Tag Archives: Daiso

Phương trình tích

Leave a reply

1. Kiến thức cần nhớ

Tính chất: $A (x) \cdot B (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A (x) = 0 \\ B (x) = 0 \end{array}$

Phương pháp: Các bước giải phương trình tích như sau:

Bước 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tổng quát $A (x) \cdot B (x) = 0$ bằng cách chuyển tất cả các hạng tử của phương trình về vế trái, khi đó vế phải bằng $0$ . Phân tích đa thức ở vế trái thành nhân tử.
Bước 2: Giải phương trình và kết luận.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a/ $(4 x + 8) (3 x - 6) = 0$
b/ $(x - 2) (4 x - 12) = 0$

Giải

a/ $(4 x + 8) (3 x - 6) = 0$
$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 x + 8 = 0 \\ 3 x - 6 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 2 \end{array}$
Vậy $S = {- 2; 2}$

b/ $(x - 2) (4 x - 12) = 0$
$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 2 = 0 \\ 4 x - 12 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 3 \end{array}$
Vậy $S = {2; 3}$

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a/ $(2 x - 6) (x + 21) (12 - 3 x) = 0$
b/ $(2 x + 7) (x - 5) (5 x - 1) = 0$

Giải

a/ $(2 x - 6) (x + 21) (12 - 3 x) = 0$
$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 6 = 0 \\ x + 21 = 0 \\ 12 - 3 x = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = - 21 \\ x = 4 \end{array}$
Vậy $S = {3; - 21; 4}$

b/ $(2 x + 7) (x - 5) (5 x - 1) = 0$
$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x + 7 = 0 \\ x - 5 = 0 \\ 5 x - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{- 7}{2} \\ x = 5 \\ x = \frac{1}{5} \end{array}$
Vậy $S = {\frac{- 7}{2}; 5; \frac{1}{5}}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a/ $(x + 2) (x - 3) = 0$
b/ $(2 x + 1) (2 - 3 x) = 0$
c/ $(5 x - 4) (4 x + 6) = 0$
d/ $(4 x + 2) (x^{2} + 1) = 0$
e/ $(2 x + 7) (x - 5) (5 x + 1) = 0$
f/ $(x - 1) (2 x + 7) (x^{2} + 2) = 0$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a/ $(4 x - 10) (24 + 5 x) = 0$
b/ $(x - 5) (3 - 2 x) (3 x + 4) = 0$
c/ $(2 x + 1) (x^{2} + 2) = 0$
d/ $2 x (x - 3) + 5 (x - 3) = 0$
e/ $(x^{2} - 4) (5 x - 4) (x^{3} + 1) = 0$
f/ $(3 x - 2) (4 x + 5) = 0$

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a/ $(5 x + 2) (x - 7) = 0$
b/ $15 (x + 9) (x - 3) (x + 21) = 0$
c/ $(x^{2} + 1) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$
d/ $(3 x - 2) [\frac{2 (x + 3)}{7} - \frac{4 x - 3}{5}] = 0$

Hệ phương trình – Phương pháp cộng đại số – Hệ phương trình đối xứng loại hai

Leave a reply

1. Phương pháp cộng đại số – Hệ phương trình đối xứng loại hai

Từ một hệ phương trình gồm có hai hay nhiều phương trình, ví dụ ${\begin{cases} f (x, y) = 0 (1) \\ g (x, y) = 0 (2) \end{cases}$ , ta tạo ra một hệ mới tương đương với hệ đã cho, bằng cách tạo thêm một phương trình dạng $a f (x, y) + b g (x, y) = 0$ , việc chọn lựa các hệ số $a, b$ đòi hỏi nhiều kinh nghiệm vì phương trình mới tạo ra phải đơn giản hơn, hoặc có ý để giúp giải được hệ.

Hệ đối xứng loại hai là hệ có dạng ${\begin{cases} f (x, y) = 0 (1) \\ g (x, y) = 0 (2) \end{cases}$ trong đó $f (y, x) = g (x, y)$ và $g (y, x) = f (x, y)$ . Để giải hệ này ta lấy $(1)$ trừ $(2)$ , sau đó xử lý tiếp.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x + 3 y = 2 x^{2} \\ y + 3 x = 2 y^{2} \end{cases}$ $(*)$

Giải

Ta có $(*) \Leftrightarrow {\begin{cases} x + 3 y = 2 x^{2} \\ - 2 (x - y) = 2 (x^{2} - y^{2}) \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x + 3 y = 2 x^{2} (1) \\ 2 (x - y) (x + y + 1) = 0 (2) \end{cases}$ .

Từ (2) suy ra $y = - x - 1$ hoặc $x = y$ .

Trường hợp $y = - x - 1$ thay vào (1) ta được $x + 3 (- x - 1) = 2 x^{2}$ (vô nghiệm).

Trường hợp $x = y$ thay vào (1) ta được $4 x = 2 x^{2} \Leftrightarrow 2 x (x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 0$ .

Vậy $(x, y) = (2; 2)$ hoặc $(x, y) = (0; 0)$ .

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x^{3} + 1 = 2 y \\ y^{3} + 1 = 2 x . \end{cases}$ $(*)$

Giải

$(*) \Leftrightarrow {\begin{cases} x^{3} + 1 = 2 y \\ (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = - 2 (x - y) \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x^{3} + 1 = 2 y (1) \\ (x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 2) = 0 (2) \end{cases}$

$(2) \Leftrightarrow x = y$ hoặc $x^{2} + x y + y^{2} + 2 = 0$ .

Trường hợp $x = y$ thay vào (1) ta được $x^{3} - 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} + x - 1) = 0.$

Suy ra $x = 1$ hoặc $x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2} .$

Trường hợp $x^{2} + x y + y^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow (x - \frac{y}{2})^{2} + \frac{3 y^{2}}{4} + 2 = 0$ (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm $(x, y) = (1, 1)$ hoặc $(x, y) = (\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}, \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}) .$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} 3 y = \frac{y^{2} + 2}{x^{2}} \\ 3 x = \frac{x^{2} + 2}{y^{2}} \end{cases}$ $(*)$

Giải

Điều kiện $x y \neq 0$ .

$(*) \Leftrightarrow {\begin{cases} 3 x^{2} y = y^{2} + 2 \\ 3 x y^{2} = x^{2} + 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 3 y x^{2} = y^{2} + 2 (1) \\ 3 x y (x - y) = - (x - y) (x + y) (2) \end{cases}$

$(2) \Leftrightarrow (x - y) (x + y + 3 x y) = 0$ .

Trường hợp $x = y$ , thay vào (1) ta được $3 x^{3} - x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (3 x^{2} + 2 x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow x = 1$ hoặc $3 x^{2} + 2 x + 2 = 0$ (vô nghiệm).

Vậy $(x, y) = (1, 1)$ .

Trường hợp $x + y + 3 x y = 0$ không xảy ra. Thật vậy, để ý rằng từ hệ phương trình đã cho nếu có nghiệm $(x, y)$ thì $x, y > 0$ do đó $x + y + 3 x y > 0$ .

Vậy hệ có nghiệm $(x, y) = (1, 1) .$

Trên đây là các hệ phương trình đối xứng loại hai, sau đây ta xét các ví dụ về một số hệ không mẫu mực khác, sử dụng phương pháp cộng đại số. Chú ý, tạo ra phương trình mới thì phương trình mới có thể xuất hiện hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử được…

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x^{2} + 6 y = 6 x \\ y^{2} + 9 = 2 x y \end{cases}$

Giải

Lấy phương trình $(1)$ cộng phương trình $(2)$ ta có $x^{2} + y^{2} - 2 x y + 6 (y - x) + 9 = 0 \Leftrightarrow (y - x + 3)^{2} = 0 \Leftrightarrow y = x - 3$ .

Thế vào $(1)$ ta có: $x^{2} + 6 (x - 3) = 6 x \Leftrightarrow x = 3 \sqrt{2}, x = - 3 \sqrt{2}$ .

Với $x = 3 \sqrt{2} \Rightarrow y = 3 \sqrt{2} - 3$ .

Với $x = - 3 \sqrt{2} \Rightarrow y = - 3 \sqrt{2} - 3$ .

Vậy hệ có hai nghiệm $(x; y)$ là $(3 \sqrt{2}; 3 \sqrt{2} - 3); (- 3 \sqrt{2}; - 3 \sqrt{2} - 3)$ .

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y = 3 \\ x^{2} + 2 x y = 7 x + 5 y - 9. \end{cases}$

Giải

Cộng vế theo theo vế hai phương trình ta được

$2 x^{2} + y^{2} + 3 x y - 7 x - 5 y + 6 = 0$

$\Leftrightarrow y^{2} + (3 x - 5) y + 2 x^{2} - 7 x + 6 = 0$

$\Leftrightarrow y^{2} + (3 x - 5) y + (2 x - 3) (x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow (y + 2 x - 3) (y + x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow y + 2 x - 3 = 0 hoặc y + x - 2 = 0.$

Trường hợp ${\begin{cases} y + 2 x - 3 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + x y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} y = 3 - 2 x \\ 3 x^{2} - 9 x + 6 = 0. \end{cases}$ .

Ta được ${\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}$ hoặc ${\begin{cases} x = 2 \\ y = - 1. \end{cases}$

Trường hợp ${\begin{cases} y + x - 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + x y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} y = 2 - x \\ x^{2} - 2 x + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 1 \\ y = 1. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm $(x, y) \in {(1; 1); (2; - 1)} .$

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 4 x y = 6 \\ 2 x^{2} + 8 = 3 y + 7 x \end{cases}$ $(*)$

Giải

$(*) \Leftrightarrow {\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 4 x y = 6 \\ 4 x^{2} + 16 = 6 y + 14 x . \end{cases}$

Cộng vế theo vế của hai phương trình ta được

$5 x^{2} + y^{2} + 4 x y - 6 y - 14 x + 10 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)^{2} + (2 x + y - 3)^{2} = 0$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 1 \\ 2 x + y = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 1 \\ y = 1. \end{cases}$

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x^{2} y + 2 x + 3 y = 6 \\ 3 x y + x + y = 5 \end{cases}$ .

Giải

Trừ vế theo vế hai phương trình ta được $x^{2} y - 3 x y + x + 2 y - 1 = 0.$

Dễ thấy với $y = 0$ thì $(x, 0)$ không thể là nghiệm của hệ nên ta chỉ xét $y \neq 0$ .

Chia hai vế của phương trình trên cho $y$ ta được

$x^{2} - 3 x + \frac{x}{y} + 2 - \frac{1}{y} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - (3 - \frac{1}{y}) x + (2 - \frac{1}{y}) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1) (x + \frac{1}{y} - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x = 1 hoặc x + \frac{1}{y} - 2 = 0.$

Trường hợp ${\begin{cases} x = 1 \\ 3 x y + x + y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 1 \\ y = 1. \end{cases}$

Trường hợp ${\begin{cases} x + \frac{1}{y} - 2 = 0 \\ 3 x y + x + y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x + \frac{1}{y} = 2 \\ 3 x + \frac{x}{y} + 1 = \frac{5}{y} . \end{cases}$

Suy ra $\frac{1}{y} = 2 - x$ và $3 x + x (2 - x) + 1 = 5 (2 - x) \Leftrightarrow x^{2} - 10 x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 1 hoặc x = 9.$

Vậy hệ có nghiệm $(x, y) \in {(1; 1); (9, - \frac{1}{7})}$ .

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 3 x = 0 \\ x y + y^{2} + 3 y + 1 = 0. \end{cases}$

Giải

Lấy phương trình thứ nhất cộng hai lần phương trình thứ hai ta được

$(x + 2 y)^{2} + 3 (x + 2 y) + 2 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 2 y + 1) (x + 2 y + 2) = 0.$

Trường hợp $x + 2 y + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 y - 1$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$y^{2} - 2 y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1 \pm \sqrt{2} .$

Với $y = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x = - 3 + \sqrt{5}$ .

Với $y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x = - 3 - \sqrt{5}$ .

Trường hợp $x + 2 y + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 y - 2$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$y^{2} - y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} .$

Với $y = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x = - 3 + \sqrt{5}$ .

Với $y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x = - 3 - \sqrt{5}$ .

Vậy hệ có nghiệm $(x, y) \in {(- 3 - 2 \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}); (- 3 + 2 \sqrt{2}; 1 - \sqrt{2}); (- 3 + \sqrt{5}; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}); (- 3 - \sqrt{5}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}$ .

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x^{3} (2 + 3 y) = 1 \\ x (y^{3} - 2) = 3. \end{cases}$

Giải

Dễ thấy $x \neq 0.$

Khi đó hệ tương đương ${\begin{cases} 2 + 3 y = \frac{1}{x^{3}} \\ y^{3} - 2 = \frac{3}{x} \end{cases}$

Cộng vế theo vế của hệ phương trình ta được

$y^{3} + 3 y = \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}$

$\Leftrightarrow y^{3} - \frac{1}{x^{3}} + 3 (y - \frac{1}{x}) = 0$

$\Leftrightarrow (y - \frac{1}{x}) (y^{2} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{y}{x} + 3) = 0$

$\Leftrightarrow (y - \frac{1}{x}) [{(y + \frac{1}{2 x})}^{2} + \frac{3}{4 x^{2}} + 3] = 0$

$\Leftrightarrow y = \frac{1}{x} .$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$\frac{1}{x^{3}} - 2 = \frac{3}{x} \Leftrightarrow 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 hoặc x = \frac{1}{2} .$

Với $x = - 1$ ta được $y = - 1$ , với $x = \frac{1}{2}$ ta được $y = 2$ .

Vậy hệ có nghiệm $(x, y) \in {(- 1; - 1); (\frac{1}{2}; 2)}$ .

2. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{cases} x^{2} - 2 x - y - 1 = 0 \\ y^{2} - 2 y - x - 1 = 0 \end{cases}$

b) ${\begin{cases} x^{3} + 3 x = 8 y \\ y^{3} + 3 y = 8 x \end{cases}$

c) ${\begin{cases} x^{3} = 5 x + y \\ y^{3} = 5 y + x \end{cases}$

d) ${\begin{cases} x - 3 y = 4 \frac{y}{x} \\ y - 3 x = 4 \frac{x}{y} \end{cases}$

e) ${\begin{cases} x y + x^{2} = 1 + y \\ x y + y^{2} = 1 + x \end{cases}$

f) ${\begin{cases} 3 y = \frac{y^{2} + 2}{x^{2}} \\ 3 x = \frac{x^{2} + 2}{y^{2}} \end{cases}$

g) ${\begin{cases} 3 x^{3} = x^{2} + 2 y^{2} \\ 3 y^{3} = y^{2} + 2 x^{2} \end{cases}$

h) ${\begin{cases} 3 x^{2} y - y^{2} - 2 = 0 \\ 3 y^{2} x - x^{2} - 2 = 0 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{cases} x + \sqrt{y + 3} = 3 \\ y + \sqrt{x + 3} = 3 \end{cases}$ .

b) ${\begin{cases} \sqrt{x + 5} + \sqrt{y - 2} = 7 \\ \sqrt{y + 5} + \sqrt{x - 2} = 7 \end{cases}$

c) ${\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{2 - x} = \sqrt{2} \\ \sqrt{y} + \sqrt{2 - x} = \sqrt{2} \end{cases}$

d) ${\begin{cases} x \sqrt{1 + y^{2}} + y \sqrt{1 + x^{2}} = 2 \\ x \sqrt{1 + x^{2}} + y \sqrt{1 + y^{2}} = 2 \end{cases}$

e) ${\begin{cases} \sqrt{x^{2} + 3} + 2 \sqrt{x} = 3 \sqrt{y} \\ \sqrt{y^{2} + 3} + 2 \sqrt{y} = 3 \sqrt{x} \end{cases}$

f) ${\begin{cases} x + \frac{2}{y} = \frac{3}{x} \\ y + \frac{2}{x} = \frac{3}{y} \end{cases}$

g) ${\begin{cases} 2 x + 3 \sqrt{5 - y} = 8 \\ 2 y + 3 \sqrt{5 - x} = 8 \end{cases}$

h) ${\begin{cases} \sqrt[3]{3 x + 5} = y + 1 \\ \sqrt[3]{3 y + 5} = x + 1 \end{cases}$

i) ${\begin{cases} x + 1 = \sqrt{2 + \sqrt{y + 3}} \\ y + 1 = \sqrt{2 + \sqrt{x + 3}} \end{cases}$

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau

a) ${\begin{cases} x^{2} (1 - 2 y) = y^{2} (4 x + 2 y) \\ 2 x^{2} + x y - y^{2} = x \end{cases}$

b) ${\begin{cases} x^{2} (y^{2} + 1) = 2 \\ x^{2} y^{2} + x y + 1 = 3 x^{2} \end{cases}$

c) ${\begin{cases} x^{2} + 2 = x (y - 1) \\ y^{2} - 7 = y (x - 1) \end{cases}$

d) ${\begin{cases} 4 x^{2} + y^{4} - 4 x y^{3} = 1 \\ 2 x^{2} + y^{2} - 2 x y = 1 \end{cases}$

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{cases} x^{2} + 2 x y + y = 4 \\ x^{2} + x y + 2 y + x = 5 \end{cases}$

b) ${\begin{cases} 2 x^{2} + 2 x y + y = 5 \\ y^{2} + x y + 5 x = 7 \end{cases}$

c) ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y = 3 \\ y^{2} - x y + 5 x + 4 y = 9 \end{cases}$

d) ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 2 \\ 4 (x + y) - x^{2} y^{2} = 7 \end{cases}$

e) ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x + y = 4 \\ x^{2} + 2 x y + 9 = 7 x + 5 \end{cases}$

Bài 5: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x^{2} + 7 = 5 y - 6 z \\ y^{2} + 7 = 10 z + 3 x \\ z^{2} + 7 = - x + 3 y \end{cases}$

Bài 6: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x^{3} + 3 x y^{2} + 3 x z^{2} - 6 x y z = 1 \\ y^{2} + 3 y x^{2} + 3 y z^{2} - 6 x y z = 1 \\ z^{3} + 3 z y^{2} + 3 z x^{2} - 6 x y z = 1. \end{cases}$

Bài 7: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} (x - 2 y) (x - 4 z) = 3 \\ (y - 2 z) (y - 4 x) = 5 \\ (z - 2 x) (z - 4 y) = - 8. \end{cases}$

Bài 8: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x (y z - 1) = 3 \\ y (z x - 1) = 4 \\ z (x y - 1) = 5. \end{cases}$

Bài 9: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} a b + c + d = 3 \\ b c + d + a = 5 \\ c d + a + b = 2 \\ d a + b + c = 6 \end{cases}$

Bài 10: Cho $a \in R$ . Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x_{1}^{2} + a x_{1} + (\frac{a - 1}{2})^{2} = x_{2} \\ x_{2}^{2} + a x_{2} + (\frac{a - 1}{2})^{2} = x_{3} \\ \dots \\ x_{n}^{2} + a x_{n} + (\frac{a - 1}{2})^{2} = x_{1} \end{cases}$

Hệ phương trình – Phương pháp thế

Leave a reply

Trong chương này đề cập đến một số phương pháp giải hệ phương trình cơ bản nhất: Phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp ẩn phụ, và phương pháp đánh giá. Qua các phương pháp chúng ta cũng đi qua một số dạng phương trình mẫu mực như: hệ phương trình đối xứng loại một, loại hai, hệ đẳng cấp, hệ hoán vị vòng quanh,…Ngoài ra là các hệ không mẫu mực ở mức độ vừa phải, không quá xấu về mặt hình thức, phù hợp với các bạn THCS.

1. Phương pháp thế

Nội dung phương pháp: Từ một trong các phương trình, tính được một hoặc nhiều biến theo một hoặc nhiều biến khác, sau đó thế hết vào các phương trình còn lại để số biến sẽ giảm lại.

Trong các phương pháp giải hệ phương trình thì Phương pháp thế là phương pháp quan trọng và được sử dụng nhiều nhất. Mục tiêu của việc thế là đưa hệ nhiều ẩn thành hệ ít ẩn hơn, hoặc đưa về phương trình một ẩn, từ đó có thể giải được bài toán.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x + 2 y = 3 \\ x^{2} - 3 y^{2} + 4 x y = 2 \end{cases}$

Giải

${\begin{cases} x + 2 y = 3 (1) \\ x^{2} - 3 y^{2} + 4 x y = 2 (2) \end{cases}$

Từ (1) ta có $x = 3 - 2 y$ , thế vào (2) ta có:

$(3 - 2 y)^{2} - 3 y^{2} + 4 (3 - 2 y) y = 2 \Leftrightarrow y^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 1 \\ y = - 1 \end{array}$

Với $y = 1 \Rightarrow x = 1$ .

Với $y = - 1 \Rightarrow x = 5$ .

Vậy hệ có 2 nghiệm $(x; y)$ là $(1; 1), (5; - 1)$ .

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x^{2} + x + y^{2} = 7 \\ x y - x + y = 3 \end{cases}$

Giải

Nếu $x = - 1$ thì phương trình thứ hai vô nghiệm.

Xét $x \neq - 1.$ Từ phương trình thứ hai ta được

$x y - x + y = 3 \Leftrightarrow y = \frac{x + 3}{x + 1}$ .

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được

$2 x^{2} + x + {(\frac{x + 3}{x + 1})}^{2} = 7$

$\Leftrightarrow (2 x^{2} + x - 6) + [{(\frac{x + 3}{x + 1})}^{2} - 1] = 0$

$\Leftrightarrow (x + 2) (2 x - 3) + \frac{4}{(x + 1)^{2}} (x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow x = - 2 hoặc 2 x^{3} + x^{2} - 4 x + 1 = 0.$

Trường hợp $x = - 2$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y = - 1$ .

Trường hợp $2 x^{3} + x^{2} - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (2 x^{2} + 3 x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x = 1 hoặc x = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4} .$

Với $x = 1$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y = 2.$

Với $x = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được $y = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{1 + \sqrt{17}}$ .

Vậy hệ có nghiệm $(x, y) \in {(- 2; - 1), (1; 2), (\frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}; \frac{9 \pm \sqrt{17}}{1 + \sqrt{17}})} .$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x^{2} y + 3 x y = 4 x^{2} + 9 y \\ 7 y + 6 = 2 x^{2} + 9 x . \end{cases}$

Giải

Từ phương trình thứ hai suy ra $y = \frac{2 x^{2} + 9 x - 6}{7}$ .

Thay vào phương trình thứ nhất ta được

$2 x^{2} (\frac{2 x^{2} + 9 x - 6}{7}) + 3 x (\frac{2 x^{2} + 9 x - 6}{7}) = \frac{7.4 x^{2}}{7} + 9 (\frac{2 x^{2} + 9 x - 6}{7})$

$\Leftrightarrow (2 x^{2} + 9 x - 6) (2 x^{2} + 3 x - 9) = 28 x^{2}$

$\Leftrightarrow 4 x^{4} + 24 x^{3} - 31 x^{2} - 99 x + 54 = 0$

$\Leftrightarrow (x - \frac{1}{2}) (x + 2) (4 x^{2} + 18 x - 54) = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{2} hoặc x = 2 hoặc x = \frac{- 9 \pm \sqrt{33}}{4} .$

Trường hợp $x = \frac{1}{2}$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y = - \frac{1}{7}$ .

Trường hợp $x = - 2$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y = - \frac{16}{7}$ .

Trường hợp $x = \frac{- 9 \pm \sqrt{33}}{4}$ thay vào phương trình thứ hai ta được $y = 3$ .

Vậy hệ có nghiệm $(x, y) \in {(\frac{1}{2}; - \frac{1}{7}); (- 2; - \frac{16}{7}); (\frac{- 9 \pm \sqrt{33}}{4}; 3)}$ .

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} 1 + x^{3} y^{3} = 19 x^{3} \\ y + x y^{2} = - 6 x^{2} . \end{cases}$

Giải

Nếu $x = 0$ thì hệ vô nghiệm.

Xét $x \neq 0$ . Nhân hai vế của phương trình thứ hai cho $x$ ta được $x y + x^{2} y^{2} = - 6 x^{3} .$

Thay vào phương trình thứ nhất ta được

$- 6 (1 + x^{3} y^{3}) = 19 (x y + x^{2} y^{2})$

$\Leftrightarrow x y = - \frac{2}{3} hoặc x y = - \frac{3}{2} hoặc x y = - 1.$

Trường hợp $x y = - \frac{2}{3}$ thay vào phương trình thứ nhất ta được ${\begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ y = - 2 \end{cases}$ .

Trường hợp $x y = - \frac{3}{2}$ ta được ${\begin{cases} x = - \frac{1}{2} \\ y = 3. \end{cases}$

Trường hợp $x y = - 1$ ta được $x = 0$ (loại).

Vậy hệ có nghiệm $(x, y) \in {(\frac{1}{3}; - 2), (\frac{- 1}{2}; 3)}$ .

Một số hệ phương trình nhiều khi phải biến đổi một vài bước thì mới xuất hiện phép thế.

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x y + x + y = x^{2} - 2 y^{2} \\ x \sqrt{2 y} - y \sqrt{x - 1} = 2 (x - y) . \end{cases}$

Giải

Điều kiện $x \geq 1, y \geq 0.$

Phương trình thứ nhất tương đương

$(x + y)^{2} - (x + y) - 3 y^{2} - 3 x y = 0$

$\Leftrightarrow (x + y) (x - 2 y - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x = - y hoặc x = 2 y + 1.$

Do $x \geq 1, y \geq 0$ nên trường hợp $x = - y$ không thể xảy ra.

Xét $x = 2 y + 1$ thay vào phương trình thứ hai ta được

$(2 y + 1) \sqrt{2 y} - y \sqrt{2 y} = 2 y + 2$

$\Leftrightarrow (y + 1) (\sqrt{2 y} - 2) = 0$

$\Leftrightarrow y = 2 (do y \geq 0)$

Suy ra $x = 5$ .

Vậy hệ có nghiệm $(x, y) = (5, 2) .$

Trong ví dụ trên thì từ một phương trình ta phân tích thành thừa số, từ đó có những phương trình đơn giản hơn và sử dụng phương pháp thế.Ta xét tiếp ví dụ sau:

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x y + x - 2 = 0 \\ 2 x^{3} - x^{2} y + x^{2} + y^{2} - 2 x y - y = 0. \end{cases}$

Giải

$2 x^{3} - x^{2} y + x^{2} + y^{2} - 2 x y - y = 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} - y) (2 x - y + 1) = 0$

$\Leftrightarrow y = x^{2} hoặc y = 2 x + 1.$

Vậy hệ có nghiệm $(x, y) \in {(1, 1), (\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}, \pm \sqrt{5})}$ .

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} y^{2} = (5 x + 4) (4 - x) \\ y^{2} - 5 x^{2} - 4 x y + 16 x - 8 y + 16 = 0 \end{cases}$

Giải

Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng $y^{2} - (4 x + 8) y - 5 x^{2} + 16 x + 16 = 0.$

Coi đây là phương trình bậc hai theo $y$ ta được $Δ = (4 x + 8)^{2} - 4 (- 5 x^{2} + 16 x + 16) = 36 x^{2} .$

Suy ra $y = \frac{4 x + 8 + 6 x}{2} = 5 x + 4$ hoặc $y = \frac{4 x + 8 - 6 x}{2} = 4 - x .$

Trường hợp $y = 5 x + 4$ thay vào phương trình đầu của hệ ta được $x (5 x + 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0 hoặc x = - \frac{4}{5} .$

Trường hợp này hệ có nghiệm $(x, y) \in {(0, 4), (- \frac{4}{5}, 0)}$ .

Trường hợp $y = 4 - x$ thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được $x (4 - x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 hoặc x = 4.$

Trường hợp này hệ có nghiệm $(x, y) \in {(0, 4), (4, 0)}$ .

Vậy hệ có nghiệm $(x, y) \in {(0, 4), (4, 0), (- \frac{4}{5}, 0)}$ .

Ngoài cách phân tích thành nhân tử, ta còn có một số biến đổi khác phức tạp hơn, ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} = x - y \\ y^{3} - x^{3} = y - x^{2} \end{cases}$ .

Giải

Ta có ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} = x - y \\ y^{3} - x^{3} = y - x^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x (x - 1) = - y (y + 1) \\ y (y - 1) (y + 1) = x^{2} (x - 1) . \end{cases}$

Thay phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được

$- x (x - 1) (y - 1) = x^{2} (x - 1)$

$\Leftrightarrow x (x - 1) (x + y - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = 1 - y .$

Trường hợp $x = 0$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $y = 0$ hoặc $y = - 1$ .

Trường hợp $x = 1$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $y = 0$ hoặc $y = - 1$ .

Trường hợp $x = 1 - y$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $y = 0.$

Ví dụ 9: Giải phương trình ${\begin{cases} (x - y)^{4} = 13 x - 4 \\ \sqrt{x + y} + \sqrt{3 x - y} = \sqrt{2} . \end{cases}$

Giải

Điều kiện ${\begin{cases} x + y \geq 0 \\ 3 x - y \geq 0. \end{cases}$

Khi đó $\sqrt{x + y} + \sqrt{3 x - y} = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow x + y + 3 x - y + 2 \sqrt{(x + y) (3 x - y)} = 2$

$\Leftrightarrow 1 - 2 x = \sqrt{(x + y) (3 x - y)}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 4 x^{2} - 4 x + 1 = 3 x^{2} + 2 x y - y^{2} \\ x \leq \frac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} (x - y)^{2} = 4 x - 1 \\ \frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{2} . \end{cases}$

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được

$(4 x - 1)^{2} = 13 x - 4$

$\Leftrightarrow 16 x^{2} - 21 x + 5 = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{5}{16} hoặc x = 1 (loại) .$

Với $x = \frac{5}{16}$ thì $y = - \frac{3}{16}$ .

Vậy hệ có nghiệm $(x; y)$ là $(\frac{5}{16}; - \frac{3}{16}) .$

2. Bài tập

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

a) ${\begin{cases} \sqrt{x + y} + \sqrt{2 x - 4} = 5 \\ 2 x + y = 14 \end{cases}$

b) ${\begin{cases} x + y = - 1 \\ x^{3} - 3 x = y^{3} - 3 y \end{cases}$

c) ${\begin{cases} x^{2} y + 2 (x^{2} + y) = 8 \\ x y + x + y = 5 \end{cases}$

d) ${\begin{cases} x^{2} + 5 x + y = 9 \\ 3 x^{3} + x^{2} y + 2 x y + 6 x^{2} = 18 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{cases} y^{2} - x y + 1 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 1 = 0 \end{cases}$

b) ${\begin{cases} x^{3} - 2 x y + 5 y = 7 \\ 3 x^{2} - 2 x + y = 3 \end{cases}$

c) ${\begin{cases} x - \sqrt{y + 1} = \frac{5}{2} \\ y + 2 (x - 3) \sqrt{x + 1} = - \frac{3}{4} \end{cases}$

d) ${\begin{cases} x^{4} + 2 x^{3} y + x^{2} y^{2} = 2 x + 9 \\ x^{2} + 2 x y = 6 x + 6 \end{cases}$

e) ${\begin{cases} x^{2} + 1 + y (y + x) = 4 y \\ (x^{2} + 1) (y + x - 2) = y \end{cases}$

f) ${\begin{cases} x (x + y + 1) - 3 = 0 \\ (x + y)^{2} - \frac{5}{x^{2}} + 1 = 0 \end{cases}$

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{cases} x - 2 y - \sqrt{x y} = 0 \\ \sqrt{x - 1} + \sqrt{4 y - 1} = 2 \end{cases}$

b) ${\begin{cases} \sqrt{2 x - 3} = (y^{2} + 2018) (5 - y) + \sqrt{y} \\ y (y - x + 2) = 3 x + 3 \end{cases}$

c) ${\begin{cases} 2 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2} + 3 x + 3 y - 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + 4 x y + 2 y = 0 \end{cases}$

d) ${\begin{cases} 2 x^{2} + x y - y^{2} - 5 x + y + 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + x + y - 4 = 0 \end{cases}$

e) ${\begin{cases} 2 x^{2} - 5 x y + 3 y^{2} = 0 \\ x^{2} - 2 x y = - 1 \end{cases}$

f) ${\begin{cases} x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 y^{3} = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} = 5 \end{cases}$

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau

a) ${\begin{cases} x + \frac{1}{x} = y + \frac{1}{y} \\ x + 2 y = 3 \end{cases}$

b) ${\begin{cases} x^{3} - 4 y^{3} = 6 x^{2} y - 9 x y^{2} \\ \sqrt{x + y} + \sqrt{x - y} = 2 \end{cases}$

c) ${\begin{cases} - x^{2} y + 2 x y^{2} + 3 y^{3} - 4 (x + y) = 0 \\ x y (x^{2} + y^{2}) - 1 = 3 x y - (x + y)^{2} \end{cases}$

d) ${\begin{cases} \sqrt{x - 1} + \sqrt{x} (3 \sqrt{x} - y) + x \sqrt{x} = 3 y + \sqrt{y - 1} \\ 3 x y^{2} + 4 = 4 x^{2} + 2 y + x \end{cases}$

e) ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} + \frac{2 x y}{x + y} = 1 \\ \sqrt{x + y} = x^{2} - y \end{cases}$

f) ${\begin{cases} y^{2} - x \sqrt{\frac{y^{2} + 2}{x}} = 2 x - 2 \\ \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt[3]{2 x - 1} = 1 \end{cases}$

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{cases} 2 x^{2} + y^{2} - 3 x y + 3 x - 2 y + 1 = 0 \\ 4 x^{2} - y^{2} + x + 4 = \sqrt{2 x + y} + \sqrt{x + 4 y} \end{cases}$

b) ${\begin{cases} 6 \frac{x}{y} - 2 = \sqrt{3 x - y} + 3 y \\ 2 \sqrt{3 x + \sqrt{3 x - y}} = 6 x + 3 y - 4. \end{cases}$

Phương trình bậc nhất

Leave a reply

1. Phương trình một ẩn

Định nghĩa: Một phương trình với ẩn $x$ có dạng $A (x) = B (x)$ , trong đó vế trái là $A (x)$ và vế phải là $B (x)$ là hai biểu thức của cùng một biến.

Ví dụ: $2 (x + 1) + 6 = 4 x$ là phương trình ẩn $x$ .

Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,… nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.

2. Phương trình tương đương

Định nghĩa: Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng một tập nghiệm.

Ví dụ: $x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3$

3. Phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa: Phương trình có dạng $a x + b = 0$ , với $a$ và $b$ là hai số đã cho và $a \neq 0$ , được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ: $2 x + 1 = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn.

4. Hai quy tắc biến đổi phương trình

Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc nhân với một số:
- Trong cùng một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác $0$ .
- Trong cùng một phương trình, ta có thể chia cả hai vế với cùng một số khác $0$ .

5. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn $a x + b = 0$
Phương trình bậc nhất một ẩn $a x + b = 0$ , được giải theo các bước sau:

Chuyển vế $a x = - b$
Chia hai vế cho $a$ , ta được: $x = - \frac{b}{a}$
Kết luận nghiệm $S = {\frac{- b}{a}}$

Tổng quát phương trình $a x + b = 0$ $(a \neq 0)$ được giải theo các bước sau:

$a x + b = 0$
$\Leftrightarrow a x = - b$
$\Leftrightarrow a = \frac{- b}{a}$

Vậy $S = {\frac{- b}{a}}$

6. Ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $2 x - 1 = 1$
b) $x - 7 = 4$
c) $7 x - 35 = 0$
d) $4 x - x - 18 = 0$

Giải

a) $2 x - 1 = 1 \Leftrightarrow 2 x = 2 \Leftrightarrow x = 1$ 6
Vậy $S = {1}$

b) $x - 7 = 4 \Leftrightarrow x = 11$
Vậy $S = {11}$

c) $7 x - 35 = 0 \Leftrightarrow 7 x = 35 \Leftrightarrow x = 5$
Vậy $S = {5}$

d) $4 x - x - 18 = 0 \Leftrightarrow 3 x = 18 \Leftrightarrow x = 6$
Vậy $S = {6}$

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $x - 6 = 8 - x$
b) $3 x - 2 = 2 x - 3$
c) $7 - 2 x = 22 - 3 x$
d) $x - 12 - 4 x = 25 + 3 x - 1$
e) $2 x - 1 + 2 (2 + x) = 1$
f) $2 (x + 3) = 2 (4 - x) + 14$

Giải

a) $x - 6 = 8 - x$
$\Leftrightarrow 2 x = 14$
$\Leftrightarrow x = 7$
Vậy $S = {7}$

b) $3 x - 2 = 2 x - 3$
$\Leftrightarrow x = - 1$
Vậy $S = {- 1}$

c) $7 - 2 x = 22 - 3 x$
$\Leftrightarrow x = 15$
Vậy $S = {15}$

d) $x - 12 - 4 x = 25 + 3 x - 1$
$\Leftrightarrow - 6 x = 36$
$\Leftrightarrow x = - 6$
Vậy $S = {- 6}$

e) $2 x - 1 + 2 (2 + x) = - 1$
$\Leftrightarrow 2 x - 1 + 4 + 2 x = 1$
$\Leftrightarrow 4 x = - 4$
$\Leftrightarrow x = - 1$
Vậy $S = {- 1}$

f) $2 (x + 3) = 2 (4 - x) + 14$
$\Leftrightarrow 2 x + 6 = 8 - 2 x + 14$
$\Leftrightarrow 4 x = 16$
$\Leftrightarrow x = 4$
Vậy $S = {4}$

Ví dụ 3:

a) Tìm giá trị của $m$ sao cho phương trình $2 x - 2 m = x + 9$ nhận $x = - 5$ là nghiệm.
b) Tìm giá trị của $m$ sao cho phương trình $4 x + m^{2} = 24$ nhận $x = 5$ là nghiệm.
c) Giải và biện luận nghiệm của phương trình $2 (m x + 5) + 4 (x + m) = m$ theo $m$ .

Giải

a) Tìm giá trị của $m$ sao cho phương trình $2 x - 2 m = x + 9$ nhận $x = - 5$ là nghiệm.

Thay $x = - 5$ vào phương trình, ta được:
$2 (- 5) - 2 m = - 5 + 9$
$\Leftrightarrow - 2 m = 14$
$\Leftrightarrow m = - 7$
Vậy $m = - 7$ là giá trị cần tìm.

b) Tìm giá trị của $m$ sao cho phương trình $4 x + m^{2} = 24$ nhận $x = 5$ là nghiệm.

Thay $x = 5$ vào phương trình, ta được:
$4 \cdot 5 + m^{2} = 24$
$\Leftrightarrow m^{2} = 4$
$\Leftrightarrow m = \pm 2$
Vậy $m = 2$ và $m = - 2$ là giá trị cần tìm.

c) Giải và biện luận nghiệm của phương trình $2 (m x + 5) + 4 (x + m) = m$ theo $m$ .

Ta có:
$2 (m x + 5) + 4 (x + m) = m$
$\Leftrightarrow 2 m x + 10 + 4 x + 4 m = m$
$\Leftrightarrow (2 m + 4) x = - 3 m - 10$

Biện luận:

Nếu $2 m + 4 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq - 2 \Rightarrow$ Phương trình có nghiệm $x = \frac{- 3 m - 10}{2 m + 4}$
Nếu $2 m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = - 2 \Rightarrow$ Phương trình có dạng $0 x = - 4 \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

Với $m \neq - 2$ , phương trình có tập nghiệm $S = {\frac{- 3 m - 10}{2 m + 4}}$
Với $m = - 2$ , phương trình vô nghiệm hay $S = {\emptyset}$

7. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $12 - 6 x = 0$
b) $3 x + 3 = - 3$
c) $4 x + 6 = 14$
d) $x - 7 x - 18 = 6$
e) $3 x + 9 - 6 x = 27$
f) $2 x + x + 120 = - 3$

Đ/A:
a) $x = 2$
b) $= - 2$
c) $x = 2$
d) $x = - 4$
e) $x = - 6$
f) $x = - 41$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $x - 5 = 3 - x$
b) $7 - 3 x = 9 - x$
c) $\frac{- 5}{9} x + 1 = \frac{2}{3} x - 10$
d) $2 (x + 1) = 6 - 2 x$
e) $11 - 8 x - 3 = 5 x - 20 + x$
f) $3 - 4 y + 24 + 6 y = y + 27 + 3 y$
g) $x + 2 x + 3 x = 3 x + 9$
h) $4 - 2 x + 15 = - (9 x + 1 - 2 x)$

Đ/A:
a) $x = 4$
b) $x = - 1$
c) $x = 9$
d) $x = 1$
e) $x = 2$
f) $x = 0$
g) $x = 3$
h) $x = - 4$

Bài 3:

a) Tìm giá trị của $m$ , biết rằng phương trình $5 x + 2 m = 22$ nhận $x = 2$ làm nghiệm.
b) Tìm $m$ để phương trình $(m^{2} - m) x = 2 x + m^{2} - 1$ có nghiệm duy nhất.
c) Tìm $m$ để phương trình $m (4 m x - 3 m + 2) = x (m + 3)$ có nghiệm duy nhất.
d) Tìm $m$ để phương trình $m^{2} (x - m) = x - 3 m + 2$ vô nghiệm.

Đ/A:
a) $m = 6$
b) $m \neq - 1$ và $n e m \neq 2$ . Tập nghiệm $S = {\frac{m - 1}{m - 2}}$
c) $m \neq 1$ và $m \neq \frac{- 3}{4}$ . Tập nghiệm $S = {\frac{3 m^{2} - 2 m}{4 m^{2} - m - 3}}$
d) $m = \pm 1$

Bài 4: Giải và biện luận phương trình sau, với $m$ là tham số:

a) $(2 m - 4) x + 2 - m = 0$
b) $(m + 1) x = (3 m^{2} - 1) x + m - 1$

Đ/A:
a)
Nếu $m = 2$ thì phương trình có vô số nghiệm
Nếu $m \neq 2$ thì phương trình có tập nghiệm $S = {\frac{1}{2}}$
b)
Nếu $m = 1$ , phương trình vô số nghiệm
Nếu $m = \frac{- 2}{3}$ , phương trình vô nghiệm
Nếu $m \neq 1$ và $m \neq \frac{- 2}{3}$ , phương trình có nghiệm duy nhất với tập nghiệm $S = {\frac{- 1}{3 m + 2}}$

Phương trình vô tỉ – Phương pháp đặt ẩn phụ

Leave a reply

1. Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ sử dụng khi phương trình chứa một biểu thức lặp đi lặp lại nhiều lần, việc đặt ẩn phụ đưa phương trình về một phương trình đơn giản hơn, hoặc là đưa về dạng phương trình đã biết cách giải. Có rất nhiều dạng đặt ẩn phụ với nhiều dạng toán khác nhau, ở đây chúng tôi chỉ trình bày những dạng bài tập phù hợp nhất với chương trình trung học cơ sở, không đi sâu quá vào các ẩn phụ mẹo mực khác.

Chú ý. Khi đặt ẩn phụ thì nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ để giảm được các trường hợp cần xét.

Ví dụ 1: Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - x + 3} - \sqrt{- x^{2} + x + 2} = 1$ .

Giải

Đặt $t = \sqrt{- x^{2} + x + 2}, t \geq 0$ . Khi đó $t^{2} = - x^{2} + x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - x + 3 = 5 - t^{2} .$

Phương trình trở thành

$\sqrt{5 - t^{2}} - t = 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{5 - t^{2}} = t + 1$

$\Leftrightarrow 5 - t^{2} = (t + 1)^{2}$

$\Leftrightarrow t^{2} + t - 2 = 0$

$\Leftrightarrow t = 1 hoặc t = - 2 (l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{- x^{2} + x + 2} = 1$

$\Leftrightarrow x^{2} - x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} .$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} .$

Ví dụ 2: Giải phương trình $2 x^{2} - 6 x + 7 = 5 \sqrt{x^{2} - 3 x + 5}$ .

Giải

Đặt $t = \sqrt{x^{2} - 3 x + 5}, t \geq 0$ .

Khi đó phương trình trở thành

$2 t^{2} - 3 = 5 t$

$\Leftrightarrow 2 t^{2} - 5 t - 3 = 0$

$\Leftrightarrow t = 3 hoặc t = - \frac{1}{2} (l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 3 x + 5} = 3$

$\Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow x = - 1 hoặc x = 4.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = - 1$ hoặc $x = 4.$

Ví dụ 3: Giải phương trình $(x - 1)^{2} + 2 (x + 1) \sqrt{\frac{x - 3}{x + 1}} = 12$ .

Giải

Điều kiện $\frac{x - 3}{x + 1} \geq 0 \Leftrightarrow x < - 1$ hoặc $x \geq 3.$

Khi đó phương trình tương đương

$(x^{2} - 2 x - 3) + 2 (x + 1) \sqrt{\frac{x - 3}{x + 1}} = 8$

$\Leftrightarrow (x + 1) (x - 3) + 2 (x + 1) \sqrt{\frac{x - 3}{x + 1}} = 8.$

Đặt $t = (x + 1) \sqrt{\frac{x - 3}{x + 1}} \Rightarrow t^{2} = (x + 1) (x - 3)$ .

Khi đó phương trình trở thành $t^{2} + 2 t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 2 hoặc t = - 4.$

Trường hợp $t = 2 \Leftrightarrow (x + 1) \sqrt{\frac{x - 3}{x + 1}} = 2$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq - 1 \\ (x + 1) (x - 3) = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq - 1 \\ x^{2} - 2 x - 7 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = 1 + 2 \sqrt{2} .$

Trường hợp $t = - 4 \Leftrightarrow (x + 1) \sqrt{\frac{x - 3}{x + 1}} = - 4$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \leq - 1 \\ (x + 1) (x - 3) = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \leq - 1 \\ x^{2} - 2 x - 19 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = 1 - 2 \sqrt{5} .$

Thử lại ta nhận $x = 1 + 2 \sqrt{2}$ và $x = 1 - 2 \sqrt{5}$ là hai nghiệm của phương trình.

Trên đây là các phương trình mà ta thấy rõ được biểu thức $f (x)$ lặp đi lặp lại, trong một số trường hợp khác $f (x)$ không xuất hiện một cách tường mình, mà phải thông qua một số biến đổi thì mới xuất hiện. Ta xem các ví dụ sau:

Ví du 4: Giải phương trình $x^{2} + 3 x \sqrt{x - \frac{4}{x}} = 10 x + 4$ .

Giải

Điều kiện $x - \frac{4}{x} \geq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq x < 0$ hoặc $x \geq 2.$

Khi đó phương trình

$x^{2} + 3 x \sqrt{x - \frac{4}{x}} = 10 x + 4$

$\Leftrightarrow x + 3 \sqrt{x - \frac{4}{x}} = 10 + \frac{4}{x}$

$\Leftrightarrow x - \frac{4}{x} + 3 \sqrt{x - \frac{4}{x}} - 10 = 0.$

Đặt $t = \sqrt{x - \frac{4}{x}}, t \geq 0$ . Phương trình trở thành:

$t^{2} + 3 t - 10 = 0$

$\Leftrightarrow t = 2 hoặc t = - 5 (l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x - \frac{4}{x}} = 2$

$\Leftrightarrow x - \frac{4}{x} = 4$

$\Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow x = 2 \pm 2 \sqrt{2} .$

So sánh với điều kiện ta được phương trình có hai nghiệm $x = 2 \pm 2 \sqrt{2} .$

Ví dụ 5: Giải phương trình $\sqrt{1 + x} + 2 \sqrt{1 - x} = 3 \sqrt[4]{1 - x^{2}}$

Giải

Điều kiện $- 1 \leq x \leq 1.$

Dễ thấy $x = 1$ không là nghiệm của phương trình. Xét $x \neq 1.$

Khi đó phương trình tương đương $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} + 2 = 3 \sqrt[4]{\frac{1 + x}{1 - x}} .$

Đặt $t = \sqrt[4]{\frac{1 + x}{1 - x}}$ , phương trình trở thành

$t^{2} - 3 t + 2 = 0$

$\Leftrightarrow t = 1 hoặc t = 2.$

Trường hợp $t = 1 \Leftrightarrow \sqrt[4]{\frac{1 + x}{1 - x}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1 + x}{1 - x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.$

Trường hợp $t = 2 \Leftrightarrow \sqrt[4]{\frac{1 + x}{1 - x}} = 2 \Leftrightarrow \frac{1 + x}{1 - x} = 16 \Leftrightarrow x = \frac{15}{17} .$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 0$ hoặc $x = \frac{15}{17} .$

Trong một số trường hợp phức tạp hơn, ta đặt ẩn phụ một biểu thức, và tính các biểu thức còn lại theo ẩn phụ. Ta xem ví dụ sau:

Ví dụ 6: Giải phương trình $\sqrt{11 - x} + \sqrt{x + 2} + 2 \sqrt{22 + 9 x - x^{2}} = 17$ .

Giải

Điều kiện $- 2 \leq x \leq 11.$

Đặt $t = \sqrt{11 - x} + \sqrt{x + 2}, t \geq 0$ . Khi đó

$t^{2} = 13 + 2 \sqrt{(11 - x) (x + 2)}$

$\Rightarrow 2 \sqrt{22 + 9 x - x^{2}} = t^{2} - 13.$

Phương trình trở thành

$t + t^{2} - 13 = 17$

$\Leftrightarrow t^{2} + t - 30 = 0$

$\Leftrightarrow t = 5 hoặc t = - 6 (l) .$

$\Leftrightarrow \sqrt{11 - x} + \sqrt{x + 2} = 5$

$\Leftrightarrow \sqrt{22 + 9 x - x^{2}} = 6$

$\Leftrightarrow x^{2} - 9 x + 14 = 0$

$\Leftrightarrow x = 2 hoặc x = 7.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$ hoặc $x = 7.$

Sau đây là cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình thành một phương trình hai ẩn, từ đó giải ẩn này theo ẩn kia để thiết lập một phương trình đơn giản hơn phương trình đã cho.

Ví dụ 7: Giải phương trình $x^{2} + 16 x - 16 = (2 x + 1) \sqrt{3 x^{2} + 4}$ .

Giải

Ta có $x^{2} + 16 x - 16 = (2 x + 1) \sqrt{3 x^{2} + 4}$

$\Leftrightarrow 4 (2 x + 1)^{2} - 5 (3 x^{2} + 4) = (2 x + 1) \sqrt{3 x^{2} + 4}$

Đặt ${\begin{cases} a = 2 x + 1 \\ b = \sqrt{3 x^{2} + 4}, b \geq 2. \end{cases}$

Phương trình trở thành

$4 a^{2} - 5 b^{2} = a b$

$\Leftrightarrow 4 a^{2} - a b - 5 b^{2} = 0$

$\Leftrightarrow a = - b hoặc a = \frac{5}{4} b .$

Trường hợp $a = - b$ ta có:

$\sqrt{3 x^{2} + 4} = - (2 x + 1)$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \leq - \frac{1}{2} \\ x^{2} + 4 x - 3 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = - 2 - \sqrt{7}$

Trường hợp $a = \frac{5}{4} b$ ta có:

$5 \sqrt{3 x^{2} + 4} = 4 (2 x + 1)$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq - \frac{1}{2} \\ 11 x^{2} - 64 x + 84 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = \frac{42}{11} hoặc x = 2.$

Vậy phương trình có các nghiệm $x = - 2 - \sqrt{7}, x = \frac{42}{11}$ hoặc $x = 2.$

Ví dụ 8: Giải phương trình $\sqrt{x^{2} + 1} + 2 \sqrt{x^{2} + 2 x + 3} = 3 \sqrt{x^{2} + 4 x + 5}$ .

Giải

Ta có $\sqrt{x^{2} + 1} + 2 \sqrt{x^{2} + 2 x + 3} = 3 \sqrt{x^{2} + 4 x + 5}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 1} + 2 \sqrt{x^{2} + 2 x + 3} = 3 \sqrt{- (x^{2} + 1) + 2 (x^{2} + 2 x + 3)} .$

Đặt ${\begin{cases} a = \sqrt{x^{2} + 1}, a \geq 1 \\ b = \sqrt{x^{2} + 2 x + 3}, b \geq \sqrt{2} . \end{cases}$ .

Phương trình trở thành:

$a + 2 b = 3 \sqrt{- a^{2} + 2 b^{2}}$

$\Leftrightarrow (a + 2 b)^{2} = 9 (- a^{2} + 2 b^{2})$

$\Leftrightarrow 5 a^{2} + 2 a b - 7 b^{2} = 0$

$\Leftrightarrow (a - b) (5 a + 7 b) = 0$

$\Leftrightarrow a = b$ .

Khi đó ta có

$\sqrt{x^{2} + 1} = \sqrt{x^{2} + 2 x + 3}$

$\Leftrightarrow x^{2} + 1 = x^{2} + 2 x + 3$

$\Leftrightarrow x = - 1$ .$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 1.$

Ví dụ 9: Giải phương trình $\sqrt{1 + x} - 2 \sqrt{1 - x} - 3 \sqrt{1 - x^{2}} = x - 3$ .

Giải

Điều kiện $- 1 \leq x \leq 1$ .

Đặt ${\begin{cases} a = \sqrt{x + 1}, a \geq 1 \\ b = \sqrt{1 - x}, b \geq 0 \end{cases}$ .

Khi đó $x - 3 = - a^{2} - 2 b^{2}$ và phương trình trở thành

$a - 2 b - 3 a b = - a^{2} - 2 b^{2}$

$\Leftrightarrow (a^{2} - 3 a b + 2 b^{2}) + (a - 2 b) = 0$

$\Leftrightarrow (a - 2 b) (a - b) + (a - 2 b) = 0$

$\Leftrightarrow (a - 2 b) (a - b + 1) = 0$

$\Leftrightarrow a = 2 b hoặc b = a + 1.$

Trường hợp $a = 2 b$ ta có:

$\sqrt{1 + x} = 2 \sqrt{1 - x}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} - 1 \leq x \leq 1 \\ 1 + x = 4 (1 - x) \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = \frac{3}{5} .$

Trường hợp $b = a + 1$ ta có:

$\sqrt{1 - x} = \sqrt{1 + x} + 1$

$\Leftrightarrow 1 - x = x + 2 + 2 \sqrt{1 + x}$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{1 + x} = - 2 x - 1$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} - 1 \leq x \leq - \frac{1}{2} \\ 4 (1 + x) = (2 x + 1)^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} - 1 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2} = \frac{3}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = \frac{3}{5}$ hoặc $x = - \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Ví dụ 10: Giải phươg trình $x^{2} + 5 x - 3 = 2 (2 x + 3) \sqrt{x - 1}$ .

Giải

Điều kiện $x \geq 1.$

Khi đó $x^{2} + 5 x - 3 = 2 (2 x + 3) \sqrt{x - 1}$

$\Leftrightarrow 3 (x - 1) - 2 (2 x + 3) \sqrt{x - 1} + x^{2} + 2 x = 0$

Đặt $t = \sqrt{x - 1}, t \geq 0$ . Ta được $3 t^{2} - 2 (2 x + 3) t + x^{2} + 2 x = 0.$

Đặt $Δ^{'} = (2 x + 3)^{2} - 3 (x^{2} + 2 x) = (x + 3)^{2} .$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm $t = x + 2$ hoặc $t = \frac{x}{3}$ .

Trường hợp $t = x + 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x - 1} = x + 2$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq 1 \\ x^{2} + 3 x + 5 = 0 \end{cases} (vô nghiệm) .$

Trường hợp $t = \frac{x}{3}$

$\Leftrightarrow 3 \sqrt{x - 1} = x$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq 1 \\ x^{2} - 9 x + 9 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = \frac{9 \pm 3 \sqrt{5}}{2} .$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{9 \pm 3 \sqrt{5}}{3} .$

Ngoài ra còn có cách đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 11: Giải phương trình: $\sqrt[3]{7 + x} - \sqrt{2 - x} = 1$

Giải

Phương trình có nhiều dấu căn bậc khác nhau, và biểu thức trong căn lại có mối liên hệ khá rõ ràng.

Ta đặt $u = \sqrt[3]{7 + x}, v = \sqrt{2 - x}$ ta có hệ ${\begin{cases} u - v = 1 \\ u^{3} + v^{2} = 9 \end{cases}$ .

Sử dụng phương pháp thế ta có ${\begin{cases} v = u - 1 \\ u^{3} + (u - 1)^{2} - 9 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} v = u - 1 \\ u^{3} + u^{2} - 2 u - 8 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} u = 2 \\ v = 1 \end{cases}$ .

Từ đó giải ra $x = 1$ là nghiệm.

2. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{2 x^{2} - 4 x + 8} + \sqrt{2 x^{2} - 4 x + 3} = 5$

b) $(x + 5) (2 - x) = 3 \sqrt{x^{2} + 3 x}$

c) $(x + 4) (x + 1) - 3 \sqrt{x^{2} + 5 x + 2} = 6$

d) $4 x^{2} + 10 x + 9 = 5 \sqrt{2 x^{2} + 5 x + 3}$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $1 + \frac{2}{3} \sqrt{x - x^{2}} = \sqrt{x} + \sqrt{1 - x}$

b) $\sqrt{2 x + 3} + \sqrt{x + 1} = 3 x + 2 \sqrt{2 x^{2} + 5 x + 3} - 16$

c) $\sqrt{3 x - 2} + \sqrt{x - 1} = 4 x - 9 + 2 \sqrt{3 x^{2} - 5 x + 2}$

d) $\sqrt{2 x + 3} + \sqrt{x + 1} = 3 x + 2 \sqrt{2 x^{2} + 5 x + 3} - 16$ .

Bài 3: Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{3 x^{2} - 2 x + 15} + \sqrt{3 x^{2} - 2 x + 8} = 7$

b) $\frac{4 x - 1}{\sqrt{4 x - 3}} + \frac{11 - 2 x}{\sqrt{5 - x}} = \frac{15}{2}$

c) $\frac{3 - x}{\sqrt{13 - 6 x}} + \frac{3 + x}{\sqrt{13 + 6 x}} = 2$

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) $2 x^{2} + 5 x - 1 = 7 \sqrt{x^{3} - 1}$

b) $2 (x^{2} + 2) = 5 \sqrt{x^{3} + 1}$

c) $\sqrt{5 x^{2} + 14 x + 9} - \sqrt{x^{2} - x + 20} = 5 \sqrt{x + 1}$

d) $(x^{2} - 6 x + 11) \sqrt{x^{2} - x + 1} = 2 (x^{2} - 4 x + 7) \sqrt{x - 2}$

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a) $2 \sqrt{\frac{3 x - 1}{x}} = \frac{x}{3 x - 1} + 1$

b) $(x + 5) (2 - x) = 3 \sqrt{x^{2} + 3 x}$

c) $2 (1 - x) \sqrt{x^{2} + 2 x - 1} = x^{2} - 2 x - 1$

d) $(x + 4) (x + 1) - 3 \sqrt{x^{2} + 5 x + 6} + 4 = 0$

e) $(x - 1) (x + 2) + 2 (x - 1) \sqrt{\frac{x + 2}{x - 1}} = 8$

f) $\sqrt[3]{\frac{2 x}{x + 1}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{1}{2 x}} = 2$ .

Phương trình vô tỉ – Phương pháp lũy thừa

Leave a reply

Phương trình vô tỉ (phương trình chứa căn thức) là một trong những nội dung quan trọng nhất của đại số 9, xuất hiện trong hầu hết các đề thi học sinh giỏi cũng như đề thi tuyển sinh. Kĩ năng giải phương trình cũng là một trong kĩ năng quan trọng của học sinh chuyên toán. Có rất nhiều dạng phương trình và nhiều phương pháp giải khác nhau cho phương trình vô tỉ, tựu chung lại cũng là phương pháp hữu tỉ hóa các phương trình, tức là đưa về phương trình dạng đa thức đã biết cách giải ở lớp 8.Trong chương này đưa ra một vài dạng phương trình vô tỉ cùng với đó là các phương pháp cơ bản nhất, không đi sâu quá nhiều vào các kĩ thuật và các dạng khó.

1. Lý thuyết

Nếu $A (x)$ , $B (x)$ là các biểu thức chứa $x$ , khi đó ta có các phương trình dạng $\sqrt{A} = \sqrt{B}$ và $\sqrt{A} = B$ là các phương trình vô tỉ cơ bản nhất, được giải bởi các tính chất sau.

Tính chất 1. $\sqrt{A} = \sqrt{B} \Leftrightarrow {\begin{cases} A \geq 0 \\ A = B \end{cases}$
Tính chất 2. $\sqrt{A} = B \Leftrightarrow {\begin{cases} B \geq 0 \\ A = B^{2} \end{cases}$

2. Phương pháp lũy thừa

Phương pháp lũy thừa là phương pháp tự nhiên nhất và kinh điển nhất để giải phương trình vô tỉ, nhằm mục đích đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản hoặc đưa về phương trình hữu tỉ, việc lũy thừa đòi hỏi sự khéo léo để không làm cho bậc của biểu thức quá cao, và trong quá trình lũy thừa ta chú ý là tạo ra phương trình mới tương đương phương trình đã cho hay chỉ là hệ quả của phương trình đã cho, nếu là hệ quả thì phải có bước thử lại nghiệm.

Chú ý: $A = B \Leftrightarrow A^{2} = B^{2}$ đúng khi và chỉ khi $A, B$ cùng dấu.

Còn $A = B (1) \Rightarrow A^{2} = B^{2} (2)$ thì phương trình $(2)$ là phương trình hệ quả của phương trình $(1)$ .

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) $\sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} = 2 x - 5$

b) $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 2} = \sqrt{3 x}$

Giải

a) Ta có $\sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} = 2 x - 5 \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 x - 5 \geq 0 \\ - x^{2} + 4 x - 3 = (2 x - 5)^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq \frac{5}{2} \\ 5 x^{2} - 24 x + 28 = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq \frac{5}{2} \\ x = 2 hoặc x = \frac{14}{5} \end{cases}$ $\Leftrightarrow x = \frac{14}{5}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{14}{5}$ .

b) Điều kiện $x \geq 2$ . Phương trình tương đương với

$x + 1 + 2 \sqrt{(x + 1) (x - 2)} + x - 2 = 3 x$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{x^{2} - x - 2} = x + 1$

$\Leftrightarrow 4 (x^{2} - x - 2) = x^{2} + 2 x + 1$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x - 9 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 (nhận) \\ x = - 1 (loại) \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$ .

Ví dụ 2: Giải phương trình $\sqrt{7 - x^{2} + x \sqrt{x + 5}} = \sqrt{3 - 2 x - x^{2}} .$

Giải

Ta có $\sqrt{7 - x^{2} + x \sqrt{x + 5}} = \sqrt{3 - 2 x - x^{2}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 3 - 2 x - x^{2} \geq 0 \\ 7 - x^{2} + x \sqrt{x + 5} = 3 - 2 x - x^{2} (2) \end{cases}$

$(2) \Leftrightarrow x \sqrt{x + 5} = - 2 x - 4$

Nhận thấy $x = 0$ không là nghiệm của $(2)$ . Ta xét $x \neq 0$ , khi đó phương trình tương đương

$\sqrt{x + 5} = - \frac{2 x + 4}{x}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} - \frac{2 x + 4}{x} \geq 0 \\ x + 5 = \frac{(2 x + 4)^{2}}{x^{2}} (3) \end{cases}$

$(3) \Leftrightarrow x^{2} (x + 5) = (2 x + 4)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{3} + x^{2} - 16 x - 16 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 (loại) \\ x = - 1 (nhận) \\ x = - 4 (loại) \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = - 1$ .

Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{x + 1} - 1 = \sqrt{x - \sqrt{x + 8}}$ .

Giải

Điều kiện ${\begin{cases} x \geq - 1 \\ \sqrt{x + 1} - 1 \geq 0 \\ x - \sqrt{x + 8} \geq 0 \end{cases} (*)$ .
Khi đó phương trình tương đương:

$\sqrt{x + 1} = 1 + \sqrt{x - \sqrt{x + 8}}$

$\Leftrightarrow x + 1 = 1 + x - \sqrt{x + 8} + 2 \sqrt{x - \sqrt{x + 8}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x + 8} = 2 \sqrt{x - \sqrt{x + 8}}$

$\Leftrightarrow x + 8 = 4 (x - \sqrt{x + 8})$

$\Leftrightarrow 4 \sqrt{x + 8} = 3 x - 8$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq \frac{8}{3} \\ 16 (x + 8) = (3 x - 8)^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq \frac{8}{3} \\ 9 x^{2} - 64 x - 64 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = 8.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 8.$

Ví dụ 4: Giải phương trình $\sqrt{x (x - 1)} + \sqrt{x (x + 2)} = 2 \sqrt{x^{2}} .$

Giải

Điều kiện ${\begin{cases} x (x - 1) \geq 0 \\ x (x + 2) \geq 0 \\ x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 0 hoặc x \geq 1.$
Dễ thấy $x = 0$ là một nghiệm của phương trình.
Xét $x \geq 1.$ Khi đó phương trình tương đương
$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2} = 2 \sqrt{x}$

$\Leftrightarrow x - 1 + x + 2 + 2 \sqrt{(x - 1) (x + 2)} = 4 x$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x - 1) (x + 2)} = x - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ x^{2} + x - 2 = x^{2} - x + \frac{1}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ x = \frac{9}{8} \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = \frac{9}{8}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{9}{8}$ hoặc $x = 0$ .

Ví dụ 5: Giải phương trình $\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} = \frac{x + 3}{2}$ .

Giải

Điều kiện $x \geq 1.$
Khi đó phương trình tương đương

$\sqrt{(\sqrt{x - 1})^{2} + 2 \sqrt{x - 1} + 1} + \sqrt{(\sqrt{x - 1})^{2} - 2 \sqrt{x - 1} + 1} = \frac{x + 3}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x - 1} + 1)^{2}} + \sqrt{(\sqrt{x - 1} - 1)^{2}} = \frac{x + 3}{2}$

$\Leftrightarrow | \sqrt{x - 1} + 1 | + | \sqrt{x - 1} - 1 | = \frac{x + 3}{2}$

Với $1 \leq x \leq 2$ thì phương trình tương đương

$\sqrt{x - 1} + 1 + 1 - \sqrt{x - 1} = \frac{x + 3}{2} \Leftrightarrow x = 1.$

Với $x > 2$ thì phương trình tương đương

$\sqrt{x - 1} + 1 + \sqrt{x - 1} - 1 = \frac{x + 3}{2}$

$\Leftrightarrow 4 \sqrt{x - 1} = x + 3$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq - 3 \\ 16 x - 16 = x^{2} + 6 x + 9 \end{cases} \Leftrightarrow x = 5.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 1$ hoặc $x = 5$ .

Ví dụ 6: Giải phương trình $\sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1} = 2 \sqrt{x} + \sqrt{2 x + 2}$ .

Giải

Điều kiện ${\begin{cases} x + 3 \geq 0 \\ 3 x + 1 \geq 0 \\ x \geq 0 \\ 2 x + 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \geq 0.$

Phương trình trở thành

$\sqrt{3 x + 1} - \sqrt{2 x + 2} = \sqrt{4 x} - \sqrt{x + 3}$

$\Rightarrow 3 x + 1 + 2 x + 2 - 2 \sqrt{(3 x + 1) (2 x + 2)} = 4 x + x + 3 - 2 \sqrt{4 x (x + 3)}$

$\Rightarrow \sqrt{(3 x + 1) (2 x + 2)} = \sqrt{4 x (x + 3)}$

$\Rightarrow 6 x^{2} + 8 x + 2 = 4 x^{2} + 12 x$

$\Rightarrow x = 1.$

Thử lại ta thấy $x = 1$ là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1.$

Chú ý: Trong ví dụ trên, ta dùng dấu “ $\Rightarrow$ ” thay cho “ $\Leftrightarrow$ ”, tức là phương trình sau chỉ là hệ quả của phương trình trước chứ không phải là tương đương. Do đó khi giải ra nghiệm ta phải thử lại phương trình ban đầu để nhận hay loại nghiệm.

Ví dụ 7: Giải phương trình $\sqrt[3]{x + 5} + \sqrt[3]{x + 6} = \sqrt[3]{2 x + 11}$ .

Giải

Sử dụng hằng đẳng thức $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$ . Ta được

$\sqrt[3]{x + 5} + \sqrt[3]{x + 6} = \sqrt[3]{2 x + 11}$

$\Leftrightarrow 2 x + 11 + 3 \sqrt[3]{x + 5} . \sqrt[3]{x + 6} (\sqrt[3]{x + 5} + \sqrt[3]{x + 6}) = 2 x + 11$

$\Rightarrow 3 \sqrt[3]{x + 5} . \sqrt[3]{x + 6} . \sqrt[3]{2 x + 11} = 0$

$\Leftrightarrow x = - 6 hoặc - 5 hoặc x = - \frac{11}{2} .$

Thử lại ta thấy tất cả đều là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có ba nghiệm $x = - 6$ hoặc $x = - 5$ hoặc $x = - \frac{11}{2} .$

3. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau;

a) $\sqrt{x^{2} + 3 x + 4} - 3 x = 1$

b) $1 + \sqrt{x - 1} = \sqrt{6 - x}$

c) $\sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} = 2 x - 5$

d) $x - \sqrt{4 - x^{2}} = 0$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 2} = 1$

b) $\sqrt{5 x - 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 x - 4}$

c) $x^{2} - 2 x + 4 (x - 3) \sqrt{\frac{x + 1}{x - 3}} = 0$ .

d) $\sqrt{x - 1 - 2 \sqrt{x - 2}} + \sqrt{x + 2 + 4 \sqrt{x - 2}} + 3 = 0$

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) $\frac{x^{2}}{\sqrt{3 x - 2}} - \sqrt{3 x - 2} = 1 - x$

b) $\sqrt{x} + \sqrt{x + 1} - \sqrt{x^{2} + x} = 1$

c) $\sqrt{x (x + 1)} + \sqrt{x (x + 2)} = 2 \sqrt{x^{2}}$

d) $\sqrt{2 x^{2} + 8 x + 6} + \sqrt{x^{2} - 1} = 2 x + 2$

Bài 4. Giải các phương trình sau

a) $\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{3 x + 1} = \sqrt[3]{x - 1}$

b) $\sqrt[3]{2 x - 5} + \sqrt[3]{3 x + 7} = \sqrt[3]{5 x + 2}$

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^{2} - 3 x + 4} + 1 - x - \sqrt{3 - x} = 0$

b) $\sqrt{x^{2} + 3 x + 4} + 1 + x - \sqrt{3 + x} = 0$

c) $\sqrt{x^{2} - 3 x + 3} + 1 - x - \sqrt{2 - x} = 0$

d) $\sqrt{4 x^{2} - 10 x + 7} + 2 - 2 x - \sqrt{3 - 2 x} = 0$

Protected: Rút gọn căn thức -Phần 1

Enter your password to view comments.

Định lý Viete và áp dụng – Phần 4

Leave a reply

Một số bài tập định lý Viete áp dụng nâng cao.

Download file tại đây -> vietep4

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất

Leave a reply

1.Cách giải

Khi giải phương trình, chúng ta thường tìm cách biến đổi (dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân) để đưa phương trình đó về dạng biết cách giải (đơn giản nhất là dạng $a x + b = 0$ hay $a x = - b$ ).

2.Chú ý

Trong một vài trường hợp, ta còn có những cách biến đổi khác đơn giản hơn (ngoài việc bỏ dấu ngoặc và quy đồng mẫu).
Qúa trình giải có thể dẫn đến các trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng $0$ . Khi đó, phương trình có thể vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi $x$ .

3. Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) $2 (x - 3) = 12$

Giải

$2 (x - 3) = 12$

$\Leftrightarrow 2 x - 6 = 12$

$\Leftrightarrow 2 x = 18$

$\Leftrightarrow x = 9$

Tập nghiệm của phương trình: $S=\{9\}.

b) $x - (8 + x) = 4$

Giải

$x - (8 + x) = 4$

$\Leftrightarrow x - 8 - x = 4$

$\Leftrightarrow 0 x = 12$

$\Leftrightarrow 0 = 12$ (vô lý)

Vậy phương trình trên vô nghiệm.

c) $\frac{7 x - 1}{6} + 2 x =$ \dfrac{16-x}{5} $

Giải

$\frac{5 (7 x - 1)}{30} + \frac{30 \cdot 2 x}{30} =$ \dfrac{6(16-x)}{30} $

$\Leftrightarrow 35 x - 5 + 60 x = 96 - 6 x$

$\Leftrightarrow 95 x - 5 = 96 - 6 x$

$\Leftrightarrow 95 x + 6 x = 96 + 5$

$\Leftrightarrow 101 x = 101$

$\Leftrightarrow x = 1$

Tập nghiệm của phương trình: $S=\{1\}.

d) $(x + 3)^{2} = x^{2} + 4 x$

Giải

$(x + 3)^{2} = x^{2} + 4 x$

$\Leftrightarrow x^{2} + 6 x + 9 = x^{2} + 4 x$

$\Leftrightarrow x^{2} - x^{2} + 6 x - 4 x = - 9$

$\Leftrightarrow 2 x = - 9$

$\Leftrightarrow x = - \frac{9}{2}$

Tập nghiệm của phương trình: $S=\{-\dfrac{9}{2}\}.

4. Bài tập

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $4 x + 20 = 0$
b) $2 x - 3 = 3 (x - 1) + x + 2$
c) $(x - 1) (x + 3) = x^{2} + 4$
d) $x - (x + 2) (x - 3) = 4 - x^{2}$ .

Bài 2. Giải các phương trình ẩn $x$ sau:

a) $\frac{x + 2}{5} = 3$
b) $\frac{3 x - 2}{7} = 4$
c) $\frac{x - 2}{3} = 1$
d) $\frac{x}{2} = x + 5$ .

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) $(x - 1)^{2} + (x + 3)^{2} = 2 (x - 2) (x + 1) + 38$
b) $5 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (3 x - 2) = 5 (x + 1)^{2}$
c) $(x - 3)^{3} - 2 (x - 1) = x (x - 2)^{2} - 5 x^{2}$
d) $x (x + 3)^{2} - 3 x = (x + 2)^{3} + 1$ .

Bài 4. Tìm giá trị của $m$ sao cho phương trình:

a) $12 - 2 (1 - x)^{2} = 4 (x - m) - (x - 3) (2 x + 5)$ có nghiệm $x = 3.$
b) $(9 x + 1) (x - 2 m) = (3 x + 2) (3 x - 5)$ có nghiệm $x = 1.$

Phương trình bậc nhất một ẩn

Leave a reply

1.Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình dạng $a x + b = 0$ , với $a$ và $b$ là hai số đã cho và $a \neq 0$ , được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Hai quy tắc biến đổi phương trình

a) Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác $0$ .

3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Phương trình bậc nhất $a x + b = 0$ (với $a \neq 0$ ) được giải như sau:

$a x + b = 0 \Leftrightarrow a x = - b \Leftrightarrow x = - \frac{b}{a}$

Vậy phương trình bậc nhất $a x + b = 0$ luôn có một nghiệm duy nhất $x = - \frac{b}{a}$ .

Ví dụ 1:

Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:
a) $1 - x = 0$
b) $x^{3} + 1 = 0$
c) $2 + t = 0$
d) $y = 0$
e) $0 x - 2 = 0$ .

Giải

Phương trình $1 - x = 0$ là phương trình bậc nhất ẩn $x$ (vì có dạng $a x + b = 0$ với $a = - 1; b = 1$ ).
Phương trình $2 + t = 0$ là phương trình bậc nhất ẩn $t$ (vì có dạng $a t + b = 0$ với $a = 1; b = 2$ ).
Phương trình $y = 0$ là phương trình bậc nhất ẩn $y$ (vì có dạng $a y + b = 0$ với $a = 1; b = 0$ ).

Các phương trình còn lại không phải phương trình bậc nhất.

Ví dụ 2:

Giải các phương trình:
a) $4 x - 12 = 0$
b) $5 x + x + 18 = 0$
c) $x - 3 = 1 - 4 x$
d) $6 - 2 x = 3 - x$ .

Giải

a) $4 x - 12 = 0$

$\Leftrightarrow 4 x = 12$

$\Leftrightarrow x = 12 : 4$

$\Leftrightarrow x = 3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {3}$ .

b) $5 x + x + 18 = 0$

$\Leftrightarrow 6 x + 18 = 0$

$\Leftrightarrow 6 x = - 18$

$\Leftrightarrow x = - 18 : 6$

$\Leftrightarrow x = - 3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {- 3}$ .

c) $x - 3 = 1 - 4 x$

$\Leftrightarrow x + 4 x = 1 + 4$

$\Leftrightarrow 5 x = 5$

$\Leftrightarrow x = 5 : 5$

$\Leftrightarrow x = 1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {1}$ .

d) $6 - 2 x = 3 - x$

$\Leftrightarrow - 2 x + x = 3 - 6$

$\Leftrightarrow - x = - 3$

$\Leftrightarrow x = - 3 : (- 1)$

$\Leftrightarrow x = 3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {3}$ .

Ví dụ 3:

Tìm giá trị của $m,$ biết rằng phương trình: $- 4 x^{2} + m^{2} = 6 x$ có nghiệm là $x = \frac{1}{2}$ .

Giải

Thay $x = \frac{1}{2}$ vào $- 4 x^{2} + m^{2} = 6 x$ , ta được:

$- 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + m^{2} = 6 \cdot \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow - 1 + m^{2} = 3$

$\Leftrightarrow m^{2} = 4$

$\Leftrightarrow m = 2$ hoặc $m = - 2$

Vậy $m = 2$ hoặc $m = - 2$ .

4. Bài tập áp dụng

Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất:
a) $3 + 3 x = 0$
b) $5 - 4 y = 0$
c) $z^{2} - 2 z = 0$
d) $7 t = 0$ .

Bài 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn:
a) $2 x^{2} - 3 = 0$
b) $x + 5 = 0$
c) $0 x - 10 = 0$
d) $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ .

Bài 3. Giải các phương trình:
a) $x + 5 = 7$
b) $3 = x - 2$
c) $2 x = 7 + x$
d) $3 x + 1 = 5 x + 2$ .

Bài 4. Giải các phương trình:
a) $5 x + 35 = 0$
b) $9 x - 3 = 0$
c) $24 - 8 x = 0$
d) $- 6 x + 16 = 0$ .

Bài 5. Giải các phương trình:
a) $7 x - 5 = 13 - 5 x$
b) $2 - 3 x = 5 x + 10$
c) $13 - 7 x = 4 x - 20$
d) $11 - 9 x = 3 - 7 x$ .

Bài 6. Giải các phương trình sau:
a) $\frac{3 x}{4} = 6$
b) $\frac{3}{5} x = - 12$
c) $7 + \frac{5 x}{3} = x - 2$
d) $1 + \frac{x}{9} = \frac{4}{3}$ .

Bài 7. Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của mỗi nghiệm ở dạng số thập phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm:
a) $3 x = 13$
b) $16 + 9 x = 0$
c) $6 - 2 x = 7 x$

Bài 8. Tìm giá trị của $m,$ sao cho phương trình sau nhận $x = - 3$ làm nghiệm:
$4 x + 3 m = 3 - 2 x .$

Bài 9. Cho hai phương trình ẩn $x : 3 x + 3 = 0 (1); 5 - k x = 7 (2)$ . Tìm giá trị của $k$ sao cho nghiệm của phương trình $(1)$ là nghiệm của phương trình $(2)$ .

Toán Việt

Chia sẻ và học hỏi

Tag Archives: Daiso

Phương trình tích

Hệ phương trình – Phương pháp cộng đại số – Hệ phương trình đối xứng loại hai

Hệ phương trình – Phương pháp thế

Phương trình bậc nhất

Phương trình vô tỉ – Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương trình vô tỉ – Phương pháp lũy thừa

Protected: Rút gọn căn thức -Phần 1

Định lý Viete và áp dụng – Phần 4

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất

Phương trình bậc nhất một ẩn