Đề thi vào lớp 10 trường Phổ thông Năng khiếu năm 2020
Bài 1. Cho $M=\dfrac{x\sqrt{x}-8}{3+\left( \sqrt{x}+1\right) ^2}$, $N=\dfrac{\left( \sqrt{x}+1\right) ^3-\left( \sqrt{x}-1\right) ^3}{\left( x-4\right) \left( 3x+1\right) }$ và $P=\dfrac{\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}$.
a) Tìm $x$ khi $M=x-4$.
b) Tính $Q=M\cdot N +P$
Bài 2.
a) Giải phương trình: $\left( x^4+4x^2-5\right) \left( \dfrac{x-3+\sqrt{3+x}}{\sqrt{x}-1}\right) =0$.
b) Hai đường thẳng $d: y=mx+m$ và $d_1: y=x+3m+2n-mn$ cắt nhau tại điểm $I\left( 3;\, 9\right) $. Tính $mn $ và $\dfrac{m}{n}$.
c) Hình chữ nhật $ABCD$ có chu vi bằng $28$ (cm) và nội tiếp đường tròn $(C)$ có bán kính $R=5$ (cm). Tính diện tích tứ giác $ABCD$.
Bài 3. Gọi $(P)$, $(d)$ lần lượt là đồ thị của các hàm số $y=x^2$ và $y=2mx+3$.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( x_1;\, y_1\right) $, $B\left( x_2;\, y_2\right) $ và tính $y_1+y_2$ theo $m$.
b) Tìm $m$ sao cho $y_1-4y_2=x_1-4x_2+3x_1x_2$.
Bài 4. Một kho hàng nhập gạo (trong kho chưa có gạo) trong $4$ ngày liên tiếp và mỗi ngày (kể từ ngày thứ $2$) đều nhập một lượng gạo bằng $120\%$ lượng gạo đã nhập vào kho trong ngày trước đó. Sau đó, từ ngày thứ $5$ kho ngừng nhập và mỗi ngày kho lại xuất một lượng gạo bằng $\dfrac{1}{10}$ lượng gạo trong kho ở ngày trước đó. Hãy tính lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ nhất trong mỗi trường hợp sau:
a) Ngày thứ $3$, sau khi nhập xong thì trong kho có $91$ tấn gạo.
b) Tổng số gạo đã xuất trong các ngày thứ $5$, thứ $6$ là $50,996$ tấn.
Bài 5. Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(T)$ có tâm $O$ có $AB=AC$ và $\angle BAC > 90^\circ $. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$, tia $MO$ cắt $(T)$ tại $D$, $BC$ lần lượt cắt $AO$ và $AD$ tại $N$, $P$.
a) Chứng minh $OCMN$ là tứ giác nội tiếp và $\angle BDC =4 \angle ODC$.
b) Phân giác góc $\angle BDP$ cắt $BC$ tại $E$, $ME$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh $CA=CP$ và $ME$ vuông góc với $DB$.
c) Chứng minh tam giác $MNE$ cân. Tính $\dfrac{DE}{DF}$.
a)
- Ta có: $AB=AC$, $OB=OC$
$\Rightarrow OA$ là đường trung trực của $BC\Rightarrow OA\bot BC$ (tại $N$)
$M$ là trung điểm của $AC\Rightarrow OM\bot AC$ (tại $M$)
Xét tứ giác $ONMC$ có: $\angle ONC =\angle OMC =90^\circ \Rightarrow ONMC$ nội tiếp.
- Ta có: $AB=AC\Rightarrow \angle BDA =\angle CDA $
$MD$ là trung trực $AC\Rightarrow \triangle DAC$ cân tại $D\Rightarrow DM$ là phân giác $\angle ADC$
$\Rightarrow \angle CDO =\dfrac{1}{2}\angle CDA =\dfrac{1}{4}\angle CDB$ hay $\angle CDB = 4\angle CDO$.
b)
- Ta có: $\angle ACB =\angle ADB =\angle ADC$
$\triangle ADC$ cân tại $D\Rightarrow \angle DAC =\angle ACD =\angle ACB +\angle DCB$ $(1)$
Và $\angle APC =\angle ADC +\angle DCB =\angle ACB +\angle DCB$ (2)
Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \angle APC =\angle DAC \Rightarrow \triangle ACP$ cân tại $C\Rightarrow CA=CP$
- Gọi $K$ là giao điểm của $ME$ với $BD$
$\angle EDP =\dfrac{1}{2}\angle BDA =\dfrac{1}{4}\angle BDC$
$\Rightarrow \angle EDM =\dfrac{1}{2}\angle BDC =\angle ACP$
$\Rightarrow DEMC$ nội tiếp $\Rightarrow \angle DEC =\angle DMC =90^\circ $
Mà $\left\{ \begin{array}{l} \angle BEK =\angle MEC =\angle CDM\\ \angle DBE =\angle DAC =\angle DCA \end{array}\right. $
$\Rightarrow \angle BEK +\angle DBE=\angle CDM +\angle DCA =90^\circ \Rightarrow \angle BKE=90^\circ $
$\Rightarrow ME$ vuông góc với $DB$.
c)
- Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \angle CNM =\angle ABC =\angle ADC\\ \angle NEM =\angle CDM =\dfrac{1}{2}\angle ADC \end{array}\right. $
Mà $\angle CNM =\angle NEM +\angle NME$
$ \Rightarrow \angle NME =\angle NEM \Rightarrow \triangle NME$ cân tại $N$.
- $\angle DEF =\angle ACD =\angle DBF $
$\Rightarrow DFBE$ nội tiếp $\Rightarrow \angle DFB=90^\circ $
$\Rightarrow \angle DFE =\angle DBE =\angle DEF \Rightarrow \triangle DFE$ cân $D \Rightarrow \dfrac{DE}{DF}=1$
