Category Archives: Đại số

Khai phương một biểu thức

Leave a reply

Tính chất 1: Với mọi $A$ ta có hằng đẳng thức:

$\sqrt {A^2}=\left| A \right| $

Ví dụ 1: Tính:

a) $\sqrt {(-7)^2}$.

b) $\sqrt {\left ( \sqrt 5 -2 \right )^2}$.

c)$\sqrt {\left ( 3-2\sqrt 3 \right )^2}$.

Giải

a) $\sqrt {(-7)^2}=\left | -7 \right |=7$.

b) $\sqrt {\left ( \sqrt 5 -2 \right )^2}=\left | \sqrt 5 -2 \right |=\sqrt 5-2$.

c) $\sqrt {\left ( 3-2\sqrt 3 \right )^2}=\left | 3-2\sqrt 3 \right |=2\sqrt 3-3$.

Ví dụ 2: Khai căn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {4-2\sqrt 3}$, $\sqrt {4+2\sqrt 3}$.

b) $\sqrt {7+2\sqrt 6}$, $\sqrt {13-2\sqrt {12}}$.

Giải

a) $\sqrt {4-2\sqrt 3}=\sqrt {3-2\sqrt 3+1}=\sqrt {\left ( \sqrt 3-1 \right )^2}=\left | \sqrt 3-1 \right
|=\sqrt 3-1$.

$\sqrt {4+2\sqrt 3}=\sqrt {3+2\sqrt 3+1}=\sqrt {\left ( \sqrt 3 +1 \right )^2}=\left | \sqrt 3+1 \right |=\sqrt 3+1$.

b) $\sqrt {7+2\sqrt 6}=\sqrt {6+2\sqrt 6+1}=\sqrt {\left ( \sqrt 6+1 \right )^2}=\left | \sqrt 6+1 \right |=\sqrt 6+1$.

$\sqrt {13-2\sqrt {12}}=\sqrt {12-2\sqrt {12}+1}=\sqrt {\left ( \sqrt {12}-1 \right )^2}=\left | \sqrt {12}-1\right |=\sqrt {12} -1$.

Tính chất 2: Cho $A$, $B$ là các số không âm. Khi đó ta có các đẳng thức sau:

  • $\sqrt {AB}=\sqrt A \sqrt B$.
  • $\sqrt {\dfrac{A}{B} }=\dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}$ $(B>0)$.
  • $\sqrt {A^2B}=\left | A \right | \sqrt B$.

Ví dụ 3:  Tính:

a) $\sqrt {25.169}$.

b) $\sqrt {\dfrac {49}{81} }$.

c) $\sqrt {\dfrac {0,16.0,49}{1,21} }$.

Giải

a) $\sqrt {25.169}=\sqrt {25} .\sqrt {169}=5.13=65$

b) $\sqrt {\dfrac {49}{81} }=\dfrac{\sqrt {49}}{\sqrt {81}}=\dfrac{7}{8}$

c) $\sqrt {\dfrac {0,16.0,49}{1,21} }=\dfrac{\sqrt {0,16.0,49}}{\sqrt {1,21}}=\dfrac{\sqrt {0,16}.\sqrt {0,49}}{\sqrt {1,21}}=\dfrac{0,4.0,7}{1.1}=\dfrac{14}{55}$.

Bài tập:

Bài 1:  Rút gọn các biểu thức sau:

a) $3\sqrt 8-4\sqrt {18} $.

b) $\sqrt {125} -2\sqrt {20} -3\sqrt {80}$.

c) $\sqrt {48} -4\sqrt {27} -2\sqrt {75} +\sqrt {108}$.

Bài 2:  Thực hiện các phép tính:

a) $A=\left ( \sqrt 2-1\right )^2+\left ( \sqrt 2+3 \right )^2$.

b) $B=\left (\sqrt 3+2\sqrt 2 \right )^2-\left ( \sqrt 3-\sqrt 2 \right )^2$.

c) $C=\left ( \sqrt 2 +1 \right )^3-\left ( \sqrt 2 -2 \right )^3$.

d) $D=\left ( \sqrt 2 -\sqrt 3 \right )\left ( \sqrt 6+1 \right )-\sqrt 2 \left ( \sqrt 6+3\sqrt 2 \right )$.

Bài 3:  Khai căn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {12+2\sqrt {35}}$, $\sqrt {18-2\sqrt  {65}}$.

b) $\sqrt {16+6\sqrt 7}$, $\sqrt {14-6\sqrt 5}$.

c) $\sqrt {27+10\sqrt 2}$, $\sqrt {9+4\sqrt 5}$.

d) $\sqrt {21-2\sqrt {108}}$, $\sqrt {17-2\sqrt {72}}$.

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {x+2\sqrt {x-1}}-\sqrt {x-2\sqrt {x-1}}$  với $x \ge 2$.

b) $\sqrt {2m+2\sqrt {2m-1}}-\sqrt {2m-2\sqrt {2m-1}}$.

c) $\sqrt {x+3+4\sqrt {x-1}}+\sqrt {x+8-6\sqrt {x-1}}$.

 

Căn bậc hai

Leave a reply

Định nghĩa 1: Căn bậc hai của số $a$ không âm là số $x$ sao cho $x^2=a$.

Ví dụ 1: 

a) Căn bậc hai của $9$ là $3$ và $-3$.

b) Căn bậc hai của $4$ là $2$ và $-2$.

c) Căn bậc hai của $0$ là $0$.

Định nghĩa 2: Căn bậc hai số học của số không âm $a$ là số $x$ không âm thỏa $x^2=a$.

Kí hiệu $x=\sqrt a$.

Ví dụ 2:

a) $\sqrt 4=2$.

b) $\sqrt {36}=6$.

Tính chất 1: Với $a\ge 0$ thì:

  • $x=\sqrt a$ thì $x\ge 0$ và $x^2=a$. Hay $\sqrt a\ge 0$ và $\left (\sqrt a \right )^2=a$.
  • Nếu $x \ge 0$ và $x^2=a$ thì $x= \sqrt a$.

Tính chất 2: Cho $a$, $b$ là các số không âm. Khi đó $a<b \Leftrightarrow \sqrt a<\sqrt b$

Ví dụ 3: So sánh các số:

a) $1$ và $\sqrt 2$.

b) $2$ và $\sqrt 5$.

c) $17$ và $\sqrt {290}$.

Giải

a) Ta có: $1<2 \Leftrightarrow 1<\sqrt 2$.

b) Ta có: $4<5 \Leftrightarrow 2<\sqrt 5$.

c) Ta có: $289<290 \Leftrightarrow 17<\sqrt {290}$.

Ví dụ 4: Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa:

a) $\sqrt x <2$.

b) $2<\sqrt x <4$.

Giải

a) Ta có:  Điều kiện $x \geq 0$, từ giả thiết $\sqrt x <2 \Leftrightarrow x<4$.

Do $x$ là số tự nhiên nên $x \in \{0, 1, 2, 3\}$.

b) Ta có: $2< \sqrt x \Leftrightarrow 4<x$ và $\sqrt x <4 \Leftrightarrow x<16$

Vậy $4<x<16$ Do $x$ tự nhiên nên $x$ là các số tự nhiên từ 5 đến 15.

Ví dụ 5. Một hình vuông có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài lần lượt là $4$ và $9$. So sánh chu vi của hình vuông và hình chữ nhật.

Giải

Gọi $x$ là độ dài cạnh của hình vuông ($x>0$).
Vậy diện tích hình vuông là $S_v=x^2$.
Diện tích hình chữ nhật là $S_{hcn}=4\cdot 9=36$.
Mà $S_v=S_{hcn}\Leftrightarrow x^2=36\Leftrightarrow x=\sqrt{36}=6$ hoặc $x=-\sqrt{36}=-6$. Do $x>0$ nên $x=6$.
Ta có chu vi hình vuông là $P_v=4\cdot x=4\cdot 6=24$.
Ta có chu vi hình chữ nhật là $P_{hcn}=2\cdot (9+4)=2\cdot 13=26$.
Vậy chu vi hình chữ nhật lớn hơn hình vuông.

Định nghĩa 3: Nếu $A$ là một biểu thức đại số, ta gọi $\sqrt A$ là căn thức bậc hai của $A$, $A$ còn được gọi là biểu thức dưới dấu căn.

Biểu thức $\sqrt A$ có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi $A \ge 0$.

Ví dụ 6. Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định.

a) $\sqrt {2x-1}$.

b) $\sqrt{4-3x}$.

c)$\sqrt {x^2}$.

Giải

a) $2x-1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}$

b) $4-3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac {4}{3}$

c) $x^2 \ge 0$ luôn đúng với mọi $x$

Ví dụ 7. Chứng minh rằng các biểu thức sau xác định với mọi $x$.

a) $\sqrt {x^2+4}$.

b) $\sqrt {x^2-4x+4}$.

c) $\sqrt {2x^2-4x+3}$.

Giải

a) Ta có: $x^2+4 \ge 0$ với mọi $x$ .

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.

b) Ta có: $x^2-4x+4=\left ( x-2 \right ) ^2 \ge 0$ với mọi $x$.

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.

c) Ta có: $2x^2-4x+3=2\left ( x^2-2x+1 \right )+1=2\left (x-1 \right )^2+1 \ge 0$ với mọi $x$.

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.

Bài tập: 

Bài 1: Tính :

a) $\sqrt {81}$.

b) $\sqrt {225}$.

c) $\sqrt {0,49}$.

d) $\sqrt {12^2+5^2}$.

e) $-0,25\sqrt {(-0,4)^2}$.

Bài 2:  So sánh các căn sau:

a) $\sqrt {20}$ và $2\sqrt 5$.

b) $2\sqrt 3$ và $3\sqrt 2$.

c) $-7\sqrt 3$ và $-2\sqrt {10}$.

d) $\sqrt 3 -3\sqrt 2$ và $-4\sqrt 3 +5\sqrt 2$.

e) $2+\sqrt 2$ và $5-\sqrt 3$.

Bài 3:  Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định:

a) $\sqrt {3x-2}$.

b) $\sqrt {4x^2-20x+25}$.

c) $\sqrt {\dfrac {-5}{9-5x}}$.

d) $\sqrt {x^2-4}$.

Bài 4: Tìm $x$ không âm, biết:

a) $\sqrt x=3$.

b) $\sqrt x +2=7$.

c) $\sqrt {x+1} -1=4$.

d) $\sqrt {x-1} =\sqrt {13}$.

 

 

 

 

Phân tích thành nhân tử- Phương pháp nhóm hạng tử

Leave a reply

Cách thực hiện: Nhóm các hạng tử của đa thức một cách thích hợp để có thể đặt nhân tử chung hay dùng hằng đẳng thức.

Các ví dụ:

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ x^2 -xy + x – y$
b) $ xz + yz – 5(x+y) $
c) $ 3x^2 – 3xy – 5x + 5y$
d) $ x^2 + 4x – y^2 +4 $

Giải

a) $ x^2 -xy + x – y=x(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+1) $
b) $ xz + yz – 5(x+y)=z(x+y)-5(x+y)=(x+y)(z-5) $
c) $ 3x^2 – 3xy – 5x + 5y=(3x^2-3xy)-(5x-5y)$

$=3x(x-y)-5(x-y)=(x-y)(3x-5)$
d) $ x^2 + 4x – y^2 +4=(x^2+4x+4)-y^2$

$=(x+2)^2-y^2=(x+2-y)(x+2+y) $

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ x^2 -x -y^2 -y$
b) $ x^2 -2xy + y^2 -z^2$
c) $ 5x-5y +ax -ay $
d) $ a^3 -a^2x -ay +xy$

 

Giải

a) $ x^2 -x -y^2 -y=(x^2-y^2)-(x+y)$

$=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)$
b) $ x^2 -2xy + y^2 -z^2=(x^2-2xy+y^2)-z^2$

$=(x-y)^2-z^2=(x-y-z)(z-y+z) $
c) $ 5x-5y +ax -ay=(5x-5y) +(ax -ay)$

$=5(x-y)+a(x-y)=(x-y)(a+5) $
d) $ a^3 -a^2x -ay +xy= (a^3 -a^2x) -(ay -xy)$

$=a^2(a-x)-y(a-x)=(a-x)(a^2-y)$

 

Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $a^2+bc+ab+ac$.
b) $x^2+2xy+y^2+3x+3y$.
c) $ 3x^2 + 6xy + 3y^2 -3z^2 $
e) $ x^2 -2xy + y^2 – z^2 +2zt -t^2$

Giải

a) $a^2+bc+ab+ac=(a^2+ab)+(ac+bc)$

$=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c)$.
b) $x^2+2xy+y^2+3x+3y=(x^2+2xy+y^2)+(3x+3y)$

$=(x+y)^2+3(x+y)=(x+y)(x+y+3)$.
c) $ 3x^2 + 6xy + 3y^2 -3z^2=3(x^2+2xy+y^2-z^2)$

$=3(x+y+z)(z+y-z) $
e) $ x^2 -2xy + y^2 – z^2 +2zt -t^2= (x^2 -2xy + y^2 )-( z^2 -2zt +t^2)$

$=(x-y)^2-(z-t)^2=(x-y-z+t)(x-y+z-t). $

 

Bài tập

Bài 1. Phân tích thành nhân tử:

a) $x^2+y^2+2xy – xz – zy$.
b) $xy^2+2x^2y-3x^2+3y^2+x^3$.
c) $a^3+b^3-3a^2b-3ab^2$.

Bài 2. Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức

a) $ x^2 -2xy -4z^2 + y^2$ tại $ x = 6;\ y=-4; \ z=45 $
b)  $3(x-3)(x+7) +(x+4)^2 +48 $ tại $ x = 0,5. $

Bài 3. Tìm $ x $, biết:

a) $ x(x-2) +x -2 =0 .$
b) $ 5x(x-3) -x+3 =0.$

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp nhóm hạng tử)

a) $a+b+x(a+b)$
b) $ax+ay+bx+by$
c) $x^2+xy-2x-2y$
d) $5x^2y+5xy^2-a^2x+a^2y$
e) $10ay^2-5by^2+2a^2x-aby$.

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp nhóm hạng tử)

a) $4acx+4bcx+4ax+4bx$
b) $3ax^2+3bx^2+ax+bx+5a+5b$
c) $ax+bx+cx+a+b+c$
d) $ax-bx-2cx-2a+2b+4c$.

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $x^2- 2xy + y^2 – z^2$
b) $xy – x + y – 1$
c) $x^2 + x – y^2 – y$
d) $ab+ a + b+ 1$.

Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $x^2 + 4xy + 4y^2 – 9z^2$
b) $a^3 + b^3 + ab^2 + a^2b$
c) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 + y^3$
d) $x^2 – y^2 -2yz – z^2 $.

Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $2x^3+4x^2y+2xy^2$
b) $ a^4 + 2a^2b^2 + b^4 – 4b^2c^2$
c) $a^3 + b^3 – ab(a+b)$
d) $3xy(a^2+b^2)+ab(x^2+9y^2)$.

Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^3 + 3x(x+1)+1 – y^3$
b)  $ x^4 + 4x^2+4 – x^2y^4$
c) $a^3+3ab(a+b)+b^3+c^3$.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Phân tích đa thức thành nhân tử – Đặt thừa số chung

Leave a reply

Cách thực hiện: Đưa nhân tử chung của các hạng tử của đa thức ra ngoài dấu ngoặc

$AB+AC=A(B+C)$

Ví dụ 1.  Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) $ x^2 -x. $
b) $ 5x^2(x-2y)-15x(x-2y) .$
c) $ 3(x-y) -5x(y-x). $
d) $ 3x- 6y. $

Giải

a) $ x^2 -x =x(x-1)$

b) $ 5x^2(x-2y)-15x(x-2y) = (x-2y)(5x^2-15x)=5x(x-3)(x-2y)$

c) $ 3(x-y) -5x(y-x)=3(x-y)+5x(x-y)=(x-y)(3-5x) $

d)$ 3x- 6y.=3(x-2y).$

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) $ \dfrac{2}{5}x^2 +5x^3 +x^2y.$
b) $ 14x^2y -21xy^2 + 28x^2y^2. $
c) $ \dfrac{2}{5}x(y-1) -\dfrac{2}{5}y(y-1). $
d) $ 10x(x-y) – 8y(y-x). $

Giải

a) $ \dfrac{2}{5}x^2 +5x^3 +x^2y=x^2(\dfrac{2}{5}+5x+y)$
b) $ 14x^2y -21xy^2 + 28x^2y^2=7xy(2x-3y+4xy) $
c) $ \dfrac{2}{5}x(y-1) -\dfrac{2}{5}y(y-1)=\dfrac{2}{5}(y-1)(x-y)$
d) $ 10x(x-y) – 8y(y-x)=2(x-y) (5x+4y)$

Bài tập

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp đặt thừa số chung)

a) $3a-6b-9c$
b) $-7a-14ab-21b$
c) $8xy-24x+16y$.

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp đặt thừa số chung)

a) $9ab-18a+9$
b) $4ax-2ay-2$
c) $-2a^2b-4ab^2-6ab$

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $2axy-4a^2xy^2+6a^3x^2$
b) $12x^3y-6xy+3x$
c) $-8x^3y+16xy^2-24$
d) $m(x+y)-n(x+y)$
e) $ab(x-5)-a^2(5-x)$.

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $2a^2(x-y)-4a(y-x)$
b) $2a^2b(x+y)-4a^3b(-x-y)$
c)  $x^{m+2}-x^2$
d) $x^{m+2}+x^m$.

Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

a) $x^2 – xy+ 2x$
b) $xy^2 – 3xy + xy^2$
c) $a^2b + 2a^2b^2 – 3a^2$
d) $x(x+y) – 2y^2(x+y)$.

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

a) $2(x^2-y^2) + x(x+y)$
b) $xy(x-2) + x^2 – 4$
c) $ab(a+b) + (a^2 – b^2)$.

Bài 7. Tính nhanh.

a)  $ 85\cdot 12,7 + 5\cdot 3\cdot 12,7. $
b)  $ 52\cdot 143 – 52 \cdot 39 – 8 \cdot 26. $
c)  $ 97 \cdot 13 + 130 \cdot 0,3. $
d)  $ 86\cdot 153 – 530 \cdot 8,6. $

Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ 12x^2 + 18x. $
b) $ 21x^2y – 14xy^2 + 7xy. $
c) $ x^2 + 2x. $
d) $ 15ab^2 – 25abc. $
e) $ -45x^3yz – 15xy^2z + 30x^2yz. $

Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^4-4x^3-2x^2$.
b) $6x^2y + 9xy^2 -3xy$.
c) $2x^2y^2 -4x^3y^2 + 12x^3y^3$.
d) $ 3a^2(x-5) -6ab(5-x). $

Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ 15(x-2y) – 3x(2y-x). $
b) $ -12x^2 (-x+y) +18x^3(y-x). $
c) $xy(z+1) + 3x(z+1) – 4x^2(z+1)$.
d) $(x+1)^2+3(x-1)^3 – (x+1)^2$.

Bài 11. Tìm $ x $, biết:

a) $ x^3 -9x =0. $
b) $ x^2 – 4x = 0. $
c) $ 2x(x-5) +5-x =0. $

Bài 12. Tìm $ x $, biết:

a) $ x+ 5x^2 =0. $
b) $ x+1 =(x+1)^2. $
c) $ x^3 + x =0. $

Phương trình lượng giác không mẫu mực

Leave a reply

1.Phương pháp đưa về phương trình tích

Ta biến đổi phương trình về dạng: $ A.B…=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} A=0\B=0\… \end{matrix} \right.   $

Ví dụ 1. Giải phương trình: $ \sin x \cos 2x =\sin 2x \cos 3x-\dfrac{1}{2}\sin 5x$

Đáp số

Pt $ \Leftrightarrow \sin x \cos 2x =\dfrac{1}{2}\left(\sin 5x -\sin x\right)-\dfrac{1}{2}\sin 5x $

$  \Leftrightarrow \sin x (2\cos x+1)=0      $

$  \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \sin x=0 \\ 2\cos x+1=0  \end{matrix} \right.    $

$  \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=k\pi \\x=\pm \dfrac{\pi}{3}+k\pi  \end{matrix} \right.  , k \in \mathbb{Z}.$

2. Phương pháp tổng các bình phương

Ta biến đổi phương trình thành dạng: $A^2+B^2+…=0  $

$\Leftrightarrow \left{ \begin{matrix} A^2=0\B^2=0\… \end{matrix} \right.$

Ví dụ 2. Giải phương trình: $3\tan^2 x+4\sin^2 x-2\sqrt{3}\tan x-4\sin x+2=0$

Đáp số

$3\tan^2 x+4\sin^2 x-2\sqrt{3}\tan x-4\sin x+2=0$

$  \Leftrightarrow 3\tan^2 x-2\sqrt{3}\tan x+1+4\sin^2 x-4\sin x+1=0   $

$ \Leftrightarrow (\sqrt{3}\tan x-1)^2+(2\sin x-1)^2=0  $

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{3}\tan x-1=0\\ 2\sin x-1=0  \end{matrix} \right.  $

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \tan x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\ \sin x=\dfrac{1}{2} \end{matrix} \right.$

$ \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, k \in \mathbb{Z}  $

3. Phương pháp đánh giá

Ví dụ 3. Giải phương trình: $ \cos^5 x+x^2=0         $

Đáp số

$  \Leftrightarrow x^2=-\cos^5 x     $

Vì $ -1 \le \cos x \le 1  $ nên $0 \le x^2 \le 1 \Leftrightarrow -1 \le x \le 1 $

mà $[-1;1] \subset \left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$

$\Rightarrow \cos x>0, \forall x \in [-1;1] \Rightarrow -\cos^5 x<0, \forall x \in [-1;1]$

Do đó, phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 4. Giải phương trình: $  \sin^4 x+\cos^{15} x=1$

Đáp số

Ta có:

$ \Leftrightarrow \sin^4 x+\cos^{15}x=\sin^2 x+\cos^2 x  $

$\Leftrightarrow \sin^2 x(\sin^2 x-1)=\cos^2 x(1-\cos^{13} x)$

Vì: $\sin^2 x(\sin^2 x-1) \le 0 , \forall x$ và $\cos^2 x(1-\cos^{13} x)\ge 0, \forall x$

Nên: Pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} \sin x=0 \\ \sin x=\pm 1 \end{matrix} \right. \\ \left[\begin{matrix} \cos x=0\\ \cos x=1 \end{matrix} \right. \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi; x=2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

4. Bài tập

Giải các phương trình sau:

a) $\cos^4 x+\sin^6 x=\cos 2x$

b) $\sin^2 x+\dfrac{1}{4}\sin^2 3x=\sin x.\sin^2 3x$

c) $(\sin x+\sqrt{3}\cos x)\sin 3x=2$

d) $\cos^5 x+\sin^5 x+\sin 2x+\cos 2x=1+\sqrt{2}$

e) $\sin^8 2x+\cos^8 2x=\dfrac{1}{8}$

f) $\sin^3 x+\cos^3 x=1-\dfrac{1}{2}\sin 2x$

 

 

 

 

 

 

 

Một số phương trình lượng giác thường gặp (tt)

Leave a reply

I. Lý thuyết

3. Phương trình đẳng cấp với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng: $a\sin^2 x+b \sin x \cos x+ c \cos^2 x=d$  (*)

(hoặc $a\cos^2 x+b \sin x \cos x+ c \sin^2 x=d$.)

Cách làm:

  • Với $\cos x=0 \Rightarrow \sin x=1$ nếu (*) đúng thì $\cos x=0$ là nghiệm.

  • Với $\cos x \ne 0$, chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^2 x$, ta được:

$(a-d)\tan^2 x+b \tan x+ c-d =0$

Ví dụ 3. Giải phương trình:

$2\sin^2 x-5\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$

Đáp số

+ Nếu $\cos x =0$ thì phương trình trở thành $\sin x=0$, không xảy ra.

+ Nếu $\cos x \ne 0$, chia hai vế phương trình cho $\cos^2$ ta được:

$2\tan^2 x-5\tan x+3=0 \Leftrightarrow \tan x=1$ hoặc $\tan x=\dfrac{3}{2}$.

Với $\tan x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Với $\tan x =\dfrac{3}{2}$, có số $\alpha$ để $\tan \alpha =\dfrac{3}{2}$ ta có: $\tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha + k\pi .$

Vậy phương trình có các nghiệm: $x=\dfrac{\pi}{4}, x=\alpha+k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

4. Phương trình đối xứng với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng: $a(\sin x \pm \cos x)+b\sin x\cos x=c$

Cách làm:

Đặt: $t=\sin x+ \cos x \Rightarrow \sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}{2}.$ Điều kiện: $|t| \le \sqrt{2}$

Hoặc $t=\sin x- \cos x \Rightarrow \sin x\cos x=\dfrac{1-t^2}{2}.$ Điều kiện: $|t| \le \sqrt{2}$

Ví dụ 4. Giải phương trình: $\sin 2x -12(\sin x-\cos x)+12=0$

Đáp số

Đặt: $t= \sin x -\cos x,$ với $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

$\Rightarrow t^2=1-\sin 2x \Rightarrow \sin 2x=1-t^2$

PT $\Leftrightarrow 1-t^2-12t+2=0 \Leftrightarrow -t^2-12t+13=0 \Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=-13$ (loại).

$\Rightarrow \sin x-\cos x =1 \Leftrightarrow \sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\\ x-\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow  \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\pi +k2\pi \end{matrix} \right. k \in \mathbb{Z}$

II. Bài tập

  1. Giải các phương trình sau:

a) $\cos^2 x-\sqrt{3}\sin2x=1+\sin^2 x$

b) $1+2\sin 2x=6\cos^2 x$

c) $\cos^3 x-4\sin^3 x-4\cos x \sin^2 x+\sin x=0$

d) $\sqrt{2}\sin^3 \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sin x$

  1. Giải các phương trình sau:

a) $\sin 2x-4(\cos x-\sin x)=4$

b) $\sin 2x+\sqrt{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=1$

c) $-1+\sin^3 x+\cos^3 x=\dfrac{3}{2}\sin 2x$

d) $\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tan x+\cot x)$

Đáp số

1. a) $x=k\pi; x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi$

b) $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi; x= \arctan (-5)+k\pi$

c) $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi; x=\pm \dfrac{\pi}{6}+k\pi$

d) $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$

2. a) $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\pi+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

b) $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\pi+k2\pi; x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

c) $x=k2\pi; x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\varphi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi;$

$x=\dfrac{3\pi}{4}-\varphi +k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ với $\sin \varphi=\dfrac{\sqrt{3}-2}{2}$.

d) $x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$

 

 

Một số phương trình lượng giác thường gặp

Leave a reply

I. Lý thuyết

1. Phương trình thuần nhất với một hàm số lượng giác

  • Bậc nhất: $a\sin x+b=0$ (hoặc $a\cos x+b=0, a\tan x+b=0, a\cot x+b=0$).
  • Bậc hai: $a\sin^2 x+b\sin x+c=0$

(hoặc $a\cos^2 x+b\cos x+c=0, a\tan^2 x+b\tan x+c=0, a\cot^2 x+b\cot x+c=0)$

Cách giải: Đặt ẩn phụ $t=\sin x (t=\cos x, t=\tan x, t=\cot x)$, đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai theo $t$.

Chú ý: Với ẩn phụ $t=\sin x  (t=\cos x)$ thì phải có điều kiện $|t| \le 1$.

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3} \cot (3x-30^o)-1=0$

b) $\cot^2 x+(\sqrt{3}-1)\cot x-\sqrt{3}=0$

c) $6\sin^2 x+5\cos x-4=0$

d) $\cos 2x+3\sin x -1=0$

e) $\dfrac{\sqrt{3}}{\cos^2 x}=3\tan x+\sqrt{3}$

Đáp số

a) $\sqrt{3} \cot (3x-30^o)-1=0 \Leftrightarrow \cot (3x-30^o)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\cot 60^o$

$\Leftrightarrow 3x-30^o=60^o+k180^o \Leftrightarrow x=30^o+k60^o (k \in \mathbb{Z})$

b) Điều kiện: $x \ne k\pi$. Ta có: $\cot^2 x+(\sqrt{3}-1)\cot x-\sqrt{3}=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cot x=1=\cot \dfrac{\pi}{4} \\ \cot x= -\sqrt{3}=\cot \left(-\dfrac{\pi}{6} \right) \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi \\ x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$

c) $6\sin^2 x+5\cos x-4=0 \Leftrightarrow 6(1-\cos^2x)+5\cos x -4=0$

$\Leftrightarrow 6\cos^2 x -5\cos x -2 =0 (*).$

Đặt $t=\cos x$, điều kiện $|t| \le 1$. Phương trình (*) trở thành:

$ 6t^2-5t-2=0 \Leftrightarrow t=\dfrac{5-\sqrt{73}}{12}$ (thỏa mãn) hoặc $t=\dfrac{5+\sqrt{73}}{12}$ (loại vì không thỏa điều kiện).

Do đó: $\cos x=\dfrac{5-\sqrt{73}}{12}=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha +k2\pi$ với $\cos \alpha =\dfrac{5-\sqrt{73}}{12}.$

Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm: $x=\pm \alpha +k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.

c) $\cos 2x +3\sin x -1=0 \Leftrightarrow 1-2\sin^2 x+3\sin x-1=0$

$\Leftrightarrow \sin x(-2\sin x+3)=0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin x=0 \ (nhận) \\ \sin x=\dfrac{3}{2}  \   (loại) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \sin x=0 \Leftrightarrow x=k\pi$

Vậy phương trình có nghiệm: $x=k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

e) Điều kiện: $x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi.$ Vì $\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x$ nên:

$\dfrac{\sqrt{3}}{\cos^2 x}=3\tan x+\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} (1+\tan^2 x)=3\tan x+\sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{3} \tan^2 x-3\tan x =0$

Đặt $t=\tan x$, khi đó phương trình đã cho trở thành:

$ \sqrt{3} t^2-3t=0 \Leftrightarrow t=0$ hoặc $t=\sqrt{3}$

+ Với $t=0$ ta có $\tan x =0 \Leftrightarrow x=k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

+ Với $t=\sqrt{3}$ ta có $\tan x=\sqrt{3}=\tan \dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k \in \mathbb{Z}.$

Vậy phương trình có các họ nghiệm: $x=k\pi; x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi.$

2. Phương trình bậc nhất với $\sin x$ và $\cos x$

$a \sin x+b\cos x =c  \   (1)$

($a,b$ là các số đã cho khác 0).

Cách giải. Chia vế của (1) cho $\sqrt{a^2+b^2}$ ta được:

$(1) \Leftrightarrow \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+ \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos b =\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$     (2)

Vì $\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1$ nên có số $\alpha$ sao cho:

$\cos \alpha =\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},$ phương trình (2) trở thành:

$\sin x \cos \alpha+\sin \alpha \cos x=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\Leftrightarrow \sin (x+\alpha)=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} $       (3)

Phương trình (3) có nghiệm $\Leftrightarrow \left|\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \le 1 \Leftrightarrow a^2+b^2 \ge c^2.$

Khi đó (3) $\Leftrightarrow \sin (x+\alpha)=\sin \beta$ (trong đó $\sin \beta=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a) $5\sin x-12\cos x =13$

b) $\sqrt{3} \sin x-\cos x=2$

c) $\left(\sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2} \right)^2+\sqrt{3}\cos x=2$

d) $4\cos^2 x+3\sin 2x=7$

Đáp số

a) Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$ ta được:

$\dfrac{5}{13}\sin x-\dfrac{12}{13}\cos x=1 (*).$ Đặt $\cos \varphi =\dfrac{5}{13}$ với $0< \varphi<\dfrac{\pi}{2}.$

Khi đó $\sin \varphi =\dfrac{12}{13}.$ Phương trình (*) trở thành:

$\sin x\cos x-\sin x \cos x=1 \Leftrightarrow \sin (x-\varphi)=1 \Leftrightarrow x-\varphi =\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$

Vậy phương trình có nghiệm: $x=\varphi +\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.

b) $\sqrt{3} \sin x-\cos x=2 \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x=1$

$\Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi}{6}-\sin\dfrac{\pi}{6}\cos x=1 \Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1$

$x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.

c) $\left(\sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2} \right)^2+\sqrt{3}\cos x=2 \Leftrightarrow \sin^2 \dfrac{\pi}{2}+\cos^2 \dfrac{\pi}{2}+2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}+\sqrt{3}\cos x=2$

$\Leftrightarrow \sin x+\sqrt{3}\cos x=1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \end{matrix} \right. (k\in \mathbb{Z})$.

d) $4\cos^2 x+3\sin 2x=7 \Leftrightarrow 4\left(\dfrac{1+\cos 2x}{2}\right)+3\sin 2x=7$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x+3\sin 2x=5$

Ta thấy phương trình có $a^2+b^2=13<c^2=25$.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

II. Bài tập

1. Giải các phương trình sau:

a) $\dfrac{2\sin x+1}{2\cos x-\sqrt{3}}=0$

b) $\sqrt{\sin x}.(2\cos x+1)=0$

c) $\cos 2x \sin\left(\dfrac{\pi}{6}-3x\right)-\sin2x\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-3x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

2. Giải các phương trình sau:

a) $-2\sin^2 x+5\sin x+3=0$

b) $\cos 2x+\sin^2 x+2\cos x+1=0$

c) $\dfrac{\sqrt{3}}{\sin^2x}=3\cot x+\sqrt{3}$

3. Giải các phương trình sau:

a) $\sin x -\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$

b) $(\sqrt{3}-2)\cos 3x+\sin 3x-2=0$

c) $\sin(x+45^o)+\cos(x+45^o)=\sqrt{2}\sin 4x$

Đáp số

1. a) $x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$

b) $x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi; x=k\pi$

c) $x=-\dfrac{\pi}{30}+k\dfrac{2\pi}{5}; x=-\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5}$

2. a) $x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi; x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$

b) $x=\pi+k2\pi$

c) $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi; x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$

3. a) $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$

b) Vô nghiệm.

c) $x=30^o+k120^o; x=18^o+k72^o$.

 

 

 

 

Phương trình lượng giác cơ bản

1 Reply

I. Lý thuyết

Với $\alpha$ là một số cho trước.

  • $\sin x =\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\alpha +k2\pi\\x=\pi – \alpha +k2\pi \end{matrix} \right.  (k \in \mathbb{Z})$
  • $\cos x =\cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\alpha +k2\pi\\x=- \alpha +k2\pi \end{matrix} \right.  (k \in \mathbb{Z})$
  • $\tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi, k \in \mathbb{Z}$
  • $\cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x= \alpha +k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Với điều kiện $m \in [-1;1]$ ta có:

  • $\sin x =m \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\arcsin m +k2\pi\\x=\pi – \arcsin m +k2\pi \end{matrix} \right.  (k \in \mathbb{Z})$
  • $\cos x =m \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\arccos m +k2\pi\\x= – \arccos m +k2\pi \end{matrix} \right.  (k \in \mathbb{Z})$

Nếu $|m|>1$ thì các phương trình $\sin x=m, \cos x=m$ vô nghiệm.

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

a) $2\sin x-1=0$

b) $2\cos(x-15^o)+1=0$

c) $\sqrt{3} \tan x=3$

d) $3\cot  (2x+1)=-1$

Đáp số

a) $2\sin x-1-0 \Leftrightarrow \sin x=\dfrac{1}{2}=\sin \dfrac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{6} +k2\pi\\x=\pi – \dfrac{\pi}{6} +k2\pi \end{matrix} \right.  $

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{6} +k2\pi\\x=\dfrac{5 \pi}{6} +k2\pi \end{matrix} \right.  (k \in \mathbb{Z})$

b) $2\cos (x-15^o)+1=0 \Leftrightarrow \cos (x-15^o)=-\dfrac{1}{2}=\cos 120^o$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x-15^o=120^o+k360^o\\x-15^o=-120^o+k360^o \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=135^o+k360^o\\ x=-105^o+k360^o \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$

c) $\sqrt{3} \tan x=3 \Leftrightarrow \tan x=\sqrt{3}=\tan \dfrac{\pi}{3} $

$\Leftrightarrow x= \dfrac{\pi}{3}+k\pi, k \in \mathbb{Z}.$

d) $3\cot (2x+1)=-1 \Leftrightarrow \cot (2x+1)=\dfrac{-1}{3} \Leftrightarrow 2x+1=arccot \left(-\dfrac{1}{3}\right)+k\pi   $

$\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} arccot \left(-\dfrac{1}{3} \right)+\dfrac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

II. Bài tập

1. Giải các phương trình sau

a) $\sin 4x -\sin x=0$

b) $\cot (x+3)=\tan (x-1)$

c) $\sin 2x=\cos \left( \dfrac{\pi}{3}-x \right)$

d) $\sin 4x+\cos x =0$

Đáp số

a) $x=\dfrac{\pi}{5}+k2\pi; x=\dfrac{k2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$

b) $x=\dfrac{\pi}{4}-1+k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

c) $ x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi; x=\dfrac{5\pi}{18}+\dfrac{k2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$

d) $x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}; x=-\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{k2\pi}{5}, k \in \mathbb{Z}$

2. Giải  các phương trình sau:

a) $\dfrac{2\sin x-1}{\sqrt{\cos x}}=0$

b) $\dfrac{(2\cos 2x-1)(\sin x-3)}{\sqrt{\sin x}}=0$

Đáp số

a) $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

b) $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi; x= \dfrac{5\pi}{6}+k2\pi , k \in \mathbb{Z}$.

3. Giải các phương trình sau với điều kiện của nghiệm đã cho:

a) $\sin 2x -1=0$ với $0 <x<2\pi$;

b) $\tan (x+30^o)+1=0$ với $-90^o<x<360^o$

Đáp số

a) Tập nghiệm của phương trình $S=\left\{ \dfrac{\pi}{12}; \dfrac{13\pi}{12}; \dfrac{5 \pi}{12}; \dfrac{17\pi}{12} \right\}$

b) Tập nghiệm của phương trình  $S=\left\{-75^o; 105^o; 285^o \right\}$

Phương trình bậc nhất: $ax + b = 0$.

Leave a reply

Giải và biện luận phương trình $ax + b = 0$. 

  • Nếu $a \neq 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{-b}{a}$.
  • Nếu $a = 0, b \neq 0$ thì phương trình vô nghiệm.
  • Nếu $a = 0, b = 0$ thì mọi $x \in \mathbb{R}$ đều là nghiệm.

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình $(m-1)x + 2m – 3 = 0$.

Giải
  • Khi $m -1 \neq 0 \Leftrightarrow m = 1$, phương trình có nghiệm $x = \dfrac{3-2m}{m-1}$.
  • Khi $m = 1$, ta có phương trình $0x -1 = 0$ (Vô nghiệm).

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình $(m^2-3m + 2)x – m^2 +1 = 0$.

Giải
  • Khi $m^2 – 3m + 2 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1, m\neq 2$ thì phương trình có nghiệm $x = \dfrac{m^2-1}{m^2-3m+2} = \dfrac{m+1}{m-2}$.
  • Khi $m^2 – 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ hoặc $m = 2$.
    • Với $m = 1$ thì $ 1-m^2 = 0$ nên mọi $x \in \mathbb{R}$ đều là nghiệm.
    • Với $m = 2$ thì $1 – m^2 \neq 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{3mx – 1}{x-m} =2 $ có nghiệm duy nhất.

Giải

Điều kiện $x \neq m$. Phương trình tương đương với $3mx – 1 = 2(x-m) \Leftrightarrow (3m-2)x = -2m+1$.

Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $3m – 2 \neq 0$ và $x = \dfrac{-2m-1}{3m-2} \neq m \Leftrightarrow m \neq \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Kết luận: $m \neq \dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Bài tập

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) $(m^2-4m+2)x=m-2$
b) $m^2(x-1)=mx-1$
c) $m(x-m+3)=m(x-2)+6$
d) $m(mx-1)=4x+2$

Bài 2. Định $m$ để các phương trình sau vô nghiệm
a) $(4m^2-2)x=1+2m-x$
b) $(m+1)^2x-2=(4m+9)x-m$
c) $\dfrac{x-2}{x-3}=\dfrac{x}{x+m}$
d) $\dfrac{x+1}{x-m+1}=\dfrac{x}{x+m+2}$

Bài 3. Định $m$ để phương trình sau có nghiệm
a) $m^2(x-1)=4x-3m+2$
b) $\dfrac{2x+m}{x-1}-\dfrac{x+m-1}{x}=1$
c) $\dfrac{x+m}{x+3}=\dfrac{x}{x+1}$

[WpProQuiz 4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Phép nhân đa thức với đa thức – Phần 1

Leave a reply

Muốn nhân đa thức với đa thức ta nhân từng đơn thức của đa thức này với đa thức kia.

Cho $A, B, C, D$ là các đơn thức. Khi đó:

$(A+B)\cdot (C+D) = A(C+D) + B(C+D)$

Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau:

a) $(x-1)(x+2)$;
b) $(2-x)(3x+2)$;
c) $-4x(x-2)(x+2)$;

Giải
a)$(x-1)(x-2) = x(x-2) + (-1)(x-2)$

$= x^2 – 2x +(-x+2) = x^2-3x+2$
b)$(2-x)(3x+2) = 2(3x+2)+(-x)(3x+2)$

$= 6x+4+(-3x^2-2x) = -3x^2+4x+4$
c)$-4x(x-2)(x+2) = -4x[x(x+2)+(-2)(x+2)]$

$= -4x(x^2+2x-2x-4) = -4x(x^2-4)$

$= -4x^3+16x$

Ví dụ 2. Thực hiện các phép nhân.

a) $(2x^2-y)(y+3x)$

b)$(3xy^2+4x-3y)(x+6y)$

c)$(3x^2-2z-6y)(x+z)$

Giải
a) $(2x^2-y)(y+3x) = 2x^2(y) +(-y)(y) + (2x^2)(3x)+(-y)(3x)$

$ = 2x^2y -y^2 + 6x^3 -3xy$
b) $(3xy^2+4x-3y)(x+6y) = $

$=3xy^2(x) + 4x(x) +(-3x)(x ) +3xy^2(6y)+4x(6y) -(3y)(6y) $

$ = 3x^2y^2-3x^2+18xy^3+24xy-18y^2$
c)$(3x^2-2z-6y)(x+z) =$

$=2x^2 \cdot x +(-2z)\cdot x +(-6y)\cdot x + (3x^2)\cdot z +(-2z)\cdot z +(-6y)\cdot z$

$ = 2x^3 – 2xz -6xy + 3x^2z – 2z^2 – 6yz$
[WpProQuiz 2]