Category Archives: Đại số

Định lý Viete và các đẳng thức về nghiệm.

Leave a reply

Trong các bài toán liên quan  đến ứng dụng của định lý Viete, bài toán tìm giá trị tham số $m$ để các nghiệm thỏa mãn một đẳng thức là dạng toán thường gặp.

Nếu biểu thức mà vai trò hai nghiệm là như nhau, ta có thể biểu diễn theo tổng và tích. Trong bài này chúng ta xét các bài toán mà biểu thức không phải là các biểu thức đối xứng, đòi hỏi cách xử lí khó hơn một chút. Ta bắt đầu với ví dụ sau:

Ví dụ 1. Tìm $m$ để phương trình $x^2 + 4x – m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1 + 4x_2 =-19$

Lời giải

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta’ = 4 + m > 0 \Leftrightarrow m > -4$ (1).

Khi đó, theo định lý Viete ta có: $x_1 + x_2 = -4, x_1x_2=-m$.

Từ $x_1+x_2=-4$ với giả thiết $x_1+4x_2 = -19$, giải ra được $x_2=-5$.

Thế $x_2=-5$ vào phương trình ta có:$(-5)^2+4(-5)-m = 0 \Leftrightarrow m = 5$ (thỏa (1)).

Kết luận: $m=5$.

Ta thấy rằng để làm dạng toán này, có các bước giải sau:

  • Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (hai nghiệm phân biệt,….)
  • Áp dụng định lý Viete và giả thiết để tính nghiệm (có thể theo tham số)
  • Thay nghiệm vào phương trình và giải. (So lại điều kiện để nhận loại phù hợp). (Hoặc tính $x_1$ và thế vào biểu thức Viete).

Ví dụ 2. Cho phương trình $x^2 -x +3m-11=0$ $(1)$
a) Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $(1)$ có nghiệm kép? Tìm nghiệm đó.
b) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ sao cho:

$2017x_1 + 2018x_2 =2019$

Lời giải

a) Phương trình $(1)$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1\ne 0 \text{ (hiển nhiên)} \\\\
\Delta = 0
\end{array} \right. \\\\ \Leftrightarrow 1-4(3m-11) =0 \Leftrightarrow 45-12m =0 \Leftrightarrow m=\dfrac{45}{12}$

Với $m=\dfrac{45}{12}$ thì phương trình $(1)$ trở thành:
$x^2-x+\dfrac{1}{4}=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$

Vậy khi $m=\dfrac{45}{12}$ thì phương trình $(1)$ có nghiệm $x=\dfrac{1}{2}$.
b) Để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thì
$\Delta >0 \Leftrightarrow 45-12m >0 \Leftrightarrow m < \dfrac{45}{12}$

Theo định lý Viete, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
S=x_1+x_2 = 1 \\\\
P=x_1x_2=3m-11
\end{array} \right. $

$2017x_1+2018x_2=2019 \Leftrightarrow 2017 \left( x_1 + x_2 \right) +x_2 =2019
\Leftrightarrow 2017+x_2=2019 \Leftrightarrow x_2 = 2$

Mà $x_1+x_2 =1$ nên $x_1=-1$

Lại có $x_1x_2 = 3m-11 \Rightarrow 3m-11 = -2 \Rightarrow m=3$ (thỏa)

Vậy $m=3$ thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn đề bài.

Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 2(m+1)x +3m=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1 – 2x_2 = 1$.

Lời giải

Ta có $\Delta’ = (m+1)^2 – 3m = (m-1/2)^2 + 3/4 > 0$ với mọi $m$, nên pt luôn có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó ta có $x_1+ x_2 = 2m+2, x_1x_2 = 3m=0$.

Kết hợp $x_1-2x_2 = 1$, suy ra $x_2 = \dfrac{2m+1}{3}$.

Thế $x_2 = \dfrac{2m+1}{3}$ vào pt ta có:

$\dfrac{(2m+1)^2}{9} – 2(m+1)\dfrac{2m+1}{3} + 3m = 0$, giải ra được $m = 1, m= \dfrac{5}{8}$.

Kết luận. $m = 1$ và $m = \dfrac{5}{8}$.

Ví dụ 4. Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{x^2-2mx + 3m-2}{x-1} =0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1 + 3x_2 = 8$.

Lời giải

Điều kiện $x \neq 1$. Phương trình tương đương với

$x^2-2mx + 3m-2 =0$. (2)

Pt (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Pt (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1,

$\Delta’ = m^2-3m+2 > 0, 1^2-2m(1)+3m -2 \neq 0$ (*).

Khi đó $x_1+x_2 = 2m, x_1x_2 = 3m-2$.

Từ $x_1+3x_2 = 8$ ta có $x_2 = 4-m$, thế vào (2) ta có:

$(4-m)^2 -2m(4-m) + 3m-2 = 0 \Leftrightarrow m = 2, m = \dfrac{7}{3}$.

So với (*), ta nhận $m = \dfrac{7}{3}$.

Kết luận: $m = \dfrac{7}{3}$.

Bài tập rèn luyện. 

Bài 1. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 2(m+1)x +3m=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1 – 2x_2 = 1$

Bài 2. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 3x + m-27=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1 – x_2 = 11m$.

Bài 3. Tìm $m$ để phương trình $x^2 + 2(m-1)x + m+1=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2x_2 = -m-1$.

Bài 4. Cho phương trình $x^2-(m+2)x+m+1 = 0$. \
Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $3x_1x_2 – 4x_1=2$.

Bài 5.  Cho phương trình: $9x^2-3\left( m+2\right) x+m-7=0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ phân biệt thỏa: $x_1+\dfrac{7}{5}x_2=2$.

Định lý Viete -Biện luận nghiệm

Leave a reply

Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c = 0$ ($a\neq 0$) (1)

Ta đã biết nếu phương trình (1) có nghiệm $x_1, x_2$ ($\Delta \geq 0$) thì:

$S = x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a}$ và $P = x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Đây chính là nội dung của định lý Viete trong chương trình đại số lớp 9.

Từ định lý trên ta có một số hệ quả sau:

Hệ quả 1. Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt $x_1 > x_2 > 0$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{cc} \Delta > 0 \\\\ S=x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a} > 0 \\\\ P = x_1x_2 =\dfrac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$

Hệ quả 2. Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt $x_1 < x_2 < 0$ khi và chỉ khi:

   $\left\{ \begin{array}{cc} \Delta > 0 \\\\ S=x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a} < 0 \\\\ P = x_1x_2 =\dfrac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$

Hệ quả 3. Phương trình có hai nghiệm trái dấu $x_1 < 0 < x_2$ khi và chỉ khi $ac < 0$.

Trên đây là những hệ quả cơ bản và quan trọng, sau đây ta xét một vài ví dụ áp dụng.

Ví dụ 1. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 2(m+1)x +m =0$ có hai nghiệm phân biệt dương.

Lời giải

$\Delta’ = (m+1)^2 – m = m^2 +m + 1 = (m + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4} > 0  \forall m$.

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

$x_1 + x_2 = 2(m+1) >0$ và $x_1x_2 = m > 0$ $\Leftrightarrow $ $m > 0$.

Kết luận: $m > 0$.

Ví dụ 2. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 2(m-1)x + m^2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt âm.

Lời giải

$\Delta’ = (m-1)^2 – m^2 = 1-2m$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta’ > 0 \Leftrightarrow 1-2m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2}$.

Hai nghiệm âm khi và chỉ khi:

$x_1 + x_2 =2(m-1)< 0, x_1x_2 =m^2> 0 \Leftrightarrow  m< 1, m\neq 0$.

Kết hợp các điều kiện ta có: $m < \dfrac{1}{2}, m \neq 0$.

Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 3mx +2m-5 = 0$

a) Có hai nghiệm trái dấu.

b) Một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.

Lời giải

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $1 \cdot (2m-5) <  0 \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}$.

b) Phương trình có nghiệm bằng 0, suy ra $2m-5 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2}$.

Khi đó nghiệm còn lại là $\dfrac{15}{2}$.

Kết luận: $m = \dfrac{5}{2}$.

Trên đây là các ví dụ cơ bản, tiếp theo ta làm một số phương trình bậc hai có điều kiện.

Ví dụ 4. Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{x^2-2mx+m^2-6}{\sqrt{x}} = 0(1)$

có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải

Điều kiện $x \geq 0$. Với điều kiện trên ta có (1) tương đương với phương trình:

$x^2-2mx +m^2-6 = 0$. (2)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương.

$\Delta’ = m^2 – (m^2-6) = 6 > 0$, nên (2) luôn có 2 nghiệm.

Phương trình (2) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi $S= 2m > 0, P = m^2-6 > 0$, giải ra được $m > \sqrt{6}$.

Kết luận. $m> \sqrt{6}$.

Phương trình (1) trong ví dụ 4 là kiểu phương trình bậc hai có điều kiện, việc biện luận nghiệm của phương trình dựa vào điều kiện của phương trình, khá đa dạng và rối rắm, tuy nhiên sử dụng suy luận ta có thể đưa về các dạng cơ bản, từ đó giải được bài toán. Để làm dạng toán này các em phải biết suy luận, tính toán cẩn thận.

Ta có thể làm tiếp các ví dụ sau:

Ví dụ 5. Cho phương trình $\dfrac{x^2 -2mx +m^2-3m+6}{x-3}=0$. Tìm $m$ để phương trình có:
a) Có 2 nghiệm phân biệt.

b) Có 1 nghiệm.

Lời giải

Điều kiện $x \neq 3$. Phương trình tương đương với: $x^2-2mx+m^2-3m+9=0$. (2)

a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt khác 3.

$\Delta’ = m^2-(m^2-3m+9) > 0, 3^2 -2m(3) +m^2-3m+9 \neq 0$

Giải ra được $m>3, m \neq 6$.

b) (1) có một nghiệm khi và chỉ khi (2)

  • Có nghiệm kép khác 3.
  • Có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 3.

TH1: (2) có nghiệm kép khi và chỉ khi $m = 3$, khi đó nghiệm kép bằng 3. (loại)

TH2: (2) có nghiệm bằng 3, suy ra $m=3, m=6$. Thử lại nhận $m=6$.

Kết luận. $m=6$.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Cho phương trình $x^2 – 6x -m = 0$.
Bài 2.  Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương.
b) Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{x^2-6x-m}{x-3}=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 3. Cho phương trình $\dfrac{(3x^2-2x+m)}{\sqrt{x}}=0$.
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm $m$ để phương trình có đúng 1 nghiệm.
Bài 4. Cho phương trình $(x+1)(x^2-2x-m) = 0$. Tìm $m$ để phương trình có:
a) nghiệm phân biệt.
b) 2 nghiệm phân biệt.
c) 1 nghiệm.
Bài 5. Cho phương trình $(\sqrt{x}-2)(-x^2 – 3mx+m^2) = 0$.
a) Giải phương trình khi $m=1$.
b) Chứng minh phương trình không có thể có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 6.  Cho phương trình $\sqrt{x}(x^2-2mx +m-1) = 0$. Tìm $m$ để phương trình:
a) Giải phương trình khi $m = 2$.
b) Có 3 nghiệm phân biệt.

Quy tắc cộng – Quy tắc nhân

Leave a reply

Quy tắc cộng – Quy tắc nhân

 

Quy tắc cộng. Để thực hiện một công việc có thể sử một trong $k$ phương án $A_1, A_2, …, A_k$. Nếu phương án $A_1$ có $a_1$ cách thực hiện, $A_2$ có $a_2$ cách thực hiện…$A_k$ có $a_k$ cách thực hiện. Khi đó số cách thực hiện công việc là: $a_1 + a_2 + …+ a_k$.

Quy tắc cộng. (Dạng khác) Tập $A_1$ có $a_1$ phần tử, $A_2$ có $a_2$ phần tử, …, $A_k$ có $a_k$ phần tử, $A_i \cap A_j = \emptyset \forall i, j = 1, 2, …, k, i \neq j$. Khi đó số phần tử của tập ${A_1} \cup {A_2} \cup … \cup {A_k}$ là $a_1 + a_2 + …+ a_k$.

Nguyên lý bù trừ. Cho hai tập hợp A và B. Khi đó [|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B| ]
Khi $A \subset X$ thì $|\overline{A}| = |X| – |A|$.

Quy tắc nhân. Để thực hiện một công việc, ta cần thực hiện lần lượt qua các giai đoạn $A_1, A_2, …, A_k$. Nếu $A_1$ có $a_1$ cách thực hiện, $A_2$ có $a_2$ cách thực hiện, …, $A_k$ có $a_k$ cách thực hiện. Khi đó số cách thực hiện công việc là $a_1 \times a_2 \times …\times a_k$.

Quy tắc nhân (Dạng khác) Cho tập $A_1$ có $a_1$ phần tử, $A_2$ có $a_2$ phần tử, …, $A_k$ có $a_k$ phần tử. Khi đó số phần tử của tích Decarters $A_1 \times A_2 \times … \times A_k = {(x_1, x_2, …x_k)| x_i \in A_i \forall i = 1, 2, …, k }$ là $a_1 \times a_2 \times a_3 \times … \times a_k$.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tập $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$. Từ tập $A$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

a) Có 5 chữ số khác nhau.
b) Không lớn hơn 4000.
c) Có bao nhiêu số lẻ có các chữ số khác nhau.
d) Có bao nhiêu số có 4 chữ số, mà các chữ số không nhất thiết phải khác nhau.
e) Có bao nhiêu số có 5 chữ số không có số 1 hoặc không có số 2.

Ví dụ 2.  Có thể tạo ra được bao nhiêu hình vuông từ bảng các điểm đã cho như hình sau ($8 \times 8$). Biết rằng:

a) Cạnh hình vuông song song với cạnh hình vuông lớn.
b) Bất kì.

Ví dụ 3.  Cho $n$ có phân tích thành thừa số nguyên tố như sau $$n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$
Tính số ước nguyên dương của $n$.

Ví dụ 4. bao nhiêu số tự nhiên không lớn hơn 1000

a) Có ít nhất một chữ số 1. (\textbf{272})
b) Không chia hết cho 2 hoặc 3 hoặc 5.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Đội tình nguyện viên của trường PTNK gồm 6 bạn lớp 10, 3 bạn lớp 11 và 5 bạn lớp 12. Cần chọn ra 3 bạn làm ban chỉ huy trong đó có 1 đội trưởng, một đội phó và 1 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thỏa:

a) Chọn tùy ý.
b) Bạn tổ trưởng lớp 11.

Bài 2. Thầy dạy toán có một số bài tập gồm: 6 bài toán khó, 5 bài toán trung bình và 7 bài toán dễ và 4 bài siêu dễ. Thầy muốn lập một đề thi gồm 1 câu hỏi khó, 1 câu hỏi trung bình, 1 câu hỏi dễ và 1 câu siêu dễ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn bài.

Bài 3.
a) Có bao nhiêu dãy nhị phân có độ dài $n$.
b) Có bao nhiêu tập con của tập có $n$ phần tử.

Bài 4. Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số:

a) Có các chữ số chẵn lẻ xen kẽ.
b) Có chữ số 1 và 2 nhưng không đứng cạnh nhau.
c) Có các chữ số khác nhau và có chữ số 1.
d) Có 4 chữ số không có chữ số 1 hoặc không có chữ số 0.
e) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau và chữ số 3 và 0 không đồng thời có mặt.
f) Có 5 chữ số có chữ số 1 hoặc có chữ số 2.
Bài 5.  Cho $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ và $B = {a, b, c}$. Có bao nhiêu ánh xạ $f$ từ $A$ vào $B$.

Bài 6. Có bao nhiêu cặp số $(a,b)$ mà bội chung nhỏ nhất của $a, b$ là $2017^3 2018^5 2019^4$

Bài 7. Lớp 10 Toán có 6 bạn nữ và 6 bạn nam được xếp ngồi trên hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Có bao nhiêu cách xếp thỏa:

a) Xếp bất kì.
b) Mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ.

Bài 8. Có 5 bạn vào rạp xem phim, trong rạp chỉ còn một dãy ghế gồm 8 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách để các bạn ngồi, biết rằng mỗi người đều được ngồi vị trí bất kì.

Bài 9. Cho tập $A = {1, 2, 3,4,5,6}$. Có bao nhiêu số mà các chữ số thuộc $A$ thỏa:

a) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau.
b) Số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9. (Số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các số chia hết cho 9)
c) Số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 25.
d) Số có 5 chữ số có dạng $\overline{abcba}$ ($a, b,c$ đôi một khác nhau).
e) Số có 6 chữ số có dạng$\overline{12abab}$ và chia hết cho 5.

Bài giảng quy tắc cộng – Quy tắc nhân.

 

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất

Leave a reply

1.Cách giải

Khi giải phương trình, chúng ta thường tìm cách biến đổi (dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân) để đưa phương trình đó về dạng biết cách giải (đơn giản nhất là dạng $ax+b=0$ hay $ax=-b$).

2.Chú ý

  • Trong một vài trường hợp, ta còn có những cách biến đổi khác đơn giản hơn (ngoài việc bỏ dấu ngoặc và quy đồng mẫu).
  • Qúa trình giải có thể dẫn đến các trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng $0$. Khi đó, phương trình có thể vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi $x$.

3. Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) $ 2(x-3)=12 $

Giải

$ 2(x-3)=12 $

$\Leftrightarrow 2x-6=12$

$\Leftrightarrow 2x=18$

$\Leftrightarrow x=9$

Tập nghiệm của phương trình: $S=\{9\}.

 

b)  $ x-(8+x)=4 $

Giải

$ x-(8+x)=4 $

$\Leftrightarrow x-8-x=4$

$\Leftrightarrow 0x=12$

$\Leftrightarrow 0=12 $ (vô lý)

Vậy phương trình trên vô nghiệm.

c) $ \dfrac{7x-1}{6}+2x=$ \dfrac{16-x}{5} $

Giải

$ \dfrac{5(7x-1)}{30}+\dfrac{30 \cdot 2x}{30}=$ \dfrac{6(16-x)}{30} $

$\Leftrightarrow 35x-5+60x=96-6x$

$\Leftrightarrow 95x-5=96-6x$

$\Leftrightarrow 95x+6x=96+5$

$\Leftrightarrow 101x=101$

$\Leftrightarrow x=1$

Tập nghiệm của phương trình: $S=\{1\}.

d)  $ (x+3)^2=x^2+4x $

Giải

$ (x+3)^2=x^2+4x $

$\Leftrightarrow x^2+6x+9=x^2+4x$

$\Leftrightarrow x^2-x^2+6x-4x=-9$

$\Leftrightarrow 2x=-9$

$\Leftrightarrow x=-\dfrac{9}{2}$

Tập nghiệm của phương trình: $S=\{-\dfrac{9}{2}\}.

4. Bài tập

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $ 4x+20=0 $
b)  $ 2x-3=3(x-1)+x+2 $
c) $ (x-1)(x+3)=x^2+4 $
d) $ x-(x+2)(x-3)=4-x^2 $.

Bài 2. Giải các phương trình ẩn $ x $ sau:

a) $ \dfrac{x+2}{5}=3 $
b) $ \dfrac{3x-2}{7}=4 $
c) $\dfrac{x-2}{3}=1 $
d) $ \dfrac{x}{2}=x+5 $.

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) $ (x-1)^2+(x+3)^2=2(x-2)(x+1)+38 $
b) $ 5(x^2-2x-1)+2(3x-2)=5(x+1)^2 $
c) $(x-3)^3-2(x-1)=x(x-2)^2-5x^2 $
d) $ x(x+3)^2-3x=(x+2)^3+1 $.

Bài 4. Tìm giá trị của $ m $ sao cho phương trình:

a) $ 12-2(1-x)^2=4(x-m)-(x-3)(2x+5) $ có nghiệm $ x=3. $
b) $ (9x+1)(x-2m)=(3x+2)(3x-5) $ có nghiệm $ x=1. $

Phương trình bậc nhất một ẩn

Leave a reply

1.Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình dạng $ax+b=0$, với $a$ và $b$ là hai số đã cho và $a \neq 0$, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Hai quy tắc biến đổi phương trình

a) Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác $0$.

3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

  • Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
  • Phương trình bậc nhất $ax+b=0$ (với $a \neq 0$) được giải như sau:

$ax+b=0 \Leftrightarrow ax=-b \Leftrightarrow x = -\dfrac{b}{a}$

Vậy phương trình bậc nhất $ax+b=0$ luôn có một nghiệm duy nhất $x = -\dfrac{b}{a}$.

Ví dụ 1: 

Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:
a) $ 1-x=0 $
b) $ x^3+1=0 $
c) $ 2+t=0 $
d) $ y=0 $
e) $ 0x-2=0 $.

Giải
  • Phương trình $ 1-x=0 $ là phương trình bậc nhất ẩn $x$ (vì có dạng $ax+b=0$ với $a=-1; b=1$).
  • Phương trình $ 2+t=0 $ là phương trình bậc nhất ẩn $t$ (vì có dạng $at+b=0$ với $a=1; b=2$).
  • Phương trình $ y=0 $ là phương trình bậc nhất ẩn $y$ (vì có dạng $ay+b=0$ với $a=1; b=0$).

Các phương trình còn lại không phải phương trình bậc nhất.

Ví dụ 2: 

Giải các phương trình:
a) $ 4x-12=0 $
b)  $ 5x+x+18=0 $
c) $ x-3=1-4x $
d) $ 6-2x=3-x $.

Giải

a) $ 4x-12=0 $

$\Leftrightarrow 4x=12$

$\Leftrightarrow x=12:4$

$\Leftrightarrow x=3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{3\}$.

b)  $ 5x+x+18=0 $

$\Leftrightarrow 6x+18=0$

$\Leftrightarrow 6x=-18$

$\Leftrightarrow x=-18:6$

$\Leftrightarrow x=-3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{-3\}$.

c) $ x-3=1-4x $

$\Leftrightarrow x+4x=1+4$

$\Leftrightarrow 5x=5$

$\Leftrightarrow x=5:5$

$\Leftrightarrow x=1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{1\}$.

d) $ 6-2x=3-x $

$\Leftrightarrow -2x+x=3-6$

$\Leftrightarrow -x=-3$

$\Leftrightarrow x=-3:(-1)$

$\Leftrightarrow x=3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{3\}$.

 

Ví dụ 3: 

Tìm giá trị của $ m, $ biết rằng phương trình: $ -4x^2+m^2=6x $ có nghiệm là $ x=\dfrac{1}{2} $.

Giải

Thay $ x=\dfrac{1}{2} $ vào $ -4x^2+m^2=6x $, ta được:

$ -4 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+m^2=6 \cdot \dfrac{1}{2} $

$\Leftrightarrow -1+m^2=3$

$\Leftrightarrow m^2=4$

$\Leftrightarrow m=2$ hoặc $m=-2$

Vậy $m=2$ hoặc $m=-2$.

 

4. Bài tập áp dụng

Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất:
a) $ 3+3x=0 $
b) $ 5-4y=0 $
c) $ z^2-2z=0 $
d) $ 7t=0 $.

Bài 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn:
a) $ 2x^2-3=0 $
b) $ x+5=0 $
c) $ 0x-10=0 $
d)  $ x^2+2x-3=0 $.

Bài 3. Giải các phương trình:
a) $ x+5=7 $
b) $ 3=x-2 $
c) $ 2x=7+x $
d) $ 3x+1=5x+2 $.

Bài 4. Giải các phương trình:
a) $ 5x+35=0 $
b) $ 9x-3=0 $
c) $ 24-8x=0 $
d) $ -6x+16=0 $.

Bài 5. Giải các phương trình:
a) $ 7x-5=13-5x $
b) $ 2-3x=5x+10 $
c) $ 13-7x=4x-20 $
d) $ 11-9x=3-7x $.

Bài 6. Giải các phương trình sau:
a) $ \dfrac{3x}{4}=6 $
b) $ \dfrac{3}{5}x=-12 $
c) $ 7+\dfrac{5x}{3}=x-2 $
d) $ 1+\dfrac{x}{9}=\dfrac{4}{3} $.

Bài 7. Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của mỗi nghiệm ở dạng số thập phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm:
a) $ 3x=13 $
b) $ 16+9x=0 $
c) $ 6-2x=7x $

Bài 8. Tìm giá trị của $ m, $ sao cho phương trình sau nhận $ x=-3 $ làm nghiệm:
$ 4x+3m=3-2x. $

Bài 9. Cho hai phương trình ẩn $ x: \ 3x+3=0 \ (1); 5-kx=7 \ (2) $. Tìm giá trị của $ k $ sao cho nghiệm của phương trình $ (1) $ là nghiệm của phương trình $ (2) $.