Bài viết vietep2
Định lý Viete và áp dụng (P2)
Leave a reply
Category Archives: Toán phổ thông
Ôn tập các bài toán đếm
Để ôn tập các bài toán đếm, các em hãy làm bài trắc nghiệm này nhé
[WpProQuiz 20]
Rút gọn phân thức cơ bản
Phương pháp giải: Để rút gọn các phân thức đơn giản dạng $\dfrac{A}{B}$, ta làm các bước sau:
- Phân tích nhân tử $A$ và $B$.
- Rút gọn cho thừa số chung của $A$ và $B$.
Ví dụ 1. Rút gọn phân thức
a) $\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2}$
b) $\dfrac{ax^2+2axy+ay^2}{ax^3+ay^3}$
Ví dụ 2. Rút gọn phân thức
a) $\dfrac{x^3-3x+2}{x^2-2x+1}$
b) $ \dfrac{x^2 -xy -x + y}{x^2 + xy – x- y}. $
Bài tập
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau
a) $ \dfrac{6x^3y^2}{9x^2y} $.
b) $ \dfrac{12x^3y^2}{18xy^5}. $
c) $ \dfrac{6xy^3}{4x^2y}. $
d) $ \dfrac{15x(x+5)^3}{20x^2(x+5)} $
e) $ \dfrac{8(x^2 – xy)}{12x(x-y)^2} $.
Bài 2. Rút gọn các phân thức sau
a) $ \dfrac{x^2 + xy + x+ y}{x^2 -xy + x -y} .$
b) $ \dfrac{25(x-2)}{20x(2-x)} $.
c) $ \dfrac{x(4-x)^2}{x-4}. $
d) $ \dfrac{(x-y)^2}{x(y-x)^3} .$
Bài 3. Rút gọn các phân thức sau
a) $ \dfrac{6x^2y^2}{8xy^5}. $
b) $ \dfrac{10xy^2(x+y)}{15xy(x+y)^3} $
c) $ \dfrac{2x^2 +2x}{x+1}. $
d) $ \dfrac{x(x-2)}{(2-x)^3}. $
Bài 4. Rút gọn các phân thức
a) $ \dfrac{x^4-4x^2}{x(x+2)^2}. $
b) $ \dfrac{x^2 + 2x}{x^2+4x + 4}. $
c) $ \dfrac{8x(1-x)}{12x^2(x-1)^3}. $
d) $ \dfrac{xy -x^2}{y(x-y)^3}. $
e) $ \dfrac{x^3 – y^3}{xy^2 – x^2y}. $
Bài 5. Rút gọn các phân thức
a) $ \dfrac{36(x-2)^3}{32-16x} $.
b) $ \dfrac{x^2 – xy}{5y^2 – 5xy}. $
c) $ \dfrac{3x^2-12x+12}{x^4 – 8x}. $
d) $ \dfrac{7x^2 +14x+7}{3x^2+3x}. $
Đồ thị hàm số bậc hai
Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $
Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $ là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh $O$.
Nếu $a>0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu $a<0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất của đồ thị.
Cách vẽ đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số $y=2x^2$
Bảng giá trị:
Vẽ đồ thị:
Ví dụ 2: Tìm $a$ biết đồ thị $\left( P\right): y=ax^2$ đi qua điểm $A\left( -2; -\dfrac{1}{4}\right) $. Từ đó chứng minh $B\left( 4;-1\right) $ thuộc đồ thị $\left( P\right) $.
Ví dụ 3: Cho parabol $\left( P\right) : y=x^2$. Tìm điểm $M$ trên $\left( P\right) $ sao cho hoành độ bằng $4$ lần tung độ.
Ví dụ 4: Cho parabol $\left( P\right) : y=2x^2$ và đường thẳng $d: y=3x+2$. Tìm tọa độ giao điểm của $\left( P\right) $ và $d$.
Bài tập:
Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y=-2x^2$
b) $y=\dfrac{x^2}{2}$
c) $y=-\dfrac{x^2}{3}$
Bài 2: Tìm $a$ biết đồ thị $\left( P\right) : y=ax^2$ đi qua:
a) $A\left( 1;2\right) $
b) $B\left( -1;4\right) $
c) $C\left( 2; -8\right) $
Bài 3: Cho hàm số: $y=\dfrac{1}{4}x^2$
a) Vẽ đồ thị $\left( P\right) $ của hàm số.
b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị $\left( P\right) $: $A\left( -2;1\right) ; B\left( 1;1\right) ; C\left( -1;\dfrac{1}{4}\right) $?
Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ cho parabol $\left( P\right) : y=ax^2$.
a) Biết $\left( P\right) $ đi qua điểm $M\left( 2;-1\right) $, tìm hệ số $a$. Vẽ parabol $\left( P\right) $ vừa tìm được.
b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ $x=-2$.
c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ $y=-9$.
Bài 5: Cho parabol $\left( P\right): y=mx^2$ và đường thẳng $\left( D\right) : y=2x-1$.
a) Tìm $m$ để $\left( P\right) $ đi qua điểm $A\left( 2;8\right) $.
b) Tìm $m$ để $\left( P\right) $ tiếp xúc với $\left( D\right) $.
Bài 6: Một vật chuyển động với vận tốc được tính theo thời gian bởi công thức $v=2t^2$ với $t\ge 0$. Một vật khác chuyển động cùng lúc với vận tốc được tính theo thời gian là $v=3t+2$.
a) Vẽ đồ thị hàm số biểu diễn vận tộc của hai vật trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm thời điểm hai vật có vận tốc bằng nhau.
Hàm số bậc hai $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $
Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $
Ví dụ 1: Một số loại gạch lát nền hình vuông có nhiều kích cỡ khác nhau.
Nếu gọi $x$ $\left( cm\right) $ là chiều dài cạch của một miếng gạch thì diện tích của một miếng gạch là $S=x^2$.
Công thức $S=x^2$ là một hàm số bậc hai có dạng $y=ax^2$ với $a=1$.
Ví dụ 2:
a) Xác định hệ số $a$ của các hàm số sau: $y=3x^2$, $y=-2x^2$, $y=\dfrac{2}{3} x^2$.
b) Tính giá trị tương ứng của $y$ trong bảng sau:
Giải
a) Hàm số $y=3x^2$ có hệ số $a=3$.
Hàm số $y=-2x^2$ có hệ số $a=-2$.
Hàm số $y=\dfrac{2}{3}x^2$ có hệ số $a=\dfrac{2}{3}$.
b)
Tính chất: Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
- Nếu $a>0$ thì hàm số đồng biến khi $x>0$, nghịch biến khi $x<0$.
- Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến khi $x<0$, nghịch biến khi $x>0$.
Ví dụ 3:
a) Hàm số $y=3x^2$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ có $a=3>0$ nên hàm số đồng biến khi $x>0$ và nghịch biến khi $x<0$.
b) Hàm số $y=-2x^2$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ có $a=-2<0$ nên hàm số đồng biến khi $x<0$ và nghịch biến khi $x>0$.
Nhận xét:
- Nếu $a>0$ thì $y>0$ với mọi $x\ne 0$; $y=0$ khi $x=0$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y=0$.
- Nếu $a<0$ thì $y<0$ với mọi $x\ne 0$; $y=0$ khi $x=0$. Giá trị lớn nhất của hàm số là $y=0$.
Bài tập:
Bài 1: Cho hàm số $y=f(x)=-5x^2$.
a) Xác định hệ số $a$. Tìm điều kiện của $x$ để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b) Tính $f\left( -2\right) $, $f\left( \dfrac{2}{5}\right) $, $f\left( \sqrt{3}\right) $.
c) Tìm $x$ khi $f\left( x\right) =-1$, $f\left( x\right) =0$, $f\left( x\right) =3$.
Bài 2: Diện tích $S$ $\left( m^2\right) $ của một hình tròn sẽ phụ thuộc vào bán kính $r$ $\left( m\right) $ của hình tròn đó.
a) Lập hàm số của $S$ theo $r$. Xác định hệ số $a$.
b) Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu bán kính giảm đi 2 lần? Bán kính tăng lên 3 lần?
Bài 3: Một vật rơi từ độ cao $144$ $m$ xuống mặt đất. Biết rằng quãng đường chuyển động $s$ $\left( m\right) $ của vật phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) thông qua công thức: $s=4t^2$.
a) Tính quãng đường vật đi được sau $3$ giây. Lúc đó vật còn cách mặt đất bao nhiêu mét?
b) Sau bao lâu thì vật chạm đất?
c) Tính quãng đường đi được trong giây thứ $3$.
Bài 4: Lực $F\left( N\right) $ của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc của gió $v$ $\left( m/s\right) $ theo công thức $F=kv^2$ ($k$ là một hằng số).
a) Tìm hằng số $k$ biết vận tốc của gió là $v=5$ $\left( m/s\right) $ thì lực tác dụng vào cánh buồm là $F=100N$.
b) Nếu vận tốc của gió là $v=20$ $\left( m/s\right) $ thì lực của gió tác động vào cánh buồm là bao nhiêu?
c) Cánh buồm của chiếc thuyền chỉ có thể chịu được lực tối đa là $F=2116N$. Hỏi thuyền có thể ra khởi khi vận tốc gió là $v=90$ $\left( km/h\right) $ hay không? Nếu không thì thuyền có thể ra khơi khi vận tốc của gió tối đa là bao nhiêu?
Bài 5: Khi thả một viên đá xuống một chiếc giếng, quãng đường viên đá rơi được trong thời gian $t$ (giây) sẽ được tính theo công thức $D=4,9t^2$ $\left( m\right) $.
a) Tính quãng đường viên đá rơi được trong $1$ giây, $2$ giây, $3$ giây.
b) Hãy tính độ sâu của cái giếng nếu viên đá chạm đáy giếng sau $4,3$ giây.
c) Nếu cái giếng sâu $100$ $m$, hãy tính thời gian từ lúc viên đá rơi cho tới khi viên đá chạm đáy giếng.
Phép nhân các phân thức
Quy tắc:
- Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau:
$\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{A.C}{B.D}$.
- Muốn chia phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$ khác $0$, ta nhân phân thức $\dfrac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của phân thức $\dfrac{C}{D}$: $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C}$ với $\dfrac{C}{D} \neq 0.$
Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân hai phân thức:
$\dfrac{{2{{\rm{x}}^2}}}{{x – y}}.\dfrac{y}{{5{{\rm{x}}^3}}}$.
Ví dụ 2: Thực hiện phép chia hai phân thức:
$\dfrac{{5x – 15}}{{4x + 4}}:\dfrac{{x{}^2 – 9}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
Bài tập
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{5x + 10}}{{4x – 8}}\,.\,\dfrac{{4 – 2x}}{{x + 2}}$
b) $\dfrac{{{x^2} – 36}}{{2x + 10}}\,.\,\dfrac{3}{{6 – x}}$
c) $\dfrac{{{x^2} – 9{y^2}}}{{{x^2}{y^2}}}.\dfrac{{3{\rm{x}}y}}{{2{\rm{x}} – 6y}}$
d) $\dfrac{{3{{\rm{x}}^2} – 3{y^2}}}{{5{\rm{x}}y}}.\dfrac{{15{{\rm{x}}^2}y}}{{2y – 2{\rm{x}}}}$.
Bài 2. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{6x + 48}}{{7x – 7}}:\dfrac{{{x^2} – 64}}{{{x^2} – 2x + 1}}$
b) $\dfrac{{4x – 24}}{{5x + 5}}:\dfrac{{{x^2} – 36}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
c) $\dfrac{{3x + 21}}{{5x + 5}}:\dfrac{{{x^2} – 49}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
d) $\dfrac{{3 – 3x}}{{{{(1 + x)}^2}}}:\dfrac{{6{x^2} – 6}}{{x + 1}}$.
Bài 3. Thực hiện phép tính:
a) $ \dfrac{5x-10}{x^2+7} :(2x-4). $
b) $ (x^2-25):\dfrac{2x+10}{3x-7}. $
c) $ \dfrac{x^2+x}{5x^2-10x+5}: \dfrac{3x+3}{5x-5}. $
d) $ (x^-25):\dfrac{2x+10}{3x-7}. $
Bài 4. Thực hiện phép tính:
a) $ \dfrac{27-x^3}{3xy^3} : \dfrac{14x+14}{x^2y}. $
b) $ \dfrac{8xy}{3x-1} : \dfrac{12xy^3}{5-15x}. $
c) $ \dfrac{7x+2}{3xy^3} : \dfrac{14x+4}{x^2y}. $
d) $ (4x^2 -16):\dfrac{3x+6}{7x-2}. $
e) $ \dfrac{3x^3+3}{x-1} :(x^2 -x+1). $
Bài 5. Rút gọn biểu thức
a)$ \dfrac{x+1}{x+2} : \dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}. $
b) $ \dfrac{x+1}{x+2}\cdot \dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}. $
c) $ \dfrac{x+1}{x+2} : \dfrac{x+2}{x+3} \cdot \dfrac{x+3}{x+1}. $
d) $ \dfrac{x+1}{x+2} : \left(\dfrac{x+2}{x+3} : \dfrac{x+3}{x+1}\right) $.
Cộng trừ hai phân thức
Quy tắc:
- Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta giữ nguyên mẫu thức và cộng các tử thức.
- Muốn cộng hai phân thức không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu thức rồi thực hiện phép cộng.
- Muốn trừ phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$, ta cộng $\dfrac{A}{B}$ với phân thức đối của $\dfrac{C}{D}$: $\dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left(-\dfrac{C}{D}\right).$
Ví dụ 1: $\dfrac{{5xy – 4y}}{{2{x^2}{y^3}}} + \dfrac{{3xy + 4y}}{{2{x^2}{y^3}}}$
Ví dụ 2: $\dfrac{{3{\rm{x}}}}{{5{\rm{x}} + 5y}} – \dfrac{x}{{10{\rm{x}} – 10y}}$
Ví dụ 3: $\dfrac{x-4}{4x-16} + \dfrac{4+x}{8-2x}$.
Ví dụ 4: $\dfrac{y+1}{2y-2} +\dfrac{-2y}{y^2-1}$
Bài tập
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{x – 5}}{5} + \dfrac{{1 – x}}{5}$
b) $\dfrac{{x – y}}{8} + \dfrac{{2y}}{8}$
c) $\dfrac{{{x^2} – x}}{{xy}} + \dfrac{{1 – 4{\rm{x}}}}{{xy}}$
d) $\dfrac{{5{\rm{x}}{y^2} – {x^2}y}}{{3{\rm{x}}y}} + \dfrac{{4{\rm{x}}{y^2} + {x^2}y}}{{3{\rm{x}}y}}$ .
Bài 2.Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{2{\rm{x}} + 4}}{{10}} + \dfrac{{2 – x}}{{15}}$
b) $\dfrac{{3{\rm{x}}}}{{10}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{15}} + \dfrac{{2 – x}}{{20}}$
c) $\dfrac{{x + 1}}{{2{\rm{x}} – 2}} + \dfrac{{{x^2} + 3}}{{2 – 2{{\rm{x}}^2}}}$
d) $\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} – 4{\rm{x}}}} + \dfrac{6}{{6 – 3{\rm{x}}}} + \dfrac{1}{{x + 2}}$.
Bài 3. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{4x + 1}}{2} – \dfrac{{3{\rm{x}} + 2}}{3}$
b) $\dfrac{{x + 3}}{x} – \dfrac{x}{{x – 3}} + \dfrac{9}{{{x^2} – 3{\rm{x}}}}$
c) $\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{1}{{{x^2} + x}}$
d) $\dfrac{1}{{3{\rm{x}} – 2}} – \dfrac{4}{{3{\rm{x}} + 2}} – \dfrac{{ – 10{\rm{x}} + 8}}{{9{{\rm{x}}^2} – 4}}$
e) $\dfrac{3}{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}} + \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{2}{x}$.
Bài 4. Thực hiện phép tính:
a) $\dfrac{{4{{\rm{a}}^2} – 3{\rm{a}} + 5}}{{{a^3} – 1}} – \dfrac{{1 – 2{\rm{a}}}}{{{a^2} + a + 1}} – \dfrac{6}{{a – 1}}$
b) $\dfrac{{5{{\rm{x}}^2} – {y^2}}}{{xy}} – \dfrac{{3{\rm{x}} – 2y}}{y}$
c) $\dfrac{{x + 9y}}{{{x^2} – 9{y^2}}} – \dfrac{{3y}}{{{x^2} + 3{\rm{x}}y}}$
d) $\dfrac{{3x + 2}}{{{x^2} – 2x + 1}} – \dfrac{6}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{{3x – 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}$
d) ${x^2} + 1 – \dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} + 1}}$.
Phương pháp chứng minh phản chứng (Lớp 10)
Tính chất. $A \Rightarrow B \Leftrightarrow \overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ hoặc $A \Rightarrow B \Leftrightarrow \overline{B} \Rightarrow S$, $S$ là mệnh đề hằng sai.
- Phương pháp chứng minh phản chứng là một phương pháp chứng minh gián tiếp, để chứng minh mệnh đề $A \Rightarrow B$ ta chứng minh mệnh đề tương đương với nó là $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$.
- Điểm mạnh của phương pháp này là ta đã tạo thêm được giả thiết mới $\overline{B}$, để từ đó giúp ta suy luận tiếp để giải quyết được bài toán.
- Tất nhiên việc viết lại mệnh đề $\overline{B}$ một cách chính xác là điều quan trọng, cái này chú ý một số quy tắt về mệnh đề.
- Phương pháp này được sử dụng hầu hết trong các phân môn của toán là: đại số, số học, hình học, tổ hợp.
1. Các bài toán tổ hợp
Ví dụ 1. (Nguyên lý Dirichlet) Có $nk + 1$ viên bi, bỏ vào trong $k$ cái hộp. Chứng minh rằng có ít nhất một hộp có ít nhất là là $n+1$ viên bi.
Ví dụ 2. Có tồn tại hay không một cách điền các số $0,1, 2, 3, \cdots , 9$ vào các đỉnh của một đa giác 10 đỉnh sao cho hiệu hai số ở hai đỉnh kề nhau chỉ có thể nhận một trong các giá trị sau:$-5, -4, -3, 3, 4, 5$.
Ví dụ 3. Điền các số 1,2,3,…,121 vào một bảng ô vuông kích thước $11 \times 11$ sao cho mỗi ô chứa một số. Tồn tại hay không một cách điền sao cho hai số tự nhiên liên tiếp sẽ được điền vào hai ô có chung một cạnh và các tất cả các số chính phương thì nằm trong cùng một cột?
Ví dụ 4. Cho $F ={E_1, E_2, …, E_k }$ là một họ các tập con có $r$ phần tử của tập $X$. Nếu giao của $r+1$ tập bất kì của $F$ là khác rỗng, chứng minh rằng giao của tất cả các tập thuộc $F$ là khác rỗng.
Ví dụ 5. Cho $A$ và $B$ là các tập phân biệt và hợp của $A$ và $B$ là tập các số tự nhiên. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại các số phân biệt $a,b > n$ sao cho ${a,b,a + b } \subset A$ hoặc ${a,b,a+b} \subset B$.
Bài tập rèn luyện.
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ thì một điểm mà hoành độ và tung độ đều là các số nguyên được gọi là điểm nguyên. Chứng minh rằng không tồn tại tam giác đều nào mà các đỉnh đều là điểm nguyên.
Bài 2. Cho $S$ là tập vô hạn các phần tử và $P(S)$ là họ các tập con của $S$. Chứng minh rằng không tồn tại một song ánh từ $S$ và $P(S)$.
Bài 3. Cho $A$ là tập con có 19 phần tử của tập ${1, 2, \cdots, 106}$ sao cho không có hai phần tử nào có hiệu bằng $6, 9, 12, 15, 18$. Chứng minh rằng có 2 phần tử thuộc $A$ có hiệu bằng 3.
Bài 4. Một hình vuông $n \times n$ ô được tô bởi hai màu đen trắng, sao cho trong 4 ô góc thì 3 ô được tô màu đen, 1 ô được tô màu trắng. Chứng minh rằng trong hình vuông có ô vuông $2 \times 2 $ mà có số ô màu đen là số lẻ.
Bài 5. Tập $S$ được gọi là một tập cân nếu lấy từ $S$ ra một phần tử bất kì thì các phần tử còn lại của $S$ có thể chia ra làm hai phần có tổng bằng nhau. Tìm số phần tử nhỏ nhất của một tập cân.
(còn nữa)
Căn bậc ba
1. Khái niện căn bậc ba
Định nghĩa: Căn bậc ba của một số $a$ là một số $x$ sao cho $x^3=a$
Ví dụ 1: $2$ là căn bậc ba của $8$ vì $2^3=8$.
$-5$ là căn bậc ba của $-125$ vì $(-5)^3=-27$.
Ta công nhận kết quả sau: Mỗi số $a$ đều có duy nhất một căn bậc ba.
Kí hiệu căn bậc ba của số $a$ là: $\sqrt[3]{a}$, số $3$ gọi là chỉ số của căn.
Ví dụ 2: Tìm căn bậc ba của mỗi số sau:
a) $27$;
b) $-216$;
c) $0$
d) $\dfrac {-1}{64}$
2. Tính chất Ta có các tính chất sau của căn bậc ba: a) $a<b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} <\sqrt[3]{b}$ b) $\sqrt [3]{ab}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}$ c) Với $b\ne 0$, ta có $\sqrt [3]{\dfrac {a}{b}}=\dfrac {\sqrt [3]{a}}{\sqrt [3]{b}}$ Ví dụ 3: Tính các căn bậc ba sau: a) $\sqrt[3]{27.64}$ b) $\sqrt[3]{\dfrac{125}{8}}$ Lời giải: a) $\sqrt[3]{27.64}=\sqrt[3]{27}.\sqrt[3]{64}=3.4=12$ b) $\sqrt[3]{\dfrac{125}{8}}=\dfrac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}}=\dfrac{5}{2}$ Ví dụ 4: So sánh các số sau: a) $3$ và $\sqrt[3]{26}$ b) $-4$ và $\sqrt[3]{-63}$ Lời giải: a) Ta có: $3=\sqrt[3]{27}$ mà $27>26$ do đó $\sqrt[3]{27}>\sqrt[3]{26}$ Vậy $3>\sqrt[3]{26}$ b) Ta có: $-4=\sqrt[3]{-64}$ mà $-64<-63$ dó đó $\sqrt[3]{-64}<\sqrt[3]{-63}$ Vậy $-4<\sqrt[3]{-63}$ Bài tập Bài 1: Tính các căn bậc ba sau: a) $\sqrt[3]{343}$ b) $\sqrt[3]{\dfrac{-64}{27}}$ c) $\sqrt[3]{0,216}$ d) $\sqrt[3]{-1331}$ Bài 2: TÍnh: a) $\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{512}+3\sqrt[3]{27}$ b) $\sqrt[3]{4}.\sqrt[3]{54}-\dfrac{2}{5}\dfrac{\sqrt[3]{375}}{\sqrt[3]{3}}$ c) $\sqrt[3]{40x^3y}-x\sqrt[3]{135y}$ d) $\sqrt{12-6\sqrt 3}-\sqrt[3]{26-15\sqrt 3}$ Bài 3: So sánh các số sau: a) $3$ và $\sqrt[3]{\dfrac{4096}{125}}$ b) $4\sqrt[3]{5}$ và $5\sqrt[3]{3}$ Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau: a) $A=\dfrac{x}{4}-\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{3}}$ với $x=-3$ b) $B=2x-\sqrt[3]{24x^2}-\sqrt[3]{16y}$ với $x=3$ và $y=-4$ Bài 5: Tìm $x$ biết: a) $\sqrt[3]{7x+36}=4$ b) $2+\sqrt[3]{2x-3}=0$
Rút gọn biến đổi căn thức nâng cao
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\left( \dfrac {\sqrt {x}-1}{\sqrt {x}+1} -\dfrac {\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\right).\left( \sqrt {x} -\dfrac {1}{\sqrt {x}}\right) $ với $x> 0$, $x \ne 1$
b) $\dfrac {15\sqrt {x}-11}{x+2\sqrt {x}-3} +\dfrac{3\sqrt {x}-2}{1-\sqrt {x}}-\dfrac {3}{\sqrt {x}+3}$ với $x\ge 0$, $x\ne 1$
c) $\left( {\dfrac{\sqrt a }{\sqrt a – 1} – \dfrac{1}{a – \sqrt a }} \right):\left( {\dfrac{1}{\sqrt a + 1} + \dfrac{2}{a – 1}} \right)$ với $a>0$, $a\ne 1$
d) $\left( \dfrac{\sqrt x-\sqrt y}{1+\sqrt {xy}}+\dfrac{\sqrt x+\sqrt y}{1-\sqrt {xy}}\right) :\left( \dfrac{ x+y+2xy}{1-xy}+1\right) $ với $x\ge 0$, $y\ge 0$, $xy\ne 1$
Ví dụ 2: Chứng minh với mọi giá trị của $x$ để biểu thức có nghĩa thì giá trị của: $A=\left( \dfrac{\sqrt x+1}{2\sqrt x-2}+\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{\sqrt x+3}{2\sqrt x+2}\right) .\dfrac{4x-4}{5}$ không phụ thuộc vào $x$.
Ví dụ 3: Cho biểu thức $A=\left( 1:\dfrac{\sqrt {1+x}}{3}+\sqrt {1-x}\right) :\left( \dfrac {3}{\sqrt {1-x^2}}+1\right) $ a) Chứng minh $A=\sqrt {1-x}$. b) Tính $x$ khi $A=\dfrac{1}{2}$.
Bài tập: Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) $\left( 2+\dfrac {a-\sqrt a}{\sqrt a-1}\right) \left( 2-\dfrac {a+\sqrt a}{\sqrt a+1}\right) $ với $a\ge 0$, $a\ne 1$ b) $\left( \dfrac {y}{\sqrt y}-\dfrac {\sqrt y}{\sqrt y+1}\right) :\dfrac {\sqrt y}{y+\sqrt y}$ với $y>0$ c) $\left( \dfrac {x\sqrt x+1}{x\sqrt x+x+\sqrt x+1}-\dfrac {\sqrt x}{x+1}\right) :\dfrac {\sqrt x-1}{x+1}$ với $x\ge 0$, $x\ne 1$ d) $\left( \dfrac {1}{\sqrt x}-\dfrac {1}{x}\right):\left( \dfrac {\sqrt x+1}{\sqrt x-2}-\dfrac {\sqrt x+2}{\sqrt x-1}\right) $ với $x>0$, $x\ne 1$, $x\ne 4$ e) $\dfrac {\sqrt x+7x+13}{x+3\sqrt x-10}+\dfrac {\sqrt x+5}{2-\sqrt x}-\dfrac {\sqrt x-4}{\sqrt x+5}$ với $x\ge 0$, $x\ne 4$ f) $\left( \dfrac {\left( 16-\sqrt a\right) \sqrt a}{a-4}+\dfrac {3+2\sqrt a}{2-\sqrt a}-\dfrac {2-3\sqrt a}{\sqrt a+2}\right) :\dfrac {1}{a+4\sqrt a+4}$ với $a\ge 0$, $a\ne 4$ Bài 2: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của $x$, $y$ $A=\dfrac {\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}-\dfrac {x\sqrt x-y\sqrt x}{x+y}.\left( \dfrac {\sqrt x}{\left( \sqrt x-\sqrt y \right)^2}-\dfrac {\sqrt y}{x-y}\right) $ Bài 3: Cho biểu thức $P=\left( \dfrac {\sqrt x+1}{\sqrt x-2}-\dfrac {2}{x-4}\right) \left( \sqrt x-1+\dfrac {\sqrt x-4}{\sqrt x}\right) $ a) Chứng minh $P=\sqrt x+3$. b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho $P=x+3$. Bài 4: Cho biểu thức $P=\dfrac {3x+\sqrt x}{x+\sqrt x}+\dfrac{ 3\left( x-\sqrt x+1\right) }{x\sqrt x+1}$ với $x>0$ a) Rút gọn biểu thức $P$. b) Chứng minh $P<4$. Bài 5: Cho biểu thức $P=\left( \dfrac {\sqrt x}{2}-\dfrac {1}{2\sqrt x}\right) \left( \dfrac {x-\sqrt x}{\sqrt x+1}-\dfrac {x+\sqrt x}{\sqrt x-1}\right) $ Rút gọn biểu thức $P$. Tìm $x$ để $P>-6$.