Tag Archives: B

Phép nhân đa thức với đa thức – Phần 1

Leave a reply

Muốn nhân đa thức với đa thức ta nhân từng đơn thức của đa thức này với đa thức kia.

Cho $A, B, C, D$ là các đơn thức. Khi đó:

$(A+B)\cdot (C+D) = A(C+D) + B(C+D)$

Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau:

a) $(x-1)(x+2)$;
b) $(2-x)(3x+2)$;
c) $-4x(x-2)(x+2)$;

Giải
a)$(x-1)(x-2) = x(x-2) + (-1)(x-2)$

$= x^2 – 2x +(-x+2) = x^2-3x+2$
b)$(2-x)(3x+2) = 2(3x+2)+(-x)(3x+2)$

$= 6x+4+(-3x^2-2x) = -3x^2+4x+4$
c)$-4x(x-2)(x+2) = -4x[x(x+2)+(-2)(x+2)]$

$= -4x(x^2+2x-2x-4) = -4x(x^2-4)$

$= -4x^3+16x$

Ví dụ 2. Thực hiện các phép nhân.

a) $(2x^2-y)(y+3x)$

b)$(3xy^2+4x-3y)(x+6y)$

c)$(3x^2-2z-6y)(x+z)$

Giải
a) $(2x^2-y)(y+3x) = 2x^2(y) +(-y)(y) + (2x^2)(3x)+(-y)(3x)$

$ = 2x^2y -y^2 + 6x^3 -3xy$
b) $(3xy^2+4x-3y)(x+6y) = $

$=3xy^2(x) + 4x(x) +(-3x)(x ) +3xy^2(6y)+4x(6y) -(3y)(6y) $

$ = 3x^2y^2-3x^2+18xy^3+24xy-18y^2$
c)$(3x^2-2z-6y)(x+z) =$

$=2x^2 \cdot x +(-2z)\cdot x +(-6y)\cdot x + (3x^2)\cdot z +(-2z)\cdot z +(-6y)\cdot z$

$ = 2x^3 – 2xz -6xy + 3x^2z – 2z^2 – 6yz$
[WpProQuiz 2]

 

 

 

 

 

Tứ giác nội tiếp (Cơ bản)

Leave a reply

Định nghĩa. Tứ giác có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp.

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Một tứ giác là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi:

  1. Tổng hai góc đối bằng $180^o$.
  2. Góc ngoài bằng góc đối trong.
  3. Hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.

Ví dụ 1. Tính $x$ và $y$ trong các hình sau.

Gợi ý

a. Ta có tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ nên

  • $x-21 + x + 15 = 180$
  • $x = 93$.

b. Tứ giác nội tiếp góc ngoài bằng góc đối trong nên

  • $x = 80$
  • $y = 120$.

Ví dụ 2.  Cho ngũ giác $ABCDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $BD$ tâm $O$ với các số đo như hình vẽ, $AE||BD$, $EF$ là tia đối của $EA$.

  1. Tính $\angle BCD$.
  2. Chứng minh $CB = CD$.
  3. Tính $DEF$.
Gợi ý
  1. $\angle BCD$ góc nội tiếp nửa đường tròn nên $\angle BCD = 90^\circ$.
  2. $\angle BAC = \angle CDB  = 45^\circ$, suy ra $\angle CBD = 180^\circ – \angle BCD – \angle BDC = 45^\circ$. Suy ra $CBD$ cân tại $C$, hay $CB = CD$.
  3. Ta có $ABDE$ nội tiếp, suy ra $\angle DEF = \angle ABD$.

Mà $AE||BD$, suy ra $\angle ABD + \angle BAE = 180^\circ$, suy ra $\angle ABD = 180^\circ – \angle BAD = 65^\circ$.

Suy ra $\angle DEF = \angle ABD = 65^\circ$.

Bài tập.

  1. Tính các góc chưa biết trong các hình sau.

  1. Tính số đo các góc chưa biết.

  2. Chứng minh góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắc cung đó theo 2 bước.

a. Vẽ đường kính $AX$. Chứng minh $\angle CAX +\angle CXA = 90^\circ$.

b. Chứng minh $\angle CAT = \angle CBA$.

  1. Tính $\alpha + \beta + \gamma$.

Đẳng thức không phụ thuộc P

Leave a reply

Bài toán.  (PoP 1.1) Cho đường tròn $(O)$. $A, B$ là hai điểm cố định đối xứng nhau qua $O$, $M$ là điểm chuyển động trên $(O)$. $MA, MB$ giao với $(O)$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $\dfrac{{\overline {AM} }}{{\overline {AP} }} + \dfrac{{\overline {BM} }}{{\overline {BQ} }}$ nhận giá trị không đổi.

Gợi ý
  • Ta có $\overline{AM}\cdot \overline{AP} = \mathscr{P}_{A/(O)} \Rightarrow \dfrac{\overline{AM}}{\overline{AP}} = \dfrac{AM^2}{\mathscr{P}_{A/(O)}}$. (1)
  • Tương tự $\dfrac{\overline{BM}}{\overline{BQ}} = \dfrac{BM^2}{\mathscr{P}_{B/(O)}}$. (2)
  • Mà $A, B$ đối xứng qua $O$ nên $\mathscr{P}_{A/(O)} = \mathscr{P}_{B/(O)}$ không đổi và $MA^2 + MB^2 = 2MO^2  + \dfrac{AB^2}{2}$ không đổi. (3)
  • Từ (1), (2), (3) suy ra điều cần chứng minh.

Các loại góc trong đường tròn.

3 Replies

Định nghĩa. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Định nghĩa. Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó. Số đo cung lớn bằng $360^\circ$ trừ số đo cung nhỏ.

Tính chất. 

  1. Số đo đường tròn bằng $360^\circ$. Số đo nửa cung tròn bằng $180^\circ$.
  2. Nếu $C$ là một điểm thuộc cung AB thì $\text{sđ} \text{cung} AB = \text{sđ} \text{cung} AC + \text{sđ} \text{cung} CB$.

Định nghĩa. So sánh hai cung.

  1. Hai cung được gọi là bằng nhau nếu có số đo bằng nhau.
  2. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn.

Định nghĩa.  Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Định nghĩa. Trong đường tròn (O) cho dây cung $AB$. Tiếp tuyến tại $A$ là $xy$. Khi đó góc $\angle xAB$ được gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến $Ax$ và dây cung $AB$. Tương tự góc $\angle yAB$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến $Ay$ và dây cung $AB$.

Tính chất. Tính chất góc nội tiếp.

  1. Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
  2. Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó.
  3. Số đo hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
  4. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
  5. Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn và bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó.

Ta có: $\angle AOB = 2\angle ACB$ và $\angle ADB = \angle ACB = \angle BAx$

Ví dụ 1. Tính $x$ trong các hình sau.

Gợi ý

a. Ta có $\angle AOB = 360^\circ – 250^\circ = 110^\circ$.

$\angle ACB$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$ nên

  • $\angle ACB = \dfrac{1}{2} \angle AOB $
  • $x^\circ = 55^\circ$.

b. Do $AB||CD$ nên $\angle BAC = \angle ACD = 36^\circ$.

$\angle BDC$ và $BAC$ là hai góc nội tiếp chắn cung $BC$ nên $\angle BDC = \angle BAC = 36^\circ$.

Ví dụ 2. Tính $x$ trong hình vẽ.

Gợi ý

Ta có $\angle BAC$ là góc nội tiếp chắn cung $BC$ và $\angle BCT$ là góc giữa tia tiếp tuyến $CT$ và dây cung $BC$ nên $\angle BAC = \angle BCT = 40^\circ$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$, suy ra $x^\circ = \dfrac{180^\circ – \angle BAC}{2} = 70^\circ$.

Bài tập.

  1. Tính các góc có trong hình vẽ. 
  2. Tính các góc trong hình vẽ. 
  3. Chứng minh $\alpha + \beta = 90$ 

Vị trí tương đối hai đường tròn

Leave a reply

Định lý. Cho đường tròn $(O;R)$ và đường tròn $(O’;R’)$. Đặt $d = OO’$. Khi đó ta có các trường hợp sau:

  • $d > R+R’$ thì ta nói hai đường tròn ngoài nhau. (Không có điểm chung)
  • $d = R + R’$ ta nói hai đường tròn tiếp xúc ngoài. (Có một điểm chung)
  • $|R-R’| < d < R + R’$ ta có hai đường tròn cắt nhau. (Có hai điểm chung)
  • $d = |R-R’|$ ta nói hai đường tròn tiếp xúc trong. (Có một điểm chung)
  • $d < |R-R’|$ ta nói hai đường tròn chứa nhau. (Không có điểm chung)

Ví dụ 1. Cho đường tròn $(O;R)$ và $(O’;R’)$ cắt nhau tại $A, B$. Chứng minh $OO’$ là trung trực của $AB$ và tính $AB$ theo $R, R’$ biết $\angle OAO’ = 90^\circ$.

Gợi ý
  • Ta có $OA = OB, O’A = O’B$ nên $OO’$ là đường trung trực của $AB$.
  • Gọi $H$ là giao điểm của $OO’$ và $AB$.
  • Ta có $AH \bot OO’$ và $H$ là trung điểm của $AB$.
  • Tam giác $OAO’$ vuông tại $AH$ nên: \[AH\cdot OO’ =OA\cdot O’A \Rightarrow AH =\dfrac{OA\cdot O’A}{OO’} = \dfrac{RR’}{\sqrt{R^2 + R’^2}}\]
  • Suy ra $AB = 2AH = \dfrac{2R.R’}{\sqrt{R^2+R’^2}}$.

Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $C$ thuộc đoạn $AB$. $D, E$ là hai điểm thuộc đường đường tròn $(A;AC)$. $DC, EC$ cắt đường tròn $(B;BC)$ tại $F$ và $G$.

  1. Chứng minh $(A;AC)$ và $(B;BC)$ tiếp xúc nhau.
  2. Chứng minh $AD$ song song với $BF$.
  3. Chứng minh $DE$ song song với $FG$.
Gợi ý

1.Xét hai đường tròn $(A;AC)$ và $(B;BC)$ có $AC + BC = AB$ (do $C$ nằm giữa $A$ và $B$), suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
2.

  • Tam giác $ACD$ cân tại $A$ suy ra $\angle ADC = \angle ACD$.
  • Tam giác $BDF$ cân tại $B$ suy ra $\angle BFC = \angle BCF$.
  • Mà $\angle ACD = \angle BCF$, suy ra $\angle ADC = \angle BFC$, suy ra $AD||BF$.

3.

  • Ta có $AD ||BC$, suy ra $\dfrac{CD}{CF} = \dfrac{AC}{BF}$.
  • Chứng minh tương tự ta có $\dfrac{CE}{CG} = \dfrac{AC}{BC}$.
  • Từ đó ta có $\dfrac{CD}{CF} = \dfrac{CE}{CG}$, suy ra $DE||FG$.

Ví dụ 3. Cho đường tròn tâm $A$ và đường tròn tâm $B$ cắt nhau tại $C$ và $D$. Một đường thẳng qua $C$ cắt $(A)$ tại $E$ và cắt $(B)$ tại $F$. Gọi $P, Q$ là điểm đối xứng của $C$ qua $A$ và $B$.

  1. Chứng minh $P, D, Q$ thẳng hàng.
  2. Gọi $M$ là trung điểm $PQ$. Chứng minh tam giác $MEF$ cân.
Gợi ý

1.

  • Ta có $CP$ là đường kính của $A$ nên $\angle CDP = 90^\circ$, $CQ$ là đường kính của $(B)$ nên $\angle CDQ = 90^\circ$.
  • Suy ra $\angle PDQ = \angle CDP + \angle CDQ = 180^\circ$ nên $P, D, Q$ thẳng hàng.

2.

  • Gọi $H$ là trung điểm của $EF$.
  • Ta có $\angle CEP = \angle CFQ = 90^\circ$, suy ra tứ giác $PEFQ$ là hình thang.
  • Hình thang $PEFQ $ có $MH$ là đường trung bình nên $MH||PE$ mà $PE \bot EF$ nên $MH \bot EF$.
  • Do đó $MH$ là trung trực của $EF$, suy ra $ME = MF$. Vậy tam giác $MEF$ cân tại $M$.

Bài tập.

[1] Cho đoạn thẳng $AB = 5cm$. Đường tròn tâm $A$ bán kính $3cm$ và đường tròn tâm $B$ bán kính $4cm$ cắt nhau tại $C$ và $D$.

a.Chứng minh $AC, AD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B)$.
b.Tính độ dài đoạn $CD$.
c.Đường thẳng $AB$ cắt $CD$ tại $H$ và cắt $(B)$ tại $M, N$. Chứng minh $AM.AN = AH.AB$.

[2] Cho điểm $A$ trên đường tròn $(O; R)$ và gọi $(I)$ là đường tròn có tâm $I$ và đường kính $AO$.

a.Giải thích rõ vị trí tương đối của 2 đường tròn $(O)$ và $(I)$.
b.$B$ là điểm bất kì trên $(O)$ ($B$ không nằm trên đường thẳng $AO$) $AB$ cắt $(I)$ tại $C$.Chứng tỏ $C$ là trung điểm của $AB$ và $IC ||OB$.
c. $CI$ cắt $(I)$ tại $D$, $AD$ cắt $(O)$ tại $E$. Chứng tỏ $B, O, E$ thẳng hàng.
d. Chứng tỏ 3 đường thẳng $AO, BD$ và $CE$ đồng qui tại một điểm. Điểm này là điểm đặc biệt gì của tam giác $ABE$.

[3]  Hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ có cùng bán kính $R$, cắt nhau tại $A$ và $B$, trong đó $\angle OAO’ = 90^\circ$. Vẽ cát tuyến chung $MAN$, $M$ thuộc $(O)$, $N$ thuộc $(O’)$. Tính $AM^2 + AN^2$ theo $R$.

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Leave a reply

Định lý. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

  • Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
  • Tia kẻ từ điểm đố qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
  • Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ 1. Cho đường tròn $O$ bán kính $R$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $O$ với $B, C$ là các tiếp điểm. Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Chứng minh rằng :

  1. Bốn điểm $O, A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn.
  2. $OA$ là đường trung trực của $BC$.
  3. $OH.OA = R^2$.
Gợi ý

1.Ta có $AB, AC$ là tiếp tuyến nên $OB \bot AB,OC \bot AC$. \\

  • Gọi $M$ là trung điểm của $OA$. Tam giác $OAB$ vuông tại $B$ có $BM$ là trung tuyến nên $BM = \dfrac{1}{2}OA = MA = MO$.
  • Tam giác $OCA$ vuông tại $C$ có $CM$ là trung tuyến nên $CM = \dfrac{1}{2}OA$.
  • Từ đó ta có $MA = MO = MB = MC$, do đó 4 điểm $O, A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn tâm $M$ đường kính $OA$.

2. Ta có $AB, AC$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ nên $AB = AC$, mặt khác $OB = OC = R$, suy ra $OA$ là đường trung trực của đoạn $BC$.

3. $OA$ là trung trực của $BC$ nên $OA \bot BC$ tại $H$.
Tam giác $OBA$ vuông tại $B$ có $BH$ là đường cao nên $OH\cdot OA = OB^2 = R^2$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$. $d_1$ là tiếp tuyến tại $A$ và $d_2$ là tiếp tuyến tại $B$. $C$ là một điểm thuộc đường tròn $(O)$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $d_1$ và $d_2$ lần lượt tại $D, E$.
1. Chứng minh $DE = AD + BE$.
2. Chứng minh $\angle DOE = 90^\circ$ và $CD\cdot CE = R^2$.

Gợi ý

1.

  • Ta có tiếp tuyến tại $C$ và $A$ cắt nhau tại $D$ nên $DC = DA$.
  • Tiếp tuyến tại $C$ và tiếp tuyến tại $B$ cắt nhau tại $E$ nên $CE = BE$.
    Suy ra $DE = CD + CE = AD + BD$.

2.

  • Ta có $OD$ là phân giác của $\angle CAO$, $OE$ là phân giác của của $\angle BOC$ (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau).
  • Mà $\angle CAO$ và $\angle BOC$ là hai góc kề bù, suy ra $OD \bot OE$.
  • Ta có $OC \bot DE$ (t/c tiếp tuyến). Tam giác $DOE$ vuông tại $O$ có $OC$ là đường cao nên $CD.CE = OC^2 = R^2$.

Bài tập.

1.Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Dây cung $AB = R\sqrt{3}$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $P$. $OP$ cắt $AB$ tại $K$.

a. Chứng minh $OK \bot AB$. Tính $OK$.
b.Tính $PA, PB$. Chứng minh tam giác $PAB$ đều.

2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

a.Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn.
b.Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.
c.Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BH, CH$. Chứng minh rằng $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$.

3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính $AB = 2R$. Trên tiếp tuyến tại $A$ của nửa đường tròn lấy điểm $D$ sao cho $\angle ABD = 30^\circ$, $BD$ cắt $(O)$ tại $C$. Từ $D$ vẽ tiếp tuyến $DE$ đến $(O)$.

a.Tính $BD, AC$.
b. Tính $DE$.
c.Gọi $F$ là trung điểm của $AD$. Chứng minh $CF$ là tiếp tuyến của $(O)$.
d.Gọi $M$ là giao điểm của $OD$ và $AE$, chứng minh $FM \bot OE$.

4. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, $C$ là một điểm thuộc nửa đường tròn sao cho $AC = R$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $O$ qua $C$.

a. Chứng minh rằng $DA$ là tiếp tuyến của $(O)$.
b. Từ $D$ vẽ tiếp tuyến $DE$ đến $(O)$ ($E$ khác $A$). Tính $DE$ và chứng minh tam giác $ADE$ đều.
c. Tứ giác $OACE$ là hình gì? Tại sao?
d.$DB$ cắt $(O)$ tại $F$. Tính $DF$. Chứng minh $\angle DBE =\angle DEF$.

5. Cho đường tròn tâm $O$, điểm $E$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $EM, EN$ với đường tròn ($M, N$ là các tiếp điểm).
a.Chứng minh $OE$ vuông góc với $MN$.
b.Vẽ đường kính $NB$ của đường tròn $(O)$. Biết $OE \bot MN$ tại $H$. Chứng minh tứ giác $OBMH$ là hình thang.
c. Biết $OM = 2, OE = 4$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $EMN$.
d.Tính diện tích tam giác $EMN$.

 

 

Đường kính và dây cung

Leave a reply

Định lý.  Trong một đường tròn

  • Đường kính vuông góc với dây cung không đi qua tâm thì đi qua trung điểm dây cung đó.
  • Ngược lại, nếu đường kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung đó.

Ví dụ 1. Tìm $x$ độ dài dây cung trong các hình sau:

Gợi ý

a. Ta có $DC^2 + AD^2 = AC^2$, suy ra $CD^2 = 5^2-3^2 = 16$, $CD = 4$.

Khi đó $BC = 2CD = 8$.

b. Ta có $\cot EFH = \dfrac{FH}{EH}$, suy ra $FH = EH. \cot \angle EFH = 1. \cot 22.77^\circ = 2.32$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn đường kính $AB = 10cm$ tâm $O$. Trên đoạn $OA$ lấy điểm $D$ sao cho $OD = 3cm$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc $AB$ cắt $(O)$ tại $E, F$. Tính $\angle EBF$.

Gợi ý

Ta có $OE = OB = 5cm$.

$DE^2 + OD^2 = OE^2$, suy ra $DE^2 = OE^2 – OD^2 = 5^2 – 3^2 = 16$, $DE = 4$.

$\tan \angle EBD = \dfrac{DE}{BD} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$

$\angle EBD = 26.57^\circ$

Ta có $OD \bot EF$, suy ra $D$ là trung điểm $EF$. Do đó tam giác $EBF$ cân tại $B$.

Suy ra $\angle EBF = 2 \angle EBD = 52.14^\circ$

Bài tập. 

1.Tính các yếu tố chưa biết trong các hình sau:

2. Tính $x$ trong hình sau:

 

3. Trong hình dưới đây cho $DF = 1cm, AE = 2\sqrt{3} cm$. Tính bán kính $x$ của đường tròn.

4. Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $I$ nằm trong đường tròn. $AB$ là dây cung thay đổi qua $I$.

a.Chứng minh rằng trung điểm $AB$ thuộc một đường cố định.

b.Chứng minh $IA.IB$ không đổi.

5. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và $I$ là một điểm nằm trong đường tròn. Hai dây cung $AB$ và $CD$ thay đổi vuông góc với nhau tại $I$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

a. Chứng minh $MN$ có độ dài không đổi.

b. Chứng minh $AB^2 + CD^2$ không đổi. Tìm giá trị lớn nhất diện tích tứ giác $ACBD$.

 

Sự xác định đường tròn

Leave a reply

Định lý. Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định được một đường tròn.

Chú ý. Tâm $O$ của đường tròn qua 3 đỉnh $A, B, C$ là giao điểm ba đường trung trực của các cạnh của tam giác $ABC$. Đường tròn qua 3 đỉnh của tam giác $ABC$ được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, tam giác $ABC$ được gọi là tam giác nội tiếp đường trò $(O)$.}

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 6, BC = 10$. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Gợi ý
  • Gọi $O$ là trung điểm cạnh $BC$.
  • Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AO$ là trung tuyến nên $AO = \dfrac{1}{2}BC$.
  • Suy ra $AO = OB = OC$. Vậy $O$ là tâm đường tròn qua 3 đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$.
  • Ta có $BC = \sqrt{AB^2+AC^2}= \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. Suy ra $OA = \dfrac{1}{2} BC = 5$.
  • Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông $ABC$ là trung điểm $O$ của $BC$ và bán kính bằng $OA =5$.

Ví dụ 2. Cho hình chữ nhận $ABCD$ có $\angle ABD = 60^\circ, AB = a$. Chứng minh 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn, xác định tâm và tính bán kính của đường tròn.

Gợi ý
  • Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
  • $ABCD$ là hình chữ nhật nên $OA = OB = OC = OD$, đó đó 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$.
  • Ta có $\cos \angle ABD = \dfrac{AB}{AD}$, hay $\cos 60^\circ = \dfrac{a}{BD}$, suy ra $BD = 2a$. Từ đó $OB = a$.
  • Vậy bán kính đường tròn là $a$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có $AB  = AC = 5cm, BC = 6cm$.

a. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.

b. Vẽ đường kính $BD$. Tính $AD$ và $CD$.  \item Chứng minh $\angle ADB = \angle ABC$.

Gợi ý

a.

  • Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tam giác $ABC$ cân nên $AM$ là trung trực của $BC$.
  • Trung trực của $AB$ cắt $AB$ tại $E$ và cắt $AM$ tại $O$, thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
  • Ta có $\Delta AEO \backsim \Delta AMB$, suy ra $AE\cdot AB = AO\cdot AM$, suy ra $AO = \dfrac{AE\cdot AB}{AM}$.
  • Mà $AE = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{5}{2}, AM = \sqrt{AB^2-BM^2}= 4$.  Suy ra $AO = \dfrac{25}{8}$.
  • Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $\dfrac{25}{8}$.

b.

  • Ta có $BD = 2OA = \dfrac{25}{4}$.
  • Tam giác $ABD$ có trung tuyến $AO$ bằng $\dfrac{1}{2}BD$ nên vuông tại $A$, suy ra $AD = \sqrt{BD^2-AB^2}= \dfrac{15}{4}$.
  • Ta có $CD = \sqrt{BD^2-BC^2}= \dfrac{\sqrt{481}}{4}$.
  • Ta có $\angle ABD + \angle ADB = 90^\circ$, $\angle ABC = \angle BAM = 90^\circ$.
  • Mà $\angle ABD = \angle BAM$ (do tam giác $OAB$ cân tại $O$), suy ra $\angle ABD = \angle ADB$.

Bài tập.

1. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác trong các trường hợp sau.

a. Tam giác đều cạnh a.

b. Tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 6 và 8.

c. Tam giác cân có các cạnh là 12, 12, 10.

2. Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AD$ với $AD = DC = 4, DB = 2$. Gọi $E, F$ chân đường vuông góc từ $D$ đến $AB, AC$.

a. Tính $AE, AF$.  \item Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$.

b. Trung trực của $BC$ cắt $DF$ tại $O$. Chứng minh $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính $OA$.

3. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. $C$ là điểm thay đổi thuộc nửa đường tròn. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc vuông góc của $C$ trên $AB$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên các cạnh $AC, BC$. Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $CH$.

a. Tìm vị trí của $C$ để $DE$ đạt giá trị lớn nhất.

b. Gọi $F$ là giao điểm của $OC$ và $DE$. Chứng minh 4 điểm $I, H, O,F$ cùng thuộc một đường tròn.

c. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $DE$ và đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AB$ cắt nhau tại điểm $K$. Chứng minh $IK$ không đổi và 4 điểm $A, B, D, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $K$.

Bảng lượng giác

Leave a reply

Sử dụng bảng lượng giác cho các góc có số đi đặc biệt trên, ta có thể tích chính xác độ dài các cạnh.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 2cm, \angle ABC  = 30^\circ$. Tính $AC, BC$.

Gợi ý

Ta có

  • $\cos \angle B = \dfrac{AB}{BC}$
  • $\cos 30^\circ = \dfrac{2}{BC}$
  • $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2}{BC}$
  • $BC = \dfrac{4}{\sqrt{3}}$.
  • Suy ra $AC = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 1, AC = \sqrt{3}, BC = 2$. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$.

Gợi ý
  • Ta có $AB^2 +AC^2 = 1 +3  = 4 = BC^2$, suy tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vậy $\angle BAC = 90^\circ$.
  • Ta có $\sin \angle ABC = \dfrac{AC}{BC}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\angle ABC = 60^\circ$.
  • Và  $\angle ACB = 180^\circ – \angle BAC – \angle ABC = 30^\circ$.

Bài tập

  1. Tính chính xác các yếu tố chưa biết.

Gợi ý

2. Cho tam giác $ABC$ có $\angle ABC = 60^\circ, \angle ACB = 45^\circ$, đường cao $AH = \sqrt{3}$.

a. Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.

b. Dựng đường cao $BK$. Tính $BK$ và $\sin \angle BAC$.

Gợi ý

a. $AB .\sin \angle ABC = AH \Leftrightarrow AB \sin 60^\circ = \sqrt{3} \Leftrightarrow AB \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$, suy ra $AB = 2$.

Tam giác $AHC$ vuông cân, suy ra $AC = \sqrt{2}AH = \sqrt{6}$.

$BH = \sqrt{AB^2-AH^2} = 1, CH = AH = \sqrt{3}$.

Suy ra $BC = 1 + \sqrt{3}$.

b. Ta có $BK = BC. \sin \angle BCK = (1+\sqrt{3})\sin 45^\circ = \dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.

Suy ra $\sin \angle BAC = \dfrac{BK}{AB} = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Leave a reply

Để định nghĩa tỉ số của một góc nhọn $\alpha$ ta xét tam giác vuông $ABC$ tại $A$, trong đó $\angle ABC = \alpha$, khi đó $AB$ là cạnh kề $\alpha$, $AC$ là cạnh đối, và $BC$ là cạnh huyền. Ta định nghĩa các tỉ số lượng giác của $\alpha$ như sau:

Tỉ số lượng giác của góc nhọn.
  •  $\sin \alpha = \dfrac{đối}{huyền}=\dfrac{đ}{h}$
  • $\cos \alpha = \dfrac{kề}{huyền}=\dfrac{k}{h}$
  • $\tan \alpha = \dfrac{đối}{kề} = \dfrac{đ}{k}$
  • $\cot \alpha = \dfrac{kề}{đối} = \dfrac{k}{đ}$
  Tính chất
  • $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
  • $\tan \alpha .\cot \alpha = 1$.
  • $0 < \sin \alpha < 1, 0 < \cos \alpha < 1$.

Bảng Tỉ số lượng giác của một số góc thường gặp

Ta sử dụng Tỉ số lượng giác của góc nhọn để dùng trong các nội dung sau:

  • Trong một tam giác vuông, nếu ta biết số đo một góc nhọn và độ dài một cạnh thì ta có thể tính được độ dài các cạnh còn lại. Nếu biết độ dài 2 cạnh ta có thể tính được số đo của các góc nhọn.
  • Dùng để tính toán, đo đạc độ dài, tính số đo góc
  • Dùng thiết lập các đẳng thức, bất đẳng thức hình học
  • Ứng dụng thực tế là đo chiều cao, chiều dài, …một số đối tượng thực tế.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3, AC = 4$. Tính $\sin \angle B, \cos B, \tan \angle B$.

Gợi ý

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$, suy ra $BC = 5$.

Khi đó $\sin \angle B = \dfrac{d}{h} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{5}$.

$\cos \angle B = \dfrac{k}{h} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5}$.

$\tan \angle B = \dfrac{đ}{k} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{3}$

Ví dụ 2. Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ có $A B=10, B C=12$.
a) Tính $\sin A B C$.
b) Vẽ đường cao $B K$. Tính $B K$ và $\sin B A C$.

 

Gợi ý

a) Gọi $M$ là trung điểm cạnh $B C$, ta có $A M \perp B C$.
$M B=\frac{1}{2} B C=6$, suy ra $A M=$ $\sqrt{A B^2-B M^2}=8$.
$$
\sin A B C=\frac{A M}{A B}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} \text {. }
$$
b) Vẽ đường cao $B K$.
Ta có $\triangle C K B \backsim \triangle C M A$, suy ra $\frac{B K}{A M}=$ $\frac{C B}{A C} \Rightarrow B K=\frac{A M \cdot B C}{A C}=\frac{48}{5}$.
Khi đó $\sin B A C=\frac{B K}{A B}=\frac{48}{50}=\frac{24}{25}$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A C=2, \sin A B C=\frac{1}{3}$. Tính $A B$.

Gợi ý

Ta có 
$$
\sin A B C=\frac{A C}{B C}=\frac{1}{3} \text {, suy ra } B C=3 A C=6 .
$$

Từ đó $A B=\sqrt{B C^2-A C^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4 \sqrt{2}$.

Ví dụ 4. Cho tam giác $A B C$ có $A B=1, A C=\sqrt{3}, B C=2$. Tính số đo các góc của tam giác $A B C$.

Gợi ý

Ta có $A B^2+A C^2=1+3=4=B C^2$, suy tam giác $A B C$ vuông tại $A$, vậy $\angle B A C=90^{\circ}$.
Ta có $\sin A B C=\frac{A C}{B C}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\angle A B C=$ $60^{\circ}$.
Và $\angle A C B=180^{\circ}-\angle B A C-\angle A B C=30^{\circ}$.

Ví dụ 5. Cho tam giác $A B C$ có $\angle A B C=60^{\circ}, \angle A C B=45^{\circ}$, đường cao $A H=\sqrt{3}$.
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác $A B C$.
b) Dựng đường cao $B K$. Tính $B K$ và $\sin B A C$.

Gợi ý

a) $A B \cdot \sin A B C=A H \Leftrightarrow A B \sin 60^{\circ}=$ $\sqrt{3} \Leftrightarrow A B \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$, suy ra $A B=2$.
Tam giác $A H C$ vuông cân, suy ra $A C=$ $\sqrt{2} A H=\sqrt{6}$.
$B H=\sqrt{A B^2-A H^2}=1, C H=A H=$ $\sqrt{3}$.
Suy ra $B C=1+\sqrt{3}$.
b) Ta có $B K=B C \cdot \sin B C K=(1+$ $\sqrt{3}) \sin 45^{\circ}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.

Bài tập

Bài 1. Tìm độ dài cạnh và số đo các góc chưa biết của tam giác $A B C$ trong các trường hợp sau (làm tròn góc nếu cần).
a) $A B=15, \angle A=90^{\circ}, \angle C=60^{\circ}$.
b) $\angle A=90^{\circ}, A B=2, B C=4$.
c) $A B=3, B C=5, A C=4$.
d) $A B=12, \angle A=30^{\circ}, \angle B=60^{\circ}$.

Bài 2. Tìm độ dài cạnh và số đo các góc chưa biết của tam giác $A B C$ trong các trường hợp sau:
a) $\angle A=90^{\circ}, \tan B=\frac{1}{2}, A C=5$.
b) $\angle A=90^{\circ}, \cos B=\frac{2}{3}, A B=3$.
c) $\angle A=75^{\circ}, \angle B=60^{\circ}, B C=1+\sqrt{3}$.

Bài 3. Cho tam giác $A B C$ vuông tại  $A$  và $B C=2 A B$. Tính số đo các góc của tam giác $A B C$. 

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ thỏa $\frac{A B}{1}=\frac{B C}{2}=\frac{A C}{\sqrt{3}} $.

Tính số đo các góc của tam giác $ A B C$.

Bài 5. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, đường cao $A H$. Biết $\angle A B C=60^{\circ}$ và $A H=\sqrt{3}$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $A B C$.