Tag Archives: PTNK

Nhìn lại đề thi PTNK qua các năm

Leave a reply

Trường Phổ thông Năng khiếu chính thức được thành lập năm 1996, tiền thân là khối chuyên toán tin thuộc Đại học Tổng hợp TPHCM. Qua 20 năm hình thành và phát triển, bộ môn toán đã đạt nhiều kết quả tốt đẹp. Ngoài công tác giảng dạy tại trường, khâu tuyển chọn cũng rất quan trọng để tìm ra những em có năng khiếu toán thực sự. Và đề thi vào lớp 10 chuyên toán luôn được đón nhận một cách rất hào hứng từ giáo viên và học sinh. Nay nhân dịp 20 năm thành lập trường, chúng ta cùng nhìn lại một số đề thi, những bài toán dã là mục tiêu phấn đấu của nhiều học sinh trong suốt quá trình học THCS.

Những năm đầu thành lập, đề chuyên toán được sử dụng cho tuyển sinh đầu vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin, ngoài ra để thi vào chuyên Toán thì học sinh phải làm một đề thi chung cho các bạn thi các môn KHTN, được gọi là đề toán AB. Trong vài năm gần đây thì đề chuyên Toán còn dùng để tuyển sinh đầu vào cho các lớp chuyên Tin, chuyên Lý và chuyên Sinh và thay vì các đề toán AB, toán CD chỉ còn lại một đề toán chung cho các khối lớp chuyên.

Ngoài ra, trường Phổ thông Năng khiếu còn tuyển sinh khắp miền nam chứ không riêng gì khu vực TPHCM, các bạn nơi có điều kiện học tập tốt và các bạn nơi khó khăn hơn đều có cơ hội đỗ vào trường như nhau, không cộng điểm ưu tiên vì bất cứ lí do gì, điều đó cũng ảnh hưởng đến cách ra đề.

Trước tiên ta hãy xem lại đề thi vào chuyên toán năm 1996, năm học đầu tiên:
Bài 1. Gọi $a, b$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 + px + 1 = 0$; $c, d$ là hai nghiệm của phương trình $y^2 + qy + 1 = 0$. Chứng minh rằng [ (a-c)(a-d)(b-c)(b-d) = (p-q)^2]
Bài 2. Cho các số $x, y, z$ thỏa $x + y + z = 5, x^2 + y^2 + z^2 = 9$. Chứng minh rằng $ 1 \leq x, y, z \leq \dfrac{7}{3}$.
Bài 3.
a)Cho tứ giác lồi $ABCD$. Hãy dựng đường thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác $ABCD$.
b) Cho tam giác ABC và đường thẳng $d||BC$ và nằm khác phía của $A$ đối với $BC$. Lấy điểm $M$ di động trên $d$ sao cho $ABMC$ là tứ giác lồi. Đường thẳng qua $A$ chia đôi diện tích tứ giác cắt $BM$ hoặc $CM$ tại $N$. Tìm quỹ tích điểm $N$.
Bài 4. Chứng minh không tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $\sqrt{n-1} + \sqrt{n+1}$ là số hữu tỷ.
Bài 5. 
a) Chứng minh với $N \geq 3$, luôn luôn có $N$ số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $mn \geq 3$ bao giờ cũng xây được một bảng chữ nhật gồm $m \times n$ số chính phương đôi một khác nhau cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một số chính phương.

Chưa bàn đến độ khó của đề, ta thấy rằng về cấu trúc đề thi có đầy đủ các phần: Đại số, số học, hình học và tổ hợp. Đó cũng là cấu trúc chung của các đề thi chuyên toán PTNK, định hình từ ngày thành lập trường đến hiện nay. Đến đây, ta có thể tách riêng từng phần để nhận xét kĩ hơn. Trước tiên ta xem qua phần đại số.

1. Đại số
Đại số là các bài toán liên quan đến biến đổi biểu thức, đa thức, áp dụng định lý Viete, phương trình, hệ phương trình, các bài toán lập và giải phương trình,…Trong đó phần bất đẳng thức, cực trị luôn chiếm một vai trò lớn trong toán chuyên, nhiều học sinh rất giỏi đại số và dễ dàng đạt điểm cao trong phần này. Mặc dù có độ khó ngày càng tăng theo năm nhưng những bài toán đại số trong đề tuyển sinh PTNK vẫn không quá mẹo mực, đòi hỏi kĩ thuật nhiều. Một số bài biến đổi biểu thức khá hay:\
Bài 5 – 1999
a) Chứng minh đẳng thức: $x + y+ |x-y| = 2 \max {x,y}, \forall x, y \in \mathbb{R}$.
b) Chứng minh đẳng thức: [\left| {\frac{{a + b}}{{ab}} + \left| {\frac{{a – b}}{{ab}}} \right| – \frac{2}{c}} \right| + \frac{{a + b}}{{ab}} + \left| {\frac{{a – b}}{{ab}}} \right| + \frac{2}{c} = 4\max \left{ {\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}} \right},\forall a,b,c \ne 0 ]
Trong đó max là kí hiệu số lớn nhất trong các số đi kèm.
Bài 4-2002. Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện }$a + \dfrac{1}{b} = b + \dfrac{1}{c} = c + \dfrac{1}{a}$.
a) Cho $a = 1$, tìm $b, c$.
b) Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ đôi một khác nhau thì} $a^2b^2c^2 = 1$.
c) Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ đều dương thì $a = b = c$.

Cùng với thời gian thì phần biến đổi này cũng trở nên dễ hơn và ít được xuất hiện trong các đề thi, cũng có thể tập trung cho các phần khác. Ta xem một số bài phương trình, hệ phương trình:
Bài 1-2006

a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + xy = 1\\
2{y^2} + xy = 1
\end{array} \right.$
b) Giải bất phương trình $\sqrt{3x-5x^2} \leq 5x-2$}
c) Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $x+y=2$. Chứng minh rằng $xy(x^2+y^2) \leq 2$
Bài 1-2008

1)Cho phương trình ${x^2} – mx + 2m – 2 = 0\left( 1 \right)$
a) Chứng minh rằng (1) không thể có hai nghiệm đều âm.
b) Giả sử ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của (1). Chứng minh rằng biểu thức $\dfrac{{\left( {x_1^2 – 2{x_1} + 2} \right)\left( {x_2^2 – 2{x_2} + 2} \right)}}{{x_1^2 + x_2^2}}$ không phụ thuộc vào giá trị của $m$}
\end{enumerate}
2)Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}
x = {y^2} + {z^2}\\
y = {z^2} + {x^2}\\
z = {x^2} + {y^2}
\end{array} \right.$
Bài 1-2016
a) Giải hệ

$$\left\{\begin{array}{l} (x-2y)(x+my) = m^2-2m-3 \\(y-2x)(y+mx) = m^2-2m-3
\end{array} \right.$$

khi $m = -3$ và tìm $m$ để hệ co ít nhất một nghiệm $(x_o, y_o)$ thỏa $x_o > 0, y_o > 0$. }
b) Tìm $a \geq 1$ để phương trình $ax^2 + (1-2a)x + 1-a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_2^2 – ax_1 = a^2-a-1$.

Nhìn chung các bài phương trình, hệ phương trình khác dễ lấy điểm. Tuy có năm 2016, bài hệ phương trình có tham số nên trở thành một bài toán quá phức tạp, rất ít học sinh giải được trọn vẹn bài toán này.
Tiếp theo ta cùng nhìn qua một số bài bất đẳng thức. Bất đẳng thức trong kì thi đầu vào của PTNK chỉ là các bài toán biến đổi tương đương hoặc chỉ áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số. Có thể đây là mục tiêu của ban ra đề nhằm tránh cho các bạn quá sa đà vào các kĩ thuật chứng minh bđt mà bỏ quên các phần khác.
Bài 4-1998. Cho $x, y, z, p, q, r$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x + y + z = p + q + r=1$ và $pqr \leq \dfrac{1}{2}$.}
a) Chứng minh rằng nếu $x \leq y \leq z$ thì $px + qy + rz \geq \dfrac{x+y}{2}$}
b)Chứng minh rằng $px + qy + rz \geq 8xyz$}

Bài 5-2000  1)Cho $a b, c$ là 3 số không âm thỏa điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 \leq 2(ab+bc+ac)$ (1)
a) Chứng minh rằng $a+b+c \leq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc} + \sqrt{ac})$ (2).
b) Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) được không? Vì sao?
2) Cho $a, b, c$ là 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và $p, q, r$ là các số thỏa điều kiện $p+q+r = 0$. Chứng minh $apq + bqr + crp \leq 0$.

Bài 3-2016 Biết $x \geq y \geq z, x + y + z =0$ và $x^2 + y^2 + z^2 = 6$.
a)Tính $S = (x-y)^2 + (x-y)(y-z) + (y-z)^2$.
b)Tìm giá trị lớn nhất của $P = |(x-y)(y-z)(z-x)|$.

2. Hình học

Hình học là một trong những bài toán hay nhất của đề thi PTNK, trong những năm học vừa qua PTNK luôn có những học sinh rất giỏi hình học nhưng Hồ Quốc Đăng Hưng, Nguyễn Huy Hoàng, cũng như tinh thần chung của đề thi PTNK, hình học cũng là những bài toán có thể là quen thuộc và được phát biểu với dạng khác. Ta cùng xem qua một số bài toán mà tôi thấy khá hay: \
Bài 3-1999. Cho tam giác $ABC$ có diện tích S và một điểm $P$ nằm trong tam giác.
a)Gọi $S_1, S_2, S_3$ lần lượt là diện tích của tam giác $PBC, PCA, PAB$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $S_1^2 + S_2^2 + S_3^2$. }
b) Gọi $P_1, P_2, P_3$ lần lượt là các điểm đối xứng của $P$ qua $BC, CA$ và $AB$. Đường thẳng qua $P_1$ song song với $BC$ cắt $AB$ và $AC$ tại $B_1$ và $C_1$. Đường thẳng qua $P_2$ song song với $AC$ cắt $BC, BA$ tại $C_2, A_2$, đường thẳng qua $P_3$ và song song với $AB$ cắt $CA, CB$ tại $A_3, B_3$. Hãy xác định vị trí của điểm $P$ để tổng diện tích ba hình thang $BCC_1B_1, CAA_2C_2$ và $ABB_3A_3$ đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.

Bài 3-2006. Cho tam giác đều $ABC$. $P$ là một điểm nằm trong tam giác. Gọi $x, y, z$ lần lượt là kkhoảng cách từ $P$ đến các cạnh $BC, CA, AB$ tương ứng.}
a) Biết rằng $x=1, y=2, z=3$. Hãy tính diện tích của tam giác $ABC$. }
b) Tìm quỹ tích điểm $P$ trong tam giác sao cho $x+y=z$. Từ đó suy ra tập hợp những điểm $P$ trong tam giác sao cho $x, y, z$ lập thành 3 cạnh của một tam giác.
Bài 4-2010. Cho đường tròn tâm $O$, bán kính $R$, dây cung $BC$ cố định có độ dài $R\sqrt{3}$. $A$ là một điểm thay đổi trên cung lớn $BC$. Gọi $E$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$; $F$ là điểm đối xứng của $B$ qua $AC$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABE$ và $ACF$ cắt nhau tại $K$ ($K \neq A$).
a) Chứng minh $K$ luôn thuộc một đường tròn cố định.
b) Xác định vị trí của $K$ để tam giác $KBC$ có diện tích lớn nhất và tính diện tích đó theo $R$.
c) Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$. Chứng minh rằng tam giác $ABH$ đổng dạng với tam giác $ACK$ và $AK$ đi qua điểm cố định.

Bài 4.Cho điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đường kính $AB = 2R$ ($C \neq A, C \neq B$).
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $AB$; $I$ và $J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các
tam giác $ACH$ và $BCH$. Các đường thẳng $CI, CJ$ cắt $AB$ tại $M, N$.}
a) Chứng minh $AN = AC, BM = BC$.
b) Chứng minh 4 điểm $M, N, I, J$ cùng nằm trên một đường tròn và các đường thẳng
$MJ, NI$ và $CH$ đồng quy.
c) Tìm giá trị lớn nhất của MN và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác CMN theo R.

3. Số học

Một trong những điểm khác biệt của đề thi vào PTNK là bài toán số học. Bài toán số học luôn chiếm một vị trí trong đề thi và ngày càng được chú trọng, do đó độ khó tăng rõ rệt. Những năm đầu tiên, do dùng chung với đề tuyển sinh chuyên tin nên bài toán số học đôi khi được phát biểu dưới dạng mệnh đề đúng, mệnh đề sai:
Bài 2-1998.Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$. Biết rằng trong bốn mệnh đề $P, Q, R, S$ dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai:
P = “$a = 2b + 5$”\
Q = “$(a+1)$ chia hết cho $b$”\
R = “$(a+b)$ chia hết cho 3″\
S = “$(a+7b)$ là số nguyên tố”

a)Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trongbốn meệnh đề trên (có giải thích).
b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương $a, b$ thỏa ba mệnh đề đúng còn lại.
Bài toán số học chung quy cũng liên quan đến chia hết, số nguyên tố, phương trình nghiệm nguyên… nhưng được phát biểu một cách nhẹ nhàng và có những ý khá đơn giản cho các em học sinh có thể làm được. Và ngày được chú trọng nên độ khó cũng ngày được nâng lên.
Bài 3-2010
a) Hãy chỉ ra một bộ 4 số nguyên dương phân biệt mà tổng bộ ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố.
b) Chứng minh rằng không tồn tại 5 số nguyên phân biệt mà tổng 3 số bầt kỳ trong chúng là một số nguyên tố.

Câu b cũng chỉ là dạng phát biểu mới của bài toán: Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương phân biệt bất kì luôn có 3 số có tổng chia hết cho 3}. Và đây cũng là một bài toán dễ. Tuy nhiên, vài năm gần đây độ khó tăng lên, ta xem bài toán số học của 3 năm gần đây.
Bài 3-2014. Cho các số nguyên dương $a, b$ thỏa $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{c}$.
a) Chứng minh rằng $a + b$ không thể là số nguyên tố.}
b) Chứng minh rằng nếu $c > 1$ thì $a+c$ và $b+c$ không thể đồng thời là số nguyên tố.

Bài 2-2015

a) Tìm các số nguyên $a, b, c$ sao cho $a+b+c = 0$ và $ab+bc+ac+3=0$.}
b) Cho $m$ là số nguyên. Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên $a, b, c$ khác 0 sao cho $a+b+c = 0$ và $ab+bc+ac + 4m = 0$ thì cũng tồn tại các số nguyên $a’, b’, c’$ sao cho $a’+b’+c’ = 0$ và $a’b’+b’c’+a’c’ + m = 0$.}
c) Với $k$ là số nguyên dương, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $a, b, c$ khác 0 sao cho $a+b+c = 0$ và $ab+bc+ac + 2^k = 0$.}

Bài 2-2016. Cho $x, y$ là hai số nguyên dương mà $x^2 + y^2 + 10$ chia hết cho $xy$.
a) Chứng minh rằng $x, y$ là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau.}
b) Chứng minh $k = \dfrac{x^2+y^2+10}{xy}$ chia hết cho 4 và $k \geq 12$.

Tôi rất thích các bài toán số học này, từ cách phát biểu đến kiến thức cần sử dụng. Tuy khó hơn khá nhiều so với những năm đầu, tuy nhiên các bài toán này vẫn có ý để cho học sinh làm và phân loại tốt.

4.Tổ hợp

Tổ hợp có lẽ là phần quan trọng nhất trong đề tuyển sinh vào PTNK, các thầy ra đề luôn chú trọng tới phần này. Tổ hợp là dạng bài tập khó dùng để phân loại học sinh có năng khiếu. Nhìn chung các bài toán liên quan đến các phương pháp chứng minh:
Phương pháp phản chứng
Bài 5- 2006. Cho 13 số thực thỏa mãn điều kiện: tổng của 6 số bất kỳ trong chúng nhỏ hơn tổng của 7 số còn lại. Chứng minh rằng tất cả các số đã cho đều dương.
Quy nạp

Các năm đầu, phương pháp quy nạp được sử dụng nhiều trong các bài toán tổ hợp. Và các bài toán tổ hợp cũng rất khó, tôi luôn nhớ bài toán tổ hợp năm tôi thi vào PTNK:
Bài 4-1999. Người ta lát nền nhà hình vuông kích thước $n \times n$ ô bằng các viên gạch như hình vẽ dưới sao cho còn chừa lại một ô không lát.

a) Hãy chỉ ra một cách lát như trên với nền nhà kích thước $4 \times 4$ và $8 \times 8$.

b) Hãy chứng minh rằng luôn tồn tại một cách lát nền nhà có kích thước $2^k \times 2^k$ (k nguyên dương) với ô trống còn lại nằm ở vị trí $(i,j)$ bất kì. }

Bài 5-1998
a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, …, 8 thành một dãy $a_1, a_2 ,…, a_8$ sao cho 2 số $a_i, a_j$ bất kì $(i < j)$ thì mọi số trong dãy nằm giữa $a_i$ và $a_j$ đều khác $\dfrac{a_i + a_j}{2}$.
b) Chứng minh rằng với $N$ số nguyên dương đầu tiên $1, 2, …, N$ luôn tìm được cách sắp thành dãy $a_1, a_2, …, a_N$ sao cho dãy thỏa mãn điều kiện như câu a).

Cùng với quy nạp, bài toán bất biến cũng xuất hiện nhiều trong các bài toán tổ hợp:

Bài 5-2003
a) Cho một bảng vuông $4 \times 4$. Trên các ô của hình vuông này, ban đầu người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số). Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép một hàng hoặc một cột bất kỳ trên hàng hoặc cột được chọn đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 0. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về bảng toàn các số 0.
b)Ở vương quốc “Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì cả hai đổi sang tóc xanh). Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy ở “Sắc màu kỳ ảo” tất cả các hiệp sĩ đều có cùng màu tóc không? Vì sao?

Và nguyên lí Dirichlet xuất hiện cũngkhá nhiều, một số bài có sử dụng nguyên lí này:\
Bài 5-2005. Xét 81 chữ số trongg đó có 9 chữ số , 9 chữ số 2,…, 9 chữ số 9. Hỏi có thể xếp 81 chữ số này thành một dãy số cho với mỗi $k =1, 2, …, 9$ thì giữa hai chữ số $k$ liên tiếp có đúng $k$ chữ số.
Bài 5-2011. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 3, AD = 4$.
a) Chứng minh rằng từ 7 điểm bất kì trong hình chữ nhật $ABCD$ luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $\sqrt{5}$}
b) Chứng minh khẳng định ở câu a) vẫn còn đúng với 6 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật $ABCD$.
Bài 5-2015. Để khuyến khích phong trào học tập, một trường THCS đã tổ chứng 8 đợt thi cho các học sinh. Ở mỗi đợt thi, có đúng 3 học sinh được chọn để trao giải. Sau khi tổ chứng xong 8 đợt thi, người ta nhận thấy rằng với hai đợt thi bất kì thì có đúng 1 học sinh được trao giải ở cả hai đợt thi đó. Chứng minh rằng:
a) Có ít nhất một học sinh được trao giải ít nhất bốn lần.
b) Có đúng một học sinh được trao giải ở 8 đợt thi.

Ngoài các phương pháp chứng minh trên, các bài toán tổ hợp cũng rất phong phú về nội dung, đôi khi mang màu sắc tin học như bài năm 1999 và một số bài sau:
Bài 5-1996
a) Chứng minh với $N \geq 3$, luôn luôn có $N$ số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $mn \geq 3$ bao giờ cũng xây được một bảng chữ nhật gồm $m \times n$ số chính phương đôi một khác nhau cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một số chính phương.
Bài 5-2012. Cho đa giác đều n cạnh . Dùng 3 màu xanh , đỏ, vàng tô màu các đỉnh đa giác một cách
tùy ý ( mỗi đỉnh được tô bởi một màu và tất cả các đỉnh đều được tô màu). Cho phép thực hiện
thao tác sau đây : chọn hai đỉnh kề nhau bất kì ( nghĩa là hai đỉnh liên tiếp) khác màu và thay
màu của hai đỉnh đó bằng màu còn lại.}
a) Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta luôn luôn làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi hai màu.}
b) Chứng minh rằng với n = 4 và n = 8, bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta có thể làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi một màu.

Bài số 5 – 2012 có lẽ là bài toán tổ hợp khó nhất trong những năm gần đây, không có học sinh nào làm được trọn vẹn bài nay. Tôi nhớ rằng năm đó điểm cao nhất là 7.75, một năm mà đề thi rất khó. Tổ hợp luôn là bài toán được quan tâm từ lúc ra đề đến khi vào học, có thể đó là một trong những lí do học sinh PTNK khá mạnh phần này, điển hình là Phạm Tuấn Huy – 2 HCV IMO liên tiếp vào các năm 2013, 2014.
5. Các bài toán bóng đá.

Có lẽ đây là một đề tài rất thú vị của đề thi vào PTNK. Các bài toán bóng đá xuất hiện thường xuyên và cách năm, cứ mỗi năm xảy ra Worldcup hay Euro thì sẽ có một bài liên quan đến bóng đá, mặc dù chỉ bó hẹp trong phạm vi bóng đá, tuy nhiên đề bài lại rất phong phú đa dạng, đòi hỏi suy luận chặc chẽ và cẩn thận. Một số bài liên quan đến lập và giải phương trình:
Bài 5-2002. Trong một giải bóng đá có $N$ đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đều gặp nhau đúng một lần). Sau mỗi trận đấu, thắng được 3 điểm, đội thua không được điểm nào, còn nếu trận đấu có kết quả hòa thì mỗi đội được 1 điểm. Các đội xếp hạng dựa theo tổng điểm. Trong trường hợp một số đội có tổng điểm bằng nhau thì các đội này được xếp hạng theo chỉ số phụ. Kết hức giải người ta nhận thấy rằng không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa; các đội xếp nhất, nhì, ba có tổng điểm lần lượt là 15, 12, 12 và tất cả các đội xếp nhau có tổng điểm đôi một khác nhau. }
a) Chứng minh rằng $N \geq 7$.
b) Tìm $N$ và tổng điểm của mỗi đội tham gia giải.
Bài 5-2008. Trong một giải vô địch bóng đá có 6 đội tham gia. Theo điều lệ của giải, hai đội bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua 0 điểm. Kết thúc giải, số điểm của các đội lần lượt là $D_1, D_2, D_3, D_4, D_5, D_6$ $\left( {{D_1} \ge {D_2} \ge {D_3} \ge {D_4} \ge {D_5} \ge {D_6}} \right)$. Biết rằng đội bóng với số điểm D1 thua đúng một trận và ${D_1} = {D_2} + {D_3} = {D_4} + {D_5} + {D_6}$. Hãy tìm $D_1$ và $D_6$. }

Đây là hai bài toán khó nhất về đề tài bóng đá, trong đó bài năm 2008 là rất khó đòi hỏi nhiều suy luận và xét các trường hợp một cách cẩn thận. Một số bài toán khác không liên quan đến điểm thì liên quan đồ thị:
Bài 5-2010. Trong một giải bóng đá có 12 đấu vòng tròn một lượt (2 đội bất kỳ đấu với nhau một trận).
a) Chứng minh rằng sau 4 vòng đấu (mỗi đội đấu 4 trận) luôn tìm được 3 đội bóng đôi một chưa đấu với nhau.}
b) Khẳng định còn đúng không khi mỗi đội đã thi đấu đúng 5 trận.}

Đây là bài toán về bóng đá cuối cùng xuất hiện trong các đề thi PTNK, có lẽ đem lại một chút tiếc nuối cho các học sinh, tuy nhiên vì bóng đá luôn là đề tài hấp dẫn, biết đâu nó sẽ trở lại vào một ngày không xa.

6.Lời kết
Trên đây tôi đã ngược dòng lịch sử, điểm lại một số đặc điểm về đề thi tuyển sinh vào PTNK trong 20 năm qua để các bạn có một cái nhìn bao quát nhất, và từ đó ta cũng thấy được cách tuyển chọn học sinh năng khiếu toán của trường. Một trong những lí do mang lại thành công cho học sinh và cựu học sinh của trường trên con đường học thuật sau này.

 

 

 

 

 

 

 

 

Đề ôn thi vào lớp 10 Chuyên Toán – Đề số 2

Leave a reply

Bài 1. (2 điểm)
a) Cho các số $a$, $b$, $c$ thỏa $2a + 3b + 6c = 0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ luôn có nghiệm.
b) Giải hệ phương trình: $\left{ \begin{array}{l}
\left( {{x^4} + 1} \right)\left( {{y^4} + 1} \right) = 4xy\
\sqrt[3]{{x – 1}} – \sqrt {y – 1} = 1 – {x^3}
\end{array} \right.$
Bài 2. (2 điểm) Cho các số $a$, $b$, $c$ thỏa $a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = 1$.
a) Chứng minh rằng trong 3 số $a, b, c$ có ít nhất một số dương.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $a^2+b^2+c^2$.
Bài 3. (1,5 điểm) Cho $n$ là số nguyên dương và $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$ là các ước nguyên dương nhỏ nhất của $n$ thỏa: $n = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2$
a) Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $4$
b) Tìm $n$.
Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định, $A, B$ cố định, $C$ thay đổi trên cung lớn $AB$. Gọi $K$ là trung điểm $AB$; $D$ và $E$ là hình chiếu của $K$ trên $CA, CB$.
a) Tìm vị trí của $C$ để $DE$ lớn nhất.
b) $DE$ cắt $AB$ và $CO$ tại $N, M$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$ đi qua một điểm cố định.
c) $(CDE)$ và $(O)$ cắt nhau tại $F$ khác $A$. $NF$ cắt $(CDE)$ tại $G$. Chứng minh $G$ thuộc một đường thẳng cố định.
Kí hiệu $(CDE)$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$.

Bài 5. (1,5 điểm) Cho hình thang cân, người ta tô màu 4 cạnh và 2 đường chéo của hình bằng hai màu đỏ và xanh, trong đó mỗi màu tô 3 đoạn. Chứng minh có 3 đoạn thẳng được tô cùng màu có thể lập được một tam giác.

 

Đáp án chi dành cho các bạn đã đăng kí website tiết tại Đây 

 

 

Đề ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán năm 2022

Leave a reply

Bài 1. (1,5 điểm)
a) Cho $a, b, c $ là các số thỏa mãn $ a^4 + b^4 + (a-b)^4 = c^4 + d^4 + (c-d)^4$. Chứng minh rằng [ a^2 + b^2 + (a-b)^2 = c^2 + d^2 + (c-d)^2 ]
b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x – \dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{y}{x+1}- \dfrac{1+y}{y} \hfill \cr \sqrt{8y+9} = (x+1)\sqrt{y} + 2 \end{matrix} \right.$
Bài 2. (1,5 điểm) Cho phương trình $2(m^2+1)x^2 – 8mx + 3m = 0$. ($m$ là tham số).
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa [2(x_1+x_2) – \sqrt{\dfrac{3}{x_1x_2}} = 2]
Bài 3. (1,5 điểm) Cho các số $x, y, z$ dương thỏa ${x^2} + {y^2} + {z^2} = xyz$. Chứng minh rằng:
a) $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \le 1\,\,$
b) $xy + yz + xz + 9 \ge 4\left( {x + y + z} \right)\,\,$

Bài 4. (1,5 điểm) Một số nguyên tố $p$ được gọi là số nguyên tố đẹp nếu tồn tại các số nguyên $a, b$ thỏa $a^2b+1$ chia hết cho $p$ thì $a^2+b$ cũng chia hết cho $p$.
a) Chứng minh rằng $5$ là số nguyên tố đẹp.
b) 7 có phải là số nguyên tố đẹp không? Tại sao?

Bài 5. (3 điểm) Cho đường tròn $(O)$ và dây cung BC cố định. $A$ là một điểm thay đổi trên cung lớn BC. Các đường phân giác trong góc $B, C$ cắt nhau tại $I$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $IA$ cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại $M, N$.
a) Tìm vị trí của $A$ để $BM.CN$ đạt giá trị lớn nhất.
b) Đường thẳng qua M song song IC cắt BC tại L; đường thẳng qua N song song IB cắt BC tại K. Chứng minh $MKLN$ nội tiếp. Xác định tâm ngoại tiếp của tứ giác.
c) Gọi $D$ là hình chiếu của $I$ trên $BC$. Chứng minh $\angle DPM = \angle IPN$ và $A, D, P$ thẳng hàng.
Bài 6. (1 điểm) Cho đa giác đều 26 đỉnh. Trên mỗi đỉnh ta viết các số từ tự nhiên từ 1 đến 12. Chứng minh rằng có 4 đỉnh tạo thành hình chữ nhật ABCD sao cho $a+ b= c+ d$ với $a, b, c, d$ là các số ghi trên các đỉnh $A, B, C, D$.

Đáp án dành cho các bạn đăng kí trên website -> here

 

 

 

 

 

 

Đáp án Toán PTNK 2017

Leave a reply

Bài 1. (Toán chung)  Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(T)$ tâm $O$, bán kính $R$; $\angle BAC = 120^\circ $, $\angle ABC = 45^\circ $, $H$ là trực tâm. $AH$, $BH$, $CH$ lần lượt cắt $BC$, $CA$, $AB$ tại $M$, $N$, $P$.
a. Tính $AC$ theo $R$. Tính số đo góc $\angle HPN $ và $\dfrac{MP}{MN}$
b. Dựng đường kính $AD$, $HD$ cắt $(T)$ tại $E$ ($E \ne D$) và cắt $BC$ tại $F$. Chứng minh các điểm $A$, $N$, $H$, $P$, $E$ cùng thuộc một đường tròn và $F$ là trung điểm của $HD$.
c. Chứng minh $AD \bot NP$. Tia $OF$ cắt $(T)$ tại $I$, chứng minh $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ và $AI$ đi qua trung điểm của $MP$

Gợi ý

a.

  • Ta có $\angle AOC = 2 \angle ABC = 90^\circ$ (góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp cùng chắn 1 cung).
  • Suy ra tam giác $OAC$ vuông tại $O$, suy ra $AC^2 = OA^2 + OC^2 = 2R^2 \Rightarrow AC = R\sqrt{2}$. Tứ giác $BNPC$ có $\angle BNC = \angle BPC =90^\circ$ nên là tứ giác nội tiếp.
    Suy ra $\angle HPN = \angle HBC = 90^\circ – \angle ACB = 75^\circ$.
  • Các tứ giác $ANBM$ và $BNPC$ nội tiếp nên $\angle ANM = \angle ABC = 45^\circ, \angle CNP = \angle PBC = 45^\circ$.
  • Suy ra $\angle MNP = \angle CNP + \angle CPN = 90^\circ$.
    Và $\angle NPB = \angle ACB = \angle APM = 15^\circ$, suy ra $\angle NPM = \angle NPB + \angle APM = 30^\circ$.
  • Khi đó $\dfrac{MN}{MP} = \sin \angle NPM = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$. Suy ra $\dfrac{MP}{MN} = 2$.

b.

  • Ta có $\angle AEF = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
    Ta có $\angle ANH = \angle AEH = \angle APH = 90^\circ$ nên 5 điểm $A, N, H, P E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$.
  • Ta có $\angle ABD = \angle ACD = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn),
    suy ra $AB \bot BD$, suy ra $HC || BD$.
  • Tương tự ta có $HB \bot CN, \angle CD \bot CN$, suy ra $HB||CD$.
  • Tứ giác $HBDC$ có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành, suy ra $F$ là trung điểm của $BC$ và $HD$.

c.

  • Ta có $\angle CAD = 45^\circ = \angle CNM$, suy ra $AD||MN$. Mà $MN \bot NP$, suy ra $AD \bot NP$.
  • Ta có $OF$ là trung trực của $BC$, suy ra $IB = IC$. $\angle BDC = 180^\circ – \angle BAC = 60^\circ$.
  • Xét tam giác $IOC$ có $\angle IOC = \dfrac{1}{2}\angle BOC = \angle 60^\circ$. Suy ra tam giác $IBC$ đều.
  • Do đó $IB =IC = IO$. (1)
  • Mặt khác tứ giác $HBOC$ có $\angle BHC + \angle BOC = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$, suy ra $HBOC$ nội tiếp. (2)
  • Từ (1) và (2) suy ra $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$.
  • Tam giác $PBC$ có $\angle BPC = 90^\circ, \angle PBC = 45^\circ$ nên là tam giác vuông cân,
    suy ra $PB = PC$, suy ra $P$ thuộc trugn trực của BC. Do đó $P, O, I$ thẳng hàng và $PI \bot BC$, suy ra $PI||AM$.
  • Mặt khác ta có $\angle BIH = 2\angle HCB = 90^\circ$, suy ra $HBMI$ nội tiếp, suy ra $\angle IMC = \angle IBH = 45^\circ$.
  • Suy ra $\angle IMC = \angle PBC = 45^\circ$, suy ra $IM||PA$.
  • Tứ giác $APIM$ có 2 cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành, suy ra $AI$ qua trung điểm của $MP$.

Bài 2. (Toán chuyên) Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm $O$. Gọi $D$ là điểm thay đổi trên cạnh $BC$ ($D$ khác $B,\,C$). Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABD$ và $ACD$ lần lượt cắt $AC$ và $AB$ tại $E$ và $F$ ($E$, $F$ khác $A$). Gọi $K$ là giao điểm của $BE$ và $CF$.
a. Chứng minh rằng tứ giác $AEKF$ nội tiếp.
b. Gọi $H$ là trực tâm tam $ABC$. Chứng minh rằng nếu $A,\,O,\,D$ thẳng hàng thì $HK$ song song với $BC$.
c. Ký hiệu $S$ là diện tích tam giác $KBC$. Chứng minh rằng khi $D$ thay đổi trên cạnh $BC$ ta luôn có $S\le \left(\dfrac{BC}{2}\right)^2 \tan \dfrac{\widehat{BAC}}{2}$.
d. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $BF.BA-CE.CA=BD^2-CD^2$ và $ID$ vuông góc với $BC$.

Gợi ý

a.

  • Tứ giác $AEDB$ $\Rightarrow$ $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}$, tứ giác $AFDC$ nội tiếp $\Rightarrow$ $\widehat{AFC}=\widehat{ADC}$.
  • Suy ra $\widehat{AEK}+\widehat{AFD}=\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^o$.

b.

  • Ta có $\widehat{BKC}=\widehat{DKE}=180^o-\widehat{BAC}$ và $\widehat{BHC}=180^o-\widehat{BAC}$.
  • Suy ra $\widehat{BKC}=\widehat{BHC}$ $\Rightarrow$ $BHKC$ nội tiếp.
  • Suy ra $\widehat{FKH}=\widehat{HBC}=\widehat{HAC}$ và $\widehat{KCB}=\widehat{BAD}$.
  • Khi $A,\,O,\,D$ thẳng hàng, ta có $\widehat{BAD}=\widehat{BAO}=\widehat{HAC}$.
  • Do đó $\widehat{FKH}=\widehat{KCB}$ suy ra $KH//BC$

c.

  • Ta có $K$ thuộc cung $BHC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$ tâm $T$.
  • Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $N$ là điểm chính giữa cung $BHC$.
  • Dựng $KL\perp BC$, ta có $KL\le TN-TM=MN$.
  • Mà $\dfrac{MN}{BC}=\tan \dfrac{\widehat{NBM}}{2}=\tan \dfrac{\widehat{BAC}}{2}$, suy ra $MN=\tan \dfrac{\widehat{BAC}}{2}.\dfrac{BC}{2}$.
  • Do đó $S_{BKC}=\dfrac{1}{2}.KL.BC\le \dfrac{BC^2}{4}\tan \dfrac{\widehat{BAC}}{2}$.

d.

  • Xét tam giác $BCF$ và tam giác $BDA$ có $\widehat{BCF}=\widehat{BAD}$ và góc $B$ chung.
  • Suy ra $\Delta BFC\sim \Delta BDA$ $\Rightarrow$ $\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{BF}{BC}$ $\Rightarrow$ $BF.BA=BD.BC$.
  • Chứng minh tương tự ta có $CE.CA=CB.CD$.
  • Suy ra $BF.BA-CE.CA=BC.BD-BC.CD=BC(BD-CD)=(BD+BC)(BD-BC)=BD^2-CD^2$.
  • Ta có $\widehat{ADF}=\widehat{ACF}=\widehat{AEB}-\widehat{EKC}=\widehat{AEB}-\widehat{A}$
  • và $\widehat{ADE}=\widehat{ABE}=\widehat{AFC}-\widehat{A}$,suy ra $\widehat{EDF}=\widehat{ADF}+\widehat{ADE}=\widehat{AEB}+\widehat{AFC}-2\widehat{A}=180^o-2\widehat{A}=\widehat{EIF}$.
  • Do đó tứ giác $IEDF$ nội tiếp, hơn nữa $IE=IF$ nên $DI$ là phân giác $\widehat{EDF}$.
  • Mặt khác $\widehat{FDB}=\widehat{BAC}=\widehat{CDE}$.
  • Suy ra $DB,\,DI$ lần lượt là phân giác ngoài và phân giác trong của $\widehat{EDF}$. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đáp án toán PTNK 2016

Leave a reply

Bài 1 (Toán chung) Tam giác $ABC$ đều có tâm $O$,$AB = 6a$ và các điểm $M, N$ lần lượt thuộc các cạnh $AB, AC$ mà $AM = AN = 2a$. Gọi $I, J, K$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC$ và $MN$.
a. Chứng minh các điểm $M, N, B, C$ cùng thuộc một đường tròn T. Tính diện tích tứ giác $BMNC$ theo $a$.
b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $IJK$. Chứng minh đường tròn đường kính $NC$ tiếp xúc với $AI$.
c . $AE$ tiếp xúc với đường tròn $T$ tại $E$ ($E, B$ cùng phía đối với $AI$).Gọi $F$ là trung điểm $OE$, tính số đo $\angle AFJ$.

Gợi ý

a.

  • Ta có $AM = AN = 2a$,$\angle MAN = 60^o$ nên tam giác $AMN$ đều. Suy ra $\angle AMN = 60^o = \angle ACB$. Suy ra $BMNC$ nội tiếp.
  • Ta có $MN ||BC$, $AK \bot MN, AI \bot BC$. Suy ra$A, K, I$ thẳng hàng. $AI = AC \sin \angle ACB = 3a \sqrt{3}$, $AI = AN \sin \angle ANM = a\sqrt{3}$. Suy ra $IK = 2a\sqrt{3}$.
  • Do đó $S_{BMNC} = \dfrac{1}{2}IK(MN+BC) = 8a^2\sqrt{3}$.

b.

  • Ta có $OJ \bot AC$, $NJ = AJ-AN=a, NK = \dfrac{1}{2}MN=a$. Suy ra $\Delta OJN = \Delta OKN$, suy ra $OJ = OK$, tương tự ta có $OJ = OI$. Tam giác $IJK$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $OI = a\sqrt{3}$.
  • Gọi $P$ là trung điểm của $CN$. Ta có $KNCI$ là hình thang, và $OP$ là đường trung bình. Suy ra $OP = \dfrac{1}{2}(KN+CI) = 2a = PN = PC$.
  • Suy ra $O$ thuộc đường tròn đường kính $CN$ mà $PO||KN$ nên $PO \bot KI$. Suy ra $KI$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $CN$.

c.

  • Ta có $\angle AEM = \angle ABE$. Suy ra $\Delta AEM \sim \Delta ABE$, suy ra $AE^2=AM.AB = 12a^2$.
  • Suy ra $AE = 2a\sqrt{3}= AO$. Suy ra tam giác $AEO$ cân tại $A$. Do đó $\angle AFO = 90^o$, suy ra $AFOJ$ nội tiếp. Suy ra $\angle AFJ = \angle AOJ = 60^o$.

Bài 2. (Toán chuyên) Tam giác $ABC$ nhọn có $\angle BAC > 45^o$. Dựng các hình vuông $ABMN, ACPQ$ ($M$ và $C$ khác phía đối với $AB$; $B$ và $Q$ khác phía đối với $AC$). $AQ$ cắt đoạn $BM$ tại $E$ và $NA$ cắt đoạn $CP$ tại $F$.
a. Chứng minh $\Delta ABE \sim \Delta ACF$ và tứ giác $EFQN$ nội tiếp.
b. Chứng minh trung điểm $I$ của $EF$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
c. $MN$ cắt $PQ$ tại $D$, các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DMQ$ và $DNQ$ cắt nhau tại $K$ ($K$ khác $D$), các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cắt nhau tại $J$. Chứng minh các điểm $D, A, K, J$ thẳng hàng.

Gợi ý

a.

  • Ta có $\angle EAB + \angle BAC = 90^o, \angle FAC + \angle BAC = 90^o$. Suy ra $\angle EAB = \angle FAC$.
  • Mặt khác có $\angle ABE = \angle ACF = 90^o$. Suy ra $\Delta ABE \sim \Delta ACF$.
  • Suy ra $AE.AC = AF.AB$ mà $ AC = AQ, AB = AN$. Suy ra $AE.AQ = AN.AF$. Suy ra tứ giác $QNEF$ nội tiếp.

b.

Cách 1: Gọi $T$ là giao điểm của $MB$ và $CP$. Ta có $ABTC$ nội tiếp và $AT$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Mặt khác ta có $AF||ET, AE||FT$ nên $AETF$ là hình bình hành. Suy ra trung điểm $EF$ cũng là trung điểm $AT$. Do đó trung điểm $I$ của $EF$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Cách 2: Xét hình thang $AEBF$, gọi $X$ là trung điểm của $AB$ khi đó $IX$ thuộc đường trung bình của hình thang, suy ra $IX ||BE$ hay $IX$ vuông góc $AB$ vậy $IX$ là trung trực của đoạn $AB$. Chứng minh tương tự thì $I$ cũng thuộc trung trực đoạn $AC$. Vậy $I$ là tâm ngoại tiếp của tam giác $ABC$.

c.

  • $DA$ cắt $EF$ tại $K’$ ta có $\angle NFK’ = \angle NQA$ (vì $NQFE$ nội tiếp). Mà $\angle NQA = \angle NDA$(vì $AQDN$ nội tiếp). Suy ra $\angle NDA = \angle AFK’$. Suy ra $NDFK’$ nội tiếp.
  • Chứng minh tương tự ta có $DQK’E$ nội tiếp. Do đó $K’$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $DQM$ và $DPN$. Vậy $K’ \equiv K$. Suy ra $D, A, K$ thẳng hàng.
  • Ta có $\angle BKE = \angle EAB = \angle CAF = \angle CKF$. Suy ra $\angle BKC = 180^o – 2 \angle BKE = 2(90^o – \angle EAB) = 2\angle BAC = \angle BIC$. Suy ra $BKIC$ nội tiếp. Mà $IBJC$ nội tiếp, suy ra và $JB = JC$ nên $\angle BKJ = \angle CKJ$. Hay $KJ$ là phân giác $\angle BKC$.
  • Mặt khác $\angle BKA = 180^o – \angle AEB = 180^o – \angle AFC = \angle AKC$. Suy ra tia đối của tia $KA$ cũng là phân giác của $\angle BKC$. Do đó $A, K, J$ thẳng hàng.
  • Vậy 4 điểm $D, A, K, J$ thẳng hàng.