Bài 1. (2 điểm) Cho các phương trình: và với là tham số.
(a) Chứng minh nếu thì trong hai phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.
(b) Giả sử hai phương trình trên có nghiệm chung . Tìm sao cho có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2. (1,5 điểm) Cho phương trình: với là số tự nhiên.
(a) Chứng minh nếu chẵn thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên .
(b) Chứng minh nếu lẻ thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên .
Bài 3. (3,5 điểm) Cho đường tròn , dây cung không chứa tâm và điểm thay đổi trên cung lớn . Lấy các điểm và thỏa mãn: .
(a) Chứng minh rằng và điểm là trung điểm .
(b) Hạ vuông góc với . Chứng minh các tam giác và đồng dạng và điểm thuộc một đường tròn cố định.
(c) Gọi là giao điểm của với đường tròn . Chứng minh đi qua một điểm cố định và .
(d) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh đi qua một điểm cố định.
Bài 4. (1,5 điểm) Cho số tự nhiên
(a) Gọi là tập hợp các số nguyên dương sao cho là ước của và chia hết cho 105. Hỏi tập có bao nhiêu phần tử?
(b) Giả sử là một tập con bất kỳ của có 9 phần tử. Chứng minh ta luôn có thể tìm được 2 phần tử của sao cho tích của chúng là số chính phương.
Bài 5. (1,5 điểm) Cho hệ phương trình với là tham số:
(a) Giải hệ với .
(b) Chứng minh hệ vô nghiệm với và .
LỜI GIẢI
Bài 1. ( 2 điểm) Cho các phương trình: và với là tham số.
(a) Chứng minh nếu thì trong hai phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.
(b) Giả sử hai phương trình trên có nghiệm chung . Tìm sao cho có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
(a) Xét phương trình: , ta có: .
Xét phương trình: , ta có:
Ta có:
Vậy trong hai số và có ít nhất một số không âm hay một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
(b) Có hai cách giải tham khảo sau:
Cách 1. Vì là nghiệm chung của phương trình (1) và (2) nên phương trình có nghiệm.
Suy ra:
Ta có: . Dấu ” ” xảy ra khi và chỉ khi:
Cách 2. Dễ thấy .
- Suy ra Dấu ” “xảy ra khi và chỉ khi: Với hoặc , lần lượt giải được hoặc
Vậy giá trị nhỏ nhất của là 8 khi hoặc
Bài 2. (1,5 điểm) Cho phương trình: với là số tự nhiên.
(a) Chứng minh nếu chẵn thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên .
(b) Chứng minh nếu lẻ thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên .
Lời giải.
(a) Ta nhận thấy 1 số chính phương khi chia cho 3 thì có số dư lần lượt là 0 hoặc 1 .
Nên tổng 2 số chính phương nếu chia hết cho 3 thì mỗi số đều phải chia hết cho
Quay lại bài toán, do chẵn nên và đều là các số chính phương mà (vô lý)
Vậy chẵn thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
(b) Do lẻ
Xét
Vậy phương trình có nghiệm nguyên
Bài 3. (3,5 điểm) Cho đường tròn , dây cung không chứa tâm và điểm thay đổi trên cung lớn . Lấy các điểm và thỏa mãn: .
(a) Chứng minh rằng và điểm là trung điểm .
(b) Hạ vuông góc với . Chứng minh các tam giác và đồng dạng và điểm thuộc một đường tròn cố định.
(c) Gọi là giao điểm của với đường tròn . Chứng minh đi qua một điểm cố định và .
(d) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh đi qua một điểm cố định.
Lời giải.
(a) Ta có và .
Suy ra , suy ra
Gọi là giao điểm của và . Khi đó là đường kính của .
Tứ giác là hình bình hành, là trung điểm nên là trung điểm .
(b) Các tứ giác nội tiếp.
Khi đó . Suy ra . (g.g)
Ta có .
Suy ra tứ giác nội tiếp. thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cố định.
(d) Gọi là trung điểm của . Ta chứng minh thẳng hàng.
Ta chứng minh được .
Gọi là trung điểm . Ta có suy ra .
Từ đó ta có .
Khi đó .
Mà và .
Suy ra . Vậy thẳng hàng. qua trung điểm của cố định.

Bài 4. (1,5 điểm) Cho số tự nhiên
(a) Gọi là tập hợp các số nguyên dương sao cho là ước của và chia hết cho 105 . Hỏi tập có bao nhiêu phần tử?
(b) Giả sử là một tập con bất kỳ của có 9 phần tử. Chứng minh ta luôn có thể tìm được 2 phần tử của sao cho tích của chúng là số chính phương.
Lời giải.
(a) chia hết cho
(b) Cách 1: Giả sử là tập hợp 9 số nguyên dương với trong đó và
Do có 9 phân tử. Xét nguyên lý Dirichlet với tập các số thì ta có ít nhất 5 số hạng sao cho các số mũ của 3 tương ứng cùng tính chẵn lẻ.
Xét tiếp nguyên lý Dirichlet 5 số này cho số mũ của 5 tương ứng thì ta có ít nhất 3 số mà số mũ cũng cùng tính chẵn lẻ.
Với 3 số còn lại này ta cũng xét nguyên lý Dirichlet cho số mũ của 7 thì ta sẽ có ít nhất 2 số cũng tính chẵn lẻ.
Do 2 số được chọn này có số mũ cùng tính chẵn lẻ với cả các số 3,5 và 7 nên tích chúng lại sẽ là số chính phương.
– Cách 2: Ta chia 9 số từ tập vào 8 tập con như sau:
= ( số mũ của 3,5,7 đều chẵn )
= ( số mũ 3,5,7 đều lẻ )
= ( số mũ của 3 chẵn; 5,7 đều lẻ )
= ( số mũ của 5 chẵn; 3,7 lẻ )
= ( số mũ của 7 chẵn; 3,5 lẻ )
= ( số mũ của 3,5 đều chẵn; 7 lẻ )
= ( số mũ của 3,7 đều chẵn; 5 lẻ )
= ( số mữ của 5,7 đều chẵn; 3 lẻ )
Do có 8 tập mà có 9 số nên theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất 2 số thuộc cùng một tập nên tích của chúng sẽ là một số chính phương.
Bài 5. (1,5 điểm) Cho hệ phương trình với là tham số:
(b) Chứng minh hệ vô nghiệm với và .
Lời giải.
– Cách 1: Điều kiện cùng dấu đôi một.
Ta xét hệ phương trình với
Hệ phương trình
Đặt
- Trường hợp 1: Hệ phương trình Lấy (1)-(2):
Tương tự lấy (2)-(3):
Vậy
Hệ phương trình
Cộng các phương trình lại ta có: mà
Suy ra
Vậy và
Câu a) Áp dụng điều trên, hệ có nghiệm .
Câu b) Suy ra điều phải chứng minh.
– Cách 2: Điều kiện xác định là: cùng dương hoặc cùng âm.
Đặt thì và .
Ta có: .
(a) Khi , nếu thì . Cộng lại suy ra Theo bất đẳng thức Cô-si thì rõ ràng nên đẳng thức trên không thể xảy ra.
Xét trường hợp cùng âm thì
Trừ vào các vế và phân tích, ta suy ra:
Từ đây dễ dàng suy ra ít nhất 2 trong phải là 1 mà nên
. Vì thế nên thay vào ta có . Và mọi bộ số như thế đều thỏa mãn hệ.
(b) Với , giả sử hệ có nghiệm . Nếu như thì ta có
Từ đó suy ra đều cùng dấu, kéo theo hoặc Tuy nhiên nên điều này không thể xảy ra.
Do đó, ta phải có nên đưa về
Trong các số giả sử thì nên ta cần có . Vì nên .
Vì nên ta có kéo theo . Tương tự từ nên . Từ đây suy ra trong khi , vô lý.
Vậy hệ luôn vô nghiệm với và .