Category Archives: Tứ giác

Đối xứng trục – Đối xứng tâm

Đối xứng trục

Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Hai hình được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng $d$ nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua $d$ thì thuộc hình kia và ngược lại.

Đường thẳng $d$ được gọi là trục đối xứng của hình $H$ nếu mỗi điểm thuộc hình $H$ lấy đối xứng qua $d$ cũng thuộc hình $H$ .

Hình thang cân có trục đối xứng là đường thẳng qua trung điểm của hai đáy.

Đối xứng tâm

Hai điểm gọi là đối xứng nhau qua điểm $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.\
– Quy ước: Điểm đối xứng với điểm $O$ qua điểm $O$ cũng là điểm $O$

Điểm $O$ gọi là tâm đối xứng của hình $H$ nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình $H$ qua điểm $O$ cũng thuộc hình $H$ . Trong trường hợp này, ta còn nói rằng hình $H$ có tâm đối xứng $O$ .

Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ . Gọi $M, N, P$ là trung điểm các cạnh $B C, A C$ và $A B$ . $X$ là một điểm nằm trong tam giác. Gọi $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ lần lượt là điểm đối xứng của $X$ qua $M, N, P$ . Chứng minh $A A^{'}, B B^{'}$ và $C C^{'}$ đồng quy.

Bài 2. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Gọi $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $A B$ , $E$ là điểm đối xứng của $H$ qua $A C$ .

a) Chứng minh $A$ là trung điểm của đoạn $D E$ .
b) Tứ giác $B D E C$ là hình gì? Tại sao?
c) Gọi $F$ là trung điểm cạnh $B C$ . Chứng minh rằng tam giác $F D E$ cân.
d) $E H$ cắt $B D$ tại $G$ . Chứng minh $B G = B D$ .

Bài 3. Cho tam giác $A B C$ nhọn, về phía ngoài tam giác $A B C$ dựng các tam giác $B A D$ vuông cân tại $A$ , $C A E$ vuông cân tại $A$ . Dựng hình bình hành $A D F E$ .

a) Chứng minh $C D = B E$ và $C D ⊥ B E$ .
b) Chứng minh $A F = B C$ và $A F ⊥ B C$
c) Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ . Chứng minh $A M ⊥ D E$ và $A M = \frac{1}{2} D E$ .

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ nhọn, điểm $D$ thuộc cạnh $B D$ . Tìm các điểm $E$ thuộc $A B$ và $F$ thuộc $A C$ sao cho tam giác $D E F$ có chu vi nhỏ nhất.

Bài 5. Cho tam giác $A B C$ nhọn. Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác $A B D$ vuông cân tại $B$ , tam giác $A C E$ vuông cân tại $C$ . Vẽ đường cao $A H$ . Trên tia đối của tia $A H$ lấy điểm $D$ sao cho $A P = B C$ . Chứng minh rằng $B E$ , $C D$ và $P H$ đồng quy.

Bài 6. Cho tam giác $A B C$ có các đường cao $A D$ , $B E$ và $C F$ cắt nhau tại $H$ . Đường thẳng qua $B$ vuông góc $A B$ , đường thẳng qua $C$ vuông góc $A C$ cắt nhau tại $K$ . Gọi $P$ là điểm đối xứng của $H$ qua $B C$ .
a) Tứ giác $B H C K$ là hình gì? Tại sao?
b) Tứ giác $B P K C$ là hình gì? Tại sao?

Hình bình hành

Định nghĩa. Hình bình hành là tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song.

Tính chất và dấu hiệu nhận biết.

Một tứ giác là hình bình hànnh khi và chỉ khi:

Có 2 cặp cạnh đối song song.
Có hai cặp cạnh đối bằng nhàu.
Có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Cho tứ giác $A B C D$ có $A C ⊥ B D$ . Dựng các hình bình hành BCED và BDCF. \begin{enumerate}
a) Chứng minh $C$ , $E$ , $F$ thẳng hàng.
b) Chứng minh tam giác $A E F$ cân.

Gợi ý

Bài 2. Cho tứ giác $A B C D$ . Chứng minh các đoạn nối trung điểm các cạnh đối diện và các đoạn nối trung điểm của hai đường chéo đồng qui.

Gợi ý

Bài 3. Cho tam giác $A B C$ , các đường cao $B D$ và $C E$ cắt nhau tại $H$ . Đường thẳng qua $C$ vuông góc $A C$ và đường thẳng qua $B$ vuông góc $A B$ cắt nhau tại $F$ .

a)Tứ giác $H B F C$ là hình gì? Tại sao?
b) Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ . Chứng minh $H$ , $M$ , $F$ thẳng hàng.
c) Đường thẳng qua $F$ song song $B C$ cắt $A H$ tại $G$ . Tứ giác $B G F C$ là hình gì? Tại sao?

Gợi ý

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ , trung tuyến $B M$ và $C N$ . Trên tia đối của tia $M B$ , $N C$ lấy các điểm $D$ và $E$ sao cho $D M = M B, N E = N C$ .

a) Tứ giác $A B C D$ , $A C B E$ là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh $A$ là trung điểm của $D E$ .

Gợi ý

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng $d$ qua $A$ không cắt các cạnh của hình bình hành. Gọi $M, N, P$ là hình chiếu vuông góc của $B$ , $C$ , $D$ trên $d$ . Chứng minh $B M + D P = 2 C N$ .

Gợi ý

Đường trung bình

Định nghĩa. Trong tam giác đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác được gọi là đường trung bình của tam giác đó.

Tính chất.

Đường trung bình của tam giác là đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Định nghĩa. Trong một hình thang, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên đường gọi là đường trung bình của hình thang.

Tính chất.

Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng hai đáy.
Đường thẳng qua trung điểm của một cạnh bên và song song với hai đáy thì qua trung điểm của cạnh bên còn lại.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tứ giác $A B C D$ có $A D = B C$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $C D$ ; đường thẳng $M N$ cắt các đường thẳng $A D$ và $B C$ tại $P$ và $Q$ . Chứng minh rằng $\hat{D P N} = \hat{C Q N}$ .

Bài 2. Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ , trên tia $B A$ và tia đối $C A$ lấy điểm $M$ , $N$ thay đổi sao cho $B M = C N$ .

a) Chứng minh rằng $B C$ đi qua trung điểm đoạn $M N$ .
b) Gọi $H$ , $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ , $N$ trên đường thẳng $B C$ . Chứng minh rằng $H K$ có độ dài không đổi.

Bài 3. Cho hình thang cân $A B C D$ có $A B / / C D$ , $A B < C D$ , $\hat{A C D} = 45^{\circ}$ . Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A C D$ . Chứng minh rằng $C H = C B$ .

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ , $M$ là trung điểm của cạnh $B C$ . Trên cạnh $A C$ ta lấy điểm $D$ và $E$ sao cho $A D = D E = E C$ . Gọi $I$ là giao điểm của $A M$ và $B D$ .

a) Chứng minh $M E / / B D$ .
b) Chứng minh $I$ là trung điểm của $A M$ .
c) Chứng minh $I B = 3 I D$ .
d) Lấy trên $A B$ một điểm $F$ sao cho $A F = \frac{1}{3} A B$ . Chứng minh ba điểm $C$ , $I$ , $F$ thẳng hàng.

Bài 5. Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ , $M$ là trung điểm $B C$ , vẽ $M H ⊥ A C$ ( $H$ thuộc $A C$ ). Gọi $N$ là trung điểm $M H$ , chứng minh $A N$ vuông góc $B H$ .

Hình thang

Định nghĩa 1. Hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối song song.

Trong hình 2, hình thang $A B C D$ có cạnh đối $A B ∥ C D$ .

$A B, C D$ là cạnh đáy.
$A D, B C$ cạnh bên.

Định nghĩa 2.

1) Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

2) Hình thang cân. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Định lý 1. Trong một hình thang cân thì 2 đường chéo bằng nhau và 2 cạnh bên bằng nhau.

Chứng minh.

Định lý 2. Hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

Hình thang có hai góc kề đáy bằng nhau là hình thang cân.
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Chứng minh tứ giác $A B C D$ là hình thang trong các trường hợp sau:

a) $∠ A + ∠ D = ∠ B + ∠ C$ .
b) $∠ A = 2 ∠ D = 3 ∠ B$ và $C = 140^{\circ}$ .

Bài 2. Cho tứ giác $A B C D$ có $A B = A D$ và đường chéo $D B$ cũng đồng thời là phân giác góc $D$ . Chứng minh $A B C D$ là hình thang.

Bài 3. Cho tam giác $A B C$ có $A H$ là đường cao. Tia phân giác của góc $B$ cắt $A C$ tại $M$ . Từ $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với $A H$ cắt $A B$ tại $N$ .

a)Chứng minh rằng tứ giác $B C M N$ là hình thang.
b) Chứng minh rằng $B N = M N .$

Gợi ý

Bài 4. Cho hình thang $A B C D$ ( $A B$ và $C D$ là hai đáy và $A B < C D$ ), $A D = B C = A B$ , $\hat{B D C} = 30^{\circ} .$ Tính các góc của hình thang.

Gợi ý

Bài 5. Cho tam giác $A B C$ $(A B < A C)$ . Trên tia $A C$ lấy điểm $N$ sao cho $A N = A B$ , trên tia $A B$ lấy điểm $M$ sao cho $A M = A C$ . Chứng minh rằng tứ giác $B M C N$ là hình thang.

Gợi ý

Bài 6. Cho tam giác $A B C$ vuông góc tại đỉnh $A$ . Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác $A B D$ vuông cân tại $D$ và $A E C$ vuông cân tại $E$ .

a) Chứng minh $B D E C$ là hình thang vuông.
b) Chứng minh $E D \sqrt{2} = B D + C E$ .

Gợi ý

Bài 7. Cho tam giác $A B C$ vuông góc tại $A$ . Kẻ đường cao $A H$ . Một điểm $M$ thuộc cạnh huyền $B C$ sao cho $C M = C A$ . Đường thẳng qua $M$ song song với $C A$ cắt $A B$ tại điểm $I$ .

a) Chứng minh tứ giác $A C M I$ là hình thang vuông.
b) Chứng minh $M I = M H$ và $A I = A H$ .
c) Chứng minh bất đẳng thức $A B + A C < A H + B C$ .

Gợi ý

Bài 8. Cho tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ . Trên các cạnh $A B$ , $A C$ lấy các điểm $M$ , $N$ sao cho $A M = A N$

a)Tứ giác $B M N C$ là hình gì? Vì sao?
b) Gọi $I$ là giao điểm của $B N$ và $C M$ . Chứng minh $I A ⊥ M N .$

Gợi ý

Bài 9. Cho hình thang cân $A B C D$ có $A B / / C D$ , $C D = 3 A B$ . Gọi $H$ , $K$ là hình chiếu của $A$ , $B$ trên $C D$ .

a) Chứng minh $D H = C K$ .
b) Tứ giác $A B C K$ là hình gì? Vì sao?
c) Gọi $I$ là giao điểm của $B D$ và $A H$ , $O$ là giao điểm của $A C$ và $B K$ . Chứng minh rằng đường thẳng $I O$ đi qua trung điểm $A D$ , $B C$ .

Gợi ý

Tứ giác

Định nghĩa. Tứ giác $A B C D$ là hình gồm các đoạn thẳng $A B, B C, C D, D A$ .

Định lí. Tổng 4 góc trong một tứ giác bằng $360^{\circ}$ .

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ có $∠ A = 70^{\circ}$ . Các tia phân giác $B D, C E$ của các góc $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $I$ ; các tia phân giác ngoài của các góc $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $J$ .

a)Tính số đo các góc của tứ giác $B I C J$ .
b) hứng minh $A$ , $I$ , $J$ là ba điểm thẳng hàng.
c) Tứ giác $A B I C$ có phải là tứ giác lồi không? Vì sao?

Bài 2. Cho tứ giác $A B C D$ . Gọi $I, J$ theo thứ tự là giao điểm của các phân giác trong và phân giác ngoài của các góc $A, B$ .

a) Chứng minh rằng $∠ A I B = \frac{1}{2} (∠ C + ∠ D)$ ; $∠ A J B = \frac{1}{2} (∠ A + ∠ B)$ .
b) Chứng minh rằng $∠ A I B$ và $∠ A J B$ là hai góc bù nhau.

Bài 3. Cho tứ giác $A B C D$ có $∠ A C B = ∠ A D B = 25^{\circ}, ∠ B D C = 60^{\circ}, ∠ A C D = 30^{\circ}$ , góc ngoài của góc $A$ bằng $55^{\circ}$ . Tính số đo các góc $∠ C A B, ∠ D B A, ∠ A B C$ .

Bài 4. Cho tứ giác $A B C D$ . Chứng minh rằng:

a) $A C + B D < A B + B C + C D + D A$ .
b) $A B + B C + C D + D A < 2 (A C + B D)$ .

Bài 5. Cho tứ giác $A B C D$ có $\hat{A} + \hat{C} = 180^{\circ}$ , các tia $D A, C B$ cắt nhau tại $E$ , tia $B A, C D$ cắt nhau tại $F$ . Phân giác của góc $\hat{D E C}$ và phân giác của góc $\hat{C F B}$ cắt nhau tại $H$ . Tính $\hat{E H F}$ .

Bài 6. Cho tứ giác $A B C D$ có $\hat{A D B} = 10^{\circ}, \hat{B D C} = 50^{\circ}, \hat{A C D} = 60^{o} \circ, \hat{A C B} = 20^{o} \circ$ . Tính số đo các góc còn lại của tứ giác $A B C D$ .

Bài 7. Cho tứ giác $A B C D$ có tam giác $A C D$ đều, tam giác $A C B$ cân tại $C$ và $∠ A C B = 20^{0}$ .

a) Tính số đo góc $A, B$ của tứ giác.
b) Gọi $O$ là giao điểm của $A C, B D$ . Tính số đo các góc $\hat{A B D}, \hat{C O D}$ .

Bài 8. Cho tứ giác $A B C D$ có $A B + B D$ không lớn hơn $A C + C D$ . Chứng minh $A B < A C$ .

Bài 9. Cho tứ giác $A B C D$ và một điểm $O$ nằm trong tứ giác. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ $O$ đến các đỉnh của tứ giác thì lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Bài tập tứ giác

Tứ giác – Phần 1

Hình vuông

1 Reply

Định nghĩa. Hình vuông là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc bằng nhau.

Tính chất. Hình vuông có mọi tính chất của hình thoi và hình chữ nhật.

Dấu hiệu nhận biết hình vuông:

Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác một góc.
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.
Hình thoi có một góc vuông.
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , phân giác trong góc $A$ cắt $B C$ tại $D$ . Gọi $E$ , $F$ là hình chiếu của $D$ trên các đường thẳng $A B$ và $A C$ .

a) Tứ giác $A E D F$ là hình gì? Tại sao?
b) Vẽ đường cao $A H$ của tam giác $A B C$ . Tính $∠ E H F$ .
c) Đường trung trực cạnh $B C$ cắt $A D$ tại $M$ . Tính $∠ C B M$ .

Bài 2. Cho tam giác vuông $A B C$ vuông góc tại $A$ . Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông $A B D E$ và $A C F G$ . Gọi $K$ là giao điểm các tia $D E$ và $F G$ ; $M$ là trung điểm của $E G$ .

a) Chứng minh ba điểm $K$ , $M$ , $A$ thẳng hàng.
b) Chứng minh $M A ⊥ B C$
c) Chứng minh các đường thẳng $D C$ , $F B$ , $A M$ đồng qui.

Bài 3. Cho hình vuông $A B C D$ có cạnh $a$ . Trên các cạnh $B C, C D$ lấy các điểm $M, N$ sao cho $\hat{M A N} = 45^{\circ}$ . Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $A M$ cắt $C D$ tại điểm $E$ .

a) Chứng minh $D E = B M$ .
b) Tính khoảng cách từ $A$ đến $M N$ .
c) Chứng minh chu vi $C M N$ có độ dài không đổi.

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A C = 3 A B$ . Trên $A C$ lấy $M, N$ sao cho $A M = M N = N C$ . Chứng minh $\hat{A M B} = \hat{A N B} + \hat{A C B}$ .

Bài 5. Cho hình vuông $A B C D$ , $E$ là một điểm bất kỳ trên cạnh $A B$ . Vẽ hình vuông $D E F G$ . Chứng minh $D B ⊥ D F$ [gợi ý].

Bài 6. Cho hai hình vuông cạnh nhau $A B C D$ và $D E F G$ (điểm $E$ thuộc cạnh $C D$ ). Đường thẳng $G E$ cắt $B C$ tại $H$ . Kẻ $C M$ song song với $H G$ ( $M$ thuộc $F G$ ). Chứng minh rằng (a) $A H = H M$ , (b) $∠ A H M = 90^{\circ}$ [gợi ý].

Hình vuông

1 Reply

Đề bài. Cho hai hình vuông cạnh nhau $A B C D$ và $D E F G$ (điểm $E$ thuộc cạnh $C D$ ). Đường thẳng $G E$ cắt $B C$ tại $H$ . Kẻ $C M$ song song với $H G$ ( $M$ thuộc $F G$ ). Chứng minh rằng (a) $A H = H M$ , (b) $∠ A H M = 90^{\circ}$ .

Source: gogeometry.com

Gợi ý.

Hình vuông, thẳng hàng

1 Reply

Đề bài. Cho hình vuông $A B C D$ , $E$ là một điểm bất kỳ trên cạnh $A B$ . Vẽ hình vuông $D E F G$ . Chứng minh $D B ⊥ D F$ .

Gợi ý. Gọi $I$ là giao điểm của $E F$ với $B C$ . Từ $△ D C G = △ D A E$ suy ra $∠ D G C = ∠ E I B$ . Gọi $I^{'}, B^{'}$ lần lượt là giao điểm của $G C$ với $E F$ và $A B$ . Vì $E F$ song song $D G$ nên $∠ E I^{'} B^{'} = ∠ ∠ D G C = ∠ E I B$ , suy ra $I^{'} B^{'}$ song song với $I B$ , hay $C B^{'}$ song song $C B$ (vô lý), do đó $I^{'}$ phải trùng $I$ và $B^{'}$ trùng $B$ , ta có được ba điểm $B, C, G$ thẳng hàng.

Gọi $J$ là tâm hình vuông $D E F G$ , suy ra $J$ là trung điểm hai đường chéo $E G$ và $D F$ . Do tam giác $E B G$ vuông tại $B$ (nhờ $B, C, G$ thẳng hàng (cmt)), nên $B I = \frac{1}{2} E G$ , suy ra $B I = \frac{1}{2} D F$ , suy ra tam giác $D B F$ vuông tại $B$ (đpcm).

Toán Việt

Chia sẻ và học hỏi

Category Archives: Tứ giác

Đối xứng trục – Đối xứng tâm

Hình bình hành

Đường trung bình

Hình thang

Tứ giác

Bài tập tứ giác

Tứ giác – Phần 1

Hình vuông

Bài tập rèn luyện

Hình vuông

Hình vuông, thẳng hàng