Category Archives: Đại số

Rút gọn phân thức cơ bản

Phương pháp giải: Để rút gọn các phân thức đơn giản dạng $\dfrac{A}{B}$, ta làm các bước sau:

  • Phân tích nhân tử $A$ và $B$.
  • Rút gọn cho thừa số chung của $A$ và $B$.

Ví dụ 1. Rút gọn phân thức

a) $\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2}$
b) $\dfrac{ax^2+2axy+ay^2}{ax^3+ay^3}$

Giải

a) $\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2}$

$=\dfrac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}$

$=\dfrac{x-y}{x+y}$.

b) $\dfrac{ax^2+2axy+ay^2}{ax^3+ay^3}$

$=\dfrac{a(x^2+2xy+y^2)}{a(x^3+y^3)}$

$=\dfrac{(x+y)^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}$

$=\dfrac{x+y}{x^2-xy+y^2}$.

 

Ví dụ 2. Rút gọn phân thức

a) $\dfrac{x^3-3x+2}{x^2-2x+1}$
b) $ \dfrac{x^2 -xy -x + y}{x^2 + xy – x- y}. $

Giải

a) $\dfrac{x^3-3x+2}{x^2-2x+1}$

$ =\dfrac{x^3 -x -2x + 2}{(x-1)^2} $

$ =\dfrac{(x^3 -x) -(2x – 2)}{(x-1)^2} $

$ =\dfrac{x(x-1)(x+1) -2(x – 1)}{(x-1)^2} $

$ =\dfrac{(x-1)[x(x+1) -2]}{(x-1)^2} $

$ =\dfrac{x(x+1) -2}{x-1} $.

b) $ \dfrac{x^2 -xy -x + y}{x^2 + xy – x- y} $

$ =\dfrac{(x^2 -xy) -(x – y)}{(x^2 + xy) – (x+y)}$

$ =\dfrac{x(x -y) -(x – y)}{x(x + y) – (x+y)}$

$ =\dfrac{(x -y)(x-1)}{(x + y) (x-1)}$

$ =\dfrac{x -y}{x+y}$.

Bài tập

Bài 1. Rút gọn các phân thức sau

a) $ \dfrac{6x^3y^2}{9x^2y} $.
b) $ \dfrac{12x^3y^2}{18xy^5}. $
c) $ \dfrac{6xy^3}{4x^2y}. $
d) $ \dfrac{15x(x+5)^3}{20x^2(x+5)} $
e) $ \dfrac{8(x^2 – xy)}{12x(x-y)^2} $.

Bài 2. Rút gọn các phân thức sau

a) $ \dfrac{x^2 + xy + x+ y}{x^2 -xy + x -y} .$
b) $ \dfrac{25(x-2)}{20x(2-x)} $.
c) $ \dfrac{x(4-x)^2}{x-4}. $
d) $ \dfrac{(x-y)^2}{x(y-x)^3} .$
Bài 3. Rút gọn các phân thức sau

a) $ \dfrac{6x^2y^2}{8xy^5}. $
b) $ \dfrac{10xy^2(x+y)}{15xy(x+y)^3} $
c) $ \dfrac{2x^2 +2x}{x+1}. $
d) $ \dfrac{x(x-2)}{(2-x)^3}. $

Bài 4. Rút gọn các phân thức

a) $ \dfrac{x^4-4x^2}{x(x+2)^2}. $
b) $ \dfrac{x^2 + 2x}{x^2+4x + 4}. $
c) $ \dfrac{8x(1-x)}{12x^2(x-1)^3}. $
d) $ \dfrac{xy -x^2}{y(x-y)^3}. $
e) $ \dfrac{x^3 – y^3}{xy^2 – x^2y}. $

Bài 5. Rút gọn các phân thức

a) $ \dfrac{36(x-2)^3}{32-16x} $.
b) $ \dfrac{x^2 – xy}{5y^2 – 5xy}. $
c) $ \dfrac{3x^2-12x+12}{x^4 – 8x}. $
d) $ \dfrac{7x^2 +14x+7}{3x^2+3x}. $

Đồ thị hàm số bậc hai

Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $

Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $ là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh $O$.

Nếu $a>0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị.

Nếu $a<0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất của đồ thị.

Cách vẽ đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số $y=2x^2$

Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

Ví dụ 2: Tìm $a$ biết đồ thị $\left( P\right): y=ax^2$ đi qua điểm $A\left( -2; -\dfrac{1}{4}\right) $. Từ đó chứng minh $B\left( 4;-1\right) $ thuộc đồ thị $\left( P\right) $.

Giải

Ta có: $A\in \left( P\right) \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}=a.\left( -2\right) ^2 \Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{16}$

Vậy $\left( P\right): y=-\dfrac{1}{16}x^2$.

Ta có: $y_B=-1=-\dfrac{1}{16}.4^2=-\dfrac{1}{16}.{x_B}^2$

Suy ra $B\in \left( P\right) $.

Ví dụ 3: Cho parabol $\left( P\right) : y=x^2$. Tìm điểm $M$ trên $\left( P\right) $ sao cho hoành độ bằng $4$ lần tung độ.

Giải

Điểm $M$ có hoành độ bằng $4$ lần tung độ nên $M\left( 4y_M; y_M\right) $

Ta có: $M\in \left( P\right) \Leftrightarrow y_M=\left( 4y_M\right) ^2\Leftrightarrow y_M=0$ hoặc $y_M=\dfrac{1}{16}$.

Vậy $M\left( 0;0\right) $ hoặc $M\left( \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{16}\right) $.

Ví dụ 4: Cho parabol $\left( P\right) : y=2x^2$ và đường thẳng $d: y=3x+2$. Tìm tọa độ giao điểm của $\left( P\right) $ và $d$.

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P\right) $ và $d$ là:

$2x^2=3x+2\Leftrightarrow 2x^2-3x-2=0\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=-\dfrac{1}{2}$

Với $x=2\Rightarrow y=8$

Với $x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}$

Vậy tọa độ giao điểm là $A\left( 2;8\right) $ và $B\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right) $.

Bài tập:

Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=-2x^2$

b) $y=\dfrac{x^2}{2}$

c) $y=-\dfrac{x^2}{3}$

Bài 2: Tìm $a$ biết đồ thị $\left( P\right) : y=ax^2$ đi qua:

a) $A\left( 1;2\right) $

b) $B\left( -1;4\right) $

c) $C\left( 2; -8\right) $

Bài 3: Cho hàm số: $y=\dfrac{1}{4}x^2$

a) Vẽ đồ thị $\left( P\right) $ của hàm số.

b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị $\left( P\right) $: $A\left( -2;1\right) ; B\left( 1;1\right) ; C\left( -1;\dfrac{1}{4}\right) $?

Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ cho parabol $\left( P\right) : y=ax^2$.

a) Biết $\left( P\right) $ đi qua điểm $M\left( 2;-1\right) $, tìm hệ số $a$. Vẽ parabol $\left( P\right) $ vừa tìm được.

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ $x=-2$.

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ $y=-9$.

Bài 5: Cho parabol $\left( P\right): y=mx^2$ và đường thẳng $\left( D\right) : y=2x-1$.

a) Tìm $m$ để $\left( P\right) $ đi qua điểm $A\left( 2;8\right) $.

b) Tìm $m$ để $\left( P\right) $ tiếp xúc với $\left( D\right) $.

Bài 6: Một vật chuyển động với vận tốc được tính theo thời gian bởi công thức $v=2t^2$ với $t\ge 0$. Một vật khác chuyển động cùng lúc với vận tốc được tính theo thời gian là $v=3t+2$.

a) Vẽ đồ thị hàm số biểu diễn vận tộc của hai vật trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm thời điểm hai vật có vận tốc bằng nhau.

 

 

Hàm số bậc hai $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $

Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $

Ví dụ 1: Một số loại gạch lát nền hình vuông có nhiều kích cỡ khác nhau.

Nếu gọi $x$ $\left( cm\right) $ là chiều dài cạch của một miếng gạch thì diện tích của một miếng gạch là $S=x^2$.

Công thức $S=x^2$ là một hàm số bậc hai có dạng $y=ax^2$ với $a=1$.

Ví dụ 2:

a) Xác định hệ số $a$ của các hàm số sau: $y=3x^2$, $y=-2x^2$, $y=\dfrac{2}{3} x^2$.

b) Tính giá trị tương ứng của $y$ trong bảng sau:

Giải

a) Hàm số $y=3x^2$ có hệ số $a=3$.

Hàm số $y=-2x^2$ có hệ số $a=-2$.

Hàm số $y=\dfrac{2}{3}x^2$ có hệ số $a=\dfrac{2}{3}$.

b)

Tính chất: Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

  • Nếu $a>0$ thì hàm số đồng biến khi $x>0$, nghịch biến khi $x<0$.
  • Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến khi $x<0$, nghịch biến khi $x>0$.

Ví dụ 3: 

a) Hàm số $y=3x^2$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ có $a=3>0$ nên hàm số đồng biến khi $x>0$ và nghịch biến khi $x<0$.

b) Hàm số $y=-2x^2$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ có $a=-2<0$ nên hàm số đồng biến khi $x<0$ và nghịch biến khi $x>0$.

Nhận xét:

  • Nếu $a>0$ thì $y>0$ với mọi $x\ne 0$; $y=0$ khi $x=0$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y=0$.
  • Nếu $a<0$ thì $y<0$ với mọi $x\ne 0$; $y=0$ khi $x=0$. Giá trị lớn nhất của hàm số là $y=0$.

Bài tập:

Bài 1: Cho hàm số $y=f(x)=-5x^2$.

a) Xác định hệ số $a$. Tìm điều kiện của $x$ để hàm số đồng biến, nghịch biến.

b) Tính $f\left( -2\right) $, $f\left( \dfrac{2}{5}\right) $, $f\left( \sqrt{3}\right) $.

c) Tìm $x$ khi $f\left( x\right) =-1$, $f\left( x\right) =0$, $f\left( x\right) =3$.

Bài 2: Diện tích $S$ $\left( m^2\right) $ của một hình tròn sẽ phụ thuộc vào bán kính $r$ $\left( m\right) $ của hình tròn đó.

a) Lập hàm số của $S$ theo $r$. Xác định hệ số $a$.

b) Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu bán kính giảm đi 2 lần? Bán kính tăng lên 3 lần?

Bài 3: Một vật rơi từ độ cao $144$ $m$ xuống mặt đất. Biết rằng quãng đường chuyển động $s$ $\left( m\right) $ của vật phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) thông qua công thức: $s=4t^2$.

a) Tính quãng đường vật đi được sau $3$ giây. Lúc đó vật còn cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Sau bao lâu thì vật chạm đất?

c) Tính quãng đường đi được trong giây thứ $3$.

Bài 4: Lực $F\left( N\right) $ của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc của gió $v$ $\left( m/s\right) $ theo công thức $F=kv^2$ ($k$ là một hằng số).

a) Tìm hằng số $k$ biết vận tốc của gió là $v=5$ $\left( m/s\right) $ thì lực tác dụng vào cánh buồm là $F=100N$.

b) Nếu vận tốc của gió là $v=20$ $\left( m/s\right) $ thì lực của gió tác động vào cánh buồm là bao nhiêu?

c) Cánh buồm của chiếc thuyền chỉ có thể chịu được lực tối đa là $F=2116N$. Hỏi thuyền có thể ra khởi khi vận tốc gió là $v=90$ $\left( km/h\right) $ hay không? Nếu không thì thuyền có thể ra khơi khi vận tốc của gió tối đa là bao nhiêu?

Bài 5: Khi thả một viên đá xuống một chiếc giếng, quãng đường viên đá rơi được trong thời gian $t$ (giây) sẽ được tính theo công thức $D=4,9t^2$ $\left( m\right) $.

a) Tính quãng đường viên đá rơi được trong $1$ giây, $2$ giây, $3$ giây.

b) Hãy tính độ sâu của cái giếng nếu viên đá chạm đáy giếng sau $4,3$ giây.

c) Nếu cái giếng sâu $100$ $m$, hãy tính thời gian từ lúc viên đá rơi cho tới khi viên đá chạm đáy giếng.

Phép nhân các phân thức

Quy tắc:

  • Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau:

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{A.C}{B.D}$.

  • Muốn chia phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$ khác $0$, ta nhân phân thức $\dfrac{A}{B}$  với phân thức nghịch đảo của phân thức $\dfrac{C}{D}$: $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C}$ với $\dfrac{C}{D} \neq 0.$

Ví dụ 1:  Thực hiện phép nhân hai phân thức:

$\dfrac{{2{{\rm{x}}^2}}}{{x – y}}.\dfrac{y}{{5{{\rm{x}}^3}}}$.

Giải

$\dfrac{{2{{\rm{x}}^2}}}{{x – y}}.\dfrac{y}{{5{{\rm{x}}^3}}}$

=$\dfrac{2x^2.y}{(x-y).5x^3}$

=$\dfrac{2y}{5x(x-y)}$.

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia hai phân thức:

$\dfrac{{5x – 15}}{{4x + 4}}:\dfrac{{x{}^2 – 9}}{{{x^2} + 2x + 1}}$

Giải

$\dfrac{{5x – 15}}{{4x + 4}}:\dfrac{{x{}^2 – 9}}{{{x^2} + 2x + 1}}$

$=\dfrac{{5x – 15}}{{4x + 4}}.\dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x{}^2 – 9}}$

$=\dfrac{{5(x – 3)}}{{4(x + 1)}}.\dfrac{(x+1)^2}{(x-3)(x+3)}$

$=\dfrac{{5(x + 1)}}{4(x+3)}$.

Bài tập

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{5x + 10}}{{4x – 8}}\,.\,\dfrac{{4 – 2x}}{{x + 2}}$
b)  $\dfrac{{{x^2} – 36}}{{2x + 10}}\,.\,\dfrac{3}{{6 – x}}$

c) $\dfrac{{{x^2} – 9{y^2}}}{{{x^2}{y^2}}}.\dfrac{{3{\rm{x}}y}}{{2{\rm{x}} – 6y}}$
d) $\dfrac{{3{{\rm{x}}^2} – 3{y^2}}}{{5{\rm{x}}y}}.\dfrac{{15{{\rm{x}}^2}y}}{{2y – 2{\rm{x}}}}$.

Bài 2. Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{6x + 48}}{{7x – 7}}:\dfrac{{{x^2} – 64}}{{{x^2} – 2x + 1}}$

b) $\dfrac{{4x – 24}}{{5x + 5}}:\dfrac{{{x^2} – 36}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
c) $\dfrac{{3x + 21}}{{5x + 5}}:\dfrac{{{x^2} – 49}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
d) $\dfrac{{3 – 3x}}{{{{(1 + x)}^2}}}:\dfrac{{6{x^2} – 6}}{{x + 1}}$.

Bài 3. Thực hiện phép tính:

a) $ \dfrac{5x-10}{x^2+7} :(2x-4). $
b) $ (x^2-25):\dfrac{2x+10}{3x-7}. $
c) $ \dfrac{x^2+x}{5x^2-10x+5}: \dfrac{3x+3}{5x-5}. $
d) $ (x^-25):\dfrac{2x+10}{3x-7}. $

Bài 4. Thực hiện phép tính:

a) $ \dfrac{27-x^3}{3xy^3} : \dfrac{14x+14}{x^2y}. $
b) $ \dfrac{8xy}{3x-1} : \dfrac{12xy^3}{5-15x}. $
c) $ \dfrac{7x+2}{3xy^3} : \dfrac{14x+4}{x^2y}. $
d) $ (4x^2 -16):\dfrac{3x+6}{7x-2}. $
e) $ \dfrac{3x^3+3}{x-1} :(x^2 -x+1). $

Bài 5. Rút gọn biểu thức

a)$ \dfrac{x+1}{x+2} : \dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}. $
b) $ \dfrac{x+1}{x+2}\cdot \dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}. $

c) $ \dfrac{x+1}{x+2} : \dfrac{x+2}{x+3} \cdot \dfrac{x+3}{x+1}. $
d) $ \dfrac{x+1}{x+2} : \left(\dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}\right) $.

Cộng trừ hai phân thức

Quy tắc:

  • Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta giữ nguyên mẫu thức và cộng các tử thức.
  • Muốn cộng hai phân thức không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu thức rồi thực hiện phép cộng.
  • Muốn trừ phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$, ta cộng $\dfrac{A}{B}$ với phân thức đối của $\dfrac{C}{D}$: $\dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left(-\dfrac{C}{D}\right).$

Ví dụ 1: $\dfrac{{5xy – 4y}}{{2{x^2}{y^3}}} + \dfrac{{3xy + 4y}}{{2{x^2}{y^3}}}$

Giải

$\dfrac{{5xy – 4y}}{{2{x^2}{y^3}}} + \dfrac{{3xy + 4y}}{{2{x^2}{y^3}}}$

=$\dfrac{{5xy – 4y+3xy+4y}}{{2{x^2}{y^3}}} $

=$\dfrac{{8xy}}{{2{x^2}{y^3}}} $

=$\dfrac{{4}}{{2{x}{y^2}}} $.

Ví dụ 2: $\dfrac{{3{\rm{x}}}}{{5{\rm{x}} + 5y}} – \dfrac{x}{{10{\rm{x}} – 10y}}$

Giải

Ta có:

$\dfrac{3x}{5x+5y}=\dfrac{3x}{5(x+y)}$

$\dfrac{x}{10x-10y}=\dfrac{x}{10(x-y)}$

MTC: $10(x+y)(x-y)$

$\dfrac{3x}{5x+5y}-\dfrac{x}{10(x-y)}$

$=\dfrac{3x.2(x-y)}{2.5(x+y)(x-y)}-\dfrac{x(x+y)}{10(x-y)(x+y)}$

$=\dfrac{6x^2-6xy-x^2-xy}{10(x-y)(x+y)}$

$=\dfrac{5x^2-7xy}{10(x-y)(x+y)}$.

 

Ví dụ 3: $\dfrac{x-4}{4x-16} + \dfrac{4+x}{8-2x}$.

Giải

Ta có:

$\dfrac{x-4}{4x-16}=\dfrac{x-4}{4(x-4)}$

$\dfrac{4+x}{8-2x}=\dfrac{4+x}{2(4-x)}$

MTC: $4(x-4)$

$\dfrac{x-4}{4x-16}+\dfrac{4+x}{8-2x}$

$=\dfrac{x-4}{4(x-4)}+\dfrac{(4+x).(-2)}{2(4-x).(-2)}$

$=\dfrac{x-4-8-2x}{4(x-4)}$

$=\dfrac{-x-12}{4(x-4)}$.

Ví dụ 4: $\dfrac{y+1}{2y-2} +\dfrac{-2y}{y^2-1}$

Giải

Ta có:

$\dfrac{y+1}{2y-2}=\dfrac{y+1}{2(y-1)}$

$\dfrac{-2y}{y^2-1}=\dfrac{-2y}{(y-1)(y+1)}$

MTC: $2(y+1)(y-1)$

$\dfrac{y+1}{2y-2} +\dfrac{-2y}{y^2-1}$

$=\dfrac{(y+1)(y+1)}{2(y+1)(y-1)} +\dfrac{-2y.2}{2(y-1)(y+1)}$

$=\dfrac{(y+1)^2}{2(y+1)(y-1)} +\dfrac{-4y}{2(y-1)(y+1)}$

$=\dfrac{y^2+2y+1-4y}{2(y+1)(y-1)}$

$=\dfrac{y^2-2y+1}{2(y+1)(y-1)}$

$=\dfrac{(y-1)^2}{2(y+1)(y-1)}$

$=\dfrac{y-1}{2(y+1)}$.

Bài tập

Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{x – 5}}{5} + \dfrac{{1 – x}}{5}$
b) $\dfrac{{x – y}}{8} + \dfrac{{2y}}{8}$
c) $\dfrac{{{x^2} – x}}{{xy}} + \dfrac{{1 – 4{\rm{x}}}}{{xy}}$
d)  $\dfrac{{5{\rm{x}}{y^2} – {x^2}y}}{{3{\rm{x}}y}} + \dfrac{{4{\rm{x}}{y^2} + {x^2}y}}{{3{\rm{x}}y}}$ .

Bài 2.Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{2{\rm{x}} + 4}}{{10}} + \dfrac{{2 – x}}{{15}}$

b)  $\dfrac{{3{\rm{x}}}}{{10}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{15}} + \dfrac{{2 – x}}{{20}}$
c) $\dfrac{{x + 1}}{{2{\rm{x}} – 2}} + \dfrac{{{x^2} + 3}}{{2 – 2{{\rm{x}}^2}}}$
d)  $\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} – 4{\rm{x}}}} + \dfrac{6}{{6 – 3{\rm{x}}}} + \dfrac{1}{{x + 2}}$.

Bài 3. Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{4x + 1}}{2} – \dfrac{{3{\rm{x}} + 2}}{3}$
b)  $\dfrac{{x + 3}}{x} – \dfrac{x}{{x – 3}} + \dfrac{9}{{{x^2} – 3{\rm{x}}}}$
c)  $\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{1}{{{x^2} + x}}$
d) $\dfrac{1}{{3{\rm{x}} – 2}} – \dfrac{4}{{3{\rm{x}} + 2}} – \dfrac{{ – 10{\rm{x}} + 8}}{{9{{\rm{x}}^2} – 4}}$
e)  $\dfrac{3}{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{2}{x}$.

Bài 4. Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{4{{\rm{a}}^2} – 3{\rm{a}} + 5}}{{{a^3} – 1}} – \dfrac{{1 – 2{\rm{a}}}}{{{a^2} + a + 1}} – \dfrac{6}{{a – 1}}$
b) $\dfrac{{5{{\rm{x}}^2} – {y^2}}}{{xy}} – \dfrac{{3{\rm{x}} – 2y}}{y}$
c) $\dfrac{{x + 9y}}{{{x^2} – 9{y^2}}} – \dfrac{{3y}}{{{x^2} + 3{\rm{x}}y}}$

d)  $\dfrac{{3x + 2}}{{{x^2} – 2x + 1}} – \dfrac{6}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{{3x – 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}$

d) ${x^2} + 1 – \dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} + 1}}$.