Category Archives: Đại số

Phương trình tích

1. Kiến thức cần nhớ

Tính chất:  $ A(x) \cdot B(x) = 0 \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
A(x) = 0 \hfill \cr
B(x) = 0
\end{array} \right. $

Phương pháp: Các bước giải phương trình tích như sau:

  • Bước 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tổng quát $ A(x) \cdot B(x) = 0 $ bằng cách chuyển tất cả các hạng tử của phương trình về vế trái, khi đó vế phải bằng $0$. Phân tích đa thức ở vế trái thành nhân tử.
  • Bước 2: Giải phương trình và kết luận.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a/ $ (4x+8)(3x-6) = 0 $
b/ $ (x-2)(4x-12) = 0 $

Giải

a/ $ (4x+8)(3x-6) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
4x+8 = 0 \\
3x-6 = 0
\end{array} \right.  \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x = -2 \\
x = 2
\end{array} \right. $
Vậy $ S= \{-2;  2\} $

b/ $ (x-2)(4x-12) = 0 $
$ \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x-2 = 0 \\
4x-12 = 0
\end{array} \right.  \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x = 2 \\
x= 3
\end{array} \right. $
Vậy $ S= \{2; 3 \} $

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a/ $ (2x-6)(x+21)(12-3x) = 0 $
b/ $ (2x+7)(x-5)(5x-1) = 0 $

Giải

a/ $ (2x-6)(x+21)(12-3x) = 0 $
$ \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
2x-6 = 0 \\
x+21 = 0 \\
12-3x = 0
\end{array} \right.  \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x = 3 \\
x=  -21 \\
x = 4
\end{array} \right. $
Vậy $ S= \{3;  -21;  4 \} $

b/ $ (2x+7)(x-5)(5x-1) = 0 $
$ \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
2x+7=0 \\
x-5=0 \\
5x-1 = 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x = \dfrac{-7}{2} \\
x=5 \\
x=\dfrac{1}{5}
\end{array} \right. $
Vậy $ S= \left \{\dfrac{-7}{2}; 5 ; \dfrac{1}{5} \right \} $

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a/ $ (x+2)(x-3) = 0 $
b/ $ (2x+1)(2-3x) = 0 $
c/ $ (5x-4)(4x+6) = 0 $
d/ $(4 x+2)\left(x^{2}+1\right)=0$
e/ $(2 x+7)(x-5)(5 x+1)=0$
f/ $(x-1)(2 x+7)\left(x^{2}+2\right)=0$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a/ $(4 x-10)(24+5 x)=0$
b/ $ (x-5)(3-2x)(3x+4) = 0 $
c/ $ (2x+1)(x^2+2) = 0 $
d/ $ 2x(x-3)+5(x-3) = 0 $
e/ $ (x^2-4)(5x-4)(x^3+1) =0 $
f/ $(3 x-2)(4 x+5)=0$

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a/ $(5 x+2)(x-7)=0$
b/ $15(x+9)(x-3)(x+21)=0$
c/ $\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-4 x+4\right)=0$
d/ $(3 x-2)\left[\dfrac{2(x+3)}{7}-\dfrac{4 x-3}{5}\right]=0$

Hệ phương trình – Phương pháp cộng đại số – Hệ phương trình đối xứng loại hai

 1. Phương pháp cộng đại số – Hệ phương trình đối xứng loại hai

Từ một hệ phương trình gồm có hai hay nhiều phương trình, ví dụ $\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=0 (1) \\ g(x,y)=0 (2) \end{array} \right.$, ta tạo ra một hệ mới tương đương với hệ đã cho, bằng cách tạo thêm một phương trình dạng $af(x,y) + bg(x,y) = 0$, việc chọn lựa các hệ số $a, b$ đòi hỏi nhiều kinh nghiệm vì phương trình mới tạo ra phải đơn giản hơn, hoặc có ý để giúp giải được hệ.

Hệ đối xứng loại hai là hệ có dạng $\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=0\ \ (1) \\ g(x,y)=0 \ \ (2) \end{array} \right.$ trong đó $f(y, x) = g(x,y)$ và $g(y,x) = f(x,y)$. Để giải hệ này ta lấy $(1)$ trừ $(2)$, sau đó xử lý tiếp.

Ví dụ 1:  Giải hệ phương trình $\begin{cases}x+3y=2x^2&\\ y+3x=2y^2 \end{cases}$ $(*)$

Giải

Ta có $(*) \Leftrightarrow \begin{cases} x+3y=2x^2&\\ -2(x-y)=2(x^2-y^2) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x+3y=2x^2 \ \ (1)&\\ 2(x-y)(x+y+1)=0 \ \ (2) \end{cases}$.

Từ (2) suy ra $y=-x-1$ hoặc $x=y$.

Trường hợp $y=-x-1$ thay vào (1) ta được $x+3(-x-1) =2x^2 $ (vô nghiệm).

Trường hợp $x=y $ thay vào (1) ta được $4x=2x^2 \Leftrightarrow 2x(x-2)=0 \Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=0$.

Vậy $(x,y)=(2;2)$ hoặc $(x,y)=(0;0)$.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3+1=2y&\\ y^3+1=2x. \end{cases}$ $(*)$

Giải

$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} x^3+1=2y&\\(x-y)(x^2+xy+y^2)=-2(x-y) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x^3+1=2y \ \ (1)&\\ (x-y)(x^2+xy+y^2+2)=0 \ \ (2) \end{cases}$

$(2) \Leftrightarrow x=y$ hoặc $x^2+xy+y^2+2=0$.

Trường hợp $x=y $ thay vào (1) ta được $x^3-2x+1=0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2+x-1)=0.$

Suy ra $ x=1$ hoặc $x=\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Trường hợp $x^2+xy+y^2+2=0 \Leftrightarrow (x-\dfrac{y}{2})^2+\dfrac{3y^2}{4}+2=0$ (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(1,1)$ hoặc $(x,y)=(\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}, \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}).$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3y=\dfrac{y^2+2}{x^2}&\\ 3x=\dfrac{x^2+2}{y^2} \end{cases} $ $(*)$

Giải

Điều kiện $xy \ne 0$.

$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} 3x^2y=y^2+2&\\ 3xy^2=x^2+2 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} 3yx^2=y^2+2 \ \ (1) &\\ 3xy(x-y)=-(x-y)(x+y) \ \ (2) \end{cases} $

$(2) \Leftrightarrow (x-y)(x+y+3xy)=0$.

Trường hợp $x=y$, thay vào (1) ta được $3x^3-x^2-2=0\\ \Leftrightarrow (x-1)(3x^2+2x+2)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $3x^2+2x+2=0$ (vô nghiệm).

Vậy $(x,y)=(1,1)$.

Trường hợp $x+y+3xy=0$ không xảy ra. Thật vậy, để ý rằng từ hệ phương trình đã cho nếu có nghiệm $(x,y)$ thì $x,y>0$ do đó $x+y+3xy>0$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(1,1).$

Trên đây là các hệ phương trình đối xứng loại hai, sau đây ta xét các ví dụ về một số hệ không mẫu mực khác, sử dụng phương pháp cộng đại số. Chú ý, tạo ra phương trình mới thì phương trình mới có thể xuất hiện hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử được…

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+6y=6x&\\ y^2+9=2xy \end{cases}$

Giải

Lấy phương trình $(1)$ cộng phương trình $(2)$ ta có $x^2 + y^2 -2xy + 6(y-x) + 9 = 0 \Leftrightarrow (y-x+3)^2 = 0 \Leftrightarrow y = x -3$.

Thế vào $(1)$ ta có: $x^2 + 6(x-3) = 6x \Leftrightarrow x = 3\sqrt{2}, x=-3\sqrt{2}$.

Với $x = 3\sqrt{2} \Rightarrow y = 3\sqrt{2}-3$.

Với $x = -3\sqrt{2} \Rightarrow y = -3\sqrt{2}-3$.

Vậy hệ có hai nghiệm $(x;y)$ là $(3\sqrt{2};3\sqrt{2}-3); (-3\sqrt{2};-3\sqrt{2}-3)$.

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình $\begin{cases}x^2+y^2+xy=3&\\ x^2+2xy=7x+5y-9. \end{cases}$

Giải

Cộng vế theo theo vế hai phương trình ta được

$ 2x^2+y^2+3xy-7x-5y+6=0 $

$\Leftrightarrow y^2+(3x-5)y+2x^2-7x+6=0$

$\Leftrightarrow y^2+(3x-5)y+(2x-3)(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (y+2x-3)(y+x-2)=0$

$\Leftrightarrow y+2x-3=0 \ \text{hoặc } \ y+x-2=0.$

Trường hợp $\begin{cases} y+2x-3=0&\\ x^2+y^2+xy=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=3-2x&\\ 3x^2-9x+6=0. \end{cases}$.

Ta được $\begin{cases} x=1&\\ y=1 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x=2&\\ y=-1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases} y+x-2=0&\\ x^2+y^2+xy=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}y=2-x&\\ x^2-2x+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=1&\\ y=1. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (1;1); (2;-1)\right\} .$

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y^2+4xy=6&\\ 2x^2+8=3y+7x \end{cases}$ $(*)$

Giải

$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y^2+4xy=6&\\ 4x^2+16=6y+14x. \end{cases}$

Cộng vế theo vế của hai phương trình ta được

$5x^2+y^2+4xy-6y-14x+10=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2+(2x+y-3)^2=0 $

$\Leftrightarrow \begin{cases}x=1&\\ 2x+y=3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\y=1. \end{cases}$

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2y+2x+3y=6&\\ 3xy+x+y=5 \end{cases}$.

Giải

Trừ vế theo vế hai phương trình ta được $x^2y-3xy+x+2y-1=0.$

Dễ thấy với $y=0$ thì $(x,0)$ không thể là nghiệm của hệ nên ta chỉ xét $y \ne 0$.

Chia hai vế của phương trình trên cho $y$ ta được

$ x^2-3x+\dfrac{x}{y}+2-\dfrac{1}{y}=0$

$\Leftrightarrow x^2 -(3-\dfrac{1}{y})x+(2-\dfrac{1}{y})=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x+\dfrac{1}{y}-2)=0$

$\Leftrightarrow x=1 \ \text{hoặc} \ x+ \dfrac{1}{y}-2=0.$

Trường hợp $\begin{cases}x=1&\\ 3xy+x+y=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1&\\y=1. \end{cases}$

Trường hợp $\begin{cases}x+\dfrac{1}{y}-2=0&\\ 3xy+x+y=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x+\dfrac{1}{y}=2&\\3x+\dfrac{x}{y}+1=\dfrac{5}{y}. \end{cases}$

Suy ra $\dfrac{1}{y}=2-x$ và $3x+x(2-x)+1=5(2-x) \Leftrightarrow x^2-10x+9=0 \Leftrightarrow x=1 \ \text{hoặc} \ x=9.$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (1;1); \left( 9, -\dfrac{1}{7}\right) \right\} $.

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+2xy+2y^2+3x=0&\\ xy+y^2+3y+1=0. \end{cases}$

Giải

Lấy phương trình thứ nhất cộng hai lần phương trình thứ hai ta được

$(x+2y)^2+3(x+2y)+2=0$

$\Leftrightarrow (x+2y+1)(x+2y+2)=0.$

Trường hợp $x+2y+1=0 \Leftrightarrow x=-2y-1$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$ y^2-2y-1=0 \Leftrightarrow y=1 \pm \sqrt{2}.$

Với $y=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=-3+\sqrt{5}$.

Với $y=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=-3-\sqrt{5}$.

Trường hợp $x+2y+2=0 \Leftrightarrow x=-2y-2$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$y^2-y+1=0 \Leftrightarrow y=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Với $y=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=-3+\sqrt{5}$.

Với $y=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=-3-\sqrt{5}$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ \left( -3-2\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}\right) ; \left( -3+2\sqrt{2}; 1-\sqrt{2}\right) ; \left( -3+\sqrt{5}; \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) ;  \left( -3-\sqrt{5}; \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \right\} $.

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3(2+3y)=1&\\ x(y^3-2)=3. \end{cases}$

Giải

Dễ thấy $x \ne 0.$

Khi đó hệ tương đương $\begin{cases} 2+3y=\dfrac{1}{x^3}&\\ y^3-2=\dfrac{3}{x} \end{cases}$

Cộng vế theo vế của hệ phương trình ta được

$y^3+3y=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{3}{x}$

$\Leftrightarrow y^3-\dfrac{1}{x^3}+3\left( y-\dfrac{1}{x}\right) =0 $

$\Leftrightarrow \left( y-\dfrac{1}{x}\right) \left( y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y}{x}+3\right) =0$

$\Leftrightarrow \left( y-\dfrac{1}{x}\right) \left[ \left( y+\dfrac{1}{2x}\right) ^2+\dfrac{3}{4x^2}+3\right] =0$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{x}.$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$\dfrac{1}{x^3}-2=\dfrac{3}{x} \Leftrightarrow 2x^3+3x^2-1=0 \Leftrightarrow x=-1 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{1}{2}.$

Với $x=-1$ ta được $y=-1$, với $x=\dfrac{1}{2}$ ta được $y=2$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (-1;-1); \left( \dfrac{1}{2};2\right)\right\}  $.

2. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x^2-2x-y-1=0&\\ y^2-2y-x-1=0 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^3+3x=8y&\\ y^3+3y=8x \end{cases}$

c)  $\begin{cases} x^3=5x+y&\\ y^3=5y+x  \end{cases}$

d) $\begin{cases} x-3y=4\dfrac{y}{x}&\\ y-3x=4\dfrac{x}{y}  \end{cases}$

e) $\begin{cases} xy+x^2=1+y&\\ xy+y^2=1+x \end{cases}$

f) $\begin{cases} 3y=\dfrac{y^2+2}{x^2}&\\ 3x=\dfrac{x^2+2}{y^2} \end{cases}$

g) $\begin{cases} 3x^3=x^2+2y^2&\\ 3y^3=y^2+2x^2 \end{cases}$

h) $\begin{cases} 3x^2y-y^2-2=0&\\ 3y^2x-x^2-2=0 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x+\sqrt{y+3} =3&\\ y+\sqrt{x+3}=3 \end{cases}$.

b) $\begin{cases} \sqrt{x+5}+\sqrt{y-2}=7&\\ \sqrt{y+5}+\sqrt{x-2}=7 \end{cases}$

c) $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{2-x}=\sqrt{2}&\\ \sqrt{y}+\sqrt{2-x}=\sqrt{2} \end{cases}$

d) $\begin{cases} x \sqrt{1+y^2}+y \sqrt{1+x^2}=2&\\ x \sqrt{1+x^2}+y\sqrt{1+y^2}=2 \end{cases}$

e) $\begin{cases} \sqrt{x^2+3}+2\sqrt{x}=3\sqrt{y}&\\ \sqrt{y^2+3}+2\sqrt{y}=3\sqrt{x} \end{cases}$

f) $\begin{cases} x+\dfrac{2}{y}=\dfrac{3}{x}&\\ y+\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{y} \end{cases}$

g) $\begin{cases} 2x+3\sqrt{5-y}=8&\\ 2y+3\sqrt{5-x}=8 \end{cases}$

h) $\begin{cases} \sqrt[3]{3x+5}=y+1&\\ \sqrt[3]{3y+5}=x+1 \end{cases}$

i) $\begin{cases} x+1=\sqrt{2+\sqrt{y+3}}&\\ y+1=\sqrt{2+\sqrt{x+3}} \end{cases}$

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau

a) $\begin{cases} x^2(1-2y)=y^2(4x+2y)&\\ 2x^2+xy-y^2=x \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^2(y^2+1)=2&\\ x^2y^2+xy+1=3x^2 \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^2+2=x(y-1)&\\ y^2-7=y(x-1) \end{cases}$

d) $\begin{cases} 4x^2+y^4-4xy^3=1&\\ 2x^2+y^2-2xy=1 \end{cases}$

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} x^2+2xy+y=4&\\ x^2+xy+2y+x=5 \end{cases}$

b) $\begin{cases} 2x^2+2xy+y=5&\\ y^2+xy+5x=7 \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^2+y^2+xy=3&\\ y^2-xy+5x+4y=9 \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2+y^2=2&\\ 4(x+y)-x^2y^2=7 \end{cases}$

e) $\begin{cases} x^2+y^2+x+y=4&\\ x^2+2xy+9=7x+5 \end{cases}$

Bài 5: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+7=5y-6z&\\ y^2+7=10z+3x&\\ z^2+7=-x+3y \end{cases}$

Bài 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3+3xy^2+3xz^2-6xyz=1&\\ y^2+3yx^2+3yz^2-6xyz=1&\\ z^3+3zy^2+3zx^2-6xyz=1. \end{cases}$

Bài 7: Giải hệ phương trình $\begin{cases} (x-2y)(x-4z)=3&\\ (y-2z)(y-4x)=5&\\ (z-2x)(z-4y)=-8. \end{cases}$

Bài 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x(yz-1)=3&\\ y(zx-1)=4&\\ z(xy-1)=5. \end{cases}$

Bài 9: Giải hệ phương trình $\begin{cases}ab+c+d=3&\\ bc+d+a=5&\\ cd+a+b=2&\\ da+b+c=6 \end{cases}$

Bài 10: Cho $a \in \mathbb{R}$. Giải hệ phương trình $\begin{cases} x_1^2+ax_1+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_2&\\  x_2^2+ax_2+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_3&\\ …&\\ x_n^2+ax_n+(\dfrac{a-1}{2})^2=x_1 \end{cases}$

Hệ phương trình – Phương pháp thế

Trong chương này đề cập đến một số phương pháp giải hệ phương trình cơ bản nhất: Phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp ẩn phụ, và phương pháp đánh giá. Qua các phương pháp chúng ta cũng đi qua một số dạng phương trình mẫu mực như: hệ phương trình đối xứng loại một, loại hai, hệ đẳng cấp, hệ hoán vị vòng quanh,…Ngoài ra là các hệ không mẫu mực ở mức độ vừa phải, không quá xấu về mặt hình thức, phù hợp với các bạn THCS.

1. Phương pháp thế

Nội dung phương pháp: Từ một trong các phương trình, tính được một hoặc nhiều biến theo một hoặc nhiều biến khác, sau đó thế hết vào các phương trình còn lại để số biến sẽ giảm lại.

Trong các phương pháp giải hệ phương trình thì Phương pháp thế là phương pháp quan trọng và được sử dụng nhiều nhất. Mục tiêu của việc thế là đưa hệ nhiều ẩn thành hệ ít ẩn hơn, hoặc đưa về phương trình một ẩn, từ đó có thể giải được bài toán.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $ \left\{\begin{array}{l} x + 2y = 3\\ x^2-3y^2 + 4xy=2 \end{array} \right. $

Giải

$\left\{\begin{array}{l} x + 2y = 3 (1) \\x^2-3y^2 + 4xy=2 (2) \end{array} \right.$

Từ (1) ta có $x = 3-2y$, thế vào (2) ta có:

$(3-2y)^2-3y^2 + 4(3-2y)y = 2 \Leftrightarrow y^2 = 1 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y = 1\\ y=-1 \end{array} \right.$

Với $y = 1 \Rightarrow x = 1$.

Với $y = -1 \Rightarrow x = 5$.

Vậy hệ có 2 nghiệm $(x;y)$ là $(1;1), (5;-1)$.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x^2+x+y^2=7\\ xy-x+y=3 \end{array} \right.$

Giải

Nếu $x=-1$ thì phương trình thứ hai vô nghiệm.

Xét $x \ne -1.$ Từ phương trình thứ hai ta được

$xy-x+y=3 \Leftrightarrow y=\dfrac{x+3}{x+1}$.

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được

$2x^2+x+\left( \dfrac{x+3}{x+1}\right) ^2=7$

$\Leftrightarrow (2x^2+x-6)+\left[ \left( \dfrac{x+3}{x+1}\right)^2 -1\right] =0$

$\Leftrightarrow (x+2)(2x-3)+\dfrac{4}{(x+1)^2}(x+2)=0$

$\Leftrightarrow x=-2 \ \text{hoặc} \ 2x^3+x^2-4x+1=0.$

Trường hợp $x=-2$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=-1$.

Trường hợp $2x^3+x^2-4x+1=0  \Leftrightarrow (x-1)(2x^2+3x-1)=0$

$\Leftrightarrow x=1 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}.$

Với $x=1$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=2.$

Với $x=\dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được $y=\dfrac{9 \pm \sqrt{17}}{1+\sqrt{17}}$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (-2;-1), (1;2), \left(\dfrac{-3\pm \sqrt{17}}{4}; \dfrac{9 \pm \sqrt{17}}{1+\sqrt{17}}\right)\right\} .$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} 2x^2y+3xy=4x^2+9y\\ 7y+6=2x^2+9x. \end{array} \right.$

Giải

Từ phương trình thứ hai suy ra $y=\dfrac{2x^2+9x-6}{7}$.

Thay vào phương trình thứ nhất ta được

$2x^2 \left( \dfrac{2x^2+9x-6}{7} \right) +3x \left(  \dfrac{2x^2+9x-6}{7} \right) =\dfrac{7.4x^2}{7}+9 \left( \dfrac{2x^2+9x-6}{7} \right) $

$\Leftrightarrow (2x^2+9x-6)(2x^2+3x-9)=28x^2$

$\Leftrightarrow 4x^4+24x^3-31x^2-99x+54=0$

$\Leftrightarrow \left( x-\dfrac{1}{2}\right) (x+2)(4x^2+18x-54)=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2} \ \text{hoặc} \ x=2 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}.$

Trường hợp $x=\dfrac{1}{2}$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=-\dfrac{1}{7}$.

Trường hợp $x=-2$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=-\dfrac{16}{7}$.

Trường hợp $x=\dfrac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y=3$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y) \in \left\{ \left( \dfrac{1}{2}; – \dfrac{1}{7} \right) ;  \left( -2; -\dfrac{16}{7}\right) ;  \left( \dfrac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}; 3\right) \right\} $.

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} 1+x^3y^3=19x^3\\ y+xy^2=-6x^2. \end{array} \right.$

Giải

Nếu $x=0$ thì hệ vô nghiệm.

Xét $x \ne 0$. Nhân hai vế của phương trình thứ hai cho $x$ ta được $xy+x^2y^2=-6x^3.$

Thay vào phương trình thứ nhất ta được

$-6(1+x^3y^3)=19(xy+x^2y^2)$

$\Leftrightarrow xy=-\dfrac{2}{3} \ \text{hoặc} \ xy=-\dfrac{3}{2} \ \text{hoặc} \ xy=-1.$

Trường hợp $xy=-\dfrac{2}{3}$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $\begin{cases} x=\dfrac{1}{3}&\\ y=-2 \end{cases}$.

Trường hợp $xy=-\dfrac{3}{2}$ ta được $\begin{cases}x=-\dfrac{1}{2}&\\y=3. \end{cases}$

Trường hợp $xy=-1$ ta được $x=0$ (loại).

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ \left( \dfrac{1}{3}; -2\right) , \left( \dfrac{-1}{2};3\right) \right\} $.

Một số hệ phương trình nhiều khi phải biến đổi một vài bước thì mới xuất hiện phép thế.

Ví dụ 5:  Giải hệ phương trình $\begin{cases} xy+x+y=x^2-2y^2 &\\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2(x-y). \end{cases}$

Giải

Điều kiện $x \ge1, y \ge 0.$

Phương trình thứ nhất tương đương

$(x+y)^2-(x+y)-3y^2-3xy=0$

$\Leftrightarrow (x+y)(x-2y-1)=0$

$\Leftrightarrow x=-y \ \text{hoặc} \ x=2y+1.$

Do $x \ge 1, y \ge 0$ nên trường hợp $x=-y$ không thể xảy ra.

Xét $x=2y+1$ thay vào phương trình thứ hai ta được

$(2y+1)\sqrt{2y}-y\sqrt{2y}=2y+2$

$\Leftrightarrow (y+1)(\sqrt{2y}-2)=0$

$\Leftrightarrow y=2 \ (\text{do} \ y \ge 0)$

Suy ra $x=5$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(5,2).$

Trong ví dụ trên thì từ một phương trình ta phân tích thành thừa số, từ đó có những phương trình đơn giản hơn và sử dụng phương pháp thế.Ta xét tiếp ví dụ sau:

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $\begin{cases} xy+x-2=0&\\ 2x^3-x^2y+x^2+y^2-2xy-y=0. \end{cases}$

Giải

$2x^3-x^2y+x^2+y^2-2xy-y=0$

$\Leftrightarrow (x^2-y)(2x-y+1)=0$

$\Leftrightarrow y=x^2 \ \text{hoặc} \ y=2x+1.$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (1,1), \left( \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}, \pm \sqrt{5}\right) \right\} $.

Ví dụ 7:  Giải hệ phương trình $\begin{cases} y^2=(5x+4)(4-x)&\\ y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16=0 \end{cases}$

Giải

Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng $ y^2-(4x+8)y-5x^2+16x+16=0.$

Coi đây là phương trình bậc hai theo $y$ ta được $\Delta=(4x+8)^2-4(-5x^2+16x+16)=36x^2.$

Suy ra $y=\dfrac{4x+8+6x}{2}=5x+4$ hoặc $y=\dfrac{4x+8-6x}{2}=4-x.$

Trường hợp $y=5x+4$ thay vào phương trình đầu của hệ ta được $x(5x+4)=0 \Leftrightarrow x=0 \ \text{hoặc} \ x=-\dfrac{4}{5}.$

Trường hợp này hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (0,4), \left( -\dfrac{4}{5},0\right) \right\} $.

Trường hợp $y=4-x$ thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được $$x(4-x)=0 \Leftrightarrow x=0 \ \text{hoặc} \ x=4.$$

Trường hợp này hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (0,4), (4,0)\right\} $.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)\in \left\{ (0,4), (4,0), \left( -\dfrac{4}{5},0\right) \right\} $.

Ngoài cách phân tích thành nhân tử, ta còn có một số biến đổi khác phức tạp hơn, ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+y^2=x-y&\\ y^3-x^3=y-x^2 \end{cases}$.

Giải

Ta có $\begin{cases} x^2+y^2=x-y\\ y^3-x^3=y-x^2 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} x(x-1)=-y(y+1)&\\ y(y-1)(y+1)=x^2(x-1). \end{cases}$

Thay phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được

$ -x(x-1)(y-1)=x^2(x-1)$

$\Leftrightarrow x(x-1)(x+y-1)=0$

$\Leftrightarrow x=0 \ \text{hoặc} \ x=1 \ \text{hoặc} \   x=1-y.$

Trường hợp $x=0$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $y=0$ hoặc $y=-1$.

Trường hợp $x=1$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $y=0$ hoặc $y=-1$.

Trường hợp $x=1-y$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $y=0.$

Ví dụ 9: Giải phương trình $\begin{cases} (x-y)^4=13x-4&\\ \sqrt{x+y}+\sqrt{3x-y}=\sqrt{2}. \end{cases}$

Giải

Điều kiện $\begin{cases} x+y \ge 0&\\ 3x-y \ge 0. \end{cases}$

Khi đó $\sqrt{x+y}+\sqrt{3x-y}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow x+y+3x-y+2\sqrt{(x+y)(3x-y)}=2$

$\Leftrightarrow 1-2x=\sqrt{(x+y)(3x-y)}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 4x^2-4x+1=3x^2+2xy-y^2&\\ x \le \dfrac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} (x-y)^2=4x-1&\\ \dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2}. \end{cases}$

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được

$(4x-1)^2=13x-4$

$\Leftrightarrow 16x^2-21x+5=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{16} \ \text{hoặc} \ x=1 \ \text{(loại)}.$

Với $x=\dfrac{5}{16}$ thì $y=-\dfrac{3}{16}$.

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)$ là $\left(\dfrac{5}{16}; -\dfrac{3}{16}\right).$

2. Bài tập 

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

a) $\begin{cases} \sqrt{x+y}+\sqrt{2x-4}=5&\\ 2x+y=14 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x+y=-1&\\ x^3-3x=y^3-3y& \end{cases}$

c) $\begin{cases} x^2y+2(x^2+y)=8&\\ xy+x+y=5 \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^2+5x+y=9&\\ 3x^3+x^2y+2xy+6x^2=18 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} y^2-xy+1=0&\\ x^2+y^2+2x+2y+1=0& \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^3-2xy+5y=7&\\ 3x^2-2x+y=3& \end{cases}$

c) $\begin{cases} x-\sqrt{y+1}=\dfrac{5}{2}&\\ y+2(x-3)\sqrt{x+1}=-\dfrac{3}{4}& \end{cases}$

d) $\begin{cases} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9&\\ x^2+2xy=6x+6& \end{cases}$

e) $\begin{cases} x^2+1+y(y+x)=4y&\\ (x^2+1)(y+x-2)=y& \end{cases}$

f) $\begin{cases} x(x+y+1)-3=0&\\ (x+y)^2-\dfrac{5}{x^2}+1=0& \end{cases}$

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases}x-2y-\sqrt{xy}=0&\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{4y-1}=2 \end{cases}$

b) $\begin{cases} \sqrt{2x-3}=(y^2+2018)(5-y)+\sqrt{y}&\\ y(y-x+2)=3x+3 \end{cases}$

c) $\begin{cases} 2x^2+4xy+2y^2+3x+3y-2=0&\\ x^2+y^2+4xy+2y=0 \end{cases} $

d) $\begin{cases} 2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0&\\ x^2+y^2+x+y-4=0 \end{cases}$

e) $\begin{cases} 2x^2-5xy+3y^2=0&\\ x^2-2xy=-1& \end{cases}$

f) $\begin{cases} x^3+3x^2y+3xy^2+2y^3=0&\\ 4x^2+y^2=5& \end{cases}$

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau

a) $\begin{cases} x+\dfrac{1}{x}=y+\dfrac{1}{y}&\\ x+2y=3& \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^3-4y^3=6x^2y-9xy^2&\\ \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2& \end{cases}$

c) $\begin{cases} -x^2y+2xy^2+3y^3-4(x+y)=0&\\ xy(x^2+y^2) -1=3xy-(x+y)^2 \end{cases}$

d) $\begin{cases} \sqrt{x-1}+\sqrt{x}(3\sqrt{x}-y)+x\sqrt{x}=3y+\sqrt{y-1}&\\ 3xy^2+4=4x^2+2y+x \end{cases}$

e) $\begin{cases} x^2+y^2+\dfrac{2xy}{x+y}=1&\\ \sqrt{x+y}=x^2-y \end{cases}$

f) $\begin{cases} y^2-x\sqrt{\dfrac{y^2+2}{x}}=2x-2&\\ \sqrt{y^2+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1 \end{cases}$

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} 2x^2+y^2-3xy+3x-2y+1=0&\\ 4x^2-y^2+x+4=\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y}& \end{cases}$

b) $\begin{cases} 6\dfrac{x}{y}-2=\sqrt{3x-y}+3y&\\ 2\sqrt{3x+\sqrt{3x-y}}=6x+3y-4. \end{cases}$

Phương trình bậc nhất

1. Phương trình một ẩn

Định nghĩa: Một phương trình với ẩn $x$ có dạng $A(x)=B(x)$, trong đó vế trái là $A(x)$ và vế phải là $B(x)$ là hai biểu thức của cùng một biến.

Ví dụ: $ 2(x+1)+6 = 4x$ là phương trình ẩn $x$.

Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,… nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.

2. Phương trình tương đương

Định nghĩa: Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng một tập nghiệm.

Ví dụ: $ x+3 = 0 \Leftrightarrow x=-3$

3. Phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa: Phương trình có dạng $ax+b=0$, với $a$ và $b$ là hai số đã cho và $a \ne 0$, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ: $2x+1=0$ là phương trình bậc nhất một ẩn.

4. Hai quy tắc biến đổi phương trình

  • Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
  • Quy tắc nhân với một số:
    • Trong cùng một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác $0$.
    • Trong cùng một phương trình, ta có thể chia cả hai vế với cùng một số khác $0$.

5. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn $ax+b=0$
Phương trình bậc nhất một ẩn $ax+b=0$, được giải theo các bước sau:

  • Chuyển vế $ax=-b$
  • Chia hai vế cho $a$, ta được: $x=- \dfrac{b}{a}$
  • Kết luận nghiệm $S= \left \{ \dfrac{-b}{a} \right \}$

Tổng quát phương trình $ax+b=0$ $(a \ne 0)$ được giải theo các bước sau:

$ ax+b=0 $
$ \Leftrightarrow ax=-b $
$\Leftrightarrow a= \dfrac{-b}{a} $

Vậy $S= \left \{ \dfrac{-b}{a} \right \}$

6. Ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $2x-1 =1$
b) $x-7 = 4 $
c) $7x-35=0$
d) $ 4x-x -18=0$

Giải

a) $2x-1 =1  \Leftrightarrow 2x=2  \Leftrightarrow x=1 $6
Vậy $ S= \{1 \}$

b) $x-7 = 4  \Leftrightarrow x=11 $
Vậy $ S= \{11 \}$

c) $7x-35=0  \Leftrightarrow 7x = 35  \Leftrightarrow x=5 $
Vậy $ S= \{5 \}$

d) $4x-x -18=0  \Leftrightarrow 3x = 18  \Leftrightarrow x = 6$
Vậy $ S= \{6 \}$

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $x-6=8-x$
b) $3x-2=2x-3$
c) $7-2x = 22-3x$
d) $x-12-4x=25+3x-1$
e) $2x-1+2(2+x)=1$
f) $2(x+3)=2(4-x)+14$

Giải

a) $x-6=8-x$
$\Leftrightarrow 2x=14$
$\Leftrightarrow x= 7 $
Vậy $ S = \{ 7 \}$

b) $3x-2=2x-3$
$\Leftrightarrow x = -1 $
Vậy $ S = \{ -1 \}$

c) $7-2x = 22-3x$
$\Leftrightarrow x = 15 $
Vậy $ S = \{ 15 \}$

d) $x-12-4x=25+3x-1$
$\Leftrightarrow -6x = 36$
$\Leftrightarrow x= -6 $
Vậy $ S = \{ -6 \}$

e) $2x-1+2(2+x)=-1$
$\Leftrightarrow 2x-1 +4+2x = 1$
$\Leftrightarrow \ 4x = -4$
$\Leftrightarrow x = -1 $
Vậy $ S = \{ -1 \}$

f) $2(x+3)=2(4-x)+14$
$\Leftrightarrow 2x+6 = 8-2x +14$
$\Leftrightarrow 4x = 16$
$\Leftrightarrow x= 4 $
Vậy $ S = \{ 4 \}$

Ví dụ 3:

a) Tìm giá trị của $m$ sao cho phương trình $2x-2m=x+9$ nhận $x=-5$ là nghiệm.
b) Tìm giá trị của $m$ sao cho phương trình $4x+m^2=24 $ nhận $x=5$ là nghiệm.
c) Giải và biện luận nghiệm của phương trình $2(mx+5)+4(x+m)=m$ theo $m$.

Giải

a) Tìm giá trị của $m$ sao cho phương trình $2x-2m=x+9$ nhận $x=-5$ là nghiệm.

Thay $x=-5$ vào phương trình, ta được:
$2(-5) -2m = -5 +9 $
$\Leftrightarrow -2m = 14$
$\Leftrightarrow m = -7 $
Vậy $m=-7$ là giá trị cần tìm.

b) Tìm giá trị của $m$ sao cho phương trình $4x+m^2=24$ nhận $x=5$ là nghiệm.

Thay $x=5$ vào phương trình, ta được:
$ 4 \cdot 5 +m^2 = 24$
$\Leftrightarrow m^2 = 4$
$\Leftrightarrow m = \pm 2 $
Vậy $m=2$ và $m=-2$ là giá trị cần tìm.

c) Giải và biện luận nghiệm của phương trình $2(mx+5)+4(x+m)=m$ theo $m$.

Ta có:
$2(mx+5)+4 (x+m)=m $
$\Leftrightarrow 2mx+10 +4x+4m = m $
$\Leftrightarrow (2m+4)x=-3m -10 $

Biện luận:

  • Nếu $2m+4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne -2 \Rightarrow $ Phương trình có nghiệm $ x=\dfrac{-3m-10}{2m+4}$
  • Nếu $2m+4 =0 \Leftrightarrow m = -2 \Rightarrow $ Phương trình có dạng $ 0x = -4 \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

  • Với $m \ne -2$, phương trình có tập nghiệm $S=\left \{ \dfrac{-3m-10}{2m+4} \right \}$
  • Với $m=-2$, phương trình vô nghiệm hay $S = \{ \varnothing \}$

 

7. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $ 12-6x = 0$
b) $ 3x+3=-3$
c) $ 4x+6 = 14$
d) $ x-7x -18 = 6$
e) $ 3x+ 9 – 6x =27 $
f) $ 2x+x+120 = -3 $

Đ/A:
a) $x = 2$
b) $ =-2$
c) $ x= 2$
d) $x=-4 $
e) $ x= – 6$
f) $x=-41$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $x – 5 = 3 – x $
b) $ 7 – 3 x = 9 – x $
c) $ \frac{-5}{9} x + 1 = \frac{2}{3} x – 10 $
d) $ 2 (x + 1) = 6 – 2 x $
e) $ 11 – 8 x – 3 = 5 x – 20 + x $
f) $ 3 – 4 y + 24 + 6 y = y + 27 + 3 y $
g) $ x + 2 x + 3 x = 3 x + 9 $
h) $ 4 – 2 x + 15 = – (9 x + 1 – 2 x) $

Đ/A:
a) $ x = 4 $
b) $ x = -1 $
c) $ x = 9 $
d) $ x = 1 $
e) $ x = 2 $
f) $ x = 0 $
g) $ x = 3 $
h) $ x = -4 $

Bài 3: 

a) Tìm giá trị của $m$, biết rằng phương trình $5x+2m=22 $ nhận $ x = 2$ làm nghiệm.
b) Tìm $m$ để phương trình $(m^2-m)x=2x+m^2-1$ có nghiệm duy nhất.
c) Tìm $m$ để phương trình $m(4mx-3m+2)=x(m+3)$ có nghiệm duy nhất.
d) Tìm $m$ để phương trình $ m^2(x-m)=x-3m+2$ vô nghiệm.

Đ/A:
a) $ m = 6 $
b) $ m \ne -1 $ và $ne m \ne 2 $. Tập nghiệm $ S = \left \{ \dfrac{m-1}{m-2} \right \} $
c) $ m \ne 1 $ và $ m \ne \dfrac{-3}{4} $. Tập nghiệm $ S = \left \{ \dfrac{3m^2-2m}{4m^2-m-3} \right \} $
d) $ m = \pm 1 $

Bài 4: Giải và biện luận phương trình sau, với $m$ là tham số:

a) $ (2m-4)x+2-m=0$
b) $ (m+1)x=(3m^2-1)x+m-1$

Đ/A:
a)
Nếu $m = 2$ thì phương trình có vô số nghiệm
Nếu $ m \ne 2 $ thì phương trình có tập nghiệm $ S = \left \{\dfrac{1}{2} \right \} $
b)
Nếu $ m = 1 $, phương trình vô số nghiệm
Nếu $ m = \dfrac{-2}{3} $, phương trình vô nghiệm
Nếu $ m \ne 1 $ và $ m \ne \dfrac{-2}{3} $, phương trình có nghiệm duy nhất với tập nghiệm $ S = \left \{ \dfrac{-1}{3m+2} \right \} $

Phương trình vô tỉ – Phương pháp đặt ẩn phụ

1. Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ sử dụng khi phương trình chứa một biểu thức lặp đi lặp lại nhiều lần, việc đặt ẩn phụ đưa phương trình về một phương trình đơn giản hơn, hoặc là đưa về dạng phương trình đã biết cách giải. Có rất nhiều dạng đặt ẩn phụ với nhiều dạng toán khác nhau, ở đây chúng tôi chỉ trình bày những dạng bài tập phù hợp nhất với chương trình trung học cơ sở, không đi sâu quá vào các ẩn phụ mẹo mực khác.

Chú ý. Khi đặt ẩn phụ thì nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ để giảm được các trường hợp cần xét.

Ví dụ 1: Giải phương trình $\sqrt{x^2-x+3}-\sqrt{-x^2+x+2}=1$.

Giải

Đặt $t=\sqrt{-x^2+x+2}, t \ge 0$. Khi đó $t^2=-x^2+x+2 \Leftrightarrow x^2-x+3=5-t^2.$

Phương trình trở thành

$ \sqrt{5-t^2}-t=1$

$\Leftrightarrow \sqrt{5-t^2}=t+1$

$\Leftrightarrow 5-t^2 = (t+1)^2$

$\Leftrightarrow t^2+t-2=0$

$\Leftrightarrow t=1 \ \text{hoặc} \ t=-2(l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{-x^2+x+2}=1$

$\Leftrightarrow x^2-x-1=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Ví dụ 2: Giải phương trình $2x^2-6x+7=5\sqrt{x^2-3x+5}$.

Giải

Đặt $t=\sqrt{x^2-3x+5}, t \ge 0$.

Khi đó phương trình trở thành

$2t^2-3=5t$

$\Leftrightarrow 2t^2-5t-3=0$

$\Leftrightarrow t=3 \ \text{hoặc}\   t=-\dfrac{1}{2}(l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-3x+5}=3$

$\Leftrightarrow x^2-3x-4=0$

$\Leftrightarrow x=-1 \ \text{hoặc} \ x=4. $

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=-1$ hoặc $x=4.$

Ví dụ 3: Giải phương trình $(x-1)^2+2(x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=12$.

Giải

Điều kiện $\dfrac{x-3}{x+1} \ge 0 \Leftrightarrow x<-1$ hoặc $x \ge 3.$

Khi đó phương trình tương đương

$(x^2-2x-3)+2(x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=8$

$\Leftrightarrow (x+1)(x-3)+2(x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=8.$

Đặt $t=(x+1) \sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}} \Rightarrow t^2=(x+1)(x-3)$.

Khi đó phương trình trở thành $t^2+2t-8=0 \Leftrightarrow t=2 \ \text{hoặc} \ t=-4.$

Trường hợp $t=2 \Leftrightarrow (x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=2$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -1\\ (x+1)(x-3) =4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -1\\ x^2-2x-7=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=1+2\sqrt{2}.$

Trường hợp $t=-4 \Leftrightarrow (x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=-4$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \le -1\\ (x+1)(x-3) =16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \le -1\\ x^2-2x-19=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=1-2\sqrt{5}.$

Thử lại ta nhận $x=1+2\sqrt{2}$ và $x=1-2\sqrt{5}$ là hai nghiệm của phương trình.

Trên đây là các phương trình mà ta thấy rõ được biểu thức $f(x)$ lặp đi lặp lại, trong một số trường hợp khác $f(x)$ không xuất hiện một cách tường mình, mà phải thông qua một số biến đổi thì mới xuất hiện. Ta xem các ví dụ sau:

Ví du 4: Giải phương trình $x^2+3x\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=10x+4$.

Giải

Điều kiện $x-\dfrac{4}{x} \ge 0 \Leftrightarrow -2 \le x <0 $ hoặc $x \ge 2.$

Khi đó phương trình

$x^2+3x\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=10x+4$

$\Leftrightarrow x+3\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=10+\dfrac{4}{x}$

$\Leftrightarrow x-\dfrac{4}{x}+3\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}-10=0.$

Đặt $t=\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}, t \ge 0$. Phương trình trở thành:

$ t^2+3t-10=0$

$\Leftrightarrow t=2 \ \text{hoặc} \ t=-5(l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=2$

$\Leftrightarrow x-\dfrac{4}{x}=4$

$\Leftrightarrow x^2-4x-4=0$

$\Leftrightarrow x=2\pm 2\sqrt{2}.$

So sánh với điều kiện ta được phương trình có hai nghiệm $x=2 \pm 2\sqrt{2}.$

Ví dụ 5: Giải phương trình $\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x}=3\sqrt[4]{1-x^2}$

Giải

Điều kiện $-1 \le x \le 1.$

Dễ thấy $x=1$ không là nghiệm của phương trình. Xét $x \ne 1.$

Khi đó phương trình tương đương $\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}+2=3\sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}.$

Đặt $t=\sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}$, phương trình trở thành

$t^2-3t+2=0$

$\Leftrightarrow t=1 \ \text{hoặc} \ t=2.$

  • Trường hợp $t=1 \Leftrightarrow \sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}=1 \Leftrightarrow \dfrac{1+x}{1-x}=1 \Leftrightarrow x=0.$
  • Trường hợp $t=2  \Leftrightarrow \sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}=2 \Leftrightarrow \dfrac{1+x}{1-x}=16  \Leftrightarrow x=\dfrac{15}{17}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=0$ hoặc $x=\dfrac{15}{17}.$

Trong một số trường hợp phức tạp hơn, ta đặt ẩn phụ một biểu thức, và tính các biểu thức còn lại theo ẩn phụ. Ta xem ví dụ sau:

Ví dụ 6: Giải phương trình $\sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}+2\sqrt{22+9x-x^2}=17$.

Giải

Điều kiện $-2 \le x \le 11.$

Đặt $t=\sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}, t \ge 0$. Khi đó

$t^2=13+2\sqrt{(11-x)(x+2)}$

$\Rightarrow 2\sqrt{22+9x-x^2}=t^2-13.$

Phương trình trở thành

$t+t^2-13=17$

$\Leftrightarrow t^2+t-30=0$

$\Leftrightarrow t=5 \ \text{hoặc} \ t=-6(l).$

$\Leftrightarrow \sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}=5$

$\Leftrightarrow \sqrt{22+9x-x^2}=6$

$\Leftrightarrow x^2-9x+14=0$

$\Leftrightarrow x=2 \ \text{hoặc} \ x=7.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ hoặc $x=7.$

Sau đây là cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình thành một phương trình hai ẩn, từ đó giải ẩn này theo ẩn kia để thiết lập một phương trình đơn giản hơn phương trình đã cho.

Ví dụ 7: Giải phương trình $x^2+16x-16=(2x+1)\sqrt{3x^2+4}$.

Giải

Ta có $x^2+16x-16=(2x+1)\sqrt{3x^2+4}$

$\Leftrightarrow 4(2x+1)^2-5(3x^2+4)=(2x+1)\sqrt{3x^2+4}$

Đặt $\begin{cases} a=2x+1&\\ b=\sqrt{3x^2+4}, b \ge 2. \end{cases}$

Phương trình trở thành

$4a^2-5b^2=ab$

$\Leftrightarrow 4a^2-ab-5b^2=0$

$\Leftrightarrow a=-b \ \text{hoặc} \ a=\dfrac{5}{4}b.$

  • Trường hợp $a=-b$ ta có:

$ \sqrt{3x^2+4}=-(2x+1)$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \le -\dfrac{1}{2}&\\ x^2+4x-3=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=-2-\sqrt{7}$

  • Trường hợp $a=\dfrac{5}{4}b$ ta có:

$5\sqrt{3x^2+4}=4(2x+1)$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -\dfrac{1}{2}&\\ 11x^2-64x+84=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{42}{11} \ \text{hoặc} \ x=2.$

Vậy phương trình có các nghiệm $x=-2-\sqrt{7}, x=\dfrac{42}{11}$ hoặc $x=2.$

Ví dụ 8: Giải phương trình $\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+2x+3}=3\sqrt{x^2+4x+5}$.

Giải

Ta có  $\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+2x+3}=3\sqrt{x^2+4x+5}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+2x+3}=3\sqrt{-(x^2+1)+2(x^2+2x+3)}.$

Đặt $\begin{cases} a=\sqrt{x^2+1}, a \ge 1&\\ b=\sqrt{x^2+2x+3}, b \ge \sqrt{2}. \end{cases}$.

Phương trình trở thành:

$a+2b=3\sqrt{-a^2+2b^2}$

$\Leftrightarrow (a+2b)^2=9(-a^2+2b^2)$

$\Leftrightarrow 5a^2+2ab-7b^2=0$

$\Leftrightarrow (a-b)(5a+7b)=0$

$\Leftrightarrow a=b$.

Khi đó ta có

$\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+2x+3}$

$\Leftrightarrow x^2+1=x^2+2x+3$

$\Leftrightarrow x=-1$.$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1.$

Ví dụ 9: Giải phương trình $\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}-3\sqrt{1-x^2}=x-3$.

Giải

Điều kiện $-1 \le x \le 1$.

Đặt $\begin{cases} a=\sqrt{x+1}, a \ge 1&\\b=\sqrt{1-x}, b \ge 0 \end{cases}$.

Khi đó $x-3=-a^2-2b^2$ và phương trình trở thành

$a-2b-3ab=-a^2-2b^2$

$\Leftrightarrow (a^2-3ab+2b^2)+(a-2b)=0$

$\Leftrightarrow (a-2b)(a-b)+(a-2b)=0$

$\Leftrightarrow (a-2b)(a-b+1)=0$

$\Leftrightarrow a=2b \ \text{hoặc} \ b=a+1.$

  • Trường hợp $a=2b$ ta có:

$\sqrt{1+x}=2\sqrt{1-x}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le x \le 1&\\ 1+x=4(1-x) \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}.$

  • Trường hợp $b=a+1$ ta có:

$ \sqrt{1-x}=\sqrt{1+x}+1$

$\Leftrightarrow 1-x=x+2+2\sqrt{1+x}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{1+x}=-2x-1$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le x \le -\dfrac{1}{2}&\\ 4(1+x)=(2x+1)^2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le x \le \dfrac{1}{2}&\\ x^2=\dfrac{3}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=\dfrac{3}{5}$ hoặc $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Ví dụ 10: Giải phươg trình $x^2+5x-3=2(2x+3)\sqrt{x-1}$.

Giải

Điều kiện $x \ge 1.$

Khi đó $x^2+5x-3=2(2x+3)\sqrt{x-1}$

$\Leftrightarrow 3(x-1)-2(2x+3)\sqrt{x-1}+x^2+2x=0$

Đặt $t=\sqrt{x-1}, t \ge 0$. Ta được $3t^2-2(2x+3)t+x^2+2x=0.$

Đặt $\Delta’=(2x+3)^2-3(x^2+2x)=(x+3)^2.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm $t=x+2$ hoặc $t=\dfrac{x}{3}$.

  • Trường hợp $t=x+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=x+2$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1&\\ x^2+3x+5=0 \end{cases} \ \text{(vô nghiệm)}.$

  • Trường hợp $t=\dfrac{x}{3}$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}=x$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1&\\ x^2-9x+9=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{9 \pm 3\sqrt{5}}{3}.$

Ngoài ra còn có cách đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 11: Giải phương trình: $\sqrt[3]{7+x} – \sqrt{2-x}=1$

Giải

Phương trình có nhiều dấu căn bậc khác nhau, và biểu thức trong căn lại có mối liên hệ khá rõ ràng.

Ta đặt $u = \sqrt[3]{7+x}, v = \sqrt{2-x}$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} u – v = 1\\ u^3 + v^2 = 9 \end{array} \right. $.

Sử dụng phương pháp thế ta có $\left\{ \begin{array}{l} v = u-1\\ u^3 + (u-1)^2 – 9 = 0 \end{array}\right.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v=u-1\\ u^3+u^2-2u-8 = 0 \end{array}\right.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u = 2\\ v = 1\end{array}\right. $.

Từ đó giải ra $x = 1$ là nghiệm.

2. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{2x^2-4x+8} + \sqrt{2x^2-4x+3} = 5$

b) $(x+5)(2-x)=3 \sqrt{x^2+3x}$

c) $(x+4)(x+1)-3\sqrt{x^2+5x+2}=6$

d) $4x^2+10x+9=5\sqrt{2x^2+5x+3}$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $1+\dfrac{2}{3} \sqrt{x-x^2}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$

b) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$

c) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

d)$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$.

Bài 3: Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{3x^2-2x+15}+\sqrt{3x^2-2x+8}=7$

b) $\dfrac{4x-1}{\sqrt{4x-3}}+\dfrac{11-2x}{\sqrt{5-x}}=\dfrac{15}{2}$

c) $\dfrac{3-x}{\sqrt{13-6x}}+\dfrac{3+x}{\sqrt{13+6x}}=2$

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) $2x^2+5x-1=7 \sqrt{x^3-1}$

b) $2(x^2+2)=5 \sqrt{x^3+1}$

c) $\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x+20}=5 \sqrt{x+1}$

d) $(x^2-6x+11) \sqrt{x^2-x+1}=2(x^2-4x+7) \sqrt{x-2}$

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a) $2 \sqrt{\dfrac{3x-1}{x}}=\dfrac{x}{3x-1}+1$

b) $(x+5)(2-x)=3 \sqrt{x^2+3x}$

c) $2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1$

d) $(x+4)(x+1)-3 \sqrt{x^2+5x+6}+4=0$

e) $(x-1)(x+2)+2(x-1) \sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}=8$

f) $\sqrt[3]{\dfrac{2x}{x+1}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2x}}=2$.

Phương trình vô tỉ – Phương pháp lũy thừa

Phương trình vô tỉ (phương trình chứa căn thức) là một trong những nội dung quan trọng nhất của đại số 9, xuất hiện trong hầu hết các đề thi học sinh giỏi cũng như đề thi tuyển sinh. Kĩ năng giải phương trình cũng là một trong kĩ năng quan trọng của học sinh chuyên toán. Có rất nhiều dạng phương trình và nhiều phương pháp giải khác nhau cho phương trình vô tỉ, tựu chung lại cũng là phương pháp hữu tỉ hóa các phương trình, tức là đưa về phương trình dạng đa thức đã biết cách giải ở lớp 8.Trong chương này đưa ra một vài dạng phương trình vô tỉ cùng với đó là các phương pháp cơ bản nhất, không đi sâu quá nhiều vào các kĩ thuật và các dạng khó.

1. Lý thuyết

Nếu $A(x)$, $B(x)$ là các biểu thức chứa $x$, khi đó ta có các phương trình dạng $\sqrt{A} = \sqrt{B}$ và $\sqrt{A}=B$ là các phương trình vô tỉ cơ bản nhất, được giải bởi các tính chất sau.

  • Tính chất 1.  $\sqrt{A} = \sqrt{B} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ A = B\end{array} \right.$
  • Tính chất 2. $\sqrt{A} = B \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B \geq 0\\ A = B^2\end{array}\right.$

2. Phương pháp lũy thừa

Phương pháp lũy thừa là phương pháp tự nhiên nhất và kinh điển nhất để giải phương trình vô tỉ, nhằm mục đích đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản hoặc đưa về phương trình hữu tỉ, việc lũy thừa đòi hỏi sự khéo léo để không làm cho bậc của biểu thức quá cao, và trong quá trình lũy thừa ta chú ý là tạo ra phương trình mới tương đương phương trình đã cho hay chỉ là hệ quả của phương trình đã cho, nếu là hệ quả thì phải có bước thử lại nghiệm.

Chú ý: $A = B \Leftrightarrow A^2 = B^2$ đúng khi và chỉ khi $A, B$ cùng dấu.

Còn $A = B\ (1) \Rightarrow A^2 = B^2\ (2)$ thì phương trình $(2)$ là phương trình hệ quả của phương trình $(1)$.

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) $\sqrt{-x^2+4x-3}=2x-5$

b) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2} = \sqrt{3x}$

Giải

a) Ta có $ \sqrt{-x^2+4x-3} =2x-5  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-5 \ge 0\\ -x^2+4x-3=(2x-5)^2 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{5}{2}\\ 5x^2-24x+28=0 \end{array}\right.$  $  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{5}{2} \\ x=2 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{14}{5} \end{array}\right. $  $\Leftrightarrow x=\dfrac{14}{5}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{14}{5}$.

b) Điều kiện $x \geq 2$. Phương trình tương đương với

$x+1+2\sqrt{(x+1)(x-2)}+x-2 = 3x$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-x-2} = x + 1$

$\Leftrightarrow 4(x^2-x-2) = x^2+2x+1$

$\Leftrightarrow 3x^2 – 6x – 9 = 0 $

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 3\ \text{ (nhận) }\\ x=-1 \ \text{ (loại) } \end{array}\right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$.

Ví dụ 2: Giải phương trình $\sqrt{7-x^2+x\sqrt{x+5}}=\sqrt{3-2x-x^2}.$

Giải
  • Ta có $\sqrt{7-x^2+x\sqrt{x+5}}=\sqrt{3-2x-x^2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3-2x-x^2 \ge 0\\ 7-x^2+x\sqrt{x+5}=3-2x-x^2 \ (2)\end{array}\right. $

  •  $(2) \Leftrightarrow x\sqrt{x+5} = -2x -4$

Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của $(2)$. Ta xét $x\ne 0$, khi đó phương trình tương đương

$\sqrt{x+5} = -\dfrac{2x+4}{x}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -\dfrac{2x+4}{x} \ge 0\\ x+5 = \dfrac{(2x+4)^2}{x^2} \ (3) \end{array}\right. $

  •  $(3) \Leftrightarrow  x^2(x+5) = (2x+4)^2$

$\Leftrightarrow  x^3 +x^2 -16x -16 =0 \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l} x=4 \ \text{ (loại) }\\ x=-1\ \text{ (nhận) }\\ x=-4 \ \text{ (loại) } \end{array}\right. $

  •  Vậy phương trình có nghiệm $x = -1$.

Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{x+1}-1=\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$.

Giải
  •  Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} x \ge -1\\ \sqrt{x+1}-1 \ge 0\\ x-\sqrt{x+8} \ge 0 \end{array}\right.  (*)$.
  •  Khi đó phương trình tương đương:

$\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

$\Leftrightarrow x+1=1+x-\sqrt{x+8}+2\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+8}=2\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

$\Leftrightarrow x+8=4(x-\sqrt{x+8})$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{x+8}=3x-8$

$\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{8}{3} \\ 16(x+8)=(3x-8)^2 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{8}{3}\\ 9x^2-64x-64=0 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow x=8.$

  •  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=8.$

Ví dụ 4: Giải phương trình $\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x+2)}=2\sqrt{x^2}.$

Giải
  •  Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} x(x-1) \ge 0\\ x(x+2) \ge 0\\  x \ge 0 \end{array}\right.  \Leftrightarrow x=0 \ \text{ hoặc } \ x \ge 1.$
  •  Dễ thấy $x=0$ là một nghiệm của phương trình.
  •  Xét $x \ge 1.$ Khi đó phương trình tương đương
  •  $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=2\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow x-1+x+2+2\sqrt{(x-1)(x+2)}=4x$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)(x+2)}=x-\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{1}{2}\\ x^2+x-2=x^2-x+\dfrac{1}{4} \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{1}{2}\\ x=\dfrac{9}{8} \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{8}$

  •  Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{9}{8}$ hoặc $x=0$.

Ví dụ 5: Giải phương trình $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\dfrac{x+3}{2}$.

Giải
  •  Điều kiện $x \ge 1.$
  •  Khi đó phương trình tương đương

$\sqrt{(\sqrt{x-1})^2+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(\sqrt{x-1})^2-2\sqrt{x-1}+1}=\dfrac{x+3}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=\dfrac{x+3}{2}$

$\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=\dfrac{x+3}{2}$

  •  Với $1 \le x \le 2$ thì phương trình tương đương

$\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=\dfrac{x+3}{2} \Leftrightarrow x=1.$

  •  Với $x>2$ thì phương trình tương đương

$\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=\dfrac{x+3}{2}$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{x-1}=x+3$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge -3\\ 16x-16=x^2+6x+9 \end{array}\right.   \Leftrightarrow x=5.$

  •  Vậy phương trình có nghiệm $x=1$ hoặc $x=5$.

 

Ví dụ 6: Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=2\sqrt{x}+\sqrt{2x+2}$.

Giải
  •  Điều kiện $\begin{cases} x+3 \ge 0&\\ 3x+1 \ge 0&\\ x \ge 0&\\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \ge 0.$

 Phương trình trở thành

 $\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+2}=\sqrt{4x}-\sqrt{x+3}$

$\Rightarrow 3x+1+2x+2-2\sqrt{(3x+1)(2x+2)}=4x+x+3-2\sqrt{4x(x+3)}$

$\Rightarrow \sqrt{(3x+1)(2x+2)}=\sqrt{4x(x+3)}$

$\Rightarrow 6x^2+8x+2=4x^2+12x$

$\Rightarrow x=1.$

  •  Thử lại ta thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình.
  •  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1.$
  • Chú ý: Trong ví dụ trên, ta dùng dấu “$\Rightarrow$” thay cho “$\Leftrightarrow$”, tức là phương trình sau chỉ là hệ quả của phương trình trước chứ không phải là tương đương. Do đó khi giải ra nghiệm ta phải thử lại phương trình ban đầu để nhận hay loại nghiệm.

Ví dụ 7: Giải phương trình $\sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[3]{2x+11}$.

Giải
  •  Sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$. Ta được

$ \sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[3]{2x+11}$

$\Leftrightarrow 2x+11+3\sqrt[3]{x+5}.\sqrt[3]{x+6}(\sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6})=2x+11$

$\Rightarrow 3\sqrt[3]{x+5}.\sqrt[3]{x+6}.\sqrt[3]{2x+11}=0$

$\Leftrightarrow x=-6 \ \text{hoặc} -5 \ \text{hoặc} \ x=-\dfrac{11}{2}.$

  •  Thử lại ta thấy tất cả đều là nghiệm của phương trình.
  •  Vậy phương trình có ba nghiệm $x=-6$ hoặc $x=-5$ hoặc $x=-\dfrac{11}{2}.$

3. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau;

a) $\sqrt{x^2+3x+4}-3x=1$

b) $1+\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}$

c) $\sqrt{-x^2+4x-3}=2x-5$

d) $x-\sqrt{4-x^2}=0$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x+2}=1$

b) $\sqrt{5x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-4}$

c) $x^2-2x+4(x-3) \sqrt{\dfrac{x+1}{x-3}}=0$.

d) $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+2+4\sqrt{x-2}}+3=0$

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) $\dfrac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x$

b) $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+x}=1$

c) $\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}=2\sqrt{x^2}$

d) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

Bài 4. Giải các phương trình sau

a) $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}$

b) $\sqrt[3]{2x-5}+\sqrt[3]{3x+7}=\sqrt[3]{5x+2}$

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^2 – 3x + 4} + 1 – x – \sqrt{3 – x}=0$

b) $\sqrt{x^2+3x+4}+1+x-\sqrt{3+x}=0$

c) $\sqrt{x^2-3x+3}+1-x-\sqrt{2-x}=0$

d) $\sqrt{4x^2-10x+7}+2-2x-\sqrt{3-2x}=0$

Tổ hợp lặp và bài toán chia kẹo Euler

Trong các bài toán đếm ta gặp bài toán sau: Một người vào cửa hang mua dụng cụ học tập để làm thành một món quà gồm viết, sách và tập, người đó chỉ mua tổng cộng 5 món đồ. Biết rằng trong cửa hàng có 5 cây viết giống nhau, 6 sách giống nhau và 10 cuốn tập giống nhau, hỏi có bao nhiêu cách chọn viết, sách tập để làm quà?

Ta thấy rằng số lượng các viết sách và tập đều lớn hơn số cần mua, do đó bài toán chỉ quay lại việc đếm là có bao nhiêu bộ sách viết tập mà tổng số là 5 cái, trong đó mỗi cái có hoặc không có.

Có ba đối tượng là viết, sách và tập, tạ kí hiệu là $A = \{ V, S, T \}$. Một món quà gồm 5 cái, do đó quà có thể là $X = \{ V, V, V, S, T \}$, gồm 3 cây viết và 1 sách, 1 tập, hoặc là tập $Y = \{ V, V, S, T, T \}$, ta thấy các đối tượng $V, T$ là lập lại. Khi đó ta nói tổ hợp $X, Y$ là tổ hợp lặp.

Để định nghĩa rõ hơn ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa.  Cho tập $A = \{ a_1, a_2, \cdots, a_k \}$. Một ánh xạ từ $p: A \mapsto \mathbb{N} $, khi đó $P$ được gọi là một multiset của A.

Ví dụ 1. Cho $A = \{ a, b, c \}$. Ánh xạ $p: A \mapsto \mathbb{N}$ như sau: $p(a) = 2, p(b) = 1, p(c) = 1$. Khi đó ta có thể kí hiệu $p$ là $(aabc)$, hay $(baac)$,.., không tính đến thứ tự của các phần tử $a, b, c$.

Đặt $n = p(a_1) + p(a_2)+\cdots +p(a_k)$, bài toán đặt ra là có bao nhiêu ánh xạ $p: A \mapsto \mathbb{N}$ mà $n = p(a_1) + p(a_2)+\cdots +p(a_k)$.

Tiếp theo ví dụ trên, nếu $ p(a) + p(b) + p(c) = 2$ thì có các multiset sau: $(ab), (ac), (bc), (aa), (bb), (cc)$, 6 multiset.

Tính chất. Cho tập $A = \{ a_1, a_2, \cdots, a_k \}$, số ánh xạ $p: A \mapsto \mathbb{N}$ thỏa $p(a_1) + \cdots + p(a_k) = n$ là $C^n_{n+k-1}$

Chứng minh

Mỗi ánh xạ $p$ ta cho tương ứng với một dãy nhị phân độ dài $n+k-1$, trong đó $p(a_1)$ chữ số đầu là 0, tiếp theo là số 1, rồi $p(a_2)$ chữ số $0$,…cuối cùng là $p(a_k)$ chữ số $0$. Ví dụ bộ $VVSTT$ ứng với dãy $0010100$.

Rõ ràng đây là tương ứng 1 – 1, do đó số ánh xạ $p$ bằng số dãy nhị phân, do đó ta chỉ cần đếm số dãy nhị phân.

Ta thấy dãy có $n+k-1$ chữ số trong đó có $k-1$ chữ số $1$, do đó số dãy nhị phân chỉ là số cách chọn vị trí cho $k-1$ chữ số $1$ nên số dãy nhị phân là $C^{k-1}_{n+k-1}$.

Do đó số ánh xạ $p$ là $C^{k-1}_{n+k-1} $

Trở lại bài toán trên, ta thấy số món quà có 5 cái là một tổ hợp lặp chập 5 của sách, viết, tập, do đó số món quà có thể là $C^{2}_{5+2-1} = C^2_6 = 15$.

(Chú ý trong bài toán trên, đảm bảo số mỗi loại sản phẩm có không ít hơn 5 cái).

Bài toán 1. (Chia kẹo Euler). Cho $n$ viên kẹo giống nhau đem chia cho $k$ người, hỏi có bao nhiều cách chia.

Giải

Ta gọi $k$ người là $a_1, a_2, \cdots a_k$, với mỗi cách chia kẹo là một multiset của $A$ mà $p(a_1) + p(a_2)+\cdots +p(a_k) = n$.

Do đó số cách chia kẹo là $C^n_{n+k-1}$.

Bài toán 2. Giải bài toán trên với cách chia sao cho mỗi người có ít nhất một viên.

Giải

Trước hết phát cho mỗi người một viên, thì còn $n-k$ viên kẹo, tiếp tục áp dụng bài toán trên với $n-k$. Khi đó số cách chia là

$C^{k-1}_{n-1}$

Ta có thể giải bài toán trên mà không cần sử dụng bài toán 1 bằng cách xây dựng dãy nhị phân thỏa: $a_1$ chữ số đầu là 0, tiếp theo là số 1, tiếp là $a_2$ chữ số 0, …., cuối cùng là $a_k$ chữ số 0. Dãy này có $k-1$ chữ số 1 đứng giữa $n$ chữ số 0 và không có hai chữ số $1$ nào đứng kề nhau. Khi đó số dãy nhị phân là: $C^{k-1}_{n-1}$.

Phần kế tiếp ta cùng tìm hiểu và giải một số bài toán có thể đưa về bài toán tổ hợp lặp hay bài toán chia kẹo Euler. Các bạn chờ nhé.

Bài toán 1 và 2 có thể phát biểu dưới dạng sau.

Bài toán 3. Cho phương trình $x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n$ trong đó $k, n$ là các số nguyên dương.

a. Tìm số nghiệm tự nhiên của phương trình.

b. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình.

Như bài toán trên ta đã biết, số nghiệm tự nhiên của phương trình là  $C^{k-1}_{n+k-1}$.

Số nghiệm nguyên dương của phương trình là $C^{k-1}_{n-1}$.

(Phần 2)

Trong phần trước ta đã biết, số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1 +x_2+\cdots + x_k = n$ là $C_{n+k-1}^{k-1}$, và số nghiệm nguyên dương là $C^{k-1}_{n-1}$.

Từ bài toán này ta có thể giải các bài toán sau:

Ví dụ 1. Tìm số nghiệm nguyên của phương trình $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 30$ nếu:

a) $x_i \geq 2 \forall i = \overline{1,5}$.

b) $ 3 < x_1, x_2 $ và $x_3, x_4, x_5 > 5$.

c) $x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 4$ và $ 0 < x_5 < 3$.

Giải

a) $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 30$, $x_i \geq 2 \forall i = \overline{1,5}$. (1). Ta đi tìm số nghiệm của hệ (1).

Để đưa về bài toán gốc, ta đặt ẩn phụ như sau: $y_i = x_i – 1 \geq 1$ với mọi $i = \overline{1,5}$.

Khi đó ta có $y_1 +1 + y_2+1 + y_3 + 1 + y_4 + 1 + y_5 + 1 = 30 \Leftrightarrow y_1+y_2+y_3+y_4+y_5 = 25$ với $y_i \geq 1$. (2)

Một bộ nghiệm của (2) cho tương ứng một bộ nghiệm thỏa (1), mà số nghiệm của $(2)$ là $C_{24}^{4}$ (Theo bài toán chia kẹo Euler), do đó số nghiệm của (1) là $C_{24}^{4}$.

b) Tương tự câu a, đặt $y_1 = x_1 – 3, y_2 = x_2 – 3, y_3 = x_3 – 5, y_4= x_4-5, y_5 = x_5 – 5$, từ (1) ta có phương trình $y_1+y_2+y_3+y_4+y_5 = 9$ và $y_i \geq 1$. Số nghiệm là $C_8^4$.

c) Xét $x_5 = 1, 2$ và đặt ẩn phụ $y_i = x_i-3$ ta có đáp số là: $C_{16}^3 + C_{15}^3$.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu bộ $(x_1, x_2, ..., x_{10})$ các số nguyên dương thỏa $x_1 + x_2 + \cdots x_{10} < 2020$.

Giải

Đặt $x_{11} = 2020 – (x_1+x_2+\cdots + x_{10}) $ thì $x_{11} \geq 1$.

Khi đó ta có phương trình $x_1 + \cdots + x_{11} = 2020$ và $x_i \geq 1$.

Do đó số nghiệm là $C_{2019}^{10}$.

Ví dụ 3.  Có bao nhiêu bộ $(x_1, x_2, ..., x_{10})$ các số tự nhiên thỏa $x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \cdots \leq x_{10} \leq 2020$.

Giải

Đặt $y_1 = x_1, y_2 = x_2 – x_1 \geq 0$, $y_2 = x_3-x_2 \geq 0$, …, $y_{11} = 2020 -x_{10} \geq 0$.

Khi đó $y_1 + y_2 + \cdots +y_{11} = 2020$ với $y_i \geq 0$. (2)

Với một bộ nghiệm của (2) sẽ tương ứng duy nhất một bộ $(x_1, x_2, …, x_{10})$  thỏa đề bài.

Số nghiệm của (2) là $C_{2030}^{10}$, đó cũng chính là số bộ $(x_1, x_2, …, x_{10})$ thỏa đề bài.

Ví dụ 4. (VMO 2012) Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ và 12 chàng trai. Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho vào các chiếc ghế sao đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn :
1) Mỗi chiếc ghế có đúng một người ngồi;
2) Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ ;
3) Giữa $G_1$ và $G_2$ có ít nhất 3 chàng trai;
4) Giữa $G_4$ và $G_5$ có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy?

Giải

Đánh số thứ tự các ghế từ trái sang phải là $1,2, \ldots, 17$.

Gọi $x_{1}$ là số chàng trai được xếp bên trái $G_{1}, x_{2}$ là số chàng trai ở giũa $G_{1}$ và $G_{2}, x_{3}$ là số chàng trai ở giữa $G_{2}$ và $G_{3}, x_{4}$ là số chàng trai ở giữa $G_{3}$ và $G_{4}, x_{5}$ là số chàng trai ở giữa $G_{4}$ và $G_{5}, x_{6}$ là số chàng trai được xếp ở bên phải $G_5$. Khi đó bộ số $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{6}\right)$ hoàn toàn xác định vị trí các cô gái và ta có:
1) $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{6}=12$
2) $3 \leq x_{2}$.
3) $1 \leq x_{5} \leq 4$
Đổi biến $y_{2}=x_{2}-3$ và $y_{5}=x_{5}-1$ ta được $x_{1}+y_{2}+x_{3}+x_{4}+y_{5}+x_{6}=8$ với các $\hat{\text {ẩn}}$ không âm và có thêm điều kiện $y_{5} \leq 3$. Tiếp theo, sử dụng bài toán chia kẹo của Euler ở dạng $x_{1}+y_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{6}=8-y_{5}$ ta được đáp số (phần phân ghế cho các cô gái) là $C_{12}^{4}+C_{11}^{4}+C_{10}^{4}+C_{9}^{4}=1161$.
Vì còn có 12 chàng trai có thể hoán đổi vị trí ở 12 chiếc ghế dành cho họ nên số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là $1161 \cdot 12 !$

Ví dụ 5. Có bao nhiêu bộ số nguyên dương $(a, b, c, d)$ thỏa $d = max\{a,b,c,d\}, d \leq 2015$ và

$(ad+bc)(bd+ac)(cd+ab) = (d-a)^2(d-b)^2(d-c)^2$.

Giải
  • Trước hết ta chứng minh $d = a+b+c$ bằng phản chứng.
  • Khi dó $ 3 \leq d \leq 2015$, với mỗi $d$ thì số bộ $(a,b,c)$ là $C_{d-1}^2$.
  • Do đó số bộ thỏa đề bài là $C_2^2 + C_3^2 + \cdots + C_{2014}^2$.

Trên đây là một số bài toán liên quan đến bài toán chia kẹo Euler, các bạn hãy đọc và tìm hiểu thêm trong các tài liệu khác.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: $x_1 + x_2 + ...+ x_5 = 100$
Bài 2. Tìm số nghiệm không âm của phương trình $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 20$.
Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà tổng các chữ số bằng 11 ?
Bài 4. Tìm số nghiệm nguyên của phương trình $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 30$ nếu:
a) $x_i \geq 0 \forall i$.
b) $2 \leq x_1 \leq 7$, $x_i \geq 0, i = 2, 3, 4$.
c) $x_1 \geq -3, x_2 \geq -1, x_3, x_4 \geq 1$.
Bài 5. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình $4x_1 + x_2 + x_3 +x_4 = 15$.
Bài 6. Có 4 viên bi vàng và 10 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi thỏa:
a) Không có bi vàng nào kề nhau.
b) Giữa hai bi vàng có ít nhất 2 bi xanh.

Bài 7. Để bảo vệ máy tính của minh khỏi su tấn công của hacker, một lâp trinh viên muốn thiết lập một mât khẩu cho máy tính của mình. Mât khẩu này bao gồm tất cả các chữ cái trong bảng chữ cái tiêng Anh, mỗi chữ cái một lần xuất hiện và các chữ nguyên âm không đứng cạnh nhau. Hỏi lâp trình viên đó có bao nhiêu cách cài đăt mât khẩu?

Bài 8. Bốn anh em An, Bình, Cừng, Danh rất thích ăn keo. Nhân dip Tết, me của các câu đực thửng rất nhiều quà, trong đó có một phần quà là một bịch keo bao gồm 125 viên keo. Vì quá thich ăn kẹo nên bốn anh em đã xin mẹ thêm một vài bịch keo khác giống nhu vậy nữa, nhưng me nhất quyết không cho vì sơ ăn nhiều keo sẽ bi sâu răng, do đó mẹ chỉ cho các câu ăn số kẹo trong bịch kia thôi. Thế là họ ngay lâp tức chia nhau số keo nói trên. Hỏi họ có tông công bao nhiêu cách chia keo ? (cho rằng 125 viên keo là giống hệt nhau, và anh em họ có quyền không ăn môt số viên keo trong số 125 viên keo ban đầu, đồng thời cũng có thể xảy ra trường họ có một nguròi không durọc chia viên keo nào).

Tài liệu tham khảo. 

  1. Jiri-herman-radan-kucera-jaromir-simsa, Counting-and-configurations-problems-in-combinatorics-arithmetic-and-geometry
  2. Chuyên đề toán học 11 - Tập san của học sinh Trường Phổ thông Năng khiếu.

Toán đố – P2

Tiếp theo phần 1, phần này tôi xin đưa ra những ví dụ phức tạp hơn, đòi hỏi cao hơn trong việc đưa ra phương trình, hoặc việc giải phương trình hệ phương trình ở mức khó hơn.

Ví dụ 1. Tổng kết học kì 2, trường trung học cơ sở N có 60 học sinh không đạt học sinh giỏi, trong đó có 6 em từng đạt học sinh giỏi học kì 1, số học sinh giỏi của học kì 2 bằng $\dfrac{40}{37}$ số học sinh giỏi của học kì 1 và có $8 \% $ số học sinh của trường không đạt học sinh giỏi học kì 1 nhưng đạt học sinh giỏi học kì 2. Tìm số học sinh giỏi học kì 2 của trường biết rằng số học sinh của trường không thay đổi trong suốt năm học.

Lời  giải. 

Nhận xét: Bài toán có sự thay đổi về số học sinh giỏi của học kì 2 so với học kì 1, đó là số học sinh mới được và số học sinh bị rớt danh hiệu.

Ta có lời giải như sau:

Gọi $x$ $(x>0)$ là số học sinh giỏi học kì $2$ của trường.

Tổng số học sinh của trường là: $x+60$ (học sinh).

Số học sinh giỏi học kì $1$ là: $\dfrac{37}{40}x$ (học sinh).

$8\%$ số học sinh toàn trường không đạt giỏi học kì $1$ nhưng đạt giỏi học kì $2$: $(x+60).8\%=\dfrac{2x}{25}+\dfrac{24}{5}$ (học sinh).

Theo đề bài ta có phương trình $x = \dfrac{37}{40} x + \dfrac{2x}{25} + \dfrac{24}{5} – 6$.

Giải ra được $x = 240$.
Vậy số học sinh giỏi học kì $2$ của trường là $240$ học sinh.

Ví dụ 2. Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 mỗi ngày sẽ giải 3 bài toán. Thực hiện đúng kế hoạch một thời gian, vào khoảng cuối tháng 3 (tháng 3 có 31 ngày) thì A bị bệnh, phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp. Khi hồi phục, trong tuần đầu An giải 16 bài toán; sau đó, A cố gắng giải 4 bài một ngày và đến 30/4 thì A cũng hoàn thành kế hoạch đã định. Hỏi bạn An đã nghỉ giải toán ít nhất bao nhiêu ngày?

Lời giải. 

Gọi $x$  là số ngày làm được 3 bài giai đoạn 1 ($x \leq 31)$ và $y$ là số ngày nghỉ.

Khi đó tổng số bài làm theo thực tế là: $3x + 16 + 4(61-x-y-7) = 232 -x-4y$.

Số bài thực tế bằng số bài dự định bằng $61 \times 3 = 183$.

Ta có phương trình $232-4y-x = 183 \Leftrightarrow 4y + x = 49 \Rightarrow y \geq \dfrac{18}{4} $.

Mà $y \in \mathbb{N}$ nên $y \geq 5$, giá trị nhỏ nhất của $y$ là 5, khi $x = 29$.

Ví dụ 3. Lớp $9A$ có 28 học sinh đăng ký dự thi vào các lớp chuyên Toán, Lý, Hóa của trường Phổ thông Năng khiếu. Trong đó: không có học sinh nào chỉ chọn thi vào lớp Lý hoặc chỉ chọn thi vào lớp Hóa; có ít nhất 3 học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Lý và Hóa; số học sinh chọn thi vào lớp Toán và Lý bằng số học sinh chỉ chọn thi vào lớp Toán; có 6 học sinh chọn thi vào lớp Toán và Hóa; số học sinh chọn thi vào lớp Lý và Hóa gấp 5 lần số học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Lý và Hóa. Hỏi số học sinh chọn thi vào từng lớp là bao nhiêu?

Lời giải.

Gọi $x$  là số ngày làm được 3 bài giai đoạn 1 ($x \leq 31)$ và $y$ là số ngày nghỉ.

Khi đó tổng số bài làm theo thực tế là: $3x + 16 + 4(61-x-y-7) = 232 -x-4y$.

Số bài thực tế bằng số bài dự định bằng $61 \times 3 = 183$.

Ta có phương trình $232-4y-x = 183 \Leftrightarrow 4y + x = 49 \Rightarrow y \geq \dfrac{18}{4} $.

Mà $y \in \mathbb{N}$ nên $y \geq 5$, giá trị nhỏ nhất của $y$ là 5, khi $x = 29$.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Một khu đất hình chữ nhật $ABCD$ ($AB<AD$) có chu vi 240 mét được chia thành hai phần gồm khu đất hình chữ nhật $ABNM$ làm chuồng trại và phần còn lại làm vườn thả để nuôi gà ($M$, $N$ lần lượt thuộc các cạnh $AD$, $BC$). Theo quy hoạch trang trại nuôi được 2400 con gà, bình quân mỗi con gà cần một mét vuông của diện tích vườn thả và diện tích vườn thả gấp ba lần diện tích chuồng trại. Tính chu vi của khu đất làm vườn thả.

Bài 2. Nam kể với Bình rằng ông của Nam có một mảnh đất hình vuông $ABCD$ được chia thành bốn phần; hai phần (gồm các hình vuông $AMIQ$ và $INCP$ với $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt thuộc $AB$, $BC$, $CD$, $DA$) để trồng các loại rau sạch, các phần còn lại trồng hoa. Diện tích phần trồng rau sạch là $1200 \; m^2$ và phần để trồng hoa là $1300 \; m^2$. Bình nói: “Chắc chắn bạn bị nhầm rồi!”. Nam: “Bạn nhanh thật! Mình đã nói nhầm phần diện tích. Chính xác là phần trồng rau sạch có diện tích $1300 \; m^2$, còn lại $1200 \; m^2 $ trồng hoa”. Hãy tính cạnh hình vuông $AMIQ$ (biết $AM < MB$) và giải thích vì sao Bình lại biết Nam bị nhầm ?

Bài 3. Một hồ nước được cung cấp nước bỏi ba vòi nước. Biết rằng nếu từng vòi nước cung cấp nước cho hồ thì vòi nước thứ nhất sẽ làm đầy hồ nhanh hơn vòi nước thứ hai $5$ giờ, vòi nước thứ ba lại làm đầy hồ nhanh hơn vòi nước thứ nhất $4$ giờ; còn nếu vòi nước thứ nhất và thứ hai cùng cung cấp nước cho hồ thì chúng làm đầy hồ bằng với thời gian vòi nước thứ ba làm đầy hồ. Hỏi nếu cả ba vòi nước cùng cung cấp nước cho hồ thì chúng sẽ làm đầy hồ trong bao lâu?

Bài 4. Hai thị trấn $A$ và $B$ cùng nằm trên một dòng sông, cách nhau $D$ $km$. Thị trấn $B$ có địa thế cao hơn nên dòng nước luôn chảy từ $B$ đến $A$ với vận tốc $d$ $(km/h)$ không đổi. Nếu nước không chảy, tàu \textit{Hi vọng} có vận tốc $x$ $(km/h)$ không đổi, tàu \textit{Tương lai} có vận tốc $y$ $(km/h)$ không đổi. Vào lúc 8 giờ sáng, tàu \textit{Hi vọng} xuất phát từ $A$ đi về hướng $B$ và tàu \textit{Tương lai} xuất phát từ $B$ đi về hướng $A$. Vào lúc 12 giờ trưa hai tàu gặp nhau lần đầu tiên tại một điểm cách $A$ một khoảng cách là $\dfrac{1}{3}D$. Khi đến $A$ tàu \textit{Tương lai} nghỉ nửa giờ rồi quay về $B$; tương tự khi đến $B$ tàu \textit{Hi vọng} cũng nghỉ nửa giờ rồi quay về $A$. Hai tàu gặp nhau lần thứ hai tại một điểm cách $B$ một khoảng cách là $\dfrac{5}{27}D$. Hãy tìm vận tốc của các tàu \textit{Hi vọng} và \textit{Tương lai} biết rằng nếu ngay từ đầu, mỗi tàu tăng vận tốc thêm $7,5km/h$ thì hai tàu sẽ gặp nhau lần đầu vào lúc 11 giờ trưa.

Toán đố – P1

Dạo này các bài toán thực tế xuất hiện nhiều trong trong đề thi và được nhiều học sinh quan tâm, tuy vậy đây không phải là các bài toán trong đời sống bắt các em phải giải mà chỉ là những bài toán đốnhiều chữ, các em đọc hiểu và sử dụng kiến thức toán để giải, chứ chẳng có mấy về ý nghĩa thực tế, mà dạng toán này đã xuất hiện rất nhiều trong chương trình toán của mình, và trong các kì thi, đặc biệt là kì thi vào trường Phổ thông Năng khiếu.

Những bài toán này thường là những bài toán như mối liên quan giữa số lượng, thời gian, năng suất, …để giải các bài toán dạng này ta chú ý:

  • Đọc kĩ đề bài, gạch dưới những cụm từ quan trọng.
  • Tìm các mối liên hệ giữa các đối tượng có trong bài toán.
  • Đặt ẩn phù hợp và thiết lập được phương trình, hệ phương trình.
  • Giải các pt, hpt này cho ra kết quả.

 

Ví dụ 1. Lớp 9T có 30 bạn, mỗi bạn dự định đóng góp mỗi tháng 70000 đồng và sau 3 tháng sẽ đủ tiền mua tặng cho mỗi em ở “Mái ấm tình thương X” ba gói quà (giá tiền các món quà đều như nhau). Khi các bạn đóng đủ số tiền như dự trù thì “Mái ấm tình thương X” đã nhận chăm sóc thêm 9 em và có giá tiền của mỗi món thêm $5\%$ nên chỉ tặng mỗi em hai gói quà. Hỏi có bao nhiêu em của “Mái ấm tình thương X” được nhận quà ?

Lời giải.

  • Gọi $x$ $(x>0)$ là số em ban đầu ở “Mái ấm tình thương X” và $t$ $(t>0)$ là giá tiền mỗi món quà.
  • Số tiền lớp 9T đóng được sau $3$ tháng là: $6300000$.
  • Mỗi em nhận được $3$ món quà ta có: $3tx=6300000$ (1).
  • Sau khi mái ấm có thêm $9$ em và giá mỗi món quà tăng thêm $5\%$ ta có: $2\left( t+5\% t\right) \left( x+9\right) =6300000$ (2).
  • Từ (1) và (2) ta có: $3tx=2.1,05t.\left( x+9\right) $
    $\Leftrightarrow x=21$.
  • Vậy có $30$ em ở “Mái ấm tình thương X nhận được quà.

Ví dụ 2. Có hai vòi nước A, B cùng cung cấp cho một hồ cạn nước và vòi C (đặt sát đáy hồ) lấy nước từ hồ để cung cấp cho hệ thống tưới cây. Đúng 6 giờ, hai vòi A, B được mở; đến 7 giờ vòi C được mở; đến 9 giờ thì đóng vòi B và vòi C; đến 10 giờ 45 phút thì hồ đầy nước. Người ta thấy rằng nếu đóng vòi B ngay từ đầu thì đến 13 giờ hồ mới đầy. Biết lưu lượng vòi B là trung bình cộng lưu lượng vòi A và C, hỏi một mình vòi C tháo cạn hồ nước đầy trong bao lâu?

Lời giải. 

$10$ giờ $45$ phút $=\dfrac{43}{4}$ giờ.
Gọi $x$, $y$, $z$ $(x,\ y,\ z>0)$ lần lượt là thời gian vòi A, vòi B một mình làm đầy hồ và vòi C tháo hết nước trong hồ.
Từ $6$ giờ đến $10$ giờ $45$ phút vòi A chảy được $\dfrac{19}{4x}$ hồ.
Từ $6$ giờ đến $9$ giờ vòi B chảy được $\dfrac{3}{y}$ hồ.
Từ $7$ giờ đến $9$ giờ vòi C tháo được $\dfrac{2}{z}$ hồ.
Từ $6$ giờ đến $13$ giờ vòi A chảy được $\dfrac{7}{x}$ hồ.
Theo đề bài ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{19}{4x}+\dfrac{3}{y}-\dfrac{2}{z}=1\ (1)\\\\
\dfrac{7}{x}-\dfrac{2}{z}=1\ (2)\\\\
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{y}\ (3)
\end{array}\right. $.

Từ (2) ta có: $\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7z}$.

Lấy (1) trừ (2) ta có: $-\dfrac{9}{4x}+\dfrac{3}{y}=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{4x}=\dfrac{3}{28}+\dfrac{3}{14z}$.

Thay $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{y}$ vào (3) ta có: $\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7z}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{14}+\dfrac{3}{7z} \Leftrightarrow z=12$.

Vậy vòi C tháo cạn hồ nước đầy trong $12$ giờ.

Ví dụ 3. Một công ty may giao cho tổ $A$ may $16800$ sản phẩm, tổ $B$ may $16500$ sản phẩm và bắt đầu thực hiện công việc cùng lúc. Nếu sau $6$ ngày, tổ $A$ được hỗ trợ thêm $10$ công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ $B$. Nếu tổ $A$ được hỗ trợ thêm $10$ công nhân may ngay từ đầu thì họ sẽ hoàn thành công việc sớm hơn tổ $B$ $1$ ngày. Hãy xác định số công nhân ban đầu của mỗi tổ. Biết rằng, mỗi công nhân may mỗi ngày được $20$ sản phẩm.

Lời giải.

Gọi số công nhân ban đầu của tổ $A$, $B$ lần lượt là $x$, $y$ (công nhân) ($x,y\in \mathbb{N}$).

Mỗi ngày tổ $A$ may được $20x$ sản phẩm, tổ $B$ may được $20y$ sản phẩm.

Sau $6$ ngày tổ $A$ may được $120x$ sản phẩm.

Số công nhân tổ $A$ sau khi được tăng $10$ công nhân là $x+10$ (công nhân).

Khi đó số sản phẩm tổ $A$ may được mỗi ngày là $20\left( x+10\right) $ (sản phẩm).

Thời gian tổ $A$ hoàn thành công việc là:
$6+\dfrac{16800-120x}{20\left( x+10\right) }$ (ngày).

Thời gian tổ $B$ hoàn thành công việc là: $\dfrac{16500}{20y}$ (ngày).

Tổ $A$, tổ $B$ hoàn thành công việc cùng lúc nên ta có phương trình:
$$6+\dfrac{16800-120x}{20\left( x+10\right) }=\dfrac{16500}{20y} \text { } (1).$$

Thời gian tổ $A$ hoàn thành công việc nếu được hỗ trợ thêm $10$ công nhân ngay từ đầu là: $$\dfrac{16800}{20\left( x+10\right) } \text{ (ngày)}.$$

Tổ $A$ hoàn thành công việc trước tổ $B$ $1$ ngày nên ta có phương trình:
$$\dfrac{16800}{20\left( x+10\right) }+1=\dfrac{16500}{20y} \text{ } (2).$$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có:

$6+\dfrac{16800-120x}{20\left( x+10\right) }=\dfrac{16800}{20\left( x+10\right) }+1$

$\Leftrightarrow \dfrac{6x}{x+10}=5$
$\Leftrightarrow x=50$.

Thay $x=50$ vào $(2)\Rightarrow y=55$.

Vậy số công nhân ban đầu của tổ $A$ là $50$ công nhân, số công nhân ban đầu của tổ $B$ là $55$ công nhân.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Một tổ mua nguyên vật liệu để thuyết trình tại lớp hết 72.000 đồng, cho phí được chia đều cho mỗi thành viên của tổ. Nếu tổ giảm bớt 2 người thì mỗi người phải đóng thêm 3000 đồng. Hỏi số người của tổ?

Bài 2. Một nhóm học sinh định chia một số kẹo thành các phần quà cho các em nhỏ tại một đơn vị trẻ mồ côi. Nếu mỗi phần quà giảm đi 6 viên thì các em có thêm 5 phần quà, nếu giảm đi 10 viên thì các em có thêm 10 phần quà. Hỏi số kẹo mà nhóm học sinh này có.

Bài 3. Trong một cuộc đua môtô có ba xe khởi hành cùng lúc. Xe thứ nhì trong mỗi giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất $10$km và nhanh hơn xe thứ ba $5$km, đến đích trễ hơn xe thứ nhất $10$ phút, sớm hơn xe thứ ba $6$ phút. Tính vận tốc mỗi xe, chiều dài quãng đường đua.

Bài 4. Tìm số gồm hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số là $9$ và tổng lập phương của hai chữ số đó là $189$.

Bài 5. Một hồ nước được cung cấp nước bỏi ba vòi nước. Biết rằng nếu từng vòi nước cung cấp nước cho hồ thì vòi nước thứ nhất sẽ làm đầy hồ nhanh hơn vòi nước thứ hai $5$ giờ, vòi nước thứ ba lại làm đầy hồ nhanh hơn vòi nước thứ nhất $4$ giờ; còn nếu vòi nước thứ nhất và thứ hai cùng cung cấp nước cho hồ thì chúng làm đầy hồ bằng với thời gian vòi nước thứ ba làm đầy hồ. Hỏi nếu cả ba vòi nước cùng cung cấp nước cho hồ thì chúng sẽ làm đầy hồ trong bao lâu?

Định lý Viete với các biểu thức nghiệm không đối xứng

Tiếp theo các bài toán về tìm giá trị của tham số để nghiệm của phương trình thỏa một đẳng thức, trong bài này ta xét trường hợp mà biểu thức nghiệm không chỉ là bậc nhất, hoặc không thể tính theo tham số một cách dễ dàng.

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1. Cho phương trình $x^2-(m+2)x+m+1 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $3x_1x_2 – 4x_1=2$.

Lời giải
  •  $\Delta = (m+2)^2 – 4(m+1) = m^2 \geq 0, \forall m$. Nên phương trình luôn có nghiệm,
    khi đó phương trình có nghiệm là $1$ và $m+1$.
  • $x_1 = 1, x_2 = m+1$ ta có $3x_1x_2 -4x_1 = 2 \Leftrightarrow 3(m+1) – 4 = 2 \Leftrightarrow m = 1$.
  • $x_1 = m+1, x_2 = 1$ ta có $3x_1x_2 – 4x_1 = 2 \Leftrightarrow 3(m+1) – 4(m+1) = 2 \Leftrightarrow m = -3$.
    Vậy có hai giá trị $m$ là $1$ và $-3$.

Ta thấy trong bài toán trên, $\Delta=m^2$ có dạng là $A^2$ trong đó $A$ là một số hay một biểu thức. Khi đó ta có thể tính nghiệm theo $m$ và xét trường hợp nghiệm nào là $x_1$, nghiệm nào là $x_2$ để thế vào biểu thức nghiệm.

Tiếp theo ta xem thêm một ví dụ khác.

Ví dụ 2. (PTNK 2014) Cho phương trình $\dfrac{mx^2 + (m-3)x +2m-1}{x+3}=0$ (1)
a) Giải phương trình (1) khi $m=-1$.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ sao cho $21x_1 + 7m \left( 2+ x_2 + x_2^2 \right) = 58 $

Lời giải

a) Khi m=-1 ta có phương trình:
$\dfrac{-x^2 -4x-3}{x+3}=0 \,\, (\text{đk: } x \ne 3) \\
\Leftrightarrow -x^2 -4x-3 =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=-1 \,\,(n) \\\\
x=-3 \,\, (l)
\end{array} \right. $
Vậy $S=\left\{ -1 \right\} $

b)    $\dfrac{mx^2+(m-3)x+2m-1}{x+3}=0$ (1)

  • Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ là phương trình $mx^2+(m-3)x+2m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $-3$
    $\left\{ \begin{array}{l}
    m \ne 0 \\\\
    \Delta = (m-3)^2 -4m(2m-1) >0 \\\\
    m(-3)^2+(m-3)(-3)+2m-1 \ne 0
    \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m \ne 0\\\\
    7m^2 +2m-9 <0 \\\\
    m \ne -1
    \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m\ne 0\\\\
    m \ne -1 \\\\
    -\dfrac{9}{7} < m < 1
    \end{array} \right. $
  • Ta có $mx_2^2 + (m-3) x_2 +2m-1 =0 \Leftrightarrow m \left( 2+x_2 + x_2^2 \right) =3x_2 +1$
  • Do đó $21x_1 + 7m \left( 2+ x_2 + x_2^2 \right) =58$
    $\Leftrightarrow 21x_1 + 7(3x_2 +1 ) =58$
    $\Leftrightarrow 21 \left( x_1 +x_2 \right) =51 \\ \Leftrightarrow x_1 + x_2 =\dfrac{17}{7} $
    $\Leftrightarrow \dfrac{3-m}{m} = \dfrac{17}{7}\\ \Leftrightarrow 21-7m =17m \Leftrightarrow m=\dfrac{7}{8} \,\, (n) $
    Vậy $m=\dfrac{7}{8}$

Ta thấy trong bài toán trên, ta phải sử dụng $x_2$ là nghiệm của phương trình nên thỏa phương trình và từ đó ta mới tính được biểu thức chứa $x_2$ trong giả thiết. Mục đích là ta đưa về những dạng dễ hơn mà ta đã biết làm.

Ví dụ 3. (PTNK 2016) Cho phương trình $\dfrac{(x+1)(x^2+mx+2m+14)}{\sqrt{x}} = 0 (1)$.
Tìm $m$ để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho: $\sqrt{x_2^2+(m+1)x_2+2m+14} = 3 – \sqrt{x_1}$

Lời giải
  • Điều kiện $x > 0$.
  • Phương trình (1) tương đương $x^2+mx+2m+14 = 0$ (2).
    Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tương đương $\Delta = m^2-4(2m+14) > 0, S = -m > 0, P = 2m + 14 >0 $ (*)
  • Khi đó $x_1 + x_2 = -m, x_1x_2 = 2m+14$ và $x_2$ là nghiệm nên $x_2^2+mx_2+2m+14 = 0$, suy ra $x_2^2+(m+1)x_2 +2m+14 = x_2$.
  • Do đó $\sqrt{x_2^2+(m+1)x_2+2m+14} = 3 – \sqrt{x_1}\\ \Leftrightarrow \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=3$
    • $\Leftrightarrow x_1 + x_2 +2\sqrt{x_1x_2}=9 \\\Leftrightarrow 2\sqrt{2m+14}=9+m $
    • $\Leftrightarrow 4(2m+14) = m^2+18m+81 \Leftrightarrow m^2 +10m+25 = 0 \Leftrightarrow m = -5 (n)$ vì thỏa (*).
      Kết luận $m = -5$.

Ví dụ 4: Tìm $a \geq 1$ để phương trình $ax^2 + (1-2a)x + 1-a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_2^2 – ax_1 = a^2-a-1$.

Giải

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta = (1-2a)^2-4a(1-a) = 8a^2-8a+1 > 0$.

Theo định lý Viete ta có $x_1 + x_2 = \dfrac{2a-1}{a}$, suy ra $ax_1 + ax_2 = 2a – 1$. Suy ra $ax_1 = 2a-1-ax_2$.

Kết hợp giả thiết ta có $x_2^2+ax_2-2a+1=a^2-a-1 \Leftrightarrow x_2^2+ax_2-a^2-a+2=0 \Leftrightarrow ax_2^2+a^2x_2-a^3-a^2+2a=0$ $(1)$.

Mà $x_2$ là nghiệm của phương trình nên ta có $ax_2^2+(1-2a)x_2+1-a = 0 (2)$.

Lấy $(1) – (2)$ ta có $(a^2+2a-1)x_2 = a^3+a^2-3a+1$, mà $a \geq 1$ nên $a^2 + 2a – 1 \neq 0$, suy ra $x_2 = a-1$.

Thế vào phương trình $(1)$ ta có $(a-1)^2+a(a-1)-a^2-a+2 = 0 \Leftrightarrow a=1, a=3$.

Thử lại ta nhận hai giá trị $a = 1, a=3$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Tìm $m$ để phương trình $(x-1+m)(x+2m-3) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2 – 4x_2 =1$.\ ($m=-3\pm \sqrt{21},m=1$)
Bài 2.  Cho phương trình $x^2-(m+2)x+m+1 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $3x_1x_2 – 4x_1=2$.\($m=1,m=-3$)
Bài 3. Cho phương trình $x^2 – (2m-1)x + 4 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2+(2m-1)x_2 + 8-17m = 0$. ($m= 5$)
Bài 4. Cho phương trình $x^2 – (2m-1)x + m^2 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2 + (2m-1)x_2 = 8$.($m=-1$)
Bài 5. Cho phương trình ${x^2} – \left( {3m – 2} \right)x + 2{m^2} – 3m + 1 = 0$ (m là tham số)
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương $x_1$, $x_2$ ($m>1$)
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa $x_1^2 + x_2 =5$ ($m=\dfrac{3+\sqrt{89}}{8},m=\sqrt{5}$)

Bài 6. Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{x^2-mx +(2m-1)(1-m)}{x-2} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2 + 2x_2 = 13$. ($m=\dfrac{5}{2},m=-1 \pm \sqrt{5}$)
Bài 7.  Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{x^2 – 2mx -2m-1}{\sqrt{x}} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $\sqrt{x_1^2+2mx_2} + \sqrt{x_2^2+2mx_1} =2\sqrt{5}$. ($m=\dfrac{-1+\sqrt{7}}{4}$)
Bài 8.  Cho phương trình $\dfrac{x^2-(m+1)x +m^2 – 6)}{\sqrt{x}-2} = 0$ (1).
a) Giải phương trình khi $m = 1$. ($ x= 1+\sqrt{6}$)
b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa [ \sqrt{x_2^2-mx_2+m^2-5}+\sqrt{x_1+1} = 2+\sqrt{2}] \ ($m=3$)