Bài 1. (1,5 điểm)

a) Cho đường thẳng $(d): y=(1-2 m) x+m^{2}+m$ và parabol $(P): y=x^{2}$. Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại điểm có hoành độ là 1 .

b) Với $x, y$ dương và $x \neq 4 y$, cho biểu thức:

$P=\left(\frac{x \sqrt{x y}-2 x y+4 y \sqrt{x y}}{x \sqrt{x}+8 y \sqrt{y}}-\frac{3 x+2 y}{\sqrt{x}+2 \sqrt{y}}+3 \sqrt{y}\right) \cdot\left(\frac{\sqrt{x}+6 \sqrt{y}}{4 y-x}-\frac{1}{\sqrt{x}+2 \sqrt{y}}\right)$

Tính $\frac{x}{y}$ khi $P=5$.

Bài 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: $\sqrt{x+5}+\sqrt{2 x+1}=3 \sqrt{x}$.

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}(x+y-4)\left(x^{2}+x y+y^{2}+x+y\right)=0 \\ \sqrt{2 x-y}+\sqrt{2 y-x}=2\end{array}\right.$.

Bài 3. (1,5 diểm) Cho phương trình: $(2 m-1) x^{4}-2 x^{2}-m+2=0$

a) Giải phương trình khi $m=\frac{3}{2}$.

b) Tìm $m$ để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ thỏa:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=5 .$

Bài 4. a) (1,0 điểm) Một trang bán hàng online bán tủ lạnh với giá niêm yết. Vì bán không được hàng nên cửa hàng bắt đầu chương trình giảm giá như sau: Cứ mỗi ngày sẽ giảm thêm 200 000 đồng so với ngày trước đó cho đến khi bán được sản phầm đầu tiên. Biết đến ngày thứ 5 của chương trình thì cửa hàng bán được sản phầm đầu tiên. Từ ngày hôm sau, cửa hàng lại tăng dần giá, mỗi ngày tăng thêm 150 000 đồng so với ngày trước đó thì bán được sản phẩm thứ hai sau 4 ngày kể từ khi bán được sản phẩm đầu tiên. Biết giá bán sản phẩm thứ hai bằng $95 \%$ so với giá niêm yết. Hỏi giá bán tủ lạnh đầu tiên là bao nhiêu?

b) (1,0 điểm) Trong kỳ thi tuyển sinh vào 10 , các bạn học sinh của một lớp đăng ký thi các môn chuyên Toán, Lý và Anh. Trong đó, số bạn chỉ thi một môn chuyên gấp đôi số bạn thi cả ba môn chuyên. Số bạn thi chuyên Lý bằng số bạn chỉ thi chuyên Toán. Có 10 bạn chỉ đăng ký thi chuyên Anh, không có bạn nào chỉ thi hai môn Toán và Anh, có ít nhất một bạn chỉ thi đúng hai môn chuyên. Tính số học sinh thi cả ba môn chuyên, biết lớp có 48 học sinh và bạn nào cũng đăng ký thi ít nhất một môn chuyên.

Bài 5. (3,0 điểm) Cho $\triangle A B C$ vuông tại $A$, đường cao $A H, B H=a, C H=4 a$. Đường phân giác của góc $A H B$ cắt $A B$ taii $D$, đường phân giác của góc $A H C$ cắt $A C$ tại $E$.

a) Chứng minh tứ giác $A D H E$ nội tiếp. Tính $A H$ theo $a$ và tính góe $A D E S S$

b) Chứng minh $\angle H D E=\angle A B C$. Từ đó suy ra $D E$ là tiếp tuyến chung của đường tròn ngoại tiếp $\triangle B D H, \triangle C H E$.

c) Gọi $M, N$ là trung điểm của $D E, B C$. $A N$ cắt $D E$ tại $P$. Chứng minh các tứ giác $H N P M, B M P C$ nội tiếp.

LỜI GIẢI

 

Bài 1. a) Điều kiện $m \neq \frac{1}{2}$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

Vậy $m=0$ hoặc $m=1$.

b) $P=\left(\frac{x \sqrt{x y}-2 x y+4 y \sqrt{x y}}{x \sqrt{x}+8 y \sqrt{y}}-\frac{3 x+2 y}{\sqrt{x}+2 \sqrt{y}}+3 \sqrt{y}\right) \cdot\left(\frac{\sqrt{x}+6 \sqrt{y}}{4 y-x}-\frac{1}{\sqrt{x}+2 \sqrt{y}}\right)$

$=\left[\frac{\sqrt{x y}(x-2 \sqrt{x y}+4 y)}{(\sqrt{x}+2 \sqrt{y})(x-2 \sqrt{x y}+4 y)}-\frac{3 x+2 y}{\sqrt{x}+2 \sqrt{y}}+3 \sqrt{y}\right] \cdot\left[\frac{\sqrt{x}+6 \sqrt{y}-(2 \sqrt{y}-\sqrt{x})}{(2 \sqrt{y}-\sqrt{x})(\sqrt{x}+2 \sqrt{y})}\right] $

$=\frac{\sqrt{x y}-3 x-2 y+3 \sqrt{y}(\sqrt{x}+2 \sqrt{y})}{\sqrt{x}+2} \cdot \frac{\sqrt{x}+6 \sqrt{y}-2 \sqrt{y}+\sqrt{x}}{(2 \sqrt{y}-\sqrt{x})(\sqrt{x}+2 \sqrt{y})} $

$=\frac{-3 x+4 \sqrt{x y}+4 y}{\sqrt{x}+2 \sqrt{y}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}+4 \sqrt{y}}{(2 \sqrt{y}-\sqrt{x})(\sqrt{x}+2 \sqrt{y})} $

$=\frac{(2 \sqrt{y}-\sqrt{x})(3 \sqrt{x}+2 \sqrt{y})}{\sqrt{x}+2 \sqrt{y}} \cdot \frac{2(\sqrt{x}+2 \sqrt{y})}{(2 \sqrt{y}-\sqrt{x})(\sqrt{x}+2 \sqrt{y})} $

$=\frac{6 \sqrt{x}+4 \sqrt{y}}{\sqrt{x}+2 \sqrt{y}}$

Với $P=5 \Rightarrow 6 \sqrt{x}+4 \sqrt{y}=5 \sqrt{x}+10 \sqrt{y} \Rightarrow \sqrt{x}=6 \sqrt{y} \Rightarrow \frac{x}{y}=36$ (nhận).

Vậy $\frac{x}{y}=36$.

Bài 2. a) $\sqrt{x+5}+\sqrt{2 x+1}=3 \sqrt{x}(*)$

Điều kiện xác định: $x \geq 0$

$(*) \Leftrightarrow x+5+2 x+1+2 \sqrt{(x+5)(2 x+1)}=9 x$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{2 x^{2}+11 x+5}=6 x-6 $

$\Leftrightarrow \sqrt{2 x^{2}+11 x+5}=3 x-3 \quad(x \geq 1) $

$\Leftrightarrow 2 x^{2}+11 x+5=(3 x-3)^{2} $

$\Leftrightarrow 7 x^{2}-29 x+4=0 $

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}x=4\quad(n) \\x=\frac{1}{7} \quad(l)\end{array}\right.$

Vậy $S=[4]$.

Không loại nghiệm trừ 0.5. Học sinh sử dụng phép suy ra và thử lại đúng vẫn cho đủ điểm

b) $\left\{\begin{array}{l}(x+y-4)\left(x^{2}+x y+y^{2}+x+y\right)=0 \\ \sqrt{2 x-y}+\sqrt{2 y-x}=2\end{array}\right.$

Điều kiện xác định: $2 x \geq y$ và $2 y \geq x$.

$(1) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=4-y \\ x^{2}+x y+y^{2}+x+y=0\quad(3)\end{array}\right.$

• Thay $x=4-y$ vào phương trình $(2)$, ta có:

$\sqrt{8-3 y}+\sqrt{3 y-4}=2$

$\Leftrightarrow 8-3 y+3 y-4+2 \sqrt{(8-3 y)(3 y-4)}=4$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{(8-3 y)(3 y-4)}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y=\frac{8}{3} \\ y=\frac{4}{3}\end{array}\right.$

Với $y=\frac{8}{3} \Rightarrow x=\frac{4}{3}$ (nhận)

Với $y=\frac{4}{3} \Rightarrow x=\frac{8}{3}$ (nhận)

• Từ hai điều kiện $2 x \geq y$ và $2 y \geq x$ cộng vế theo vế, ta được

$2 x+2 y \geq x+y \Leftrightarrow x+y \geq 0$

$(3) \Leftrightarrow\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2}+\frac{3 y^{2}}{4}+(x+y)=0 $

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }{ x + \frac { y } { 2 } = 0 } \\{ y = 0 } \\{ x + y = 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0 \\y=0\end{array}\right.\right.$

Thay $x=0$ và $y=0$ vào $(2)$, ta được: $0=2$ (vô lý)

Suy ra $x=0$ và $y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(\frac{8}{3} ; \frac{4}{3}\right)$ hoặc $\left(\frac{4}{3} ; \frac{8}{3}\right)$.

Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho đủ điểm

Bài 3. a) Khi $m=\frac{3}{2}$ phương trình (1) trở thành:

$2 x^{4}-2 x^{2}+\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow\left(2 x^{2}-1\right)^{2}=0 \Leftrightarrow x^{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2} \\x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$

Vậy $S=(\frac{\sqrt{2}}{2} ;-\frac{\sqrt{2}}{2})$.

b) Đặt $t=x^{2}(t \geq 0)$

Phương trình $(1)$ trở thành $(2 m-1) t^{2}-2 t-m+2=0$ (2)

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt, không âm khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}2 m-1 \neq 0 \\ \Delta^{\prime}>0 \\ S \geq 0 \\ P \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m \neq \frac{1}{2} \\ 2 m^{2}-5 m+3>0 \\ \frac{2}{2 m-1}>0 \\ \frac{2-m}{2 m-1}>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}<m<1 \\ \frac{3}{2}<m<2\end{array}\right.\right.\right.$

(Nếu thiếu đk S,P không âm thì trừ 0.25. Hệ điều kiện không cần giải ra đến bước 3 vẫn đủ điểm)

Không mất tính tổng quát, giả sử $t_{1}=x_{1}^{2}=x_{2}^{2}, t_{2}=x_{3}^{2}=x_{4}^{2}$

Khi đó: $2 t_{1}+2 t_{2}=5 \Leftrightarrow \frac{4}{2 m-1}=5 \Leftrightarrow m=\frac{9}{10}$ (nhận)

(Không đặt $t=x^{2}$ để đưa về phương trình bậc 2 mà đặt $\Delta$ làm ra kết quả đúng thì trừ $0.5$)

Bài 4. a) Gọi $x$ (đồng) là giá bán niêm yết của tủ lạnh. $(x>0)$ Giá bán tủ lạnh sau 5 ngày giảm giá là: $x-1000000$ đồng Giá bán sản phẩm sau 4 ngày tăng giá là: $x-400000$ đồng Theo đề bài ta có phương trình:

$x-400000=95 \% x \Rightarrow x=8000000 (đồng)$

Vậy giá bán tủ lạnh đầu tiên là 7 triệu đồng.

b)Gọi $x, y$ lần lượt là số học sinh chỉ thi Toán và Lý. $a, b$ lần lượt là số học sinh chỉ thi hai môn Toán – Lý và Lý – Anh.

$t$ là số học sinh thi cả ba môn.

Ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}x+y+10=2 t \\ y+a+b+t=x \\ x+y+10+a+b+t=48\end{array}\right.$

với $a+b \geq 1$.

Từ $(2),(3) \Rightarrow x=19$, khi đó

(1) $\Leftrightarrow y+29=2 t \Rightarrow 2 t \geq 29 \Rightarrow t \geq 15$

Từ (1), (3) $\Rightarrow 3 t+a+b=48$

mà $a+b \geq 1$ nên $3 t \leq 47 \Rightarrow t \leq 15$

Suy ra $t=15$

Vậy có 15 học sinh thi cả ba môn chuyên.

Bài 5. a) • Ta có $\angle D H E=\angle D H A+\angle A H E=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$

Tứ giác $A D H E$ có: $\angle D A E+\angle D H E=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$

$\Rightarrow A D H E$ nội tiếp đường tròn đường kính $D E$.

• $\triangle A B C$ vuông tại $A$ có $A H$ là đường cao nên $A H^{2}=B H \cdot C H \Rightarrow A H=2 a$.

• Tứ giác $A D H E$ nội tiếp $\Rightarrow \angle A D E=\angle A H E=45^{\circ}$

b) $\angle H D E=\angle H A E$ ( $A D H E$ nội tiếp)

$\angle H A E=\angle A B C$ (cùng phụ $\angle B A H$ ).

Suy ra $\angle H D E=\angle A B C$

• Gọi $I, J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle B D H, \triangle C H E$.

Ta có $\angle I D H=\frac{180^{\circ}-\angle D I H}{2}=90^{\circ}-\angle D B H=90^{\circ}-\angle H D E$

$\Rightarrow \angle I D E=90^{\circ} \Rightarrow D E$ là tiếp tiếp của đường tròn ngoại tiếp $\triangle B D H$.

Chứng minh tương tự ta cũng được $\angle D E H=\angle E C H$. Từ đó suy ra $D E$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle H E C$

(Học sinh không được viết chứng minh tương tự, nếu viết chứng minh tương tự không cho điểm ý đó)

Vậy $D E$ là tiếp tuyến chung của đường tròn ngoại tiếp $\triangle B D H, \triangle C H E$.

c) – $\triangle A N B$ cân tại $N$ suy ra $\angle A N B=180^{\circ}-2 \angle N B A$

$\triangle H D M$ cân tại $M$ suy ra $\angle D M H=180^{\circ}-2 \angle M D H$

Mà $\angle N B A=\angle M D H$ (cmt)

$\Rightarrow \angle P N H=\angle D M H \Rightarrow H N P M$ nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong).

• Gọi $K$ là giao điểm của $D E$ và $B C$

$\triangle A D E$ vuông tại $A$ có $\angle A D E=45^{\circ} \Rightarrow \triangle A D E$ cân tại $A \Rightarrow A M \perp D E$

Tứ giác $K A M H$ có: $\angle A M K=\angle A H K=90^{\circ} \Rightarrow K A M H$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle K A H=\angle K M H=\angle K N A \Rightarrow \angle K A N=90^{\circ}$

$\Rightarrow K A$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle A B C$

$\triangle K A M \backsim \triangle K P A \Rightarrow K A^{2}=K M \cdot K P$

$\triangle K A B \backsim \triangle K C A \Rightarrow K A^{2}=K B \cdot K C$

$\Rightarrow K M \cdot K P=K B \cdot K C \Rightarrow \frac{K M}{K C}=\frac{K B}{K P}$

Xét $\triangle K M B$ và $\triangle K C P$ có: $\angle B K M$ chung, $\frac{K M}{K C}=\frac{K B}{K P}$

$\Rightarrow \triangle K M B \backsim \triangle K C P \Rightarrow \angle K M B=\angle K C P \Rightarrow B M P C$ nội tiếp.