2xy}=\left(\sqrt{2}+2\right)\sqrt{xy} \Rightarrow xy\le \dfrac{4a^2}{(\sqrt{2}+2)^2}$
$S_{\triangle CMN}=\dfrac{1}{2}xy\le \dfrac{1}{2}.\dfrac{4a^2}{6+4\sqrt{2}}=\dfrac{a^2}{\sqrt{2}+3}$

Bài 6. Cho $\triangle A B C$ vuông ờ $A, A H \perp B C, H \in B C . H E \perp A C$,
$H F \perp A B$
\begin{enumerate}
a) Chứng minh rằng $H A^{3}=B F \cdot C E \cdot B C$.
b) Chứng minh rằng $\sqrt[3]{B F^{2}}+\sqrt[3]{C E^{2}}=\sqrt[3]{B C^{2}}$.
c) Gọi $M, N$ là hình chiếu của $E, F$ lên $B C$.
Chứng minh rằng $\sqrt{M C}+\sqrt{N B}=\sqrt{B C}$.
d) Chứng minh rằng $\sqrt[3]{N B \cdot N F}+\sqrt[3]{M C \cdot M E}=\sqrt[3]{A B \cdot A C}$.

Bài 7. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ thỏa $MA^2 = MB \cdot MC$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $BC$ hoặc $M$ là chân đường cao từ $A$ đến $BC$.

Hệ thức lượng trong tam giác – Chứng minh đẳng thức

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức hình học

Ví dụ 1. Cho hình thoi $ABCD$ có $\angle A = 120^\circ$. Tia $Ax$ tạo với $AB$ một góc $\angle BAx = 15^\circ$ và cắt cạnh $BC$ tại $M$, cắt đường thẳng $CD$ tại $N$.
Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{4}{3AB^2}$$
Lời giải.

Vẽ tia $Ay$ vuông góc với $AM$,$Ay$ cắt cạnh $CD$ tại $P$. Suy ra $\angle PAD= 15^\circ$.
Ta có $\triangle ADP=\triangle ABM$(g-c-g), suy ra $AP=AM$.
Vẽ đường cao $AH$ của tam giác $PAN$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $PAN$:
$$\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AH^2}$$
Khi đó $\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AH^2}$. (1)
Mặt khác trong tam giác vuông $ADH$:\
$\dfrac{AH}{AD}=\sin D\Rightarrow AH=AD\cdot \sin D=AB\cdot \sin60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB.$ (2)
Từ (1) và (2) ta có được $\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{4}{3AB^2}$.

Ví dụ 2. Qua điểm $D$ trên cạnh huyền $BC$ của tam giác vuông $ABC$ ta kẻ các đường vuông góc $DH$ và $DK$ lần lượt xuống các cạnh $AB$ và $AC$.\ Chứng minh hệ thức: $DB\cdot DC = HA\cdot HB + KA\cdot KC$.

Lời giải.

Ta có $AHDK$ là hình chữ nhật nên $AH = DK, AK = DH$.
Ta có $BC^2 = AB^2 + AC^2 \Leftrightarrow (DB + DC)^2 = (AH+BH)^2 + (AK + CK)^2 \Leftrightarrow DB^2 + DC^2 + 2DC \cdot DB = AH^2 + BH^2 + 2 AH \cdot BH + AK^2 + CK^2 + 2AK \cdot CK$. (1)
Mà $DB^2 = BH^2 + HD^2 = BH^2 + AK^2$ và $DC^2 = DK^2 + CK^2 = AH^2 + CK^2$. (2)
Từ (1) và (2) ta có $DB \cdot DC = AH \cdot HB + AK \cdot KC$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$. Chứng minh rằng:

a) $AH^3 = BC\cdot BE\cdot CF$.
b) $\sqrt[3]{BE^2} + \sqrt[3]{CF^2} = \sqrt[3]{BC^2}$.
Lời giải.


a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $BHA$ và $AHC$:
$$BH^2=BE\cdot AB \quad \text{và} \quad HC^2=CF\cdot AC$$
Nhân hai vế đẳng thức với nhau ta được:
$BH^2\cdot HC^2=BE\cdot CF\cdot AB\cdot AC
\Rightarrow \left(HB\cdot HC\right)^2=BE\cdot CF\cdot AB\cdot AC \quad (1)$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$:
$HB\cdot HC=AH^2 \quad \text{và} \quad AB\cdot AC=AH\cdot BC$.
Khi đó (1) trở thành:$AH^4=BE\cdot CF\cdot AH\cdot BC$ hay $AH^3=BE\cdot CF\cdot BC$(đpcm)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABH$ ta có $BE\cdot AB=HB^2$ hay $BE=\dfrac{BH^2}{AB}$, do đó:
$$\dfrac{BE^2}{BC^2}=\dfrac{BH^4}{AB^2\cdot BC^2}=\dfrac{BH^4}{\left(BH\cdot BC\right)\cdot BC^2}=\left(\frac{BH}{BC}\right)^3$$
Lấy căn bậc ba hai vế ta được $\sqrt[3]{\dfrac{BE^2}{BC^2}}=\dfrac{BH}{BC}\quad (1)$
Chứng minh tương tự ta được $\sqrt[3]{\dfrac{CF^2}{BC^2}}=\dfrac{CH}{BC}\quad (2)$
Lấy (1)+(2) ta được đpcm.\

Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ nhọn và $H$ là trực tâm. Chứng minh rằng

$$AB^2 + CH^2 = AC^2 + BH^2 = AH^2 + BC^2$$

Lời giải.

Gọi $D$ là chân đường cao hạ từ $A$.
Ta có $AB^2 = BD^2 + AD^2$ và $CH^2 = CD^2 + DH^2$, suy ra $AB^2 +CH^2 = BD^2+AD^2+CD^2+DH^2$. (1)
tương tự thì $AC^2 = AD^2 + CD^2$, $BH^2 = BD^2+DH^2$, suy ra $AC^2+BH^2=AD^2+CD^2+BD^2+DH^2$. (2)
Từ (1) và (2) ta có $AB^2 + CH^2 = AC^2+BH^2$.
Chứng minh tương tự cho đẳng thức còn lại.

Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$, đường trung tuyến $BM$, đường phân giác $CD$ đồng quy tại $O$.

a) Chứng minh rằng $BH = AC$.
b) Cho biết $BC = x$ . Tính độ dài $AB, AC$ theo $x$.
Lời giải. 


a) Gọi $E$ là điểm đối xứng của $O$ qua $M$. Khi đó tứ giác $AECO$ là hình bình hành nên $CE\parallel AO$.
Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác $BEC$ có $OH\parallel EC$:
$$\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{OH}{CE}$$
$CO$ là đường phân giác của $\triangle ACH$ nên:
$$\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{CH}{CA}$$
Từ hai đẳng thức trên và $CE=OA$(AECO là hình bình hành) ta có:
$$\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{CH}{AC} \Leftrightarrow BH\cdot AC=CH\cdot BC$$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta được $AC^2=CH\cdot CB$
Từ đó suy ra $BH=AC$(đpcm)
b) Ta có $AC^2=CH\cdot CB=\left(CB-BH\right)\cdot CB=\left(x-AC\right)x$. Suy ra:
$$AC^2+2AC\cdot \dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{5x^2}{4} \Leftrightarrow \left(AC+\dfrac{x}{2}\right)^2=\left(\dfrac{x\sqrt{5}}{2}\right)^2$$
Vậy $ AC = \left(\dfrac{\sqrt{5} – 1}{2}\right)x $, $ AB = \sqrt{x^2 – AC^2} = x\sqrt{\dfrac{\sqrt{5} – 1}{2}}$

Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, đường trung tuyến $BM$. Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $BM$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AC$. Chứng minh rằng $AH = 3HD$.

Lời giải.

Cách 1. Đặt $AM=x$, tính được $MC = AM = x$, $AC = 2x = AB$.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông $BAM$:
$BM=\sqrt{AB^2+AM^2}=\sqrt{\left(2x\right)^2+\left(x\right)^2}=x\sqrt{5}$
$\triangle BAM \backsim \triangle CDM $(g-g) $\Rightarrow \dfrac{AB}{DC}=\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{\sqrt{5}x}{x}=\sqrt{5}$
$\Rightarrow MD=\dfrac{AM}{\sqrt{5}}=\dfrac{x}{\sqrt{5}}$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $MDC$:
$MD^2=MH\cdot MC \Rightarrow MH=\dfrac{MD^2}{MC}=\dfrac{\dfrac{x^2}{5}}{x}=\dfrac{x}{5}$.
Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông $MHD$:
$HD=\sqrt{MD^2-MH^2}=\sqrt{\left(\dfrac{x}{\sqrt{5}}\right)^2-\left(\dfrac{x}{5}\right)^2}=\dfrac{2}{5}x$.
Mà $AH=AM+MH=x+\dfrac{x}{5}=\dfrac{6}{5}x$
Vậy $AH=3HD$(đpcm)
Cách 2. Gọi $I$ là trung điểm $BC$, $AI$ cắt $BM$ tại $G$ thì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, suy ra $AI = 3GI = IB = IC$.
Ta có $\triangle MAB \backsim MDC$, suy $MA \cdot MC = MB \cdot MD$, suy ra $\triangle MAD \backsim \triangle MBC$, suy ra $\angle MAD = \angle MBC = \angle GBI$.
Khi đó $\triangle DAH \backsim \triangle GBI$, suy ra $\dfrac{AH}{DH} = \dfrac{IB}{GI} = 3$ hay $AH = 3DH$.

Ví dụ 7. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $BM$ và $CN$ là các đường phân giác góc $B$ và $C$.

a)Cho $AB = 3, AC = 4$. Tính độ dài $BN, CM$ và $MN$.
b) Đặt $AB = c, AC = b$. Tính $CM, BN$ theo $b$ và $c$.
c) Chứng minh rằng $\dfrac{{AC}}{{MA}}\cdot \dfrac{{AB}}{{NA}} \ge 3 + 2\sqrt 2 $

Lời giải.

a) Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông $ABC$:
$$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$$
Do $CN$ là phân giác của $\angle ACB$ nên $\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}$. Kết hợp với $NA+NB=3$ ta sẽ tính được $NA=\dfrac{4}{3}$ và $BN=\dfrac{5}{3}$
Tính tương tự ta được $AM=\dfrac{3}{2},MC=\dfrac{5}{2}$
Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông $AMN$:
$$MN=\sqrt{AM^2+AN^2}=\sqrt{\left(\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{145}}{6}$$
b) Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông $ABC$:
$$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{c^2+b^2}$$
Do $CN$ là phân giác của $\angle ACB$ nên $\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}$. Kết hợp với $NA+NB=c$ ta sẽ tính được $BN=\dfrac{c\sqrt{b^2+c^2}}{b+\sqrt{b^2+c^2}}$
Tính tương tự ta được $MC=\dfrac{b\sqrt{b^2+c^2}}{c+\sqrt{b^2+c^2}}$
c) Do $BM$ là tia phân giác của $\angle ABC$ nên $\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{BC}{AB}$
Do $CN$ là tia phân giác của $\angle ACB$ nên $\dfrac{NB}{NA}=\dfrac{BC}{AC}$
$\dfrac{AC}{MA}.\dfrac{AB}{NA}=\left(1+\dfrac{MC}{MA}\right)\left(1+\dfrac{NB}{NA}\right)$
$=\left(1+\dfrac{BC}{AB}\right)\left(1+\dfrac{BC}{AC}\right)$
$=1+\dfrac{BC}{AC}+\dfrac{BC}{AB}+\dfrac{BC^2}{AB.AC} $
$\ge 1+2\sqrt{\dfrac{BC^2}{AB.AC}}+\dfrac{BC^2}{AB.AC}$

$=\left( \sqrt{\dfrac{BC^2}{AB.AC}}+1\right)^2$
Ta có $AB.AC\le \dfrac{AB^2+AC^2}{2}=\dfrac{BC^2}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{BC^2}{AB.AC}\ge 2$
Vậy $\dfrac{AC}{MA}.\dfrac{AB}{NA}\geq \left( \sqrt{\dfrac{BC^2}{AB.AC}}+1\right)^2 \ge \left(\sqrt{2}+1\right)^2=3+2\sqrt{2}$

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho hình thang vuông $ABCD$ có $\angle A = \angle D = 90^\circ, AB = AD = a, CD = 2a$.

a) Chứng minh $BC = a\sqrt{2}$.
b) Vẽ $DH$ vuông góc với $AC$. Chứng minh $AH \cdot AC = a^2$.
c) $BH$ cắt $CD$ tại $K$. Chứng minh $BK \cdot BH =2a^2$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ khác tam giác tù. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác. Chứng minh rằng nếu $$AG^2 = \dfrac{1}{9}(AB^2+AC^2) $$
thì tam giác $ABC$ vuông.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $AD, BE, CF$. Chứng minh rằng nếu

$$ \dfrac{1}{AD^2} = \dfrac{1}{BE^2} + \dfrac{1}{CF^2}$$

thì tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Bài 4. Cho tam giác $\triangle A B C, \angle A=90$, đường phân giác $AD$. Chưmg minh rằng
$$
\dfrac{\sqrt{2}}{A D}=\dfrac{1}{A B}+\dfrac{1}{A C}
$$

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$.

a) Chứng minh rằng $BC^2 +4AM^2 = 2(AB^2 +AC^2)$.

b) Gọi $N$ là trung điểm $AC$. Chứng minh $AM$ vuông góc $BN$ khi và chỉ khi $AC^2+BC^2 = 5AB^2$.

Chuyên đề: Biến đổi biểu thức

RÚT GỌN BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC

Chuyên đề này đề cập tới các bài toán rút gọn biểu thức, chứng minh các đẳng thức, tính toán biểu thức,…Đây là chuyên đề quan trọng, rèn luyện kĩ năng biến đổi đại số cho các em, là kĩ năng ta sẽ dùng sau này.

Kiến thức là toàn bộ chương căn bậc hai, các hằng đẳng thức và kĩ năng biến đổi đã học ở lớp 8.

Các bạn có thể xem trước các bài cơ bản ở đây.

Dạng 1. Tính toán rút gọn

Ví dụ 1. Đặt $x = \sqrt{2}+\sqrt{3}$.
a) Chứng minh rằng $x^4 – 10x^2 + 1 = 0$.
b) Tìm giá trị của biểu thức $P(x) = (x^6 – 11x^4 + 11x^2 + 1)^{2019}$.

Lời giải

 

 

 

 

 

 

 

Ví dụ 2.  Cho $x$ thỏa $x \geq 2$. Rút gọn biểu thức $$A = \dfrac{{{x^3} – 3x + \left( {{x^2} – 1} \right)\sqrt {{x^2} – 4} – 2}}{{{x^3} – 3x + \left( {{x^2} – 1} \right)\sqrt {{x^2} – 4} + 2}}$$

Lời giải

Ví dụ 3.

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: $$1 + \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = {\left( {1 + \dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{{n + 1}}} \right)^2}$$
b) Tính tổng $$S = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{1^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}}} + \cdots + \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{{2021}^2}}} + \dfrac{1}{{{{2022}^2}}}} $$

Lời giải

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức: $$A = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + \cdots + \dfrac{1}{{2019\sqrt {2018} + 2018\sqrt {2019} }}$$

Lời giải

Dạng 1. Chứng minh đẳng thức

Ví dụ 5. Cho $a, b \ge 0, a^2>b$. Chứng minh $$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$ và $$\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$

Lời giải

Ví dụ 6. Cho $a, b >0, c \neq 0$. Chứng minh rằng:
$$ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {a + b} = \sqrt {a + c} + \sqrt {b + c} $$

Lời giải

Ví dụ 7. Cho $xy + \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)} = a > 1$. Tính $S = x\sqrt {1 + {y^2}} + y\sqrt {1 + {x^2}} $.

Lời giải

Ví dụ 8. Đặt $a_n = \sqrt[4]{2} + \sqrt[n]{4}, n = 2, 3…$. Chứng minh rằng $$ \dfrac{1}{a_5}+\dfrac{1}{a_6}+\dfrac{1}{a_{12}}+\dfrac{1}{a_{20}} = \sqrt[4]{8} $$

Lời giải

Ví dụ 9.  Chứng minh rằng nếu $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{a + b + c}}$ thì với mọi số nguyên dương lẻ n ta có $\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{{a + b + c}}$.

Lời giải

Dạng 3. Hữu tỉ và vô tỉ

Ví dụ 10. 

a) Chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

b) Cho $n$ và số tự nhiên và $m$ là số tự nhiên thỏa $n^2 < m < (n+1)^2$. Chứng minh $\sqrt{m}$ là một số vô tỉ.

Lời giải

Ví dụ 11. Chứng minh số
$A=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$ là một số nguyên.

Lời giải

Ví dụ 12. 

a) Chứng minh rằng nếu $a, b$ là các số hữu tỉ thỏa $a+b\sqrt{2} = 0$ thì $a = b= 0$.

b) Tìm các số $a, b$ hữu tỉ thỏa $\sqrt{a} +\sqrt{b} = \sqrt{2+\sqrt{3}}$.

 

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Với mọi $x \ge 2$. Chứng minh rằng $$\sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{\dfrac{x^2-4}{x}}}+\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{\dfrac{x^2-4}{x}}}=\sqrt{\dfrac{2x+4}{\sqrt{x}}}$$

Bài 2. Rút gọn $A=\sqrt{\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{(x+y)^2}+\sqrt{\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{(x^2+y^2)^2}}}$

Bài 3. Cho $x,y<0$. Chứng minh $|\sqrt{xy}-\dfrac{x+y}{2}|+|\dfrac{x+y}{2}+\sqrt{xy}|=|x|+|y|.$
Bài 4. Cho các số $x,y,z>0$ và đôi một phân biệt. Chứng minh giá trị của $P$ không phụ thuôc vào $x,y,z$ với
$$P=\dfrac{x}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{z})}+\dfrac{y}{(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{y}-\sqrt{x})}+\dfrac{z}{(\sqrt{z}-\sqrt{x})(\sqrt{z}-\sqrt{y})}.$$
Bài 5.  Cho $a=\sqrt{2}+\sqrt{7-\sqrt[3]{61+46\sqrt{5}}}+1$.

a) Chứng minh: $a^4-14a^2+9=0$.
b) Cho $f(x)=x^5+2x^4-14x^3-28x^2+9x+19$. Tính $f(a).$

Bài 6.  Cho $a=\sqrt[3]{38+17\sqrt{5}}+\sqrt[38]{38-17\sqrt{5}}$ và $f(x)=(x^3+3x+2018)^{2018}$. Tính $f(a).$
Bài 7.  Cho $x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$. Tính $x^5-4x^4+x^3-x^2-2x+2018.$

Bài 8. Cho $f(n)=\dfrac{4n+\sqrt{4n^2-1}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}, n \in \mathbb{N}^*$. Tính $f(1)+f(2)+…+f(2018)$. %NTK

Bài 9.  Cho $f(n)=\dfrac{2n+1+\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$. Tính $f(1)+f(2)+…+f(n).$ %NTK
Bài 10. Cho $x,y,z >0$ thoả $xyz=4$. Tính giá trị biểu thức $$A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}.$$

Bài 11.  Cho các số dương $x,y,z$ thoả $\begin{cases} x+y+z=2&\\\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2 \end{cases}$. Tính $$A=\sqrt{(1+x)(1+y)(1+z)}\left(\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}+\dfrac{\sqrt{y}}{y+1}+\dfrac{\sqrt{z}}{z+1}\right).$$

Bài 12.  Cho các số $abc \ne 0$ thoả $a+b+c=0$. Chứng minh $$\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\big|\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\big|$$

Bài 13.  Cho $a,b,c>0$ thoả $a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c \sqrt{1-a^2}=\dfrac{3}{2}.$\ Chứng minh $a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}.$
Bài 14.  Tìm tất cả các số thực $a,b,c$ thoả $\sqrt[3]{a-b}+\sqrt[3]{b-c}+\sqrt[3]{c-a}=0.$ %105-38
Bài 15. Cho các số $a_1, a_2,…,a_n$ thoả $a_1=1, a_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}+a_n}{1-\sqrt{3}a_n}$. Tính $a_{2020}$.
Bài 16.  Chứng minh rằng nếu $\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{x^2y^4}}=a$ thì $$\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2} $$

Phương trình vô tỉ – Phương pháp lũy thừa

Leave a reply

Phương trình vô tỉ (phương trình chứa căn thức) là một trong những nội dung quan trọng nhất của đại số 9, xuất hiện trong hầu hết các đề thi học sinh giỏi cũng như đề thi tuyển sinh. Kĩ năng giải phương trình cũng là một trong kĩ năng quan trọng của học sinh chuyên toán. Có rất nhiều dạng phương trình và nhiều phương pháp giải khác nhau cho phương trình vô tỉ, tựu chung lại cũng là phương pháp hữu tỉ hóa các phương trình, tức là đưa về phương trình dạng đa thức đã biết cách giải ở lớp 8.Trong chương này đưa ra một vài dạng phương trình vô tỉ cùng với đó là các phương pháp cơ bản nhất, không đi sâu quá nhiều vào các kĩ thuật và các dạng khó.

1. Lý thuyết

Nếu $A(x)$, $B(x)$ là các biểu thức chứa $x$, khi đó ta có các phương trình dạng $\sqrt{A} = \sqrt{B}$ và $\sqrt{A}=B$ là các phương trình vô tỉ cơ bản nhất, được giải bởi các tính chất sau.

  • Tính chất 1.  $\sqrt{A} = \sqrt{B} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ A = B\end{array} \right.$
  • Tính chất 2. $\sqrt{A} = B \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B \geq 0\\ A = B^2\end{array}\right.$

2. Phương pháp lũy thừa

Phương pháp lũy thừa là phương pháp tự nhiên nhất và kinh điển nhất để giải phương trình vô tỉ, nhằm mục đích đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản hoặc đưa về phương trình hữu tỉ, việc lũy thừa đòi hỏi sự khéo léo để không làm cho bậc của biểu thức quá cao, và trong quá trình lũy thừa ta chú ý là tạo ra phương trình mới tương đương phương trình đã cho hay chỉ là hệ quả của phương trình đã cho, nếu là hệ quả thì phải có bước thử lại nghiệm.

Chú ý: $A = B \Leftrightarrow A^2 = B^2$ đúng khi và chỉ khi $A, B$ cùng dấu.

Còn $A = B\ (1) \Rightarrow A^2 = B^2\ (2)$ thì phương trình $(2)$ là phương trình hệ quả của phương trình $(1)$.

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) $\sqrt{-x^2+4x-3}=2x-5$

b) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2} = \sqrt{3x}$

Giải

a) Ta có $ \sqrt{-x^2+4x-3} =2x-5  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-5 \ge 0\\ -x^2+4x-3=(2x-5)^2 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{5}{2}\\ 5x^2-24x+28=0 \end{array}\right.$  $  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{5}{2} \\ x=2 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{14}{5} \end{array}\right. $  $\Leftrightarrow x=\dfrac{14}{5}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{14}{5}$.

b) Điều kiện $x \geq 2$. Phương trình tương đương với

$x+1+2\sqrt{(x+1)(x-2)}+x-2 = 3x$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-x-2} = x + 1$

$\Leftrightarrow 4(x^2-x-2) = x^2+2x+1$

$\Leftrightarrow 3x^2 – 6x – 9 = 0 $

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 3\ \text{ (nhận) }\\ x=-1 \ \text{ (loại) } \end{array}\right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$.

Ví dụ 2: Giải phương trình $\sqrt{7-x^2+x\sqrt{x+5}}=\sqrt{3-2x-x^2}.$

Giải
  • Ta có $\sqrt{7-x^2+x\sqrt{x+5}}=\sqrt{3-2x-x^2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3-2x-x^2 \ge 0\\ 7-x^2+x\sqrt{x+5}=3-2x-x^2 \ (2)\end{array}\right. $

  •  $(2) \Leftrightarrow x\sqrt{x+5} = -2x -4$

Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của $(2)$. Ta xét $x\ne 0$, khi đó phương trình tương đương

$\sqrt{x+5} = -\dfrac{2x+4}{x}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -\dfrac{2x+4}{x} \ge 0\\ x+5 = \dfrac{(2x+4)^2}{x^2} \ (3) \end{array}\right. $

  •  $(3) \Leftrightarrow  x^2(x+5) = (2x+4)^2$

$\Leftrightarrow  x^3 +x^2 -16x -16 =0 \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l} x=4 \ \text{ (loại) }\\ x=-1\ \text{ (nhận) }\\ x=-4 \ \text{ (loại) } \end{array}\right. $

  •  Vậy phương trình có nghiệm $x = -1$.

Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{x+1}-1=\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$.

Giải
  •  Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} x \ge -1\\ \sqrt{x+1}-1 \ge 0\\ x-\sqrt{x+8} \ge 0 \end{array}\right.  (*)$.
  •  Khi đó phương trình tương đương:

$\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

$\Leftrightarrow x+1=1+x-\sqrt{x+8}+2\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+8}=2\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

$\Leftrightarrow x+8=4(x-\sqrt{x+8})$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{x+8}=3x-8$

$\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{8}{3} \\ 16(x+8)=(3x-8)^2 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{8}{3}\\ 9x^2-64x-64=0 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow x=8.$

  •  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=8.$

Ví dụ 4: Giải phương trình $\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x+2)}=2\sqrt{x^2}.$

Giải
  •  Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} x(x-1) \ge 0\\ x(x+2) \ge 0\\  x \ge 0 \end{array}\right.  \Leftrightarrow x=0 \ \text{ hoặc } \ x \ge 1.$
  •  Dễ thấy $x=0$ là một nghiệm của phương trình.
  •  Xét $x \ge 1.$ Khi đó phương trình tương đương
  •  $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=2\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow x-1+x+2+2\sqrt{(x-1)(x+2)}=4x$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)(x+2)}=x-\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{1}{2}\\ x^2+x-2=x^2-x+\dfrac{1}{4} \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{1}{2}\\ x=\dfrac{9}{8} \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{8}$

  •  Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{9}{8}$ hoặc $x=0$.

Ví dụ 5: Giải phương trình $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\dfrac{x+3}{2}$.

Giải
  •  Điều kiện $x \ge 1.$
  •  Khi đó phương trình tương đương

$\sqrt{(\sqrt{x-1})^2+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(\sqrt{x-1})^2-2\sqrt{x-1}+1}=\dfrac{x+3}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=\dfrac{x+3}{2}$

$\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=\dfrac{x+3}{2}$

  •  Với $1 \le x \le 2$ thì phương trình tương đương

$\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=\dfrac{x+3}{2} \Leftrightarrow x=1.$

  •  Với $x>2$ thì phương trình tương đương

$\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=\dfrac{x+3}{2}$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{x-1}=x+3$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge -3\\ 16x-16=x^2+6x+9 \end{array}\right.   \Leftrightarrow x=5.$

  •  Vậy phương trình có nghiệm $x=1$ hoặc $x=5$.

 

Ví dụ 6: Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=2\sqrt{x}+\sqrt{2x+2}$.

Giải
  •  Điều kiện $\begin{cases} x+3 \ge 0&\\ 3x+1 \ge 0&\\ x \ge 0&\\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \ge 0.$

 Phương trình trở thành

 $\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+2}=\sqrt{4x}-\sqrt{x+3}$

$\Rightarrow 3x+1+2x+2-2\sqrt{(3x+1)(2x+2)}=4x+x+3-2\sqrt{4x(x+3)}$

$\Rightarrow \sqrt{(3x+1)(2x+2)}=\sqrt{4x(x+3)}$

$\Rightarrow 6x^2+8x+2=4x^2+12x$

$\Rightarrow x=1.$

  •  Thử lại ta thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình.
  •  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1.$
  • Chú ý: Trong ví dụ trên, ta dùng dấu “$\Rightarrow$” thay cho “$\Leftrightarrow$”, tức là phương trình sau chỉ là hệ quả của phương trình trước chứ không phải là tương đương. Do đó khi giải ra nghiệm ta phải thử lại phương trình ban đầu để nhận hay loại nghiệm.

Ví dụ 7: Giải phương trình $\sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[3]{2x+11}$.

Giải
  •  Sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$. Ta được

$ \sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[3]{2x+11}$

$\Leftrightarrow 2x+11+3\sqrt[3]{x+5}.\sqrt[3]{x+6}(\sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6})=2x+11$

$\Rightarrow 3\sqrt[3]{x+5}.\sqrt[3]{x+6}.\sqrt[3]{2x+11}=0$

$\Leftrightarrow x=-6 \ \text{hoặc} -5 \ \text{hoặc} \ x=-\dfrac{11}{2}.$

  •  Thử lại ta thấy tất cả đều là nghiệm của phương trình.
  •  Vậy phương trình có ba nghiệm $x=-6$ hoặc $x=-5$ hoặc $x=-\dfrac{11}{2}.$

3. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau;

a) $\sqrt{x^2+3x+4}-3x=1$

b) $1+\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}$

c) $\sqrt{-x^2+4x-3}=2x-5$

d) $x-\sqrt{4-x^2}=0$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x+2}=1$

b) $\sqrt{5x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-4}$

c) $x^2-2x+4(x-3) \sqrt{\dfrac{x+1}{x-3}}=0$.

d) $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+2+4\sqrt{x-2}}+3=0$

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) $\dfrac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x$

b) $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+x}=1$

c) $\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}=2\sqrt{x^2}$

d) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

Bài 4. Giải các phương trình sau

a) $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}$

b) $\sqrt[3]{2x-5}+\sqrt[3]{3x+7}=\sqrt[3]{5x+2}$

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^2 – 3x + 4} + 1 – x – \sqrt{3 – x}=0$

b) $\sqrt{x^2+3x+4}+1+x-\sqrt{3+x}=0$

c) $\sqrt{x^2-3x+3}+1-x-\sqrt{2-x}=0$

d) $\sqrt{4x^2-10x+7}+2-2x-\sqrt{3-2x}=0$