Download bài viết ở đây: viete
Để ôn tập các bài toán đếm, các em hãy làm bài trắc nghiệm này nhé
[WpProQuiz 20]
Phương pháp giải: Để rút gọn các phân thức đơn giản dạng $\dfrac{A}{B}$, ta làm các bước sau:
Ví dụ 1. Rút gọn phân thức
a) $\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2}$
b) $\dfrac{ax^2+2axy+ay^2}{ax^3+ay^3}$
Ví dụ 2. Rút gọn phân thức
a) $\dfrac{x^3-3x+2}{x^2-2x+1}$
b) $ \dfrac{x^2 -xy -x + y}{x^2 + xy – x- y}. $
Bài tập
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau
a) $ \dfrac{6x^3y^2}{9x^2y} $.
b) $ \dfrac{12x^3y^2}{18xy^5}. $
c) $ \dfrac{6xy^3}{4x^2y}. $
d) $ \dfrac{15x(x+5)^3}{20x^2(x+5)} $
e) $ \dfrac{8(x^2 – xy)}{12x(x-y)^2} $.
Bài 2. Rút gọn các phân thức sau
a) $ \dfrac{x^2 + xy + x+ y}{x^2 -xy + x -y} .$
b) $ \dfrac{25(x-2)}{20x(2-x)} $.
c) $ \dfrac{x(4-x)^2}{x-4}. $
d) $ \dfrac{(x-y)^2}{x(y-x)^3} .$
Bài 3. Rút gọn các phân thức sau
a) $ \dfrac{6x^2y^2}{8xy^5}. $
b) $ \dfrac{10xy^2(x+y)}{15xy(x+y)^3} $
c) $ \dfrac{2x^2 +2x}{x+1}. $
d) $ \dfrac{x(x-2)}{(2-x)^3}. $
Bài 4. Rút gọn các phân thức
a) $ \dfrac{x^4-4x^2}{x(x+2)^2}. $
b) $ \dfrac{x^2 + 2x}{x^2+4x + 4}. $
c) $ \dfrac{8x(1-x)}{12x^2(x-1)^3}. $
d) $ \dfrac{xy -x^2}{y(x-y)^3}. $
e) $ \dfrac{x^3 – y^3}{xy^2 – x^2y}. $
Bài 5. Rút gọn các phân thức
a) $ \dfrac{36(x-2)^3}{32-16x} $.
b) $ \dfrac{x^2 – xy}{5y^2 – 5xy}. $
c) $ \dfrac{3x^2-12x+12}{x^4 – 8x}. $
d) $ \dfrac{7x^2 +14x+7}{3x^2+3x}. $
Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $
Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $ là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh $O$.
Nếu $a>0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu $a<0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất của đồ thị.
Cách vẽ đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số $y=2x^2$
Bảng giá trị:
Vẽ đồ thị:
Ví dụ 2: Tìm $a$ biết đồ thị $\left( P\right): y=ax^2$ đi qua điểm $A\left( -2; -\dfrac{1}{4}\right) $. Từ đó chứng minh $B\left( 4;-1\right) $ thuộc đồ thị $\left( P\right) $.
Ví dụ 3: Cho parabol $\left( P\right) : y=x^2$. Tìm điểm $M$ trên $\left( P\right) $ sao cho hoành độ bằng $4$ lần tung độ.
Ví dụ 4: Cho parabol $\left( P\right) : y=2x^2$ và đường thẳng $d: y=3x+2$. Tìm tọa độ giao điểm của $\left( P\right) $ và $d$.
Bài tập:
Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y=-2x^2$
b) $y=\dfrac{x^2}{2}$
c) $y=-\dfrac{x^2}{3}$
Bài 2: Tìm $a$ biết đồ thị $\left( P\right) : y=ax^2$ đi qua:
a) $A\left( 1;2\right) $
b) $B\left( -1;4\right) $
c) $C\left( 2; -8\right) $
Bài 3: Cho hàm số: $y=\dfrac{1}{4}x^2$
a) Vẽ đồ thị $\left( P\right) $ của hàm số.
b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị $\left( P\right) $: $A\left( -2;1\right) ; B\left( 1;1\right) ; C\left( -1;\dfrac{1}{4}\right) $?
Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ cho parabol $\left( P\right) : y=ax^2$.
a) Biết $\left( P\right) $ đi qua điểm $M\left( 2;-1\right) $, tìm hệ số $a$. Vẽ parabol $\left( P\right) $ vừa tìm được.
b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ $x=-2$.
c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ $y=-9$.
Bài 5: Cho parabol $\left( P\right): y=mx^2$ và đường thẳng $\left( D\right) : y=2x-1$.
a) Tìm $m$ để $\left( P\right) $ đi qua điểm $A\left( 2;8\right) $.
b) Tìm $m$ để $\left( P\right) $ tiếp xúc với $\left( D\right) $.
Bài 6: Một vật chuyển động với vận tốc được tính theo thời gian bởi công thức $v=2t^2$ với $t\ge 0$. Một vật khác chuyển động cùng lúc với vận tốc được tính theo thời gian là $v=3t+2$.
a) Vẽ đồ thị hàm số biểu diễn vận tộc của hai vật trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm thời điểm hai vật có vận tốc bằng nhau.
Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $
Ví dụ 1: Một số loại gạch lát nền hình vuông có nhiều kích cỡ khác nhau.
Nếu gọi $x$ $\left( cm\right) $ là chiều dài cạch của một miếng gạch thì diện tích của một miếng gạch là $S=x^2$.
Công thức $S=x^2$ là một hàm số bậc hai có dạng $y=ax^2$ với $a=1$.
Ví dụ 2:
a) Xác định hệ số $a$ của các hàm số sau: $y=3x^2$, $y=-2x^2$, $y=\dfrac{2}{3} x^2$.
b) Tính giá trị tương ứng của $y$ trong bảng sau:
Tính chất: Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
Ví dụ 3:
a) Hàm số $y=3x^2$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ có $a=3>0$ nên hàm số đồng biến khi $x>0$ và nghịch biến khi $x<0$.
b) Hàm số $y=-2x^2$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ có $a=-2<0$ nên hàm số đồng biến khi $x<0$ và nghịch biến khi $x>0$.
Nhận xét:
Bài tập:
Bài 1: Cho hàm số $y=f(x)=-5x^2$.
a) Xác định hệ số $a$. Tìm điều kiện của $x$ để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b) Tính $f\left( -2\right) $, $f\left( \dfrac{2}{5}\right) $, $f\left( \sqrt{3}\right) $.
c) Tìm $x$ khi $f\left( x\right) =-1$, $f\left( x\right) =0$, $f\left( x\right) =3$.
Bài 2: Diện tích $S$ $\left( m^2\right) $ của một hình tròn sẽ phụ thuộc vào bán kính $r$ $\left( m\right) $ của hình tròn đó.
a) Lập hàm số của $S$ theo $r$. Xác định hệ số $a$.
b) Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu bán kính giảm đi 2 lần? Bán kính tăng lên 3 lần?
Bài 3: Một vật rơi từ độ cao $144$ $m$ xuống mặt đất. Biết rằng quãng đường chuyển động $s$ $\left( m\right) $ của vật phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) thông qua công thức: $s=4t^2$.
a) Tính quãng đường vật đi được sau $3$ giây. Lúc đó vật còn cách mặt đất bao nhiêu mét?
b) Sau bao lâu thì vật chạm đất?
c) Tính quãng đường đi được trong giây thứ $3$.
Bài 4: Lực $F\left( N\right) $ của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc của gió $v$ $\left( m/s\right) $ theo công thức $F=kv^2$ ($k$ là một hằng số).
a) Tìm hằng số $k$ biết vận tốc của gió là $v=5$ $\left( m/s\right) $ thì lực tác dụng vào cánh buồm là $F=100N$.
b) Nếu vận tốc của gió là $v=20$ $\left( m/s\right) $ thì lực của gió tác động vào cánh buồm là bao nhiêu?
c) Cánh buồm của chiếc thuyền chỉ có thể chịu được lực tối đa là $F=2116N$. Hỏi thuyền có thể ra khởi khi vận tốc gió là $v=90$ $\left( km/h\right) $ hay không? Nếu không thì thuyền có thể ra khơi khi vận tốc của gió tối đa là bao nhiêu?
Bài 5: Khi thả một viên đá xuống một chiếc giếng, quãng đường viên đá rơi được trong thời gian $t$ (giây) sẽ được tính theo công thức $D=4,9t^2$ $\left( m\right) $.
a) Tính quãng đường viên đá rơi được trong $1$ giây, $2$ giây, $3$ giây.
b) Hãy tính độ sâu của cái giếng nếu viên đá chạm đáy giếng sau $4,3$ giây.
c) Nếu cái giếng sâu $100$ $m$, hãy tính thời gian từ lúc viên đá rơi cho tới khi viên đá chạm đáy giếng.
Quy tắc:
$\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{A.C}{B.D}$.
Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân hai phân thức:
$\dfrac{{2{{\rm{x}}^2}}}{{x – y}}.\dfrac{y}{{5{{\rm{x}}^3}}}$.
Ví dụ 2: Thực hiện phép chia hai phân thức:
$\dfrac{{5x – 15}}{{4x + 4}}:\dfrac{{x{}^2 – 9}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
Bài tập
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{5x + 10}}{{4x – 8}}\,.\,\dfrac{{4 – 2x}}{{x + 2}}$
b) $\dfrac{{{x^2} – 36}}{{2x + 10}}\,.\,\dfrac{3}{{6 – x}}$
c) $\dfrac{{{x^2} – 9{y^2}}}{{{x^2}{y^2}}}.\dfrac{{3{\rm{x}}y}}{{2{\rm{x}} – 6y}}$
d) $\dfrac{{3{{\rm{x}}^2} – 3{y^2}}}{{5{\rm{x}}y}}.\dfrac{{15{{\rm{x}}^2}y}}{{2y – 2{\rm{x}}}}$.
Bài 2. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{6x + 48}}{{7x – 7}}:\dfrac{{{x^2} – 64}}{{{x^2} – 2x + 1}}$
b) $\dfrac{{4x – 24}}{{5x + 5}}:\dfrac{{{x^2} – 36}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
c) $\dfrac{{3x + 21}}{{5x + 5}}:\dfrac{{{x^2} – 49}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
d) $\dfrac{{3 – 3x}}{{{{(1 + x)}^2}}}:\dfrac{{6{x^2} – 6}}{{x + 1}}$.
Bài 3. Thực hiện phép tính:
a) $ \dfrac{5x-10}{x^2+7} :(2x-4). $
b) $ (x^2-25):\dfrac{2x+10}{3x-7}. $
c) $ \dfrac{x^2+x}{5x^2-10x+5}: \dfrac{3x+3}{5x-5}. $
d) $ (x^-25):\dfrac{2x+10}{3x-7}. $
Bài 4. Thực hiện phép tính:
a) $ \dfrac{27-x^3}{3xy^3} : \dfrac{14x+14}{x^2y}. $
b) $ \dfrac{8xy}{3x-1} : \dfrac{12xy^3}{5-15x}. $
c) $ \dfrac{7x+2}{3xy^3} : \dfrac{14x+4}{x^2y}. $
d) $ (4x^2 -16):\dfrac{3x+6}{7x-2}. $
e) $ \dfrac{3x^3+3}{x-1} :(x^2 -x+1). $
Bài 5. Rút gọn biểu thức
a)$ \dfrac{x+1}{x+2} : \dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}. $
b) $ \dfrac{x+1}{x+2}\cdot \dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}. $
c) $ \dfrac{x+1}{x+2} : \dfrac{x+2}{x+3} \cdot \dfrac{x+3}{x+1}. $
d) $ \dfrac{x+1}{x+2} : \left(\dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}\right) $.
Quy tắc:
Ví dụ 1: $\dfrac{{5xy – 4y}}{{2{x^2}{y^3}}} + \dfrac{{3xy + 4y}}{{2{x^2}{y^3}}}$
Ví dụ 2: $\dfrac{{3{\rm{x}}}}{{5{\rm{x}} + 5y}} – \dfrac{x}{{10{\rm{x}} – 10y}}$
Ví dụ 3: $\dfrac{x-4}{4x-16} + \dfrac{4+x}{8-2x}$.
Ví dụ 4: $\dfrac{y+1}{2y-2} +\dfrac{-2y}{y^2-1}$
Bài tập
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{x – 5}}{5} + \dfrac{{1 – x}}{5}$
b) $\dfrac{{x – y}}{8} + \dfrac{{2y}}{8}$
c) $\dfrac{{{x^2} – x}}{{xy}} + \dfrac{{1 – 4{\rm{x}}}}{{xy}}$
d) $\dfrac{{5{\rm{x}}{y^2} – {x^2}y}}{{3{\rm{x}}y}} + \dfrac{{4{\rm{x}}{y^2} + {x^2}y}}{{3{\rm{x}}y}}$ .
Bài 2.Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{2{\rm{x}} + 4}}{{10}} + \dfrac{{2 – x}}{{15}}$
b) $\dfrac{{3{\rm{x}}}}{{10}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{15}} + \dfrac{{2 – x}}{{20}}$
c) $\dfrac{{x + 1}}{{2{\rm{x}} – 2}} + \dfrac{{{x^2} + 3}}{{2 – 2{{\rm{x}}^2}}}$
d) $\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} – 4{\rm{x}}}} + \dfrac{6}{{6 – 3{\rm{x}}}} + \dfrac{1}{{x + 2}}$.
Bài 3. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{4x + 1}}{2} – \dfrac{{3{\rm{x}} + 2}}{3}$
b) $\dfrac{{x + 3}}{x} – \dfrac{x}{{x – 3}} + \dfrac{9}{{{x^2} – 3{\rm{x}}}}$
c) $\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{1}{{{x^2} + x}}$
d) $\dfrac{1}{{3{\rm{x}} – 2}} – \dfrac{4}{{3{\rm{x}} + 2}} – \dfrac{{ – 10{\rm{x}} + 8}}{{9{{\rm{x}}^2} – 4}}$
e) $\dfrac{3}{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{2}{x}$.
Bài 4. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{4{{\rm{a}}^2} – 3{\rm{a}} + 5}}{{{a^3} – 1}} – \dfrac{{1 – 2{\rm{a}}}}{{{a^2} + a + 1}} – \dfrac{6}{{a – 1}}$
b) $\dfrac{{5{{\rm{x}}^2} – {y^2}}}{{xy}} – \dfrac{{3{\rm{x}} – 2y}}{y}$
c) $\dfrac{{x + 9y}}{{{x^2} – 9{y^2}}} – \dfrac{{3y}}{{{x^2} + 3{\rm{x}}y}}$
d) $\dfrac{{3x + 2}}{{{x^2} – 2x + 1}} – \dfrac{6}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{{3x – 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
d) ${x^2} + 1 – \dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} + 1}}$.